1

ANALISIS STABILITAS LOKAL DAN KONTROL OPTIMAL PADA TERAPI OBAT

DALAM PENGOBATAN KANKER

Oleh :

Nur Aina Maziun

1206 100 010

Dosen Pembimbing :

Drs. Kamiran, M.Si.

Drs. M. Setijo Winarko, M.Si.

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya

2010

ABSTRAK

Kontrol optimal konsentrasi obat dalam jaringan darah pada terapi kanker merupakan

salah satu aplikasi dari kontrol optimal. Metode kontrol optimal ini diterapkan untuk

mengendalikan sel – sel kanker dengan penggunaan terapi obat (kemoterapi) seminimal mungkin.

Teknik kemoterapi, sebagai salah satu cara penanganan penyakit kanker, selain membunuh sel-sel

kanker juga dapat mengakibatkan rusaknya sel-sel normal. Hal ini disebabkan sel normal juga

akan menyerap obat senyawa kimia yang digunakan untuk kemoterapi. Oleh karena itu, Pada

Tugas Akhir ini, dibahas analisis stabilitas lokal dan kontrol optimal pada terapi obat dalam

pengobatan kanker tersebut pada sistem taklinear dengan menggunakan bang – bang control dan

singular control untuk masalah pertumbuhan sel - sel kanker .

Kata Kunci: Kontrol Optimal, Kanker, Stabilitas lokal, Bang – bang dan Singular Control

1. Pendahuluan

Kanker adalah salah satu dari penyakit

berbahaya yang menyebabkan banyak kematian

setiap tahun. Kanker dalam tubuh berarti

hilangnya kontrol selular dalam tubuh, sehingga

pertumbuhan sel yang tidak baik menjadi tidak

terkontrol. Sel-sel kanker ini akan menyerang

jaringan lokal, berpindah ketempat lain dan

berkembang biak. Kanker sendiri bermula dari

sel yang bermutasi dan berubah. Sel abnormal

(tumor) ini mempertahankan mutasinya melalui

proses reproduksi sel meskipun terdapat usaha

dari sistem pertahanan tubuh yang berusaha

mengeleminasi sel-sel abnormal. Sel-sel yang

bermutasi ini (berasal dari DNA yang abnormal)

kemudian bergerak ke sekujur tubuh dan

berdiam di satu atau lebih organ tubuh.

Untuk menangani hal tersebut sudah

dikembangkan teknologi medis baru oleh para

ilmuwan seperti terapi gen dan imunoterapi, tetapi

teknik tersebut masih dalam masa perkembangan

dan banyak negara yang belum menggunakannya.

Oleh karena itu, teknik pengobatan tradisional

seperti kemoterapi, masih diterapkan.

Kemoterapi adalah penggunaan obat-obatan

sitotoksik dalam terapi kanker. Kemoterapi bersifat

sistemik .

Kemoterapi harus dilakukan dengan hati-hati

karena kemoterapi tidak hanya membunuh sel-sel

kanker, tetapi juga membunuh sebagian dari

jaringan-jaringan yang normal atau mengakibatkan

kerusakan yang serius pada jaringan yang normal.

Karena itu, pemberian dosis dari pengobatan

(kemoterapi) yang dilakukan harus optimal agar

2

kerusakan jaringan sehat minimal sedangkan sel

kanker yang terbunuh maksimal [6].

Dalam tugas akhir ini dibahas analisis

stabilitas lokal dan kontrol optimal pada terapi

obat dalam pengobatan kanker dengan

menggunakan bang – bang control dan singular

control untuk masalah pertumbuhan kanker.

2. Metode Penelitian

Metode yang digunakan pada tugas akhir

dalam menyelesaikan permasalahan adalah :

1. Studi pendahuluan

2. Analisis kestabilan lokal

3. Penyelesaian optimal control

4. Simulasi

5. Analisis hasil simulasi

6. Kesimpulan dan saran

3. Tinjauan Pustaka

3.1 Model Pertumbuhan Kanker[2].

dengan, yang merupakan

pengaruh kemoterapi terhadap sistem

N(t) : sel- sel normal

T(t) : sel - sel tumor (tumor

ganas /kanker)

I(t) : sel-sel imun

4321 ,,, cdanccc

: parameter interaksi

persaingan

ii bdanr : parameter yang mewakili

tingkat pertumbuhan per

kapita dan daya dukung

timbal balik, dimana i = 1,

2 yang berhubungan

dengan sel tumor dan sel

normal masing-masing.

