ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga - Repositoryrepository.unair.ac.id/25688/1/SANI, AZK.pdf ·...

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EXPONENTIATED

EKSPONENSIAL PADA DATA TERSENSOR TIPE II

SKRIPSI

AHMAD ZUDA KUMALA SANI

PROGAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA

SURABAYA 2012

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Skripsi Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II

Sani, Ahmad Zuda Kumala

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EXPONENTIATED

EKSPONENSIAL PADA DATA TERSENSOR TIPE II

SKRIPSI

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Airlangga

Oleh :

AHMAD ZUDA KUMALA SANI NIM. 080810246

Tanggal Lulus : 13 Juli 2012

Disetujui Oleh :

Pembimbing I

Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 197501061999031002

Pembimbing II

Drs. Eko Tjahjono, M.Si. NIP. 19600706 1986011001




LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI

Judul : ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI

EXPONENTIATED EKSPONENSIAL PADA DATA

TERSENSOR TIPE II

Penyusun : AHMAD ZUDA KUMALA SANI

NIM : 080810246

Tanggal Ujian : 13 Juli 2012

Disetujui oleh :

Pembimbing I Pembimbing II

Toha Saifudin, S.Si, M.Si Drs. Eko Tjahjono, M.Si

NIP. 197501061999031002 NIP. 196007061986011001

Mengetahui :

Ketua Program Studi S1-Matematika Departemen Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Dr. Miswanto, M. Si NIP : 196802041993031002




PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam

lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi

kepustakaan, tetapi pengutipan harus seijin penyusun dan harus menyebutkan

sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah.

Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga




ii

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan

rahmat-Nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul

Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial Pada Data

Tersensor Tipe II .

Dalam penyusunannya, penyusun memperoleh banyak bantuan

dari berbagai pihak, karena itu penyusun mengucapkan terima kasih yang sebesar-

besarnya kepada :

1. Kedua orang tua tercinta, M. Imam Sya’roni dan Ningsih, serta kakakku A. Z.

Hakam S yang telah memberikan dukungan, kasih sayang, harapan dan

kepercayaan yang begitu besar.

2. Toha Saifudin, S.Si, M.Si. dan Drs. Eko Tjahjono, M.Si selaku dosen

pembimbing I dan II yang telah memberikan banyak arahan, masukan,

perhatian, semangat, rasa sabar yang begitu besar dan pengetahuan yang tidak

ternilai harganya.

3. Drs. H.Sediono, M.Si. dan Dr. Miswanto, M.Si. selaku dosen penguji I dan II

yang telah banyak memberikan arahan dan masukan.

4. Ahmadin, S.Si, M.Si. selaku dosen wali selama menjadi mahasiswa Fakultas

Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang telah banyak memberikan

arahan dan saran demi kesuksesan menjadi mahasiswa Matematika.

5. Mas Edi, mas Udin, mas Aziz, mas Koni, Pak Budi yang telah membantu

memperlancar keperluan di kampus.




iii

6. Ardi Wahyu As’ari. yang telah banyak memberikan semangat dan motivasi.

Terima kasih buat kesabaran, perhatian, ketulusan, dan kasih sayangnya.

7. Sahabatku Putu, Meta, Lina, Arifah, Varian, Mbah Uti, Vidong, Nasrul, Zaki,

Andika, Syafiq, Harun, Yani yang banyak memberikan support .

8. Teman-teman matematika 2008 atas kekompakan dan rasa kekeluargaan yang

begitu hangat.

9. Serta pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih

atas segala bantuan dalam penyelesaian skripsi ini.

Penyusun menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih banyak kekurangan,

untuk itu mohon kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan

skripsi ini.

Akhir kata, penyusun berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.

Surabaya, Juli 2012

Penyusun




iv

A Zuda Kumala Sani, 2012. Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data

tersensor tipe II. Skripsi ini dibawah bimbingan Toha Saifudin,S.Si,M.Si dan Drs. Eko Tjahjono, M.Si. Departeman Matematika.Fakultas Sains dan Teknologi, Unversitas Airlangga.

ABSTRAK

Dalam skripsi ini, akan dibahas tentang distribusi Exponentiated Eksponensial yaitu bentuk umum dari distribusi Eksponensial satu parameter dan akan diterapkan pada data tersensor tipe II yaitu salah satu dari metode penyensoran berdasarkan kegagalan.

Penulisan skripsi ini bertujuan untuk menentukan penduga yang lebih baik untuk parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II. Proses estimasi ini menggunakan metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS) untuk memperoleh penduga titiknya.

Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II memiliki bentuk fungsi Distribusi sebagai berikut :

Dengan adalah parameter bentuk, adalah parameter skala dan merupakan data tersensor tipe II yaitu data sampai r kegagalan. Estimasi parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum

Likelihood dan OLS tidak dapat diselesaikan secara analitis karena penduga yang didapatkan masih dalam bentuk implisit. Sehingga diperlukan suatu metode numerik untuk menyelesaikannya, salah satunya yang digunakan dalam skripsi ini yaitu metode Newton-Raphson. Penentuan penduga yang lebih baik dalam data ini menggunakan kriteria MSE dengan nilai yang paling kecil. Setelah dilakukan percobaan pada 16 data bangkitan dan pada data pasien Leukimia diperoleh bahwa metode Ordinary Least Square (OLS) yang lebih baik. Pada data bangkitan, nilai rata-rata MSE untuk metode Ordinary Least Square (OLS) = 0.003513 dan nilai rata-rata MSE untuk metode Maximum Likelihood = .041272. Prosentase urutan nilai MSE terkecil untuk metode Ordinary Least Square (OLS) sebesar 87,5 % sedangkan untuk metode Maximum Likelihood sebesar 12,5 %. Kemudian pada data pasien Leukimia didapatkan nilai MSE untuk metode Ordinary

Least Square (OLS) = 0.09842778 dan nilai MSE untuk metode Maximum Likelihood = 0.3210319.

Kata kunci : Distribusi Exponentiated Eksponensial, data uji hidup tersensor tipe II, metode Ordinary Least square, Metode Maximum Likelihood, Metode Newton-Raphson, Mean Square Error (MSE).




v

A Zuda Kumala Sani, 2012. Parameter Estimation Exponentiated Exponential Distribution on

Censored Data Type II.. This final project was supervised by Toha Saifudiin, S, Si, M. Si and Drs. Eko Tjahjono, M.Si., Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, University of Airlangga, Surabaya.

ABSTRACT

In this undergraduate theses, we discuss about Exponentiated Exponential distribution which is the general form of an exponential distribution with one parameter and we will apply to censored data type II which is one of the censoring methods based on the failure.

The writing undergraduate theses purposes to determine the better estimation method for parameter of exponentiated exponential distribution on censored data type II. The estimation process uses Maximum Likelihood method and Ordinary Least Square (OLS) to obtain the point estimator.

Exponentiated exponential distribution on censored data type II has the form of distribution function is given:

where is the shape parameter, λ is the scale parameter, and t is data censored type II with r failures data. Parameter estimation of exponentiated exponential distribution on censored data type II with MLE and OLS cannot be solve analytically because the estimator is still implicit form. Therefore we need a numeric method to solve and this final project uses Newton-Raphson method to find numeric solution.

