NAMA: AGUSTINUS SEBAYANG NIM: 090130016 TUGAS: PEMODELAN SISTEM 1.MARKOV Markovatauseringdisebutrantaimarkovadalahsebuahteoriyangawalnya dikemukakanolehAndreiAndreevichMarkovdankemudiandikembangkanolehbeberapa ilmuwanpadatahun-tahunberikutnya.Tujuanpersoalaniniialahmenentukankeputusan optimumyangdapatmemaksimumkanekspektasipendapatandariprosesyangmempunyai jumlah state terbatas atau tidak terbatas tersebut. State terbatas adalah stateyang berlangsung dalam jangka waktu tertentu, sedangkan state yang tidak terbatas berlangsung terus menerus.di dalam rantai markov juga terdapatUntukdapatmemahamimodelpenyelesaiandaripersoalankeputusanMarkov, berikutinidikemukakansebuahilustrasidaripersoalankeputusansederhana,yaitusebagai berikut: Saat ini PT. Astra sedang mempertimbangkan kemungkinan dilakukannya advertensi besar-besaranuntukjenismobilKijangInnova.Perusahaaninimenentapkanbahwahasil penjualan saat ini dapat dikategorikan sebagai keberhasilan (state 1) atau gagal (state 2). Jika dilakukan advertensi : probabilitas bulan ini berhasil dan bulan berikutnya gagal adalah0,1,sedangkanbilabulaninigagaldanbulanberikutnyajugagagal probabilitasnya adalah 0,4. Matriks labanya dapat dilihat pada R1. Jikaadvertensitidakdilakukan:probabilitasbulaniniberhasildanbulanberikutnya jugaberhasiladalah0,7,sedangkanbilabulaninigagalmakabulanberikutnyajuga gagal probabilitasnya adalah 0,8. Matriks labanya dapat dilihat pada R2. R1 = 2 -1 R2 =411 -32 -1 Bagaimanakah Policy optimum dari persoalan tersebut ? Penyelesaian : Menentukan k = 1 dan k = 2 sebagai dua alternatif tindakan yang dapat dilakukan oleh si pengambil keputusan itu. Alternatif tindakan itu adalah sebagai berikut : P1 = I I pij I I = 0.90.1R1 = I I rij I I = 2-1 0.60.41-5 P2 = I I pij 2 I I = 0.70.3 R2= I I rij 2 I I = 4 1 0.20.8 2-1Persoalandiatasdapatdinyatakansebagaimodelprogramdinamisdenganstage terbatas sebagai berikut: Untukmemenuhisifatumumnya,misalkanjumlahstatepadamasing-masing stage (bulan) adalah m ( pada persoalan di atas m = 2) Maka pada persoalan di atas, untuk k = 1 ( dilakukan advertensi ) diperoleh: v1=0.9 x 2+ 0.1 x -1 = 0.08 v2=0.6 x 1+ 0.4 x -3 = 0.48 untuk k = 2 ( tidak dilakukan advertensi ) diperoleh : v1=0.7 x 4+ 0.3 x 1= 0.58 v2=0.2 x 2+ 0.8 x -1 = -0.4 atau selengkapnya (k = 1 dan k = 2) diperoleh: ivi1 vi2

1 0.08 0.582 0.48 -0.4Dengan demikian, penyelesaian persoalan di atas adalah sebagai berikut: Stage 3 Stage 1 Stage 2 Ivik + pi lk f3 (1) + pi2k f3 (2)Solusi opt.1 0.08 + 0.9 x 0.08 + 0.1 x 0.48 = 0.2 0.58+0.7x0.58+0.3x(-0.4) = 0.87 0.8722 0.48 + 0.6 x 0.08 + 0.4 x 0.48 = 0.72-0.4+0.2x0.58+0.8x(-0.4) = -0.600.72 1 Solusi optimum di atas menunjukkan bahwa untuk bulan ke -1(k* =2) tidak perlu dilakukanadvertensidanuntukbulanke-2harusdilakukan(k*=1)tanpaharus I Vik Solusi optimumK = 1 K = 2 f3 (i)K*

1 0.08 0.58 0.58 22 0.48 -0.4 0.48 1Ivik + Pi1k f2 (1) + Pi2k f2 (2)Solusi optk = 1 k = 2 f1 (i)k*

