administradorjorgevelcasING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 4 3 xxcos dx ∫ sen x 3 cos; x u x du dx dv dx...

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

CONFERENCIA CLASE MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 30/ABRIL/2010

INTEGRACIÓN POR PARTES

( ) ( ) ( );u f x y v g x d uv udv vdu= = = +

( )udv d uv vdu= −

udv uv vdu= −∫ ∫

2x sen x dx∫

cos2; 22

xu x du dx dv sen x dx v= ⇒ = = ⇒ = −

udv uv vdu= −∫ ∫

2 cos222 2

xcos x xx sen x dx dx⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

2 12 c2 2

xcos xx sen x dx x dx= − +∫ ∫ os2

2 222 4

xcos x sen xx sen x dx C∴ = − + +∫

lnx dx∫

ln ;dxu x du dv dx v xx

= ⇒ = = ⇒ =

ln ln dxx dx x x xx

= −∫ ∫

ln lnx dx x x dx= −∫ ∫

ln lnx dx x x x C∴ = − +∫

2 3xx e dx∫


23

2 32 ;3

xx eu x du x dx dv e dx v= ⇒ = = ⇒ =

( )2 3 3

2 3 23 3

x xx x e ex e dx x dx= −∫ ∫

2 32 3 32

3 3

xx xx ex e dx xe dx= −∫ ∫

3xxe dx∫

33;

3

xx eu x du dx dv e dx v= ⇒ = = ⇒ =

3 3 3 33 3

13 3 3 9

x x x xx xxe e xe exe dx dx xe dx C= − ⇒ = − +∫ ∫ ∫

2 3 3 32 3 2

3 3 3 9

x x xx x e xe ex e dx C

⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

2 3 3 32 3 2 2

3 9 27

x x xx x e xe ex e dx C= − + +∫

1ln 1x dx

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∫ x

( )( )

1 1ln 1 ln

ln 1 ln

ln 1 ln

xx dx x dxx x

x x x dx

x x dx x x dx

+⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

= + −

∫ ∫

∫∫ ∫

( )ln 1x x d+∫ x

( )2

ln 1 ;1 2

dx xu x du dv x dx vx

= + ⇒ = = ⇒ =+


3

( ) ( )

( )

2 2

2

1ln 1 ln 12 2

1 1ln 1 12 2 1

x xx x dx x dx

x x x dxx

1x∴ + = + −

+⎛ ⎞= + − − +⎜ ⎟+⎝ ⎠

∫ ∫

∫

( ) ( )

( )

2 2

2 2

1ln 1 ln 12 4 2 2

1ln 12 4 2

x x xx x

x x xx C

= + − + − +

−= + − + +

C+

lnx xdx∫

2

ln ;2

dx xu x du dv x dx vx

= ⇒ = = ⇒ = 2 21ln ln

2 2 2 4x x 2xx x dx x C= − = −∫ +

( )2 21 1ln 1 ln 1 ln2 2

x xx dx x xx

−⎛ ⎞2x C∴ + = + − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

lntansenx xdx∫

2seclntantan cos

cos

x dxu x du dxx sen x x

dv sen x dx v x

= ⇒ = =

= ⇒ = −

( )

lntan

cos lntan coscos

senx x dx

dxx x xsenx x

∴

= − − −

∫

∫

( )cos lntan csc

cos lntan ln csc cot

x x x dx

x x x x

= − +

= − + − +C∫


4

3cosx x dx

sen x∫

3cos; xu x du dx dv dxsen x

= ⇒ = =

cosw senx dw xd= ⇒ = x

3 21 1

2 2dwvw w se

⇒ = = − = −∫ 2n x

3 2cos 1 1

2 2 2x x xdx dxsen x sen x sen x

∴ = − +∫ ∫

22 2

1 ccsc2 2 2 2

x xxdx Cot xsen x sen x

= − + = − − +∫

DIFERENCIALES TRIGONOMÉTRICAS

2 23 cos 3sen x xdx∫

1 1 1 1cos6 cos62 2 2 2

x x⎛ ⎞⎛− +⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝∫ dx⎞ =⎟

⎠

21 1 1 1cos6 cos6 cos 64 4 4 4

x x x⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ dx =

2 21 1 1 1cos 6 cos 64 4 4 4

x dx dx xdx⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫

1 1 1 1cos124 4 2 2

dx x dx⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ =

1 1 1 1 1cos12 cos124 8 8 8 8

dx dx xdx dx xdx= − − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫2 2 123 cos 3

8 96x sen xsen x xdx C∴ = − +∫


5

5cos xdx

senx∫

( )1 124 22 2cos cos 1 cosxsen x xdx sen x sen x xdx

− −= = −∫ ∫

( )

=1

2 4 21 2 cossen x sen x sen x xdx−

= − + =∫ 1 3 72 2 2cos 2 cos cossen x xdx sen x xdx sen x xdx

−= − +∫ ∫ ∫

cosu senx du xdx= ⇒ = 1 5 9

1 3 7 2 2 22 2 2 22 1 5 9

2 2 2

u u uu du u du u du C−

− + = − +∫ ∫ ∫ +

1 5 952 2 2cos 4 22

5 9xdx sen x sen x sen x C

senx∴ = − +∫ +

64

6

sec x dxπ

π∫

( )( )

26 2 2

4 2 2

sec tan 1 sec

tan 2tan 1 sec

x dx x x dx

x x x dx

= +

= + +

∫ ∫∫

=

dxdx

( )4 2 2 2 2tan sec 2tan sec secx x x x x= + +∫

2tan secu x du x= ⇒ = 5 3

4 2 225 3u uu du u du du u C+ + = + +∫ ∫ ∫ +

5 3tan 2tan tan5 3

x x x C= + + +

5 3 464

66

tan 2tansec tan5 3

x xx dx x

ππ

ππ

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ =


6

5 35 3 tan 2tantan 2tan6 64 4 tan tan

5 3 4 5 3 6

π ππ ππ π

= + + − − −

5 31 121 2 13 315 3 5 3 328 1 2 1 28 5615 1545 3 9 3 3 45 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + + − − −

