ANALISA KESTABILAN DAN KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PEMANENAN FITOPLANKTON-ZOOPLANKTON

Dosen Pembimbing: 1. Drs. Mohammad Setijo Winarko M. Si 2. Drs. Kamiran M. Si

Arum Fitri Anisya 1209100054

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER 2013

Zooplankton memakan Fitoplankton

Kelestarian populasi fitoplankton dan

zooplankton terganggu

Perlu ada suatu kebijakan

Pemanenan secara besar-besaran

Fitoplankton memproduksi toxin

Kendali Optimal

Analisa Kestabilan

PENDAHULUAN

Fitoplankton dan zooplankton memenuhi

kebutuhan pangan masyarakat

Bagaimana mengkaji dan menganalis kestabilan model pemanenan

fitoplankton- zooplankton?

Bagaimana penyelesaian model pemanenan fitoplankton-zooplankton dengan kendali optimal agar kelestariannya tetap terjaga dan memberikan keuntungan maksimal?

1

2

PENDAHULUAN

1

2

3

4

Model yang dikaji adalah model pada referensi [1]

Kontribusi fitoplankton untuk pertumbuhan zooplankton diasumsikan konstan.

Kontribusi zat beracun dari fitoplankton untuk kematian zooplankton diasumsikan konstan.

Rasio biomassa yang dikonsumsi oleh zooplankton ( 𝛽1 ) diasumsikan lebih besar dari tingkat pembebasan zat beracun oleh fitoplankton (𝜌).

PENDAHULUAN

1

2

Mengkaji dan menganalisis kestabilan model pemanenan fitoplankton- zooplankton.

Menyelesaian model pemanenan fitoplankton-zooplankton dengan kendali optimal agar kelestariannya tetap terjaga dan memberikan keuntungan maksimal.

PENDAHULUAN

Mendapatkan analisa kestabilan untuk mengetahui perilaku dinamisnya dan penyelesaian model pemanenan fitoplankton-zooplankton menggunakan optimal kontrol sehingga bisa dilakukan kendali yang tepat terhadap upaya pelestarian perikanan.

PENDAHULUAN

Memberikan referensi kepada nelayan agar mendapatkan keuntungan yang maksimal dalam pemanenan dengan tidak mengganggu kelestarian fitoplankton-zooplankton.

1

2

Pada model bioekonomi akan dicari kesetimbangan biologi dan kesetimbangan ekonomi yang masing-masing diselesaikan sebagai berikut[2]: Kesetimbangan biologi:

𝑟𝑟 1 −𝑟𝑘 − 𝑐𝑐𝑟 = 0

Kesetimbangan ekonomi:

𝑝𝑐𝑐𝑟 − 𝑐𝑐 = 0

TINJAUAN PUSTAKA

(2.1)

(2.2)

Pandang persamaan diferensial 𝑑𝑝𝑑𝑑

= 𝑓 𝑝, 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑑

= 𝑔 𝑝, 𝑧 Sebuah titik (�̅�0, 𝑧0̅) merupakan titik kesetimbangan dari persamaan (2.3) jika memenuhi 𝑓(�̅�0, 𝑧0̅) = 0 dan 𝑔(�̅�0, 𝑧0̅) = 0. Karena turunan suatu konstanta sama dengan nol, maka sepasang fungsi konstan 𝑝 𝑑 = �̅�0 𝑑𝑑𝑑 𝑧 𝑑 = 𝑧0̅ adalah penyelesaian kesetimbangan dari persamaaan (2.3) untuk semua 𝑑.

TINJAUAN PUSTAKA

(2.3)

Definisi 1 [3] : Jika 𝐽 adalah matriks yang berukuran 𝑑 × 𝑑 maka vektor tak-nol dinamakan vektor karakteristik dari 𝐽 jika memenuhi :

𝐽𝐽 = 𝜆𝐽 Untuk skalar 𝜆 disebut nilai karakteristik dari 𝐽 dan x dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan 𝜆. Untuk mencari nilai kakakteristik matriks 𝐽 yang berukuran 𝑑 × 𝑑, maka dapat dituliskan kembali persamaan di atas sebagai 𝐽𝐽 = 𝜆𝜆𝐽 atau ekuivalen dengan 𝐽 − 𝜆𝜆 𝐽 = 0, mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika 𝐽 − 𝜆𝜆 = 0