1d : kematian rata-rata sel-sel

imun

321 ,, aaa : koefisien - koefisien

response yang berbeda dari

masing-masing sel normal,

sel tumor dan sel imun

terhadap obat yang

diberikan

u(t) : menunjukkan konsentrasi

obat dalam jaringan atau

darah

)(tv : dosis obat yang diberikan

secara oral atau injeksi

2d : angka kematian rata-rata

sel-sel imun karena

pengaruh obat. s : koefisien pusat kekebalan

sel imun

dan : konstan positif yang

merupakan kekebalan awal

dan respon sel imun

3.2 Titik Setimbang dan Kestabilannya[3].

dcbaA

maka akar-akar persamaan karakteristik (nilai

eigen ) dari matriks adalah

bcaddaatauAI )(2

)2.2(

Sifat stabilitas titik setimbang 00 , yx dibedakan

menjadi tiga, yaitu :

1. Stabil

Titik setimbang 00 , yx dikatakan stabil jika

dan hanya jika akar karakteristik dari persamaan

(2.2) adalah real dan negatif atau mempunyai

bagian real takpositif.

2. Stabil asimtotis

Titik setimbang 00 , yx dikatakan stabil

asimtotis jika dan hanya jika akar karakteristik

persamaan (2.2) adalah real negatif atau

mempunyai bagian real negatif.

3. Tidak Stabil

Titik setimbang 00 , yx dikatakan tidak stabil

jika dan hanya jika akar karakteristik dari

persamaan (2.2) adalah real dan positif atau

NFTNcNbNrN 1422 )1(

TFTNcITcTbTrT 23211 )1(

IFIdITcT

TIsI 311

)(

u

i eauF 1)(

udvu 2 )1.2(

3

mempunyai paling sedikit satu akar

karakteristik dengan bagian real positif.

Untuk sistem taklinear, akar

karakteristik diperoleh dengan melinearkan

terlebih dahulu sehingga didapatkan bentuk

sistem linear.

Titik setimbang dari sistem teklinear

merupakan :

a) Sebuah titik simpul jika akar

karakteristiknya riil dan bertanda sama. Jika

salah satu bertanda positif maka disebut titik

simpul tidak stabil sebaliknya disebut titik

simpul stabil jika keduanya bertanda negatif.

b) Sebuah titik pelana (saddle point) jika akar

karakteristinya riil, berlawanan tanda. Titik

ini tidak stabil

c) Sebuah titik fokus jika akar karakteristiknya

bilangan kompleks, jika bagian riilnya

positif maka disebut titik fokus tidak stabil

sebaliknya jika bagian riilnya negatif disebut

titik fokus stabil. [10]

3.3 Kriteria Routh-Hurwitz[11]

Nilai – nilai karakteristik dari matriks

adalah akar – akar karakteristik dari polinomial

…(2.3)

dengan . Kriteria kestabilan Routh -

Hurwitz dapat dipakai untuk mengecek

langsung kestabilan melalui koefisien tanpa

menghitung akar – akar dari polinomial yang

ada, yaitu dengan melakukan penabelan dan

suatu aturan penghitungan dari koefisien akan

diketahui bahwa apakah polinomial yang

diberikan oleh persamaan (2.3) semua akar –

akarnya bagian realnya adalah negatif.

Diberikan suatu polinomial

susun tabel sebagai berikut

3

3

5

4

2

2

3

2

1

1

1

0

3

2

1

c

b

a

a

c

b

a

a

q

c

b

a

a

s

ssss

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

dimana qdanccbb ,,,,,, 2121 secara rekursif

didapat dari :

,,

,,

1

1351

2

1

1231

1

1

541

2

1

321

1

b

ababc

b

ababc

a

aaaab

a

aaaab

nnnn

n

nnnn

n

nnnn

Kriteria Routh – Hurwitz menyimpulkan

bahwa : banyaknya perubahan tanda dalam kolom

pertama pada tabel diatas sama dengan banyaknya

akar – akar polinomial )(sq yang bagian realnya

positif. Jadi bila pada kolom pertama dalam tabel

tidak ada perubahan tanda (semuanya bertanda

positif atau semuanya bertanda negatif), maka

semua akar polinomial )(sq bagian realnya adalah

tak-positif, bila polinomial ini merupakan

polinomial akar – akar karakteristik dari matriks

dimana ),()( tAxtx maka sistem ini adalah

stabil.

