Ale

Disadur kembali oleh Departemen Inventaris dan Kerumahtanggaan Himatika

FMIPA UGM

UJIAN TENGAH SEMESTER

ALJABAR LINEAR ELEMENTER _________________________________________________________________________________

Tanggal : 25 Oktober 2004

Dosen : TIM

Waktu : 120 menit

Sifat : Tertutup

Pilihlah 5 dari 6 soal di bawah ini untuk dikerjakan. Bobot nilai untuk tiap soal sama (=20).

1. Tentukan sistem persamaan linear homogen dengan dua persamaan dimana persamaan yang satu bukan merupakan kelipatan dari yang lain sedemikian hingga

x1 = 1, x2 = -1, x3 = 1, x4 = 2 dan

x1 = 2, x2 = 0, x3 = 3, x4 = -1

adalah penyelesaian dari sistem tersebut.

2. Seorang pasien harus mengonsumsi 5 unit vitamin A, 13 unit vitamin B, dan 23 unit vitamin C setiap hari. Ada 3 merek pil vitamin dan banyaknya unit dari setiap vitamin dalam setiap pil yang diberikan

A B CI 1 2 4II 1 1 3III 0 1 1M

EREK

VITAMIN

a. Tentukan semua kombinasi pil yang memenuhi kebutuhan harian dari pasien

tersebut (pil harus utuh) b. Jika harga pil merek I, II, III berturut-turut adalah $0,9, $0,6, dan $1,5 per pil,

tentukan pengobatan yang paling mahal

3. Diberikan matrik

퐴 =0 01 0

2 00 1

0 −12 1

3 05 −3

a. Selidiki apakah A invertibel b. Jika ya, tentukan inversnya


FMIPA UGM

4. a. Tunjukkan bahwa garis g pada bidang yang melalui titik P1(a1,b1) dan P2(a2,b2) dapat dinyatakan dengan

푔 =푥 푦 1푎 푏 1푎 푏 1

= 0

b. Dengan menggunakan soal nomor 4.a. tunjukkan bahwa titik P1(a1,b1), P2(a2,b2), dan P3(a3,b3) berada dalam satu garis lurus, jika

푎 푏 1푎 푏 1푎 푏 1

= 0

5. a. Tunjukkan jika P1(a1,b1), P2(a2,b2), dan P3(a3,b3) tak segaris, maka

푙푢푎푠 △ 푃 푃 푃 =12 푑푒푡

푎 푏 1푎 푏 1푎 푏 1

b. Hitung luas jika P1(100,1), P2(-10,8), dan P3(1,100)

6. Misalkan a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l {1,2,...,9} dan abc,def,ghi,jkl, bilangan kedua b,e,h,k, serta bilangan ketiga c,f,i,l. Jika abc,def,ghi,jkl habis dibagi 7, buktikan bahwa

푎 푏 푐푑 + 푗 푒 + 푘 푓 + 푙푔 ℎ 푖

juga habis dibagi 7.


FMIPA UGM

UJIAN TENGAH SEMESTER


Tanggal : 10 Januari 2005

Dosen : Sri Wahyuni

Waktu : 120 menit

Sifat : Tertutup

1. Misalkan

퐴 =3 −3 8−3 3 −88 −8 5

a. Hitung ruang kolom A beserta salah satu basisnya b. Hitung kernel(A) beserta salah satu basisnya c. Tunjukkan bahwa : jika u anggota ruang kolom A dan v anggota kernel(A) maka

푢 ± 푣(푢 ∘ 푣 = 0)

2. Misalkan u dan v merupakan vektor-vektor di Rn

a. Tunjukkan : ‖푢‖ = ‖푣‖ ⟺ (푢 + 푣) ⊥ (푢 − 푣) b. Hitung ‖2푢 + 3푣‖ jika ‖푢‖ = ‖푣‖ = 1 dan vektor u dan v membentuk sudut 45o

3. Diketahui 2 matriks berikut

푀 =1 2 31 4 12 1 9

dan 푁 =1 0 50 2 −21 1 4

Tentukan matriks-matriks elementer E1, E2, ..., Ek sehingga N = Ek . Ek-1 . ... . E1 . M

4. Misalkan

퐴 = 1 −22 −3

Tunjukkan nilai-nilai eigen A sama dengan nilai-nilai eigen AT tetapi himpunan vektor eigen A berbeda dengan himpunan vektor eigen AT.