TINJAUAN PUSTAKA

(2.4)

Teorema 1: Titik setimbang (�̅�0, 𝑧0̅) stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai karakteristik matriks 𝐽 = 𝑑 𝑏

𝑐 𝑑 dengan

𝑑 =𝜕𝑓𝜕𝑝

𝑝𝑜, 𝑧0 , 𝑏 =𝜕𝑓𝜕𝑧

𝑝𝑜, 𝑧0

𝑐 =𝜕𝑔𝜕𝑝

𝑝𝑜, 𝑧0 , 𝑑 =𝜕𝑔𝜕𝑧

𝑝𝑜, 𝑧0

mempunyai tanda negatif pada bagian real-nya.

TINJAUAN PUSTAKA

Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung. Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebagai berikut : 𝑞 𝜆 = 𝑑0𝜆𝑛 + 𝑑1𝜆𝑛−1 + 𝑑2𝜆𝑛−2 + ⋯+ 𝑑𝑛 = 0 Kemudian susun koefisien persamaan karakteristik menjadi : Tabel 1. Tabel Routh-Hurwitz

𝜆𝑛𝜆𝑛−1𝜆𝑛−2

:∙

𝜆0

𝑑0𝑑1

𝑏1:∙

𝑞

𝑑2𝑑3𝑏2:∙

𝑑4𝑑5𝑏3:∙

TINJAUAN PUSTAKA

(2.5)

dengan 𝑏1 =

𝑑1𝑑2 − 𝑑0𝑑3𝑑1

, 𝑏2 =𝑑1𝑑4 − 𝑑0𝑑5

𝑑1, 𝑏3 =

𝑑1𝑑6 − 𝑑0𝑑7𝑑1

𝑐1 =𝑏1𝑑3 − 𝑑1𝑏2

𝑏1, 𝑐1 =

𝑏1𝑑5 − 𝑏3𝑑1𝑏1

Sistem dikatakan stabil atau mempunyai bagian real nilai eigen negatif jika dan hanya jika elemen-elemen pada kolom pertama (𝑑1,𝑑2, 𝑏1, 𝑐1, … ) memiliki tanda yang sama.

TINJAUAN PUSTAKA

Misalkan 𝑓 𝐽 adalah polinomial dengan koefisien real dan konstanta tidak nol, maka banyaknya akar-akar persamaan yang mungkin dapat dicari dengan Descartes’ Rule of Sign [9], yaitu: Jumlah akar penyelesaian positif dari persamaan 𝑓 𝐽 = 0 sama

dengan jumlah variasi (perubahan) tanda pada 𝑓 𝐽 atau kurang dari jumlah tersebut dari menguranginya dengan bilangan genap.

Jumlah akar penyelesaian negatif dari persamaan 𝑓 𝐽 = 0 sama dengan jumlah variasi (perubahan) tanda pada 𝑓 −𝐽 atau kurang dari jumlah tersebut dari menguranginya dengan bilangan genap.

Perubahan tanda pada polinomial ini dapat dilihat dari tanda positif ke negatif atau sebaliknya.

TINJAUAN PUSTAKA

Tujuan utama permasalahan kendali optimal adalah mencari nilai kendali 𝑢 𝑑 yang akan diproses dalam sistem dan memenuhi kendala fisik. Kemudian pada waktu yang sama dapat ditentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) yang sesuai dengan kriteria fungsi tujuan. Gambar di atas dideskripsikan bagaimana mendapatkan kendali optimal 𝑢∗ 𝑑 yang akan mendorong mengatur sistem P dari keadaan awal sampai keadaan akhir dengan beberapa kendala.

TINJAUAN PUSTAKA

Formulasi pada masalah kendali optimal adalah sebagai berikut [5]: Mendiskripsikan secara matematik artinya diperoleh

metode/model matematika dari proses terjadinya pengendalian (secara umum dalam bentuk variabel keadaan).

Spesifikasi fungsi tujuan (Performance Index). Menentukan kondisi batas dan konstrain fisik pada keadaan

(state) dan atau kontrol.