1 20.08+0.9x0.87+0.1 x0.72 = 0.94 0.48+0.6x0.08+0.4 X0.48 =0.720.58+0.7x0.87+0.3 X0.72= 1.41 -0.4+0.2x0.87+0.8 X0.72 = 0.351.41 0.352 1memperhatikanstatedarisistemtersebut.Ekspektasipendapatantotaluntuk kedua bulan itu adalah f1 (1) = 1.41 jika state dari sistem pada bulan-1 berhasil, f1 (2) = 0.35 jika state dari sistem gagal. 2.DINAMIK PROGRAMING DinamikprogramingatauProgramdinamisadalahsuatuteknikmatematisyang biasanya digunakan untuk membuat suatu keputusan dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan.Tujuanutamamodeliniialahuntukmempermudahpenyelesaianpersoalan optimasiyangmempunyaikarakteristiktertentu.Idedasarprogramdinamisiniialah membagipersoalanmenjadibeberapabagianyanglebihkecilsehinggamemudahkan penyelesaiannya. Salahsatucarauntukmengenalsituasiyangdapatdiformulasikansebagaipersoalan programdinamisiniialahdenganmemperhatikanstrukturdasarpersoalannya.Berikutini diberikan beberapa gambaran dasar yang menandai (menjadi ciri) persoalan program dinamis : 1.Persoalandapatdibagimenjadibeberapatahap(stage,yangpadarnasing-masingstage diperlukan adanya satu keputusan. 2.Masing-masingstageterdiriatassejumlahstageyangberhubungandenganstageyang bersangkutan. 3.Hasildarikeputusanyangdiambilpadasetiapstageditransformasikandaristateyang bersangkutan ke state berikutnya pada stage yang berikutnya pula. 4.Keputusanterbaikpadasuatustagebersifatindependenterhadapkeputusanyang dilakukan pada stage sebelumnya. 5.Prosedurpemecahanpersoalandimulaidenganmendapatkancara(keputusan)terbaik untuk setiap state dari stage terakhir. 6.Adasuatuhubungantimbal-balikyangmengidentifikasikeputusanterbaikuntuksetiap state pada stage n, berdasarkan keputusan terbaik untuk setiap state pada stage (n + 1). 7.Denganmenggunakanhubungantimbal-balikini,prosedurpenyelesaianpersoalan bergerakmundurstagedemistage,padasetiapstageberusahadiperolehkeputusan optimum untuk masing-masing state hingga akhirnya diperoleh keputusan optimum yang menyeluruh, mulai dari stage awal. Selainituterdapatjugaprogramdinamisdeterministik.Programdinamis deterministik ini dapat diterangkan dengan diagram berikut :

Dengan demikian, maka pada stoge n, prosesnya akan berada pada state sn. Pada state ini dibuat keputusan xn, kemudian proses bergerak ke state sn + 1 pada stage (n+1). Dari titik ini ke depan, nilai fungsi tujuan untuk keputusan optimumnya telah terlebih dahulu dihitung, yaitu f*n+1 (sn+1) Keputusan memilih xn, juga memberikan kontribusi terhadap fungsi tujuan, yang dengan menggabungkan kedua besaran ini akan diperoleh nilai fungsi tujuan. Fn(sn, xn) yangberawalpadastagen.Minimumkannilaitelsebutdenganmemperhatikanxnsehingga diperolehfn*(sn=fn(sn,xn).Setelahhalinidilakukanuntuksemuanilaisnyangmungkin, maka prosedur penyelesaiannya bergerak kembali pada persoalan dengan satu stage. Contoh: BadanKesehatanDunia(WHO)bermaksudakanmenyempurnakanpelayanan kesehatandinegara-negarayangsedangberkembang.SaatiniWHOmempunyai5team kesehatanyangharusditempatkanditiganegarauntukmenyempurnakanpelayanan