ANALISIS KEMAMPUAN MEMODELKAN SISWA KELAS XI SMA...

i

ANALISIS KEMAMPUAN MEMODELKAN

SISWA KELAS XI SMA PANGUDI LUHUR YOGYAKARTA

PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA MATERI PROGRAM LINEAR

DENGAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN PEMBELAJARAN

MATEMATIKA REALISTIK (PMR)

TESIS

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Magister Pendidikan

pada Program Studi Magister Pendidikan Matematika

Disusun Oleh:

Stephani Rangga Larasati

NIM : 161442017

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii


iii


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

“God will make a way where there seems to be no way”

-Don Moen-

Dengan penuh syukur, kupersembahkan tesis ini untuk:

Tuhan Yesus Kristus atas segala berkat dan

penyertaanNya dalam hidupku

Ibuku Ignatia Dayati atas segala cinta, semangat, dan

doa yang tak henti-hentinya untukku

dan

Almamaterku tercinta,

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tesis yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan dan daftar pustaka, seperti layaknya karya ilmiah.


vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN

AKADEMIS

Yang bertandatangan di bawah ini saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma :

Nama : Stephani Rangga Larasati

Nomor Mahasiswa : 161442017

Demi perkembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

ANALISIS KEMAMPUAN MEMODELKAN

SISWA KELAS XI SMA PANGUDI LUHUR YOGYAKARTA

PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA MATERI PROGRAM LINEAR

DENGAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN PEMBELAJARAN

MATEMATIKA REALISTIK (PMR)

Dengan demikian, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata

Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,

mengolahnya dalam pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan

mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis

tanpa perlu meminta izin kepada saya maupun memberikan royalti pada saya

selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.


vii

ABSTRAK

Larasati, Stephani Rangga. 2018.Analisis Kemampuan Memodelkan Siswa

Kelas XI SMA Pangudi Luhur Yogyakarta pada Pembelajaran Matematika

Materi Program Linear dengan Menggunakan Pendekatan Pembelajaran

Matematika Realistik (PMR).

Berdasarkan hasil wawancara dengan guru dan tes yang dilakukan oleh peneliti

pada siswa kelas XII di SMA Pangudi Luhur Yogyakarta, terdapat beberapa

masalah terkait program linear, yaitu (1) siswa kesulitan dalam memodelkan

masalah matematika ke dalam fungsi kendala dan objektif, (2) siswa terlalu

terpaku dengan langkah pengerjaan yang diberikan guru, (3) siswa mengalami

keputusasaan karena masalah program linear seringkali berupa kalimat panjang

yang membuat siswa kebingungan. Penelitian ini bertujuan untuk (1)

mendeskripsikan lintasan belajar dengan menggunakan pendekatan pembelajaran

matematika realistik untuk membelajarkan materi program linear dengan

menggunakan metode garis selidik bagi siswa kelas XI IPS di SMA Pangudi

Luhur Yogyakarta, (2) mengetahui level kemampuan memodelkan siswa yang

dilihat dari tes hasil belajar setelah pembelajaran matematika realistik. Jenis

penelitian ini adalah penelitian desain. Subjek penelitian adalah 31 siswa kelas XI

IPS 1 SMA Pangudi Luhur Yogyakarta. Data penelitian berupa transkrip video

pembelajaran, transkrip wawancara, hasil kerja siswa selama pembelajaran, dan

hasil tes. Data tersebut diklasifikasi berdasarkan jawaban-jawaban yang sejenis

lalu dianalisis berdasarkan karakteristik pendekatan pembelajaran matematika

realistik dan berdasarkan indikator kemampuan memodelkan. Pada penelitian ini

dilakukan uji coba pembelajaran sebanyak 3 pertemuan dan 1 kali tes akhir dan

dilakukan penelitian pembelajaran sebanyak 3 pertemuan dan 1 kali tes

akhir.Hasil penelitian menunjukkan bahwa (1) karakteristik PMR yang muncul

pada uji coba pertemuan pertama adalah “penggunaan konteks”, “penggunaan

model”, “penggunaan kontribusi siswa”, dan “keterkaitan”, (2) karakteristik PMR

yang muncul pada uji coba pertemuan kedua adalah “penggunaan konteks”,

“penggunaan model”, “penggunaan kontribusi siswa”, dan “interaktivitas”, (3)

karakteristik PMR yang muncul pada uji coba pertemuan ketiga adalah

“penggunaan konteks”, “penggunaan kontribusi siswa”, “interaktivitas”, dan

“keterkaitan”, (4) karakteristik PMR yang muncul pada penelitian pertemuan

pertama adalah “penggunaan konteks”, “penggunaan model”, “penggunaan

kontribusi siswa”, ‘interaktivitas”, dan “keterkaitan”, (5) karakteristik yang

muncul pada penelitian pertemuan kedua adalah “penggunaan konteks”,

“interaktivitas”, “penggunaan model”, “penggunaan kontribusi siswa”, dan

“keterkaitan”, (6) karakteristik PMR yang muncul pada penelitian pertemuan

ketiga adalah “penggunaan konteks”, “penggunaan kontribusi siswa”,

“interaktivitas”, dan “keterkaitan”, (7) Dalam menyelesaikan soal tes nomor 1

pada saat uji coba, 70,96% siswa berada pada level situasional, 22,58% siswa

berada pada level referensial, dan 6,45% siswa berada pada level formal.Dalam

menyelesaikan soal tes nomor 2 pada saat uji coba, 93,59% siswa berada pada


viii

level situasional dan 6,45% siswa berada pada level formal. Dalam menyelesaikan

soal tes nomor 1 pada saat penelitian, 100% siswa berada pada level referensial.

Dalam menyelesaikan soal tes nomor 2 pada saat penelitian, 93,54% siswa berada

pada level referensial dan 6,45% siswa berada pada level formal.

Kata kunci : PMR, penelitian desain, program linear, garis selidik, kemampuan

memodelkan


ix

ABSTRACT

Larasati, Stephani Rangga (2018). The Modeling Ability Analysis

Students’ of XI Grade SMA Pangudi Luhur Yogyakarta in Topic

Linear Programming Using Realistic Mathematic Education (RME).

Based on an interview and test conducted by researcher with a XII grade

mathematic teacher and XII grade students’, there were some problems

related to linear programming in XII grade i.e. (1) students were unable to

model mathematic problems instructural constraints and objective

function, (2) students were treated to solve the problems with the steps

given by teacher, (3) students’ were unable to understand linear

programming problems due to the problems were in long sentence that

made them confused. This research aimed to (1) describe learning

trajectory by using realistic mathematic education approach to the teaching

of linear program with graphic method for the students’ of XII grade in

SMA Pangudi Luhur Yogyakarta, (2) to know the level of students’

modeling ability based on final test after they followed the teaching

learning using PMR approach. This kind of this research was design

research. The research subjects were 31 students’ grade XI of SMA

Pangudi Luhur Yogyakarta. The research data were learning video

transcription and test result. The video transcriptions were analyzed based

on the characteristics of RME. The test results were classified based on the

same answer and analyzed based on modeling ability indicator. In this

research, there were 4 meetings for the learning trajectory try out and 1

meeting for the test. Furthermore, the results of this research obtained by

doing the learning process as much as 4 meetings and 1 final test meeting.

The results of the research showed that (1) PMR characteristic that was

shown in first meeting try out learning were “using context”, “using

model”, “using students’ contributions”, and “intertwinning”, (2) PMR

characteristic that was shown in second meeting try out learning were

“using context”, “using students’ contributions”, and “interactivity”, (3)

PMR characteristic that was shown in third meeting try out learning were

“using context”, “using model”, “using students’ contributions”,

“interactivity”, and“intertwinning” (4) PMR characteristic that was shown

in first meeting research learning were “using context”, “using model”,

“using students’ contributions”, interactivity, and “intertwinning” (5)PMR

characteristic that was shown in second meeting research learning were

“using context”, “using model”, “using students’ contributions”, and

“interactivity” (6) PMR characteristic that was shown in third meeting

research learning were “using context”,“using students’ contributions”,

interactivity, and “intertwinning”, (7) in solving try out final test number

1, 70,96% students’ were in situational level, 22,58% students’ were in

referential level, and 6,45% students’ were in formal level, in solving try


x

out final test number 2, 93,59% students’ were in situational level and

6,45% students’ were in formal level, in solving research final test number

1, 100% students’ were in referential level, and in solving research final

test number 2, 93,54% students’ were in referential level and 6,45%

students’ were in formal level.

Keywords : PMR, design research, linear programming, graphic,

modeling ability


ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus karena kasih dan karuniaNya

penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Penulisan tesis ini bertujuan untuk

memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Pendidikan pada

Program Studi Magister Pendidikan Matematika.

Dalam proses penyusunan tesis ini, penulis mendapatkan banyak

pengalaman dan hambatan, namun berkat bantuan, bimbingan, dan motivasi dari

berbagai pihak, penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Oleh sebab itu, penulis

ingin mengucapkan terimakasih pada berbagai pihak yang telah membimbing dan

membantu, antara lain :

1. Bapak Dr. Hongki Julie,M.Si. selakudosen pembimbing tesis yang telah

banyak meluangkan waktu untuk membimbing penulis selama penyusunan

tesis ini.

2. Br. Herman Yoseph, FIC yang telah memberikan izin kepada penulis untuk

melakukan penelitian di SMA Pangudi Luhur Yogyakarta.

3. Ibu Zeny Ernaningsih, S.Pd. yang telah memberikan izin kepada penulis untuk

melakukan penelitian di kelas XI IPS 1 dan XI IPS 2.

4. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. selaku Ketua Program Studi Magister

Pendidikan Matematika yang telah bersedia memberikan semangat,

bimbingan, masukan, dan saran selama penulis menyelesaikan tesis ini.

5. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd, M.Si. selaku Dekan FKIP Universitas

Sanata Dharma yang telah mengesahkan penulisan tesis ini.

6. Ibu Tari, Mas Arif Kurnianto, Mas Yumar dan Pak Sugeng selaku karyawan

sekretariat JPMIPA atas pelayanan yang sangat baik selama penulis ada di

Universitas Sanata Dharma.

7. Seluruh siswa kelas XI IPS 1 dan XI IPS 2 SMA Pangudi Luhur Yogyakarta

angkatan 2017 atas dinamika selama proses pembelajaran program linear.

8. Sahabatku, Catharina Mara Apriani yang telah membantu selama proses

penelitian dan penulisan tesis.


x

9. Ibuku Ignatia Dayati, Kakakku Detta dan Catrin, serta adikku Gusti yang telah

mendukung secara moril dan materil.

10. Pakdeku Gerardus Darmadji dan Budeku A.M Tujiati atas dukungan dan kasih

sayangnya sehingga penulis dapat menempuh kuliah S1 di Universitas Sanata

Dharma.

11. Sahabatku Martina Novi Tesawanti yang selalu memberikan semangat dan

fasilitasnya selama penulis menyelesaikan tesis ini.

12. Kakak kosku, Sri Adi Susilowati atas dukungan moril dan materil selama

penulis menyelesaikan penulisan tesis ini.

13. Semua pihak yang membantu yang tanpa sengaja tidak disebutkan disini.

Penulis menyadari bahwa tesis ini belum sempurna. Oleh sebab itu,

penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun demi perbaikan tesis

ini. Selain itu, penulis berharap tesis ini dapat bermanfaat bagi perkembangan

dan kemajuan dunia pendidikan.


xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .............................................. Error! Bookmark not defined.

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .... Error! Bookmark not defined.

HALAMAN PENGESAHAN ................................ Error! Bookmark not defined.

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS .............................................................. vi

ABSTRAK ............................................................................................................ vii

ABSTRACT ............................................................. Error! Bookmark not defined.

KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix

DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi

DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv

BAB IPENDAHULUAN ........................................................................................ 1

A. Latar Belakang ............................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ...................................................................................... 13

C. Batasan Masalah......................................................................................... 13

D. Tujuan Penelitian ....................................................................................... 13

E. Batasan Istilah ............................................................................................ 14

F. Manfaat Penelitian ..................................................................................... 14

G. Kebaruan Penelitian ................................................................................... 16

BAB IILANDASAN TEORI ................................................................................ 17

A. Pembelajaran Matematika Realistik (PMR)............................................... 17

B. Teori yang Terkait dengan Pembelajaran Matematika Realistik (PMR) ... 22

C. Matematisasi .............................................................................................. 24

D. Kemampuan Memodelkan ......................................................................... 28

E. Penelitian Desain (Design Research) ......................................................... 30

F. Program Linear........................................................................................... 35


xii

G. Pembelajaran Campuran (Blended Learning) ........... Error! Bookmark not

defined.

H. Penelitian yang Relevan ............................................................................. 44

I. Kerangka Berpikir ...................................................................................... 49

BAB IIIMETODOLOGI PENELITIAN............................................................... 52

A. Jenis Penelitian ........................................................................................... 52

B. Subjek Penelitian ........................................................................................ 52

C. Tempat dan Waktu Penelitian .................................................................... 52

D. Desain Penelitian ........................................................................................ 52

E. Metode Pengumpulan Data ........................................................................ 55

F. Instrumen Penelitian................................................................................... 56

G. Teknik Analisis Data .................................................................................. 83

H. Proses Penelitian ........................................................................................ 88

BAB IVHASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ....................................... 83

A. Rancangan Lintasan Belajar pada Saat Uji Coba ....................................... 83

B. Deskripsi Hasil Pembelajaran Uji Coba ..................................................... 97

C. Deskripsi Pembelajaran Penelitian ........................................................... 144

D. Deskripsi Hasil Pekerjaan Siswa saat Uji Coba ....................................... 182

E. Deskripsi Hasil Pekerjaan Siswa saat Penelitian ..................................... 215

F. Deskripsi Hasil Pekerjaan Siswa saat Uji Coba dengan Wawancara ...... 244

G. Deskripsi Hasil Pekerjaan Siswa saat Penelitian dengan Wawancara ..... 272

H. Refleksi Pelaksanaan Penelitian ............................................................... 293

BAB VKESIMPULAN DAN SARAN ............................................................... 272

A. Kesimpulan .............................................................................................. 272

B. Saran ......................................................................................................... 275

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 275

LAMPIRAN


xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Produksi tani ......................................................................................... 38

Tabel 3.1 Garis Besar Langkah-langkah Pembelajaran ........................................ 56

Tabel 3.2 Kisi-kisi Soal Tes .................................................................................. 59

Tabel 3.3 Kisi-kisi pertanyaan wawancara ........................................................... 65


xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Lembar pekerjaan siswa 1 ................................................................... 5





Gambar 2.1 Matematisasi horizontal dan matematisasi vertikal (De Lange, 1987

hal. 45)................................................................................................................... 27

Gambar 2.2 Grafik daerah layak fungsi kendala ................................................... 40

Gambar 2.3 Grafik fungsi sasaran 𝟑𝟐𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 = 𝒌 ............................................. 41

Gambar 2.4 Relasi gradien garis dengan kecondongan garis ............................... 44

Gambar 3.1 Skema Alur Penelitian ....................................................................... 91

Gambar 4.1 Guru memberikan konteks pada siswa ............................................ 101

Gambar 4.2 Latihan soal yang ditampilkan pada slide ....................................... 101

Gambar 4.3 Lembar pekerjaan siswa 1 pada latihan 1 nomor 1 ......................... 104





Gambar 4.8 Lembar pekerjaan siswa 5 pada latihan 1 nomor 2 ........................ 114

Gambar 4.9 Guru membimbing siswa dalam memodelkan masalah .................. 115

Gambar 4.10 Siswa memodelkan masalah matematika ...................................... 116

Gambar 4.11 Contoh pekerjaan siswa pada pertemuan 2 ................................... 119

Gambar 4.12 Pekerjaan siswa pada pertemuan 2 ................................................ 120

Gambar 4.13 Siswa mengikuti kuis dengan aplikasi Kahoot! ............................ 123

Gambar 4.14 Siswa mengikuti kuis dengan aplikasi Kahoot! ............................ 123

Gambar 4.15 Contoh pekerjaan siswa saat memodelkan masalah pada pertemuan

3 ........................................................................................................................... 128


xv


3 ........................................................................................................................... 129


3 ........................................................................................................................... 130

Gambar 4.18 Contoh pekerjaan siswa saat menggambar daerah penyelesaian pada

pertemuan 3 ......................................................................................................... 132

Gambar 4.19 Contoh pekerjaan siswa saat menggambar daerah penyelesaian pada

pertemuan 3 ............................................................ Error! Bookmark not defined.

Gambar 4.20 Guru menunjukkan grafik fungsi objektif menggunakan geogebra

............................................................................................................................. 139

Gambar 4.21 Guru menjelaskan tentang daerah penyelesain fungsi kendala ..... 141

Gambar 4.22 Siswa sedang mengungkapkan pendapatnya................................. 141

Gambar 4.24 Contoh pekerjaan siswa pada latihan soal pertemuan 4 ........... Error!

Bookmark not defined.

Gambar 4.25 Contoh pekerjaan siswa pada latihan 1 soal pembelajaran penelitian

1 ........................................................................................................................... 148


1 ........................................................................................................................... 151


1 ........................................................................................................................... 152


1 ........................................................................................................................... 154

Gambar 4.29 Contoh pekerjaan siswa pada latihan 1 nomor 2 soal pembelajaran

penelitian 1 .......................................................................................................... 156


penelitian 1 .......................................................................................................... 158


penelitian 1 .......................................................................................................... 160

Gambar 4.32 Guru mengonstruksi pengetahuan siswa pada pembelajaran

penelitian pertemuan 1 ........................................................................................ 168

Gambar 4.33 Hasil Pekerjaan S1.1 ..................................................................... 182




xvi



















Gambar 4.54 Hasil Pekerjaan S10.1 ................................................................... 236



Gambar 4.57 Hasil Pekerjaan S1 ........................................................................ 245









Gambar 4.66 Hasil Pekerjaan S10 ...................................................................... 288


xvii


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kompetensi keterampilan mata pelajaran matematika pada kurikulum

2013 berdasarkan PERMENDIKNAS No. 24 Tahun 2016 bertujuan agar

siswa memiliki kemampuanmengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah

konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang

dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif,

serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan. Salah satu materi

yang dapat mengantar siswa untuk memiliki kemampuan tersebut adalah

Program Linear.

Program linear adalah suatu cara atau metode yang digunakan untuk

menyelesaikan masalah optimasi (Kasmina dkk, 2008). Dengan kata lain,

program linear merupakan suatu teknik dalam mendapatkan nilai optimum

(maksimum atau minimum) suatu fungsi objektif dengan kendala-kendala

tertentu yang diterjemahkan dalam suatu pertidaksamaan linear. Jadi kriteria

yang harus dipenuhi untuk mengoptimumkan fungsi objektif yaitu : (1)

Variabel keputusan tidak negatif (non-negative), (2) Adanya fungsi tujuan

(objective function) dari variabel keputusan dan dapatditerjemahkan dalam

fungsi linear. (3) Keterbatasan atau kendala dapat digambarkan dalam fungsi

linear.