TINJAUAN PUSTAKA

Pada umumnya, masalah kendali optimal dalam bentuk ungkapan matematik dapat diformulasikan sebagai berikut, dengan tujuan mencari kendali 𝑢 𝑑 yang mengoptimalkan fungsi tujuan

𝐽 = 𝑆 𝐽 𝑑𝑓 , 𝑑𝑓 + � 𝑉 𝐽 𝑑 , 𝑢 𝑑 , 𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑓

𝑡0

Dengan sistem yang dinyatakan oleh

𝐽 ̇ = 𝑓 𝐽 𝑑 ,𝑢 𝑑 , 𝑑 Dan kondisi batas

𝐽 𝑑0 = 𝐽0 S 𝐽 𝑑𝑓 , 𝑑𝑓 = 0

TINJAUAN PUSTAKA

(2.6)

(2.5)

(2.7)

Pontryagin Maximum Principle adalah metode untuk mendapatkan bentuk optimal control dengan memaksimalkan fungsi tujuan (2.5) dengan kendala (2.6)[5]. Sehingga didapatkan persamaan Hamiltoniannya: 𝐻 = 𝑉 𝐽 𝑑 , 𝑢 𝑑 , 𝑑 + 𝜆𝑓 𝐽 𝑑 ,𝑢 𝑑 , 𝑑 Didapatkan kondisi stasionernya: 𝜕𝐻𝜕𝑢

= 0 State:

�̇� =𝜕𝐻𝜕𝜆

Co-state: �̇� = −𝜕𝜕

𝜕𝜕

TINJAUAN PUSTAKA

Dalam manajemen sains dan masalah ekonomi, fungsi tujuan biasanya diformulasikan dalam bentuk nilai waktu dari uang atau peralatan. Aliran uang atau peralatan yang akan datang discounted. Misal kita asumsikan 𝑟 ≥ 0 adalah tingkat potongan (discounted rate) kontinu yang konstan. Fungsi tujuan yang discounted merupakan kasus yang khusus dari fungsi tujuan (2.5) dengan asumsi bahwa ketergantungan fungsi terhadap waktu hanya terjadi karena adanya faktor pemotongan (discount factor) [10]. Untuk sistem waktu yang kontinu, faktor pemotongnya adalah 𝑒−𝑟𝑡, sehingga diperoleh

𝐽 = 𝑆 𝐽 𝑑𝑓 , 𝑑𝑓 𝑒−𝑟𝑡 + � 𝑉 𝐽 𝑑 ,𝑢 𝑑 , 𝑑 𝑒−𝑟𝑡𝑑𝑑𝑡𝑓

𝑡0

TINJAUAN PUSTAKA

Studi Literatur

Analisa Kestabilan Lokal

Penyelesaian Model Pemanenan Fitoplankton-Zooplankton

Simulasi dan Analisa Hasil

Penarikan Kesimpulan dan Pemberian Saran serta Penyusunan Laporan

Diberikan model pemanenan fitoplankton-zooplankton sebagai berikut:

𝑑𝑟𝑑𝑑

= 𝑟𝑟 1 −𝑟𝑘

−𝛽𝑟𝛽𝛼 + 𝑟

− 𝑐1𝑐𝑟

𝑑𝛽𝑑𝑑

=𝛽1𝑟𝛽𝛼 + 𝑟

− 𝑑𝛽 −𝜌𝑟𝛽𝛼 + 𝑟

− 𝑐2𝑐𝛽 dengan:

Pembahasan

𝑟 :kepadatan populasi TPP (Toxin Producing Phytoplankton) pada

waktu t ≥ 0,P 0 = P0 ≥ 0

𝛽 :kepadatan populasi zooplankton pada waktu 𝑑 ≥ 0, 𝛽 0 = 𝛽0 ≥ 0.

𝑟 :laju pertumbuhan alami.

𝛼 :konstanta positif yang menyatakan fungsional respon Holling Type

II [6].

(4.1)

(4.2)

Pembahasan

𝑘 :kapasitas daya tampung (carrying capacity) lingkungan terhadap

populasi TPP.

𝛽 :laju pengambilan maksimum fitoplankton oleh spesies zooplankton.