To determine is better estimation methods on data uses MSE criteria with the

smallest value. After doing test with16 generate data and leukemia patient, we can know that method Ordinary Least Square (OLS) is better. On generate data, the average value of ordinary least square (OLS) =0.003153 and the average value of maximum likelihood estimator (MLE) = 0.041272. Percentage of MSE rank values for the method of Ordinary Least Square (OLS) was 87.5% while for the MLE method by 12.5%. Then on leukemia patient data the value MSE of ordinary least square (OLS) =0.09842778 and the value of maximum likelihood estimator (MLE) = 0.3210319.

Keyword: Exponetiated exponential distribution, lifetime data for censored type II,

Ordinary Least Square (OLS), Maximum Likelihood Estimator (MLE), Newton-Raphson, Mean square error




vi

DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii

ABSTRAK ............................................................................................................. iv

ABSTRACT ............................................................................................................ v

DAFTAR ISI .......................................................................................................... vi

DAFTAR TABEL ................................................................................................ viii

DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................... ix

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1 1.1 Latar Belakang ................................................................................. 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................................................ 3 1.3 Tujuan .............................................................................................. 4 1.4 Manfaat ............................................................................................ 4 1.5 Batasan Masalah............................................................................... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ........................................................................... 6 2.1 Distribusi Exponentiated Eksponensial............................................ 6 2.2 Estimasi Titik ................................................................................... 6 2.3 Metode Maximum Likelihood .......................................................... 7 2.4 Metode Ordinary Least Square ........................................................ 7 2.5 Analisis Data Uji Hidup ................................................................... 8 2.6 Fungsi Survival ............................................................................... 8 2.7 Tipe Penyensoran ............................................................................. 9 2.8 Mean Square Error ........................................................................ 10 2.9 Metode Newton Raphson ..................................................................... 12 2.10 Uji Goodness of Fit Kolmogorov – Smirnov ................................. 13 2.11 Estimasi Kaplan-Meier................................................................... 14 2.12 Keluarga Eksponensial dari Probability Density Function ............ 15 2.13 S-Plus 2000 ............................................................................................. 16

BAB III METODE PENULISAN ......................................................................... 18

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................... 22 4.1 PDF (Probability Density Function) dan CDF (Cumulative

Density Function) Distribusi Exponentiated Eksponensial............ 22




vii

4.2 Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum

Likelihood ....................................................................................... 24 4.3 Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial

pada Data Tersensor Tipe II dengan Ordinary Least

Square (OLS) .................................................................................. 29 4.4 Membangkitkan Data Distribusi Exponentiated

Eksponensial .................................................................................. 32 4.5 Menentukan nilai awal Penduga Distribusi Exponentiated

Eksponensial .................................................................................. 33 4.6 Algoritma Progam .......................................................................... 33

4.6.1 Algoritma untuk membangkitkan r data dari n data berdistribusi Exponentiated Eksponensial ........................... 33

4.6.2 Algoritma untuk menentukan penduga dengan metode Maximum Likelihood ........................................................... 34

4.6.3 Algoritma untuk menentukan penduga dengan metode Ordinary Least Square ....................................................... 35

4.6.4 Algoritma untuk menentukan nilai Mean Square

Error (MSE) ........................................................................ 36 4.6.5 Algoritma untuk uji Goodness of fit Kolmogorov

Smirnov ............................................................................... 37 4.6.6 Implementasi Algoritma ke Progam Komputer ................... 38

4.7 Penerapan pada Data Tahan Hidup Tersensor Tipe II ................... 39 4.7.1 Penerapan pada Data Simulasi ............................................ 39 4.7.2 Penerapan pada Data Pasien Leukimia ................................ 44

BAB V PENUTUP ............................................................................................... 48 5.1 Kesimpulan .................................................................................... 48 5.2 Saran ............................................................................................... 50

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 51

LAMPIRAN




viii

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

4.1 Nilai parameter nilai penduga parameter ( , ) dan nilai

Mean Square Error dengan metode Maximum Likelihood dan

Ordinary Least Square (OLS) 42

4.2 Perbandingan nilai Mean Square Error 43

4.3 Data pasien Leukimia yang masih bertahan 44

4.4 Hasil penduga dan nilai MSE pada data pasien leukemia

dengan metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least

Square (OLS) 45

4.5 Tabel perhitungan uji Kolmogorov-Smirnov 46




ix

DAFTAR LAMPIRAN

Judul Lampiran

Lampiran 1

1. Progam 1 Progam untuk membangkitkan data ke-r dari n data berdistribusi

Exponentiated Eksponensial

2. Progam 2 Progam untuk mendapatkan nilai penduga distribusi

Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan

metode Maximum Likelihood

a. Progam 2.1 Progam matriks turunan pertama distribusi Exponentiated

Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode

Maximum Likelihood

b. Progam 2.2 Progam matriks jacobian distribusi Exponentiated


Maximum Likelihood

3. Progam 3 Progam untuk mendapatkan nilai penduga distribusi

Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan

metode OLS

c. Progam 3.1 Progam matriks turunan pertama distribusi Exponentiated


OLS

d. Progam 3.2 Progam matriks jacobian distribusi Exponentiated




x


OLS

4. Progam 4 Progam utama untuk menentukan nilai Mean Square Error dari

metode Maximum Likelihood dan metode OLS

5. Progam 5 Progam utama untuk menentukan nilai Mean Square Error dari

metode Maximum Likelihood dan metode OLS pada data pasien

Leukimia

Lampiran 2

1. Output Progam




1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Perkembangan ilmu pengetahuan yang disertai dengan meningkatnya

kebutuhan hidup manusia , kemajuan teknologi yang berkembang pesat dan

persaingan ditingkat global yang semakin meningkat, sehingga itu semua

menuntut industri-industri dalam negeri harus memiliki keunggulan komparatif.

Diantara keunggulan-keunggulan tersebut adalah kualitas dan keandalan suatu

produk hasil sebuah produksi. Untuk menilai tingkat kualitas dari produknya,

maka diperlukan suatu penelitian. Untuk menguji serta mengetahui kualitas dan

keandalan suatu produk hasil industri, maka diperlukan analisis tentang data uji

hidup.

Analisis data uji hidup merupakan analisis statistik yang menyelidiki

tentang waktu tahan hidup suatu individu atau benda pada keadaan operasional

tertentu, yang telah banyak dikembangkan menjadi topik yang sangat penting bagi

para ilmuwan dalam banyak bidang. Diantaranya dalam bidang teknik, kedokteran

dan bahkan dalam bidang psikologi.

Pada pengujian data uji hidup, jika semua unit eksperimen diobservasi

sampai semuanya mati maka akan diperoleh sampel lengkap. Keuntungan

menggunakan metode seperti ini adalah dapat dihasilkan observasi terurut dari

semua komponen yang diuji. Akan tetapi metode ini juga mempunyai kerugian

yaitu memerlukan waktu yang lama dan biaya yang besar. Maka dari itu untuk




2

menghemat waktu dan biaya dilakukan metode penyensoran, yaitu jika hanya

sebagian unit eksperimen diamati, sehingga diperoleh sampel tersensor (Lawless,

1982).

Salah satu tipe sampel penyensoran adalah tipe sampel tersensor tipe II.

Suatu sampel dikatakan tersensor tipe II jika penelitian dihentikan setelah

kegagalan ke-r telah diperoleh. Misalkan adalah observasi terurut

dari n sampel dengan pdf ƒ dan fungsi survival S dan waktu sensor L . Penelitian

dikatakan telah selesai jika kegagalan ke-r telah tercapai .Adapun pdf bersama

dari adalah

g

dengan distribusi yang digunakan adalah Distribusi Exponentiated Eksponensial.

