Aljabar Boolean, Sintesis Ekspresi...

@2011 eko didik widianto (http://didik.blog.undip.ac.id) TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip – 1 / 39

Aljabar Boolean, Sintesis Ekspresi Logika

Eko Didik Widianto ([email protected])

Sistem Komputer - Universitas Diponegoro

Review Kuliah


• Sebelumnya konsep rangkaian logika telah dibahas, meliputi

◦ variabel, fungsi, ekspresi dan persamaan logika

◦ tabel kebenaran dari fungsi logika

◦ gerbang dan rangkaian logika

◦ analisis rangkaian logika

• Berikutnya adalah menggunakan konsep tersebut untuk mengimplementasikanfungsi logika menjadi suatu rangkaian logika (sintesis), baik menggunakan tabelkebenaran maupun aljabar Boolean

Bahasan


Aljabar BooleanDalil Teorema HukumPembuktian AljabarDiagram VennNotasi dan Urutan Operasi

Sintesis Ekspresi LogikaProses SintesisSintesis dari TabelMinterm dan Bentuk SOPDuality SOP - POSMaxterm dan Bentuk POSKonversi BentukMenyederhanakan RangkaianGerbang NAND dan NORRangkaian NAND-NANDRangkaian NOR-NOR

Aljabar Boolean

Aljabar Boolean

• Dalil Teorema Hukum

• Pembuktian Aljabar

• Diagram Venn

• Notasi dan Urutan Operasi

Sintesis Ekspresi Logika


Aljabar Boolean

Aljabar Boolean



• Diagram Venn




• Skema untuk deskripsi aljabar dari prosesberpikir secara logika dan reasoning (tahun1849)

• Kemudian digunakan untuk menjabarkanrangkaian logika

◦ desain dan analisis rangkaian

◦ menyederhanakan suatu ekspresi logikauntuk implementasi fisik rangkaian yanglebih sederhana

George Boole(1815-1864)

Dalil Aljabar Boolean dan Prinsip Dualitas

Aljabar Boolean



• Diagram Venn




• Aljabar Boolean menggunakan aturan-aturan yang diturunkan dariasumsi dasar (aksioma/dalil/postulat)

1a. 0 · 0 = 02a. 1 · 1 = 13a. 0 · 1 = 1 · 0 = 04a. Jika x = 0, maka x = 1

1b. 1 + 1 = 12b. 0 + 0 = 03b. 1 + 0 = 0 + 1 = 14b. Jika x = 1, maka x = 0

• Dalil dituliskan berpasangan →untuk menunjukkan prinsip dualitas

◦ Jika diberikan sebarang ekspresi logika, dual dari ekspresitersebut dapat dibentuk dengan mengganti semua + dengan ·

atau sebaliknya serta mengganti 0 dengan 1 atau sebaliknya

• dalil(b) merupakan dual dari dalil(a) dan sebaliknya

◦ Dual dari pernyataan benar adalah juga benar

Teorema 1 Variabel

Aljabar Boolean



• Diagram Venn




• Aturan ini diturunkan dari aksioma. x adalah variabel tunggal

5a. x · 0 = 06a. x · 1 = x

7a. x · x = x

8a. x · x = 0

5b. x+ 1 = 16b. x+ 0 = x

7b. x+ x = x

8b. x+ x = 19. x = x

• Pembuktian teorema dengan induksi

◦ Memasukkan nilai x = 0 dan x = 1 ke dalam ekspresi

• Pernyataan di teorema (a) adalah dual dari pernyataan (b) dansebaliknya

◦ f1(x1, x2) = x1 + x2 dualnya adalah f2(x1, x2) = x1 · x2

Misalnya: f1 = 0 + 0 = 0, f2 = 1 · 1 = 1, sehingga f1danf2 dual

Hukum-hukum Aljabar

Aljabar Boolean



• Diagram Venn




10a. x · y = y · x 10b. x + y = y + x →Komutatif

11a. x · (y · z) = (x · y) · z 11b. x + (y + z) = (x + y) + z →Asosiatif

12a. x · (y + z) = x · y + x · z 12b. x + y · z = (x + y) · (x + z) →Distributif

13a. x + x · y = x 13b. x · (x + y) = x →Absorsi

14a. x · y + x · y = x 14b. (x + y) · (x + y) = x →Penggabungan

15a. x · y = x + y 15b. x + y = x · y →DeMorgan

16a. x + x · y = x + y 16b. x · (x + y) = x · y

17a.

x ·y+y ·z+x ·z = x ·y+x ·z

17b. (x + y) · (y + z) · (x + z) =

(x + y) · (x + z)

