Analisis Rangkaian Listrik Jilid 2

Analisis Rangkaian

Listrik Jilid-2

Sudaryatno Sudirham

Darpublic Edisi Nopember 2012

i

Analisis Rangkaian Listrik Jilid 2 (Analisis Transien, Transformasi Laplace, Trans-formasi Fourier, Model Sistem)

oleh Sudaryatno Sudirham

ii Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

Hak cipta pada penulis.

SUDIRHAM, SUDARYATNO Analisis Rangkaian Listrik, Jilid 2 (Analisis Transien, Transformasi Laplace, Transformasi Fourier, Model Sistem) Darpublic, Kanayakan D-30, Bandung, 40135. www.darpublic.com

iii

Pengantar

Buku jilid ke-dua Analisis Rangkaian Listrik ini berisi materi lanjutan, ditujukan kepada pembaca yang telah mempelajari materi di buku jilid pertama. Materi bahasan disajikan dalam sebelas bab. Dua bab pertama berisi bahasan mengenai analisis transien, dengan sinyal dinyatakan sebagai fungsi waktu. Dua bab berikutnya membahas analisis rangkaian menggunakan transformasi Laplace, yang dapat digunakan untuk analisis keadaan mantap maupun transien; bahasan ini mencakup dasar-dasar transformasi Laplace sampai ke aplikasinya. Lima bab berikutnya membahas fungsi jaringan yang dilanjutkan dengan tanggapan frekuensi, serta pengenalan pada model sistem, termasuk persamaan ruang status. Dua bab terakhir membahas analisis rangkaian listrik menggunakan transformasi Fourier. Pengetahuan tentang aplikasi transformasi Fourier dalam analisis akan memperluas pemahaman mengenai tanggapan frekuensi, baik mengenai perilaku sinyal itu sendiri maupun rangkaiannya.

Tulisan ini dibuat untuk umum, dapat diunduh secara cuma-cuma di www.darpublic.com . Mudah-mudahan sajian ini bermanfaat bagi para pembaca. Penulis mengharap saran dan usulan para pembaca untuk perbaikan dalam publikasi selanjutnya.

Bandung, Nopember 2012 Wassalam,

Penulis.

iv Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

Darpublic Kanayakan D-30, Bandung, 40135

v

Daftar Isi Kata Pengantar iii

Daftar Isi v

Bab 1: Analisis Transien Rangkaian Orde-1 1 Rangkaian Orde-1: Contoh Rangkaian Orde-1. Tanggapan Alami, Tanggapan Paksa, Tanggapan Lengkap. Tanggapan Terhadap Sinyal Anak Tangga, Sinyal Sinus, Sinyal Ekspo-nensial. Tanggapan Masukan Nol, Tanggapan Status Nol.

Bab 2: Analisis Transien Rangkaian Orde-2 31 Rangkaian Orde-2: Contoh Rangkaian Orde-2. Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan. Tanggapan Terhadap Sinyal Anak Tangga, Sinyal Sinus, Sinyal Eksponensial.

Bab 3: Transformasi Laplace 55 Transformasi Laplace. Tabel Transformasi Laplace. Sifat-Sifat Transformasi Laplace. Transformasi Balik. Solusi Per-samaan Rangkaian Menggunakan Transformasi Laplace.

Bab 4: Analisis Menggunakan Transformasi Laplace 85 Hubungan Tegangan-Arus Elemen di Kawasan s. Konsep Impedansi di Kawasan s. Representasi Elemen di Kawasan s. Transformasi Rangkaian. Hukum Kirchhoff. Kaidah-Kaidah Rangkaian. Teorema Rangkaian. Metoda-Metoda Analisis.

Bab 5: Fungsi Jaringan 107 Pengertian dan Macam Fungsi Jaringan. Peran Fungsi Alih. Hubungan Bertingkat dan Kaidah Rantai . Fungsi Alih dan Hubungan Masukan-Keluaran di Kawasan Waktu. Tinjauan Umum Mengenai Hubungan Masukan-Keluaran.

Bab 6: Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde-1 123 Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus Keadaan Mantap. Pernyataan Tanggapan Frekuensi. Bode Plot.

vi Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

Bab 7: Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde-2 143 Rangkaian Orde-2 Dengan Pole Riil. Fungsi Alih Dengan Zero Riil Negatif . Tinjauan Umum Bode Plot dari Rangkaian Dengan Pole dan Zero Riil. Tinjauan Kualitatif Tanggapan Frekuensi di Bidang s. Rangkaian Orde-2 Yang Memiliki Pole Kompleks Konjugat.

Bab 8: Pengenalan Pada Sistem 165 Sinyal. Sistem. Model Sistem. Diagram Blok. Pembentukan Diagram Blok. Reduksi Diagram Blok. Sub-Sistem Statis dan Dinamis. Diagram Blok Integrator.

Bab 9: Sistem Dan Persamaan Ruang Status 187 Blok Integrator dan Blok Statis. Diagram Blok Integrator, Sinyal Sebagai Fungsi t. Membangun Persamaan Ruang Status. Membangun Diagram Blok dari Persamaan Ruang Status.

Bab 10: Transformasi Fourier 197 Deret Fourier. Transformasi Fourier. Transformasi Balik. Sifat-Sifat Transformasi Fourier. Ringkasan.

Bab 11: Analisis Menggunakan Transformasi Fourier 223 Transformasi Fourier dan Hukum Rangkaian. Konvolusi dan Fungsi Alih. Energi Sinyal.

Daftar Pustaka 237

Biodata Penulis 238

Indeks 239

Analisis Transien Rangkaian Orde-1

1

BAB 1 Analisis Transien Rangkaian Orde-1

Yang dimaksud dengan analisis transien adalah analisis rangkaian yang sedang dalam keadaan peralihan atau keadaan transien. Gejala transien atau gejala peralihan merupakan salah satu peristiwa dalam rangkaian listrik yang perlu kita perhatikan. Peristiwa ini biasanya berlangsung hanya beberapa saat namun jika tidak ditangani secara baik dapat me-nyebabkan terjadinya hal-hal yang sangat merugikan berupa kerusakan peralatan.

Dalam sistem penyaluran energi, pemutusan dan penyambungan rangkaian merupakan hal yang sering terjadi. Operasi-operasi tersebut dapat menyebabkan terjadinya lonjakan tegangan yang biasa disebut te-gangan lebih. Tegangan lebih pada sistem juga terjadi manakala ada sambaran petir yang mengimbaskan tegangan pada saluran transmisi. Tegangan lebih seperti ini akan merambat sepanjang saluran transmisi berbentuk gelombang berjalan dan akan sampai ke beban-beban yang terhubung pada sistem tersebut. Piranti-piranti elektronik akan menderita karenanya. Di samping melalui saluran transmisi, sambaran petir juga mengimbaskan tegangan secara induktif maupun kapasitif pada peralatan-peralatan. Semua kejadian itu merupakan peristiwa-peristiwa peralihan.

Kita mengetahui bahwa kapasitor dan induktor adalah piranti-piranti dinamis dan rangkaian yang mengandung piranti-piranti jenis ini kita sebut rangkaian dinamis. Piranti dinamis mempunyai kemampuan untuk menyimpan energi dan melepaskan energi yang telah disimpan sebe-lumnya. Hal demikian tidak terjadi pada resistor, yang hanya dapat menyerap energi. Oleh karena itu, pada waktu terjadi operasi penutupan ataupun pemutusan rangkaian, perilaku rangkaian yang mengandung kapasitor maupun induktor berbeda dengan rangkaian yang hanya mengandung resistor saja. Karena hubungan antara arus dan tegangan pada induktor maupun kapasitor merupakan hubungan linier diferensial, maka persamaan rangkaian yang mengandung elemen-elemen ini juga merupakan persamaan diferensial. Persamaan diferensial ini dapat berupa persamaan diferensial orde-1 dan rangkaian yang demikian ini disebut rangkaian atau sistem orde-1. Jika persamaan rangkaian berbentuk persamaan


2 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

diferensial orde-2 maka rangkaian ini disebut rangkaian atau sistem orde-2. Perilaku kedua macam sistem tersebut akan kita pelajari berikut ini. Dengan mempelajari analisis transien orde-1, kita akan

mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan rangkaian orde-1.

memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan paksa dan tanggapan alami.

mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde-1.

1.1. Contoh Rangkaian Orde-1 Rangkaian RC Seri. Salah satu contoh rangkaian orde-1 dalam keadaan peralihan adalah rangkaian RC seri seperti pada Gb.1.1. Pada awalnya saklar S pada rangkaian ini terbuka; kemudian pada saat t = 0 ia ditutup sehingga terbentuk rangkaian tertutup terdiri dari sumber vs dan hubungan seri resistor R dan kapasitor C. Jadi mulai pada t = 0 terjadilah perubahan status pada sistem tersebut dan gejala yang timbul selama terjadinya perubahan itulah yang kita sebut gejala perubahan atau gejala transien. Gejala transien ini merupakan tanggapan rangkaian seri RC ini setelah saklar ditutup, yaitu pada t > 0. Aplikasi HTK pada pada rangkaian untuk t > 0 memberikan

0 =++=++ vdtdvRCvviRv ss atau svvdt

dvRC =+ (1.1)

Persamaan (1.1) adalah persamaan rangkaian seri RC dengan menggunakan tegangan kapasitor sebagai peubah. Alternatif lain untuk memperoleh persamaan rangkaian ini adalah menggunakan arus i sebagai peubah. Tetapi dalam analisis transien, kita memilih peubah yang merupakan peubah status dalam menyatakan persamaan rangkaian. Untuk rangkaian RC ini peubah statusnya adalah tegangan kapasitor, v. Pemilihan peubah status dalam melakukan analisis transien berkaitan dengan ada tidaknya simpanan energi dalam rangkaian yang sedang

C

R A

+ v

Gb.1.1. Rangkaian RC.

B

i iC

+

+ vin

S

vs


3

dianalisis, sesaat sebelum terjadinya perubahan. Hal ini akan kita lihat pada pembahasan selanjutnya. Persamaan (1.1) merupakan persamaan diferensial orde-1 tak homogen dengan koefisien konstan. Tegangan masukan vs merupakan sinyal sembarang, yang dapat berbentuk fungsi-fungsi yang pernah kita pelajari di Bab-1. Tugas kita dalam analisis rangkaian ini adalah mencari tegangan kapasitor, v, untuk t > 0.

Rangkaian RL Seri. Contoh lain rangkaian orde-1 adalah rangkaian RL seri seperti pada Gb.1.2. Saklar S ditutup pada t = 0 sehingga terbentuk rangkaian tertutup RL seri. Aplikasi HTK pada rangkaian ini untuk t > 0 memberikan :

0==dtdiLRivvRiv sLs

atau

svRidtdiL =+ (1.2)

Persamaan (1.2) adalah persamaan rangkaian RL seri dengan arus i se-bagai peubah. Sebagaimana kita ketahui, arus merupakan peubah status untuk induktor dan kita pilih ia sebagai peubah dalam analisis rangkaian RL.

Rangkaian Orde-1 yang Lain. Persamaan rangkaian RC dan RL meru-pakan persamaan diferensial orde-1 dan oleh karena itu rangkaian itu disebut rangkaian orde-1 atau sistem orde-1. Sudah barang tentu sistem orde-1 bukan hanya rangkaian RC dan RL saja, akan tetapi setiap rangkaian yang persamaannya berupa persamaan diferensial orde-1 ada-lah rangkaian atau sistem orde-1.

