Algoritma dan Struktur Data

AVL Tree

Outline

AVL Tree Definisi Sifat Operasi

27th Mar 2007

AVL TreeBinary Search Trees yang tidak imbang memiliki efisiensi yang buruk. Worst case: O(n).AVL (Adelson-Velskii & Landis) tree adalah BST yang imbang.Setiap node di AVL tree memiliki balance factor bernilai -1, 0, atau 1.

27th Mar 2007

X X

H

H-1H-2

AVL Tree

27th Mar 2007

10

5

3

20

2

1 3

10

5

3

20

1

43

5

AVL Tree

27th Mar 2007

12

8 16

4 10

2 6

14

Penyisipan node di AVL Tree

Setelah insert 1

27th Mar 2007

12

8 16

4 10

2 6

14

1

Penambahan node di AVL Tree

Untuk menjaga tree tetap imbang, setelah penyisipan sebuah node, dilakukan pemeriksaan dari node baru → root. Node pertama yang memiliki |balance factor| > 1 diseimbangkanProses penyeimbangan dilakukan dengan: Single rotation Double rotation

27th Mar 2007

8

AVL Tree Balance Factor

• Balance factor = HL – HR

• Balance factor node di AVL tree harus +1, 0, -1

• Identifier:– LH left high (+1) left subtree lebih panjang dari right subtree.

– EH even high (0) subtree kiri dan kanan heightnya sama.

– RH right high (-1) left subtree lebih pendek dari right subtree.

9

10

Menyeimbangkan AVL Tree

• AVL trees diseimbangkan dengan merotasikan node ke kiri atau ke kanan

• Kasus penyeimbangan pada sebuah node:1. Left of left: mengalami left high dan left subtreenya mengalami left high.2. Right of right: mengalami right high dan right subtreenya mengalami right high.3. Right of left: Mengalami left high dan left subtreenya mengalami right high.4. Left of right: Mengalami right high dan right subtreenya mengalami left high.

11

HL =3 HR =1

HR =3HL =1

12

(continued)

HL =3 HR =1

HR =3HL =1

13

Case 1:

Left of Left

14

Case 2:

Right of Right

15

Case 3:

Right of Left

16

Case 4:

Left of Right

Contoh

Sisipkan 3 ke AVL tree

27th Mar 2007

3

11

8 20

4 16 27

8

8

11

4 20

3 16 27

Contoh

Penyisipan 5 ke AVL tree

27th Mar 2007

5

11

8 20

4 16 27 8

11

5 20

4 16 27

8

Latihan

Sisipkan data berikut ke AVL tree secara berurutan: 10, 85, 15, 70, 20, 60, 30, 50, 65, 80, 90, 40, 5, 55

27th Mar 2007

Menghapus node di AVL Tree

Proses menghapus sebuah node di AVL tree hampir sama dengan BST. Penghapusan sebuah node dapat menyebabkan tree tidak imbangSetelah menghapus sebuah node, lakukan pengecekan dari node yang dihapus → root.Gunakan single atau double rotation untuk menyeimbangkan node yang tidak imbang.Pencarian node yang imbalance diteruskan sampai root.

27th Mar 2007

Menghapus node di AVL Tree

Tahap penghapusan: Case 1: X merupakan leaf, hapus X Case 2: jika X memiliki 1 child, gunakan child

tersebut untuk menggantikan X. Kemudian hapus X Case 3: Jika X memiliki 2 child, ganti nilai X dengan

node terbesar pada left subtree atau node terkecil pada right subtree. Hapus node yang nilainya digunakan untuk mengganti X

Tahap menyeimbangkan node yang balance factornya tidak -1, 0, 1, dilakukan dari node yang dihapus menuju root.

27th Mar 2007

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Delete 55 (case 1)

27th Mar 2007

60

20 70

10 40 65 85

5 15 30 50 80 90

55

Delete 55 (case 1)

27th Mar 2007

60

20 70

10 40 65 85

5 15 30 50 80 90

55

Delete 50 (case 2)

27th Mar 2007

60

20 70

10 40 65 85

5 15 30 50 80 90

55

Delete 50 (case 2)

27th Mar 2007

60

20 70

10 40 65 85

5 15 30 50 80 90

55

Delete 60 (case 3)

27th Mar 2007

60

20 70

10 40 65 85

5 15 30 50 80 90

55

prev

Delete 60 (case 3)

27th Mar 2007

55

20 70

10 40 65 85

5 15 30 50 80 90

Delete 55 (case 3)

27th Mar 2007

55

20 70

10 40 65 85

5 15 30 50 80 90

prev

Delete 55 (case 3)

27th Mar 2007

50

20 70

10 40 65 85

5 15 30 80 90

Delete 50 (case 3)

27th Mar 2007

50

20 70

10 40 65 85

5 15 30 80 90

prev

Delete 50 (case 3)

27th Mar 2007

40

20 70

10 30 65 85

5 15 80 90

Delete 40 (case 3)

27th Mar 2007

40

20 70

10 30 65 85

5 15 80 90

prev

Delete 40 : Rebalancing

27th Mar 2007

30

20 70

10 65 85

5 15 80 90

Case ?

Delete 40: after rebalancing

27th Mar 2007

30

7010

20 65 855

15 80 90