5. Misalkan A matriks bertipe n × n. Tunjukkan pernyataan

a. λ = 0 nilai eigen 퐴 ⟺ 퐴 tidak invertibel b. |퐴 − 휆퐼| = 휆 + 1 ⟹ 퐴 invertibel


FMIPA UGM

6. T adalah transformasi linear dari R3 ke Rn dengan

푇111

=213

,푇110

=324

,푇100

=421

dan 퐵 =100

,0−10

,022

adalah suatu basis dari R3

a. Tentukan matriks representasi T relatif terhadap basis B ke B b. Tentukan kernel dari T dan salah satu basisnya. Berapa dimensi kernel T? c. Hitung dimensi dari image(T)


FMIPA UGM

UJIAN TENGAH SEMESTER ALJABAR LINEAR ELEMENTER (ALE)

_________________________________________________________________________________

Hari/ tanggal : 2 November 2010 Sifat : BUKU TERTUTUP Dosen : Sri Wahyuni

1. Nilai maksimum : 20 points. a) Dengan menggunakan Hukum Kesamaan Reaksi Kimia yang sudah pernah anda

peroleh di SMA dari reaksi kimia berikut 푥 퐶 퐻 + 푥 푂 → 푥 퐶푂 + 푥 퐻 푂

bentuklah Sistem Persamaan Linear Homogen (SPLH) dengan empat variabel 푥 , 푥 , 푥 , 푥 .

b) Hitunglah nilai 푥 , 푥 , 푥 , 푥 yang memenuhi SPLH pada soal a. diatas.

2. Nilai maksimum : 30 points a) Tuliskan Rumus Adjoint untuk menghitung Invers Matriks Bujur Sangkar A. b) Dengan menggunakan Rumus Adjoint Matriks, hitunglah kolom ke 3 matriks 퐴 jika

퐴 =3 −1 25 5 −21 2 3

tanpa menghitung kolom ke 1 dan ke 2 matriks 퐴 . c) Jika determinan (A)=2, hitunglah determinan matriks

(퐴 + 퐴푑푗표푖푛푡 (퐴))

3. Nilai maksimum 20 points a) Dengan menggunakan Aturan Cramer, hitunglah nilai z tanpa menghitung nilai

variabel x dan y yang memenuhi Sistem Persamaan Linear Non Homogen sebagai berikut :

2푥 − 5푦 + 7푧 = 9 − 푥 + 4푦 + 2푧 = −23푥 + 3푦 − 6푧 = 5 b) Hitunglah invers matriks koefisien dari system Persamaan Linear non Homogen pada

soal a. dengan menggunakan Operasi Baris Elementer.

4. Nilai maksimum 30 points a) Tunjukan sifat berikut : Jika untuk matriks A dan B berlaku AB = Adan 퐵퐴 = 퐵,

maka 퐴 = 퐴 dan 퐵 = 퐵.

b) Jika A adalah suatu matriks bertype 3x3 dan 퐴 =1 0 21 2 13 5 3

,

Tentukan matrik X yang memenuhi 퐴푋 =2 −11 00 −3


FMIPA UGM

UJIAN TENGAH SEMESTER ALJABAR LINEAR ELEMENTER

_________________________________________________________________________________

Hari/ tanggal : 1 November 2011 Sifat : BUKU TERTUTUP dan penggunaan alat elektronik apapun TIDAK diperbolehkan Dosen : 1. Dra. Diah Junia Eksi Palupi, SU 2. Dr. Indah Emilia Wijayanti