𝛽1 :rasio dari konversi biomassa. (0 < 𝛽1 < 𝛽).

𝑑 :laju kematian alami zooplankton.

𝜌 :laju zat-zat beracun yang dihasilkan oleh per-

unit biomassa dari fitoplankton.

𝑐1 :koefisien pemanenan fitoplankton.

𝑐2 :koefisien pemanenan zooplankton.

𝑐 :usaha pemanenan.

𝛽𝑟𝛽𝛼 + 𝑟

:fungsi respon pemberian makanan fitoplankton oleh zooplankton.

Berdasarkan analisis keterbatasan dari model (4.1) dan (4.2), dengan kondisi awal positif PO, ZO adalah terbatas pada daerah B ⊆ R2

+, jika E < rc1

, daerah penyelesaian model adalah:

𝐵 =𝑟,𝛽 ∈ 𝑅2+ ∶ 0 ≤ 𝑟 ≤

𝑟 − 𝑐1𝑐 𝑘𝑟

,

0 ≤ 𝛽1 − 𝜌 𝑟 + 𝛽𝛽 ≤𝐿

𝑑 + 𝑐2𝑐

dengan

𝐿 =𝛽1 − 𝜌 𝑘 𝑟 − 𝑐1𝑐 + 𝑑 + 𝑐2𝑐 2

𝑟

Pembahasan

Dari model persamaan (4.1) dan (4.2), dengan menyelesaikan 𝑑𝑑𝑑𝑡

= 0 dan 𝑑𝑑𝑑𝑡

= 0. Didapatkan titik setimbang

𝑟∗ = 𝑑+𝑐2𝐸 𝛼𝛽1−𝜌−𝑑−𝑐2𝐸

dan 𝛽∗ = 1𝛽𝑟 − 𝑐1𝑐 −

𝑟𝑑∗

𝑘𝑑 + 𝑟∗

Selanjutnya menentukan kestabilan lokal dari titik setimbang 𝑆 𝑟∗,𝛽∗ dengan mencari matriks Jacobian:

𝐽 =𝑟 − 𝑐1𝑐 −

2𝑟𝑟∗

𝑘−

𝛽𝛼𝛽∗

𝛼 + 𝑟∗ 2−𝛽𝑟∗

𝛼 + 𝑟∗𝛽1 − 𝜌 𝑑𝛽∗

𝛼 + 𝑟∗ 2 0

Pembahasan

Pembahasan

Matriks Jacobian 𝜆2 − 𝜆 𝑟 − 𝑐1𝑐 −2𝑟𝑑∗

𝑘− 𝛽𝛼𝑑∗

𝛼+𝑑∗ 2 + 𝛽1−𝜌 𝑎𝑑∗𝛽𝑑∗

𝛼+𝑑∗ 3 =0.

𝜆2 1𝛽1 − 𝜌 𝑑𝛽∗𝛽𝑟∗

𝛼 + 𝑟∗ 3

𝜆1 − 𝑟 − 𝑐1𝑐 −2𝑟𝑟∗

𝑘−

𝛽𝛼𝛽∗

𝛼 + 𝑟∗ 2 0

𝜆0 𝑏1

Dengan

𝑏1=𝛽1−𝜌 𝑎𝑑∗𝛽𝑑∗

𝛼+𝑑∗ 3

𝛽1−𝜌 𝑎𝑑∗𝛽𝑑∗

𝛼+𝑑∗ 3 > 0dan 𝑟 − 𝑐1𝑐 −2𝑟𝑑∗

𝑘− 𝛽𝛼𝑑∗

𝛼+𝑑∗ 2 < 0

𝑆 𝑟∗,𝛽∗ stabil

Pembahasan

kesetimbangan biologi yang memperhatikan kesetimbangan ekonomi agar adanya penangkapan ikan tidak mengganggu kelestarian populasi dan dapat menekan kerugian dari hasil pemanenan. Untuk mendapatkan kesetimbangan biologi terlebih dahulu dicari nilai 𝑐 dari 𝑑𝑑

𝑑𝑡= 0 dan 𝑑𝑑

𝑑𝑡= 0.