→Konsensus

• Pembuktian hukum (identity, property) tersebut dapat dilakukansecara induktif (dengan tabel kebenaran) maupun denganmelakukan perhitungan aljabar

• Contoh: teorema DeMorgan secara induktif

• Buktikan 12a,b 13a,b 16a,b dan 17a,b secara induktif dan aljabar

Pembuktian Aljabar

Aljabar Boolean



• Diagram Venn




• Buktikan persamaan logika berikut benar

1.(x1 + x2) · (x1 + x2) = x1 · x2 + x1 · x2

2. x1 · x3 + x2 · x3 + x1 · x3 + x2 · x3 = x1 + x2

Pembuktian Aljabar

Aljabar Boolean



• Diagram Venn




• Buktikan persamaan logika berikut benar

1.(x1 + x2) · (x1 + x2) = x1 · x2 + x1 · x2

2. x1 · x3 + x2 · x3 + x1 · x3 + x2 · x3 = x1 + x2

f = x1 · x3 + x2 · x3 + x1 · x3 + x2 · x3

= x1 · x2 + x1 · x2 + x1 · x2

= x1 + x2

◦ Menghasilkan ekspresi logika yang lebih sederhana, rangkaianlogika lebih sederhana

◦ Teorema dan property menjadi basis untuk sintesis fungsilogika di perangkat CAD

Diagram Venn

Aljabar Boolean



• Diagram Venn




• Membuktikan ekuivalensi 2 ekspresi logika secara visual

• Suatu set s merupakan koleksi elemen yang merupakan anggotadari s

◦ dalam hal ini s merupakan koleksi variabel dan/atau konstan

• Elemen (variabel/konstan) dinyatakan sebagai area dengan konturseperti kotak, lingkaran atau elips

Diagram Venn

Aljabar Boolean



• Diagram Venn




DeMorgan: x · y = x+ y

Aljabar Boolean



• Diagram Venn




• Hasil diagram Venn yang sama menunjukkan kedua ekspresi sama

Notasi Operator Fungsi Logika

Aljabar Boolean



• Diagram Venn




• Kemiripan operasi penjumlahan dan perkalian antara logika danaritmetika

◦ Operasi OR disebut sebagai logika penjumlahan (sum)

◦ Operasi AND disebut sebagai logika perkalian (product)

Operasi Notasi Operator KeteranganOR +,

∨, | Bitwise OR

AND ·,∧

, & Bitwise AND

• Ekpresi ABC+A’BD+A’CE

◦ Merupakan jumlah dari 3 operasi/term perkalian (SOP,sum-of-product terms)

• Ekspresi (A+B+C)(A’+B+D)(A’+C+E)

◦ Merupakan perkalian dari 3 operasi/term penjumlahan (POS,product-of-sum terms)

(Konvensi) Urutan Operasi

Aljabar Boolean



• Diagram Venn




• Jika dalam satu ekspresi tidak terdapat tutup kurung, operasi fungsilogika dilakukan dengan urutan:

1. NOT

2. AND

3. OR

• Misalnya ekspresi x+ x · y

◦ variabel x di term kedua diinversikan, kemudian di-AND-kandengan variabel y

◦ term pertama dan kedua kemudian di-OR-kan

• Latihan

◦ Gambar rangkaian untuk persamaan logikaf = (x1 + x2) · x3 dan f = x1 + x2 · x3

Hasil yang Diharapkan Dari Kuliah

Aljabar Boolean



• Diagram Venn




Mahasiswa mampu:

1. mengerti tentang dalil, teorema dan hukum aljabar

2. membuktikan persamaan 2 ekspresi logika secara induktif,manipulasi aljabar dan diagram Venn

3. menyederhanakan suatu ekspresi logika menggunakan dalil,teorema dan hukum aljabar (manipulasi aljabar)

4. mengerti tentang beragam notasi operasi logika (AND,OR) danurutan operasi logika


Aljabar Boolean


• Proses Sintesis

• Sintesis dari Tabel

• Minterm dan Bentuk SOP

• Duality SOP - POS

• Maxterm dan Bentuk POS

• Konversi Bentuk• MenyederhanakanRangkaian

• Gerbang NAND dan NOR

• Rangkaian NAND-NAND

• Rangkaian NOR-NOR


Proses Sintesis

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Diinginkan suatu fungsi, bagaimana mengimplementasikannyadalam bentuk ekspresi atau rangkaian logika?