= − − − = −

64

6

sec 1.1482x dxπ

π∴ ≈∫

3tan 4x dx∫

( )3 2 2tan 4 tan 4 tan4 sec 4 1 tan4x dx x x dx x x dx= = −∫ ∫ ∫

2tan4 sec 4 tan4x x dx x= − dx∫ ∫

Para la primera: 2tan4 4sec 4u x du x= ⇒ = dx

2 2

1 11 1 tan 44 4 2 8

u xudu C C= + = +∫

La segunda es directa:

21tan4 ln sec44

x dx x C= +∫ 2

3 tan 4 1tan 4 ln sec48 4

xx dx x C∴ = +∫ +

dxdx

La primera se puede resolver también como: 2tan4 sec 4 sec4 sec4 tan4x x dx x x x=∫ ∫

sec4 4sec4 tan4v x dv x x= ⇒ = 2 2

23 3

1 1 sec 4tan4 sec 44 4 2 8

u xu du C x x dx C= + ⇒ = +∫ ∫


72

3 sec 4 1tan 4 ln sec48 4

xx dx x C∴ = +∫ +

6cot x dx∫

( )6 4 2 4 2cot cot cot cot csc 1x dx x x dx x x dx= =∫ ∫ ∫ −

( )4 2 4

4 2 4

cot csc cot

cot csc cot

x x x dx

x x dx x

−

= −

∫∫ ∫ dx

( )4 2 2 2cot csc cot csc 1x x dx x x dx= −∫ ∫ −

( )4 2 2 2 2cot csc cot csc cotx x dx x x x= − −∫ ∫ dx

( )4 2 2 2 2cot csc cot csc csc 1x x dx x x dx x dx= − +∫ ∫ ∫ − =

dx− ∫dx

4 2 2 2 2cot csc cot csc cscx x dx x x dx x dx= − +∫ ∫ ∫

2cot cscu x du x= ⇒ = − 5 3

4 215 3

u uu du u du du dx u x C− + − − = − + − − +∫ ∫ ∫ ∫ 5 3

61

cot cotcot cot5 3

x xx dx x x C∴ = − + − − +∫

3 5sec tanx x∫ dx

3 5 2 4sec tan sec tan sec tanx x dx x x x x=∫ ∫ dx

dx

x

( )( )

22 2

2 4 2

sec sec 1 sec tan

sec sec 2sec 1 sec tan

x x x xdx

x x x x x

= −

= − +

∫∫

6 4

2

sec sec tan 2 sec sec tan

sec sec tan

x x x dx x x x d

x x x dx

= −

+

∫ ∫∫

sec sec tanu x du x x dx= ⇒ =


87 5 3

6 4 2 227 5 3u u uu du u du u du C− + = − +∫ ∫ ∫ +

7 5 33 5 sec 2sec secsec tan

7 5 3x x xx x dx C= − +∫ +

SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

( )1

2 2 2)i a u−

au

2 2a u−

y

( )1

2 2 2)ii a u+

u

ay

2 2a u+

( )1

2 2 2)iii u a−


9

u 2 2u a−

ya

29 1 6x d x−∫

2 2

2

9 ; 3 ; 316 ; 4

u x u x du da a

= = =

= =

x

2 213

u a d⇒ −∫ u

y

u

2 2

secsec tan

tan

u a ydu a y y dy

u a a y

==

− =

221 tan sec tan sec tan

3 3aa y a y y dy y y d⇒ =∫ ∫ y

( )2

2

2 23

sec sec 13

sec sec3 3

a y y dy

a ay dy y dy

−

= −

∫

∫ ∫

La primera se resuelve por partes y: 3 2

2

sec sec sec

sec ; sec tansec ; tan

y dy y y dy

u y du y ydydv ydy v y

=

= =

= =

∫ ∫

3 2sec sec tan sec tany dy y y y y dy= −∫ ∫

a

2 2u a−


10

( )3 2sec sec tan sec sec 1y dy y y y y dy= − −∫ ∫ 3 3sec sec tan sec secy dy y y y dy y dy= − +∫ ∫ ∫

32 sec sec tan secy dy y y y dy= +∫ ∫

3 1 1sec sec tan ln sec tan2 2

y dy y y y y C∴ = + +∫ +

Luego:

2

2

2 2

1 1sec tan ln sec tan3 2 2

ln sec tan3

sec tan ln sec tan6 6

a y y y y

a y y C

a ay y y y

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

− + +

= − + C+

Se sustituyen las funciones trigonométricas y: 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