Distribusi Exponentiated Eksponensial ini pertama kali dikenalkan oleh

Gupta dan Kundu (1999) Sebuah Variabel acak dikatakan mempunyai

Distribusi Exponentiated eksponensial jika probabilitas density function (pdf) :

(2.1)

dan

Cumulative Distribution Function (CDF) :

(2.2)

, > 0 dan > 0

Dengan : parameter bentuk

: parameter skala

Kelebihan dari Distribusi ini menurut Gupta dan Kundu (1999) adalah

memiliki fungsi yang fleksibel yaitu dapat menganalisis sampel yang berbentuk




3

distribusi eksponensial satu parameter, distribusi weibull 2 parameter, dan fungsi

hazradnya memiliki bentuk yang tidak konstan sehingga tidak sama dengan

distribusi eksponensial 1 parameter yang berbentuk konstan menyebabkan fungsi

hazradnya logis. Dalam penerapannya pada data riil menggunakan data waktu

tahan hidup pasien Leukimia dan pada data simulasi.

Untuk memperoleh kesimpulan dari suatu penelitian, diperlukan inferensi

secara statistik. Inferensi statistik merupakan suatu metode yang digunakan dalam

penarikan kesimpulan terhadap suatu parameter populasi. Penentuan inferensi

statistik secara garis besar meliputi estimasi parameter dan pengujian hipotesis

parameter. Salah satu penduga yang digunakan untuk melakukan inferensi

parameter populasi adalah Metode Maximum Likelihood dan metode Ordinary

Least Square (OLS) yang kemudian dibandingkan hasilnya berdasarkan indikator

Mean Square Error (MSE) . Penduga yang memiliki MSE paling kecil atau

minimum merupakan penduga yang lebih baik karena MSE nilainya tidak

mungkin sama dengan nol sebab secara teoritis nilai kumulatif parametrik dan

nilai kumulatif empiris tidak mungkin sama.

1.2 Rumusan Masalah

1. Bagaimana bentuk penduga parameter-parameter Distribusi

Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan Metode

Maximum Likelihood dan Metode Ordinary Least Square (OLS) ?

2. Bagaimana membandingkan kedua penduga pada data tersensor tipe II

secara simulasi dengan menggunakan kriteria MSE?




4

3. Bagaimana menerapkan kedua penduga pada data tersensor tipe II pada

data pasien Leukimia?

1.3 Tujuan

1. Mendapatkan bentuk penduga parameter-parameter Distribusi

Exponentiated Exponensial pada data tersensor tipe II dengan

menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Ordinary Least

Square

2. Membandingkan kedua penduga pada data tersensor tipe II secara

simulasi dengan menggunakan kriteria MSE.

3. Menerapakan hasil kedua penduga pada data tersensor tipe II pada data

pasien Leukimia

1.4 Manfaat

1. Mengetahui estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial

pada data Tersensor Tipe II

2. Mengetahui penduga yang lebih baik bagi Parameter distribusi

Exponentiated Eksponensial pada data tersensor Tipe II

1. 5 Batasan Masalah

1. Penduga parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data

tersensor tipe II yang digunakan adalah metode Maximum Likelihood dan

Ordinary Least Square (OLS).




5

2. Data yang diterapkan dalam penelitian ini adalah data tahan hidup

tersensor tipe II yang berasal dari distribusi Exponentiated Eksponensial.

3. Estimasi yang di bahas hanya sampai estimasi titik.




6

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Distribusi Exponentiated Eksponensial

Variabel acak dikatakan mempunyai Distribusi Exponentiated

Eksponensial jika Probabilitas Density Function (PDF) :

(2.1)

dan

Cumulative Distribution Function (CDF) :

(2.2)

dengan : parameter bentuk yaitu jenis khusus dari parameter numerik yang

menunjukkan bentuk dari kurva.

: parameter skala yaitu jenis khusus dari parameter numerik yang

menunjukkan besarnya distribusi data.

(Gupta dan Kundu, 1999)

2.2 Estimasi Titik

Jika terdapat nilai dari beberapa statistik yang mewakili

atau mengestimasi parameter yang tidak diketahui, maka setiap statistik

disebut estimator titik .

( Graybill, et.al,1963)




7

2.3 Metode Maximum Likelihood

Misal merupakan sampel acak dari suatu distribusi dengan

Probabilitas Density Function (PDF) , untuk . Probabilitas Density

Function (PDF) bersama antara adalah

Jika Probabilitas Density Function (PDF)

bersama tersebut dinyatakan sebagai fungsi terhadap maka dinamakan fungsi

Likelihood yang dinotasikan L atau ditulis :

dengan (2.3)

( Hogg and Craig, 1995b )

Jika statistik memaksimumkan fungsi likelihood

, maka statistik dinamakan

Maximum Likelihood Estimator (MLE) dari .

(Hogg dan Craig, 1995)

2.4 Metode Ordinary Least Square

Misalkan adalah sampel acak berukuran n dari fungsi distribusi

F(.) dan mewakili sampel terurut, Cumulative Distribution

Function (CDF) parametrik dari distribusi F(.) adalah F( ). dan Cumulative

Distribution Function (CDF) empirisnya adalah *( ). Dengan *( ) adalah

. Kita ketahui bahwa antara Cumulative Distribution Function (CDF)

parametrik dan Cumulative Distribution Function (CDF) empirisnya pasti ada

perbedaan yang di notasikan sebagai error jadi *( ).




8

Prinsip dari metode Ordinary Least Square adalah untuk meminimumkan jumlah

kuadrat error-nya. Jadi, Menurut Gupta Dan Kundu (2000) penduga Ordinary

Least Square didapatkan dengan cara meminimalkan

(2.4)

2.5 Analisis Data Uji Hidup

Analisis statistik yang sering disebut analisis data uji hidup merupakan

penyelidikan tentang waktu tahan hidup suatu benda atau individu pada keadaan

operasional tertentu.

(Lawless,1982)

2.6 Fungsi Survival

Fungsi survival didefinisikan sebagai probabilitas bahwa suatu individu atau

benda akan bertahan sampai waktu tertentu dan dirumuskan sebagai berikut:

(2.5)

(Lawless,1982)




9

2.7 Tipe Penyensoran

Untuk mendapatkan data uji hidup biasanya dilakukan suatu eksperimen.

Pada suatu eksperimen terdapat beberapa metode yang dapat dilakukan sehingga

macam data yang dihasilkan juga berbeda dari satu metode ke metode yang

lainnya. perbedaan analisis data uji hidup dari bidang statistik lainnya adalah

penyensoran.

Menurut (Lawless, 1982) Ada tiga macam metode yang sering digunakan

dalam eksperimen uji hidup, yaitu :

1. Sampel Lengkap

Pada uji sampel lengkap, eksperimen akan dihentikan jika semua benda

atau individu yang diuji telah mati atau gagal. Langkah seperti ini

mempunyai keuntungan yaitu dihasikannya observasi terurut dari semua

benda atau individu yang diuji

2. Sampel Tersensor Tipe 1

Dalam sampel tersensor tipe 1, percobaan uji hidup akan dihentikan jika

telah tercapai waktu tertentu (waktu penyensoran). Misalkan adalah

sampel acak dari distribusi uji hidup dengan fungsi kepadatan peluang

, fungsi survival dan waktu sensor untuk semua adalah

dengan i = 1,2,…,n

Suatu komponen dikatakan terobservasi jika dan observasi

dilakukan hanya pada . Sehingga variabel yang

menunjukkan bahwa komponen telah mati adalah




10

1 , jika

=

0 , jika

adalah indikator apakah tersensor atau tidak. Jika maka

terobservasi dan jika maka tersensor.