2

Pengetahuan mengenai nilai optimum ini sangat penting dan banyak

digunakan dalam kegiatan yang berhubungan dengan matematika itu sendiri

maupun yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Dalam kehidupan

sehari-hari manusia cenderung hidup dengan berprinsipkan ekonomi, dengan

usaha sesedikit mungkin dapat memperoleh hasil sebanyak mungkin (Susanta,

1994). Banyak hal yang dicari nilai optimumnya, misalnya pendapatan yang

maksimum, ongkos yang minimum, hidup yang paling nyaman, dan

sebagainya. Oleh karena itu muncul masalah optimasi.

Pada bidang industri, program linear dapat digunakan untuk

menghitung biaya produksi, banyak karyawan yang diperlukan, atau bahan

yang diperlukan dalam produksi 1 unit barang tertentu sehingga dapat

diprediksi tingkat pengeluaran dan pendapatan yang diperoleh. Pada bidang

sosial ekonomi, program linear dapat digunakan untuk membantu peternak

menentukan banyaknya jenis pakan sapi agar sapi tersebut tetap terpenuhi

kebutuhan nutrisi minimalnya dan agar pengeluaran peternak tersebut tetap

minimum. Dari berbagai kegunaan di atas maka program linear merupakan

salah satu materi yang penting untuk dipelajari di sekolah.

Berdasarkan hasil wawancara yang dilakukan dengan guru kelas XII

SMA Pangudi Luhur Yogyakarta didapatkan bahwa dalam menyelesaikan

permasalahan program linear, siswa kesulitan dalam memodelkan situasi

dunia nyata ke dalam bahasa matematika, baik memodelkan fungsi kendala

maupun fungsi objektifnya. Selain itu siswa juga kesulitan dalam menggambar

grafik dan menentukan daerah penyelesaian. Dikatakan bahwa siswa


3

seringkali putus asa di awal pengerjaan karena soal terkait program linear

selalu panjang dan membutuhkan waktu yang lama, sehingga seringkali dalam

latihan Ujian Nasional (UN) siswa melewati soal terkait program linear.

Pembelajaran yang dilaksanakan di kelas terkait program linear

substansinya sudah dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari karena memang

permasalahan dalam program linear sangat kontekstual, namun dalam proses

pemecahan masalah terkait program linear, guru memberi contoh penyelesaian

soal dengan sistematis sehingga siswa tinggal mengikuti langkah-langkah

pengerjaan yang sudah diberikan sebelumnya dan menghapalkan langkah-

langkah tersebut. Siswa tidak menemukan penyelesaian masalahnya sendiri.

Selain itu guru juga kurang memfasilitasi siswa dalam mengungkapkan proses

berpikir dan beargumentasi. Hal ini terlihat karena guru tidak mengadakan

presentasi siswa terkait pemecahan masalah yang didapatkannya disebabkan

oleh waktu pembelajaran yang terbatas.

Peneliti mengadakan tes terkait pemecahan masalah program linear

pada 15 siswa kelas XII di SMA Pangudi Luhur yang sudah pernah mengikuti

pembelajaran mengenai program linear di kelas XI. Permasalahan yang

diangkat adalah sebagai berikut :


4

PROGRAM LINEAR

Tatan sangat senang makan steak dan keripik kentang, namun

Tatan berencana mengurangi konsumsi makannya terutama steak

dan keripik kentang. Oleh karena itu, Tatan mengunjungi ahli gizi

untuk meyakinkan dirinya bahwa makanan yang ia makan (steak dan

keripik kentang) memenuhi persyaratan gizi

Kandungan karbohidrat pada steak dan pada keripik kentang

per penyajian masing-masing adalah 5 gram dan 15 gram.

Kandungan protein pada steak dan pada keripik kentang per

penyajian masing-masing adalah 10 gram dan 5 gram. Kandungan

lemak pada steak dan pada keripik kentang per penyajian masing-

masing adalah 15 gram dan 2 gram. Tatan dapat mengonsumsi

karbohidrat lebih dari 50 gram per hari, protein lebih dari 40 gram

perhari, dan lemak kurang dari 60 gram per hari. Apabila harga

steak per sajian adalah Rp. 20000 dan harga keripik kentang per

penyajian adalah Rp. 10000, berapa banyaknya steak dan keripik

kentang yang dapat dimakan Tatan sehingga memenuhi persyaratan

kebutuhan harian dan pengeluaran Tatan menjadi minimum?


5

Berdasarkan tes yang dilaksanakan, dalam hal memodelkan sebagian

besar siswa tidak mampu untuk memodelkan fungsi kendala. Dalam

melakukan pemisalan, 13 siswa memisalkan 𝑥 sebagai steak dan 𝑦 sebagai

keripik kentang dimana seharusnya 𝑥 merepresentasikan banyaknya steak

dan 𝑦 merepresentasikan banyaknya keripik kentang. Berikut ini

merupakan salah satu contoh pekerjaan siswa yang memisalkan 𝑥 sebagai

steak dan 𝑦 sebagai keripik kentang

Gambar 1.1 Lembar pekerjaan siswa 1

Selain itu ada juga 1 siswa yang memisalkan 𝑥 sebagai karbohidrat, 𝑦

sebagai protein dan 𝑧 sebagai lemak sehingga model fungsi kendala yang

didapatkan adalah 5𝑥 + 10𝑦 + 15𝑧15𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧

tanpa tanda pertidaksamaan dan


6

selanjutnya siswa tidak dapat melanjutkan penyelesaiannya. Berikut ini

merupakan salah satu contoh pekerjaan siswa tersebut.


Selain itu terdapat siswa yang tidak tepat dalam menentukan tanda

pertidaksamaan. Berdasarkan hasil wawancara, hal ini salah satunya

disebabkan karena siswa mengira seharusnya karbohidrat dan protein tidak

boleh dikonsumsi secara tidak terbatas sehingga siswa tersebut

memutuskan untuk menggunakan tanda ≤ untuk semua fungsi kendalanya.

Berikut ini merupakan salah satu pekerjaan siswa yang kurang tepat dalam

menggunakan tanda pertidaksamaan :


7


Sedangkan alasan lain siswa kurang tepat dalam menentukan tanda

pertidaksamaan adalah karena siswa mengaku hanya mengira-ira.

Selanjutnya tidak ada satupun siswa yang menuliskan sifat kenonnegatifan

fungsi kendala 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0.

Dalam hal menggambar grafik, 13 siswa tidak mampu untuk

menggambar grafik. Hal ini selain disebabkan oleh fungsi kendala yang

kurang tepat juga karena mereka lupa bagaimana cara mencari titik potong

sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦. Ada siswa yang mampu untuk menentukan titik

potong sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦 dari fungsi kendala

5𝑥 + 15𝑦 ≥ 5010𝑥 + 5𝑦 ≥ 4015𝑥 + 2𝑦 ≤ 60

namun


8

kurang tepat dalam meletakkan titik tersebut pada Diagram Cartesius. Titik

potong sumbu 𝑥 dari persamaan garis 5𝑥 + 15𝑦 = 50 adalah (0,10

3) dan

(10,0) namun siswa tersebut menggambar titik (10,10

3) pada Diagram

Cartesius. Hal ini menunjukkan bahwa siswa tidak memahami apa yang

dimaksud dengan titik potong sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦. Berikut ini adalah

lembar pekerjaan siswa tersebut:


Terdapat 2 siswa yang mampu menentukan daerah penyelesaian grafik

pertidaksamaan linear 2 variabel namun terdapat kesalahan teknis dalam

penghitungan. Sedangkan siswa lainnya terhambat pada langkah-langkah


9

sebelumnya sehingga tidak sampai pada tahap menentukan daerah

penyelesaian. Berikut ini merupakan salah satu pekerjaan siswa yang

mampu menyelesaikan menentukan daerah penyelesaian:


Seluruh siswa tidak sampai pada tahap memodelkan fungsi objektif dan

mengoptimumkan fungsi objektif tersebut. Peneliti juga mewawancarai

beberapa siswa, ternyata dalam menyelesaikan permasalahan terkait

program linear, siswa memiliki masalah pada saat memodelkan masalah

realistik ke dalam pertidaksamaan-pertidaksamaan linear, siswa juga


10

kesulitan dalam menggambarkan grafik. Siswa mengaku jika mereka akan

menyelesaikan permasalahan terkait program linear, maka mereka harus

melihat buku catatan atau buku panduan terlebih dahulu. Hal ini

disebabkan dalam pembelajaran, siswa mengaku bahwa mereka

menghafalkan langkah penyelesaian yang diberikan guru sehingga setelah

lama meninggalkan materi program linear siswa lupa cara pengerjaan soal.

Selain itu siswa mengaku waktu yang diberikan untuk menyelesaikan

permasalahan tersebut kurang.

Keunggulan PMR sebagaimana yang dikemukakan Wijaya (2012: 20)

adalah menekankan learning by doing, sesuai dengan konsep dasar

pembelajaran matematika realistik yang diutarakan Freudental (Van Den

Heuvel-Panhuizenthe: 1998) yaitu “mathematics as a human activity”

yang artinya matematika sebagai aktivitas manusia dimana matematika

sebenarnya akrab dengan kegiatan manusia sehari-hari. Dalam

pembelajaran dengan menggunakan pendekatan matematika realistik,

siswa dapat mengkonstruksi pengetahuannya dengan menggunakan

masalah realistik dan sebagai titik awaluntukpengembangan ide dan

konsep matematika.