L

R A

Gb.1.2. Rangkaian RL seri.

B

i iL +

vs

S



1.2. Tinjauan Umum Tanggapan Rangkaian Orde-1 Secara umum, persamaan rangkaian orde-1 berbentuk

)(txbydtdy

a =+ (1.3)

Peubah y adalah keluaran atau tanggapan dari rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian. Fungsi x(t) adalah ma-sukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan dise-but fungsi pemaksa atau fungsi penggerak. Kita mengetahui bahwa persamaan diferensial seperti (1.3) mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homo-gen. Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan (1.3) sedangkan solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persa-maan homogen

0=+ bydtdy

a (1.4)

Hal ini dapat difahami karena jika fungsi x1 memenuhi (1.3) dan fungsi x2 memenuhi (1.4), maka y = (x1+x2) akan memenuhi (1.3) sebab

( )

0

)(

11

22

11

2121

++=

+++=+++

=+

bxdtdx

a

bxdt

dxabx

dtdx

axxbdt

xxdaby

dtdy

a

Jadi y = (x1+x2) adalah solusi dari (1.3), dan kita sebut solusi total.

1.2.1. Tanggapan Alami, Tanggapan Paksa, Tanggapan Lengkap Dalam rangkaian listrik, solusi total persamaan diferensial (1.3) merupa-kan tanggapan lengkap (complete response) rangkaian, yang tidak lain adalah keluaran (tanggapan) rangkaian dalam kurun waktu setelah terjadi perubahan, atau kita katakan untuk t > 0. Tanggapan lengkap ini terdiri dua komponen yaitu tanggapan alami dan tanggapan paksa, sesuai dengan adanya solusi homogen dan solusi khusus dari (1.3). Tanggapan alami adalah solusi homogen dari persamaan homogen (1.4); disebut demikian karena ia merupakan tanggapan yang tidak ditentukan oleh fungsi pemaksa x(t) karena x(t) = 0. Komponen ini ditentukan oleh ele-


5

men rangkaian dan keadaannya sesaat setelah terjadinya perubahan atau kita katakan ditentukan oleh keadaan pada t = 0+. Tanggapan paksa ada-lah solusi khusus dari persamaan rangkaian (1.3); disebut demikian kare-na tanggapan ini merupakan tanggapan rangkaian atas adanya fungsi pemaksa x(t). Tanggapan Alami. Banyak cara untuk mencari solusi persamaan (1.4). Salah satu cara adalah memisahkan peubah dan kemudian melakukan integrasi. Di sini kita tidak menggunakan cara itu, tetapi kita akan menggunakan cara pendugaan. Persamaan (1.4) menyatakan bahwa y ditambah dengan suatu koefisien konstan kali dy/dt, sama dengan nol untuk semua nilai t. Hal ini hanya mungkin terjadi jika y dan dy/dt ber-bentuk sama. Fungsi yang turunannya mempunyai bentuk sama dengan fungsi itu sendiri adalah fungsi eksponensial. Jadi kita dapat menduga bahwa solusi dari (1.4) mempunyai bentuk eksponensial y = K1est . Jika solusi dugaan ini kita masukkan ke (1.4), kita peroleh

( ) 0 atau 0 111 =+=+ basyKebKseaK stst (1.5) Peubah y tidak mungkin bernilai nol untuk seluruh t dan K1 juga tidak boleh bernilai nol karena hal itu akan membuat y bernilai nol untuk se-luruh t. Satu-satunya cara agar persamaan (1.5) terpenuhi adalah

0=+ bas (1.6) Persamaan (1.6) ini disebut persamaan karakteristik sistem orde-1. Persamaan ini hanya mempunyai satu akar yaitu s = (b/a). Jadi tanggapan alami yang kita cari adalah

tabsta eKeKy

)/(11

== (1.7)

Nilai K1 masih harus kita tentukan melalui penerapan suatu persyaratan tertentu yang kita sebut kondisi awal yaitu kondisi pada t = 0+. Yang dimaksud dengan t = 0+ adalah sesaat setelah terjadinya perubahan keadaan; dalam kasus penutupan saklar S pada rangkaian Gb.1.1, t = 0+ adalah sesaat setelah saklar ditutup. Ada kemungkinan bahwa y telah mempunyai nilai tertentu pada t = 0+ sehingga nilai K1 haruslah sedemikian rupa sehingga nilai y pada t = 0+ tersebut dapat dipenuhi. Akan tetapi kondisi awal ini tidak dapat kita terapkan pada tanggapan alami karena tanggapan ini baru merupakan sebagian dari tanggapan rangkaian. Kondisi awal harus kita terapkan pada tanggapan lengkap dan bukan hanya untuk tanggapan alami saja. Oleh karena itu kita harus



mencari tanggapan paksa lebih dulu agar tanggapan lengkap dapat kita peroleh untuk kemudian menerapkan kondisi awal tersebut.

Tanggapan Paksa. Tanggapan paksa dari (1.3) tergantung dari bentuk fungsi pemaksa x(t). Seperti halnya dengan tanggapan alami, kita dapat melakukan pendugaan pada tanggapan paksa. Bentuk tanggapan paksa haruslah sedemikian rupa sehingga jika dimasukkan ke persamaan rangkaian (1.3) maka ruas kiri dan ruas kanan persamaan itu akan berisi bentuk fungsi yang sama. Jika tanggapan paksa kita sebut yp, maka yp dan turunannya harus mempunyai bentuk sama agar hal tersebut terpenuhi. Untuk berbagai bentuk fungsi pemaksa x(t), tanggapan paksa dugaan yp adalah sebagai berikut.

. cosinusmaupun sinus fungsi umumbentuk adalah sincos

sincos maka ,cos)( Jikasincos maka , sin)( Jika

aleksponensi maka al,eksponensi)( Jikakonstan maka konstan,)( Jika

0 maka , 0)( Jika

tKtKy

tKtKytAtx

tKtKytAtx

KeyAetx

KyAtx

ytx

sc

scp

scp

tp

t

p

p

+=

+==

+==

====

====

==

: Perhatikan

(1.8)

Tanggapan Lengkap. Jika tanggapan paksa kita sebut yp, maka tanggapan lengkap adalah

tspap eKyyyy

1+=+= (1.9)

Pada solusi lengkap inilah kita dapat menerapkan kondisi awal yang akan memberikan nilai K1.

Kondisi Awal. Peubah y adalah peubah status, bisa berupa tegangan kapasitor vC atau arus induktor iL. Kondisi awal adalah nilai y pada t = 0+. Sebagaimana telah kita pelajari di Bab-1, peubah status harus merupakan fungsi kontinyu. Jadi, sesaat sesudah dan sesaat sebelum terjadi perubahan pada t = 0, y harus bernilai sama. Dengan singkat dituliskan

)0()0(ataupun )0()0( : awal Kondisi ++ == LLCC iivv (1.10) Jika kondisi awal ini kita sebut y(0+) dan kita masukkan pada dugaan solusi lengkap (1.9) akan kita peroleh nilai K1.


7

)0()0( )0()0( 11 ++++ =+= pp yyKKyy (1.11)

Nilai y(0+) dan yp(0+) adalah tertentu (yaitu nilai pada t=0+). Jika kita sebut

0)0()0( Ayy p = ++ (1.12)

maka tanggapan lengkap menjadi ts

p eAyy

0 += (1.13)

1.3. Komponen Mantap dan Komponen Transien Tanggapan lengkap rangkaian seperti yang ditunjukkan oleh (1.13), terdiri dari dua komponen. Komponen yang pertama (ditunjukkan oleh suku pertama) kita sebut komponen mantap. Komponen yang kedua (ditunjukkan oleh suku kedua) kita sebut komponen transien atau komponen peralihan. Komponen transien ini berbentuk eksponensial dengan konstanta waktu yang besarnya ditentukan oleh parameter rangkaian, yaitu = a/b. Dengan pengertian konstanta waktu ini tanggapan rangkaian dapat kita tulis

+= /0 t

p eAyy (1.14)

Sebagaimana kita ketahui, fungsi eksponensial dapat kita anggap hanya berlangsung selama 5 kali konstanta waktunya karena pada saat itu nilainya sudah tinggal kurang dari 1% dari amplitudo awalnya. Jadi komponen transien boleh kita anggap hanya berlangsung selama 5, sedangkan komponen mantap tetap berlangsung walau komponen transien telah hilang (oleh karena itulah disebut komponen mantap). Komponen transien tidak lain adalah tanggapan alami, yang merupakan reaksi alamiah dari rangkaian terhadap adanya perubahan. Berikut ini kita akan melihat beberapa contoh analisis transien sistem orde-1.



1.4. Tanggapan Rangkaian Tanpa Fungsi Pemaksa, x(t) = 0 Persamaan rangkaian tanpa fungsi pemaksa ini berasal dari rangkaian tanpa masukan. Perubahan tegangan dan arus dalam rangkaian bisa terjadi karena ada pelepasan energi yang semula tersimpan dalam rangkaian dan tanggapan rangkaian yang akan kita peroleh hanyalah tanggapan alami saja. Walaupun demikian, dalam melakukan analisis kita akan menganggap bahwa fungsi pemaksa tetap ada, akan tetapi bernilai nol. Hal ini kita lakukan karena kondisi awal harus diterapkan pada tanggapan lengkap, sedangkan tanggapan lengkap harus terdiri dari tanggapan alami dan tanggapan paksa (walaupun mungkin bernilai nol). Kondisi awal tidak dapat diterapkan hanya pada tanggapan alami saja atau tanggapan paksa saja.

CONTOH-1.1: Saklar S pada rangkaian di samping ini telah lama berada pada posisi 1. Pada t = 0, saklar S dipindahkan ke posisi 2. Carilah tegangan kapasitor, v, untuk t > 0.

Solusi : Karena S telah lama pada posisi 1, maka kapasitor telah terisi penuh, arus kapasitor tidak lagi mengalir, dan tegangan kapasitor sama dengan tegangan sumber, yaitu 12 V; jadi v(0) = 12 V. Setelah saklar dipindahkan ke posisi 2, kita mempunyai rangkaian tanpa sumber (masukan) seperti di samping ini, yang akan memberikan persamaan rangkaian tanpa fungsi pemaksa. Aplikasi HTK pada rangkaian ini memberikan : 0=+ Riv R .

Karena dtdvCii CR == maka kita dapat menuliskan persamaan

rangkaian sebagai :

10k 0.1F

iR + v

+

12V 10k

0.1F

S 1 2

+ v


9

0=dtdvRCv atau 01 =+ v

RCdtdv

Dengan nilai elemen seperti diperlihatkan pada gambar, maka persamaan rangkaian menjadi :

01000 =+ vdtdv

Inilah persamaan rangkaian untuk t > 0. Pada rangkaian ini tidak ada fungsi pemaksa. Ini bisa dilihat dari gambar rangkaian ataupun dari persamaan rangkaian yang ruas kanannya bernilai nol.

