HUBUNGAN NON-LINEAR

Ada empat macam bentuk fungsi non-linear yang paling sering dijumpai dalam

analisi ekonomi merupakan titik perhatian, yaitu:

1. Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalh

pangkat dua.Bentuk umum dari persamaan fungsi kuadrat adalah y = a + bx +cx ,

c≠0. Gambar dari suatu fungsi kuadrat dapat berupa salah satu dari empat

kemungkinan bentuk potongan kerucut: lingkaran, elips, hiperbola, atau parabola.

Gambar Potongan Kerucut

Lingkaran

Elips

Parabola

H iperbola

8

1.1 Identifikasi Persamaan Kuadrat

Bentuk yang umum untuk suatu persamaan kuadrat ialah:

Dari bentuk yang lebih umum ini,dapat diidentifikasikan gambar atau kurva

dari persamaannya yakni sebagai berikut:

Jika p =0 dan a =b, ≠0, kurvanya sebuah lingkaran

Jika – 4 ab ‹ 0, kurvanya sebuah elips

Jika – 4 ab › 0, kurvanya sebuah hiperbola

Jika – 4 ab = 0, kurvanya sebuah parabola

Apabila p = 0 dengan kata lain dalam persamaan kuadrat tersebut tidak

terdapat suku yang mengandung xy, bentuk yang lebih umum tadi berkurang

menjadi:

Bardasarkan bentuk dengan kasus khusus ini, identifikasinya menjadi

sebagai berikut:

Jika , kurvanya sebuah lingkaran

Jika , tetapi bertanda sama, kurvanya berbentuk elips

Jika a dan b berlawanan tanda, kurvanya sebuah hiperbola

Jika atau b = 0, tetapi tidak keduanya, kurvanya sebuah parabola

1.2 Lingkaran

Lingkaran-secara geometri-adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak

tetap terhadap suatu titik tertentu yang disebut pusat. Jarak titik-titik tersebut

terhadap pusat disebut jari-jari lingkaran. Bentuk umum persamaan lingkaran

yaitu:

Bentuk baku rumus lingkaran yaitu:

Jadi,

Dengan memanfaatkan rumus ini, pusat dan jari-jari lingkaran akan lebih

mudah dan cepat diketahui.

Contoh :

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 3 x² + 3 y² – 24x -18 -33 = 0. tentukan juga perpotongan pada masing-masing sumbu koodinatnya.x² + 3 y² – 24x -18 -33 = 0 :3x² + y² – 8x – 6y = 11x² - 8x + y² - 6y = 11 x² - 8x + k1 + y² + 6y – k2 = 11 + k1 + k2

(x² - 8x + k1 ) + (y² + 6y – k2 ) = 11 + k1 + k2

(x² - 8x + 16 ) + (y² + 6y + 9 ) = 11 + 16 + 9

( x – 4 )² + ( y – 3 )² = 6²

↓ ↓ ↓

i j r²

Pusat lingkarannya adalah titk ( 4,3 ), jari-jari = 6

Perpotongan dengan sumbu -x : y = 0

3x² - 24x -33 = 0 dengan rumus abc diperoleh x1 = 9,19 dan x2 = -1,19

x² - 8x - 11 = 0

Perpotongan dengan sumbu -y : x = 0

3y² - 18x -33 = 0 dengan rumus abc diperoleh y1 = 7,47 dan y2 = -1,47

y² - 6x - 11 = 0

jadi, lingkaran tersebut memotong sumbu –x pada posisi x = 9,19 dan x = -1,19 serta

memotong sumbu –y pada kedudukan y = 7,47 dan y = -1,47

1.3 Elips

Elips adlah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua

fokus selalu konstan. Bentuk umum persamaan elips:

setanda tapi tidak sama besar dengan b

Bentuk baku rumus elips adalah:

Dimana I dan j mencerminkan koordinat pusat elips serta r1 dan r2 adalah jari-

jarinya.

Contoh :

Tentukan pusat dan jari-jari elips 8x² + 2y² -32x -12y + 18 = 0. tentukan juga

perpotongannya pada masing-masing sumbu koordinat.

8x² + 2y² -32x -12y = 18 :2

4x² + y² -16x -6y = -9

4x² - 16x + y² - 6y = -9

4x² - 16x + k1 + y² -6y + k 2 = -9 + k1+ k 2

(4x² - 16x + 16 ) + (y² -6y + 9 ) = -9 +16 +9

4 (x – 2)² + ( y-3 )² = 16 :16

(x-2)² ( y- 3) = 1

4 16

(x-2)² ( y- 3) = 1

2² 4²

I = 2, j = 3 pusat elipsnya adalah titik ( 2, 3 ). Karena r1 < r 2, sumb

r = 2, r2 = 4 u mayor elips // sumbu-vertikal –y,r1 = jari-jari pendek

dan r 2 = jari-jaru panjang.

