Akt 3-anuitas-tentu

of 40 /40
ANUITAS 9/19/2012 1 MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

description

 

Transcript of Akt 3-anuitas-tentu

Page 1: Akt 3-anuitas-tentu

ANUITAS

9/19/2012 1MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 2: Akt 3-anuitas-tentu

OVERVIEW…

• Anuitas adl suatu pembayaran dalam jumlah tertentu, yangdilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu, secaraberkelanjutan.

• Suatu anuitas yg pasti dilakukan selama jangka pembayarandisebut Anuitas Tentu.

• Suatu anuitas yg pembayarannya tergantung hidup matinyaseseorang disebut Anuitas Hidup.

• Pembayaran premi yg dilakukan oleh pemegang polis dalambentuk anuitas.

9/19/2012 2MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 3: Akt 3-anuitas-tentu

• Anuitas Awal adl anuitas yg dibayarkan di awal jangkawaktu pembayaran anuitas.

• Anuitas Akhir adl anuitas yg dibayarkan di akhir jangkawaktu pembayaran anuitas.

• Nilai Tunai (Present Value) yaitu nilai seluruhpembayaran jika anuitas dibayar sekaligus dlm satukali.

• Nilai Akhir (Cumulative Value) yaitu jumlah seluruhpembayaran pada suatu waktu di kemudian hari.

9/19/2012 3MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 4: Akt 3-anuitas-tentu

• Konsep asuransi tak lepas dari tingkat bunga(interest rate) yang digunakan (istilah dalamISLAM, “RIBA”) dalam penentuan besaranuitas ataupun yg lainnya. Demikian pula jikaingin mengetahui nilai tunai dan nilai akhir.

9/19/2012 4MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 5: Akt 3-anuitas-tentu

TINGKAT BUNGA

• Bila seseorang pinjam uang Rp. 1juta dg bunga 10% pertahun, mk orang tsb harus membayar bunga uang tsbtiap akhir tahun sebanyak Rp. 100rb, dan hutangnyatetap Rp. 1juta.

• Bagaimana jika ia menunggak membayar bunganyaselama 5 tahun, berapakah ia harus membayar agarseluruh hutang dan bunganya lunas?– Jika bunganya ikut dibungakan maka perhitungan bunga

seperti ini disebut Bunga Majemuk– Jika bunganya tidak ikut dibungakan maka disebut Bunga

Tunggal.

9/19/2012 5MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 6: Akt 3-anuitas-tentu

BUNGA TUNGGAL

• Misal: P adl pokok, yakni besarnya pinjaman atau modalpertama, i adl tingkat bunga setahun, n jangka waktupinjaman, dan S adl nilai akhir (nilai ke-n)

• KONSEP BUNGA TUNGGAL:

Pd tahun pertama menjadi P + Pi

Pd tahun kedua menjadi P + 2Pi

Pd tahun ke-n menjadi P + Pni

1S P I P Pni P ni

9/19/2012 6MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 7: Akt 3-anuitas-tentu

• Bunga tunggal sebenarnya dan biasa:– Bunga tunggal sebenarnya : dihitung dengan asumsi

satu tahun adl 365 hari.– Bunga tunggal biasa : dihitung dengan asumsi satu

tahun adl 360 hari.

• Waktu sebenarnya dan waktu pendekatan:– Waktu sebenarnya: dihitung menurut hari yang

sebenarnya dari seluruh jumlah hari pada kalender.– Waktu pendekatan: dianggap bahwa setiap bulan

terdiri atas 30 hari.

9/19/2012 7MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 8: Akt 3-anuitas-tentu

• Contoh: Hitung bunga tunggal sebenarnya danbiasa dari Rp. 2juta untuk 50 hari denganbunga 5% per tahun!

6

6

Bunga tunggal sebenarnya:

50 10 10, 2 10 0,05 .13.700,

365 73 73

Bunga tunggal biasa :

50 5 5, 2 10 0,05 .13.890,

360 36 36

n I Pni Rp

n I Pni Rp

9/19/2012 8MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 9: Akt 3-anuitas-tentu

• Contoh: Tentukan waktu sebenarnya dan waktupendekatan dari tanggal 3 Juni 2012 sampaidengan 18 September 2012!