V 12 : menjadi lengkap Tanggapan 12012 : memberikan

lengkapnggapan dugaan ta pada awal kondisi Penerapan V. 12)0()0( : awal Kondisi

0 : lengkapggapan Dugaan tan

pemaksa) fungsi ada tidak ( 0 : paksaggpan Dugaan tan : alamiggapan Dugaan tan

100001000 :tik karakteris Persamaan

100000

100000

10000

t

tstp

p

ta

ev

AA

vv

eAeAvv

v

eAv

ss

+

=

=+=

==

+=+=

=

=

==+

Pemahaman :

Rangkaian tidak mengandung fungsi pemaksa. Jadi sesungguhnya yang ada hanyalah tanggapan alami. Tanggapan paksa dinyatakan sebagai vp = 0. Kondisi awal harus diterapkan pada tanggapan lengkap aap vvvv +=+= 0 walaupun kita tahu bahwa hanya ada tanggapan alami dalam rangkaian ini.

CONTOH-1.2: Saklar S pada rangkaian berikut ini telah lama tertutup. Pada t = 0 saklar dibuka. Carilah arus dan tegangan induktor untuk t > 0.



Solusi : Saklar S telah lama tertutup, berarti keadaan mantap telah tercapai. Pada keadaan mantap ini tegangan induktor harus nol, karena sum-ber berupa sumber tegangan konstan. Jadi resistor 3 k terhubung singkat melalui induktor. Arus pada induktor dalam keadaan mantap ini (sebelum saklar dibuka) sama dengan arus yang melalui resistor 1 k yaitu mA 50

100050)0( ==i . Setelah saklar dibuka, rangkaian

tinggal induktor yang terhubung seri dengan resistor 3 k. Untuk

simpul A berlaku 03000

=+ ivA . Karena vA = vL = L di/dt, maka per-

samaan ini menjadi 06,03000

1=+

idtdi

atau

0 3000 0,6 =+ idtdi

mA 50 : menjadi lengkap Tanggapan 50 : memberikan

lengkapnggapan dugaan ta pada awal kondisi Penerapan .mA 50)0()0( : awal Kondisi

0 : lengkapnggapan Dugaan ta

pemaksa) fungsi ada(tak 0 : paksanggapan Dugaan ta : alamiggapan Dugaan tan

5000 030006,0 :tik karakteris Persamaan

50000

50000

50000

50000

t

ttp

p

ta

ei

A

ii

eAeAii

ieAi

ss

+

=

=

==

+=+=

=

=

==+

50 V 3 k

1 k

i

0.6 H

+

S

A


11

CONTOH-1.3: Tentukanlah tegangan kapasitor, v , dan arus kapasitor i untuk t > 0 pada rangkaian di samping ini jika diketahui bahwa kondisi awalnya adalah v(0+) = 10 V.

Solusi : Dalam soal ini tidak tergambar jelas mengenai terjadinya peru-bahan keadaan (penutupan saklar misalnya). Akan tetapi disebutkan bahwa kondisi awal v(0+) = 10 V. Jadi kita memahami bahwa rangkaian ini adalah rangkaian untuk keadaan pada t > 0 dengan kondisi awal sebagaimana disebutkan. Persamaan tegangan untuk simpul A adalah

0104

51

101

=+

+

iivA atau 063 =+ iv .

Karena i = C dv/dt = (1/6) dv/dt maka persamaan tersebut menjadi

03 =+ vdtdv

A 5)3(1061

: kapasitor Arus

V 10 : menjadi kapasitor) (tegangan lengkap Tanggapan 010 : memberikan awal kondisi Penerapan

V 10)0( : awal Kondisi : lengkapnggapan Dugaan ta

0 : paksanggapan Dugaan ta : alaminggapan Dugaan ta


33

30

30

30

tt

t

tp

p

ta

eedtdvCi

ev

Av

eAvv

v

eAv

ss

+

===

=

+=

=

+=

=

=

==+

+

4 i

i

+ v

A

10

5 1/6 F



CONTOH-1.4: Tentukanlah arus induktor i(t) untuk t > 0 pada rangkaian di samping ini jika diketahui bahwa i(0+) = 2 A. Solusi : Sumber tegangan tak-bebas berada di anta-ra dua simpul yang bukan simpul referensi A dan B, dan kita jadikan simpul super. Dengan mengambil i sebagai peubah sinyal, kita peroleh:

ABB

RBA

BB

vvvivv

vivi

54

25,0 5,0

05 6 021

31

: ABSuper Simpul

===

=+=

++

02 3 =+ Avi Karena vA = L di/dt = 0,5 di/dt maka persamaan di atas menjadi

0 3 =+ idtdi

A 2 : menjadi lengkap Tanggapan 02 : memberikan awal kondisiPenerapan

A 2)0( awal Kondisi0 : lengkapnggapan Dugaan ta



30

30

30

30

t

ttp

p

ta

ei

Ai

eAeAvi

ieAi

ss

+

=

+=

=

+=+=

=

=

==+

1.5. Tanggapan Terhadap Sinyal Anak Tangga Fungsi anak tangga, Au(t), adalah fungsi yang bernilai 0 untuk t < 0 dan bernilai konstan A untuk t > 0. Masukan yang berupa tegangan dengan bentuk gelombang sinyal anak tangga dapat digambarkan dengan sebuah

+

0,5 H

3

2

0,5 iR i

A

B

iR


13

sumber tegangan konstan A V seri dengan saklar S yang ditutup pada t =0 yang akan memberikan tegangan masukan vs=Au(t). Rangkaian sum-ber ini dapat juga kita nyatakan dengan sebuah sumber tegangan bebas vs=Au(t). Kedua cara ini sering digunakan dalam menyatakan persoalan-persoalan rangkaian.

Jika kita hanya meninjau keadaan untuk t > 0 saja, maka masukan sinyal anak tangga vs = Au(t) dapat kita tuliskan sebagai vs = A (konstan) tanpa menuliskan faktor u(t) lagi. CONTOH-1.5: Saklar S pada

rangkaian di samping ini telah lama pada posisi 1. Pada t = 0, S dipindahkan ke posisi 2. Tentukan v (tegangan kapasi-tor) untuk t > 0. Solusi : Saklar S telah lama pada posisi 1 dan hal ini berarti bahwa tegangan kapasitor sebelum saklar dipindahkan ke posisi 2 adalah v(0) = 0. Setelah saklar pada posisi 2, aplikasi HTK memberikan persamaan rangkaian

01012 4 =++ vi .

Karena i = iC = C dv/dt, maka persamaan tersebut menjadi 0101,01012 64 =++ v

dtdv

atau

1210 3 =+ vdtdv

ta eAv

ss

10000

33

: alaminggapan Dugaan ta

100010/10110 :tik karakteris Persamaan

=

===+

Fungsi pemaksa bernilai konstan (=12). Kita dapat menduga bahwa tanggapan paksa akan bernilai konstan juga karena turunannya akan

A V + vs

+

S

+ vs

Au(t)V

+

12V

10k + v

S

2 1

+

0,1F

i



nol sehingga kedua ruas persamaan rangkaian tersebut di atas dapat berisi suatu nilai konstan.

V 1212 : menjadi lengkap Tanggapan 12120 : memberikan awal kondisi Penerapan

. 0)0()0( : awal KondisiV 12 : lengkapnggapan Dugaan ta

12 12 0 :rangkaian persamaan ke inidugaan Masukkan : paksanggapan Dugaan ta

100000

10000

t

t

pp

p

ev

AAvv

eAv

vKv

Kv

+

=

=+=

==

+=

==+

=

Pemahaman : a). Persamaan tegangan kapasitor ini menunjuk-kan perubahan tegangan pada waktu ia diisi, se-bagaimana terlihat pada gambar di samping ini.

b). Pemasukan suatu te-gangan konstan ke suatu rangkaian dengan menutup saklar pada t = 0 sama dengan memberikan bentuk gelombang tegangan anak tang-ga pada rangkaian. Pernyataan persoalan diatas dapat dinyatakan dengan sumber sinyal anak tangga dengan tambahan keterangan bahwa vC(0) = 0.

CONTOH-1.6: Tentukanlah tegan-gan kapasitor v untuk t > 0 pada rangkaian di samping ini jika v(0) = 4 V.

Solusi : Aplikasi HTK pada rangkaian ini memberikan

)(1210010)(12 34 tuvdtdv

vitu =+=++

Jika kita hanya meninjau keadaan untuk t > 0 saja, maka fungsi anak tangga dapat kita tuliskan sebagai suatu nilai konstan tanpa menulis-kan u(t) lagi. Jadi persamaan rangkaian di atas menjadi

12u(t) V

10k + v

0,1F

i

+

v

[V] 1212e1000t

t 0

12

0 0.002 0.004


15

1210 3 =+ vdtdv

V 812 : menjadi lengkapTanggapan 8124 : memberikan awal kondisiPenerapan

V. 4)0()0( : awal Kondisi12 : lengkapnggapan Dugaan ta

12120 konstan) pemaksa (fungsi : paksanggapan Dugaan ta

:alaminggapan Dugaan ta


100000

10000

10000

10000

33

t

ttp

p

p

ta

ev

AAvv

eAeAvv

vK

KveAv

ss

+

=

=+=

==

+=+=

==+

=

=

==+

CONTOH-1.7: Semula, rangkaian berikut ini tidak mempunyai simpanan energi awal dan saklar S terbuka (tidak pada posisi 1 maupun 2). Kemudian saklar S ditutup pada posisi 1 selama beberapa milidetik sampai arus yang mengalir pada resistor 15 mencapai 2,6 A. Segera setelah nilai arus ini dicapai, saklar dipindah ke posisi 2. Carilah tegangan kapasitor mulai saat saklar pada posisi 2.

Solusi : Persoalan menutup saklar ke posisi 1 adalah persoalan pengisian kapasitor. Kita tidak membahasnya lagi, dan selain itu berapa lama saklar ada di posisi 1 juga tidak dipermasalahkan. Informasi bahwa saklar ditutup pada posisi 1 sampai arus mencapai 2,6 A menunjukkan bahwa sesaat sebelum saklar dipindahkan ke posisi 2,

iC

S 15

1/30 F

50 V 10

1 2

+ v

A

100 V

+

+



tegangan di simpul A (yang berarti pula tegangan pada kapasitor v), telah mencapai nilai tertentu yaitu

V 116,21550)0( ==v . Setelah saklar ada di posisi 2, yaitu pada t > 0, persamaan tegangan untuk simpul A adalah:

320

61

atau 015

100101

151

=+=+

+ CCA iviv

Karena iC = C dv/dt , maka persamaan di atas menjadi

320

301

61

=+dtdv

v atau

2005 =+ vdtdv

V. 2940 : menjadi lengkapTanggapan 294011 : memberikan awal kondisi Penerapan

V 11)0()0( awal Kondisi40 : lengkapnggapan Dugaan ta

4020050 : paksanggapan Dugaan ta :alaminggapan Dugaan ta


500

50

50

50

t

ttp

pp

ta

ev

A Avv

eAeAvv

vKKveAv

ss

+

=

=+=

==

+=+=

==+=

=

==+

CONTOH-1.8: Semula, rangkaian berikut ini tidak mempunyai sim-panan energi awal. Pada t = 0 saklar S ditutup di posisi 1 selama sa-tu detik kemudian dipindah ke posisi 2. Carilah tegangan kapasitor untuk t > 0.