ln6 6

ln6 6

a u u a a u u a Ca a a a

u u a a u u a Ca

− −− + +

− + −= − +

2 22 3 9 16 16 3 9 169 16 ln

6 6 4x x x xx dx − + − C∴ − = − +∫

2 29 16 8 3 9 16ln2 3 4

x x x x C− + −= − +

2

21 4x dx

x−∫

2 2 24 2 2 ; 1u x u x du dx a a= ⇒ = ⇒ = = ⇒ 1=


112

2 2

2 2 2 2

1 142 81 4

u dux dx u dux a u a

= =− −

∫ ∫ ∫ 2u−

a u

y

2 2 2 2 2

cos

; c

u aseny du a y dy

u a sen y a u a

= ⇒ =

= − osy=

2 2a u−

2 2 2

2 2

2 22

1 1 cos8 8 cos

1 1cos28 8 2 2

u du a sen y a ydya ya u

a asen y dy y dy

=−

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

2 2 2 2

cos2 216 16 16 32a a a ady y dy y sen y C= − = −∫ ∫ +

2 2

2 2

2 cos16 32

cos16 16

a u aangsen seny y Ca

a u aangsen seny y Ca

− +

= − +

2 2 2

2 2 2

16 16

16 16

a u a u a uangsen Ca a a

a u u a uangsen Ca

−= −

−= − +

2

+

2

2

1 2 2 1 416 1 161 1 42

16 8

x x xangsen C

x xangsen x C

−= −

−= −

+

+


122 2

2

1 1 4216 81 4

x dx x xangsen x Cx

−∴ = −

−∫ +

264 25dx

x x +∫

2 2 264 8 8 ; 25 5u x u x du dx a a= ⇒ = ⇒ = = ⇒ =

2 22

1864 25 64 25

8

dx du duux x u u ax

= =+ ++

∫ ∫ ∫ 2

u2 2a u+

y

2 2

duu u a+∫

a

2 2 2tan sec ; secu a y du a y dy a u a y= ⇒ = + = 2

2 2

sectan sec

11 sec 1 1cos csc

tancos

du a y dya y a yu u a

y dy y dy y dysenya y a ay

=+

= = =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

1 ln csc coty ya

= − C+


132 2

2

1 1ln csc cot ln

1 64 25 5ln5 8

u a ay y Ca a u

x Cx

+− + = − +

+ −= +

Cu

2

2

1 64 25 5ln5 864 25

dx x Cxx x+ −

∴ = ++

∫

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA DEL ANGULO MEDIO

z2 1z +

2x

tan2xz =

1

22 2

1 22 2 cos 22 2 2 1 1x x x zsenx sen sen

zz z⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ 1

z+⎝ ⎠ + +

2 22 2

2 2 21 1cos cos2 cos

2 2 2 1 1x x x zx sen

z z z 1z−⎛ ⎞= = − = − =⎜ ⎟ + + +⎝ ⎠

22tan 2 tan

2 1x dang z x ang z dx

z= ⇒ = ⇒ =

+z

2cos

dxsenx x+∫


14

( )

2

2

2 2

2 2

222 12 1cos

1 1

4 42 1 2 1

dzdx z

z zsenx xz z

dz dzz z z z

+=−+

++ +

= =+ − − − −

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )224 4

2 1 1 1 2 1dz dz

z z z= =

− − + − − − −∫ ∫

( )22 1 1u z u z= − ⇒ = −

2; 2du dz a a⇒ = = ⇒ = 2

( )2 2 24 42 1

1 2 2 14 ln ln2 2 2 1

dz dua uz

a u zC Ca a u z

= =−− −

+ + −+ = +

− − +

∫ ∫

2 1 tan2 22 lncos 2 1 tan

2

xdx Cxsenx x

− +∴ = +

+ + −∫

DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES RACIONALES

( )

( ) ( )1 2

2

) ; 1

; 1,2, ,

n

nn

i

i ax b nA A A

ax b ax b ax bA i n

+ ≥

+ + ++ + +

= ∈…

( )2 2) ; 1

nii ax bx c n y b ac4 0+ + ≥ − <


15

( ) ( )1 1 2 2

22 2 2

; 1,2,

n nn

i i

A x B A x B A x Bax bx c ax bx c ax bx c

A y B i n

+ + ++ + +

+ + + + + +

= ∈…

26

3 10x dx

x x−

− −∫

( )( )2 3 10 2 5x x x x− − = + −

1 22

63 10 2 5

A Axx x x x

−= +

− − + −

( ) ( )( )( )

( )( )