Salah satu prinsip dalam PMR adalah matematisasi progresif

(progressive mathematizing) yang menekankan pada proses matematisasi

atau proses pematimatikaan. Dikatakan progresif karena terdiri atas dua

langkah yang berurutan yaitu matematisasi horizontal dan matematisasi

vertikal. Matematisasi horizontal merupakan proses penalaran dari


11

masalah kontekstual yang diberikan dan berakhir pada matematika yang

formal (simbol-simbol). Hal ini senada dengan proses awal pada

penyelesaian masalah dalam materi program linear dimana siswa harus

memodelkan masalah sehari-hari ke dalam simbol-simbol matematika dan

juga saat siswa mengintepretasikan kembali penyelesaian mereka ke dalam

bahasa sehari-hari. Sedangkan matematisasi vertikal merupakan proses

penalaran dari matematika formal ke matematika yang lebih luas, atau

lebih tinggi. Dalam proses memecahkan permasalahan terkait program

linear, matematika vertikal terletak saat menggambar grafik dan saat

menentukan titik optimum dari fungsi objektif.

Penelitian yang akan dilakukan menekankan proses matematisasi

horizontal sebagai upaya dalam mengatasi hambatan-hambatan siswa

dalam menyelesaikan permasalahan terkait program linear. Sehingga

melalui pembelajaran dengan PMR siswa diharapkan dapat mengonstruksi

pengetahuan dan idenya sendiri untuk memecahkan masalah sehingga

diharapkan siswa tidak lagi menghafalkan langkah-langkah penyelesaian

namun mampu menalar sehingga siswa dapat menyelesaikan masalah

sesuai dengan konteks.

Di samping dengan pembelajaranmatematika realistik, setiap individu

siswamemerlukan cara yang berbeda untukmemahami apa yang telah

dipelajari. Penelitian pada bidang desain pendidikan telah menunjukkan

bahwa pembelajaran berbasis permainan adalah salah satu alat yang efektif

dalam pengajaran terutama untuk menjaga motivasi keberlanjutan belajar


12

(Huang dalam Fitri,dkk ; 2017). Beberapa literatur juga mengungkapkan

jika siswa yang berpartisipasi dalam pendekatan berbasis permainan

digital ini menunjukkan keinginan yang lebih besar untuk melanjutkan

proses pembelajaran mereka dibandingkan dengan pendekatan

konvensional. Permainan bersifat menyenangkan dan memotivasi. Selain

itu, penggunaan teknologi memungkinkan siswa dan guru mendapatkan

pengalaman belajar yang berbeda.

Di sisi lain, seringkali siswa hanya menggunakan komputer untuk

mengerjakan tugas tertentu (pada perangkat) sehingga pada akhirnya

minim interaktivitas antar siswa. Untuk itu, diperlukan sebuah platform

yang dapat memfasilitasisiswa dalam sebuah permainan kolaboratif seperti

platform Kahoot!. “Kahoot!” merupakan website edukatif yang diinisiasi

oleh Johan Brand, Jamie Brooker dan Morten Versvik dalam sebuah joint

project dengan Norwegian University of Technology and Science pada

Maret 2013.

Penggunaan “Kahoot!”dinilai peneliti sejalan dengan salah satu

karakteristik PMR yaitu Interaktivitas. Interaktivitas dalam PMR adalah

saat siswa saling berkomunikasi, bernegosiasi, dan berdiskusi untuk

memecahkan masalah sedangkan interaktivitas yang akan terbangun

dengan digunakannya “Kahoot!”adalah saat siswa saling bersaing secara

sehat dan menyenangkan untuk memecahkan masalah yang diberikan

guru. Selain itu penggunaan “Kahoot!” merupakan salah satu upaya untuk

memotivasi siswa dalam mengonstruksi pengetahuannya dan membuat


13

pembelajaran siswa pada materi program linear dalam pembelajaran

dengan pendekatan PMR lebih bermakna. Siswa akan berusaha untuk

dapat memecahkan masalah agar saat penilaian siswa dapat memenangkan

permainan dalam “Kahoot!.

B. Rumusan Masalah

Berikut ini adalah rumusan masalah dari permasalahan di atas :

1. Bagaimanakah lintasan belajar dengan pendekatan Pembelajaran

Matematika Realistik (PMR) untuk membelajarkan program linear 2

variabel?

2. Bagaimana kemampuan memodelkan siswa setelah mengalami

pembelajaran dengan pendekatan PMR?

C. Batasan Masalah

Berdasarkan masalah yang dipaparkan pada latar belakang serta mengingat

keterbatasan peneliti, maka penelitian ini dibatasi pada :

1. Tempat pelaksanaan penelitian yaitu di kelas XI-MIPA 3 dan XI-MIPA 2

SMA Pangudi Luhur Yogyakarta.

2. Topik yang akan diteliti adalah menyelesaikan masalah kontekstual yang

berkaitan dengan program linear 2 variabel menggunakan Hypotethical

Learning Trajectory (HLT).

D. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah, penelitian ini bertujuan untuk :


14

1. Menghasilkan lintasan belajar dengan pendekatan Pembelajaran

Matematika Realistik (PMR) untuk menyelesaikan masalah kontekstual

yang berkaitan dengan program linear 2 variabel

2. Mengetahui kemampuan memodelkan siswa setelah mengalami

pembelajaran dengan pendekatan PMR.

E. Batasan Istilah

1. Pembelajaran Matematika Realistik (PMR)

Pembelajaran Matematika Realistik (PMR) merupakan salah satu

pendekatan dalam pendidikan matematika yang memiliki karakteristik

meliputi penggunaan konteks, penggunaan model, menggunakan kontribusi

siswa, adanya interaktivitas siswa, dan pemanfaatan keterkaitan

(intertwining).

2. Kemampuan Memodelkan

Kemampuan memodelkan adalah adalah kemampuan siswa untuk

memodelkan suatu fenomena secara matematis atau membangun suatu

konsep matematika dari suatu fenomena

3. Kahoot!

Kahoot! adalah suatu pemanfaatan teknologi untuk mengelola kuis,

diskusi, dan survei yang berbentuk permainan berbasis respon siswa di

kelas yang dimainkan oleh siswa pada saat itu juga dengan menggunakan

telepon genggam, tablet, laptop, atau komputer.

F. Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :


15

1. Bagi Peneliti

a. Peneliti mendapatkan pengalaman dalam melakukan penelitian desain

dan merancang pembelajaran dengan topik Program Linear 2 Variabel.

b. Peneliti mendapatkan pengalaman mengadakan pembelajaran dengan

pendekatan PMR dikombinasikan dengan “Kahoot!”.

c. Peneliti mendapatkan pengalaman untuk menganalisis kemampuan

memodelkan dan penyelesaian siswa setelah mengalami pembelajaran

dengan pendekatan PMR dikombinasikan dengan “Kahoot!”.

2. Bagi Siswa

a. Siswa mendapatkan pengalaman belajar matematika yang lebih

bermakna dengan pembelajaran dengan pendekatan PMR.

b. Siswa mendapatkan pengalaman belajar matematika yang

menyenangkan dengan evaluasi pembelajaran menggunakan

“Kahoot!”.

3. Bagi Guru

a. Guru mendapatkan referensi desain pembelajaran matematika topik

Program Linear yang dapat mengonstruksi ide anak, yaitu dengan

pendekatan Pembelajaran Matematika Realistik.

b. Guru mengetahui kemampuan memodelkan siswa kelas XI-MIPA 2

Tahun Ajaran 2018/2019.

c. Guru mendapatkan referensi untuk merancang evaluasi pembelajaran

dengan “Kahoot!”.


16

G. Kebaruan Penelitian

Penelitian terdahulu yang telah ada dilakukan oleh Rully Amrizal pada

tahun 2016 telah mengimplementasikan pembelajaran matematika dengan

pendekatan saintifik dengan penggunaan aplikasi Quipper School pada siswa

kelas VIII di MTs Negeri Pemalang. Hasil impelementasi pembelajaran

tersebut menunjukkan peningkatan hasil belajar dan meningkatkan semangat

siswa dalam belajar. Kendala yang ditemui adalah lambatnya koneksi internet

di sekolah tersebut.

Selanjutnya penelitian serupa berjudul Pengembangan Bahan Ajar Sistem

Persamaan Linear Berwawasan Pendidikan Matematika Realistik Berorientasi

Blended Learning yang dilakukan oleh I Wayan Sumandya pada tahun 2016

di SMK Negeri 1 Bali. Penelitian ini telah berhasil mengembangkanbahan ajar

sistem persamaan linearsatu dan dua variabel berwawasanpendidikan

matematika realistik berorientasiblended learning yang berkualitas

valid,praktis, dan efektif. Karakteristikpembelajarannya menggunakanmasalah

kontekstual, menggunakan berbagaimodel, kontribusi siswa, interaktivitas,

keterkaitan, serta kombinasi pembelajaran online dan tatap muka.

Sedangkan penelitian yang akan dilakukan peneliti memiliki kebaruan

dalam hal mengkombinasikan pembelajaran dengan pendekatan PMR dengan

penilaian menggunakan aplikasi“Kahoot!” pada siswa SMA. Hal ini

disebabkan “Kahoot!” dinilai peneliti dapat memotivasi siswa dalam

pembelajaran dengan pendekatan PMR.