Waktu sebenarnya:

Jumlah hari tersisa dari bulan Juli + Jumlah hari sampai tgl yang

dinyatakan dalam bulan September = 27+31+31+18 = 107 hari.

Waktu pendekatan:

18 September 2012 2012 : 9 : 18

3

Juni 2012 2012 : 6 : 3_

0 : 3 : 15 (3 bulan 15 hari)

atau 105 hari (diasumsikan 1 bulan = 30 hari).

9/19/2012 9MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 10: Akt 3-anuitas-tentu

• Contoh: Tentukan bunga tunggal sebenarnya dan biasadari Rp. 2juta,- untuk bunga 6% per tahun dari tanggal20 April 2012 sampai 1 Juli 2012 denganmenggunakan: (a). Waktu sebenarnya, (b). Waktupendekatan.!

6

6

Bunga tunggal sebenarnya:

a.Waktu sebenarnya:

72 72 , 2 10 0,06 .23.670,

365 365

b.Waktu pendekatan:

71 71 , 2 10 0,06 .23.340,

365 365

n I Pni Rp

n I Pni Rp

9/19/2012 10MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 11: Akt 3-anuitas-tentu

6

6

Bunga tunggal biasa:

a.Waktu sebenarnya:

72 72 , 2 10 0,06 .24.000,

360 360

b.Waktu pendekatan:

71 71 , 2 10 0,06 .23.670,

360 360

n I Pni Rp

n I Pni Rp

9/19/2012 11MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 12: Akt 3-anuitas-tentu

BUNGA MAJEMUK

• KONSEP BUNGA MAJEMUK:Pd tahun pertama menjadi P1 = P + iPPd tahun kedua menjadi P2 = P1 + iP1 = P + iP + i(P + iP) = P + 2iP + i2P = P (1 + i)2

Pd tahun ke-n menjadi S = P (1 + i)n.

11

1, , .

1

n

n

n

SS P i P

i

jika v maka P v Si

9/19/2012 12MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 13: Akt 3-anuitas-tentu

• Contoh:

Rp. 1000 dibungakan selama 3 tahun dg tingkatbunga 7% setahun. Berapakah besarnya seluruhuang pada akhir tahun ketiga?

>> Bunga tunggal

S = 1000 (1+3i) = 1000 (1+0,21) = Rp. 1.210

>> Bunga majemuk

S = 1000 (1+i)3 = 1000 (1+0,07)3 = 1000 (1,22504)

= Rp. 1.225,04

9/19/2012 13MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 14: Akt 3-anuitas-tentu

• Contoh:

Seorang ayah mpy anak berumur 8 thn. Siayah ingin mendepositokan uangnya di bankdan akan memberikannya pd si anak sbg biayadi universitas waktu si anak tepat berumur 18thn. Bila bank memberi bunga majemuk 12%setahun dan si ayah ingin menyerahkan Rp.1juta pd si anak 10thn kemudian, berapakahdia harus mendepositokan uangnya sekarang?

9/19/2012 14MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 15: Akt 3-anuitas-tentu

• Jawab:

S10 = Rp. 1juta, i = 0,12

P = S10 (1+i)-n

= S10 (1+0,12)-10

= (1.000.000,00) (1,12)-10

= 321.973,24

Jadi, jika si Ayah ingin memberikan si anak Rp.1juta pada 10 thn yg akan datang maka si Ayahharus mendepositokan sebesar Rp. 321.973,24.

9/19/2012 15MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 16: Akt 3-anuitas-tentu

TINGKAT BUNGA NOMINAL &TINGKAT BUNGA RIIL

• Beberapa bank, asuransi, atau yg lain terkadang dlm perhitungan bunganyamenggunakan dasar setengah tahunan.