Pembahasan

Kesetimbangan Biologi 𝑟𝑐1𝑘

𝑟2 +𝛽1 − 𝜌 − 𝑑

𝑐2−𝑟 𝑘 − 𝛼𝑐1𝑘

𝑟 −𝑑𝛼𝑐2

+𝑟𝛼𝑐1

+𝛽𝑐1𝛽 = 0

Kesetimbangan Ekonomi 𝜋 𝑟,𝛽,𝑐 = 𝑝1𝑐1𝑟𝑐 + 𝑝2𝑐2𝛽𝑐 − 𝐶𝑐 = 0 Didapatkan:

𝛽 =𝐶 − 𝑝1𝑐1𝑟𝑝2𝑐2

Kesetimbangan Bioekonomik 𝑟𝑐1𝑘

𝑟2 +𝛽1 − 𝜌 − 𝑑

𝑐2−𝑟 𝑘 − 𝛼𝑐1𝑘

−𝛽𝑝1𝑝2𝑐2

𝑟

+𝑑𝛼𝑐2

+𝑟𝛼𝑐1−

𝛽𝐶𝑝2𝑐1𝑐2

= 0

Pada penyelesaian dengan kendali optimal ini akan dibahas tentang penyelesaiaan menggunakan kendali optimal untuk menunjukkan usaha penangkapan fitoplankton dan zooplankton yang optimal. Diberikan fungsi tujuan sebagai berikut[1]: 𝐽 = ∫ 𝜋 𝑟,𝛽,𝑐, 𝑑 𝑒−𝛿𝑡𝑑𝑑∞

0 dengan 𝜋 adalah pendapatan ekonomi, sehingga persamaan (4.3) menjadi 𝐽 = ∫ 𝑝1𝑐1𝑟 + 𝑝2𝑐2𝛽 − 𝐶 𝑐𝑒−𝛿𝑡𝑑𝑑∞

0

Pembahasan

(4.3)

Model tersebut diselesaikan dengan menggunakan kendali optimal dimana variabel kendalinya adalah 𝑐 𝑑 , variabel keadaannnya 𝐽 𝑑 dan sistem dinamiknya adalah:

𝑑𝑟𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 1 −

𝑟𝑘 −

𝛽𝑟𝛽𝛼 + 𝑟 − 𝑐1𝑐𝑟

𝑑𝛽𝑑𝑑 =

𝛽1𝑟𝛽𝛼 + 𝑟 − 𝑑𝛽 −

𝜌𝑟𝛽𝛼 + 𝑟

− 𝑐2𝑐𝛽

Pembahasan

Fungsi Hamiltonian:

𝐻 = 𝑝1𝑐1𝑟 + 𝑝2𝑐2𝛽 − 𝐶 𝑐𝑒−𝛿𝑡 +

𝜆1 𝑟𝑟 1 −𝑟𝑘 −

𝛽𝑟𝛽𝛼 + 𝑟 − 𝑐1𝑐𝑟 +

𝜆2𝛽1𝑟𝛽𝛼 + 𝑟 − 𝑑𝛽 −

𝜌𝑟𝛽𝛼 + 𝑟

− 𝑐2𝑐𝛽

Pembahasan

Berdasarkan Prinsip Maksimum Pontryagin, kondisi perlu yang dibentuk adalah kondisi stasioner dari 𝐻 𝐽 𝑑 ,𝑐 𝑑 , 𝑑, 𝜆 , persamaan state �̇� 𝑑 dan co-state �̇� 𝑑 . Kondisi Stasioner 𝜕𝜕𝜕𝐸 𝑡