iC

S 150

1/30 F

100 2 1

+ v

A

50 V

+


17

Solusi : Pada waktu saklar di posisi 1, persamaan tegangan simpul A adalah

0300100

301

3005

015050

1001

1501

=+

=+

+

dtdv

v

iv CA

atau 202 =+dtdv

v

[ ][ ] V )1()( 2020 : sebagai dituliskandapat atau 1 0untuk V 2020 : menjadi lengkap Tanggapan

20200awal kondisi Penerapan 0)0( : awal Kondisi

20 : lengkapnggapan Dugaan ta


5,0021 :tik karakteris Persamaan

5.01

5.01

00

1

5,00

5,001

5,00

=

1, persamaan tegangan simpul A adalah

0301

30050

1001

1501

=+

=+

+

dtdv

viv CA atau

02 =+dtdv

v



[ ][ ]

)1( 9,7 : menjadi lengkapTanggapan 9,709,7 :)1( awal kondisi Penerapan

V 7,9)1()1( : awal Kondisi)1( 0

)1( : lengkap Tanggapan 0 : paksa Tanggapan

1( : sebagai dituliskandapat atau 1untuk , 0 1untuk , : alaminggapan Dugaan ta


)1( 5,02

0101

12

)1(5,001

)1(5,00112

1

)1( 5,001

5,001

=

=+==

==

+=

+=

=

=


19

1.5.1. Prinsip Superposisi Prinsip superposisi berlaku juga pada analisis transien. Jika rangkaian mengandung beberapa fungsi pemaksa, maka tanggapan total rangkaian adalah jumlah dari tanggapan lengkap dari masing-masing fungsi pemaksa yang ditinjau secara terpisah. CONTOH-1.9: Masukan pada rangkaian contoh 1.8. dapat dinyatakan

sebagai sebuah sinyal impuls yang muncul pada t = 0 dengan ampli-tudo 50 V dan durasinya 1 detik. Carilah v untuk t > 0. Solusi : Sinyal impuls ini dapat dinyatakan dengan fungsi anak tangga se-bagai

V )1(50)(50 = tutuvs Kita dapat memandang masukan ini sebagai terdiri dari dua sumber yaitu

V )1(50 dan V )(50 21 == tuvtuv ss Rangkaian ekivalennya dapat digambarkan seperti di bawah ini.

Untuk vs1 persamaan rangkaian adalah

015050

1001

1501

=+

+ CA iv )(202 tudt

dvv =+

Tanggapan lengkap dari persamaan ini telah diperoleh pada contoh 1.8. yaitu

( ) V )( 2020 5,0o1 tuev t= Untuk vs2 dengan peninjauan hanya pada t > 1, persamaan rangkaian adalah

iC

150

1/30 F

100 + v

A

50u(t) V

+

+ 50u(t1) V



015050

1001

1501

=++

+ CA iv atau

)1(202 =+ tudtdv

v

( )

( ) ( ) V )1( 2020)( 2020

: totalTanggapan V )1( 2020

: menjadi lengkap Tanggapan 202000)1( : awal Kondisi

)1(20 : lengkapnggapan Dugaan ta200 : paksanggapan Dugaan ta)1( : alaminggapan Dugaan ta


)1( 5,0 5,0o2o1

)1( 5,0o2

0101

)1( 5,001o2

222

)1( 5,001

++=

+=

+=

=+==

+=

=+=

=

==+

+

tuetue

vvv

tuev

AAv

tueAv

KKvtueAv

ss

tt

t

t

p

ta

Hasil ini sama dengan yang telah diperoleh pada contoh-1.8.

1.6. Tanggapan Rangkaian Orde-1 Terhadap Sinyal Sinus Berikut ini kita akan melihat tanggapan rangkaian terhadap sinyal sinus. Karena tanggapan alami tidak tergantung dari bentuk fungsi pemaksa, maka pencarian tanggapan alami dari rangkaian ini sama seperti apa yang kita lihat pada contoh-contoh sebelumnya,. Jadi dalam hal ini perhatian kita lebih kita tujukan pada pencarian tanggapan paksa. Bentuk umum dari fungsi sinus yang muncul pada t = 0 adalah

)()cos( tutAy += (1.15.a) Jika kita hanya meninjau keadaan untuk t > 0 saja, maka u(t) pada (1.15.a) tidak perlu dituliskan lagi, sehingga pernyataan fungsi sinus menjadi

)cos( += tAy (1.15.b) Fungsi sinus umum ini dapat kita tuliskan sebagai berikut.


21

{ }=+= sinsincoscos)cos( ttAtAy

==+=

sindan cosdengan sincos

AAAAtAtAy

sc

sc (1.16)

Dengan pernyataan umum seperti (1.16), kita terhindar dari perhitungan sudut fasa , karena sudut fasa ini tercakup dalam koefisien Ac dan As. Dalam analisis rangkaian yang melibatkan sinyal sinus, kita akan menggunakan bentuk umum sinyal sinus seperti (1.16). Koefisien Ac dan As tidak selalu ada. Jika sudut fasa = 0 maka As = 0 dan jika = 90o maka Ac = 0. Jika kita memerlukan nilai sudut fasa dari fungsi sinus yang dinyatakan dengan persamaan umum (1.16), kita menggunakan hubungan

c

s

AA

=tan (1.17)

Turunan fungsi sinus akan berbentuk sinus juga.

tAtAdt

yd

tAtAdtdy

tAtAy

sc

scsc

=

+=+=

sincos

cossin ; sincos

222

2 (1.18)

Oleh karena itu, penjumlahan y dan turunannya akan berbentuk fungsi sinus juga dan hal inilah yang membawa kita pada persamaan (1.8). CONTOH-1.10: Carilah

tegangan dan arus kapasitor untuk t > 0 pada rangkaian di bawah ini, jika diketahui bahwa vs=50cos10t u(t) V dan v(0+) = 0. Solusi : Persamaan tegangan simpul untuk simpul A adalah

1561

01510

1151 s

Cs

Cvivviv =+=+

+

Karena iC = C dv/dt , persamaan di atas dapat kita tulis

iC

A

15

1/30 F vs 10

+ v

+



15301

61 sv

dtdv

v =+ atau tvdtdv 10cos1005 =+

Faktor u(t) tak dituliskan lagi karena kita hanya melihat keadaan pada t > 0.

ta eAv

ss

50 : alaminggapan Dugaan ta


=

==+

Fungsi pemaksa berbentuk sinus. Tanggapan paksa kita duga akan berbentuk Accost+Assint.

t

p

sccccs

cssc

scsc

scp

eAttv

ttv

AAAAAAAAAA

ttAtAtAtA

tAtAv

5010sin810cos4 : lengkapnggapan Dugaan ta

10sin810cos4 : paksa Tanggapan 8dan 4100520 2

100510dan 0510 10cos10010sin510cos510cos1010sin10 : memberikanrangkaian persamaan ke inidugaan tanggapanSubstitusi

10sin10cos : paksanggapan Dugaan ta

++=

+=

===+=

=+=+

=+++

+=

( )A 66,010cos66,210sin33,1

2010cos8010sin40301

: kapasitor Arus

V 410sin810cos4 : kapasitor tegangan Jadi

4 40 : awal kondisi Penerapan 0)0( awal Kondisi

5

5

500

t

tC

t

ett

ettdtdvCi

ettv

AAv

+

++=

++==

+=

=+=

=

CONTOH-1.11: Carilah tegangan dan arus kapasitor pada contoh-1.10. jika kondisi awalnya adalah v(0+) = 10 V. Solusi : Tanggapan lengkap telah diperoleh pada contoh-1.10.


23

( )A 10cos33,210sin33,1

3010cos8010sin40301

: kapasitor Arus

V 610sin810cos4 : Jadi

6 41010)0( awal Kondisi10sin810cos4 : lengkap Tanggapan

5

5

500

50

t

tC

t

t

ett

ettdtdvCi

ettv

AAv

eAttv

+

+=

+==

++=

=+==

++=

CONTOH-1.12: Carilah tegangan kapasitor pada contoh 1.10. jika vs = 50cos(10t + )u(t) V dan kondisi awalnya adalah v(0+) = 10 V. Solusi :

tAtAveAv

tt

tvdtdv

scp

ta

10sin10cos : paksanggapan Dugaan ta4.10.)contoh seperti (sama : alami Tanggapan

10sinsin10010coscos100

)10cos(1005 : rangkaian Persamaan

50

+=

=

=

+=+

t

t

sc

cccs

cssc

scsc

ettv

AAv

eAttv

AAAAAA

AAAAtt

tAtAtAtA

50

0

50

)sin8cos410()10sin(8)10cos(4 : Jadi)sin8cos4(10

sin8cos41010)0( awal Kondisi)10sin(8)10cos(4 : lengkap Tanggapan

cos8sin4dan sin84cos cos100520sin200dan 2sin20

cos100510dan sin10051010sinsin10010coscos100

10sin510cos510cos1010sin10 : memberikan

rangkaian persamaan ke inidugaan paksa tanggapanSubstitusi

+

++++=

+=++==

++++=

+=+==+++=

=+=+=

+++



1.7. Tanggapan Masukan Nol dan Tanggapan Status Nol Jika suatu rangkaian tidak mempunyai masukan, dan yang ada hanyalah simpanan energi dalam rangkaian, maka tanggapan rangkaian dalam peristiwa ini kita sebut tanggapan masukan nol. Bentuk tanggapan ini secara umum adalah

tabm eyy

)/(0 )0( += (1.19)

Sebagaimana kita ketahui y(0+) adalah kondisi awal, yang menyatakan adanya simpanan energi pada rangkaian pada t = 0. Jadi tanggapan masukan nol merupakan pelepasan energi yang semula tersimpan dalam rangkaian.

Jika rangkaian tidak mempunyai simpanan energi awal, atau kita katakan ber-status-nol, maka tanggapan rangkaian dalam peristiwa ini kita sebut tanggapan status nol. Bentuk tanggapan ini ditunjukkan oleh (1.13) yang kita tuliskan lagi sebagai

tabffs eyyy )/(0 )0( += (1.20)

dengan yf adalah tanggapan keadaan mantap atau keadaan final, yang telah kita sebut pula sebagai tanggapan paksa. Suku kedua adalah negatif dari nilai tanggapan mantap pada t = 0 yang menurun secara eksponensial. Ini merupakan reaksi alamiah rangkaian yang mencoba mempertahankan status-nol-nya pada saat muncul fungsi pemaksa pada t = 0. Jadi suku kedua ini tidak lain adalah tanggapan alamiah dalam status nol.

Tanggapan lengkap rangkaian seperti ditunjukkan oleh (1.12) dapat kita tuliskan kembali sebagai

tabtabffms eyeytyyyy )/( )/(00 )0( )0()( ++ +=+=

Pengertian mengenai tanggapan status nol dan tanggapan masukan nol tersebut di atas, mengingatkan kita pada prinsip superposisi. Rangkaian dapat kita pandang sebagai mengandung dua macam masukan; masukan yang pertama adalah sumber yang membangkitkan fungsi pemaksa x(t), dan masukan yang kedua adalah simpanan energi awal yang ada pada rangkaian. Dua macam masukan itu masing-masing dapat kita tinjau secara terpisah. Jika hanya ada fungsi pemaksa, kita akan mendapatkan


25

tanggapan status nol ys0 , dan jika hanya ada simpanan energi awal saja maka kita akan mendapatkan tanggapan masukan nol ym0. Tanggapan lengkap adalah jumlah dari tanggapan status nol dan tanggapan masukan nol, y = ys0 + ym0 . Sebagai contoh kita akan melihat lagi persoalan pada contoh 1.11. yang akan kita selesaikan dengan menggunakan pengertian tanggapan status nol dan tanggapan masukan nol.