3.4 Masalah Optimal Control [11]

Gambar 2.1 Skema Kontrol

Pada gambar tersebut optimal control

adalah mendapatkan optimal control (*u ), tanda *

menyatakan kondisi optimal yang akan mendorong

dan mengatur plant C dari keadaan awal sampai

keadaan akhir dengan beberapa konstrain. Kontrol

dengan keadaan dan waktu yang sama dapat

ditentukan ekstrim berdasarkan performance index

yang diberikan.

Secara umum, formulasi pada permasalahan

optimal control [7] adalah

a. Mendiskripsikan secara matematik artinya

mendapatkan metode matematika dari proses

terjadinya pengendalian (secara umum dalam

bentuk variabel keadaan).

b. Spesifikasi dari performance index.

01

1

1 ...det)( asasasaAsIsp n

n

n

n

0,...det)( 01

1

1

n

n

n

n

n aasasasaAsIsq

4

c. Menentukan kondisi batas dan konstrain

fisik pada keadaan (state) dan atau kontrol.

3.5 Prinsip Minimum Pontryagin dengan

Kontrol Terbatas

Prinsip Minimum digunakan untuk

memperoleh kontrol terbaik pada sistem dinamik

dari state awal hingga state akhir, yaitu dengan

meminimalkan performance index dimana

kontrol )(tu terbatas pada .

Prinsip ini menyatakan secara informal bahwa

persamaan Hamiltonian akan diminimalkan

sepanjang yang merupakan himpunan kontrol

yang mungkin [1].

Nilai fungsi Hamiltonian

sebagai berikut

Karena kontrol terbatas, maka Fungsi

Hamiltonian-Lagrange

diperoleh dari nilai fungsi Hamiltonian

tttxtvH ),(),(),( ditambah pengali

Lagrange k

Fungsi tersebut optimal jika memenuhi

persamaan

1. Kondisi stasioner

0),,(),,(

tuxgtuxf

u

Luu (2.4)

2. Persamaan keadaan

Lx

x

L

dengan 00 )( xtx dan 0)( ft

Dari Persamaan (2.4) dapat diperoleh bentuk

optimal control )( *u .

3.6 Bang-bang control dan Singular control

Kesulitan dalam menerapkan prinsip

Pontryagin dapat diatasi dengan menggunakan

singular control dan bang – bang control . Hal

ini muncul ketika persamaan Hamiltonian

bergantung secara linear dengan kontrol u , dapat

dinyatakan dalam bentuk

utxuH ),,()(

Jika kontrol mempunyai batas atas dan

batas bawah maxmin uuu , maka untuk

meminimalkan ),(uH diperlukan untuk membuat

u sebesar dan sekecil mungkin, bergantung pada

tanda ),,( tx yang didefinisikan sebagai fungsi

switching, yang dapat ditulis :

0),,(

0),,(

0),,(

)(

min

sin

max

txjikau

txjikau

txjikau

tu g

Fungsi switching dapat bernilai positif

dan negative serta nol. Sehingga penyelesaian ini

disebut dengan Bang – bang Control. Perubahan

kontrol dari maxu ke minu terjadi ketika berubah

dari nilai negatif ke positif. Dalam kasus ini,

bernilai nol pada interval waktu terbatas 21 ttt

yang disebut sebagai singular control. Pada interval

tersebut, kontrol u dapat dicari dari hasil derivative

berulang u

H

yang bergantung terhadap waktu,

sampai kontrol u tampak secara eksplisit.

Kontrol akan menghasilkan busur singular

yang optimal jika :

1. Persamaan Hamiltonian 0)( H

2. Kondisi Kelley yang dinyatakan oleh

persamaan sebagai berikut :

,1,0,0)1(

2

kH

dt

d

uu

k

k

Kondisi ini disebut juga kondisi Generalisasi

Legendre-Clebs. Dengan kata lain, Generalisasi

Legendre-Clebs akan menjamin bahwa disepanjng

busur tunggal, persaman Hamiltonian akan optimal.