kesehatan, pendidikan kesehatan, dan programa latihan. Dengan demikian maka WHO harus menentukanberapateamyangharusditempatkanditiap-tiapnegara,sehinggakeefektifan totaldarilimateamitudapatdimaksimumkan.Sebagaiukurandarikeefektifaniniialah pertambahanumur(yaituberapatahunumurorangakanbertambahdenganadanyateam tersebut). Tabelberikutiniadalahtaksiranpertambahanumur(tahunorang)dalamsatuanribu untuk tiap negara dan tiap alokasi team yang mungkin dilakukan Kontribusi dari xn sn+1 sn f*n+1 (sn+1) fn (sn,xn) Stage n+1Stage n Stage Jumlah tim yang Pertumbuhan umur (ribuan tahun-orang) Nergara dialokasikan123 0 1 2 3 4 5 0 45 70 90 105 120 0 20 45 75 110 150 0 50 70 80 100 130 Berikutiniadalahhasilperhitunganseluruhnya,dimulaidaristageterakhir(n=3)dan bergerak mundur hingga stage pertama (n = 1). n = 3 sf3* (s) x3 0 1 2 3 4 5 0 50 70 80 100 130 0 1 2 3 4 5 n = 2 x2F2 (s,x2) = p2 (x2) + f3* (s-x2)F2* (s)x2* S012345 0000 1 2 3 4 5 50 70 80 100 130 20 70 90 100 120 45 95 115 125 75 125 145 110 160 150 50 70 95 125 160 0 0,1 2 3 4 n = 1 x2F1 (s,x1) = p1 (x1) + f2* (s-x1)F1* (s)x1* s012345 51601701651601551201701 Dengandemikian,makasolusi.optimumnyaadalahx1*=1,sehinggas=51=4 untukn=2.Akibatnyax2*=3.Selanjutnyas=4-3=1untukn=3sehinggax3*=1. karenaf1*(5)=170,makaalokasi(1,3,1)dariteamkesehatanpadatiganegarainiakan menghasilkan taksiran total 170.000 penambahan tahun orang. 3.TEORI ANTRIAN Teoriantrianadalahteoriyangmenyangkutstudimatematisdariantrian-antrianatau baris-barispenungguan.Formasibaris-barispenungguaninitentusajamerupakansuatu fenomena biasa yang terjadi apabila kebutuhan akan suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersediauntukmenyelenggarakanpelayanantersebut.Keputusan-keputusanyangberkenaan denganjumlahkapasitasiniharusdapatditentukan,walaupunsebenarnyatidakmungkin dapatdibuatsuatuprediksiyangtepatmengenaikapanunit-unityangmembutuhkan pelayananituakandatangdanatauberapalamawaktuyangdiperlukanuntuk menyelenggarakan pelayanan itu. Beberapasistemantrian yang sering digunakan dalam contoh : -Proses Birth dan Death Kebanyakanmodeldasarantrianmenganggapbahwainput(unitkedatangan)dan output(leavingunit)darisistemantrianterjadimenurutprosesbirth-death(kelahiran-kematian).Kelahiranadalahkedatangancallingunityangbarudalamsistemantrian, sedangkan kematian adalah keberangkatan unit yang telah dilayani. Jelasnya adalah : 1.Birth postulate SistempadastateEn(n=0,1,2,)padasaatt,kemungkinanbahwatepatadasatu kelahiranselamaintervalwaktutsampaidengan(t+t)adalah[nt+0(t)],di mana n positif konstan. 2.Death postulate SistempadastateEn(n=0,1,2,)padasaatt,kemungkinanbahwatepatadasatu kematian selama interval waktu t sampai dnegan (t + t) adalah n t + 0 (t), dimana 0 = 0 dan n positif konstan untuk n > 0. 3.Multiple jump postulate Sistem pada state En (n = 0, 1, 2, ) pada saat t, kemungkinan bahwa jumlah kombinasi kelahirandankematianlebihdarisatuselamaintervalwaktu(ts/d(t+t)adalah0 (t). Keterangan:0 (t) adalah fungsi dari tyang karena t 1 maka: 1 12 2 1 1111 1 ((