= 0 𝑝1𝑐1𝑟 + 𝑝2𝑐2𝛽 − 𝐶 𝑒−𝛿𝑡 − 𝜆1𝑐1𝑟 − 𝜆2𝑐2𝛽 = 0 Persamaan State

�̇� 𝑑 =𝜕𝐻𝜕𝜆1

= 𝑟𝑟 1 −𝑟𝑘 −

𝛽𝑟𝛽𝛼 + 𝑟 − 𝑐1𝑐𝑟

�̇� 𝑑 =𝜕𝐻𝜕𝜆2

=𝛽1𝑟𝛽𝛼 + 𝑟 − 𝑑𝛽 −

𝜌𝑟𝛽𝛼 + 𝑟 − 𝑐2𝑐𝛽

Pembahasan

Persamaan co-state

𝜆1̇ 𝑑 = −𝜕𝐻𝜕𝑟

= −𝑝1𝑐1𝑐𝑒−𝛿𝑡 − 𝜆1 𝑟 −2𝑟𝑟𝑘

−𝛽𝛼𝛽𝛼 + 𝑟 2 − 𝑐1𝑐 − 𝜆2

𝜆2̇ 𝑑 = −𝜕𝐻𝜕𝛽

= −𝑝2𝑐2𝑐𝑒−𝛿𝑡 + 𝜆1𝛽𝑟𝛼 + 𝑟 − 𝜆2

𝛽1 − 𝜌 𝛼𝑟𝛼 + 𝑟 − 𝑑 − 𝑐2𝑐

Pembahasan

Kendali 𝑐 𝑑 muncul secara linear dalam Hamiltonian sehingga 𝑐 𝑑 yang optimal tidak dapat ditentukan dari kondisi 𝐻𝐸 = 0[7]. Kendali 𝑐 𝑑 terbatas oleh 0 < 𝑐 𝑑 < 𝑐𝑚𝑎𝜕 dan kondisi optimal dapat dipenuhi dengan menggunakan bang-bang control [8]:

𝑐∗ 𝑑 �𝑐𝑚𝑎𝜕 jika 𝐻𝐸 < 0𝑐𝑚𝑚𝑛 jika 𝐻𝐸 > 0

Pembahasan

dengan 𝜕𝜕𝜕𝐸 𝑡

= 𝑝1𝑐1𝑟 + 𝑝2𝑐2𝛽 − 𝐶 𝑒−𝛿𝑡 − 𝜆1𝑐1𝑟 − 𝜆2𝑐2𝛽. 𝐻𝐸 = 𝑝1𝑐1𝑟 + 𝑝2𝑐2𝛽 − 𝐶 𝑒−𝛿𝑡 − 𝜆1𝑐1𝑟 − 𝜆2𝑐2𝛽 disebut sebagai fungsi switching. Kondisi ketika 𝐻𝐸< 0 𝑐 𝑑 = 𝑐𝑚𝑎𝜕 = ∞ , jika 𝑝1𝑐1𝑟 + 𝑝2𝑐2𝛽 − 𝐶 𝑒−𝛿𝑡 − 𝜆1𝑐1𝑟 − 𝜆2𝑐2𝛽 < 0

Kondisi ketika 𝐻𝐸> 0 𝑐 𝑑 = 𝑐𝑚𝑚𝑛 = 0, jika 𝑝1𝑐1𝑟 + 𝑝2𝑐2𝛽 − 𝐶 𝑒−𝛿𝑡 − 𝜆1𝑐1𝑟 − 𝜆2𝑐2𝛽 > 0

Pembahasan

(4.4)

Selanjutnya dicari nilai kontrol 𝑐, dengan cara sebagai berikut:

𝜕𝐻𝜕𝑐 𝑑 = 0

𝑝1𝑐1𝑟 + 𝑝2𝑐2𝛽 − 𝐶 𝑒−𝛿𝑡 − 𝜆1𝑐1𝑟 − 𝜆2𝑐2𝛽 = 0

𝑑𝐻𝐸𝑑𝑑 = 0

−𝛿𝑒−𝛿𝑡𝑝1𝑐1𝑟 + 𝑒−𝛿𝑡𝑝1𝑐1�̇� − 𝛿𝑒−𝛿𝑡𝑝2𝑐2𝛽 + 𝑒−𝛿𝑡𝑝2𝑐2�̇� +𝛿𝐶𝑒−𝛿𝑡 −𝜆1̇𝑐1𝑟 + 𝜆1𝑐1𝑟 −̇ 𝜆2̇𝑐2𝛽 + 𝜆2𝑐2�̇� = 0

Pembahasan

(4.5)

Kemudian subtitusikan nilai �̇�, �̇�, 𝜆1̇ dan 𝜆2̇ ke dalam persamaan (4.5) sehingga diperoleh nilai kontrol 𝑐 adalah

