8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

1/23

ANALISIS BEAM KANTILEVER MENGGUNAKAN

METODE SOLUSI NUMERIK

disusun sebagai salah satu syarat lulus

mata kuliah MS4011 Metode Elemen Hingga

oleh

Dini Adilah Prabowo (13111075)

Niken Noor Triastuti M. V. (13111089)

PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN

FAKULTAS TEKNIK MESIN DAN DIRGANTARA

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2014

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

2/23

i |

ABSTRAK

Tegangan pada beam dapat didekati hasilnya dengan tiga pendekatan, yaitu teoretik, metodeelemen hingga, dan dengan metode numerik menggunakan perangkat lunak ANSYS.

Perhitungan dengan teoretik adalah perhitungan yang paling seirng digunakan untuk

perancangan, karena paling mendekati keadaan sebenarnya.

Pada laporan ini didapatkan kesimpulan bahwa hasil nominal teoretik dan metode elemen

hingga pada parameter slope , tegangan tumpuan, gaya tumpuan, dan deformasi adalah sama,

sehingga diperlukan nilai simulasi solusi numerik yang mendekati keadaan sebenarnya yaitu

tegangan 75 MPa.

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

3/23

ii |

DAFTAR ISI

ABSTRAK iDAFTAR ISI ii

DAFTAR TABEL iii

DAFTAR GAMBAR iv

BAB I PENDAHULUAN 1

BAB II STUDI PUSTAKA 2

BAB III DATA 9

BAB IV ANALISIS 10

4.1. Solusi Secara Teoretik 10

4.1. Solusi dengan Metode Elemen Hingga 12

4.1. Solusi dengan Simulasi Numerik 14

BAB V DISKUSI 15

BAB VI KESIMPULAN 17

DAFTAR PUSTAKA 18

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

4/23

iii |

DAFTAR TABEL

Tabel 5.1. Solusi beam kantilever dengan tiga metode berbeda 15

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

5/23

iv |

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Elemen beam dengan perpindahan, rotasi, gaya, dan momennodal positif 2

Gambar 2.2. Konvensi tanda untuk gaya geser dan momen bending 2

Gambar 2.3. Distribusi beban pada beam 3

Gambar 2.4. Segmen sebelum deformasi, segmen sesudah deformasi, dan sudut

rotasi penampang silang ABCD 5

Gambar 2.5. Beam sebelum dan sesudah deformasi 7

Gambar 2.6. Beam kantilever 8

Gambar 3.1. Beam kantilever yang dianalisis 9

Gambar 4.1. Diagram gaya geser solusi teoretik 11

Gambar 4.2. Diagram momen solusi teoretik 11

Gambar 4.3. Diagram gaya geser solusi metode elemen hingga 13

Gambar 4.4. Diagram momen solusi metode elemen hingga 13

Gambar 4.5. Deformasi beam simulasi ANSYS 14

Gambar 4.6. Tegangan Von-Mises beam simulasi ANSYS 14

Gambar 5.1. Diagram perbandingan momen 15

Gambar 5.2. Diagram perbandingan gaya geser 16

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

6/23

1 |

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Metode elemen hingga adalah metode numerik yang digunakan pada berbagai aspek fisik

seperti analisis tegangan, aliran, perpindahan panas, elektrik dan bidang magnetik.

Metode elemen hingga ini dapat diamati lebih lanjut untuk dapat diketahui efek dan

sebabnya dari dan ke lingkungan luar sekitar.

Pada laporan ini dibahas analisis tegangan dengan metode elemen hingga pada beam

kantilever. Analisis tegangan ini dapat digunakan lebih lanjut untuk penggunaan analisis

tegangan pada bentuk-bentuk struktur gabungan beam yang sering ditemukan pada

kehidupan rekayasa sehari-hari.

B. Tujuan

1. Memenuhi tugas mata kuliah MS4011 Metode Elemen Hingga.

2. Membandingkan hasil simulasi numerik, perhitungan teoretik, dan perhitungan

metode elemen hingga.