Dalam permasalahan kontrol singular, jika

),,(2

2

xtHdt

duq

q

adalah order derivatif total

tttxtvH ),(),(),(

),,(),,(),(),(),( vxtgvxtftttxtvH

)(tu

tttxtvL ),(),(),(

ktttxtvHtttxtvL ),(),(),(),(),(),(

5

terkecil pada saat u tampak secara eksplisit

maka q adalah derajat dari busur singular,

dengan q .

3.7 Simulasi

Simulasi pada model pertumbuhan kanker,

akan diselesaikan dengan menggunakan

DOTcvp (Dynamic Optimization Toolbox with

cvp) yang merupakan salah satu toolbox

MATLAB

4. Hasil Penelitian

4.1 Model Pertumbuhan Kanker

Sistem Imun : model sel imun terdiri dari

sel imun yang tumbuh dengan distimulasi

oleh adanya tumor, dan sel imun yang dapat

merusak sel tumor dengan suatu proses

kinetik.

Reaksi dari sel imun dan sel tumor dapat

menyebabkan kematian pada keduanya atau

ketidak aktifan sel imun, yang dapat ditulis

sebagai berikut

Kompetisi : kompetisi terjadi antara sel-sel

normal dan sel-sel tumor seperti pada sistem

predator-prey

Optimal control untuk kemoterapi : pemberian

obat yang optimal dengan tujuan untuk

meminimalkan jumlah sel tumor dalam waktu

yang telah ditetapkan.

4.1.1 Daerah Penyelesaian Model Sebelum

Penormalan

Berdasarkan analisis keterbatasan dari

model (2.1), daerah penyelesaian model

adalah :

11

3 0,1

0,10:),,(d

sI

bTNITN

4.1.2 Penormalan Model

Untuk menyederhanakan analisis

matematika, model dinormalkan dengan

mendefinisikan variabel baru sebagai

berikut:

1

2

44

2

1

22

3

3

3

2

1

2

2

22

2

2

2

11

1 ˆˆˆˆ

bb

r

cc

ttt

r

rr

rb

cc

IIx

d

dd

r

scc

TTx

r

r

cc

NNx

dengan s

rITbN 2

2ˆ,

1ˆ,ˆ

dan 2ˆ rt .

Dengan kata lain variabel tersebut juga dapat

ditulis:

2

3

22

33

2

22

2

11

ˆˆ1ˆˆ r

t

t

ttx

r

s

sr

x

I

xIx

x

T

xT

b

x

N

xN

Hasil penormalan diperoleh sebagai berikut :

4.1.3 Daerah Penyelesaian Model Setelah

Penormalan

Berdasarkan analisis keterbatasan dari

model bentuk normal, daerah penyelesaian

model didapat sebagai berikut :

1

321

3

321

10,

10,10:),,(

dx

bxxxxx

4.1.4 Titik Setimbang dari Model Bentuk

Normal

Titik Setimbang adalah titik yang invariant

terhadap waktu sehingga titik-titik setimbang

diperoleh dari ,01 dt

dx 02

dt

dx dan .03

dt

dx

yang hasilnya adalah

,

11

1,0,0

3

1

222221

2

Frxxdxxc

x

,

31

22212121

21,2

121332,0

Frxxdxxc

x

rb

Frxcxcr

)()()()( 21 tTtIcdt

dTdantTtIc

dT

dI

11

1

2214111 )1( xFrxxcxxx

22

1

2213322222 )1( xFrxxcxxcbxrxx

33

1

23321

2

32

3)1(

1 xFrdxxxcx

xxx

6

,

11

1,0,1

31

222221

21

1224

Frxxdxxc

xFrxc

dan

31

222221

221

213321

1224

11

1,,1

Frxxdxxc

x

rb

FrxcxcrFrxc

Untuk titik setimbang jika tidak ada pengaruh

obat, maka pengaruh obat (kemoterapi)

ditiadakan 3,2,1,0 idenganFi

sehingga ada 4 titik setimbang yaitu

,

11

1,0,0

322221

2

xxdxxc

x

,

2212121

21,21332,0

xxdxxc

x

rb

xcxcr

,

11

1,0,1

22221

2

124

xxdxxc

xxc

dan

22221

2133224

11

1,,1

xxdxxc

x

rb

xcxcrxc

Akan ditentukan titik-titik setimbang dari model

hasil penormalan diatas yang tidak dipengaruhi

obat (kemoterapi). Dalam hal ini ada dua titik

setimbang yaitu titik setimbang bebas penyakit

(disease-free equilibrium) dan titik setimbang

endemik.