17

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Pembelajaran Matematika Realistik (PMR)

Pendidikan Matematika Realistik (PMR) merupakan adaptasi dari

pendekatan Realistic Mathematics Education (RME) yang dikembangkan

di Belanda oleh Hans Freudenthal sejak tahun 1970. Penggunaan kata

“realistik” berasal dari bahasa Belanda “zich realiseren” yang berarti

“untuk dibayangkan” atau “to imagine” (Van den Heuvel-Panhuizen dalam

Ariyadi Wijaya, 2012 : 20). Menurut Van den Heuvel-Panhuizen,

penggunaan kata “realistik” tidak sekedar menunjukkan bahwa

pembelajaran dengan Pendidikan Matematika Realistik terkait dengan

dunia nyata, tetapi lebih berfokus pada penggunaan suatu situasi yang dapat

dibayangkan (imagineable) oleh siswa. Pendekatan ini didasarkan pada

anggapan Hans Freudenthal (1905-1990) bahwa matematika merupakan

aktivitas insane (Hadi, 2017:9). Ini berarti bahwa siswa tidak dipandang

sebagai penerima pasif dalam pembelajaran sehingga tujuan utama dari

pendidikan matematika adalah siswa belajar menemukan matematika

sebagai suatu kegiatan. De Lange (Hadi, 2017 : 24) mengatakan bahwa

proses penemuan kembali tersebut harus dikembangkan melalui

penjelajahan berbagai persoalan ‘riil’.

Pembelajaran ini menekankan pentingnya konteks nyata atau real yang

dikenal siswa dan proses konstruksi pengetahuan matematika oleh siswa


18

sendiri. Suatu pengetahuan akan menjadi bermakna bagi siswa jika proses

pembelajaran dilaksanakan dalam suatukonteks atau pembelajaran

menggunakan permasalahan realistic (Wijaya, 2012 : 20). Masalah-masalah

realistik digunakan sebagai sumber munculnya konsep-konsep matematika

atau pengetahuan matematika formal. De Lange (Hadi, 2017 : 25)

mengatakan bahwa proses pengembangan ide dan konsep matematika yang

dimulai dari dunia nyata disebut ‘matematisasi konseptual’.

Menurut De Lange (Wijaya, 2012:42), membedakan 2 macam

matematisasi yaitu matematisasi horizontal dan matematisasi vertikal.

Matematisasi horizontal adalah dimana siswa mulai dari soal-soal

kontekstual dengan mencoba menguraikan dengan bahasa dan symbol yang

dibuat sendiri kemudian menyelesaikan soal tersebut (Hadi, 2017:26).

Siswa menyelesaikan masalah kontekstual tersebut menggunakan cara

mereka sendiri yang mungkin berbeda dengan siswa lain. Sedangkan

matematisasi vertikal adalah proses berbagai reorganisasi dan operasi

dalam sistem matematis itu sendiri (Van en Heuvel, 1996:89). Dalam

matematisasi vertikal, siswa juga memulai dari soal-soal kontekstual tetapi

dalam jangka panjang mereka dapat menyusun secara langsung tanpa

bantuan konteks (Hadi, 2017:26). Dengan kata lain menghasilkan konsep,

prinsip, atau model matematika dari matematika itu sendiri.

Dari pernyataan di atas maka dapay disimpulkan bahwa pembelajaran

matematika realistik adalah pembelajaran berdasarkan realita yang dapat

diamati, dibayangkan, dan dipahami siswa untuk mengonstruksi konsep


19

yang akan digunakan kembali untuk memecahkan permasalahan

matematika dalam kehidupan nyata.

Treffers (1987) dalam Wijaya (2012,21-23) merumuskan lima

karakteristik Pendidikan Matematika Realistik, yaitu :

a) Penggunaan konteks

Konteks atau permasalahan realistik digunakan sebagai

titik awal pembelajaran matematika. Konteks tidak harus berupa

masalah dunia nyata namun bisa dalam bentuk permainan,

penggunaan alat peraga, atau situasi lain selama hal itu bermakna

dan bisa dibayangkan dalam pikiran siswa. Melalui penggunaan

konteks, siswa dilibatkan secara aktif dalam kegiatan eksplorasi.

Hasil eksplorasi tidak hanya bertujuan untuk mendapatkan

jawaban akhir dari suatu permasalahan matematika, namun juga

berbagai strategi dan alternatif pemecahan masalah tersebut

sehingga kemampuan penalaran siswa juga dapat berkembang.

Manfaat lain dari penggunaan konteks di awal pembelajaran

adalah untuk meningkatkan motivasi dan ketertarikan siswa dalam

belajar matematika (Kaiser dalam De Lange, 1987).

b) Penggunaan model untuk matematisasi progresif

Dalam RME, model digunakan dalam melakukan

matematisasi secara progresif. Penggunaan model berfungsi

sebagai jembatan dari pengetahuan dan matematika tingkat konkrit

menuju pengetahuan matematika tingkat formal. Hal yang harus


20

dipahami dari kata “model” adalah bahwa “model” tidak merujuk

pada alat peraga. “Model” merupakan suatu alat “vertikal” dalam

matematika yang tidak bisa dilepaskan dari proses matematisasi

(yaitu matematisasi horizontal dan matematisasi vertikal) karena

model merupakan tahapan proses transisi level informal menuju

level matematika formal.

c) Pemanfaatan hasil konstruksi siswa

Mengacu pada pendapat Freudenthal bahwa matematika

tidak diberikan kepada siswa sebagai suatu produk yang siap

dipakai tetapi sebagai suatu konsep yang dibangun oleh siswa

maka dalam RME siswa ditempatkan sebagai subjek belajar.

Siswa memiliki kebebasan untuk mengembangkan strategi

pemecahan masalah sehingga diharapkan akan diperoleh strategi

yang bervariasi. Hasil kerja dan konstruksi siswa selanjutnya akan

digunakan sebagai landasan pengembangan konsep matematika.

d) Interaktivitas

Proses belajar seseorang bukan hanya suatu proses

individu melainkan juga secara bersamaan merupakan suatu

proses sosial. Proses belajar siswa akan menjadi semakin singkat

dan bermakna apabila siswa mengkomunikasikan hasil kerja dan

gagasan mereka. Pemanfaatan interaksi dalam pembelajaran

matematika bermanfaat dalam mengembangkan kemampuan

kognitif dan afektif siswa secara simultan.


21

e) Keterkaitan

Konsep-konsep dalam matematika tidak bersifat parsial,

namun banyak konsep matematika yang memiliki keterkaitan.

Oleh karena itu konsep-konsep matematika tidak dikenalkan pada

siswa secara terpisah atau terisolasi satu sama lain. RME

menempatkan prinsip keterkaitan dalam proses pembelajaran.

Melalui keterkaitan ini, satu pembelajaran matematika diharapkan

bisa mengenalkan dan membangun lebih dari satu konsep

matematika secara bersamaan (walau ada konsep yang dominan).

Sedangkan menurut De Lange (Hadi, 2017: 37-38),pengajaran

mametaika dengan pembelajaran matematika memiliki beberapa aspek,

yaitu :

1. Memulai pembelajaran dengan mengajukan masalah atau soal

yang “riil” bagi siswa sesuai dengan pengalaman dan tingkat

pengetahuannya sehingga siswa siswa dapat terlibat dalam

pembelajaran yang bermakna.

2. Permasalahan yang diberikan harus diarahkan sesuai dengan

tujuan yang ingin dicapai dalam pembelajaran tersebut.

3. Siswa mengembangkan atau menciptakan model-model simbolik

secara informal terhadap masalah yang diajukan.

4. Pengajaran berlangsung secara interaktif: siswa menjelaskan dan

memberikan alasan terhadap jawaban yang diberikannya,

memahami jawaban siswa lain, setuju atau tidak dengan jawaban


22

siswa lain, menyatakan ketidaksetujuan, mencari alternatif

penyelesaian yang lain, dan melakukan refleksi terhadap setiap

tingkah laku yang ditempuh atau terhadap hasil pengajaran.

B. Teori yang Terkait dengan Pembelajaran Matematika Realistik

(PMR)

Beberapa teori terkait dengan pembelajaran matematika realistik antara

lain adalah : teori Piaget, teori Vygotsky, teori Bruner dan teori Ausubel.

Masing-masing teori akan dijelaskan di bawah ini.

1. Teori Piaget

Teori perkembangan kognitif Piaget adalah salah satu teori

yangmenjelaskan bagaimana anak beradaptasi dengan

danmenginterpretasikan obyek dan kejadian – kejadian di sekitarnya.

Piagetmemandang bahwa anak memainkan peran aktif di dalam

menyusunpengetahuannya mengenai realitas (Suharto,2012) dalam

(Novi, 2017).Berdasarkan teori Piaget, pendekatan dalam pembelajaran

matematikarealistik sangat terkait dengan teori tersebut, karena

pembelajaranmatematika realistik memfokuskan pada proses berpikir

peserta didik,bukan sekedar memfokuskan pada hasil. Dalam

pembelajaran matematikarealistik mengutamakan peran peserta didik

berinisiatif untuk menemukansendiri jawaban dari masalah realistik

yang diberikan. Selain itu pesertadidik dituntut aktif terlibat dalam

kegiatan pembelajaran. Hal ini sesuaidengan karakteristik pembelajaran

matematika realistik yang keempat(interaktivitas).


23

2. Teori Vygotsky

Teori perkembangan sosiokultural Vygotsky menekankan

adanyapengaruh budaya terhadap perkembangan kognitif anak. Anak

akanmengembangkan kemampuan berpikirnya ke tingkat yang lebih

tinggibila ia menguasai alat dan bahasa. Salah satu alat dan bahasa

tersebutadalah matematika. Pengembangan alat dan bahasa

matematikadipengaruhi oleh latar belakang sosial budaya. Hal ini berarti

bahwaperkembangan pemikiran matematika anak juga dipengaruhi

olehinteraksi sosial dalam konteks budaya dimana ia dibesarkan.