CONTOH-1.13: Carilah tegangan dan arus kapasitor untuk t > 0 pada rangkaian di samping ini, jika diketahui bahwa v(0+) = 10 V dan vs=50cos10t u(t) V

Solusi : Persamaan rangkaian ini telah kita dapatkan untuk peninjauan pada t > 0, yaitu

tvdtdv 10cos1005 =+

tms

t

stffs

ff

sc

cccs

cssc

scsc

scf

tmm

m

tmm

ettvvv

ett

evvv

vttv

AAAAAA

AAAAt

tAtAtAtA

tAtAvevK

vv

eKv

ss

500

50

500

0

500

610sin810cos4 : lengkap Tanggapan

410sin810cos4

)0( : nol status Tanggapan 4)0(10sin810cos4 : mantap Tanggapan

84 100520100510

20510 10cos100

10sin510cos510cos1010sin10 10sin10cos : mantapnggapan Dugaan ta

10 10

10)0()0( : awal Kondisi : nolmasukan Tanggapan


+

+

++

++=+=

+=

=

=+=

==

=+=+

==+

=

+++

+=

==

==

=

==+

iC 15

1/30 F vs 10

+ v

+



1.8. Ringkasan Mengenai Tanggapan Rangkaian Orde-1 Tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan paksa dan tanggapan alami. Tanggapan alami merupakan komponen transien dengan konstanta waktu yang ditentukan oleh nilai-nilai elemen rangkaian. Tanggapan paksa merupakan tanggapan rangkaian terhadap fungsi pemaksa dari luar dan merupakan komponen mantap atau kondisi final.

Tanggapan rangkaian juga dapat dipandang sebgai terdiri dari tanggapan status nol dan tanggapan masukan nol. Tanggapan status nol adalah tanggapan rangkaian tanpa simpanan energi awal. Tanggapan masukan nol adalah tanggapan rangkaian tanpa masukan atau dengan kata lain tanggapan rangkaian tanpa pengaruh fungsi pemaksa.

Tanggapan Paksa : ditentukan oleh fungsi pemaksa. merupakan komponen mantap; tetap ada untuk t .

Tanggapan Alami : tidak ditentukan oleh fungsi pemaksa. merupakan komponen transien; hilang pada t . konstanta waktu = a/b

+= / 0 )( tp eAtyy

++ += / / )0( )0()( ttpp eyeytyy

Tanggapan Status Nol : tanggapan rangkaian jika tidak ada simpanan energi awal.

Tanggapan Masukan Nol : tanggapan rangkaian jika tidak ada masukan. upaya rangkaian untuk melepaskan simpanan energinya.


27

Soal-Soal

1. Carilah bentuk gelombang tegangan / arus yang memenuhi persamaan diferensial berikut.

V 5)0( , 015 b).

V 10)0( , 010 .a)

==+

==+

+

+

vvdtdv

vvdtdv

mA 5)0( , 010 d).

A 2)0( , 08 .c)

4==+

==+

+

+

iidtdi

iidtdi

V 5)0( , )(1010 f).

0)0( , )(1010 .e)

==+

==+

+

+

vtuvdtdv

vtuvdtdv

mA 20)0( , )(10010 h).

0)0( , )(10010 .g)

4

4

==+

==+

+

+

ituidtdi

ituidtdi

V 5)0( , )()5cos(1010 j).

0)0( , )()5cos(105 .i)

==+

==+

+

+

vtutvdtdv

vtutvdtdv

A 5,0)0( , )( ]100[sin 10010 l).

0)0( , )( ]100[sin 10010 .k)

4

4

==+

==+

+

+

itutidtdi

itutidtdi



2. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah lama berada pada posisi A. Pada t = 0, ia dipindahkan ke posisi B. Carilah vC untuk t > 0.

3. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah lama tertutup. Pada t = 0, ia dibuka. Carilah iL untuk t > 0.

4. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah lama tertutup. Pada t = 0, ia dibuka. Carilah vC untuk t > 0.

5. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah lama terbuka. Pada t = 0, ia ditutup. Carilah vC untuk t > 0.

0,6k 0,5k

20 V

S

2k

+ vC

0,1F

+

2k

1k

18 V

S

2k

+ vC

+

1F

2k

1k

20 V

S

2k

1H

iL +

+ vC

1k

1k

10F

20 V

+

S

A B


29

6. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah lama terbuka. Pada t = 0, ia ditutup. Carilah vo untuk t > 0.

7. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah lama terbuka. Pada t = 0, ia ditutup. Carilah vo untuk t > 0.

8. Rangkaian di bawah ini telah lama dalam keadaan mantap dengan saklar dalam keadaan terbuka. Pada t = 0 saklar S ditutup. Tentukan i dan v untuk t > 0.

9. Sebuah kumparan mempunyai induktansi 10 H dan resistansi 10 . Pada t = 0, kumparan ini diberi tegangan 100 V. Berapa lama dibu-tuhkan waktu untuk mencapai arus setengah dari nilai akhirnya ?

10. Sebuah rele mempunyai kumparan dengan induktansi 1,2 H yang resis-tansinya 18 . Jangkar rele akan terangkat jika arus di kumparannya mencapai 50 mA. Rele ini dioperasikan dari jauh melalui kabel yang resistansi totalnya 45 dan dicatu oleh batere 12 V dengan resistansi internal 1 . Hitunglah selang waktu antara saat ditutupnya rangkaian dengan saat mulai beroperasinya rele.

1

i 12

4

+ v _

2 H

5A

5

S

10k

6k

20 V

S

20k

+ vo

+

3H

3k

8k

20 V

S

2k

+ vo

0,1F

+



11. Sebuah kapasitor 20 F terhubung paralel dengan resistor R. Rangkaian ini diberi tegangan searah 500 V dan setelah cukup lama sumber tegangan dilepaskan. Tegangan kapasitor menurun mencapai 300 V dalam waktu setengah menit. Hitunglah berapa M resistor yang terparalel dengan kapasitor ?

12. Pada kabel penyalur daya, konduktor dan pelindung metalnya membentuk suatu kapasitor. Suatu kabel penyalur daya searah sepanjang 10 km mempunyai kapasitansi 2,5 F dan resistansi isolasinya 80 M. Jika kabel ini dipakai untuk menyalurkan daya searah pada tegangan 20 kV, kemudian beban dilepaskan dan tegangan sumber juga dilepaskan, berapakah masih tersisa tegangan kabel 5 menit setelah dilepaskan dari sumber ?

13. Tegangan bolak-balik sinus dengan amplitudo 400 V dan frekuensi 50 Hz, diterapkan pada sebuah kumparan yang mempunyai induktansi 0,1 H dan resistansinya 10 . Bagaimanakah persamaan arus yang melalui kumparan itu beberapa saat setelah tegangan diterapkan ? Dihitung dari saat tegangan diterapkan, berapa lamakah keadaan mantap tercapai ?


31

BAB 2 Analisis Transien Rangkaian Orde-2

Dengan mempelajari analisis transien sistem orde ke-dua kita akan mampu menurunkan persamaan rangkaian yang merupakan

rangkaian orde-2. memahami bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari tanggapan

paksa dan tanggapan alami yang mungkin berosilasi. mampu melakukan analisis transien pada rangkaian orde-2.

2.1. Contoh Rangkaian Orde-2 Rangkaian RLC Seri. Kita lihat rangkaian seri RLC seperti pada Gb.2.1. Saklar S ditutup pada t = 0. Langkah pertama dalam mencari tanggapan rangkaian ini adalah mencari persamaan rangkaian. Karena rangkaian mengandung C dan L, maka ada dua peubah status, yaitu tegangan kapasitor dan arus induktor, yang dapat kita pilih untuk digunakan dalam mencari persamaan rangkaian,. Kita akan mencoba lebih dulu menggunakan tegangan kapasitor sebagai peubah rangkaian, kemudian melihat apa yang akan kita dapatkan jika arus induktor yang kita pilih. Aplikasi HTK untuk t > 0 pada rangkaian ini memberikan :

invvdtdiLRi =++ (2.1)

Karena i = iC = C dv/dt, maka persamaan (2. 1) menjadi :

Gb.2.1. Rangkaian RLC seri.

R i C

+ v

L

vs

+

S

+

vin



invvdtdvRC

dtvdLC =++2

2 (2.2)

Persamaan (2.2) adalah persamaan diferensial orde-2, yang merupakan diskripsi lengkap rangkaian, dengan tegangan kapasitor sebagai peubah. Untuk memperoleh persamaan rangkaian dengan arus induktor i sebagai peubah, kita manfaatkan hubungan arus-tegangan kapasitor, yaitu

=== idtCvdtdvCii C

1

sehingga (2.1) menjadi: invvidtC

RidtdiL =+++ )0(

1 atau

inin i

dtdvCi

dtdiRC

dtidLC ==++2

2 (2.3)

Persamaan (2.2) dan (2.3) sama bentuknya, hanya peubah sinyalnya yang berbeda. Hal ini berarti bahwa tegangan kapasitor ataupun arus induktor sebagai peubah akan memberikan persamaan rangkaian yang setara. Kita cukup mempelajari salah satu di antaranya. Rangkaian RLC Paralel. Perhatikan rangkaian RLC paralel seperti pada Gb.2.2. Aplikasi HAK pada simpul A mem-berikan

sCLR iiii =++

Hubungan ini dapat dinyatakan dengan arus induktor iL = i sebagai peubah, dengan me-manfaatkan hubungan v =vL =L di/dt, sehingga iR = v/R dan iC = C dv/dt .

R iL = i

C

+ v

L

iR iC

Gb.2.2. Rangkaian paralel RLC

A

B

is


33

s

s

iidtdi

RL

dtid

LC

idtdvCi

Rv

=++

=++

2

2

atau

(2.4)

Persamaan rangkaian paralel RLC juga merupakan persamaan diferensial orde-2.

2.2. Tinjauan Umum Tanggapan Rangkaian Orde-2 Secara umum rangkaian orde-2 mempunyai persamaan yang berbentuk

)(22

txcydtdyb

dtyd

a =++ (2.5) Pada sistem orde satu kita telah melihat bahwa tanggapan rangkaian terdiri dari dua komponen yaitu tanggapan alami dan tanggapan paksa. Hal yang sama juga terjadi pada sistem orde-2 yang dengan mudah dapat ditunjukkan secara matematis seperti halnya pada sistem orde-1. Perbe-daan dari kedua sistem ini terletak pada kondisi awalnya. Karena rangkaian orde-2 mengandung dua elemen yang mampu menyimpan energi yaitu L dan C, maka dalam sistem ini baik arus induktor maupun tegangan kapasitor harus merupakan fungsi kontinyu. Oleh karena itu ada dua kondisi awal yang harus dipenuhi, yaitu

)0()0(dan )0()0( ++ == LLCC iivv Dalam penerapannya, kedua kondisi awal ini harus dijadikan satu, artinya vC dinyatakan dalam iL atau sebaliknya iL dinyatakan dalam vC , tergantung dari apakah peubah y pada (2.25) berupa tegangan kapasitor ataukah arus induktor.