a. Titik Setimbang Bebas Penyakit

Pada saat 02 x maka d

x1

3 Semua

sel dalam keadaan sehat atau tidak terjadi

penyebaran tumor. Jika 021 x setelah

disubsitusikan, maka diperoleh dua titik

kesetimbangan, yaitu

dE

1,0,01

dan .1

,0,12

dE

b. Titik Setimbang Endemik

Titik Setimbang endemik adalah titik

setimbang dengan pengaruh penyebaran tumor

02 x . Dari

rb

xcxcrx 1332

22

disubsitusikan ke

persamaan sebelumnya diperoleh dua titik

setimbang yaitu :

)(,,03 afaE dan )(,),(4 bfbbgE

dengan, rb

xcxcra 1332

untuk 3E dan

rb

xcxcrb 1332

untuk 4E .

4.1.5 Matriks Jacobian Model Bentuk Normal

Setelah menentukan titik setimbang model

normal, selanjutnya ditentukan kestabilan setiap

titik setimbang. Untuk itu dicari nilai eigen matriks

Jacobian dari model normal. Akan ditinjau dua

kasus yaitu kestabilan titik setimbang bebas

penyakit (disease-free equilibrium) dan kestabilan

titik setimbang endemik.

Misal

Akan dicari kestabilan lokal dengan mencari matrik

Jacobiannya terlebih dahulu.

3

3

3

2

2

2

1

1

1

x

Z

x

Y

x

X

x

Z

x

Y

x

X

x

Z

x

Y

x

X

J

11

1

221411321 )1(,, xFrxxcxxxxxX

22

1

221332222321 )1(,, xFrxxcxxcbxrxxxxY

33

1

23321

2

32

321)1(

1,, xFrdxxxcx

xxxxxY

7

dxcx

xxc

x

x

xcxcxcrbxrxc

xcxcx

J

21

2

2312

2

3

221332223

14241

110

2

021

4.1.5.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang

Bebas Penyakit

1. Titik setimbang

dE

1,0,01 tidak

mungkin, karena titik ini menunjukkan

bahwa sel normal tidak ada (tidak stabil).

Matriks Jacobian model (4.1) pada titik

setimbang adalah

dd

cd

dcJ 0

0

11

10

0

0

1

1

2

Nilai Eigen diperoleh dari

maka,

0

110

01

0

001

1

2

dd

cd

dc

01

1 2

d

dc

dd

c

3221 ,1

,1

Titik

dE

1,0,01 tidak stabil karena

011

2. Untuk titik

dE

1,0,12 matriks

Jacobiannya adalah

dd

cd

cd

cr

c

EJ

110

00

01

1

32

4

2

Nilai Eigen diperoleh dari :

0)(det 2 IEJ maka,

0

110

00

01

1

32

4

dd

cd

cd

cr

c

dcd

cr 3

21

dcd

cr

332

21 ,,1

sehingga didapat :

011

32

2 cd

cr

32 cd

cr

132

32

dcc

drc

d

c

03 d

Karena nilai dari 10

ic dan 0, dr

maka Nilai eigen 2 dapat bernilai positif atau

negatif tergantung dari nilai dcc

dr

32

. Dari

persamaan diatas maka dapat dicari Basic

Reproduction Number (R0), dimana (R0) adalah nilai

parameter untuk mengetahui penyebaran penyakit

menjadi endemik atau tidak.

Berdasarkan nilai eigen 2 dapat dianalisa sebagai

berikut :

0)(det 1 IEJ

8

Nilai eigen 2 bernilai negatif jika

1

32

dcc

dr dan bernilai positif jika

.1

32

dcc

dr Oleh karena itu Basic

Reproduction Number adalah : dcc

dr

32

Dari hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan

sebagai berikut :

a. Jika 10 R maka didapat 02 . Karena

0, 21 , dan 03 maka titik

kesetimbangan 2E dari sistem tersebut

stabil.

b. Jika 10 R maka didapat 02 . Karena

0,0 21 , dan 03 maka titik

kesetimbangan 2E dari sistem tersebut tidak

stabil.