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

7/23

2 | Studi Pustaka

BAB II

STUDI PUSTAKA

Beam adalah struktur panjang dan tipis, yang umum diberi beban melintang yang secara

signifikan menghasilkan efek bending . Deformasi bending ini diukur sebagai prpindahan

melintang dan rotasi. Karenanya, derajat kebebasan yang dimilik tiap nodal adalah

perpindahan melintang dan rotasi (berbeda dengan elemen batang yang hanya perpindahan

aksial).

Gambar 2.1. Elemen beam dengan perpindahan, rotasi, gaya, dan momen nodal positif

Seperti ditunjukkan Gambar 2.1. sebuah beam memiliki panjang L dengan koordinat aksial

lokal x dan koordinant melintang lokal . Perpindahan melintang pada nodal dilambangkandengan 1y dan rotasi dengan 1, sementara gaya pada nodal dilambangkan dengan 1y danmomen bending dengan 1. Digunakan asumsi bahwa semua efek aksial diabaikan. Dan,

pada setiap nodal digunakan konvensi tanda sebagai berikut (ditunjukkan pada Gambar 2.2.):

1. Momen positif (+) berlawanan arah jarum jam.

2. Rotasi positif (+) berlawanan arah jarum jam.

3. Gaya positif (+) pada arah

positif .

4. Perpindahan positif (+) pada arah positif.

Gambar 2.2. Konvensi tanda untuk gaya geser dan momen bending

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

8/23

3 | Studi Pustaka

(a) Beam sebelum bending (b) Beam terdeformasi setelah bending

(c) Elemen diferensial beam

Gambar 2.3. Distribusi beban pada beam

Persamaan diferensial untuk linear-elastic pada beam adalah berdasarkan penampang silang

plane , tegak lurus terhadap sumbu tengah longitudinal sebelum terjadi bending . Pada Gambar

2.3. (a) ditunjukkan plane a-c yang tegak lurus sumbu longitudinal x sebelm terjadi bending dan pada Gambar 2.3. (b) ditunjukkan plane a-c berotasi fengan sudut masih tetap tegak

lurus terhadap sumbu x setelah bending . Hal ini terjadi hanya jika terdapat kopel murni ataumomen konstan. Kemudian berdasarkan Gambar 2.3. (c) dapat diturunkan persamaan sebagai

berikut.

= 0: = 0 (2.1) = 0 atau = (2.2) = 0: = 0 atau = (2.3)Kemudian, kurvatur dari beam juga dapat ditemukan dengan:

= = (2.4)

di mana adalah jari-jari beam yang terdefleksi,

perpindahan melintang sebagai fungsi

pada arah , E adalah modulus elastisitas, dan I adalah momen inersia. Untuk slope yangkecil, = / kurvaturnya adalah: = = (2.5)Dengan harga M dari persamaan (2.5) dan mensubstitusikannya ke persamaan (2.3) dan (2.2)

didapat:

= (2.6)

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

9/23

4 | Studi Pustaka

dengan EI konstan didapat:

= 0 (2.7)

Untuk menentukan matriks kekauan beam digunakan empat langkah berikut:

Langkah 1: Memilih tipe elemen

Memberi nodal pada tiap ujung beam dan penomorannya.

Langkah 2: Memilih fungsi perpindahan

Diasumsikan variasi perpindahan melintang di sepanjang elemen panjang adalah:

= (2.8)Fungsi perpindahan ini mengacu pada adanya empat derajat kebebasan (perpindahan

melintang dan rotasi di tiap nodal). Lalu dinyatakan sebagai fungsi , , , dan.

0 = =

= = (2.9)

= = = = 3 2

Dengan mensubstitusi persamaan (2.9) ke (2.8) didapat:

= 2( ) 1( ) ( ) ( )

(2.10)

Dalam bentuk matriks persamaan di atas menjadi:

= (2.11)dengan =

{} (2.12)

dan = (2.13)

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

10/23

5 | Studi Pustaka

dan = 2 3 = 2 = 2 3 = (2.14)Selanjutnya N 1, N 2, N 3, dan N 4 disebut shape function untuk elemen beam . Untuk elemen

beam ini = 1 saat dievalusi di nodal 1 dan = 0 saat dievaluasi di nodal 2. Karena N 2 terhubung denga n , didapat / = 1 saat dievaluasi di nodal 1. Untuk N 3 dan N 4 memiliki analogi serupa untuk nodal 2.