Perpotongan dengan sumbu –x : y = 0

8x² - 32x + 18 = 0

dengan rumus abc diperoleh x1= 3,32 dan x2 = 0,68

Perpotongan dengan sumbu –y : x = 0

2y² - 12y + 18 = 0 ( y -3 )² = 0

y² - 6y + 9 = 0 y1 = y2 = 0

1.4 Hiperbola

Hiperbola ialah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya

terhadap dua fokus selalu konstan. Bentuk umu persamaan hiperbola yaitu:

berlawanan tanda dengan b

Bentuk baku rumus hiperbola Yaitu:

Sumbu lintang//sumbu -x

Sumbu lintang//sumbu –y

Persamaan untuk asimtot-asimtotnya dapat dicari melalui bentuk rumus baku

yaitu:

Dalam hal m=n, asismot-asismotnya akan saling tegak lurus, susmbu

lintangnya tidak akan lagi sejajar dengan salah stu sumbu koordinatnya,

hiperbolanyadisebut hiperbola sama sisi (equilateral hyperbola).

Contoh :

Tentukan pusat dan asimot-asimot dari hiperbola16x² - 9y² - 64 + 18y – 89 =0

tentukan juga perpotongan pada masing-masing sumbu koordinat.

16x² - 9y² - 64 + 18y = 89

16x² - 64x + 64 – 9y² + 18y – 9 = 89 + 64 -9

16 ( x – 2 ) – 9 ( y – 1 )² = 144 : 144

( x – 2 )² - ( y – 1 )² = 1

9 16

( x – 2 )² - ( y – 1 )² = 1 i = 2, j = 1

3² 4² m = 3, n = 4

pusat hiperbola adalah titik (2,1). Karena persamaannya memenuhi rumus

baku (x-i)²/m² - (y-j)²/n² = 1, berarti sumbu lintangnya sejajar dengan smbu –x.

Asimot-asimotnya :

x – i = ± y – j x – 2 = ± y - 1

m n 3 4

y – 1 = ± 4 ( x – 2 )

3

y1 = 4 x - 5 y2 = - 4 x + 11

3 3 3 3

jika x = 0, y = -1,67 jika x = 0, y = 3,67

jika y = 0, x = 1,25 jika y = 0, x = 2,75

perpotongan dengan sumbu –x : y = 0

16x² - 64x + 89 = 0, diperoleh x1 = 5,09 x 2 = -1,09

perpotongan dengan sumbu –y : x = 0

9y² - 18y + 89 = 0, diperoleh y1 = y2 = Bilangan khayal

tidak terdapat dengan perpotongan sumbu –y

1.5 Parabola

Parabola ialah tempat kedudukan titk-titik yang berjarak sama terhadap

sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks. Setiap

parabola memiliki sumbu simetri yaitu berupa garis yang sejajar dengan

sumbu vertical y atau sejajar dengan sumbu horizontal x dan mempunyai titik

ekstrim yaitu titik potong antarasumbu simetri dan parabola yang

bersangkutan.

Bentuk umum persamaan parabola adalah:

Untuk mencari titik ekstrim parabola (i, j) dengan:

contoh :

tentukan titik ekstrim parabola y = -x² + 6x – 2 dan perpotongannya dengan

sumbu-sumbu koordinat.

y = -x² + 6x – 2 ; parabolanya terbuka kebawah karena a = -1 < 0, titik ekstrimnya

terletak diatas, berupa titik puncak. Koordinat titik puncak :

- b , b – 4 ac = -6 , 36 – 8 = ( 3,7 )

2a -4a -2 4

perpotongan dengan sumbu –y : x = 0 y = -2

perpotongan dengan sumbu –x : y = 0 -x² + 6x - 2 = 0

diperoleh x1 = 5,65; x2 = 0,35

2. Fungsi Kubik

Fungsi kubik atau fungsi berderarajat tiga ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari

variabelnya adalah tiga. Bentuk umum persamaan fungsi kubik adalah:

Setiap fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah titik belok (inflexion

point), yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau

sebaliknya.

3. Penerapan Ekonomi

3.1 Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar

Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kuadratik dapat berupa

potongan lingkaran, potongan elips, potongan hiperbola maupun potongan

parabola. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd=Qs

P Keseimbangan Pasar:

Qs Qd=Qs

Qd= jumlah permintaan

Qs= jumlah penawaran

Pe E E= Titik keseimbangan

Pe= harga keseimbangan

Qe= jumlah keseimbangan

Qd

Q

0 Qe

Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih tinggi dan jumlah

keseimbangan menjadi lebih sedikit. Sebaliknya subsidi menyebabkan harga

keseimbangan menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi lebih

banyak.