• Contoh i per tahun 6%, maka 1 tahun kemudiamenjadi sebesar:

20,06

12

S P

9/19/2012 16MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 17: Akt 3-anuitas-tentu

• Secara umum, jika setahun terjadi pembayaran k kali, dg bunga tahunan sebesar i , maka 1 tahun kemudian Pokokbeserta Bunganya menjadi sebesar

• Atau setahun kemudian besarnya bunga adl

1

kj

k

1 1

kj

ik

9/19/2012 17MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 18: Akt 3-anuitas-tentu

• Dimana:

• Tingkat bunga nominal dinyatakan dg i(k), dantingkat bunga riil dinyatakan dg i.

jumlah konversi bunga dalam 1 tahun

1jangka waktu tiap konversi

1tingkat bunga nominal yang digunakan setiap tahun

bunga nominal

k

k

jk

j

k

9/19/2012 18MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 19: Akt 3-anuitas-tentu

• Contoh: Jika modal awal Rp. 1juta,- diinvestasikandengan bunga majemuk kwartalan. Hitung jumlahuang pada saat 8,5 tahun mendatang jikadiketahui tingkat bunga 7% pertahun!

34 6 34

34

.1.000.000,

0,070,0175 (1 tahun = 4 kwartal)

4

34 (4 8,5 34 )

(1 ) 10 (1 0,0175) .1.803.724,52.

P Rp

i

n tahun kwartal

S P i Rp

9/19/2012 19MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 20: Akt 3-anuitas-tentu

ANUITAS TENTU

• Anuitas tentu adl serangkaian pembayaran berkalayg dilakukan selama jangka waktu tertentu.

• Nominal pembayaran tiap periode dianggap sama.

• Anuitas tentu yang dibayarkan di awal jangka waktupembayaran anuitas disebut anuitas tentu awal,sedang bila di akhir jangka waktu disebut anuitastentu akhir.

9/19/2012 20MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 21: Akt 3-anuitas-tentu

ANUITAS TENTU AKHIR

• Pembayaran dilakukan di akhir periode. Misal, angsuran sebesar Rp. 1,- dan banyaknya angsuranadalah n kali, maka nilai tunai dari anuitas tentuakhir dpt dicari sbb:

na

2

2

1Nilai tunai pembayaran pertama:

(1 )

1Nilai tunai pembayaran kedua:

(1 )

1Nilai tunai pembayaran ke- :

(1 )

n

n

vi

vi

n vi

9/19/2012 21MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 22: Akt 3-anuitas-tentu

2

Sehingga nilai tunai keseluruhan:

merupakan deret geometri turun :

11

(1 ) 1 1 (1 )1.

11 1 11

n

n

n

n n n

n

a v v v

v v v iia

v i i

v

9/19/2012 22MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 23: Akt 3-anuitas-tentu

1

: nilai akhir/nilai akumulasi dari anuitas tentu akhir dg tiap

pembayaran sebesar .1,

dapat dicari sebagai berikut:

Nilai akumulasi dari pembayaran pertama: (1 )

Nilai akumulasi dari p

n

n

n

S

Rp

S

i

2

3

2 1

embayaran kedua : (1 )

Nilai akumulasi dari pembayaran ketiga : (1 )

Nilai akumulasi dari pembayaran ke- : (1 ) 1

,

1 (1 ) (1 ) (1 )

(1 ) 1 (1

(1 ) 1

n

n

n n

n

n

n

i

i

n i

Sehingga

S i i i

i

i

) 1.

ni

i

9/19/2012 23MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 24: Akt 3-anuitas-tentu

Hubungan antara dan :

(1 )

(1 )

n n

n

n n

n

n n

a S

S a i

a S i

9/19/2012 24MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 25: Akt 3-anuitas-tentu

• Contoh: Suatu pinjaman Rp. 100juta denganbunga 3% setahun akan dilunasi dalam waktu25thn. Hitung anuitas yang harus dibayar tiapakhir tahun!

8

25

8 8

25

25

:

10

10 10.5.742.787,18.