Sebagai contoh, pada rangkaian RLC seri hubungan antara vC dan iL ada-lah

Ci

dtdv

dtdvCiii CCCL

)0()0(atau )0()0()0()0(+

+++++====

Dengan demikian jika peubah y adalah tegangan kapasitor, dua kondisi awal yang harus diterapkan, adalah:



Ci

dtdv

vv LCCC)0()0(dan )0()0(

+++

== .

Contoh lain adalah rangkaian paralel RLC; hubungan antara vC dan iL adalah

Lv

dtdi

dtdiLvv CLLLC

)0()0(atau )0()0()0(+

++++===

Dengan demikian jika peubah y adalah arus induktor, dua kondisi awal yang harus diterapkan, adalah:

Lv

dtdiii CLLL

)0()0(dan )0()0(+

++== .

Secara umum, dua kondisi awal yang harus kita terapkan pada (2.5) ada-lah

rangkaianhubungan dari dicari )0('dengan

)0(')0(dan )0()0(+

+++==

y

ydtdyyy

(2.6)

Tanggapan Alami. Tanggapan alami diperoleh dari persamaan rangkaian dengan memberikan nilai nol pada ruas kanan dari persamaan (2.5), se-hingga persamaan menjadi

022

=++ cydtdyb

dtyd

a (2.7)

Agar persamaan ini dapat dipenuhi, y dan turunannya harus mempunyai bentuk sama sehingga dapat diduga y berbentuk fungsi eksponensial ya = Kest dengan nilai K dan s yang masih harus ditentukan. Kalau solusi ini dimasukkan ke (2.7) akan diperoleh :

( ) 0atau 0

2

2

=++

=++

cbsasKe

cKebKseeaKsst

ststst

(2.8)

Fungsi est tidak boleh nol untuk semua nilai t . Kondisi K = 0 juga tidak diperkenankan karena hal itu akan berarti ya = 0 untuk seluruh t. Satu-satunya jalan agar persamaan ini dipenuhi adalah


35

02 =++ cbsas (2.9)

Persamaan ini adalah persamaan karakteristik rangkaian orde-2. Secara umum, persamaan karakteristik yang berbentuk persamaan kwadrat itu mempunyai dua akar yaitu :

a

acbbss

24

,

221

= (2.10)

Akar-akar persamaan ini mempunyai tiga kemungkinan nilai, yaitu: dua akar riil berbeda, dua akar sama, atau dua akar kompleks konjugat. Konsekuensi dari masing-masing kemungkinan nilai akar ini terhadap bentuk gelombang tanggapan rangkaian akan kita lihat lebih lanjut. Untuk sementara ini kita melihat secara umum bahwa persamaan karakteristik mempunyai dua akar.

Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai dua tanggapan alami, yaitu:

tsa

tsa eKyeKy 21 2211 dan ==

Jika ya1 merupakan solusi dan ya2 juga merupakan solusi, maka jumlah keduanya juga merupakan solusi. Jadi tanggapan alami yang kita cari akan berbentuk

tstsa eKeKy 21 21 += (2.11)

Konstanta K1 dan K2 kita cari melalui penerapan kondisi awal pada tanggapan lengkap.

Tanggapan Paksa. Tanggapan paksa kita cari dari persamaan (2.5). Tanggapan paksa ini ditentukan oleh bentuk fungsi masukan. Cara menduga bentuk tanggapan paksa sama dengan apa yang kita pelajari pada rangkaian orde-1, yaitu relasi (2.8). Untuk keperluan pembahasan di sini, tanggapan paksa kita umpamakan sebagai ypaksa= yp.

Tanggapan Lengkap. Dengan pemisalan tanggapan paksa tersebut di atas maka tanggapan lengkap (tanggapan rangkaian) menjadi

tstspap eKeKyyyy 21 21 ++=+= (2.12)



2.3. Tiga Kemungkinan Bentuk Tanggapan Sebagaimana disebutkan, akar-akar persamaan karakteristik yang bentuk umumnya adalah as2 + bs + c = 0 dapat mempunyai tiga kemungkinan nilai akar, yaitu:

a). Dua akar riil berbeda, s1 s2, jika {b2 4ac } > 0; b). Dua akar sama, s1 = s2 = s , jika {b24ac } = 0; c). Dua akar kompleks konjugat s1 , s2 = j jika {b24ac } < 0.

Tiga kemungkinan nilai akar tersebut akan memberikan tiga kemungkinan bentuk tanggapan yang akan kita lihat berikut ini, dengan contoh tanggapan rangkaian tanpa fungsi pemaksa.

Dua Akar Riil Berbeda. Kalau kondisi awal y(0+) dan dy/dt (0+) kita terapkan pada tanggapan lengkap (2.12), kita akan memperoleh dua persamaan yaitu

221121 )0()0('dan )0()0( KsKsyyKKyy pp ++=++= ++++

yang akan menentukan nilai K1 dan K2. Jika kita sebut

)0()0(dan )0()0( 00 ++++ == pp yyByyA (2.13)

maka kita peroleh 02211021 dan BKsKsAKK =+=+ dan dari sini kita memperoleh

21

0012

12

0021 dan

ss

BAsKss

BAsK

=

=

sehingga tanggapan lengkap menjadi tsts

p ess

BAse

ss

BAsyy 21

21

001

12

002

+

+= (2.14)

Berikut ini kita lihat suatu contoh. Seperti halnya pada rangkaian orde-1, pada rangkaian orde-2 ini kita juga mengartikan tanggapan rangkaian sebagai tanggapan lengkap. Hal ini didasari oleh pengertian tentang kon-disi awal, yang hanya dapat diterapkan pada tanggapan lengkap. Rangkaian-rangkaian yang hanya mempunyai tanggapan alami kita fahami sebagai rangkaian dengan tanggapan paksa yang bernilai nol.


37

CONTOH-2.1: Saklar S pada rangkaian di samping ini telah lama berada pada posisi 1. Pada t = 0 saklar dipin-dahkan ke posisi 2. Ten-tukan tegangan kapasitor , v , untuk t > 0.

Solusi : Kondisi mantap yang telah tercapai pada waktu saklar di posisi 1 membuat kapasitor bertegangan sebesar tegangan sumber, sementara induktor tidak dialiri arus. Jadi

0)0( ; V 15)0( == iv Setelah saklar di posisi 2, persamaan rangkaian adalah :

0=++ iRdtdiLv

Karena i = iC = C dv/dt , maka persamaan tersebut menjadi

0

0

2

2=++

=

+

+

vdtdvRC

dtvdLC

dtdvCR

dtdvC

dtdLv

Jika nilai-nilai elemen dimasukkan dan dikalikan dengan 4106 maka persamaan rangkaian menjadi

0104105,8 6322

=++ vdtdv

dtvd

+ v

iC

0,25 F 15 V 8,5 k

+

i

1 H S 1 2



alami).n tanggapadari terdirihanya ( V 16 : menjadi lengkap Tanggapan

115 168000500

)8000(1515

)15(0 0)0()0( )0(0)0()0( b).

15 15 V 15)0()0( a). : awal Kondisi

nol)) paksa (tanggapan 0 : lengkapnggapan Dugaan ta

berbeda). riilakar dua ( 8000 ,5004)25,4(104250, :akar -akar

0104105,8 :ik karkterist Persamaan

8000 500

1221

21

21112211

1221

80002

5001

2321

632

tt

CLL

tt

eev

KKss

sK

sKsKsKsKdtdv

dtdvCiii

KKKKvv

eKeKv

ss

ss

++++

+

=

===+

=

=

+=+=

=====

=+===

++=

==

=++

Dua Akar Riil Sama Besar. Kedua akar yang sama besar tersebut dapat kita tuliskan sebagai

0dengan ; dan 21 +== ssss (2.15) Dengan demikian maka tanggapan lengkap dapat kita tulis sebagai

tsstp

tstsp eKeKyeKeKyy

)(2121 21

+++=++= (2.16)

Kalau kondisi awal pertama y(0+) kita terapkan, kita akan memperoleh

02121 )0()0( )0()0( AyyKKKKyy pp ==+++= ++++

Jika kondisi awal kedua dy/dt (0+) kita terapkan, kita peroleh

0221

21

)0()0()( )()0()0(

ByyKsKK

sKsKyy

p

p

==++

+++=++

++

Dari kedua persamaan ini kita dapatkan


39

=

==+

sABAK

sABKBKsA

0001

002020

(2.17)

Tanggapan lengkap menjadi

stt

p

sttp

tsstp

ee

sABAy

eesABsAB

Ay

esAB

esABAyy

1)(

000

00000

)(00000

+

++=

+

+=

+

+=

+

(2.18.a)

Karena 1lim1lim 0

0t

ee tt=

=

+

maka tanggapan lengkap

(2.18.a) dapat kita tulis

[ ] stp etsABAyy )( 000 ++= (2.18.b) Tanggapan lengkap seperti dinyatakan oleh (2.18.b) merupakan bentuk khusus yang diperoleh jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar sama besar. A0 dan B0 mempunyai nilai tertentu yang ditetapkan oleh kondisi awal. Dengan demikian kita dapat menuliskan (2.18.b) sebagai

[ ] stbap etKKyy ++= (2.18.c) dengan nilai Ka yang ditentukan oleh kondisi awal, dan nilai Kb ditentukan oleh kondisi awal dan s. Nilai s sendiri ditentukan oleh nilai elemen-elemen yang membentuk rangkaian dan tidak ada kaitannya dengan kondisi awal. Dengan kata lain, jika kita mengetahui bahwa persamaan karakteristik rangkaian mempunyai akar-akar yang sama besar (akar kembar) maka bentuk tanggapan rangkaian akan seperti yang ditunjukkan oleh (2.18.c).



CONTOH-2.2: Persoalan sama dengan contoh-2.1. akan tetapi resistor 8,5 k diganti dengan 4 k.