1. Diketahui a, b, dan c adalah bilangan-bilangan real yang tidak semuanya nol 푥 + 푦 + 2푧 = 푎 푥 + 푧 = 푏

2푥 + 푦 + 3푧 = 푐 Berikan pendapat anda tentang nilai-nilai a, b, dan c supaya system persamaan linear tersebut: a. Inkosisten b. Konsisten dengan tepat satu penyelesaian c. Konsisten dengan tak terhingga banyak penyelesaian

2. Selidiki apakah system persamaan berikut mempunyai penyelesaian non trivial. Jika ya,

tentukan penyelesaian. 푥 + 3푦 + 8푧 + 9푢 = 0 푥 + 3푦 + 푧 + 푢 = 0

2푥 + 5푦 + 2푧 + 9푢 = 0

3. Diberikan matrik berikut 퐴 = 3 22 3

A. Hitunglah 퐴 ,퐴 , dan 퐴 . Amati pola yang terbentuk

B. Tentukan rumus untuk mencari 퐵 , jika 퐵 = 푎 + 1 푎푎 푎 + 1 , untuk sebarang bilangan

real 푎.

4. Nyatakan matriks inventible berikut 1 −6 −42 −10 −9−1 6 5

sebagai perkalian matriks-matriks

elementer

5. Diketahui 푎 ≠ 푏 . Tentukan semua nilai 푥 dan 푦 yang mungkin agar matriks berikut tidak mempunyai invers: 1 1 1푥 푎 푏푦 푎 푏


FMIPA UGM

UJIAN AKHIR SEMESTER


Tanggal: 10 Januari 2012

Dosen : 1. Diah Junia Eksi Palupi, Dra, MS

2. Dr. Indah Emilia Wijayanti

Sifat : BUKU TERTUTUP dan penggunaan alat elektronik apapun TIDAK diperbolehkan

SOAL-SOAL BERIKUT WAJIB DIKERJAKAN

1. Jika u dan v matriks berukuran nx1, hasil kali titik (dot product) didefinisikan sebagai 푢 푣 = 푣 푢 dan A suatu matriks persegi (bujur sangkar) berukuran n, buktikan

(푣 퐴 퐴푢) ≤ (푢 퐴 퐴푢)(푣 퐴 퐴푣)

2. Diberikan himpunan vector-vektor di ℝ berikut

푆 =

1212

,

0110

,

1432

,

1021

Selidiki apakah vector-vektor tersebut bebas linear

3. Diketahui tranformasi-transformasi linear berikut 푓:ℝ → ℝ dan 푔:ℝ → ℝ dengan

definisi : untuk setiap 푢 =푢푢 di ℝ dan 푤 =

푤푤푤

di ℝ ,

푔푢푢 : = 푢 − 푢

0 푓푤푤푤

: =푤 − 푤푤 −푤

a) Tentukan matriks standar (matriks representasi)komposisi transformasi 푔 ∘ 푓 b) Dibentuk himpunan 퐾: = {푣̅ ∈ ℝ |(푔 ∘ 푓)(푣̅) = 0}. Tentukan vector-vektor yang

termuat di dalam K. c) Tentukan vector-vektor yang memuat di dalam jangkauan (range) 푔 ∘ 푓

PILIH HANYA SATU NOMOR DARI SOAL-SOAL BERIKUT UNTUK DIKERJAKAN


FMIPA UGM

1. (a) Diberikan vector-vektor 푢 = 푖 + 2푗 − 3푘dan 푣 = 3푖 + 푘. Tunjukan bahwa vector yang tegak lurus bidang uv, tegak lurus pula dengan u dan v (b) Bidang 훼 melalui titik-titik (-1,-2,-3), (-2,0,1) DAN (-4,-1,-1). Tentukan persamaan umum (dalam parameter s) bidang 훼 tersebut

2. (a) diketahui matriks A berukuran 2 x 2 dan dapat di diagonalkan. Jika untuk setiap nilai karakteristik A berlaku 휆 = 5휆, buktikan 퐴 = 5퐴 (b) Buktikan jika matriks buursangkar B yang berukuran n x n dapat didiagonalkan, maka 퐵 , yaitu transposnya, juga dapat didiagonalkan


