METODE SKYLINEUNTUK MENYIMPAN MATRIKS KEKAKUAN

P ADA PERSOALAN ELEMEN HINGGA

Mike Susmikanti., Utaja.., Arya'

ABSTRAK

METODE SKYLINE UNTUK MENYIMPAN MATRIKS KEKAKUAN PADAPERSOALAN ELEMEN HINGGA. Penyelesaian persoalan teknik atau fisika dengan menggunakanMetode Elemen Hingga, akan menghasilkan rnatriks simetri dan spars dengan ukuran yang besar. Agarproses penyelesaian dan penyimpanan dapat dilakukan dengan cepat, diperlukan metode yang sesuai.Makalah ini menguraikan metode skyline yang dapat menyimpan dan memproses peyelesaian matriksseperti keadaan tersebut di atas secara efisien. Dengan metode skyline, jumlah koefisien matriks kekakuanyang diproses jauh lebih sedikit dibandingkan dengan jumlah koefisien semula. Hal ini berakibatbanyaknya memori untuk penyimpanan lebih sedikit dan proses penyelesaiannya lebih cepat.

ABSTRACT

SKYLINE METHOD TO STORE STIFFNESS MATRICES ON FINITE ELEMENTPROBLEMS. Solutions to technique or physics problems using finite element method will produce bigsymmetric and sparce matrices. For the final solution, the finishing and storing process need the correctmethods. This paper explains the skyline method which can store and will process the solutions matricesmore efficiently. The number of coefficients of stiffness matrices to be processes using the skylinemethod decreases. This method causes more efficient memory usage and faster processing.

PENDAHULUAN

Penyelesaian suatu persoalan tehnik menggunakan Metode Elemen Hinggamemberikan beberapa sifat koefisien matriks, diantaranya matriks simetri clanmenyebar (spars). Matriks spars adalah matriks dengan koefisien tidak nol yangmengumpul dekat dengan diagonal utama clan koefisien bemilai nol yang letaknyajauh daTi diagonal utama (banded) [1]. Pada penyelesaian perhitungan menggunakanmetode elemen hingga akan dijumpai operasi matriks dengan matriks berukuran besar.Proses penyelesaian metode elemen hingga yang digunakan pada paket programseperti NISA II clan ANSYS tidak dapat dilacak lagi (Black Box). Diharapkan dengan

.Pusat Pengembangan Teknologi Informasi dan Komputasi -BATAN

..Pusat Pengembangan Perangkat Nuklir -BAT AN

Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains clan Teknologi Nuklir XN, Juli 2003 (171-181)

metode skyline ini, persoalan teknik yang diselesaikan dengan elemen hingga dapatdilakukan secara ringkas daD cepat.

Adapun proses penyimpanan koefisien matriks dalam metode skyline dimulaidengan menyimpan banyaknya koefisien matriks pada setiap kolom, mulai daTi barisyang nilainya bukan Dol, sampai dengan diagonal utama. Selanjutnya menyimpanbanyaknya koefisien matriks sampai dengan diagonal utama untuk suatu kolomtertentu. Untuk membatasi proses pengulangan (loop) dilakukan proses menyimpanbanyaknya koefisien matriks pada setiap baris mulai diagonal utama sampai dengankolom yang berisi bukan koefisien nolo Metode ini dipakai di dalam program berbasiselemen hingga yang dikembangkan di P2PN [2].

Diharapkan dengan metode skyline ini jumlah koefisien matriks yang disimpanakan lebih sedikit dibandingkan dengan jumlah koefisien semula daD prosespenyelesaiannya akan menjadi lebih ringkas daD cepat.

TEORI

Penyelesaian dengan metode elemen hingga, dilakukan dengan membagi bendamenjadi sejumlah elemen yang dinamakan elemen hingga. Akibat pembagiansemacam ini maka distribusi perpindahan turnt didiskritisasi menjadi sub-sub daerahyang sesuai. Sehingga elemen-elemen basil pembagian lebih mudah ditinjaudibandingkan dengan peninjauan seluruh benda. Misalkan suatu lempeng diidealisasisebagai benda dua dimensi. Dalam hal ini dipilih pembagian elemen yang masing-masing berbentuk segitiga seperti dalam Gambar 1 berikut. Masing-masing node basilpembagian elemen diberi nomor 1 sampai dengan 15.