1 22

1 1 22

5 263 10 2 5

5 263 10 2 5

A x A xxx x x x

2A x A A x Axx x x x

− + +−=

− − + −

− + +−⇒ =

− − + −

1 1 26 5x A x A A x− = − + + 22A

6

1 2 1 2

1 2 1 2

1 16 5 2 5 2

A A A AA A A A

= + + =⎧⇒ ⎨− = − + − + = −⎩

( )1 2 2 2

2 2

1 ; 5 1 25 5 2 6

A A A AA A

6= − − − + =

⇒ − + + = −

−

2 2 11 17 1 ; 17 7

A A A ⎛ ⎞= − ⇒ = − = − − ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

187

A

2

8 16 7 7

3 10 2 5x dx dx dx

x x x x

−−= +

− − + −∫ ∫ ∫

26 8 1

3 10 7 2 7x dxdx

x x x x−

= −− − + −∫ ∫ 5

dx∫

2 ; 5u x du dx v x dv dx= + ⇒ = = − ⇒ =

1 18 8 8 8ln ln 27 2 7 7 7

dx du u C x Cx u

= = + = + ++∫ ∫


16

2 21 1 1 1ln ln 57 5 7 7 7

dx dv v C x Cx v

− = − = − + = − − +−∫ ∫

( )8

2

26 8 1 1ln 2 ln 5 ln3 10 7 7 7 5

xx dx x x C Cx x x

+−∴ = + − − + = +

− − −∫

3 2

42 1

1x x x dx

x− + −

−∫

( )( ) ( )( )( )3 2 3 2 3 2

4 2 2 2

2 1 2 1 2 11 1 1 1 1

x x x x x x x x xx x x x x x

− + − − + − − + −= =

− 1− + − + +

3 2

4 22 1

1 1 1x x x A B Cx

x x x x 1D− + − +

= + +− − + +

2 1

( )( ) ( )( ) ( )( )3 2

2 2

2 1

1 1 1 1

x x x

A x x B x x Cx D x

− + − =

+ + + − + + + −

( ) ( )3 2

3 2 3 2 3 2

2 11 1

x x xA x x x B x x x Cx Cx Dx

− + − =

+ + + + + − − + − + − D

3 2

3 2 3 2 3 2

2 1x x xAx Ax Ax A Bx Bx Bx B Cx Cx Dx

− + − =

+ + + + + − − + − + − D

11

1 12 21 11 1

A B C A B CA B D A B D

A B C A B C C A BA B D A B D D A B

= + + + + =⎧ ⎧⎪ ⎪− = − + − + = −⎪ ⎪⇒⎨ ⎨

= + − + − = ⇒ = + −⎪ ⎪⎪ ⎪− = − − − − = − ⇒ = − +⎩ ⎩

1 11 2

A B A BA B A B

+ + + − =⎧⎨

− + − + = −⎩

12 2 2 44 12 2 3 5

4

AA BA

A B B

⎧ = −⎪ + =⎪⇒ ⇒ = − ⇒⎨− = −⎪ =

⎪⎩


171 5 1 5 11 0 ; 14 4 4 4 2

C C D= − + − ⇒ = = − − + ⇒ = −D

3 2

4 2

11 5 02 1 24 4

1 1 1

xx x x dx dx dx

x x x x

⎛ ⎞+ −− ⎜ ⎟− + − ⎝ ⎠= + +− − + +∫ ∫ ∫ ∫ 1

3 2

42 1 1 5 1ln 1 ln 1 tan

1 4 4 2x x x dx x x ang x C

x− + −

= − − + + − +−∫

( )53 2

4

12 1 1 1ln tan1 4 1 2

xx x x dx ang x Cx x

+− + −∴ = −

− −∫ +

32 1

8x dx

x+−∫

( )( )3 2

2

2 1 2 18 2 2

2 2 4

x xx x x x

A Bx Cx x x

+ +=

− 4− + +

+= +

− + +

( ) ( )( )2

2 2

2 1 2 4 2

2 1 2 4 2 2

x A x x B x C x

x A x A x A B x B x C x C

+ = + + + + −

+ = + + + − + −

02 2 21 4 2

A BA B C

A C

= += − += −


18

2 41 4 2

13

2 4 51 3121 4 2

512

A CB A

A C

C

A CC A

A C

B

= += − ⇒

= −

=

= +⇒ ⇒ = ⇒

− = − +=

= −

3 2

2

5 152 1 12 312

8 2 2 45 1 5 4

12 2 12 2 4

xx dx dx dxx x x x

dx x dxx x x

− ++= +

− − + +−

= −− + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

15 5 ln 2

12 2 12dx x C

x= − +

−∫

( ) ( )2 2 4 2 2 2 1u x x du x dx x d= + + ⇒ = + = + x

2 2

2 2

5 4 5 5 5 42 4 2 4

15 92 4 2 4

x xdx dxx x x x

x ddxx x x x

− + −=

+ + + ++

= −+ + + +

∫ ∫

∫ ∫x

−

22

22

1 5 55 l2 4 2 2

5 ln 2 42

x dudx u Cx x u

x x C

+= = +

+ +

= + + +

∫ ∫ n

( )

2 2

2

2 4 2 1 1

1 3

d x d xd xx x x x

d xx

=+ + + + − +

=+ +

∫ ∫

∫4


19

( )

2

22

3 ; 3

1 ; 1 ;

a a

u x u x du dx

= =

= + = + =

( )22 2

3 3

9 92 4 1 3

1 99 tan tan3 3

dx dx dudxx x u ax

u xang C ang Ca a

− = − = −+ + ++ +

+= − ⋅ + = − +

∫ ∫ 29

1

∫

3

2

1 2 3

2 18

5 5 3ln 2 ln 2 4 tan12 24 4 3 3

1

x dxx

xx x x ang

C C C C

+−

+= − − + + +

= + +

∫

C+

SUSTITUCIONES DIVERSAS

3

dxx x+∫

6 6 6z x x z dx z d= ⇒ = ⇒ = 5 z 5 5

3 23 36 6

6 6 61

dx z dz z dz z dzz z zx x z z

= = =3

+ ++ +∫ ∫ ∫ ∫

32 16 6 1

1 1z dz z z dz z

⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ ∫ z

3 22 3 6 6ln 1z z z z C= − + − + +

( )63 6 63

2 3 6 ln 1dx x x x xx x

C∴ = − + − + ++∫

( )33 3

dx

x x− + −∫


202 23 3

2 2z x x z

dx zdz dx zdz= − ⇒ − =

⇒ − = ⇒ = −

( ) ( )33 32 2

2 23 3

dx zdz zdzz zx x z z

−= = −

+− + − +∫ ∫ ∫

22 2 tan1

dz ang z Cz

= − = − ++∫

( )32 tan 3

3 3

dx ang x Cx x

∴ = − − +− + −

∫

2 9) xi dx+

∫ x

2 2 29 92 2

x u x uxdx udu xdx udu

+ = ⇒ + =⇒ = ⇒ =

2 2

2 2 29 9

9 9x x u udx xdx udu du

x x u u+ +

= = =2

− −∫ ∫ ∫ ∫

2

2 29 91

9 9u du du du du

u u u⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟− −⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ 2 9−

29

9du

u −∫

2 2

2 9 3v u v u dv da a

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

u

( )