◦ Proses ini disebut sintesis: membangkitkan ekspresi dan/ataurangkaian dari deskripsi perilaku fungsionalnya

• Misalnya

◦ Desain rangkaian logika dengan dua masukan x1dan x2

◦ Rangkaian memonitor switch, menghasilkan keluaran logika 1 jikaswitch (x1,x2) mempunyai keadaan (0,0), (0,1) atau (1,1) dankeluaran 0 jika switch (1,0)

◦ Pernyataan lain: jika switch x1tersambung dan x2terputus maka

keluaran harus 0, keadaan switch lainnya keluaran harus 1

Proses Sintesis

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Diinginkan suatu fungsi, bagaimana mengimplementasikannyadalam bentuk ekspresi atau rangkaian logika?

◦ Proses ini disebut sintesis: membangkitkan ekspresi dan/ataurangkaian dari deskripsi perilaku fungsionalnya

• Misalnya

◦ Desain rangkaian logika dengan dua masukan x1dan x2

◦ Rangkaian memonitor switch, menghasilkan keluaran logika 1 jikaswitch (x1,x2) mempunyai keadaan (0,0), (0,1) atau (1,1) dankeluaran 0 jika switch (1,0)

◦ Pernyataan lain: jika switch x1tersambung dan x2terputus maka

keluaran harus 0, keadaan switch lainnya keluaran harus 1

• Langkah desain: membuat tabel kebenaran untuk menuliskan termperkalian yang menghasilkan keluaran 1

Tabel Kebenaran dan Hasil Ekspresi (SOP)

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Tabel kebenaran untuk fungsi yang harus disintesis

• Realisasi f adalah f = x1x2 + x1x2 + x1x2

Latihan Sintesis


• Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z

◦ Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) yatau z bernilai 1

1. Tuliskan ekspresi dan rangkaian logikanya

2. Sederhanakan rangkaian tersebut

Minterm dan Bentuk Kanonik SOP

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel f (x1, x2 . . . xn)

◦ Sebuah minterm dari f adalah satu term perkalian dari nvariabel yang ditampilkan sekali, baik dalam bentuk tidakdiinverskan maupun diinverskan

◦ Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, mintermdibentuk dengan memasukkan variabel xi jika xi = 1 atau xi

jika xi = 0

◦ Notasi mj merupakan minterm dari baris nomor j di tabelkebenaran. Contoh:

• Baris 1 (j = 0), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0minterm: m0 = x1x2x3

• Baris 2 (j = 1), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1minterm: m1 = x1x2x3

Minterm dan Bentuk Kanonik SOP

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Tiap baris dari tabelkebenaran membentuk satubuah minterm

• Fungsi f dapat dinyatakan

dengan ekspresi

penjumlahan dari semua

minterm di mana tiap minterm

di-AND-kan dengan nilai f

yang bersesuaian

Baris i x1 x2 x3 minterm mi f

0 0 0 0 x1x2x3 0

1 0 0 1 x1x2x3 1

2 0 1 0 x1x2x3 0

3 0 1 1 x1x2x3 0

4 1 0 0 x1x2x3 1

5 1 0 1 x1x2x3 1

6 1 1 0 x1x2x3 1

7 1 1 1 x1x2x3 0

• Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik SOP:

f = m0 · 0 + m1 · 1 + m2 · 0 + m3 · 0 + m4 · 1 + m5 · 1 + m6 · 1 + m7 · 0

= m1 + m4 + m5 + m6

= x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

Notasi SOP

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Persamaan SOP dapat dinyatakan dalam notasi m

f = m1 +m4 +m5 +m6

= x1x2x3︸︷︷︸

1

+ x1x2x3︸︷︷︸

4

+ x1x2x3︸︷︷︸

5

+ x1x2x3︸︷︷︸

6

• Notasi Persamaan SOP: f =∑

m(1, 4, 5, 6)

• Implementasi:

◦ Ekspresi fungsi f tersebut secara fungsional benar dan unik

◦ Namun, mungkin tidak menghasilkan implementasi yangpaling sederhana

Prinsip Duality

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Jika suatu fungsi f dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran, makaekspresi untuk f dapat diperoleh (disintesis) dengan cara:

1. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=1, atau

2. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=0

• Pendekatan (1) menggunakan minterm

• Pendekatan (2) menggunakan komplemen dari minterm, disebutmaxterm

Penjelasan Dualitas SOP-POS

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Jika fungsi f dinyatakan dalam tabel kebenaran, maka fungsiinversnya f , dapat dinyatakan dengan penjumlahan mintermdengan f = 1, yaitu di baris di mana f = 0

f = m0 + m2 + m3 + m7

= x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3


f = m0 + m2 + m3 + m7

= x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

=(

x1x2x3

)