3. Sampel Tersensor Tipe 2

Pada uji ini, suatu sampel dikatakan tersensor tipe II apabila penelitian

dihentikan setelah kegagalan ke-r telah diperoleh. Misalkan

adalah observasi terurut dari n sampel sampai dengan pdf ƒ dan fungsi

survival S dan waktu Penelitian dikatakan telah selesai jka

kegagalan ke telah tercapai . Adapun pdf bersama dari

adalah

g (2.6)

sedangkan fungsi likelihoodnya

(2.7)

2.8 Mean Square Error

Definisi 2.2

Dalam statistik, kesalahan kuadrat rata-rata (MSE) dari penduga adalah

satu dari banyak cara untuk mengukur perbedaan antara nilai-nilai dari penduga

dan nilai sebenarnya dari jumlah yang diperkirakan. MSE merupakan dua momen

dari error yaitu menggabungkan varians penduganya dan penduga biasnya.

Untuk penduga yang tak bias, MSE adalah varian. Seperti halnya varian, MSE




11

memiliki satuan ukuran yang sama dengan jumlah kuadrat yang di estimasi.

Semakain kecil nilai MSE nya maka semakin bagus nilai penduga yang diperoleh

karena mendekati nilai yang diobservasi dan juga sebaliknya.

MSE dari penduga dari estimasi parameter didefinisikan

MSE merupakan jumlah dari varian dari parameter dan kuadrat dari penduga

biasnya

Jika penduganya unbiased atau bias maka MSE dapat didefinisikan

sebagai varian sehingga

(Graybill,et.al,1963)

Jika merupakan penduga dari fungsi distribusi kumulatif , maka

menurut Al Fawzan (2000) rumus Mean Square Error dapat dinyatakan sebagai

berikut :

(2.8)

dengan merupakan fungsi distribusi kumulatif empiris.

Apabila parameter populasi diketahui, maka merupakan fungsi distribusi

kumulatif parametrik .




12

2.9 Metode Newton-Raphson

Misalkan dan

adalah tiga persamaan dengan yang tidak diketahui. Langkah-langkah dalam

metode Newton-Raphson, sebagai berikut :

1. Asumsikan diketahui sebagai solusi awal atau

solusi perkiraan dari sistem tiga persamaan nonlinier

dengan tiga variabel yang tidak diketahui :

2. Menentukan jacobian tiga persamaan tersebut

3. Dengan ekspansi Taylor, diperoleh :

Jacobian J( ) = -g( )

= -

Kemudian mencari nilai :

g( )

dengan




13

4. Misal perkiraan diketahui, dimana Untuk ,

dilakukan iterasi dimulai dengan dan k bertambah satu tiap satu kali

untuk barisan iterasi sehingga dengan

Sebagai perkiraan yang lebih baik dari perkiraan sebelumnya.

5. Menghentikan proses iterasi ketika diperoleh max , dimana

dan error adalah bilangan positif yang sangat kecil.

(Lawless, 1982)

2.10 Uji Goodness of fit Kolmogorov –Smirnov

Uji Goodness of fit Kolmogorov –Smirnov adalah sebuah metode untuk uji

kesesuaian distribusi sebuah sampel random yang belum diketahui distribusinya.

Misalkan adalah sampel acak berukuran n yang diambil dari populasi

yang tidak diketahui distribusinya

1. Hipotesis

misalkan merupakan fungsi distribusi yang dibutuhkan

untuk semua t dari sampai

untuk salah satu nilai

2. Statistik Test

Misalkan adalah fungsi distribusi empiris berdasarkan sampel acak

. diberikan test statistik merupakan nilai terbesar




14

(dinotasikan “sup” atau supremum) jarak antara dan atau dapat

ditulis

(2.9)

Dengan T sama dengan supremum, untuk semua dan nilai mutlak untuk

setiap yang berbeda

Setelah ditemukan nilai statistik test T maka langkah selanjutnya

dibandingkan dengan Tabel Kolmogorov-Smirnov dengan tingkat

signifikan 1- . Apabila nilai statistik test T < tabel Kolmogorov-Smirnov

maka terima dan sebaliknya.

(W.J Conover, 1980)

2.11 Estimasi Kaplan-Meier

Cara yang digunakan untuk menggambarkan survival dari sampel acak

yaitu menggambarkan grafik fungsi survival atau fungsi distribusi

empiris dengan cara estimasi Kaplan-Meier. Selain itu juga memberikan estimasi

distribusi secara nonparametrik.

Diberikan yang menyatakan sampel random tersensor,

dengan merupakan data terobservasi dan merupakan data tersensor.

Misalkan terdapat dengan waktu yang berbeda , yang

menyatakan banyaknya data yang terobesvasi. Kemungkian terjadinya satu atau

lebih event yang terobservasi dinotasikan sebagai atau




15

menyatakan banyaknya event terobservasi pada saat . Estimasi dari dapat

didefinisikan sebagai berikut :

(2.10)

dengan merupakan banyaknya individu yang beresiko pada saat

dengan kata lain banyaknya individu yang belum mengalami kejadian atau

event dan tidak tersensor sebelum pada saat .

(Lawless, 1982)

2.12 Keluarga Eksponensial dari Probabilitas Density Function

Suatu Keluarga besar dari p.d.f yang bergantung pada parameter yang

bernilai real adalah bentuknya sebagai berikut :

(2.11)

Dengan dan , merupakan himpunan positif dari

yang independen dari .

Untuk kasus kontinu. Jika i.i.d dengan p.d.f seperti diatas maka

p.d.f bersama dari t adalah sebagai berikut :

(Roussas,1973)




16

2.13 S-PLUS 2000

Dalam (Everitt, 1994) disebutkan bahwa S-Plus adalah suatu paket

progam yang memungkinkan membuat progam sendiri walaupun di dalamnya

sudah tersedia banyak progam internal yang siap di gunakan . Kelebihan dari

progam ini adalah baik progam internal maupun progam yang pernah dibuat

digunakan sebagai subprogram dari progam yang akan dibuat.

Beberapa perintah internal yang digunakan dalam S-Plus

a. function

Function(…) digunakan untuk menunjukkan fungsi yang akan

digunakan dalam progam.

Bentuknya adalah :function (…)

b. length

Length(…) digunakan untuk menunjukkan banyaknya data.

Bentuknya ada lah :length (….)

c. for(I in 1: n)

Untuk melakukan pengulangan sebanyak n kali

Bentuknya adalah : for(i in 1:n)

d. sort

Untuk mengurutkan data dari terkecil sampai ke terbesar

Bentuknya adalah : sort (…)

e. matrix(a,b,c)

Untuk membentuk sebuah matrik yang anggotanya a dengan

jumlah baris sebanyak b dan jumlah kolom sebanyak c.




17

Bentuknya adalah : matrix (….,…,…)

f. rep (a,b)

Untuk membentuk sebuah vektor yang anggotanya a sebanyak b.