12 2

1 1

99 ln2

9 3 3 3ln ln2 3 3 2 3

dv v a Cv a a v a

u uC Cu u

−= +

− +

− −= + =

+ +

∫

+

2

23 3ln

9 2 3u udu u C

u u−

= + +− +∫


212 2

2

2

9 3 99 ln2 9 3

x xdx x Cx x+ + 3−

∴ = + + ++ +

∫

1

1x dxx

++∫

2 2x u x u dx ud= ⇒ = ⇒ = u 2 31 1 2 22

1 11x u udx udu du

u ux+ + +

= =+ ++∫ ∫ ∫

u

322 2 42 2 4

1 1u u du u u duu u+ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∫ ∫

22 2 4 41

duu du udu duu

= − + −+∫ ∫ ∫ ∫

3 322 2 2 4 4ln 1

1 3u u udu u u u Cu+

= − + − + ++∫

1 2 4 4ln 131

x x xdx x x x Cx

+∴ = − + − + +

+∫

1x

dxe −

∫

2 21 1x x xe u e u e u− = ⇒ − = ⇒ = +1

( )22

2ln 11

udux u dxu

⇒ = + ⇒ =+

2

2

21 2 2 tan

11x

ududx duu ang u C

u ue+= = =

+−∫ ∫ ∫ +

2 tan 11

xx

dx ang e Ce

∴ = −−

∫ +

2

31x dx

x+

∫


222 2 2

2 2

1 11

x u x ux u x dx u du+ = ⇒ + =

⇒ = − ⇒ =

( ) ( )2 2

2 23 4 2 2

1 1

1 1

x x u udx xdx udux x u u

+ += = =

2 du

− −∫ ∫ ∫ ∫

u 2 1u − y

sec sec tanu y du y y= ⇒ = dy

1

( )22 21 tan 1 tanu y u− = ⇒ − = 4 y

( )2 2

2 42

sec sec tantan1

u du y y y dyyu

=−

∫ ∫

3 3

33

3

1sec cos

tancos

y dy y dysen yy

y

= =∫ ∫

3 23

1 csc csc cscdy y dy y y dysen

= = =∫ ∫ ∫

2

csc csc cotcsc cot

v y dv y ydw y dy w y= ⇒ = −

= ⇒ = −

dy

3 2csc csc cot csc coty dy y y y y dy= − −∫ ∫

( )3 2csc csc cot csc csc 1y dy y y y y dy= − − −∫ ∫

3 3csc csc cot csc cscy dy y y y dy y dy= − − +∫ ∫ ∫

32 csc csc cot cscy dy y y y dy= − +∫ ∫

312 csc csc cot ln csc coty dy y y y y C= − + + +∫

3 1 1csc csc cot ln csc cot2 2

y dy y y y y C∴ = − + + +∫


23

( )2

2 2 2 2 22

1 1 1 1ln2 21 1 1 11

u du u u Cu u u uu

= − + + +− − − −−

∫

( ) ( )2

2 2 22

1 1ln22 1 11

u du u u Cu uu

+= − + +

− −−∫

2 2 2

3 21 1 1 1ln

2 2x x xdx Cx x x+ + + +1

∴ = − + +∫

ÁREA BAJO LA CURVA

x

y f

( )b

aA f x d= ∫ x

A

a b Calcular el valor del área limitada por la gráfica de la función

( )f x senx= ,

el eje de las abscisas y las rectas 302

x y x π= =


24y

32

0A senxdx senxdx

ππ

π= −∫ ∫

32

0cos cosA x x

ππ

π= − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3cos cos0 cos cos2ππ π⎛ ⎞= − + − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( )

3cos cos0 cos cos2

1 1 0 1 3

A ππ π= − + + −

= − − + − − − =

23A u∴ =

ÁREA ENTRE CURVAS

g

f

ax

y

b

A

x

2π

π 3

2π

0x = 32

x π=

y senx=

A


25fy

Aa b x

g

( ) ( )b

aA f x g x dx⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫

g

f

A x

y

a

b

Calcular el valor del área de la región limitada por las curvas:

2 4 1.5y x y x y= − + + =1.5

y

( )1, 3− y ( )2.5, 2.25−

x

2 4y x= − +

1.5 1.5x y+ =

( )1, 3−

A

( )2.5, 2.25−


26

1.5( ) 2 4 1.5y f x x y x y= = − + + =

( ) 1.5 1.5y g x⇒ = = − x

( ) ( )

( ) ( )

2.5 2

1

2.5 2

1

4 1.5 1.5

4 1.5 1.5

A x x

x x

−

−

⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦

∫

∫

dx

dx

( )2.53 22.5 2

11

1.51.5 2.5 2.53 2x xA x x dx x

−−

⎡ ⎤= − + + = − + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 2

3 2

2.5 1.5 2.52.5 2.5

3 2

1 1.5 12.5 1

3 2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞− −⎜ ⎟− − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

5.2083 4.6875 6.25 0.3333 0.75 2.5A ≈ − + + − − + 27.1459A u∴ ≈

alcular el área limitada, en el primer cuadrante, por las C

gráficas de las curvas: 2

2 ;y x y= = 2 2; ; 88x y x y x= =

( )2

4 32

1 0y x x x x xy x⎧ =

⇒ = ⇒ − =⎨=⎩

0 01 1

x yx y= ⇒ =⎧

⇒ ⎨= ⇒ =⎩

( )2

4 32

8 88

y x x x x xy x⎧ =

⇒ = ⇒ − =⎨=⎩

0

0 02 4

x yx y= ⇒ =⎧

⇒ ⎨= ⇒ =⎩


27

( )2

43

2

64 08 64

x xy x x xy x

⎧=⎪ ⇒ = ⇒ − =⎨

⎪ =⎩

0 04 2

x yx y= ⇒ =⎧

⇒ ⎨= ⇒ =⎩

( )2

43

2

8 512 08 648

x xy x x xy x

⎧=⎪ ⇒ = ⇒ − =⎨

⎪ =⎩

0 08 8

x yx y= ⇒ =⎧

⇒ ⎨= ⇒ =⎩

( ) ( )22 4 82

1 2 31 2 4; 8 ; 8

8xA x x dx A x x dx A x d

⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ x

231 3 22 2 2

1 1

1

23 3x xA x x dx⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎢ ⎥= − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫

8

( )4, 2

( )2, 4

y

x

( )8, 8

8

1

2 8y x=

2y x=

2

8xy =

2y x

3A

4

1

1 4

A

2A

=

( )1,1


28

8 4 2 1 2 4 233 3 3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2

1 1.114A u∴ ≈

( )43

1 1 242 2

2 2

2

22 2 2 2 13xA x x dx

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥= − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

( ) 16 4 22 2 13 3

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ 2

2 6.303A u∴ ≈

831 2 3282

3 4

4

4 22 28 3x xA x dx

24x

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥= − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

128 64 32 2 83 3 3 3

⎛ ⎞⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

3 8.915A u∴ ≈

21 2 3 16.332T TA A A A A u= + + ∴ ∴ =

ÁREA EN COORDENADAS POLARES

( ) 2 21 12 2

A f d rβ β

α αdθ θ θ⎡ ⎤= =⎣ ⎦∫ ∫

Calcular el área limitada por las curvas:

4 2r sen y r senθ θ= =


29

2π

2 2

0 0 0

1 116 4 62 2

2A sen d sen d sen dπ π π

θ θ θ θ= − =∫ ∫ ∫ θ θ

00

1 1 26 cos2 6 62 2 2 2 2

senA dπ

π θ θ π 3θ θ π⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛= − = − = =⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝∫⎞⎟⎠

23A uπ∴ =

LONGITUD DE ARCO

( ) 21 '

b

aL f x⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫ dx

2 2dx dxL dd d

β

αθ

θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

Verificar que la longitud de una circunferencia de radio r es 2 rπ : a) Con la expresión que define la longitud de arco cuando la función está expresada en su forma explícita, es decir, ( )y f x=

0 π

32π

4r senθ=

2r senθ=


30

b) Mediante la expresión que define la longitud de arco cuando la función está dada por sus ecuaciones paramétricas.

