Aljabar Linear 1/Tugas 1/Mario Jaya M. Jusman/1311041016/Pendidikan Matematika/UNM

Sistem Persamaan Linier

Pengertian Sistem Persamaan Linear

Persaman adalah kalimat terbuka yang mengandung hubungan (relasi) sama dengan.

Sedangkan persamaan linear adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah

satu atau berderajat satu. Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya

mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal.

Sistem persamaan linear ialah kumpulan dari persamaan-persamaan linear yang saling

berhubungan untuk mencapai tujuan tertentu. Sistem persamaan linear adalah himpunan beberapa

persamaan linear yang saling terkait, dengan koefisien-koefisien persamaan adalah bilangan real.

Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus

dalam Sistem koordinat Kartesius.

Contoh grafik dari suatu persamaan

linear dengan nilai m=0,5 dan b=2 (garis

merah)

Bentuk umum untuk persamaan linear

adalah:

Dalam hal ini, konstanta m akan

menggambarkan gradien garis, dan konstanta

b merupakan titik potong garis dengan sumbu-

y. Persamaan lain, seperti x3, y1/2, dan

bukanlah persamaan linear

Sifat-sifat Persamaan Linear

a. Nilai persamaan tidak berubah, jika :

1) Kedua ruas ditambah atau dikurangi bilangan yang sama.

2) Kedua ruas dikalikan atau dibagi bilangan yang sama.

b. Suatu persamaan jika dipindahkan ruas, maka :

1) Penjumlahan berubah menjadi pengurangan dan sebaliknya.

2) Perkalian berubah menjadi pembagian dan sebaliknya.

Aljabar Linear 1/Tugas 1/Mario Jaya M. Jusman/1311041016/Pendidikan Matematika/UNM

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear

SPL dengan 2 variabel dari 2 persamaan, mempunyai bentuk umum sebagai berikut:

SPL dengan 3 variabel dari 3 persamaan, mempunyai bentuk umum sebagai berikut:

Bentuk Umum:

Contoh 2

o SPL dengan 2 variabel dari 2 persamaan

o SPL dengan 3 variabel dari 3 persamaan

Sistem Persamaan dengan n Variabel dan m Persamaan

Bentuk yang melibatkan variabel, yaitu

f (x1 , x2 , … , xn) = c

disebut persamaan dengan n buah variabel. Sistem persamaan adalah suatu sistem yang terdiri dari

dua atau lebih persamaan, yaitu

Aljabar Linear 1/Tugas 1/Mario Jaya M. Jusman/1311041016/Pendidikan Matematika/UNM

f1 (x1 , x2 , … , xn) = c1

f2 (x1 , x2 , … , xn) = c2

fm(x1 , x2 , … , xn) = cm

Sistem persamaan di atas disebut sistem persamaan dengan n buah variabel dan m persamaan.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Penyelesaian suatu sistem persamaan linier adalah suatu himpunan nilai yang memenuhi

secara serentak (simultan) semua persamaan-persamaan dari sistem tersebut dengan memperhatikan

domain atau daerah asalnya. Atau secara sederhana penyelesaian sistem persamaan linier adalah

menentukan titik potong dari dua persamaan linier.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

Ilustasi Grafik

Misalnya SPL 2 persamaan dengan 2 variabel

Masing-masing persamaan berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini

Aljabar Linear 1/Tugas 1/Mario Jaya M. Jusman/1311041016/Pendidikan Matematika/UNM

Dikatakan tidak memiliki solusi jika persamaan garis yang menyusun system persamaan

linear itu sejajar tetapi tidak berimpit. Dikatakan memiliki satu solusi jika garis saling berpotongan.

Dan dikatakan memiliki tak hingga banyaknya solusi jika garis garis itu berimpit.

Metode penyelesaian suatu sistem persamaan linier, yaitu:

1. Subtitusi (Penggantian)

Prinsip yang dilakukan metode ini adalah dari salah satu persamaan linear kita buat nilai

eksplisit salah satu variabelnya terhadap variabel lainnya. Kemudian susbtitusi nilai eksplisit

variabel yang didapat ke dalam persamaan linear yang lainnya, sehingga diperoleh nilai variabel

yang diinginkan. Artinya, kita menyatakan variabel yang satu ke dalam variabel lain pada suatu

persamaan atau dengan kata lain mengubah salah satu persamaan dalam bentuk x atau y.

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dengan cara subtitusi dari sistem persamaan:

2x – y = 4 dan x + y = 5 untuk x, y ∈ R!

Penyelesaian :

2x – y = 4 ……………. ( Pers.1 )

x + y = 5 ……………. ( Pers.2 )

Dari persamaan (1), 2x – y = 4 dapat diubah menjadi y = 2x – 4.

Kemudian nilai y disubstitusikan pada persamaaan (2).

Sehingga diperoleh :

x + y = 5 ↔ x + 2x – 4 = 5

↔ 3x – 4 = 5

↔ 3x = 5 + 4

↔ 3x = 9

↔ x=3

Nilai y diperoleh dengan menyubstitusikan nilai x = 3 pada persamaan (1) atau (2) sehingga

diperoleh :

2x – y = 4 ↔ 2 x 3 – y = 4

↔ 6–y=4

↔ y=4–6

↔ y = -2

Jadi himpunan penyelesaian sistem persamaan lineartersebut adalah {(3,2)}

2. Eliminasi (Pelenyapan)

Metode eliminasi adalah salah satu metode yang sederhana, yaitu dengan cara menghilangkan

suatu atau beberapa variabel dari semua persamaan yang lain, sehingga diperoleh nilai dari

Aljabar Linear 1/Tugas 1/Mario Jaya M. Jusman/1311041016/Pendidikan Matematika/UNM

variabel yang kita inginkan. Mengeliminasi atau melenyapkan salah satu variabel dan variabel

yang akan dieleminasi harus mempunyai koefisien yang sama.

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dengan cara eliminasi dari sistem persamaan: 2x + 3y

= 13 dan x - y = -1 untuk x, y∈ R !

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2,3)}

3. Campuran (Eliminasi-Subtitusi)

Cara eliminasi-subtitusi adalah dengan menggabungkan antara metode eliminasi dan metode

subtitusi atau sebaliknya.

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dengan cara eliminasi dan subtitusi dari sistem

persamaan: 2x + 3y = 13 dan x - y = -1 untuk x, y∈ R !

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2,3)}

Aljabar Linear 1/Tugas 1/Mario Jaya M. Jusman/1311041016/Pendidikan Matematika/UNM

4. Determinan

Misal persamaan pada soal sebelumnya yaitu 3x-2y=7 dan 2x+4y=10 akan diselesaikan dengan

cara determinan:

Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan

pasangan (3,1)

5. Grafik

Mencari titik potong pada masing – masing persamaan

Untuk 2x + 3y = 13

Jika x = 0 maka y = 13/3, titiknya (0,13/3)

Jika y = 0,maka x = 13/2,titiknya (13/2,0)

Untuk x – y = -1

jika x = 0, maka y = 1, titiknya (0,1)

jika y = 0, maka x = -1, titiknya (-1,0)

Aljabar Linear 1/Tugas 1/Mario Jaya M. Jusman/1311041016/Pendidikan Matematika/UNM

Dari gambar di atas dapat di simpulkan bahwa penyelesaian dari SPL dengan grafik merupakan

titik potong dari kedua garis persamaannya. Jadi HP = {2,3}