Solusi :

( ) ( )

( )( ) V 3000015 : Jadi 30000

0)0(

memberikan lengkap

n tanggapapada 0)0( kedua awal kondisi Aplikasi

.15)0( memberikan ini lengkapn tanggapapada pertama awal kondisi Aplikasi

.0 karena , 0

:berbentuk akan lengkap tanggapan itu karenaoleh besar samaakar dua terdapatsini Di

20001041042000, :akar -akar


0104104 :adalah rangkaian Persamaan

2000

6621

62

632

2

tab

abst

bast

b

a

pst

bast

bap

etvsKK

sKKdtdv

estKKeKdtdv

dtdv

Kv

vetKKetKKvv

sss

ss

vdtdv

dtvd

+

+

+

+===

+==++=

=

==

=++=++=

===

=++

=++

Akar-Akar Kompleks Konjugat. Dua akar kompleks konjugat dapat dituliskan sebagai

=+= jsjs 21 dan Tanggapan lengkap dari situasi ini, menurut (2.32) adalah

( ) ttjtjptjtj

p

eeKeKy

eKeKyy+

+

++=

++=

2

1

)(2

)(1

(2.19)

Aplikasi kondisi awal yang pertama, y(0+), pada (2.19) memberikan ( )

021

21

)0()0( )0()0(

AyyKK

KKyy

p

p

==+

++=

++

++


41

Aplikasi kondisi awal yang kedua, )0()0( ++ = ydtdv

, pada (2.19) mem-berikan

( ) ( ) ttjtjttjtjp eeKeKeeKjeKjdt

dydtdy +++= 2121

( ) ( )( ) ( ) 02121

2121

)0()0(

)0()0()0(

ByyKKKKj

KKKjKjyydtdy

p

p

==+++++==

++

+++

Dari sini kita peroleh

( ) ( )

==++=+

jAB

KKBKKKKj

AKK

002102121

021

2/)(

;2

/)( 0002

0001

=

+=

jABAK

jABAK

Tanggapan lengkap menjadi

tp

ttjtjtjtj

p

ttjtjp

etAB

tAy

ejeeABeeAy

eejABA

ejABA

yy

++

+

++=

++

+=

+

++=

sin)(cos

2)(

2

2/)(

2/)(

000

00

0

000 000

(2.20)

A0 dan B0 mempunyai nilai tertentu yang ditetapkan oleh kondisi awal sedangkan dan ditentukan oleh nilai elemen rangkaian. Dengan demikian tanggapan lengkap (2.53) dapat kita tuliskan sebagai

( ) tbap etKtKyy ++= sincos (2.21) dengan Ka dan Kb yang masih harus ditentukan melalui penerapan kondi-si awal. Ini adalah bentuk tanggapan lengkap khusus untuk rangkaian dengan persamaan karakteristik yang mempunyai dua akar kompleks konjugat.



CONTOH-2.3: Persoalan sama dengan contoh 2.1. akan tetapi resistor 8,5 k diganti dengan 1 k.

Solusi : Dengan penggantian ini persamaan rangkaian menjadi

010410 6322

=++ vdtdv

dtvd

( )( )

( )( )

( ) V ) 15500sin(15) 15500cos(15 :adalah lengkapn tanggapaJadi

151550015500

0)0(

sincos

cossin

kedua awal kondisi Aplikasi 15)0( : memberikan pertama awal kondisi Aplikasi

sincos0

sincos

berbentukakan diduga lengkap Tanggapan 15500 ; 500dengan

:konjugat kompleksakar dua terdapatsini Di15500500

104500500, :akar -akar


500

6221

62

t

abab

tba

tba

a

tba

tbap

ettv

KKKK

dtdv

etKtK

etKtKdtdv

Kv

etKtK

etKtKvv

j

jss

dtdv

s

+

+

+=

=

=

=+==

+++=

==

++=++=

==

=

=

=++


43

Contoh 2.1, 2.2, dan 2.3 menunjukkan tiga kemungkinan bentuk tangga-pan, yang ditentukan oleh akar-akar persamaan karakteristik. a). Jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar yang berbeda, tanggapan alami akan merupakan jumlah dari dua suku yang masing-masing merupakan fungsi eksponenial. Dalam kasus seperti ini, tangga-pan rangkaian merupakan tanggapan amat teredam. b). Jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar yang sama besar, maka tanggapan alami akan merupakan jumlah dari fungsi eksponensial dan ramp teredam. Tanggapan ini merupakan tanggapan teredam kritis. c). Jika persamaan karakteristik mempunyai dua akar kompleks konju-gat, maka tanggapan alami merupakan jumlah dari fungsi-fungsi sinus teredam. Jadi tanggapan rangkaian berosilasi terlebih dulu sebelum akhirnya mencapai nol, dan disebut tanggapan kurang teredam. Bagian riil dari akar persamaan karakteristik menentukan peredaman; sedangkan bagian imajinernya menentukan frekuensi osilasi. (Gambar di bawah ini menunjukkan perubahan v pada contoh-contoh di atas.)

2.4. Tanggapan Rangkaian Orde-2 Terhadap Sinyal Anak Tangga Bentuk umum sinyal anak tangga adalah Au(t). Jika kita hanya meninjau keadaan pada t > 0, maka faktor u(t) tidak perlu dituliskan lagi.

v

[V]

sangat teredam (contoh 2.1) teredam kritis (contoh 2.2)

kurang teredam (contoh 2.3) t [s]

-10

-5

0

510

15 20

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01



CONTOH-2.4: Jika vs=10u(t) V, bagaimana-kah keluaran vo rangkaian di samping ini pada t > 0 untuk berbagai nilai ? Solusi :

Karena vo = vB maka kita mencari persamaan rangkaian dengan tegangan simpul B , yaitu vB , sebagai peubah. Persamaan tegangan simpul untuk simpul A dan B adalah

( )

dtdv

vv

vdt

dvv

viv

vvvvdtd

v

vviv

BBA

AB

BA

B

BsBAA

BsA

+=

=+=+

=+

=+

+

001010

1

0 2

0101010

110

1

626

66166

Dua persamaan diferensial orde satu ini jika digabungkan akan mem-berikan persamaan diferensial orde-2.

1022 22

==+++ sBBBBBB vvdtdv

dtvd

dtdv

dtdv

v atau

10)3(22

=++ BBB vdtdv

dtvd

10 1000 : paksanggapan Dugaan ta

: lengkapnggapan Dugaan ta2

4)3()3(,

01)3( :tik karakteris Pers.

33

s2

s1

2

1

2

21

=

=++=

++=

=

=++

Bp

Bp

ttBpB

s

v

KKv

eKeKvv

ss

ss

1M

+

1F

vB

B

A

vs

i2

i1

+ vo 1M

1F

+


45

( )

kritis. teredam s14)3( Jika teredam.kurang kompleks s,

14)3( Jika redam.sangat te s14)3( Jika

10

10 : lengkap Tanggapan

o212

o21

2o21

2

s2

s1o

s2

s1

21

21

vs

vs

vs

eKeKv

eKeKvtt

ttB

===

> 3 akan terjadi keadaan tak stabil karena akar-akar bernilai riil positif; peredaman tidak terjadi dan sinyal membesar tanpa batas.

CONTOH-2.5: Carilah vo pada contoh 2.4 jika = 2 dan tegangan awal kapasitor masing-masing adalah nol. Solusi : Persamaan rangkaian, dengan = 2, adalah

10)3(22

=++ BBB vdtdv

dtvd

atau

1022

=++ BBB v

dtdv

dtvd

( )

( ) tbaBBpBp

tbaBpB

s

etKtKv

vKKv

etKtKvv

j

jss

ss

++===++=

++=

====

=++

sincos10 : lengkap Tanggapan

101000 : paksaTanggapan sincos

: berbentuk diduga lengkap Tanggapan ) 35,0 ; 5,0 ; :konjugat kompleksakar (dua

35,05,02

411,

01 :tik karakteris Pers.

1

2



( ) ( )

tB

abab

B

tba

tba

B

aaB

BB

BB

AB

ettv

KKKKdt

dv

etKtKetKtKdt

dvKK)(v

dtdv

dtdv

viv

vvv

5.0

5

25

o

) 35,0sin(3

10) 35,0cos(1010

310

35,010)(0,5

0)0(

sincos cossin

10 1000 :memberikan

lengkapn tanggapake ini awal kondisi dua Penerapan

0)0( 00)0(100

0)0(2)0(10)0( 0)0()0(dan 0)0(

nol.n berteganga kapasitor kedua :adalah awalnya Kondisi

+

+

++

+++

+++

+=

=

=

=+==

+++==+==

==+

=+

==

2.5. Tanggapan Rangkaian Orde-2 Terhadap Sinyal Sinus Masukan sinyal sinus secara umum dapat kita nyatakan dengan x(t)

=

Acos(t+) u(t). Untuk peninjauan pada t > 0 faktor u(t) tak perlu ditulis lagi. Dengan demikian persamaan umum rangkaian orde-2 dengan ma-sukan sinyal sinus akan berbentuk

)cos(22

+=++ tAcydtdyb

dtyd

a

Persamaan karakterisik serta akar-akarnya tidak berbeda dengan apa yang telah kita bahas untuk sumber tegangan konstan, dan memberikan tanggapan alami yang berbentuk

tstsa eKeKv 21 21 +=

Untuk masukan sinus, tanggapan paksa diduga akan berbentuk

vp = Accost + Assint


47

CONTOH-2.6: Carilah v dan i untuk t > 0 pada rangkaian di samping ini jika vs = 26cos3t u(t) V sedangkan i(0) = 2 A dan v(0) = 6 V. Solusi : Aplikasi HTK untuk rangkaian ini akan memberikan

3cos2661

6505 2

2tv

dtvd

dtdv

vdtdiivs =++=+++ atau

tvdtdv

dtvd 3cos156652

2=++

( ) ( )

A 23cos53sin61

V 263sin103cos2 : lengkap Tanggapan

2 6 323012 : kedua awal kondisi Aplikasi

8 26 : pertama awal kondisi Aplikasi

12)0()0(612)0(dan 6)0( : awal Kondisi

3sin103cos2 : lengkap Tanggapan

10375

01565 ; 2

7530156

0315dan 156153 3cos1563sin61593cos6159

3sin3cos : paksanggapan Dugaan ta : lengkapggapan Dugaan tan

3 ,2, :akar -akar );3)(2(065 :tik karakteris Persamaan

32

3221

21

1221

32

21

32

21

21

2

tt

tt

tt

sc

scsc

scscsc

scp

ttp

eettdtdvi

eettv

KKKK

KKKKdtdv

dtdviv

eKeKttv

AA

AAAAttAAAtAAA

tAtAv

eKeKvv

ss

ssss

++++

+==

+++=

==

=

=++=

====

+++=

=

+

==

+=

==+

=++++

+=

++=

=

++==++

+

5 1H

F61

i

vs

+ v



CONTOH-2.7: Pada rangkaian di samping ini, vs = 10cos5t u(t) V. Ten-tukanlah tegangan kapasi-tor v untuk t > 0, jika te-gangan awal kapasitor dan arusawal induktor adalah nol. Solusi:

sB

Bs

vdtdv

vv

vv

dtdv

v

5,15,15,2

0644

161

41

:A Simpul

+=

=+

+

05,15,15,26

5,15,15,2 06

0606

)0(16

: B Simpul

=

++

+=+

=+=++

dtdv

vdtdv

v

vdtdv

vdtd

dtdv

vdt

dv

vdtvvvidtvL

v

s

sBB

BBLBB

dt

dvvv

dtdv

dtvd s

s 5,19155,105,1 22

+=++ atau

dtdv

vvdtdv

dtvd s

s +=++ 610722

Dengan tegangan masukan vs = 10cos5t maka persamaan rangkaian menjadi

-30-20-10

0102030

0 2 4 6 8 10

v [V] i [A]

t [s]

v

i

vs

4

+

B

A

vs + v

6

0,25F 1H


49

ttvdtdv

dtvd 5sin505cos601072

2=++

tt

sCL

tt

p

cs

cssc

scs

csc

scp

ttp

s

eettv

KK

KKKKdtdv

KKKKv

dtdv

dtdvvii

v

eKeKttv

ttv

AAAAAA

tAAAtAAA

tAtAv

eKeKvv

ss

ss

5221

1121

1221

52

21

52

21

21

2

383,45sin93,05cos83,1 :lengkap Tanggapan

3 83,4

)83.1(5235,5 5265,410)0(

83,1 83,10)0( : lengkapn tanggapapada ini awal kondisi kedua Aplikasi

10)0(

)0(415,2

410

4)0()0( 0)0( (2)

0)0( (1) : awal Kondisi

5sin93,05cos83,1 : lengkap Tanggapan

5sin93,05cos83,1 83,1 ; 0,93

503515dan 603515

50sin6t60cos6t6sin)103525(

6cos)103525(

5sin5cos : paksanggapan Dugaan ta : lengkapnggapan Dugaan ta

.5 , 2105,35,3,


+

+

+

++

++

+

++=

==

===

=++==

=

=====

=

+++=

+=

==

==+

=

++

++

+=

++=

==

=++



Soal-Soal 1. Carilah bentuk gelombang tegangan yang memenuhi persamaan

diferensial berikut.