𝑐∗ =−𝛿𝑒−𝛿𝑡 𝑝1𝑐1𝑟 + 𝑝2𝑐2𝛽

2 𝜆1𝑐12𝑟 + 𝜆2𝑐22𝛽+𝑒−𝛿𝑡𝑝1𝑐1 𝑟𝑟 − 𝑟𝑟2

𝑘 − 𝛽𝑟𝛽𝛼 + 𝑟

2 𝜆1𝑐12𝑟 + 𝜆2𝑐22𝛽

+ 𝑒−𝛿𝑡𝑝2𝑐2

𝛽1𝑟𝛽𝛼 + 𝑟 − 𝑑𝛽 − 𝜌𝑟𝛽

𝛼 + 𝑟2 𝜆1𝑐12𝑟 + 𝜆2𝑐22𝛽

+𝛿𝐶𝑒−𝛿𝑡

2 𝜆1𝑐12𝑟 + 𝜆2𝑐22𝛽

+𝜆1𝑐1 2𝑟𝑟 − 3 𝑟𝑟

2

𝑘 − 𝛽𝛼𝛽𝛼 + 𝑟 2 𝑟 −

𝛽𝑟𝛽𝛼 + 𝑟

2 𝜆1𝑐12𝑟 + 𝜆2𝑐22𝛽

+𝜆2

𝛽1 − 𝜌 𝛼𝛽𝛼 + 𝑟 2 𝑐1𝑟

2 𝜆1𝑐12𝑟 + 𝜆2𝑐22𝛽−

𝜆1𝑐2𝛽𝑟𝛽𝛼 + 𝑟

2 𝜆1𝑐12𝑟 + 𝜆2𝑐22𝛽

+𝜆2𝑐2𝛽

𝛽1 − 𝜌 𝛼𝑟𝛼 + 𝑟 − 𝑑

2 𝜆1𝑐12𝑟 + 𝜆2𝑐22𝛽+𝜆2𝑐2

𝛽1𝑟𝛽𝛼 + 𝑟 − 𝑑𝛽 − 𝜌𝑟𝛽

𝛼 + 𝑟2 𝜆1𝑐12𝑟 + 𝜆2𝑐22𝛽

Pembahasan

Simulasi dengan menggunakan toolbox DOTcvp yang dapat langsung memecahkan masalah kendali optimal yang disesuaikan dengan parameter dan nilai-nilai yang telah diketahui.

Pembahasan

Parameter Nilai 𝑟 8 𝑘 10 𝛽 1 𝛼 1 𝑐1 0.1 𝑐2 0.3 𝜌 0.1 𝑑 0.1 𝛽1 0.4 𝑝1 4 𝑝2 5 𝐶 6 𝛿 0.03

Parameter Komputasi Simbol Nilai 40 hari Waktu akhir 0.0 Batas atas kontrol 0.5 Kondisi awal populasi fitoplankton

0.1

Kondisi awal populasi zooplankton

0.15

Pembahasan

Simulasi pertama yang dilakukan dengan mensimulasikan optimal control tanpa panen dengan kata lain nilai 𝑐 = 0 , maka akan didapat hasil seperti berikut, dimana 𝐽1 adalah populasi fitoplankton, 𝐽2 adalah populasi zooplankton.

Pembahasan

Gambar 1. State Variable tanpa panen

Pembahasan

Variabel kontrolnya bernilai nol, dikarenakan tidak adanya panen yang dilakukan.

Gambar 2. Variabel Kontrol tanpa panen

Simulasi kedua yang dilakukan dengan mensimulasikan optimal control dengan panen, maka akan didapat hasil seperti berikut:

Pembahasan

Gambar 3. state variable dengan panen

Pembahasan

Gambar di bawah ini menunjukkan bang-bang control

Gambar 3. Variabel Kontrol dengan panen

1. Pada analisis stabilitas lokal dapat diketahui bahwa model pemanenan fitoplankton-zooplankton memiliki titik kesetimbangan yang stabil yaitu pada: 𝑆 𝑟∗,𝛽∗ , dengan 𝑟∗ = 𝑑+𝑐2𝐸 𝛼