·

(

x1x2x3

)

·

(

x1x2x3

)

· (x1x2x3)

= (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3)

• Meletakkan dasar untuk menyatakan fungsi sebagai bentukperkalian semua term perjumlahan, maxterm

Maxterm dan Bentuk Kanonik POS

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel f (x1, x2 . . . xn)

• Sebuah maxterm dari f adalah satu term penjumlahan dari nvariabel yang ditampilkan sekali baik dalam bentuk tidak diinverskanmaupun diinverskan

◦ Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, maxtermdibentuk dengan memasukkan variabel xi jika xi = 0 atau xi

jika xi = 1

◦ Notasi Mj (dengan huruf M besar) merupakan maxterm daribaris nomor j di tabel kebenaran. Contoh:

• Baris 1 (j = 0), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0maxterm: M0 = x1 + x2 + x3

• Baris 2 (j = 1), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1maxterm: M1 = x1 + x2 + x3

Maxterm dan Bentuk Kanonik POS

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Tiap baris dari tabelkebenaran membentuk satubuah maxterm


dengan ekspresi perkalian

dari semua maxterm di mana

tiap maxterm di-OR-kan

dengan nilai f yang

bersesuaian

Baris i x1 x2 x3 maxterm Mi f

0 0 0 0 x1 + x2 +x3 0

1 0 0 1 x1 + x2 +x3 1

2 0 1 0 x1 + x2 +x3 0

3 0 1 1 x1 + x2 +x3 0

4 1 0 0 x1 + x2 +x3 1

5 1 0 1 x1 + x2 +x3 1

6 1 1 0 x1 + x2 +x3 1

7 1 1 1 x1 + x2 +x3 0

• Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik POS:

f = (M0 + 0) (M1 + 1) (M2 + 0) (M3 + 0) (M4 + 1) (M5 + 1) (M6 + 1) (M7 + 0)

= M0 · M2 · M3 · M7

= (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3)

Notasi POS

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Persamaan POS dapat dinyatakan dalam notasi M

f = M0 · M2 · M3 · M7

= (x1 + x2 + x3)︸︷︷︸

0

· (x1 + x2 + x3)︸︷︷︸

2

· (x1 + x2 + x3)︸︷︷︸

3

· (x1 + x2 + x3)︸︷︷︸

7

• Notasi Persamaan SOP: f =∏

M(0, 2, 3, 7)

• Persamaan berikut benar untuk fungsi f (x1, x2, x3)di atas:

∑

m(1, 4, 5, 6) =∏

M(0, 2, 3, 7)

x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 = (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3)

(x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3)

Konversi Bentuk POS-SOP

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Jika suatu fungsi f diberikan dalam bentuk∑

m atau∏

M , makadengan mudah dapat dicari fungsi f atau f dalam bentuk

∑m atau∏

M

Bentuk Fungsi dan Bentuk yang Diinginkan

Asal f =∑

m f =∏

M f =∑

m f =∏

M

f =∑

m

(1,4,5,6)

- Nomor yg tdkada dlmdaftar

(0,2,3,7)

Nomor yangtdk ada dlmdaftar

(0,2,3,7)

Nomor yangada dlmdaftar

(1,4,5,6)

f =∏

M

(0,2,3,7)

Nomor yg tdkada dlmdaftar

(1,4,5,6)

- Nomor yangada dlmdaftar

(0,2,3,7)

Nomor yg tdkada dlmdaftar

(1,4,5,6)

• Bagaimana bentuk kanonik POS dan SOP untuk fungsi 4 variabel?

◦ Walaupun bisa menjadi masalah untuk implementasi di FPGAyang hanya mempunyai LUT 2-masukan

• Dilakukan dengan sintesis multilevel

Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Suatu fungsi logika dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk ekspresi yang ekivalen

◦ Misalnya: f1 = x1x2 + x1x2 + x1x2 dan f2 = x1 + x2 adalah ekivalensecara fungsional

◦ Proses optimasi memilih salah satu dari beberapa rangkaian ekivalen untukmemenuhi constraint nonfungsional (area, cost)

◦ Catatan: rangkaian dengan jumlah gerbang minimal bisa jadi bukanmerupakan solusi terbaik, tergantung constraintnya. Misalnya constraint delay

Fungsi: f = x1x2 + x1x2 + x1x2

• Replikasi term 2: f = x1x2 +x1x2 +x1x2 +x1x2

• Distributif (12b): f = x1 (x2 + x2) + (x1 + x1) x2

• Teorema (8b): f = x1 · 1 + 1 · x2

• Teorema (6a): f = x1 + x2

Tips Penyederhanaan SOP dan POS

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Operasi penyederhanaan adalah mengurangi minterm atau maxterm di ekspresi