2 2 2x y r+ =y

r

2 2

2 2

dy xy r xdx r x

−= − ⇒ =

−

22

2 201 4 1

b r

a

dy xL dx Ldx r x

⎛ ⎞−⎛ ⎞= + ⇒ = + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ −⎝ ⎠

∫ ∫ dx

2 2 21

2 2 2 20 04 1 4

rx r xL dxr x r x

− += + =

− −∫ ∫2x dx

2 2 2 20 04 4

r rr dxdx rr x r

= =x− −

∫ ∫

4r

o

xL r angsenr

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )4 1 0 42

L r angsen angsen r π⎛ ⎞⎡ ⎤= − = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

2L rπ= Ecuaciones paramétricas de la curva:

cosx r y y rsenθ θ= =

cos

cos

dxx r rsend

dyy rsen rd

θ θθ

θ θθ

= ⇒ = −

= ⇒ =

xrr−

r−


31

( ) ( )

2 2

2 22 20 0

4 cos

dx dyL dd d

L rsen r d

β

α

π π

θθ θ

4 r dθ θ θ θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒ = − + =

∫

∫ ∫

20

4 2L rπ

rθ π= =⎡ ⎤⎣ ⎦ Un cable eléctrico cuelga de dos torres separadas una distancia de y como se observa en la figura, la 80 mforma que adopta el cable es la de la catenaria de ecuación:

60cosh60xy =

Calcular la longitud de arco de esta catenaria entre las dos torres en las que se apoya.

En un sistema coord

60 m

enado

80 m

y

x40−

60

40


32

60 60

60 60

60cosh 6060 2

30

x x

x x

x ey y

y e e

−

−

⎛ ⎞+⎜ ⎟= ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

e

260 60 30 301 1 2

2 4

x x x xdy dye e e edx dx

− −⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞= − ⇒ = − +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

( )402 30 300

11 ' 2 1 24

x xb

aL f x dx e e

−⎛ ⎞⎡ ⎤= + = + − +⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠∫ ∫ dx

240 40

30 30 60 600 0

12 24

x x x x

e e dx e e dx− −⎛ ⎞ ⎛

= + + = +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

∫ ∫ ⎞⎟⎠

4060 60

0

x x

e e d−⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ x

40 2 2 260 60 3 3 3 3

0

60 60 60x x

e e e e e e− −⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛

= − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝

2

− ⎞

⎠

( )23

23

160 60 1.9477 0.5134 86.058e me

⎛ ⎞⎜ ⎟= − ≈ − ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

Por lo tanto, la longitud del cable es de 86.058L m∴ ≈

LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES

( ) ( )2

2 2 2' drL f f d rd

β β

α αdθ θ θ

θ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ θ


33

Calcular la longitud de arco de la gráfica de la función

4cosr θ=

de 2πθ = − a

2πθ =

2π

4cosr θ=

2 24cos 4 cos

32π

2

π 0 4

2 4r r r x yθ θ= ⇒ = ⇒ + x=

( )22 24 4 4 0 2x x y x y⇒ − + − + = ⇒ − + = 2 42

2 22

2

2 2

2 2

16cos 16

4 4 4

drL r d send

d

πβ

πα

π π

π π

2 dθ θ θθ

θ θ π

−

− −

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

= = =⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫

∫

θ

4L uπ∴ =

VOLUMEN DE SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

MÉTODO DE DSCOS CILÍNDRICOS


34

y

y

x 0a x= nx b=

( )y f x=

1x 2x 3x 4x 1ix − ix 1nx −

( )if α

ix∆

x b a

0x

( )0f x

y

( )y f x=

( )y f x=

( )0f x

x a 0x b


35

2

dy

Calcular el volumen del cono truncado que se genera al

( ) ( ) ( )2 2

1lim

n b b

i i a an iV f x f x dx f x dxπ α π π

→∞=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∆ = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∫ ∫

( ) ( )2 2d d

c cV f y dy f yπ π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

hacer girar, alrededor del eje de las abscisas, a la superficie limitada por las rectas:

5 ; 0 ; 0 ; 3y x y x x= − = = = Hacer un trazo aproximado de la superficie de giro, así como del cono truncado cuyo volumen se pide

x

y

0y =

3x =

5y x= − 0x =

5

3 5 x

y

conotruncado

x

y

b

( )y f x=

ix∆

( )if α

a


36

El volumen del cono trucado es igual a: ( ) ( ) ( )3 32 2 2

0 05 25 10

b

aV f x dx x dx x x dxπ π π⎡ ⎤= = − = − +⎣ ⎦∫ ∫ ∫

332

0

27 8725 5 75 452 2 2xx xπ π π

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + = − + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

3136.66V u∴ ≈

MÉTODO DE LAS CORTEZAS CILÍNDRICAS Este método se basa en utilizar anillos cilíndricos de poco grosor llamados cortezas y que se ilustra en la siguiente figura:

El volumen de una corteza cilíndrica de radio exterior 2r , radio interior 1r y altura está dado por:

h que también se puede escribir como:

h

volumen del cilindro exteriormenos volumen del del huecoV =

2 22 1V r h rπ π= −

( ) ( )( ) ( )2 2 2 12 1 2 1 2 1 22

2r rV r r h r r r r h h r rπ π π +⎛ ⎞= − = + − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ 1

2r r∆

1r r

h


37

En el primer paréntesis de la expresión obtenida se tiene el radio medio de la corteza, denotado con r en la figura, es decir, que

2 1

2r rr +

=

Y en el segundo paréntesis de dicha expresión se tiene el grosor de la corteza, denotado en la figura con y que equivale a:

r∆

2 1r r r∆ = − Luego entonces, tomando en consideración esto, el volumen de la corteza cilíndrica se puede escribir como:

2V r h rπ= ∆ Por lo que.