Bentuknya adalah : rep(…,…)

g. abs

Untuk membuat harga mutlak dari suatu bilangan

Bentuknya adalah : abs (….)

h. sum

Untuk menjumlahkan semua bilangan anggota dari suatu vektor.

Bentuknya adalah : sum (…)

i. ginverse

Untuk menghitung nilai invers dari suatu matrik singular.




18

BAB III

METODE PENELITIAN

Langkah-langkah penyelesaian yang sesuai dengan tujuan penelitian adalah

sebagai berikut :

1. Menentukan bentuk penduga Distribsi Exponentiated Eksponensial pada

data tersensor tipe II

A. Menentukan estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial

pada data tersensor tipe II menggunakan metode Maximum Likelihood

dengan langkah-langkah sebagai berikut :

a. Mengambil sampel acak dari distribusi uji hidup

Exponentiated Eksponensial.

b. Menentukan (n-r) sample tersensor tipe II yang posisinya sebagai

berikut

c. Menentukan fungsi Likelihood dari distribusi Exponentiated

Eksponensial pada data tersensor tipe II

Dengan

d. Me-lognaturalkan fungsi likelihood tersebut




19

e. Mendiferensialkan hasil log- likelihood tersebut terhadap parameter-

parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor

tipe II

f. Hasil dari diferensial tersebut disamadengankan nol sebagai syarat

perlu untuk memaksimalkan fungsi likelihood.

g. Jika pada langkah f penduga yang didapatkan masih dalam bentuk

fungsi implisit maka ditentukan nilai estimasi dari fungsi tersebut

melalui metode Newton-Raphson.

B. Menentukan estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial

pada data tersensor tipe II menggunakan metode Ordinary Least Square


a. Mengambil sampel acak , dari distribusi uji hidup

Exponentiated Eksponensial.

b. Menentukan (n-r) sample tersensor tipe II yang posisinya sebagai

berikut

c. Menentukan fungsi distribusi kumulatif distribusi Exponentiated

Eksponensial

d. Meminimalkan fungsi dengan cara

Mendiferensialkan fungsi tersebut terhadap parameter-parameter

distribusi Exponentiated Eksponensial ( ) kemudian disama

dengankan nol




20

e. Melakukan pendekatan numerik jika pada langkah d diperoleh bentuk

fungsi yang berbentuk implisit

2. Membandingkan kedua penduga melalui indikator Mean Square Error


a. Membangkitkan sampel data tersensor tipe II berdistribusi

Exponentiated Eksponensial dengan tertentu.

b. Mengestimasi parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada

data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood dan metode

Ordinary Least Square

c. Menghitung Mean Square Error dari metode Maximum Likelihood dan

metode Ordinary Least Square dengan rumus

MSE

Dengan merupakan fungsi distribusi kumulatif empiris

d. Mengulang langkah a sampai c sebanyak 16 kali percobaan

e. Menentukan prosentase menempati nilai MSE terkecil untuk metode

Maximum Likelihood dan metode Ordinary Least Square dari

percobaan

f. Menentukan penduga yang lebih baik dengan melihat nilai rata-rata

MSE yang terkecil dari kedua metode dan melihat prosentase minimal

menempati nilai MSE paling kecil

3. Menyusun algoritma berdasarkan langkah-langkah yang telah dibuat

4. Membuat progam komputer berdasarkan algoritma tersebut dengan

S-Plus




21

5. Menerapkan hasil estimasi pada data pasien Leukimia

a. Memasukkan data tahan hidup pasien Leukimia

b. Mengurutkan data tahan hidup pasien Leukimia

c. Mengestimasi parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada

data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood dan metode

Ordinary Least Square

d. Menghitung Mean Square Error dari metode Maximum Likelihood dan

metode Ordinary Least Square dengan rumus

MSE

Dengan merupakan fungsi distribusi kumulatif empiris

e. Menguji kesesuaian data dengan uji Kolmogorov Smirnov

f. Menentukan penduga yang lebih baik dengan melihat nilai MSE yang

terkecil




22

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan dibahas tentang estimasi titik distribusi Exponentiated

Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan menggunakan metode Maximum

Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS).

4.1. PDF (Probability Density Function) dan CDF (Cumulative Density

Function) Distribusi Exponentiated Eksponensial

Pada bagian ini akan dibuktikan bahwa:

untuk

merupakan PDF (Probability Density Function) dari distribusi Exponentiated

Eksponensial.

Bukti :

=




23

Terbukti

Kemudian akan dicari CDF (Cumulative Density Function) dari distribusi

Exponentiated Eksponensial sebagai berikut:

(4.1)

Berdasarkan persamaan (4.1), maka fungsi survival dari t adalah :




24

(4.2)

Selanjutnya akan dibuktikan apakah distribusi Exponentiated Eksponensial

merupakan keluarga Eksponensial. Misalkan T merupakan variabel acak

berdistribusi Exponentiated Eksponensial dengan Probability Density Function

didefinisikan pada persamaan (2.1) akan dibuktikan apakah distribusi

Exponentiated Eksponensial merupakan keluarga Eksponensial yaitu memenuhi

persamaan (2.11), pembuktiannya seperti dibawah ini:

(4.3)

Karena persamaan (4.3) tidak dapat dinyatakan sebagai persamaan (2.11)

maka dapat disimpulkan bahwa distribusi Exponentiated Eksponensial bukan

keluarga eksponensial.

4.2. Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data

tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood

Langkah-langkah estimasi parameter pada sub-bab (2.3). Jika PDF

(Probability Density Function) distribusi Exponentiated Eksponensial

didefinisikan pada persamaan (2.1), maka fungsi Likelihood pada data tersensor

tipe II berdasarkan persamaan (2.7) adalah sebagai berikut :




25

Sehingga dari fungsi Likelihood diatas dapat di tulis sebagai berikut :

Kemudian fungsi Likelihood tersebut di ln-kan, sehingga didapatkan :

ln

(4.4)

Selanjutnya dengan mendiferensialkan fungsi ln-Likelihood terhadap

kemudian hasil disamadengankan nol sebagai syarat perlu untuk

memaksimumkan fungsi Likelihood, sehingga di dapatkan hasil sebagai berikut :

Diferensial dari persamaan (4.4) terhadap dan selanjutnya

disamadengankan nol diperoleh :




26

Diferensial dari persamaan (4.4) terhadap dan selanjutnya

disamadengankan nol diperoleh :

Karena persamaaan (4.5) dan (4.6) merupakan persamaan implisit maka

diselesaikan dengan suatu metode numerik. Dalam pembahasan skripsi ini akan

digunakan salah satu dari metode numerik yaitu metode Newton Raphson .

Berikut merupakan langkah-langkah metode Newton-Raphson yang telah

dijelaskan pada sub-bab (2.9) :

Langkah I :

Menentukan nilai awal penduga yang dapat ditulis dengan

.

Langkah II :

Menentukan fungsi dalam bentuk matriks, dengan

, yaitu dengan adalah fungsi dari (4.5)

, adalah fungsi dari (4.6).

Langkah III :

Menentukan matriks jacobian dari fungsi (4.5), (4.6) yaitu :




27

dengan :




28

Langkah IV :

Mencari nilai koreksi ( ), yaitu

Dengan adalah invers dari

Langkah V :

Menentukan atau

Dimana merupakan nilai penduga yang akan dicari.