3. Teori Bruner

Teori belajar kognitif lebih mementingkan proses belajar daripada

hasilbelajar. Dalam teori belajarnya Jerome S.Bruner berpendapat

bahwakegiatan belajar akan berjalan baik dan kreatif jika siswa

dapatmenemukan sendiri suatu aturan atau kesimpulan tertentu.

Brunerberpendapat bahwa dalam proses belajar dapat dibedakan

menjadi 3 tahapyaitu :

a) Tahap informasi, bahwa dalam tiap pelajaran kita memperoleh

sejumlah informasi, ada yang menambah pengetahuan yang

telah kita miliki, ada yang memperhalus dan memperdalamnya,

adapula informasi itu yang bertentangan dengan apa yang telah

kita ketahuisebelumnya.

b) Tahap transformasi, kita menganalisa berbagai informasi yang

kita pelajari itu


24

dan mengubah atau mentransformasikannya ke dalambentuk

informasi yang lebih abstrak atau konseptual agar

dapatdigunakan untuk hal yang lebih luas.

c) Tahap evaluasi, kita menilai hingga manakah pengetahuan

yang kita peroleh

dan transformasikan itu dapat digunakan untuk

memahamigejala – gejala lain atau memecahkan permasalahan

yang kita hadapi.

4. Teori Ausubel

Psikologi pendidikan yang diterapkan oleh Ausubel adalah bekerja

untukmencari hukum belajar yang bermakna. Pengertian belajar

bermaknamenurut Ausubel ada dua jenis belajar yaitu : belajar

bermakna(meaningfull learning ) dan belajar menghafal (rote learning).

Belajarbermakna adalah suatu proses belajar dimana informasi

barudihubungkan dengan struktur pengertian yang sudah dipunyai

seseorangyang sedang belajar. Sedangkan belajar menghafal adalah siswa

berusahamenerima dan menguasai bahan yang diberikan oleh guru atau

yangdibaca tanpa makna.

C. Matematisasi

Menurut Freudenthal (1973) (dalam Ariyadi Wijaya, 2012),

matematika adalah aktivitas manusia. Itu berarti bahwa ide-ide matematika

ditemukan siswa melalui sinergi antara aktivitas mental (fungsi otak,

abstrak) dan aktivitas fisik (jasmani, konkret, atau riil). Freudenthal


25

memandang bahwa matematika berkaitan erat dengan dunia nyata dan

matematisasi (pematimatikaan) sebagai strategi untuk membuat sesuatu

lebih matematis.

Berkaitan dengan pandangan Freudenthal tentang matematisasi, De

Lange (1987) mendefinisikan matematisasi sebagai pengorganisasian

kegiatan dalam menemukan keteraturan (regularities), hubungan

(relations), dan struktur (structures) dengan menggunakan kemampuan

dan keterampilan awal. Secara umum, matematisasi dalam Pendidikan

Matematika Realistik melibatkan 2 proses utama yaitu generalisasi

(generalizing) dan formalisasi (formalizing). Generalisasi berkaitan

dengan pencarian pola dan hubungan sedangkan formalisasi melibatkan

pemodelan, simbolisasi, dan skematisasi, dan pendefinisian.

De Lange membagi matematisasi menjadi 2, yaitu matematisasi

horizontal dan matematisasi vertikal. Matematisasi horizontal berkaitan

dengan proses generalisasi. Proses matematisasi horizontal diawali dengan

pengidentifikasian konsep matematika berdasarkan keteraturan

(regularities) dan hubungan (relations) yang ditemukan melalui visualisasi

dan skematisasi. Proses matematisasi horizontal dapat dicapai melalui

kegiatan-kegiatan berikut:

1) Identifikasi matematika dalam suatu konteks umum

2) Skematisasi

3) Formulasi dan visualisasi masalah dalam berbagai cara

4) Pencarian keteraturan dan hubungan


26

5) Transfer masalah nyata ke dalam model matematika

Matematisasi vertikal merupakan bentuk formalisasi di mana model

matematika yang diperoleh pada matematisasi horizontal menjadi landasan

dalam pengembangan konsep matematika yang lebih formal melalui

proses matematisasi vertikal. Proses matematisasi vertikal terjadi melalui

serangkaian kegiatan sekaligus tahapan berikut:

1) Representasi suatu relasi ke dalam suatu rumus atau aturan

2) Pembuktian keteraturan

3) Penyesuaian dan pengembangan model matematika

4) Penggunaan model matematika yang bervariasi

5) Pengombinasian dan pengintegrasian model matematika

6) Perumusan suatu konsep matematika lain

7) Generalisasi

Proses matematisasi horizontal dan vertikal tidak bisa langsung

dipisahkan menjadi 2 bagian besar secara berurutan, yaitu proses

matematisasi vertikal berlangsung setelah proses matematisasi horizontal

berlangsung secara utuh, namun kedua proses matematisasi tersebut dapat

terbentuk seperti anak tangga yang seringkali keduanya terjadi bergantian

secara bertahap seperti dapat dilihat pada gambar 2.1.


27

Gambar 2.1 Matematisasi horizontal dan matematisasi vertikal

(De Lange, 1987 hal. 45)

Ariyadi Wijaya (2012:45) menyatakan bahwa secara umum proses

awal dari matematisasi adalah penerjemahan masalah dunia nyata ke

dalam masalah matematika. Proses tersebut mencakup kegiatan sebagai

berikut:

1) Mengidentifikasi konsep matematika yang relevan dengan

masalah dunia nyata;

2) Merepresentasikan masalah dengan berbagai cara yang berbeda,

termasuk mengorganisasi masalah sesuai dengan konsep

matematika yang relevan, serta merumuskan asumsi yang tepat;

3) Mencari hubungan antara “bahasa” masalah dengan symbol dan

“bahasa” formal matematika supaya masalah nyata dapat dipahami

secara matematis;

4) Mencari keteraturan, hubungan, dan pola yang berkaitan dengan

masalah;


28

5) Menerjemahkan masalah ke dalam bentuk matematika yaitu dalam

bentuk model matematika (De Lange, 1987)

Setelah siswa berhasil menerjemahkan masalah dunia nyata ke dalam

bentuk matematika, proses selanjutnya terjadi di dalam dunia matematika

di mana siswa bisa menggunakan konsep dan keterampilan matematika

yang sudah mereka kuasai. Pada tahap ini, siswa melakukan serangkaian

tahapan sebagai berikut:

1) Menggunakan berbagai representasi matematis yang berbeda;

2) Menggunakan simbol “bahasa” dan proses matematika formal;

3) Melakukan penyesuaian dan pengembangan model matematika,

mengombinasikan dan menggabungkan berbagai model;

4) Argumentasi matematis;

5) Generalisasi.

Tahap terakhir yang dilakukan adalah melakukan refleksi proses dan

hasil matematisasi. Pada tahap ini, siswa melakukan intepretasi dan

validasi hasil yang meliputi proses:

1) Memahami perluasan dan keterbatasan konsep matematika dalam

relevansinya terhadap masalah dunia nyata;

2) Merefleksi argument matematis serta menjelaskan hasil;

3) Mengomunikasikan proses dan hasil.

D. Kemampuan Memodelkan

Kemampuan memodelkan dalam Pendidikan Matematika Realistik

adalah kemampuan siswa untuk memodelkan suatu fenomena secara


29

matematis atau membangun suatu konsep matematika dari suatu fenomena

(Ariyadi Wijaya, 2012:42) Kata “model” di sini tidak berarti alat peraga,

melainkan sebagai suatu bentuk representasi matematis dari suatu masalah

(Maaß, 2010) dalam Ariyadi Wijaya (2012:46). Oleh karena itu kata

model dan pemodelan tidak dapat dilepaskan dari proses matematisasi.

Penggnaan model atau pemodelan juga merupakan salah satu aspek yang

diperhatikan dalam Pendidikan Matematika Realistik. Karakteristik PMR

yang kedua menempatkan penggunaan model untuk matematisasi

progresif sebagai hal yang penting dalam penemuan dan pembangunan

konsep matematika oleh siswa. Gravemeijer (1994) dalam Ariyadi Wijaya

(2012:47) menyebutkan 4 level atau tingkatan dalam pengembangan

model, yaitu:

1) Level situasional

Level situasional merupakan level paling dasar dari pemodelan di

mana pengetahuan dari model masih berkembang dalam konteks

situasi masalah yang digunakan.

2) Level referensial

Pada level ini model dan strategi yang dikembangkan tidak berada

di dalam konteks situasi, melainkan sudah merujuk pada konteks.

Pada level ini, siswa membuat model untuk menggambarkan

situasi konteks sehingga hasil pemodelan pada level ini disebut

sebagai “model dari” (model of) situasi.

3) Level general


30

Pada level general, model yang dikembangkan siswa sudah

mengarah pada pencarian solusi secara matematis. Model pada

level ini disebut “model untuk” (model for) penyelesaian masalah.

4) Level formal

Pada level formal, siswa sudah bekerja dengan menggunakan

simbol dan representasi matematis. Tahap formal merupakan tahap

perumusan dan penegasan konsep matematika yang dibangun oleh

siswa.

E. Penelitian Desain (Design Research)

1. Pengertian dan Karakteristik Penelitian Desain

Terdapat beberapa pendapat ahli mengenai pengertian penelitian

desain, antara lain :

a) Plomp dan Nieveen (2007:9)dalam Rahma Siska,dkk.