( )( )( )2 radio medio altura grosorcortezaV π= ea una función continua y no negativa en el intervalo S f

cerrado ,a b⎡ ⎤⎣ ⎦ , donde 0 a b≤ < . Y sea la región acotada por la gráfica de la función, el eje de las abscisas y las rectas de ecuaciones

R

x a y x b= = , tal como se muestra en la figura siguiente:

Si se gira la región R alrededor del eje " "y se forma el

volución mostrado en la figura: sólido de re

y

( )y f x=

xR

a b


38

Nótese que si , entonces el sólido de revolución

. Se construye ahora una partición del intervalo y se considera el rectángulo de base

0a >tiene un agujero cilíndrico de radio " "a

,a b⎡ ⎤⎣ ⎦1,n nx x−⎡ ⎤⎣ ⎦ y altura ( )nf w ,

donde es el punto medio del subintervalo . Cuando este rectángulo gira alrededor del eje , entonces se obtiene una corteza cilíndrica con radio

nw 1,n nx x−⎡ ⎤⎣ ⎦" "y

medio nw , altura ( )nf w y espesor 1n n nx x −x∆ = −

El volumen de esta corteza cilíndrica es.

( )2n n n nw f w xV π= ∆ Si se suman todos los volúmenes de sublos intervalos de la partiticón se llega a:

( )2 n nn

V w f w≈ ∆ nx∑

x

y

a b nw

1nx −

nx

nx

∆

( )nf w

x

y

b a


39

n e ria se m

pocos subintervalos.

tras menor sea la norma

que es una suma que proporciona un valor aproximado al volumen del sólido de revolución en cuestión. Una figura aproximada para ilustrar el volumen correspo diente a sta sumato uestra a continuación, considerando solamente una partición con

xa b

Es evidente que mien

y

∆ de la partición, mayor será la aproximación de la sumatoria

una función continua y valuada positivamente en el intervalo

con el volumen del sólido de revolución, objeto del problema en estudio. De acuerdo con lo ya estudiado del límite de una sumatoria, es posible establecer la siguiente definición: DEFINICIÓN. Sea f

,a b⎡ ⎤⎣ ⎦ para el que se cumple que . Entonces, el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor del eje , la región limitada por la gráfica de , el eje de las abscisas y las rectas

0 a b≤ < V

" "y fx a y x b= = , es igual a:

( ) ( )0

lim 2 2b

n n k an

V w f w x x fπ π∆ →

= ∆ =∑ ∫ x dx


40

Como se observa, el volumen se obtiene con una integral definida. A manera de resumen, considerando las dos posibilidades de ejes de revolución, los ejes , se tiene que: Se considera una misma región y

Si el eje de revolución es el eje vertical , entonces,

" " " "x y y

)i

)ii Si el eje de revolución es el eje horizontal, entonces, a b x∆

eje de revolución

( )p x ( ) )2b

aV p x q x dxπ (∴ = ∫

( )q x

d

y∆

( )q y

( ) ( )2d

cV p y q y dyπ∴ = ∫

( )p y c

eje de revolución


41

Calcular el volumen que se genera al girar, alrededor

de la recta 2x = , la región limitada por la curva 3

4xy = +1

y las rectas 2 1x y y= = . Graficar la región dada y el volumen requerido.

Método de cortezas cilíndricas:

( ) ( )2b

aV p x q x dxπ∴ = ∫

( ) ( )3 3

2 14 4x xp x x y q x

⎛ ⎞= − = + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ 1

( )32

02 2

4xV xπ= −∫ dx

( )3 3 4x x⎛ ⎞ 4 5

24 2 4 8 20x x xx dx dx C− = − = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

24 5 16 32 160 1282 28 20 8 20 80x xV π π⎡ ⎤ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎥ ⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝⎦ 0

2π ⎢ ⎟⎠⎣

34V u5π

∴ =

La gráfica de este volumen es:

x

y

3

1 14x⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

1y =

2x =

3

14xy = +

x∆

2 x−

2

3

1

eje de giro


42

Se construye un depósito de combustible cuya forma se obtiene al hacer girar alrededor del eje de las abscisas, el segmento de la parábola

2

2 ; 48xy x= − − ≤ ≤ 4

¿Cuál es su volumen? (magnitudes en " " " "x y ymetros). Utilizar para el cálculo los dos métodos, el de las cortezas cilíndricas y el de los discos

x

y

2

1

eje de giro

3


43

Método de las cortezas

La expresión a utilizar es:

dy( ) ( )2d

cV p y q yπ= ∫

( ) ( )2 4 4 2 ;q y x y p y y= = − = Luego,

( )2 2

0 02 4 4 2 8 4 2V y y dy V y yπ π= − ⇒ = −∫ ∫ dy

Se la integral indefinida y, 4 2 ; 4 2y y dy u− =∫ y−

42 ;2

udu dy y −⇒ = − =

x

y

4 4−

2

2 4 2x y= −

y∆ y

y

x4 m

8 m


441 42 2

u u du−− =∫

( )1 32 21 14 4

4 4u u u du u u du

⎛ ⎞− − = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

3 53 52 22 21 4 2 1

3 54 3 102 2

u u C u u C

⎛ ⎞⎜ ⎟

= − − + = − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )3 52 2

2 14 2 4 23 10

y y C− − + − +

( ) ( )23 5

2

0

2 18 4 2 4 2 210

V y yπ ⎡ ⎤= − − + −⎢ ⎥⎦

3⎣

( ) ( )3 52 2

2 18 4 43 10

π ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

316 328 53.623 10

V Vπ ⎛ ⎞= − ∴ ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

m

Método de los discos

y

2 22 24

4 02 xV π⎛ ⎞

= −⎜ ⎟∫4

2 28 8

xdx dxπ−

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

22 2 4 3

2 4 48 2 64 6 320x x x xdx dx x C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