𝛽1−𝜌−𝑑−𝑐2𝐸, dan

𝛽∗ = 1𝛽𝑟 − 𝑐1𝑐 −

𝑟𝑑∗

𝑘𝑑 + 𝑟∗

𝑟∗ terletak pada 𝑅2+ jika 𝑐 < 𝛽1−𝜌−𝑑𝑐2

, 𝛽1 > 𝜌 + 𝑑

dan 𝛽∗ terletak pada 𝑅2+ jika 𝑟∗ < 𝑟−𝑐1𝐸 𝑘𝑟

dan 𝑐 < 𝑟𝑐1

. Stabil jika: 𝑟 − 𝑐1𝑐 −

2𝑟𝑑∗

𝑘− 𝛽𝛼𝑑∗

𝛼+𝑑∗ 2 < 0 dan 𝛽1−𝜌 𝑎𝑑∗𝛽𝑑∗

𝛼+𝑑∗ 3 > 0

2. Optimal control yang diperoleh pada model pemanenan fitoplankton dan zooplankton mempunyai bentuk yang tidak tunggal. Kontrolnya berupa bang – bang yang bergantung pada nilai fungsi switching pada interval waktu yang berbeda – beda. Kontrolnya dapat dinyatakan sebagai berikut :

𝑐 𝑑 �𝑐𝑚𝑎𝜕 jika 𝐻𝐸 < 0𝑐𝑚𝑚𝑛 jika 𝐻𝐸 > 0

dengan 𝐻𝐸 = 𝑝1𝑐1𝑟 + 𝑝2𝑐2𝛽 − 𝐶 𝑒−𝛿𝑡 − 𝜆1𝑐1𝑟 − 𝜆2𝑐2𝛽 sebagai fungsi switching. Berdasarkan hasil simulasi panen yang optimal, keuntungan yang maksimal diperoleh hari ke-32 dan keadaan stabil pada:

𝐽1 = 5.2 𝐽2 = 23.5

3. Berdasarkan hasil simulasi didapatkan bahwa dengan adanya kontrol pada usaha panen 𝑐 mengakibatkan populasi fitoplankton dan zooplankton stabil. Populasi tersebut dapat dipanen pada hari ke-25. Kemudian setelah hari ke-32 panen dapat dilakukan setiap hari secara optimal yaitu dengan memanen rumput laut sebanyak 5.1 kg dan ubur-ubur sebanyak 23.5 kg setiap harinya.

[1] Lv.Yunfei, P.Yongzhen, G.Shujing, L.Changguo. 2010. “Harvesting of a Phytoplankton-Zooplankton Model”. Nonlinear Analysis: Real World Applications Vol 11. Hal 3608-3619. [2] Gordon, H. 1954. The Economic Teory of A Common Property Resources : The Fishery. Journal Political Economic, 62 :124-132. [3] Finizio N. dan Landas G. (1998). “Ordinary Differential Equation With Modern Application”. California :Wasdsworth Publishing Company. [4] Subiono. 2010. Optimal Kontrol. Surabaya: Jurusan Matematika FMIPA ITS. [5] Naidu, D. S. 2002. “Optimal Control Systems”. USA : CRC Presses LC. [6] Y. Pei, L. Chen, Q. Zang, C. Li. 2005. “Extinction and Permanence of One-Prey Multi-Predators of Holling Tipe II Function Response System with Impulsive Biological Control ”. J.Theoret. Biol. 235. Hal 495-503. [7] Subchan, S. dan Zbikowski, R. 2009. “Computational Optimal Control: Tools and Practice”. UK: John Wiley & Sons Ltd. [8] Kar, T.K. dan Chattaphodyay, 2009. “Bioeconomic Modelling: An application to the North-East Atlantic Cod Fishery”. Journal of Mathematical and Research Vol 1 No.2. Hal 164-177. [9] Drofsign. 2013. Descartes’ Rule of Signs. http://www.purplemath.com/modules/drofsign.htm. Diakses pada tanggal 5 Juli 2013 [10] Sethi, S. P. dan Thompson, G. L. 2000. Optimal Control Theory: Application to Management Science and Economics. 2nd edition. New York: Springer Science+Business Media, Inc