Langkah VI :

Melakukan pengulangan dari langkah II sampai V hingga max

dengan dengan error = 0.5. Kemudian diperoleh nilai penduga

parameter




29

4.3. Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada Data

Tersensor Tipe II dengan Ordinary Least Square (OLS).

Langkah-langkah estimasi parameter pada sub-bab ini menggunakan

Ordinary Least Square (OLS) berdasarkan sub-bab (2.4), yaitu dengan

meminimalkan persamaan (2.4).

Misal

Kemudian mendiferensialkan persamaan (E) terhadap dan hasilnya

disamadengankan nol, sehingga didapatkan :




30

Karena persamaan (4.7) dan (4.8 ) berbentuk fungsi implisit, sehingga

diperlukan suatu metode numerik untuk dapat menyelesaikannya. Dalam

pembahasan skripsi ini digunakan salah satu metode numerik yaitu metode

Newton-Raphson.

Berikut ini merupakan langkah-langkah metode Newton-Raphson yang

telah dijelaskan pada sub-bab (2.9):

Langkah I :

Menentukan nilai awal penduga-penduga yang dapat ditulis dengan

.

Langkah II :

Menentukan fungsi dalam bentuk matriks, dengan

yaitu dengan adalah fungsi dari (4.7),

adalah fungsi dari (4.8).

Langkah III :

Menentukan matriks jacobian dari fungsi (4.7), (4.8) yaitu :




31

dengan :

Langkah IV :

Mencari nilai koreksi ( ), yaitu




32


Langkah V :

Menentukan atau

dengan merupakan nilai penduga yang akan dicari.

Langkah VI :

Melakukan pengulangan dari langkah II sampai V hingga max

dengan dengan error = 0.5. Kemudian diperoleh nilai

penduga parameter

4.4. Membangkitkan Data Distribusi Exponentiated Eksponensial

Dengan memisalkan , berdasarkan persamaan (2.2) diperoleh:

U=

Kemudian kedua ruas dipangkatkan 1/ , sehingga diperoleh

Akan sama artinya dengan :

Kedua ruas di-ln-kan, sehingga

Didapatkan fungsi inversnya sebagai berikut :




33

(4.9)

Dengan adalah parameter distribusi Exponentiated Eksponensial . Untuk

dapat membangkitkan data berdistribusi Exponentiated Eksponensial yang harus

dilakukan adalah membangkitkan U berdistribusi Uniform (0,1), maka selanjutnya

dengan persamaan (4.9) akan diperoleh berdistribusi Exponentiated

Eksponensial.

4.5. Menentukan nilai awal Penduga Distribusi Exponentiated Eksponensial

Dalam mengestimasi parameter terdapat hal penting yang sangat

mempengaruhi nilai penduga parameter, yaitu penentuan nilai penduga awal dari

parameter . Jika nilai awal tersebut ditentukan secara tepat, maka nilai

penduga parameter yang dihasilkan akan konvergen, demikian juga sebaliknya

maka akan divergen.

Pada pembahasan kali ini, penentuan nilai awal dilakukan dengan cara

mengambil nilai parameter untuk membangkitkan data.

4.6. Algoritma Progam

Algoritma ini dibuat berdasarkan teori-teori yang telah dibahas pada sub-

bab sebelumnya. Pada pembahasan skripsi ini akan dibuat algoritma-algoritma

sebagai berikut :

4.6.1. Algoritma untuk membangkitkan r data dari n data berdistribusi

Exponentiated Eksponensial

1. Menentukan nilai parameter




34

2. Membangkitkan U

3. Menghitung

4.6.2. Algoritma untuk menentukan penduga dengan metode Maximum

Likelihood

Jika pada estimasi parameter distribusi Exponentiated Eksponensial

pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood yang

didapatkan masih dalam bentuk fungsi implisit, maka nilai estimasinya

ditentukan dengan prosedur Newton-Raphson. Langkahnya sebagai berikut :

1. Memasukkan data

2. Menentukan nilai awal penduga-penduga yang dapat ditulis

dengan .

3. Menentukan fungsi dalam bentuk matriks, dengan

, yaitu dengan adalah fungsi dari

(4.5) , adalah fungsi dari (4.6).

4. Menentukan matriks jacobian dari fungsi (4.5), (4.6) yaitu :

5. Mencari nilai koreksi ( ), yaitu




35


6. Menentukan atau


7. Melakukan pengulangan dari langkah II sampai V hingga max

dengan dengan error = 0.5 Kemudian

diperoleh nilai penduga parameter

4.6.3. Algoritma untuk menentukan penduga dengan metode Ordinary

Least Square

Jika pada estimasi parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada

data tersensor tipe II dengan metode Ordinary Least Square yang didapatkan

masih dalam bentuk fungsi implisit maka nilai estimasinya ditentukan dengan

prosedur Newton-Raphson. Langkahnya sebagai berikut :

1. Memasukkan data

2. Mengurutkan data

3. Menentukan nilai awal penduga-penduga yang dapat ditulis dengan

.

4. Menentukan fungsi dalam bentuk matriks, dengan




36

yaitu dengan adalah fungsi dari

(4.7), adalah fungsi dari (4.8).

5. Menentukan matriks jacobian dari fungsi (4.7), (4.8) yaitu :

6. Mencari nilai koreksi ( ), yaitu


7. Menentukan atau


8. Melakukan pengulangan dari langkah II sampai V hingga max

dengan dengan error = 0.5. Kemudian

diperoleh nilai penduga parameter

4.6.4. Algoritma untuk menentukan nilai Mean Square Error (MSE)

1. Memasukkan data

2. Mengurutkan data

3. Memasukkan penduga yang telah diperoleh dari metode Maximum

Likelihood dan OLS (Ordinary Least Square) ke persamaan :




37

4. Menghitung MSE untuk metode Maximum Likelihood.

5. Menghitung MSE untuk metode Ordinary Least Square.

6. Menentukan penduga lebih baik dengan melihat nilai MSE (Mean

Square Error) terkecil.

4.6.5. Algoritma untuk uji Goodness of fit Kolmogorov Smirnov

1. Memasukkan data pasien Leukimia

2. Mengurutkan data pasien Leukimia

3. Membuat Hipotesis

misalkan merupakan fungsi distribusi yang dibutuhkan

untuk semua t dari sampai

untuk salah satu nilai

4. Menghitung statistik hitungnya dengan memasukkan penduga yang telah

diperoleh dari metode Maximum Likelihood dan OLS (Ordinary Least

Square) ke persamaan :

5. Membandingkan statistik hitungnya dengan tabel Kolmogorov Smirnov

dengan tingkat signifikan 1- Apabila nilai statistik test T < tabel

Kolmogorov-Smirnov maka terima dan sebaliknya.




38

4.6.6. Implementasi Algoritma ke Progam Komputer

Progam komputer yang digunakan dalam pembahasan skripsi ini dibuat

menggunakan paket progam S-Plus. Algoritma yang telah disusun akan

dijabarkan ke dalam beberapa progam yang dapat dilihat pada (lampiran 1).

Adapun progamnya antara lain :

1. Progam untuk membangkitkan r data dari n data berdistribusi Exponentiated

Eksponensial

2. Progam untuk menentukan nilai penduga parameter distribusi Exponentiated

Eksponensial pada data tesensor tipe II dengan metode Maximum

Likelihood.