Design research adalah suatu kajian sistematis tentang

merancang, mengembangkan dan mengevaluasi intervensi

pendidikan (seperti program, strategi, dan bahan pembelajaran,

produk dan sistem) sebagai solusi untuk memecahkan masalah

yang kompleks dalam praktik pendidikan, yang juga bertujuan

untuk memajukan pengetahuan kita tentang karakteristik dari

intervensi-intervensi tersebut serta proses perancang dan

pengembangannya.

b) Van den Akker, et al. (2006:3) dalam Rahma Siska,dkk.


31

Design research adalah studi sistematis

merancang,mengembangkan, dan mengevaluasi program-

program pendidikan, proses, dan produk.

c) Barah dan Squire (2004, vanden Akker, et al., 2006:5)dalam

Rahma Siska,dkk.

Design research adalah serangkaian pendekatan dengan

maksud menghasilkan teori-teori baru, artefak, dan model

praktis yang menjelaskan dan berpotensi berdampak pada

pembelajaran dengan pengaturan yang alami (naturalistic).

Jadi, penelitian desain adalah sebuah kajian sistematis tentang

merancang, mengembangkan, dan mengevaluasi program-program

pendidikan, proses, dan produk pendidikan yang bertujuan untuk

menginvestigasi kemungkinan dalam peningkatan pendidikan

dengan membawa dan mempelajari pola baru pada pembelajaran.

Van de Akker, et al. (2006:5) dalam Rahma Siska,dkk.

menjelaskan karakteristik design research sebagai berikut:

a. Interventionist, penelitian bertujuan untuk merancang suatu

intervensi atau investasi dalam dunia nyata.

b. Iterative, penelitian menggabungkan pendekatan siklikal (daur)

yang meliputi perancangan, evaluasi, dan revisi.

c. Process oriented, model kotak hitam pada pengukuran input-

output dihindari, fokusnya pada pemahaman dan meningkatkan

model intervensi.


32

d. Utility oriented, keunggulan dan rancangan diukur untuk bisa

digunakan secara praktis oleh pengguna dalam konteks nyata.

e. Theory oriented, rancangan dibangun didasarkan pada preposisi

teoritis kemudian dilakukan pengujian lapangan untuk

memberikan kontribusi pada teori yang dibuat.

2. Tujuan Penelitian Desain

Gravemeijer dan Van Erde (2009:511) dalam Rahma Siska,dkk.

menyatakan bahwa tujuan umum dari design research untuk

menginvestigasi kemungkinan dalam peningkatan pendidikan dengan

membawa dan mempelajari pola baru pada pembelajaran. Selanjutnya

Gravemeijer dan Van Erde juga menyatakan bahwa design researh

bertujuan untuk menginvestigasi bagian instruksional khusus secara

esensial untuk mencapai pembelajaran yang diharapkan, dengan

memperhatikan kebiasaan yang ada di kelas, peran guru, peran simbol

atau peran bahasa matematika.

Gravemeijer & Van Erde (Prahmana, 2017 : 13) menyatakan

bahwa design research merupakan suatu metode penelitian yang

bertujuan mengembangkan Local Instruction Theory (LIT) dengan

kerja sama antara peneliti dan tenaga pendidik untuk meningkatkan

kualitas pembelajaran. Menurut Prahmana (2017:15) terdapat 2 aspek

penting berkaitan dengan design research, yaitu hypothetical learning

trajectory (HLT) dan local instruction theory (LIT). HLT merupakan

suatu hipotesis atau prediksi bagaimana pemikiran dan pemahaman


33

siswa berkembang dalam suatu aktivitas pembelajaran (Prahmana,

2017:11). Secara garis besar LIT merupakan produk akhir dari HLT

yang telah dirancang, diimplementasikan, dan dianalisis hasil

pembelajarannya (Prahmana, 2017 : 21).

3. Tahapan Penelitian Desain

Lidinillah (2012) dalam Rahma Siska,dkk., menyatakan ada beberapa

model langkah-langkah pelaksanaan design research, diantaranya:

a. Model Greivemeijer dan Cobb (2006:19-37).

Pada model Gravemeijer dan Cobb (2006:19-37) Ada tiga tahap

dalam designresearch:

1) Preparing for the experiment/preparation and design phase.

Tujuan utama dari tahap awal (Preliminary Phase) pada

eksperimen design research adalah memformulasikan teori

pembelajaran lokal yang dielaborasikan dan diperbaiki selama

selama pelaksanaan eksperimen. Beberapa hal yang dilakukan

pada tahap elaborasi ini antara lain:

a) Dimulai dengan mengklarifikasi tentang tujuan

pembelajaran dan titik awal pembelajaran.

b) Mendiskusikan konjektur dari teori pembelajaran local

yang akan dikembangkan. Teori pembelajaran local ini

mencakup kegiatann pembelajaran, dan konjektur

pembelajaran untuk mengetahui bagaimana cara berpikir

dan pemahaman siswa pada saat proses pembelajaran.


34

c) Menutup pembelajaran dengan mengelaborasikan

kesimpulan dari eksperimen tersebut.

2) The design experiment

Tahap berikutnya merupakan tahap pelaksanaan

desaineksperimen yang dilakukan setelah semua persiapan

dilakukan. Tahap inibukan untuk menguji apakah rancangan

dan local instructional theorybekerja atau tidak, tetapi

sekaligus menguji dan mengembangkan local instructional

theory yang telah dikembangkan serta memahami

bagaimanateori itu bekerja selama eksperimen berlangsung.

Desain eksperimendilakukan dalam bentuk kegiatan siklikal,

misalnya dalam beberapa kalipembelajaran. Pada tahap ini

dikumpulkan data yang diperlukan meliputiproses

pembelajaran yang terjadi di kelas serta proses berpikir siswa

baikdari perspektif sosial yang mencakup norma sosial kelas,

sosio-matematikdan praktik matematik di kelas maupun

perspektif psikologi mencakuppandangan (beliefs) tentang

peran sendiri di kelas serta tentang aktivitasmatematika;

pendangan dan nilai matematik secara khusus; serta

konsepsidan aktivitas matematika. Pada tahap ini dimulai

dengan mendiskusikantentang desain eksperimen

menggunakan siklusintegrasi dari desain dan analisis yang


35

merupakan kunci untuk prosespengujian, perbaikan, dan

pemahaman dan dilanjutkan dengan generalisasidata.

3) Restrospective analysis

Tujuan tahap ini adalah menganalisis data yang telah

diperoleh untukmengetahui apakah mendukung atau sesuai

tidak dengan konjekturyang sudah dirancang. Data yang

dianalisis meliputi rekaman videoproses pembelajaran dan

hasil interview terhadap siswa dan guru,lembar hasil

pekerjaan siswa, catatan lapangan serta rekaman videodan

audio yang memuat proses penelitian dari awal.

F. Program Linear

Program linear adalah suatu cara atau metode yang digunakan untuk

menyelesaikan masalah optimasi (Kasmina dkk, 2008). Dengan kata lain,

program linear merupakan suatu teknik dalam mendapatkan nilai optimum

(maksimum atau minimum) suatu fungsi objektif dengan kendala-kendala

tertentu yang diterjemahkan dalam suatu pertidaksamaan linear.

Program linear sendiri telah lahir pada tahun 1939 oleh

L.W.Kantorovich dengan metode yang masih amat terbatas. Barulah

George B.Dantzig (1947) dari Amerika Serikat yang pertama kali

memperkenalkan metode yang umum yaitu metode simpleks (Susanta,

1994:12). Susanta (1994 : 13) menyatakan bahwa pola umum masalah

yang dapat dimodelkan dengan program linear adalah sebagai berikut:

1) Adanya pilihan kombinasi beberapa faktor kegiatan;


36

2) Adanya sumber penunjang beserta batasnya;

3) Adanya fungsi sasaran/tujuan/objektif yang harus dioptimumkan;

4) Relasi yang timbul antara faktor-faktor semuanya linear.

Sedangkan langkah-langkah penyelesaian masalah program linear adalah

sebagai berikut:

1) Mengidentifikasi (mempertegas masalahnya);

2) Mencari metode-metode penyelesaian;

3) Memilih metode yang paling cocok, paling murah, atau paling

cepat (optimisasi);

4) Melaksanakan (implementasi);

5) Mengevaluasi hasil.

Bentuk baku model matematika suatu program linear untuk masalah

maksimum adalah sebagai berikut,

𝑀𝑎𝑘𝑧 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛

Harus memenuhi

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏2

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 0

Sedangkan bentuk baku model matematika suatu program linear untuk

masalah minimum adalah sebagai berikut,

𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛

Harus memenuhi

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ +

37

Keterangan :

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 merupakan variabel keputusan

𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 merupakan kontribusi setiap variabel keputusan terhadap

fungsi tujuan, disebut pula sebagai koefisien fungsi tujuan suatu model

matematika

𝑎11, 𝑎12, … , 𝑎𝑚𝑛 merupakan penggunaan setiap unit sumber daya dari

setiap variabel keputusan yang terbatas, disebut pula suatu koefisien fungsi

kendala model matematika.

Selanjutnya fungsi kendala yang telah dimodelkan akan dibuat grafik.

Ada 3 metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah

program linear, yaitu metode garis selidik, metode titik pojok, dan metode

simpleks. Dalam penelitian ini yang akan diteliti adalah masalah program

linear yang akan diselesaikan dengan metode garis selidik. Berikut ini

merupakan contoh masalah program linear yang akan diselesaikan dengan

metode garis selidik.