Gambar 1. Pembagian elemen dan penomoran node

Pemberian nomor node seperti pada Gambar-l akan menghasilkan matrikskekakuan (stiffness matrix) dengan posisi koefisien matriks seperti pada Gambar-2berikut. Pada Gambar I terlihat bahwa nomor node terkecil yang paling dekat dengannode I adalah node I, dengan demikian letak koefisien matriks pada kolom pertama

172

Metode Skyline untuk Menyimpan Matriks Kekakuan pada Persoalan Elemen Hingga (Mike Susmikanti, Utaja, Arya)

akan dimulai daTi baris satu sampai dengan diagonal utama. Untuk nomor nodeterkecil yang dekat dengan node 2 yaitu node 1, sehingga letak koefisien matriks padakolom dua dimulai pada baris dua sampai diagonal utama. Berikutnya nomor nodeterkecil yang paling dekat dengan node 3 adalah node 2, sehingga pada kolom tigaletak koefisien matriks dimulai pada baris dua. Demikian seterusnya untuk node 4 clannode 5, nomor node terkecil yang dekat dengan node 4 clan node 5 adalah node I,sehingga letak koefisien matrik pada kolom empat clan lima dimulai daTi baris 1.Ketentuan ini berlaku sarna untuk setiap posisi koefisien matriks pada matrikskekakuan.

Pada matriks kekakuan terdapat tiga macam koefisien matriks yaitu koefisienbernilai bukan nol, koefisien bernilai nol clan koefisien embedded. Koefisienembedded merupakan koefisien bernilai nol yang diapit oleh koefisien bernilai tidaknol clan dianggap tidak nol dikarenakan nantinya akan diproses. Pada metoda skylineyang akan diproses adalah koefisien bernilai bukan nol berarti termasuk koefisienembedded. Koefisien embedded dalam matriks kekakuan secara cepat dapat terlihatdengan memperhatikan tidak adanya hubungan antara masing-masing node. Misalnyauntuk node 2, tidak terhubung dengan node 4, sehingga posisi pada baris 2 kolom 4terdapat koefisien embedded. Demikian pula antara node 3 clan node 4 tidakterhubung, berarti posisi pada baris tiga kolom empat akan terdapat koefisienembedded

Gambar 2. Posisi koefisien matriks kekakuan

Pada matriks di atas tampak bahwa banyak koefisien nol yang letaknyaberjauhan dengan diagonal utama clan koefisien tidak nol yang letaknya mengumpuldekat diagonal utama. Matriks tersebut merupakan matriks banded. Penyimpanandengan metode skyline akan efisien karena mengabaikan koefisien nol yang jauh daTidiagonal utama.

73

Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XIV, Juli 2003

METODE

Langkah-langkah pada metode skyline dilakukan sebagai berikut :1. Menentukan banyaknya koefisien matrik pada setiap kolom mulai pada baris

yang berisi nilai bukan not sampai dengan diagonal utama. Nilai inidinyatakan dengan variabel JSTK(i).

2. Menentukan banyaknya koefisien matriks sampai dengan diagonal utama padabaris atau kolom ke i (termasuk koefisien matriks pada kolom/barissebelumnya. Nilai tersebut dinyatakan dengan variabel JDIAG(i)

3. Menentukan banyaknya koefisien matriks pada setiap baris mulai daTidiagonal utama sampai dengan kolom dengan nilai koefisien bukan not(termasuk pula koefisien matriks bemilai not yang diapit oleh koefisienmatriks bemilai tidak not). Nilainya dinyatakan dengan variabel ISTK(i).

4. Nilai JSTK(i) dan JDIAG(i) mempunyai hubungan [2] :

illIAG(i) = ~ JSTK(i) (1)

Posisi matriks M(ij) di mana5 ~i

POSISI = illIAG(j) -(j-i) (2)

Variabel ISTK(i) dipakai untuk membatasi LOOP pada penyelesaian matriks.6.

BASIL DAN BAHASAN

Dan Gambar 1 terlihat bahwa terdapat 15 simpul dengan penomoran sepertiterlihat pada gambar. Dalam persoalan distribusi suhu, setiap node memiliki satuderajat kebebasan. Diperoleh matriks kekakuan dengan ukuran 15 x 15 seperti padaGambar 2. Terlihat bahwa koefisien matriks tidak nol, banyak mengumpul dekatdengan diagonal utama clan koefisien nol menyebar jauh daTi diagonal utama.

Tabel berikut menyatakan nilai masing-masing variabel JSTK(i), illIAG(i) clanISTK(i) yang pengisiannya dibahas di bawah ini.