4.1.5.2 Kestabilan Lokal Titik Setimbang

Endemik

1. Kestabilan lokal titik setimbang endemik 3E

dimana 323 ,,0 xxE dengan

ax

2

)(3 afx

Terlihat populasi sel normal adalah nol dan

sel tumor dapat bertahan . Disini a adalah

solusi non negatif untuk

01

)(2

baf

rb

ca

Matriks Jacobian pada titik setimbang 3E

adalah

dxcx

xxc

x

x

xcxcrbxrxc

xc

EJ

21

2

2312

2

3

2232223

24

3

110

2

001

)(

)(det 3 IEJ

0

110

2

001

21

2

2312

2

3

2232223

24

dxcx

xxc

x

x

xcxcrbxrxc

xc

0)()()( 2 CBDBCA

dengan

241 xcA

3222 xcrbxrB

dxc

x

xC

21

2

2

1

312

2

3

22)1(

xcx

xxcD

maka akan didapat :

A1

2

)(4)()( 2

2

DBCCBCB

2

)(4)()( 2

3

DBCCBCB

Untuk mengetahui 3E stabil atau tidak stabil

maka mula-mula akan dianalisis dari nilai 1

Berdasarkan daerah penyelesaian setelah

penormalan diperoleh b

x1

0 2

karena pada

penelitian ini 11 b dan 3.04

c . sehingga, Jadi

01 241

xcA . Karena itu 3E tidak

stabil.

2. Stabilitas lokal dititik setimbang 4E adalah

3214 ,, xxxE

dengan

)(1 bgx

bx

2

)(3 bfx

Terlihat terdapat kompetisi antara sel

normal dan sel tumor dengan populasi tidak

9

nol, dimana b adalah solusi non negatif

dari

01

)()( 32

bbg

rb

cbf

rb

cb

Matriks Jacobian pada titik setimbang

adalah

dxcx

xxc

x

x

xcxcxcrbxrxc

xcxcx

EJ

21

2

2312

2

3

221332223

14241

4

110

2

021

)(

IEJ )(det 4

jika :

24121 xcxA

133222 xcxcrbxrB

dxc

x

xC

21

2

2

1

312

2

3

22)1(

)( xcx

xxcD

))(( 2314

xcxcE

maka,

0)()())()(( CEDACBA

)()( 23 EDACBCABCBA

0)( ECADABC

Jika dikalikan -1 persamaan menjadi :

)()( 23 EDACBCABCBA

0)( ECADABC

dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz

maka akan diperoleh sebagai berikut

2

1

10

1

2

31

bECADABC

EDACBCAB

c

bCBA

)(

0.10).(2

CBA

CBAb

1

11

0).().(

b

CBAECADABCbc

4E stabil jika 1),( bCBA dan 01 c , karena

berdasarkan nilai parameter yang didapat pada

percobaan pertama (penyelesaian kontrol optimal)

diperoleh 4E stabil.

4.2 Penyelesaian dengan Kontrol Optimal

Diberikan Performan indeks sebagai berikut

)()(),(min 2 ff txtTvxJ

Model tersebut dapat diselesaikan dengan

menggunakan kontrol optimal dimana variabel

kontrolnya adalah )(tv dan variabel keadaannya

adalah )(tx . Sedangkan sistem dinamiknya pada

persamaan (2.1)

Dengan ),,,,(),,,,( uITNvuITNh agar lebih

mudah maka model ditulis menjadi

),,,(),,,( 4321 xxxxuITN sehingga model

menjadi

2121412121 )1()1( 4 xeaxxcxbxrxx

2221332221212 )1()1( 4 xeaxxcxxcxbxrxx

3331321

2

32

3 )1()(

4 xeaxdxxcx

xxsx

x

424 xdvx

dengan kondisi batas:

075.0)(),,( 1 txvtxk

0)0( xx

0

110

2

021

21

2

2312

2

3

221332223

14241

dxcx

xxc

x

x

xcxcxcrbxrxc

xcxcx

CBA

ECACABCEDCABCABCBAb

1

ftt 0

10

4.2.1 Penyelesaian Model Pertumbuhan

Kanker dengan Teori Kontrol Optimal

Dengan menggunakan bang-bang control

dan Singular control maka diperoleh

0

0

0

0

)( sin

v

v

v

g

H

H

H

jika

jika

jika

va

tv

dengan :

42

333222111

24333333222222111111

sin

4

xdxaxaxa

e

dxaxaxaxaxaxa

vx

g

4.3 Simulasi 4.3.1 Analisis Hasil Simulasi

Pada simulasi akan dibandingkan sistem

sebelum dikontrol (tanpa obat) dan setelah

dikontrol (dengan obat) untuk

menggambarkan pengaruh adanya kontrol

optimal didalamnya. Berikut parameter

yang digunakan [2].