Dengan sub-progam :

2.1 Progam matriks turunan pertama distribusi Exponentiated


Likelihood.

2.2 Progam matriks jacobian pertama distribusi Exponentiated


Likelihood.

3. Progam untuk menentukan nilai penduga parameter distribusi Exponentiated

Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Ordinary Least

Square.

Dengan sub-progam :




39

3.1 Progam matriks turunan pertama distribusi Exponentiated

Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Ordinary

Least Square.

3.2 Progam matriks jacobian pertama distribusi Exponentiated

Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Ordinary

Least Square.

4. Progam utama untuk menentukan nilai Mean Square Error dari metode

Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square.

5. Progam untuk menentukan nilai penduga parameter dan nilai Mean Square

Error dari metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square pada

data pasien Leukimia.

4.7. Penerapan pada Data Tahan Hidup Tersensor Tipe II

Berdasarkan tujuan penyusunan skripsi ini, telah disusun program S-Plus

untuk mendapatkan penduga parameter dan dari distribusi Exponentiated

Eksponensial data tahan hidup tersensor tipe II dengan menggunakan metode

Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS). Berikut ini akan dibahas

mengenai penerapan program pada data tahan hidup tersensor tipe II.

4.7.1. Penerapan pada Data Simulasi

Dalam penerapan pada sampel simulasi digunakan beberapa data

percobaan yang dibangkitkan sesuai distribusi Exponentiated Eksponensial pada

data tersensor tipe II dengan menggunakan progam gen.ee2( ) pada




40

(lampiran 1,progam 1) dengan adalah parameter bentuk, adalah parameter

skala, n adalah banyaknya sampel dan r adalah banyaknya data yang

dibangkitkan. Pada pembahasan skripsi ini dipilih data sebagai berikut :

Data 1 adalah data yang dibangkitkan dengan progam gen.ee2(0.8,2,50,50)

yang artinya , , ,


yang artinya , , ,


yang artinya , , ,


yang artinya , , ,


yang artinya , , ,


yang artinya , , ,


yang artinya , , ,


yang artinya , , ,


yang artinya , , ,

Data 10 adalah data yang dibangkitkan dengan progam

gen.ee2(0.4,1,50,40) yang artinya , , ,




41
















42

Setelah dilakukan penerapan pada data, diperoleh hasil sebagai berikut :

Tabel 4.1 Nilai parameter ,nilai penduga parameter ( , ) dan nilai mse dengan metode Maximum Likelihood dan OLS

Sampel Ke

n r Nilai awal parameter Maximum Likelihood Ordinary Least Square (OLS)

mse Mse 1

50 50

0.8 2 0.9163184 1.977762 0.001398457 1.000202 1.997744 0.00330529 2 0.8 1 0.7546925 1.009376 0.0003318767 0.7069087 1.000029 0.001182718 3 0.4 2 0.3659377 2.00361 0.0006270971 0.3715388 2.000173 0.0004239468 4 0.4 1 0.4241685 1.008648 0.0002100578 0.4109451 0.9998516 0.0000522592 5

50 45 0.8 2 0.9395362 0.5743856 0.09060072 0.7063197 2.000174 0.001328614

6 0.4 2 0.5672164 1.890474 0.0097713 0.2983315 1.996683 0.006284723 7 0.4 1 0.6056184 0.5808292 0.04143656 0.4648476 0.9993871 0.001756528 8

50 40 0.8 2 1.31963 0.818215 0.1043668 0.7667093 1.998282 0.0001439197

9 0.4 2 0.6390672 1.75365 0.02519673 0.4862247 1.999029 0.003227308 10 0.4 1 0.5935541 0.5917582 0.03659213 0.372325 1.000145 0.0004816848 11

50 35 0.8 2 1.076376 0.4130709 0.09858349 0.7383088 1.999091 0.006202398

12 0.4 2 0.6409896 1.622661 0.02887785 0.5473103 1.995987 0.00828267 13 0.4 1 0.76441 0.3379756 0.09563613 0.4246428 0.9995619 0.0003421553 14

50 30 0.8 2 0.9210514 0.5000889 0.02912303 0.5319512 1.931316 0.01439253

15 0.4 2 0.5752592 1.906902 0.01097319 0.3023061 1.996409 0.00792486 16 0.4 1 0.7266251 0.2686743 0.08663328 0.4399284 0.9997128 0.000882549

Nilai pada tabel 4.1 diperoleh dengan menggunakan progam utama untuk menentukan nilai Mean Square Error dari metode

Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (Lampiran 1, Progam 4). Hasil outputnya dapat dilihat pada lampiran 2 (Output

progam) 42




43

Tabel 4.2 Perbandingan nilai MSE

Sampel ke- MSE MLE MSE OLS P I P II

1 0.001398457 0.00330529 MLE OLS

2 0.0003318767 0.001182718 MLE OLS

3 0.0006270971 0.0004239468 OLS MLE

4 0.0002100578 0.0000522592 OLS MLE

5 0.09060072 0.001328614 OLS MLE

6 0.0097713 0.006284723 OLS MLE

7 0.04143656 0.001756528 OLS MLE

8 0.1043668 0.0001439197 OLS MLE

9 0.02519673 0.003227308 OLS MLE

10 0.03659213 0.0004816848 OLS MLE

11 0.09858349 0.006202398 OLS MLE

12 0.02887785 0.00828267 OLS MLE

13 0.09563613 0.0003421553 OLS MLE

14 0.02912303 0.01439253 OLS MLE

15 0.01097319 0.00792486 OLS MLE

16 0.08663328 0.000882549 OLS MLE

Rata-rata

MSE 0.041272 0.003513 OLS =87.5%

MLE=12.5%

MLE=87.5%

OLS=12.5%

Keterangan :

P I : Posisi nilai MSE urutan pertama (terkecil)

P II : Posisi nilai MSE urutan kedua

Dari table 4.2 diperoleh :

1. Melihat nilai rata-rata MSE Ordinary Least Square (OLS) dan Maximum

Likelihood, maka penduga yang lebih baik untuk parameter distribusi




44

Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II adalah dengan

metode Ordinary Leat Square (OLS).

Rata-rata MSE MLE = 0.041272

Rata-rata MSE OLS = 0.003513

Rata-rata MSE OLS < Rata-rata MSE MLE

2. Melihat prosentase menempati nilai MSE terkecil untuk metode Maximum

Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS), maka penduga yang lebih

baik untuk parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data

tersensor tipe II adalah dengan menggunakan metode Ordinary Least

Square (OLS) dengan prosentase sebesar 87,5%.

4.7.2 Penerapan pada Data Pasien Leukimia

Untuk penerapan perhitungan, digunakan data yang diperoleh dari

(Freireich et al.,Blood,1963) yaitu data waktu tahan hidup pasien Leukimia.