1 (1 0,03)

0,03

Jawab

Xa

X Rpa

9/19/2012 25MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 26: Akt 3-anuitas-tentu

ANUITAS TENTU AWAL

• Setiap awal tahun, selama n tahun dibayar anuitassebesar Rp. 1,-, maka nilai tunai dari anuitas tentu awaldapat dicari sbb:

na

2

2

Bayar ke-1 sekarang dan nilai tunainya: Rp.1,-

1Bayar ke-2 di awal periode ke-2 & nilai tunainya:

(1 )

1Bayar ke-3 di awal periode ke-3 & nilai tunainya:

(1 )

Bayar ke- di awal periode ke- & n

vi

vi

n n

1

1

1ilai tunainya:

(1 )

n

nv

i

9/19/2012 26MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 27: Akt 3-anuitas-tentu

2 1

1

2

Sehingga nilai tunai keseluruhan:

1

1

1 (1 ).

.

n

n

n n

n

n n

n

n

a v v v

a a

va v v v a

ia

i v

9/19/2012 27MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 28: Akt 3-anuitas-tentu

: nilai akhir/nilai akumulasi dari anuitas tentu awal dg tiap

pembayaran sebesar .1,

dapat dicari sebagai berikut:

Nilai akumulasi dari pembayaran pertama: (1 )

Nilai akumulasi dari

n

n

n

S

Rp

S

i

1

2

( 1)

pembayaran kedua : (1 )

Nilai akumulasi dari pembayaran ketiga : (1 )

Nilai akumulasi dari pembayaran ke- : (1 ) (1 )

n

n

n n

i

i

n i i

9/19/2012 28MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 29: Akt 3-anuitas-tentu

2

1

,

(1 ) (1 ) (1 )

(1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) (1 )

(1 ) 1

(1 ) .

1.

n

n

n n

n

n n

Sehingga

S i i i

i ii i

i i

i S

S S

9/19/2012 29MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 30: Akt 3-anuitas-tentu

• Contoh: Setiap selang 6 bulan, Ali menyimpanRp. 100.000,-. Penyimpanan dimulai sejakanaknya berusia 6 bulan dan diakhiri sesudahanaknya berusia 20 tahun (setiap awalperiode). Selanjutnya uang tersebut tetaptidak diambil dan sesudah anaknya berusia 25 thn uang tsb diberikan kepada anaknyasebagai modal usaha. Hitung berapa banyakuang yang akan diterima anaknya! (bunga = 1,5% per periode).

9/19/2012 30MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 31: Akt 3-anuitas-tentu

405 5

40

10

:

Setelah menyimpan Rp.100.000,- selama 20×2 = 40 periode,

uangnya menjadi :

(1 0,015) 110 10 .5.426.789,34

0,015

Setelah anak berusia 25thn (ada10periode), maka uangnya menjadi:

Jawab

P S Rp

S

10 10(1 ) (5.426.789,34)(1 0,015)

.6.298.010,58.

P i

Rp

9/19/2012 31MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 32: Akt 3-anuitas-tentu

• Beberapa hubungan:

1

1

1 1

1 ; 1

1 ; 1

1 ; 1

;

n n n n

n n n n

n n n n

n n

n n n n

s i s s s

s s a i a

a a a a

v s a v s a

9/19/2012 32MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 33: Akt 3-anuitas-tentu

• Anuitas yang pembayarannya dijanjikan akandilakukan selang beberapa waktu kemudiandisebut anuitas tunda, sedang anuitas yang pembayaran pertama dilakukan pada waktuanuitas tersebut dimulai disebut anuitassegera.