Contoh

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd= 19 - P²

sedangkan Qs = -8 + 2P² . berapa harga keseimbangan dan jumlah

keseimbangan yang tercipta di pasar ?

Keseimbangan pasar : Qd = Qs

19 - P² = -8 + 2P²

27 = 3 P², P² = 9, P = 3

Q = 19 - P² = 19 - 3² = 10

Jadi, Pe = 3 dan Qe = 10

Jika misalnya terhadap barang yang bersangkutan dikenakan pajak

spesifik sebesar 1 ( rupiah ) perunit, maka persamaan penawaran sesudah

pengenaan pajak menjadi :

Q’ s = -8 + 2 ( P – 1 )² = -8 + 2 ( P² - 2P + 1 ) = -6 – 4P + 2 P²

Keseimbangan pasar yang baru : Qd = Qs

19 - P² = -6 – 4P + 2 P²

3P² - 4P – 25 = 0

dengan rumus abc diperoleh P1 = 3,63 dan P2 = -2,30. P2 tidak

dipakai karena harga negatif adalah irasional.

Denga memasukan P = 3,63 kedalam persamaan Qd atau

persamaan Q’ s diperoleh Q = 5,82.

Jadi, dengan adanya pajak : P’e = 3,63 dan Q’e = 5,82

Selanjutnya dapat dihitung beban pajak yang menjadi tanggungan konsumen

dan produsen per unit barang, serta jumlah pajak yang diterima oleh

pemerintah , masing-masing :

tK = P’e - Pe = 3,63 -3 = 0,63

tP = t – tK = 1 – 0,63 = 0,37

T = Q’e x t = 5,82 x 1 = 5,82

3.2 Fungsi Biaya

Rumus dari macam-macam biaya:

Biaya tetap : FC=k (k: konstanta)

Biaya variable : VC=f(Q)

Biaya total : C = FC + VC = k + f(Q) = c(Q)

Biaya tetap rata-rata :

Biaya rata-rata :

Biaya marjinal :

Salah satu bentuk kurvanya adalah:

C

VC

d FC

Q

0

contoh :

biay total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunjukan oleh persamaan

C = 2Q² - 24Q + 102. pada tingkat produksi berapa unit biaya total ini minum ?

hitunglah besarnya biaya totalminum tersebut. Hitung pula besarnya biaya tetap,

biaya variabel, biaya rata-rata, biaya tetap rata-rata dan biaya variabel rata-rata

pada tingkat produksi tadi. Seandainya dari keduduka ini produsi dinaikan

dengan 1 unit, berapa besarnya biaya marjinal.

Berdasarkan rumus titik ekstrim parabola, C minimum terjadi pada kedudukan

Q = -b = 24 = 6 unit

2a 4

besarnya C minimum = 2Q² - 24Q + 102

2 (6)² - 24 (6) + 102 = 30

[ C minimum dapat juga dicari dengan rumus ordinat titik ekstrim parabola, yaitu

( b² - 4ac ) / - 4a; hasilnya C minimum = (24² - 4x2x102) / 4x2= -240/-8 = 30,

tidak berbeda ]

selanjutny, pada Q = 6 ini :

FC = 102

VC = 2Q² - 24Q = 2(6)² - 24(6) = -72

AC = C/Q = 30/6 = 5

AFC = FC/Q = 102/6 = 17

AVC = VC/Q = -72/6 = -12

Jika Q = 7, C = 2(7)² - 24(7) + 102 =32

MC = Δ C = 32 – 30 = 2

ΔQ 7 - 6 Berarti untuk menaikan produksi dari 6 unit menjadi 7 diperlukan biaya tambahan

( biaya marjinal ) sebesar 2.

3.3 Fungsi penerimaan

Bentuk fungsi penerimaan total (total revenue) yang non-linear pada

umumnya berupa sebuah persamaan parabola terbuka kebawah.

Penerimaan total merupakan fungsi dari jumlah barang, juga merupakan hasil

kali jumlah barang dengan harga barang per unit. Rumus dari macam-macam

penerimaan yaitu:

Penerimaan Total :

Penerimaan rata-rata :

Penerimaan marjinal :

Fungsi permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen monopolis ditinjukan

oleh P = 900 – 1,5 Q Bagaimana persamaan penerimaan toa\talnya ? berapa

besarnya penerimaan total jika terjual barang sebanyak 200 unit, dab berapa

harga jual per unit/ Hitunglah penerimaan marjinal penjualan sebanyak 200 unit

menjadi 250 unit. Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan

total maksimum, dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut.