Tabel 4.1 Parameter dan Nilainya

Parameter Nilai

1a 0.1

2a 0.3

3a 0.2

1b 1.0

2b 1.0

1c 1.0

2c 0.5

3c 1.0

4c 1.0

1d 0.2

2d 1.0

1r 1.5

2r 1.0

s 0.33

0.3

0.01

Tabel 4.2 Parameter Komputasi

Parameter

Komputasi

Simbol Nilai

Waktu akhir ft 150 hari

Batas bawah

kontrol

0.0

Batas atas kontrol a – 0.0

Initial condition

sel normal )0(1x 1.0

Initial condition

sel tumor )0(2x 0.25

Initial condition

sel imun )0(3x 0.15

Initial condition

konsentrasi obat

dalam darah

)0(4x b

Dosis Obat u

Percobaan pertama yang dilakukan dengan

mensimulasikan optimal control tanpa

menggunakan obat dengan kata lain 0b ,

maka akan didapat hasil seperti berikut

Gambar 4.1

Pada gambar diatas menunjukkan dalam waktu 150

hari (5 bulan) dengan adanya sel tumor, maka sel

normal dan sel imun bergerak turun sedangkan sel

tumor bergerak naik.

11

Dari hasil simulasi tersebut diperoleh

Final state values :

001357178.4001639517.5001361455.4

3

2

1

exexex

Terlihat jelas bahwa jumlah dari sel – sel tumor

lebih dominan dibandingakan yang jumlah dari

sel – sel lainnya

Percobaan kedua dilakukan dengan

mensimulasikan optimal control dengan obat

yang diberikan, nilai 75.0a dan 07.0b .

Pada gambar 4.2 dapat ditunjukkan pengaruh

obat kepada pasien. Mula – mula yang akan

ditampilkan adalah kurva objective function

yang menunjukkan bahwa semakin kecil nilai

dari objective functionnya (mendekati nol) maka,

pengobatan yang dilakukan optimal, seperti

berikut

Gambar 4.2a

Dari gambar 4.2a terlihat bahwa pengobatan

yang dilakukan optimal dengan cost function

akhir )(min ftJ yang didapat dari simulasi

adalah 0.00000000.

Gambar 4.2b

Gambar 4.2b menunjukkan sel tumor bergerak

turun drastis dengan adanya pemberian obat

sedangkan sel normal dan sel imun bergerak naik

seiring dengan turunnya sel tumor walaupun awal

kenaikan sel imun adalah perlahan lalu naik drastis

yang dikarenakan turunnya konsentrasi obat dalam

darah.

Dari hasil simulasi tersebut diperoleh

Final state values :

002790839.5000545518.1010317050.9001943748.9

4

3

2

1

exexexex

Terlihat komposisi dari sel – sel tersebut

(kecuali sel –sel tumor) mendekati nilai maksimal

pada daerah feasibel pada pembahasan

sebelumnya(saat menganalisis model (2.1), yang

berarti dalam hal ini komposisi sel – sel tersebut

optimal. Walaupun hanya sel imun yang nilainya

agak berbeda. Hal ini dikarenakan pengaruh dari

konsentrasi obat dalam darah tersebut menekan

sumsum tulang yang memproduksi sel imun maka

dari itu perubahan sel imunnya kurang optimal,

tetapi secara keseluruhan dilihat dari komposisi sel

– sel tersebut sudah dapat dikatakan optimal.

Pada gambar 4.2c dapat dilihat bahwa kontrol

dalam bentuk bang – bang dan singular control .