◦ SOP: menggunakan hukum 14a (x · y + x · y = x)

◦ POS: menggunakan hukum 14b ((x+ y) · (x+ y) = x)

• Beberapa minterm atau maxterm dapat digabungkan menggunakan hukum 14a atau14b jika berbeda hanya di satu variabel saja

◦ f (x1, x2, x3) = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

m1 dan m5 berbeda di x1, dan m4 dan m6 berbeda di x2

f = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

= (x1 + x1) x2x3 + x1(x2 + x2)x3

= x2x3 + x1x3

◦ f (x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3)

M0 dan M2 berbeda di x2, dan M4 dan M7 berbeda di x1

f = ((x1 + x3) + x2x2) (x1x1 + (x2 + x3))

= (x1 + x3) (x2 + x3)

Latihan Sintesis


1. Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z

• Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) yatau z bernilai 1

(a) Tuliskan ekspresi SOP dan POS berikut notasinya

(b) Cari invers fungsi tersebut

(c) Sederhanakan rangkaian dan gambar rangkaian logikanya

2. Cari minterm, maxterm dan tuliskan bentuk SOP dan POS dari

• fungsi f = (x1 + x2) · x3

Rangkaian Logika dengan NAND dan NOR

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Fungsi NAND adalah inversi fungsiAND

f(x1, x2) = f1(x1, x2) = x1 · x2

• Gerbang NAND merupakan gerbang

AND yang diikuti gerbang NOT

• Fungsi NOR adalah inversi fungsi OR

f(x1, x2) = f1(x1, x2) = x1 + x2

• Gerbang NOR merupakan gerbang

OR yang diikuti gerbang NOT

Rangkaian NAND Lebih Sederhana dari AND

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Di CMOS, implementasi rangkaian dari gerbang NAND dan NORlebih sederhana (dan cepat) daripada AND dan OR

◦ Sehingga rangkaian lebih kecil dan lebih cepat untukmewujudkan fungsi logika yang sama

CMOS NAND (4 transistor) CMOS AND (6 transistor)

Rangkaian NOR Lebih Sederhana dari OR

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










CMOS NOR (4 transistor) CMOS OR (6 transistor)

Recall: Teorema DeMorgan

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










Rangkaian AND-OR dan NAND-NAND

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Rangkaian AND-OR (bentuk SOP) dapat dikonversi menjadirangkaian NAND-NAND

• Bentuk ekspresinya: inverskan minterm, ganti (+) dengan (.), inverskan ekspresi

◦ Contoh: f =∑

m(1, 4, 5, 6)

f = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

= x1x2x3 · x1x2x3 · x1x2x3 · x1x2x3

Rangkaian OR-AND dan NOR-NOR

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










• Rangkaian OR-AND (bentuk POS) dapat dikonversi menjadirangkaian NOR-NOR

• Bentuk ekspresinya: inverskan maxterm, ganti (.) dengan (+), inverskan ekspresi

• Contoh: f =∏

M(0, 2, 3, 7)

f = (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3)

=(

x1 + x2 + x3

)

+(

x1 + x2 + x3

)

+(

x1 + x2 + x3

)

+(

x1 + x2 + x3

)

Latihan


1. Sederhanakan fungsi f =∑

m (0, 2, 4, 5) dan buat rangkaian NAND-NANDdan NOR-NOR-nya

2. Dalam rangkaian multiplexer, terdapat 2 sinyal data masukan x1 dan x2.Keluaran dikontrol oleh sinyal s. Asumsi keluaran akan sama dengan nilai x1jika s=0 dan sama dengan x2 jika s=1. Desain rangkaian logika sederhananya.Gambarkan juga rangkaian NAND-NANDnya.

Hasil yang Diharapkan dari Kuliah

Aljabar Boolean


• Proses Sintesis










Mahasiswa mampu:

1. melakukan sintesis ekspresi logika dari suatu tabel kebenaran fungsi logikadan ekspresi logika

2. menuliskan minterm dan bentuk kanonik SOP suatu fungsi

3. menuliskan maxterm dan bentuk kanonik POS suatu fungsi

4. mengkonversi bentuk SOP - POS untuk menyatakan fungsi yang sama

5. menyederhanakan ekspresi logika menggunakan prinsip aljabar

6. mengimplementasikan fungsi logika dengan gerbang NOR dan NAND

Aljabar Boolean, Sintesis Ekspresi...

Documents

Transcript of Aljabar Boolean, Sintesis Ekspresi...