9/19/2012 33MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 34: Akt 3-anuitas-tentu

• Nilai sekarang dari anuitas yang pembayaranpertamanya dilakukan f tahun kemudian dandilakukan selama n tahun, dinotasikan dg (anuitas awal) atau (anuitas akhir). Berikutrumus-rumusnya:

|f na

|f na

1 1

|

1 2

|

|

|

f f f n f

f n n

f f f n f

f n n

f n f n f

f n f n f

a v v v v a

a v v v v a

a a a

a a a

9/19/2012 34MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 35: Akt 3-anuitas-tentu

ANUITAS TENTUPEMBAYARAN k KALI SETAHUN

• Persamaan yg lalu dikaitkan dg pembayaran kkali setahun adl

1 1

1

1 2

11 1 1

1 1 1 1 1

11 1 1

1 1

n nkk k

n

nnk

k k

n nkk k

n

n

k

s i i ik

i i i

i d

s i ik

i

i

9/19/2012 35MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 36: Akt 3-anuitas-tentu

• Untuk anuitas:

1 1

1

1 2

11

1 1 1

1

1

nk k k

n

n nk

k k

k nk k

n

n

k

a v vk

i v v

i d

a v v vk

v

i

9/19/2012 36MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 37: Akt 3-anuitas-tentu

• Contoh:Hitunglah nilai tunai dan akhir dari suatu rangkaian pembayaran sebesarRp. 150 tiap akhir tahun selama 20 thn bila tingkat bunga 5% pertahun!

• Jawab:n = 20; i = 0,05

Maka,

I. Nilai tunainya: II. Nilai akhirnya:

20

20

[1 (1,05) ]150. 150.

0,05a

150(1 0,376889) / 0,05

150(12,4622)

1869,33

20

20 20150. 150. .s a v

201869,33(1/1,05)

1869,33(2,653298)

4959,89

9/19/2012 37MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 38: Akt 3-anuitas-tentu

• Contoh:

Suatu polis asuransi jiwa memberikan pilihan sbg berikut: Jika si Ali mati, mk Ny. Ali dptmenerima uang tunai sebesar Rp. 1jt atau menerima santunan selama 10thn. Pembayarandilakukan tiap awal tahun dg tingkat bunga diperhitungkan 6% pertahun. Hitunglahpembayaran tahunan tsb!

• Jawab:

Nilai tunai = Rp. 1jt; n = 10; i = 0,06

Misal: x = pembayaran tahunan.

Jika nilai tunai Rp. 1jt artinya ke-10 pembayaran tahunan tsb haruslah sama dengan Rp. 1jt.

Jadi,

10 91a a

9[1 (1,06) ]1

0,06

1 (1 0,591898) / 0,06

1 6,80169

7,80169

10. 1.000.000x a

10

1.000.000x

a

1.000.000128.177,3191

7,80169

9/19/2012 38MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 39: Akt 3-anuitas-tentu

LATIHAN

1. Buktikanlah secara aljabar dan verbal:

2. Seseorang akan menerima 10 kali pembayaran tahunan Rp. 5jt,pembayaran pertama dilakukan sekarang. Berapakah nilai tunai dan nilaiakhir seluruh pembayaran jika:

a. Tingkat bunga 5% pertahun

b. Tingkat bunga 8% pertahun

3. Hitunglah nilai tunai dan nilai akhir suatu anuitas selama 10 tahunsebesar Rp. 100 pertahun, pembayaran ditunda selama 5thn. Tingkatbunga 8% pertahun.

1

( 1)

1

a).

b).

n

n n

n

n n

a a v

s s v

9/19/2012 39MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.

Page 40: Akt 3-anuitas-tentu

4. Seorang ayah menruh uang di bank untuk membiayaisekolah anaknya selama 12thn. Jika si anak menerima Rp.1.000 tiap akhir tahun, pembayaran pertama dilakukanpada akhir tahun ke enam dari sekarang dan seluruh uangdan bunganya habis dibayarkan pada waktu pembayaranyang ke 12 dilakukan, berapa banyakkah si ayah menaruhuangnya di bank bila bank memberi bunga 12% pertahun?

5. Sebuah rumah dibeli dengan uang mukaa Rp. 2jt dancicilan tiap akhir tahun sebesar Rp. 500.000,- selama10thn. Bila bunga uang sebesar 5% pertahun, berapakahharga rumah tersebut bila dibeli tunai?

9/19/2012 40MK. Aktuaria | Darmanto,S.Si.