V/s 5)0( V, 0)0(

, 054 c).

V/s 10)0( V, 0)0(

, 044 b).

V/s 15)0( ,0)0(

, 0107 .a)

2

2

2

2

2

2

========

====++++++++

========

====++++++++

========

====++++++++

++++++++

++++++++

++++++++

dtdv

v

vdtdv

dtvd

dtdv

v

vdtdv

dtvd

dtdv

v

vdtdv

dtvd

2. Ulangi soal 1 untuk persamaan berikut.

V/s 10)0( V, 5)0(

, )(100258 c).

V/s 10)0( V, 5)0(

, )(1002510 b).

V/s 25)0( ,5)0(

, )(1002410 .a)

2

2

2

2

2

2

========

====++++++++

========

====++++++++

========

====++++++++

++++

++++

++++

dtdv

v

tuvdtdv

dtvd

dtdv

v

tuvdtdv

dtvd

dtdv

v

tuvdtdv

dtvd


51

3. Ulangi soal 1 untuk persamaan berikut.

V/s 0)0( V, 0)0(

, )( ] 1000[cos100102 c).

V/s 0)0( V, 0)0(

, )( ] 1000[cos10096 b).

V/s 0)0( ,0)0(

, )( ] 1000[cos10086 .a)

2

2

2

2

2

2

========

====++++++++

========

====++++++++

========

====++++++++

++++++++

++++++++

++++++++

dtdv

v

tutvdtdv

dtvd

dtdv

v

tutvdtdv

dtvd

dtdv

v

tutvdtdv

dtvd

4. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah berada pada posisi A da-lam waktu yang lama. Pada t = 0, ia dipindahkan ke posisi B. Caril-ah vC untuk t > 0

5. Saklar S pada rangkaian di bawah ini telah berada di posisi A dalam waktu yang lama. Pada t = 0 , saklar dipindahkan ke posisi B. Ten-tukan iL(t) untuk t > 0.

15V 10k

2 H 2,5k

iL

0,02 F

A B

S

+

+ vc

B 6k

6k

25pF 10 V

S A 0,4H

+



6. Saklar S pada rangkaian di bawah ini telah berada di posisi A dalam waktu yang lama. Pada t = 0 , saklar dipindahkan ke posisi B. Ten-tukan iL(t) untuk t > 0.

7. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah lama terbuka. Pada t = 0, ia ditutup. Carilah vC untuk t > 0

8. Saklar S pada rangkaian di bawah ini telah berada di posisi A dalam waktu yang lama. Pada t = 0 , saklar dipindahkan ke posisi B. Ten-tukan vC untuk t > 0.

9. Tegangan masukan vs pada rangkaian di bawah ini adalah vs = 100u(t) V. Tentukan tegangan kapasitor untuk t>0.

+ vc

3k

3k

0,1F 10 V

S

0,4H +

15 V 0,4k

25k 0,01F

A B

S

+

+

15 V 10mH

+ vC

+ vC

4k

vs 50pF

+ 50mH

15 V 0,4k 25k

iL

0,01F

A B

S

+

+

15 V 10mH


53

10. Setelah terbuka dalam waktu cukup lama, saklar S pada rangkaian di bawah ini ditutup pada t = 0. Tentukan v1 dan v2 untuk t > 0.

11. Rangkaian berikut tidak mempunyai simpanan energi awal. Saklar S pada rangkaian berikut ditutup pada t = 0. Carilah i untuk t > 0.

12. Rangkaian di bawah ini tidak memiliki simpanan energi awal. Ten-tukan v untuk t > 0 jika is = [2cos2t] u(t) A dan vs = [6cos2t] u(t) V.

13. Sebuah kapasitor 1 F dimuati sampai mencapai tegangan 200 V. Muatan kapasitor ini kemudian dilepaskan melalui hubungan seri in-duktor 100 H dan resistor 20 . Berapa lama waktu diperlukan un-tuk menunrunkan jumlah muatan kapasitor hingga tinggal 10% dari jumlah muatan semula ?

+

is vs

v +

10

5H

10

0,05F

S

+ 12V

0,25F

+ v1

+

2v1 8

i

4

0,25F

+

6V

0,05F

4 12V

+

S

4

0,05F

+ v2

+ v1



14. Sebuah kumparan mempunyai induktansi 9 H dan resistansi 0,1 , dihubungkan paralel dengan kapasitor 100 F. Hubungan paralel ini diberi tegangan searah sehingga di kumparan mengalir arus sebesar 1 A. Jika sumber tegangan diputus secara tiba-tiba, berapakah tegangan maksimum yang akan timbul di kapasitor dan pada frekuensi berapa arus berosilasi ?

15. Kabel sepanjang 2 kM digunakan untuk mencatu sebuah beban pada tegangan searah 20 kV. Resistansi beban 200 dan induktansinya 1 H (seri). Kabel penyalur daya ini mempunyai resistansi total 0,2 sedangkan antara konduktor dan pelindung metalnya membentuk ka-pasitor dengan kapasitansi total 0,5 F. Bagaimanakah perubahan te-gangan beban apabila tiba-tiba sumber terputus? (Kabel dimodelkan sebagai kapasitor; resistansi konduktor kabel diabaikan terhadap re-sistansi beban).

Transformasi Laplace

55

BAB 3 Transformasi Laplace

Kita telah melihat bahwa analisis di kawasan fasor lebih sederhana dibandingkan dengan analisis di kawasan waktu karena tidak melibatkan persamaan diferensial melainkan persamaan-persamaan aljabar biasa. Akan tetapi analisis ini terbatas hanya untuk sinyal sinus dalam keadaan mantap. Berikut ini kita akan mempelajari analisis rangkaian di kawasan s, yang dapat kita terapkan pada analisis rangkaian dengan sinyal sinus maupun bukan sinus, keadaan mantap maupun keadaan peralihan.

Dalam analisis di kawasan s ini, sinyal-sinyal fungsi waktu f(t), ditrans-formasikan ke kawasan s menjadi fungsi s, F(s). Sejalan dengan itu pernyataan elemen rangkaian juga mengalami penyesuaian yang mengantarkan kita pada konsep impedansi di kawasan s. Perubahan pernyataan suatu fungsi dari kawasan t ke kawasan s dilakukan melalui Transformasi Laplace, yang secara matematis didefinisikan sebagai suatu integral

=

0)()( dtetfs stF

dengan s merupakan peubah kompleks, s = + j. Batas bawah integrasi ini adalah nol yang berarti bahwa dalam analisis rangkaian di kawasan s kita hanya meninjau sinyal-sinyal kausal. Dengan melakukan transformasi sinyal dari kawasan t ke kawasan s, karakteristik i-v elemenpun mengalami penyesuaian dan mengantarkan kita pada konsep impedansi dimana karakteristik tersebut menjadi fungsi s. Dengan sinyal dan karakteristik elemen dinyatakan di kawasan s, maka persamaan rangkaian tidak lagi berbentuk persamaan integrodiferensial melainkan berbentuk persamaan aljabar biasa sehingga penanganannya menjadi lebih mudah. Hasil yang diperoleh sudah barang tentu akan merupakan fungsi-fungsi s. Jika kita menghendaki suatu hasil di kawasan waktu, maka kita lakukan transformasi balik yaitu transformasi dari fungsi s ke fungsi t.

Di bab ini kita akan membahas mengenai transformasi Laplace, sifat transformasi Laplace, pole dan zero, transformasi balik, solusi persamaan diferensial, serta transformasi bentuk gelombang dasar.



Setelah mempelajari analisis rangkaian menggunakan transformasi La-place bagian pertama ini, kita akan

memahami transformasi Laplace beserta sifat-sifatnya; mampu melakukan transformasi berbagai bentuk gelombang

sinyal dari kawasan t ke kawasan s. mampu mencari transformasi balik dari pernyataan bentuk ge-

lombang sinyal dari kawasan s ke kawasan t.

3.1. Transformasi Laplace Melalui transformasi Laplace kita menyatakan suatu fungsi yang semula dinyatakan sebagai fungsi waktu, t, menjadi suatu fungsi s di mana s ada-lah peubah kompleks. Kita ingat bahwa kita pernah mentransformasikan fungsi sinus di kawasan waktu menjadi fasor, dengan memanfaatkan bagian nyata dari bilangan kompleks. Dengan transformasi Laplace kita mentransformasikan tidak hanya fungsi sinus akan tetapi juga fungsi-fungsi yang bukan sinus.

Transformasi Laplace dari suatu fungsi f(t) didefinisikan sebagai

=

0)()( dtetfs stF (3.1)

dengan notasi :

==

0)()()]([ dtetfstf stFL (3.2)

Dengan mengikuti langsung definisi ini, kita dapat mencari transformasi Laplace dari suatu model sinyal, atau dengan kata lain mencari pern-yataan sinyal tersebut di kawasan s. Berikut ini kita akan mengaplikasi-kannya untuk bentuk-bentuk gelombang dasar.

3.1.1. Pernyataan Sinyal Anak Tangga di Kawasan s. Pernyataan sinyal anak tangga di kawasan t adalah )()( tAutv = . Transformasi Laplace dari bentuk gelombang ini adalah

+

+===

0

)(

00 )(][ j

AedtAedtetAuAu(t)tj

ststL

Batas atas, dengan > 0, memberikan nilai 0, sedangkan batas bawah memberikan nilai A/s.


57

Jadi s

AtAu = )]([L

(3.3)

3.1.2. Pernyataan Sinyal Eksponensial di Kawasan s Transformasi Laplace bentuk gelombang eksponensial beramplitudo A, yaitu v(t) = Aeatu(t) , adalah

+ +

+===

0

)(

0)(

0)( )]([

as

AeAedtetueAtuAetas

tasst-atatL

Dengan a > 0, batas atas memberikan nilai 0 sedangkan batas bawah memberikan A/(s+a).

Jadi as

AtuAe at

+=

])([L (3.4)

3.1.3. Sinyal Sinus di Kawasan s Transformasi Laplace bentuk gelombang sinus v(t)

= (A cos t) u(t) adalah :

[ ] dtetAdtetutAtutA stst

==

00 )cos( )()cos( )( )cos(L

Dengan memanfaatkan hubungan Euler 2/)(cos tjtj ee += , ruas kanan persamaan di atas menjadi

22

)(0

)(00

22

2

+=

+=+

s

As

dteAdteAdteeeA tsjtsjsttjtj

Jadi [ ] 22)( )cos( += ssAtutAL

(3.5)

Dengan cara yang sama,

Analisis Rangkaian Listrik Jilid 2

Documents

Transcript of Analisis Rangkaian Listrik Jilid 2