5x+

x 4 4−

2

2

28xy = −

x∆


4543 5

0

2 46 320x xV xπ

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

364 10242 16 53.626 320

V mπ ⎛ ⎞= − + ∴ ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

LONGITUD DE ARCO Y ÁREA BAJO LA CURVA

En la ciudad de San Luis Missouri, EUA, se construyó un arco que posee la forma de una catenaria invertida. En el centro tiene de altura y de extremo a extremo en 192 mla base hay una longitud de 192.28 m. La forma del arco obedece, en forma aproximada, a la curva de ecuación:

231 39cosh39xy ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Determinar la longitud total del arco, así como el área total bajo el arco.

y

( )0,192

x( )96.14,0

231 39cosh39xy ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )96.14,0−


46

Longitud del arco: 2

96.14

02 1 dyL d

dx⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ x

22dy x⎛ ⎞ ⎛ ⎞

231 39cosh ;

39 39

39

x dyy senhdx

senhdx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

x

⎝ ⎠ ⎝ ⎠96.14 2

02 1

39xL senh ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

96.1496.14

0cosh 2 39 455.52

39 39x xdx senh L m⎡ ⎤⎛ ⎞ = ∴ ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫

0

⎛ ⎞

Área bajo la curva: ( )96 .14

02A f x d x= ∫

de donde 96.14

02 231 39cosh

39xA dx⎡ ⎤⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠⎣ ⎦∫ =

96.142

0

2 231 3939xx senh⎡ ⎤⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) 22 22,208.34 8,882.63 26,651.42A m= − ∴ =

ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

y f

a b

( )f x

x

dx

dS


47

( )2dA f x dSπ=

( )2b

aA f x dSπ= ∫

( ) 21 'dS f x dx⎡ ⎤= + ⎣ ⎦

( ) ( ) 22 1 '

b

aA f x f x dxπ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫

Curva Eje de revolución Eje de revolución

" "x " "y ( )y f x

a x b=

≤ ≤ ( ) ( ) ( ) 2

2 1 'b

aA S f x f x dxπ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫ ( ) ( ) 2

2 1 'b

aA S x f x dxπ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫

( )x f yc y d=

≤ ≤ ( ) ( ) 2

2 1 'd

cA S y g y dyπ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫ ( ) ( ) ( ) 2

2 1 'd

cA S g y g y dyπ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫

EJEMPLO. Calcular de dos maneras el área de la superficie que se genera al hacer girar la gráfica de la función y = ( ) 3f x x= , en el intervalo 0,1⎡ ⎤⎣ ⎦ , alrededor del eje de las abscisas. Hacer un trazo aproximado de la gráfica de la curva y de la superficie que se genera.

Primera forma:

( ) ( ) ( ) 22 1 '

b

aA S f x f xπ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦ dx∫

y 3y x= 1

1 x


48

( ) ( )( )

3 2

1 3 4

0

' 3

2 1 9

f x x f x x

A S x xπ

= ⇒ =

⇒ = +∫

dx

( )

4 3

332

4 2

1 9 36

2 1 918 18 3 27

u x du x dx

uudu C x Cπ π π

= + ⇒ =

= + = +∫

+

( )( ) ( )π π ⎛ ⎞⎡ ⎤= + ⇒ = −⎜ ⎟

1 334A A⎢ ⎥

⎣ ⎦2

0

1 927

S x⎝ ⎠

210 127

S

( )∴ 23.563A S u Segunda forma:

( ) ( )1 2

02 1 'A S y g yπ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦ dy∫

( ) ( ) ( )1 23 3

23

1 1; ' '3 3

g y y g y y g yy

−= = ⇒ =

( )431 1

4 40 0

1 9 12 1 2 y

3 39 9A S y dy yπ π dy

y y

+ = + =∫ ∫

4 11 13 3

20 03

22 9 1 933

y y dy y y dy

ππ= + =∫ ∫ 43 1 y+

4 13 39 1 12u y du y d= + ⇒ = y

334 2232 2 9 1

3 12 18 3 27uu du C y Cπ π π ⎛ ⎞

= + = +⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠∫ +

( )

134 323 2

0

9 1 1027 27

1y A S π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ ⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

( )A S π=

⎝


49

( ) 23.563A s u∴ Calcular, de dos formas, el área de la superficie generada al girar la curva, gráfica de la función

( ) 2y f x x= = , en el intervalo 0, 2x ⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦ , alrededor del eje

de las ordenadas. Hacer un trazo aproximado de la curva, así como de la superficie que se genera.

Primera forma: Es mediante la expresión

(

y

)2, 2

2y x=

x

( ) ( )2 2

02 1 'A S x f xπ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫ dx

( ) ( ) ( ) 22 2

0' 2 ; 2 1 4f x x f x x A S x x dxπ= ⇒ = = +∫

( )π π π

= + ⇒ =

= + = +∫

2

332

2 2

1 4 8

2 1 44 4 3 6

u x du x dx

uu du C x C

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )23

2 2

0

131 4 27 16 6

A S x A S A S3

π π π⎡ ⎤= + ⇒ = − ⇒ =⎢ ⎥

⎣ ⎦( ) 213.614A S u∴

Segunda forma:

( ) ( ) ( )2 2

02 1 'A S g y g yπ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∫ dy


50

( ) ( )

( ) 2

0

12 14

A S y dyy

π= +∫

( )

1'2

g y y g yy

= ⇒ =

12 42 4 1

4y 1A S y dy y dy

yπ π+

= = +∫ ∫

4 1 4u y du dy= + ⇒ =

( )3

322

2 4 14 4 3 6

uu du C y Cπ π π= + = + +∫

( ) ( ) ( ) ( )π π⎡ ⎤= + ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦

232

0

4 1 27 16 6

A S y A S −

( )∴ 213.614A S u

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