Langkah 3: Menentukan hubungan regangan-perpindahan dan tegangan-regangan

Diasumsikan hubungan regangan aksial perpindahan seebagai berikut:

, = (2.15)di mana adalah fungsi perpindahan aksial. Sesuai Gambar 2.4. didapat hubungan perpindahan aksial dengan perpindahan melintang sebagai berikut:

= (2.16)dan diasumsikan penampang silang beam (misal penampang ABCD pada Gambar 2.4.) tetap

planar setelah maupun sebelum deformasi dan berotasi dengan sudut kecil, didapat:

, = (2.17)

Gambar 2.4. (kiri-kanan) segmen sebelum deformasi, segmen sesudah deformasi, dan sudut rotasi

penampang silang ABCD

Kemudian didapat fungsi untuk momen bending dan tegangan geser:

= = (2.18)Langkah 4: Penurunan matriks kekakuan dan persamaan elemen

Dengan substitusi persamaan (2.10) ke (2.18) didapat:

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

11/23

6 | Studi Pustaka

= = = (12 6 12 6) = = = (6 4 6 2) (2.19) = = = ( 12 6 12 6)

= = = (6 2 6 4) di mana tanda negatif pada persamaan kedua dan ketiga adalah menyesuaikan konvensi tanda

seperti ditunjukkan Gambar 2.1. dengan beam pada Gambar 2.2. Kemudian didapat:

{ }

= 12 6 12 66 4 6 212 6 12 66 2 6 4

{}

(2.20)

dengan matriks kekauan:

= 12 6 12 66 4 6 212 6 12 66 2 6 4 (2.21)

Terdapat beberapa kondisi batas dalam elemen beam ini, yaitu:

1. Pin :

= 0

2. Roller : = 0 3. Fixed support : = 0; = 0 Selain dengan metode numerik elemen beam juga dapat dianalisa secara teoretik. Secara

teoretik, dibangun hubungan antara momen dalam dan radius kurvatur dari kurva elastis pada

suatu titik.

Berdasarkan Gambar 2.5. dan dengan material homogen, linear-elastic , berlaku Hukum

Hooke dengan = /, dan dengan persamaan kelenturan = /, didapat: = (2.22)

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

12/23

7 | Studi Pustaka

Gambar 2.5. Beam sebelum dan sesudah deformasi

Persamaan elastic curve pada beam secara matematis dapat ditulis = . Untukmendapatkan persamaan ini, terlebih dahulu persamaan kurvatur diubah ke bentuk v dan x.Dengan ilmu kalkulus didapat:

= /+ // (2.23)Kemudian dengan mensubstitusi persamaan (2.22) didapat:

/+ // = (2.24)

Untuk keperluan estetika diberi batasan pada defleksi, slope pada elastic curve , /,dianggap sangat kecil sehingga didapat aproksimasi 1/ = /. Kemudian persamaan(2.24) menjadi:

= (2.25)Dengan diferensial kedua sisi dari persamaan di atas dan dengan substitusi = ,didapat:

= (2.26)

Dengan diferensial kembali dan substitusi = /, didapat: = (2.27)Sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut:

= (2.28) =

(2.29)

= (2.30)

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

13/23

8 | Studi Pustaka

Untuk beam kantilever seperti pada Gambar 2.6., dilakukan integral dua kali pada persamaan

(2.30) sehingga didapat:

= (2.31)

= (2.32) = (2.33)

Gambar 2.6. Beam kantilever

Dengan substitusi kondisi batas / = 0 pada = dan = 0 pada = ke persamaan(2.32) dan (2.33) didapat:

0 = = (2.34)

0 = = (2.35)Dengan substitusi = / dan harga C 1 dan C 2 ke persamaan (2.32) dan (2.33) didapat: = (2.36) = 3 2 (2.37)Kemudian untuk harga perpindahan dan slope maksimum terjadi pada titik A,

= 0, maka:

= (2.38) = (2.39)

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

14/23

9 | Data

BAB III

DATA

Sebuah beam kantilever terbuat dari baja dengan Modulus Young, E = 200 GPa,

mendapatkan gaya pada ujungnya seperti ditunjukkan pada Gambar 3.1. (dua dimensi).