P = 900 – 1,5 Q R = QxP = 900Q – 1,5Q²

Jika Q = 200, R = 900(200) – 1,5(200)² = 120000

P = 900 – 1,5(200) = 600

Atau P = R/Q = 120000/200 =600

Jika Q = 250, R = 900(250) – 1,5(250)² = 131250

MR = Δ R = 131250 – 120000 = 225

ΔQ 250 – 200 ]

R = -1,5Q² + 900Q

R maksimum pada Q = -b/2a = -900/ -3 = 300

Besarnya R maksimum = -1,5(300) = 135000

3.4 Fungsi Produksi

Bentuk fungsi produk total (total product) yang non-linear pada umumnya

berupa sebuah persamaan kubik yang mempunyai titik belok dan sebuah titik

puncak. Beberapa rumus dalam fungsi produksi yaitu:

Produk total :

Produk rata-rata :

Produk marjinal :

4. Fungsi Eksponensial

Ialah suatu fungsi dari suatu konstanta berpangkat variable bebas. Bentuk

fungsi eksponensial yang lebih umum yaitu:

Kurvanya asimtotik terhadap garis y = c.

Titik potong kurva eksponensial pada

sumbu –x ialah

, sedangkan pada sumbu –y ialah (0, n+c).

Tentukan titik potong kurva eksponensial y = -3e²* + 6 pada masing-masing dan

hitunglah f(4).

Untuk y = 0, 3e²* = 6, 2xine = in 2, 2x = 0,69 x = 0,35

Untuk x = o, y = -3e° + 6 = -3 + 6 = 3

Jika x = 4, y = -3e + 6 = -3 (980,96) + 6 = -8936,87

[ dengan asimot y = 6, memotong denga sumbu –x pada (0,35; 0) dan memotong

sumbu –y pada ( 0; 3) ]

5. Fungsi Logaritmik

Fungsi logaritmik merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial, variable

bebasnya merupakan bilangan logaritma. Bentuk fungsi logaritmik yang

umum yaitu:

n>-1

Kurvanya terletak disebelah kanan dan asimtotik terhadap garis x = -1.

Contoh :

Tentukan titik potong kurva logaritmik y = 2In ( 1+ x ) + 6 pada masing-

masing sumbu dan hitunglah f(4)

Untuk y = 0, 2In ( 1In = x ) = -6, In ( 1 + x ) = -3, 1+x = e³,

1 + x = 0,0498, x = -0,9502

titik potong dengan sumbu –x : (-0,9502; 0)

untuk x = 0, y = 6. titik potong dengan sumbu –y : (0;6)

jika x = 4, y = 2IN 5+6 = 2 (1,6094) + 6 = 9,2188

6. Penerapan Ekonomi

Model bunga majemuk

Untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari jumlah sekarang suatu

pinjaman atau tabungan, kita dapat menggunakan model bunga majemuk.

F = P ( 1 + i )

m

contoh :

seorang ibu rmh tangga meminjam uang Rp 5 jt pada seorang pelepas uang

untuk jangka waktu 2 tahun. Bunga setingkat 10% per tahun diperhitungkan

secara harian ( dalam bisnis : 1 tahun = 360 hari ). Hitunglah jumlah yang

harus dibayarkan oleh debitor pada saat hutangnya jatuh tempo.

1. dengan rumus bunga majemuk biasa Fn = P ( 1 + i )

m

( a ) tanpa menggunakan logaritma :

F2 = 5000000 ( 1 + 0,10 )

360

5000000 ( 1,0003 )

5000000 ( 1,24 ) = 6200000

( b ) dengan menggunakan logaritma :

F2 = 5000000 ( 1,0003 )

Log F2 = log 5000000 + 720 log 1, 0003

Log F2 = 6,70 + 0,09

Log F2 = 6,79 F2 = 6200000

2. dengan rumus bunga majemuk sinambung : Fn ≈ Pe

( a ) tanpa menggunakan logaritma :

Fn ≈ 5000000e

≈ 5000000e ≈ 5000000 (1,22 ) ≈ 6100000

( b ) dengan menggunakan logaritma

F2 ≈ 5000000e

In F2 ≈ In 5000000e + 0,20 In e

In F2 ≈ 15,42 + 0,20

In F2 ≈ 15,62 F2 ≈ 6100000

Jadi jumlah pelunasaan hutang tersebut adalah sekitar Rp 6, 10 juta atau

tepatnya Rp 6, 20 juta

Salah satu penerapan dalam ekonomi adalah model efisiensi Wright. Kurva

ini berfungsi untuk mengembangkan model eksponensial yang dapat

menjelaskan efisiensi waktu dalam kegiatan produksi.Rumus dari model

efisiensi Wright yakni:

Dimana a mencerminkan waktu yang diperlukan untuk memproduksi unit

pertama dari produk yang dihasilkan, q mencerminkan jumlah produksi, r

adalah tingkat efisiensi waktu produksi, sedangkan t melambangkan waktu

produksi rata-rata kumulatif.