FMIPA UGM

UJIAN AKHIR SEMESTER


Tanggal: 11 Januari 2011

Dosen : Sri Wahyuni

Sifat : BUKU TERTUTUP

Soal I : Untuk 3 (tiga) vector 푢 =1−1−2

, 푣 =5−4−7

,푑푎푛 푤 =−310

di ruang vector

ℜ =푥푥푥

| 푥 , 푥 ,푑푎푛 푥 푑푖 핽

1) Tentukan h, sedemikian hingga 푦 =−43ℎ

berada pada ruang bagian yang dibangun oleh

{푢, 푣,푤}

2) Tentukan salah satu BASIS dari Ruang Kolom dari matriks

퐴 =1 5 −3−1 −4 1−2 −7 0

3) Tentukan semua 훼, 훽, dan 훾 yang memenuhi 훼푢 + 훽푣 + 훾푤 = 0ℜ . Dari jawaban Saudara tersebut, berapa dimensi Subruang yang terdiri dari semua solusi SPL Homogen 퐴푥 = 0ℜ ?

Soal II : Pada Ruang Vektor

ℜ =푥푥푥

|푥 , 푥 푑푎푛 푥 푑푖 핽

1) Tentukan himpunan semua vector di ℜ yang orthogonal(tegak lurus) terhadap vector

푢 =1058

. Apakah Himpunan tersebut membentuk Subruang diℜ ?

jelaskan

2) Jika v teak lurus pada vector w dan z, tunjukan bahwa untuk setiap 훼 dan 훽 maka v tegak lurus pada 훼푤 − 훽푧.


FMIPA UGM

Soal III : Pada Ruang Vector

ℜ =푥푥푥

|푥 , 푥 푑푎푛 푥 푑푖 핽

1) Misalkan u dan v dua vector di ℜ , jelaskan apa yang dimaksud dengan cross product antara u

dan v(uxv)

2) Menggunakan definisi besar dari uxv, hitunglah luas segitiga PQR dengan P=(1 -1 1), Q=(2 0 3), dan R=(1 1 -3) tanpa menggunakan Rumus Luas Segitiga.

3) Tunjukan bahwa untuk sebarang u dan v dua vector di ℜ berlaku ‖푢 푥 푣 ‖ = ‖푢‖ + ‖푣‖ + 2푢 ∘ 푣

Soal IV : Pada Ruang Vektor

ℜ =

⎩⎪⎨

⎪⎧

⎝

⎜⎜⎛

푥푥...푥 ⎠

⎟⎟⎞

|푥 푑푖 ℜ

⎭⎪⎬

⎪⎫

1) Tunjukan jika 퐵 = {푏 , 푏 , … , 푏 } merupakan basis dari ℜ dan 퐴 adalah matriks invertible bertipe nxn maka himpunan 퐵 = {푤 = (퐴푏 ),푤 = (퐴푏 + 퐴푏 ), 푤 = (퐴푏 + 퐴푏 +퐴푏 ), … ,푤 = (퐴푏 + 퐴푏 + ⋯+ 퐴푏 } juga merupakan Basis di ℜ

2) Buatlah contoh suatu Basis B dalam ruang vector ℜ , kemudian dengan menggunakan sifat pada soal IV.1 diatas, dengan matriks

퐴 =

1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

bentuk Basis baru 퐵 !!

3) Untuk vector 푣 =

1111

tentukan Koordinat Vektor v relative terhadap Basis B dan Koordinat

Vektor v relative terhadap basis 퐵 .

Soal V : Untuk matriks

퐴 = 1 2−1 4−3 − 6


FMIPA UGM

1) Tunjukan bahwa 푓:ℜ → ℜ dengan definisi 푓(푣) = 퐴푣 untuk setiap 푣 ∈ ℜ merupakan transformasi linear.

2) Hitung Kernel(f) dan Image(f) beserta masing-masing Basis-nya

Ale

Documents

Transcript of Ale