Gambar 3.1. Beam kantilever yang dianalisis

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

15/23

10 | Analisis

BAB IV

ANALISIS

Berikut ini adalah tiga analisis berbada untuk beam kantilever Gambar 3.1.

4.1. Solusi Secara Teoretik

=

= 450

Pada nodal 1 = 0, = 0 Pada nodal 2

= 0,5,

= 225

Pada nodal 3

= 1,

= 450

= 112. . = 11240.10 30.10 = 9.10 Deformasi maksimum pada titik yang diberi beban statik berdasarkan persamaan (2.39)

adalah:

= 3 = 450 1000.103200.109.10 = 8,333.10 Slope maksimum pada titik yang diberi beban statik berdasarkan persamaan (2.38)

adalah:

= 2 = 450 1000.102200.109.10 = 1,25.10 Tegangan maksimum pada tumpuan adalah:

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

16/23

11 | Analisis

= = 450 15.10

9.10

= 75.10

Solusi:

Deformasi di titik yang diberi beban statik: = = , =, Slope di titik yang diberi beban statik: = = , . Tegangan di tumpuan:

= = . =

Gambar 4.1. Diagram gaya geser solusi teoretik

Gambar 4.2. Diagram momen solusi teoretik

-600

-400

-200

0

200

400

600

0 1 G a y a G e s e r

( N )

x (meter)

Diagram Gaya Geser

-500

-400

-300

-200

-100

00 1

M o m e n

( N m

)

x (meter)

Diagram Momen

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

17/23

12 | Analisis

4.2. Solusi dengan Metode Elemen Hingga

Kondisi awal:

= 450

= 0 = = 0 Kondisi batas:

= 0

= 0

= 200.109.10500.10 = 1,44.10/ Dari persamaan (2.20) didapat persamaan global untuk 3 nodal sesuai Gambar 4.1.

sebagai berikut:

{

}

=

[

12 6 12 6 06 4 6 2 0 012 6 12 12 66 2 6 6 4 4 6 20 0 12 6 120 0 6 2 6 4 ]

(1)

= 1,44.10/ 12( ) 6

(2) = 1,44.10/ 6( ) 2 (3) = 0 = 1,44.10/24( ) 12( ) 6 (4) = 0 = 1,44.10/8 6( ) 2 (5) = 450 = 1,44.10/ 12( ) 6 12( ) 6 (6) = 0 = 1,44.10/6( ) 2 6( ) 4 Dilakukan penyelesaian untuk persamaan (3), (4), (5), dan (6) dengan matriks transpose ,

didapat:

= 2,6041667.10 = 9,375.10 = 8,333333.10

= 1,25.10

Kemudian dapat diperoleh:

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

18/23

13 | Analisis

(1) = 1,44.10/ 120,0026041667 60,009375 = 450 (2)

= 1,44.10/ 60,0026041667 2 0,0093

= 450

Solusi:

Deformasi di titik yang diberi beban statik (nodal 3): = , =, Slope di titik yang diberi beban statik: = , .

