ALGORITMA FLOYD-

WARSHALL DENGAN

SIKLUS NEGATIF Fajar Maulana Putra [5109100057]

Ahmad Yusuf Syaifuddin [5109100134]

Agus Budi Raharjo [5109100164]

Adam [5109100702]

PENDAHULUAN

Algoritma Floyd Warshall adalah algoritma

untuk mencari jarak terpendek dari semua

simpul dalam graf

Hanya bisa untuk graf tanpa siklus negatif,

namun bisa mendeteksi keberadaan siklus

negatif dalam graf

PENELITIAN SEBELUMNYA

Banyak peneliti yang sudah menemukan

alternatif algoritma Floyd Warshall, diantaranya

: Michael L. Fredman, New bounds on the complexity of the shortest

path problem, SIAM Journal on Computing 5 (1) (1976) 83–89.

Tadao Takaoka, A new upper bound on the complexity of the all pairs

shortest path problem, Information Processing Letters 43 (1992) 195–

199.

Yijie Han, A note of an O(n3 / log n) time algorithm for all pairs

shortest paths, Information Processing Letters 105 (2008) 114–116

Tadao Takaoka, A faster algorithm for the all-pairs shortest path

problem and its application, in: K.-Y. Chwa, J.I. Munro (Eds.),

COCOON 2004, in: Lecture Notes in Computer Science, vol. 3106,

SpringerVerlag, Berlin–Heidelberg, 2004, pp. 278–289.

Uri Zwick, A slightly improved sub-cubic algorithm for the all pairs

shortest paths problem with real edge lengths, Algorithmica 46 (2006)

181–192.

Tadao Takaoka, An O(n3 log log n / log n) time algorithm for the

allpairs shortest path problem, Information Processing Letters

96(2005) 155–161.

Timothy M. Chan, All-pairs shortest paths with real weights in O(n3 /

log n) time, Algorithmica 50 (2008) 236–243.

Yijie Han, An O(n3(log log n / log n)5/4) time algorithm for all pairs

shortest paths, Algorithmica 51 (2008) 428–434.

Timothy M. Chan, More algorithms for all-pairs shortest paths in

weighted graphs, in: STOC’07, 2007, pp. 590–598.

Yijie Han, An O(n3 log log n/ log2n) time algorithm for all pairs

shortest paths, Manuscript, 2009.

Akan tetapi, algoritma-algoritma di atas jauh lebih

rumit dan seringkali melibatkan struktur data yang

kompleks, sehingga dalam banyak kasus algoritma

Floyd Warshall tetap menjadi pilihan

TUJUAN

Tujuan Stefan Hougardy membuat paper ini

adalah untuk menunjukkan bahwa untuk

algoritma Floyd Warshall yang standar, terdapat

contoh sederhana (dengan siklus negatif) yang

bisa menyebabkan overflow

MASUKAN

Sebuah graf berarah G dimana G boleh memiliki

siklus negatif

Contoh graf berarah dengan siklus negatif

METODE PENELITIAN

Algoritma Floyd Warshall

Masukan: Sebuah graf berarah G dengan V(G) ={1,...,n} dan bobot c : E(G) → R

Keluaran: Sebuah matriks M berukuran n x n dimana M[i, j] berisi jarak terpendek dari simpul i ke simpul j.

1. M[i,j] := ∞ ∀i ≠ j

2. M[i,i] := 0 ∀i

3. M[i,j] := c((i,j)) ∀(i,j) ∈ E(G)

4. for i := 1 to n do

5. for j := 1 to n do

6. for k := 1 to n do

7. if M[j,k] > (M[j,i]+M[i,k]) then

8. M[j,k] := M[j,i] + M[i,k]

9. for i := 1 to n do

10. if M [i,i] < 0 then return (‘graf memiliki siklus negatif’)

Dari deskirpsi masukan diatas, kita memisalkan

cmax sebagai nilai mutlak terbesar dari sebuah

sisi dalam graf, atau bisa ditulis

cmax := maxe ∈ E(G) {|c(e)|}

║M║max adalah norma maksimum dari matriks M dengan mengabaikan nilai ∞,atau bisa ditulis

:

║M║max := maxi,j{|M[i,j]| dimana M[i,j] ≠ ∞}

Dari fakta diatas menghasilkan proposisi

berikut:

Jika masukan pada Algoritma Floyd Warshall

tidak memiliki siklus negatif, maka ║M║max ≤

n.cmax selama eksekusi algoritma

Bukti : Jika tidak ada siklus negatif, maka selama algoritma bekerja, M[i,j] ≠ ∞ berisi jarak

dari simpul i ke simpul j. Dengan demikian

sebuah path bisa berisi paling banyak n-1 sisi

dari hasil akhir

Sekarang akan dibuktikan bahwa entry dari matriks

M bisa membesar secara eksponensial jika masukan

berisi siklus negatif, diberikan teorema berikut :

Terdapat sebuah graf dimana

║M║ max = 2 · 6n-1· cmax

selama eksekusi Algoritma Floyd Warshall.

Bukti : misalkan ada graf dengan simpul 1…n dan

himpunan sisi E = {(1,i) | 1 ≤ i ≤ n} U {(I,1) | 2 ≤ i ≤ n}.

Berikan c(e) = -1 untuk semua e ∈ E

Contoh matriks dan penyelesaian

HASIL PENELITIAN

Hasil dari penelitian yang dilakukan oleh Stefan

Hougardy adalah kebenaran teorema berikut :

Terdapat sebuah graf dimana

║M║ max = 2 · 6n-1· cmax

selama eksekusi Algoritma Floyd Warshall.