(Masalah Produksi) (Susanta, 1994:13)

Sekelompok petani transmigran mendapatkan 6 ha tanah yang dapat

ditanami padi, jagung, dan palawija lain. Karena keterbatasan sumber

daya, petani harus menentukan berapa bagian yang harus ditanami padi

dan berapa bagian yang harus ditanami jagung, sedangkan palawija yang

lain ternyata tidak menguntungkan. Dalam 1 masa tanam tenaga yang

tersedia hanya 1590 jam/orang, pupuk juga terbatas tidak lebih dari 480

kg, sedangkan air dan sumber daya lainnya dianggap cukup tersedia.


38

Diketahui pula bahwa untuk menghasilkan 1 kuintal padi diperlukan 12

jam- orang tenaga dan 4 kg pupuk, dan untuk 1 kuintal jagung diperlukan

9 jam-orang tenaga dan 2 kg pupuk. Kondisi tanah memungkinkan

menghasilkan 50 kuintal padi per ha atau 20 kuintal jagung per ha.

Pendapatan petani dari 1 kuintal padi adalah Rp. 32.000 sedang dari 1

kuintal jagung Rp. 20.000, dan dianggap bahwa semua hasil tanamnya

selalu habis terjual. Masalah bagi petani ialah bagaimanakah rencana

(program) produksi yang memaksimumkan pendapatan total? Artinya,

berapa ha tanah ditanami padi dan berapa ha tanah yang ditanami jagung.

Perumusan masalah:

Guna mempermudah penyusunan model disusun tabel pertolongan sebagai

berikut:

Tabel 2.1

Produksi tani

Per kuintal

Sumber Padi Jagung Batas sumber

Tanah (ha) 0,02 0,05 6

Tenaga (jam-

orang)

12 9 1590

Pupuk (kg) 4 2 480

Pendapatan (Rp) 32000 20000

Catatan:

1. Satuan jam/orang (man-hour) adalah banyaknya orang kali banyaknya

jam bekerja.

2. Air dianggap berlimpah sehingga tidak menjadi kendala.

3. Batas sumber dalam soal ini kebetulan semuanya berupa batas atas.

Misalkan x : Banyak kuintal padi yang diproduksi

y : Banyak kuintal jagung yang diproduksi


39

maka keterbatasan tanah akan menimbulkan kendala yang berbunyi

“banyaknya ha tanah yang diperlukan untuk x kuintal padi dan y kuintal

jagung tidak boleh melebihi 6 ha”. Syarat ini dirumuskan dan akan

diperoleh relasi : 0,02 𝑥 + 0,05𝑦 ≤ 6. Demikian pula untuk syarat tenaga

dan akan diperoleh relasi : 12𝑥 + 9𝑦 ≤ 1590, sedangkan untuk syarat

pupuk timbul relasi : 4𝑥 + 2𝑦 ≤ 480. Mengingat x dan y disini mewakili

besaran yang tidak boleh bernilai negatif, maka harus ditambahkan syarat

tak negative bagi keduannya: 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0. Terakhir dirumuskan

besar pendapatan total yang harus dimaksimumkan ialah : 𝑓 = 32𝑥 +

20 𝑦 (satuan dalam ribu rupiah). Bila disederhanakan relasi-relasi di atas

akan menjadi :

Mencari x dan y yang memenuhi

𝑥 ≥ 0 (1) kendala tak negatif

𝑦 ≥ 0 (2)

2 𝑥 + 5𝑦 ≤ 600 (3) kendala utama

4𝑥 + 3𝑦 ≤ 530 (4)

2𝑥 + 𝑦 ≤ 240 (5)

dan memaksimumkan 𝑓 = 32𝑥 + 20 𝑦 (fungsi sasaran)

Peubah x dan y ( dalam perumusan umum di muka : 𝑥𝑚) dinamai peubah

keputusan, dan koefisien mereka dalam kendala utama (𝑎𝑚𝑛) disebut

koefiesien teknis, suku tetap di ruas kanan kendala utama (𝑏𝑚) disebut

suku tetap, sedangkan koefisien dalam f (ialah 𝑐𝑚𝑛) dinamai koefisien

ongkos. Setelah dirumuskan, semua relasi dalam model di atas ternyata

linear dalam x dan y, maka memang masalah di atas termasuk masalah

program linear.


40

Setiap kendala di atas jika digambar akan menghasilkan suatu bidang

daerah tertutup (konveks) OABCD. Grafiknya adalah sebagai berikut :

Gambar 2.2 Grafik daerah layak fungsi kendala

Pasangan (x,y) yang memenuhi semua kendala tersebut disebut

penyelesaian layak (feasible solution), titik wakilnya dalam bidang

koordinat disebut titik layak. Himpunan titik layak yang dalam

permasalahan ini berupa daerah segi lima OABCD disebut daerah layak.

Jadi daerah layak di atas konveks.

Sekarang ditinjau fungsi sasaran 𝑓 = 32𝑥 + 20 𝑦 . Jika kepada 𝑓

diisikan nilai tetap lalu 32𝑥 + 20 𝑦 = 𝑘 maka fungsi sasaran tersebut

dapat dilukiskan dalam sebuah bidang. Grafik fungsi sasaran ini berupa


41

garis lurus yang disebut garis senilai (isoquant, isoprofit, isocost) karena

menggambarkan pasangan-pasangan (x,y) yang memberikan nilai 𝑓 yang

sama. Berikut ini merupakan gambar fungsi sasaran 32𝑥 + 20 𝑦 = 𝑘:

Gambar 2.3 Grafik fungsi sasaran 𝟑𝟐𝒙 + 𝟐𝟎 𝒚 = 𝒌

Dalam gambar 2.3 terlukis 3 garis senilai yaitu 𝑓 = 800, berarti

32𝑥 + 20 𝑦 = 800 (melalui (0,40) dan (25,0)), kemudian 𝑓 = 1000, dan

𝑓 = 2000. Jelas bahwa 3 garis tersebut saling sejajar dengan gradien- 8

5.

Lebih jauh juga dapat disimpulkan bahwa makin ke kanan garis senilai

digeser makin besar nilai 𝑓 yang diberikan.

Hal yang dicari dalam permasalahan program linear adalah

penyelesaian optimum (optimal solution) yaitu penyelesaian layak yang

memaksimumkan nilai 𝑓. Secara gambar berarti mencari titik anggota F

yang membuat nilai F sebesar mungkin. Ini terjadi dengan cara


42

menggambar 2 garis senilai misalnya 𝑓 = 1000 dan 𝑓 = 2000, melihat

arah membesarnya 𝑓 lalu menggeser garis senilai ke arah itu dan sampai

ke titik irisannya dengan F yang terakhir. Titik itulah titik optimum

sebagai gambar dari penyelesaian optimum. Karena kedua garis senilai

yang dilukis di atas diperlukan guna menyelidiki kemiringan (gradien)

garis senilai dan arah membesarnya (arah pergeserannya) maka keduanya

disebut juga sebagai garis selidik.

Dalam contoh, titik terakhir F yang memberikan nilai 𝑓 terbesar

adalah titik B yang juga merupakan titik potong batas kendala (4)( 4𝑥 +

3𝑦 ≤ 530) dan batas kendala (5) (2𝑥 + 𝑦 ≤ 240). Setelah koordinatnya

dihitung, ditemukan titik optimum B (95,50) yang memberikan nilai

𝑓𝑚𝑎𝑘𝑠 = 4040.

Penyelesaian optimum berbunyi : untuk memaksimumkan

pendapatan total maka sebaiknya diproduksi 95 kuintal padi dan 50 kuintal

jagung. Ini berarti bahwa luas tanah untuk penanaman padi ialah 1,9 ha

dan untuk penanaman jagung ialah 2,5 ha, dan akan didapat pendapatan

maksimum sebesar Rp. 4.040.000.

Dari segi kendala utama terlihat bahwa tanah masih tersisa 1.6 ha

sedangkan tenaga dan pupuknya habis terpakai (karena titik optimum

terletak pada batas kendala tenaga dan batas kendala pupuk), maka

kendala tenaga dan kendala pupuk disebut sebagai kendala yang

membatasi (resirictive) sedangkan kendala tanah tidak membatasi.


43

Dari contoh di atas jelas bahwa garis fungsi sasaran yang

menghasilkan 𝑓 optimum memuat paling sedikit 1 titik sudut (yang

merupakan titik pojok daerah layak F yang konveks). Dalam keadaan

tertentu memilih titik sudut terakhir dalam penggeseran garis fungsi

sasaran tidaklah mudah, karena orang tidak dapat menggantungkan diri

pada lukisan dan pengamatan mata, maka diperlukan pengujian lewat

penghitungan.

Dari masalah produksi di atas, setelah mengetahui bahwa garis

senilai harus digeser ke arah kanan (ke arah normal terhadap 𝑓 = 2000,

orang sulit mengetahui bahwa titik terakhir adalah titik B bukannya titik C

atau A. Gradien 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ (batas kendala (5)) adalah 𝑚5 = −2, gradien 𝐵𝐶̅̅ ̅̅

(batas kendala (4)) adalah 𝑚4 = −4

3, sedangkan gradien 𝑓 = 𝑘 adalah

𝑚 = −8

5. Karena −2 < −

8

5< −

4

3 maka garis senilai 𝑓 = 𝑘 lebih tegak

dari 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ tetapi lebih tunduk dari 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , sehingga perpotongan batas (4) dan

(5), yaitu

ANALISIS KEMAMPUAN MEMODELKAN SISWA KELAS XI SMA...

Documents

Transcript of ANALISIS KEMAMPUAN MEMODELKAN SISWA KELAS XI SMA...