12

Gambar 4.2c

5. Penutup

5.1 Kesimpulan

Dari analisis yang dilakukan pada model

kanker [2], maka dapat diperoleh kesimpulan

sebagai berikut :

1. Pada analisis stabilitas lokal dapat diketahui

bahwa :

Model normal dari kompetisi sel – sel

yang dipengaruhi oleh sel – sel tumor adalah

sebagai berikut

11

1

2214111 )1( xFrxxcxxx

22

1

2213322222 )1( xFrxxcxxcbxrxx

33

1

23321

2

323

)1(1 xFrdxxxc

x

xxx

model tersebut memiliki dua titik kesetimbangan

yang stabil yaitu titik kesetimbangan bebas

penyakit

dE

1,0,12 dengan

dcc

dr

32

sebagai basic reproduction numbernya sehingga

diperoleh

Dari hasil perhitungan di atas, dapat

disimpulkan sebagai berikut :

a. Jika 10 R maka didapat 02 . Karena

0, 21 , dan 03 maka titik

kesetimbangan 2E dari sistem tersebut

stabil.

b. Jika 10 R maka didapat 02 . Karena

0,0 21 , dan 03 maka titik

kesetimbangan 2E dari sistem tersebut tidak

stabil.

dan titik kesetimbangan endemik diperoleh

.)(,),(4 bfbbgE Penyelesaian yang optimal

pada titik endemik ini yang diselesaikan pada sub

bab berikutnya.

2. Pada optimal control dapat diketahui bahwa

Optimal control yang diperoleh pada model

kanker [2] mempunyai bentuk yang tidak

tunggal. Kontrolnya berupa bang – bang

control dan singular control yang bergantung

pada nilai fungsi switching pada interval waktu

yang berbeda – beda. Kontrolnya dapat

dinyatakan sebagai berikut :

0

0

0

0

)( sin

v

v

v

g

H

H

H

jika

jika

jika

va

tv

dengan :

42

333222111

24333333222222111111

sin

4

xdxaxaxa

e

dxaxaxaxaxaxa

vx

g

4vH

5.2 Saran

Pada penelitian ini tidak dibahas mengenai cara

meminimumkan jumlah obat dan menghilangkan

residu yang terdapat dalam tubuh pasien agar dapat

memperoleh hasil yang lebih baik penulis

menyarankan untuk melanjutkan pada tahapan

tersebut.

6. Daftar Pustaka

[1]. Bryson, A. E. dan Ho, Y. C. 1975. Applied

Optimal Control. New York: Taylor & Francis

Group.

[2]. De Pillis, L.G. , Radunskaya, A.E. 2003. “The

Dynamics Of An Optimally Controlled Tumor

Model: A case study”. Journal of

13

Mathematical and Computer Modelling,

Vol 2003 No. 37 pp 1-23.

[3]. Finisio dan Ladas. 1998. Differential

Equations with Modern Applications. 2st

edition. Wadsworth, New York: Inc.

[4]. Itik, Mehmet, Salamci , Metin U. , Banks,

Stephen P. 2009. “Optimal Control of Drug

Therapy In Cancer Treatment”. Journal of

Nonlinear Analysis, Vol 2009 No. 71 pp 1-

14.

[5]. Kamien, M. I. dan Schwartz, N. L. 1981.

Dynamic Optimization : The Calculus of

Variations and Optimal Control in

Economics and Management. 1st edition.

North Holland, Amsterdam: Elsevier

Science Publishing Co, Inc.

[6]. Murray, J.M. 1990. “Optimal Control For A

Cancer Chemotherapy Problem With

General Growth and Loss Functions”.

Journal of Mathematical Biosciences, Vol

1990 No. 98 pp 1-14.

[7]. Naidu, D. S. 2002. Optimal Control

Systems. USA: CRC Presses LLC.

[8]. Putri, R. 2009. Kontrol Optimal Pada

Model Tumor Anti Angiogenesis. Tugas

Akhir Jurusan Matematika ITS.

[9]. Subchan, S. dan Zbikowski, R. 2009.

Computational Optimal Control: Tools

and Practice. UK: John Wiley & Sons Ltd.

[10]. Subiono. 2008. Matematika Sistem.

Versi 1.0. Surabaya: Jurusan Matematika

FMIPA ITS.

[11]. Subiono. 2010. Optimal Kontrol.

Surabaya: Jurusan Matematika FMIPA ITS.

[12]. Wikipedia. 2010. Cancer. <URL

http://en.wikipedia.org/wiki/cancer>.

Diakses pada tanggal 25 Februari 2010.

[13]. Wikipedia. 2010. Tumor. <URL

http://en.wikipedia.org/wiki/tumor>. Diakses

pada tanggal 25 Februari 2010.