Gambar 4.3. Diagram gaya geser solusi metode elemen hingga

Gambar 4.4. Diagram momen solusi metode elemen hingga

-600

-400

-200

0

200

400

600

0 0,5 1 G a y a G e s e r

( N )

x (meter)

Diagram Gaya Geser

0

100

200

300

400

500

0 0,5 1

M o m e n

( N m

)

x (meter)

Diagram Momen

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

19/23

14 | Analisis

4.3. Solusi dengan Simulasi Numerik

Besar deformasi hasil simulasi diperlihatkan oleh Gambar 4.5. berikut:

Gambar 4.5. Deformasi beam simulasi ANSYS

Besar tegangan Von-Mises hasil simulasi diperlihatkan oleh Gambar 4.6. berikut:

Gambar 4.6. Tegangan Von-Mises beam simulasi ANSYS

Solusi:

Deformasi di titik yang diberi beban statik:

= = ,

Tegangan di tumpuan: = = ,

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

20/23

15 | Diskusi

BAB V

DISKUSI

Berikut ini adalah solusi dari ketiga metode yang dipaparkan pada Bab IV:

Parameter Teoretik Metode ElemenHingga Simulasi Numerik

Deformasi -8,333 mm -8,333 mm -8,316 mmSlope 0,0125 rad 0,0125 rad 0,0127 rad*Tegangan tumpuan 75 MPa 75 MPa* 76,347 MPa

Tabel 5.1. Solusi beam kantilever dengan tiga metode berbeda

*) dihitung dengan menggunkan persamaan pada Bab II dengan mempertimbangkan hasil

lain yang diperoleh dari perangkat lunak

Dari hasil di atas tampak adanya perbedaan pada deformasi dan tegangan tumpuan. Dengan

simulasi numerik menggunakan ANSYS didapat deformasi, di titik yang diberi beban, lebih

besar daripada hasil secara teoretik maupun metode elemen hingga. Kemudian terdapat

perbedaan juga pada tegangan tumpan hasil simulasi numerik menggunakan ANSYS dengan

hasil secara teoretik di mana harganya sedikit lebih tinggi. Hasil simulasi ANSYS

menunjukkan perbedaan karena pemberian nodalnya yang lebih banyak sehingga hasil inilahyang lebih akurat daripada hasil kedua solusi lain.

Sedangkan ditinjau dari distribusi momen dan gaya geser didapat perbandingan sebagai

berikut.

Gambar 5.1. Diagram perbandingan momen

-600

-400

-200

0

200

400

600

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 M o m e n

( N m

)

x (meter)

Perbandingan Momen

MEH

Teoretik

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

21/23

16 | Diskusi

Gambar 5.2. Diagram perbandingan gaya geser

Pada Gamar 5.1. terdapat perbedaan antara harga momen dari solusi metode elemen hingga

dengan solusi teoretik. Hal ini terjadi karena menurut elemen hingga pada nodal 2 (lihat

Gambar 3.1.) harga momen adalah = 0 sementara secara teoretik untuk nodal 2 harganyaadalah = = 450 0,5 = 225 .

-600

-400

-200

0

200

400

600

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

G a y a G e s e r

( N m )

x (meter)

Perbandingan Gaya Geser

MEH

Teoretik

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

22/23

17 | Kesimpulan

BAB VI

KESIMPULAN

Solusi yang didapat adalah:

Parameter Teoretik Metode ElemenHingga Simulasi Numerik

Deformasi -8,333 mm -8,333 mm -8,316 mmSlope 0,0125 rad 0,0125 rad 0,0127 rad*Tegangan tumpuan 75 MPa 75 MPa* 76,347 MPa

*) dihitung dengan menggunkan persamaan pada Bab II dengan mempertimbangkan

hasil lain yang diperoleh dari perangkat lunak

Perbandingan momen solusi metode elemen hingga dengan teoretik menunjukkan hasil

yang berbeda, yaitu pada nodal 2 (x=0,5m).

Perbandingan gaya geser solusi metode elemen hingga dengan teoretik menunjukkan

hasil yang serupa.

8/10/2019 Analisis Cantilever Beam (Teoretik, FEM, ANSYS)

23/23

DAFTAR PUSTAKA

Logan, Daryl L. 2007. A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition . Ontario,Canada: Thomson.

Hibbeler, Russell C. 2011. Mechanics of Materials Eight Edition . United States of America:

Pearson Prentice Hall.