+ = Pn nnPn n Pn nPnnnn Pn n nPn 2 2 1 1 = Pn n Pn n Ulangi perhitungan ini dengan nilai n yang lebih kecil, sehingga akhirnya didapat: n Pn - n-1 Pn-1 = 1 P1 - o Po Persamaan ini dapat ditulis secara ringkas sebagai : Po Pnnini110==ttuntuk n = 1, 2, . -Model Single Server (S = 1) a. Input Poisson dan waktu pelayanan eksponensial Modeliniadalahkasuskhususdariproseskelahiran-kematianyangmengkombinasikan proses kelahiran murni dengan proses kematian murni. Jadi n = untuk n = 0, 1, 2, dan n = untuk n = 1, 2, . Untuk n > 0 nniniPoiPo Pn ) / (1110 t t= === Karena = /, maka : Pn = (1 ) nuntuk n = 0, 1, 2, Dengan demikian, maka : ) ( ) 1 ( ) 1 (0 0nnnnddn == = = )11( ) 1 ( ) ( ) 1 (0 = ==ddddnn ==1LDengan cara yang sama : Pn n Lnq) 1 (1 == = L 1 ( 1 Po) ) (2 =qLMasihdenganasumsi = >= =) ( ) 1 (1En t T Pnn> = ) (0t T PnPn> == ) ( t T P > = = te) 1 ( untuk t 0 Dengan demikian maka: ) () ( = = T E Wqb. Input Poisson dan waktu pelayanan sembarang Asumsi: waktu pelayanan rata-rata 1/ dengan varians 2o .Maka jika = / < 1, di dapat: Po = 1Lq = ) 1 ( 22 2 2 o + L = + Lq Wq = Lq W= Wq + 1/ -Model Disiplin pioritas Model-modeldisiplinprioritasadalahmodel-modelantrianyangdisiplin pelayanannyadidasarkanatassuatusistemprioritas.Dalamkenyataansehari-hari,banyak sekalisituasiyangmemenuhimodelsepertiini,misalnyapekerjaan-pekerjaanyangsingkat /cepatdikerjakansetelahpekerjaan-pekerjaanlainnya,langganan-langgananpenting didahulukandaripadayanglainnya,danlain-lain.Karenaitu,pengunaanmodel-model disiplinprioritasiniseringlebihdapatditerimadaripadakebanyakanmodelantrianyang biasa. Sayang sekali,untuk model-model ini analisis matematisnya rumit sekali dan hasilnya pun hanya dapat digunakan secara terbatas,yaitu hampir seluruhnya untuk kasus-kasus singleserver. Namun, hasil-hasil yang dapat digunakan ini berguna pula untuk satu model multiple-server.ModelinimengasumsikanbahwaadasejumlahNkelasprioritasterendahdan anggotaanggatakelasprioritasyangtertinggiyangadadalamantrianakandipilih berdasarkan FCFS. pelayanan tidak dapat didahulukan, artinya unit-unit yang sedang dilayani tidak dapat dikembalikan kedalam antrian, bila unit dari prioritas yang lebih tinggi memasuki sistemantrian.Dalamhalini,untukmasing-masingkelasprioritasdiasumsikanmengikuti prosesinputpoissondanwaktupelayananrata-ratanyasamauntukseluruhkelasprioritas, tetapitingkatkedatanganrata-ratanyabolehberbedaantarakelasprioritasyangsatudengan yang lainnya. Denganmengunakanasumsi-asumsiini,makaekpektasiwaktumenunggudalam keadaan steady state (termasuk waktu pelayanan) untuk seorang anggotadari kelas prioritas ke-k adalah: Wk=1.11+ k kB B A Di mana: A=S!=+|.|

\| 10!sjjsSjpPS , Bo =1 Bk = 1-Siki=1 Dimana:S = jumlah pelayanan = tingkat pelayanan rata-rata per pelayanan yang sibuk i =tingkat kedatangan rata-rata untuk kelas prioritas ke-I untuk I =1, 2, .,N = =Nii1 = /Hasil-hasil ini mengasumsikan bahwa =kii1