FUNGSI DETERMINAN

ASDOS ALM 2014

FUNGSI DETERMINANPengantar DeterminanMenurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2 (materi invers) dapat dibalik jika ad bc 0.

Pernyataan ad bc disebut sebagai determinan matriks ANotasi : det(A) atau |A|Sehingga

PermutasiPermutasi dari himpunan bilangan bulat atau integer {1, 2, ... , n} adalah susunan integer-integer menurut suatu aturan tanpa adanya penghilangan atau pengulangan

Contoh Permutasi4Untuk himpunan integer {1, 2, 3} terdapat 6 permutasi yang berbeda. Coba temukan !

Catatan :Satu metode yang paling mudah untuk menyusun daftar permutasi secara sistematis adalah dengan menggunakan pohon permutasi (permutation tree).

Contoh PermutasiPohon Permutasi untuk himpunan 3 integer

Contoh PermutasiDari pohon permutasi sebelumnya, diperoleh permutasi-permutasi berbeda dapat disusun menjadi

(1, 2, 3) (2, 1, 3) (3, 1, 2)(1, 3, 2) (2, 3, 1) (3, 2, 1)

Diperoleh 6 permutasi untuk tiga integer {1, 2, 3}.Kesimpulan Contoh PermutasiDapat disimpulkan dengan empat integer diperoleh banyak permutasi 4321 = 24 susunan.Secara umum, himpunan {1, 2, . . . , n} akan memiliki n(n1) (n2) . . . 21= n! permutasi berbeda.Inversi dalam PermutasiDinyatakan suatu permutasi umum dari {1, 2, ..., n} sebagai (j1, j2, ... , jn), dimana j1 adalah integer pertama dalam dari permutasi, j2 adalah integer kedua dalam dari permutasi, dan seterusnya.Suatu inversi (inversion) atau pembalikan dikatakan terjadi dalam suatu permutasi (j1, j2, ... , jn) jika integer yang lebih besar mendahului integer yang lebih kecil.Inversi dalam PermutasiMenghitung jumlah total inversi :tentukan banyak integer yang lebih kecil dari j1 dan mengikuti j1 dalam permutasi

tentukan banyaknya integer yang lebih kecil dari j dan mengikuti j dalam permutasi. Lanjutkan proses perhitungan ini untuk j2, ... , jn1.

Contoh Inversi PermutasiTentukan banyaknya inversi pada permutasi-permutasi berikut !(a). (6, 1, 3, 4, 5, 2) Banyaknya inversi adalah 5 + 0 + 1 + 1+ 1 = 8(b). (2, 4, 1, 3) Banyak inversi adalah 1 + 2 + 0 = 3.(c). (1, 2, 3, 4)Tidak ada inversi untuk permutasi ini.Suatu permutasi dikatakan genap (even) jika total inversi adalah integer genap,Dan dikatakan ganjil (odd) jika total banyaknya inversi adalah integer ganjil.

Pengklasifikasian Inversi11Permutasi Banyaknya InversiKlasifikasi(1, 2, 3)0genap(1, 3, 2)1ganjil(2, 1, 3)1ganjil(2, 3, 1)2genap(3, 1, 2)2genap(3, 2, 1)3ganjilPengertian DeterminanSuatu hasil kali elementer (elementary product) dari suatu matriks A, n x n, adalah hasil kali dari n entri di A, yang tidak berasal dari baris dan kolom yang sama.

Hasil Kali ElementerContoh soalBuatlah daftar hasil kali elementer dari matriks-matriks

Hasil Kali ElementerPenyelesaianKarena setiap hasil kali elementer merupakan perkalian entri dalam matriks yang tidak sekolom dan sebaris maka untuk,

diperoleh: a11 a22 dan a12 a21Hasil Kali ElementerPenyelesaianDan untuk,

diperoleh: a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31Hasil Kali Elementer bertandaHasil kali elementer bertanda dari A (signed elementary product from A) adalah hasilkali elementer a1j1 a2j2 . . .anjn dikalikan +1 atau 1. Digunakan tanda + jika (j1, j2, ... , jn) adalah permutasi genap dan tanda jika (j1, j2, ... , jn) adalah permutasi ganjil.Contoh Hasil Kali Elementer BertandaBuatlah daftar hasilkali elementer bertanda dari matriks-matriks.

Contoh Hasil Kali Elementer Bertanda18Penyelesaiana) Matriks 2x2Hasilkali ElementerPermutasi yang BerkaitanGenap atau GanjilHasilkali Elementer Bertandaa11 a22(1, 2)genapa11 a22a12 a21(2, 1)ganjila12 a21Contoh Hasil Kali Elementer BertandaMenghitung determinan

Contoh Hasil Kali Elementer Bertanda20Penyelesaianb) Matriks 3x3

Hasilkali ElementerPermutasi yang BerkaitanGenap atau GanjilHasilkali Elementer Bertandaa11 a22 a33(1, 2, 3)genapa11 a22 a33a11 a23 a32(1, 3, 2)ganjila11 a23 a32a12 a21 a33(2, 1, 3)ganjila12 a21 a33a12 a23 a31(2, 3, 1)genapa12 a23 a31a13 a21 a32(3, 1, 2)genapa13 a21 a32a13 a22 a31(3, 2, 1)ganjila13 a22 a31Contoh Hasil Kali Elementer BertandaMenghitung Determinan

Cara lain (Metode Sarrus)22Untuk memudahkan perhitungan determinan dapat dilakukan dengan mengalikan entri-entri yang arah panah ke kanan dan mengurangkannya dengan hasil perkalian dari entri-entri dengan arah panah ke kiri.

(a) Determinan dari matriks 2 x 2

(b) Determinan dari matriks 3 x 3Contoh Diketahui matriks A =

Hitunglah determinan matriks A dengan Metode Sarrus ?

|A| =

= 1.1.4 + 2.5.3 + 3.4.2 3.1.3 1.5.2 2.4.4 = 4 + 30 + 24 9 10 32 = 7

ADA PERTANYAAN ?Latihan (1)Tentukan banyaknya inversi pada permutasi-permutasi berikut !5,3,2,1,4 10,12,8,1,3,5,77,4,3,6,2,1,8

Klasifikasikan inversi permutasi di atas !

Latihan (2)Hitunglah determinan dari matriks dibawah ini menggunakan metode hasil kali elementer bertanda !

a) b)

26Latihan (4)Hitunglah determinan dari matriks di bawah ini menggunakan Metode Sarrus