Pengamatan dilakukan terhadap 21 pasien. Misalkan adalah waktu pengamatan

yang dilakukan pada 21 pasien , berdasarkan tipe penyensoran tipe II diperoleh 9

kegagalan pada pasien

Tabel 4.3 Data pasien Leukimia yang masih bertahan

Kegagalan ke- Lifetime 1 6 2 6 3 6 4 7 5 10 6 13 7 16 8 22 9 23




45

Selanjutnya dicari nilai Mean Square Error dan penduga parameter

distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II pasien Leukemia

menggunakan metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS)

dengan progam S-Plus pada (lampiran 1, progam 6). Dan berdasarkan hasil

program yang telah dibuat dengan menggunakan S-Plus, dapat diperoleh

kesimpulan sebagai berikut :

a. Jumlah sampel n = 21 dengan r-kegagalan sebanyak = 9 dengan metode

Maximum Likelihood diperoleh penduga dan MSE sebagai berikut

(Tabel 4.4).

b. Jumlah sampel n = 21 dengan r-kegagalan sebanyak = 9 dengan metode

Ordinary Least Square (OLS) diperoleh penduga dan MSE sebagai

berikut (Tabel 4.4).

Tabel 4.4 hasil penduga dan nilai MSE pada data pasien leukemia dengan metode

Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS)

Parameter MLE OLS Nilai penduga MSE Nilai penduga MSE

0.2109925 0.3210319 1.561138 0.09842778 0.5701738 0.04031853

Selanjutnya akan dilakukan pengujian terhadap data waktu pengamatan (ti)

tersebut dengan menggunakan uji kolmogorov smirnov untuk mengetahui

distribusi dari data, sehingga dapat dilakukan analisa lebih lanjut sesuai dengan

distribusi probabilitasnya. Berikut ini hasil pengujian data waktu pengamatan

menggunakan taraf signifikansi 5 %.




46

H0 : Data waktu pengamatan berdistribusi Exponentiated Eksponensial

H1 :Data waktu pengamatan tidak berdistribusi Exponentiated Eksponensial

Tabel 4.5 Tabel perhitungan uji Kolmogorov-Smirnov

MLE

OLS

KLS MLE

KLS OLS

6 21 3 18/21 0.86 0.14 0.993 0.090666 0.853 0.0493 7 18 1 17/18 0.81 0.19 0.9960 0.111915 0.806 0.0780 10 17 1 16/17 0.76 0.24 0.9992 0.178667 0.7592 0.0613 13 16 1 15/16 0.71 0.29 0.9998 0.246639 0.7098 0.0433 16 15 1 14/15 0.66 0.34 0.99992 0.313204 0.6599 0.0268 22 14 1 13/14 0.61 0.39 0.999999 0.436613 0.6099 0.0466 23 13 1 12/13 0.56 0.44 0.999999 0.455623 0.5599 0.0156

Maksimum 0.853 0.0780

Dari tabel diatas dapat diketahui bahwa

Dengan metode Maximum Likelihood

: 0.436

statistik hitung (T) : 0.853

Daerah kritis : T >

keputusan : tolak

Dengan metode Ordinary Least Square

: 0.436

statistik hitung (T) : 0.0780

Daerah kritis : T <

keputusan : Terima




47

Dari hasil metode Ordinary Least Square di atas dapat diambil kesimpulan

bahwa data tahan hidup ( ) pasien Leukemia berdistribusi Exponentiated

Eksponensial.

Melihat nilai MSE Ordinary Least Square (OLS) dan Maximum Likelihood, maka

penduga yang lebih baik untuk parameter distribusi Exponentiated Eksponensial

pada data tersensor tipe II yaitu pada data pasien Leukimia adalah dengan metode

Ordinary Leat Square (OLS).

Nilai MSE Maximum Likelihood = 0.3210319

Nilai MSE Ordinary Least Square (OLS) = 0.09842778

Nilai MSE Ordinary Least Square (OLS) < Nilai MSE Maximum Likelihood.




48

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan dan hasil penerapan data, dapat ditarik

kesimpulan bahwa :

1. Penduga parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor

tipe II yaitu 16 data simulasi dan data tahan hidup pasien Leukimia dengan

metode Maximum Likelihood diperoleh dengan cara menyelesaikan sistem

persamaan implisit :

dan

dengan metode numerik. Salah satu metode yang dapat digunakan adalah

metode Newton-Raphson.

2. Penduga parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor

tipe II yaitu 16 data simulasi dan data tahan hidup pasien Leukimia dengan

metode Ordinary Least Square (OLS), diperoleh dengan cara menyelesaikan

sistem persamaan implisit :




49

dan

dengan metode numerik. Salah satu metode yang dapat digunakan adalah

metode Newton-Raphson.

3. Berdasarkan studi perbandingan pada 16 kali data simulasi didapatkan bahwa

penduga yang lebih baik untuk parameter distribusi Exponentiated

Eksponensial pada data tersensor tipe II berdasarkan kriteria MSE adalah

dengan metode Ordinary Least Square (OLS). Nilai rata-rata MSE metode

OLS yaitu 0,003513 < nilai rata-rata MSE metode Maximum Likelihood yaitu

0,041272, dan prosentase menempati nilai MSE terkecil untuk metode

Ordinary Least Square (OLS) sebesar 87,5% sedangkan untuk metode

Maximum Likelihood sebesar 12,5%. Kemudian pada data waktu tahan hidup

pasien Leukimia didapatkan bahwa penduga yang lebih baik untuk parameter

distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II berdasarkan

kriteria MSE adalah dengan metode Ordinary Least Square (OLS). nilai

MSE Ordinary Least Square (OLS) adalah 0.09842778 dan Nilai MSE

metode Maximum Likelihood adalah 0.3210319 sehingga Nilai MSE metode

Ordinary Least Square (OLS) < Nilai MSE metode Maximum Likelihood.




50

5.2. SARAN

Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data

tersensor tipe II untuk pembahasan skripsi ini hanya menggunakan metode

Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS). Untuk pengembangan

lebih lanjut dapat menggunakan penduga lainnya yaitu metode moment, metode

L-moment, metode Weight Least Square (WLS), metode Percentiles




51

DAFTAR PUSTAKA

1. Al-fawzan, M.A, 2000, Methods for estimating the parameters of the

Weibull Distribution , King Abdul Aziz City for science and Tecnology , Riyadh – Saudi Arabia.

2. Conover, W.J ,1980 ,Practical Nonparametric Statistics Second Edition , John Wiley & Sons , New York.

3. Everitt, Brian S., 1994 , A Handbook of Statistical Analyses Using S-plus,

Chapman & Hall, London.

4. Graybill, F. A., Mood, A. M., and Boes, D. C., 1963, Introduction to The

Theory of Statistics, Third Edition, McGraw-Hill, Inc, Japan.

5. Gupta, R. D. And Kundu, D. 1999, Generalized Exponential Distribution, Australian and New Zealand journal of Statistics, 41(2), 173-188.

6. Gupta, R. D. And Kundu, D. 2000, Generalized Exponential Distribution:

Different Method of Estimations, journal of Statistical Computations and

Simulations, 69(4), 315-337.

7. Roussas, G. George, 1973, A First Course in Mathematical Statistics,

Melya Publications, inc, Taiwan.

8. Hogg, R. V., and Craig, A. T. 1995, Introduction to Mathematical

Statistics,Fifth Edition, Prentice-Hall, Inc. New York.

9. Kleinbaum, D. G. and Klein, M., 2005, Survival Analysis A Self-Learning

Text ,Second Edition, Springer Science Business Media, Inc, New York.

10. Lawless, J. F., 1982, Statistical Models and Method for Lifetime Data. John Wiley and Sons, Inc. New York.




ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga - Repositoryrepository.unair.ac.id/25688/1/SANI, AZK.pdf ·...

Documents

Transcript of ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga - Repositoryrepository.unair.ac.id/25688/1/SANI, AZK.pdf ·...