174

Metode Skyline untuk Menyirnpan Matriks Kekakuan pada Persoalan Elemen Hingga (Mike Susmikanti, Utaja, Arya)

Tabel Hubungan kolom masing-masing dengan variabel JSTK(i), illIAG(i) clanISTK(i)

Kolom JSTK(i) JDIAG(i)13591419232833374247515661

ISTK(i)55455455455432

23456789 .

101112131415

22455455455455

Banyaknya koefisien matriks pada masing-masing kolom sampai dengandiagonal utama disimpan dalam kolom atau variabel JSTK(i) seperti pada Tabel-ltersebut di atas. Contohnya untuk kolom 1, variabel JSTK(1) bernilai 1 sedangkanuntuk kolom 2 variabel JSTK(2) bernilai 2, demikian seterusnya.

Nilai-nilai pada kolom JDIAG(i) menyatakan banyaknya semua koefisienmatriks sampai dengan diagonal utama pada baris atau kolom ke-i ( termasukkoefisien matriks daTi baris/kolom sebe1umnya ). Dalam hal ini untuk kolom 3 ataubaris 3, diperoleh JDIAG(3) bernilai 5 yaitu banyaknya semua koefisien matriks daTikolom 1,2 clan 3 sampai dengan diagonal utama (1+2+2), sesuai dengan persamaan(I). Sedangkan untuk kolom 4 atau baris 4, JDIAG(4) bernilai 9 yaitu banyaknyasemua koefisien matriks daTi kolom I, 2, 3 clan 4 sampai dengan diagonal utama(I +2+2+4). Termasuk koefisien matrik bernilai nol didalamnya yang diapit olehkoefisien matrik bernilai tidak nol (embedded).

Selanjutnya nilai-nilai pada kolom ISTK(i) diisi dengan banyaknya koefisienmatrik pada setiap baris mulai daTi diagonal utama sampai dengan kolom dengan nilaikoefisien bukan nol (termasuk koefisien nol yang diapit oleh koefisien bukan nol).Sebagai contoh, pada kolom I nilai ISTK(I) mempunyai koefisien matriks berjumlah5 pada baris pertama. Pada kolom 2, nilai ISTK(2) mempunyai koefisien matriksberjumlah 5 pada baris 2.

175

Risalah Lokakarya Kornputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XIV. Juli 2003

Berikut ini beberapa contoh posisi matriks sesuai dengan persamaan (2) dengannilai JDIAG(i) diambil daTi Tabel-l;Posisi m(l,l) = JDIAG(l) -( 1 -1 ) = 1 -0 = 1

Berarti nilai koefisien matriks kekakuan m(l, 1) akan disimpan di kotak nomor 1.Posisi m(1,2) = JDIAG(2) -(2 -1 ) = 3 -1 = 2 (disimpan di kotak nomor 2)Posisi m(1,3) = JDIAG(3) -( 3 -1 ) = 5 -2 = 3 (tidak disimpan).

Adapun syarat disimpan jika dipenuhi :J -I ~ JSTK(J) -1

Pada posisi m( 1,3), karena 3 -1 tidak 1ebih kecil atau sarna dengan 2 -1, berartisyarat penyimpanan tidak dipenuhi. Se1ain itu pula nilai koefisien matriks pada posisim(1,3) bemilai no1.Kotak nomor 3 akan digantikan dengan nilai koefisien matriks pada posisi m(2,2)

berikut;Posisi m(2,2) = JDIAG(2) -(2 -2) = 3 -0 = 3 (disimpan di kotaknomor 3)Posisi m(2,3) = JDIAG(3) -( 3 -2 ) = 5 -1 = 4 (disimpan di kotak nomor 4)Posisi m(3,3) = JDIAG(3) -( 3 -3 ) = 5 -0 = 5 (disimpan di kotak nomor 5)Posisi m(1,4) = JDIAG(4) -(4 -1) = 9 -3 = 6 (disimpan di kotaknomor 6)Posisi m(2,4) = JDIAG(4) -(4 -2 ) = 9 -2 = 7 (disimpan dikotak nomor 7)Posisi m(3,4) = JDIAG(4) -(4 -3) = 9 -1 = 8 (disimpan dikotaknomor 8)Posisi m(4,4) = JDIAG(4) -( 4 -4 ) = 9 -0 = 9 (disimpan dikotak nomor 9), demikian

seterusnya. Nilai koefisien matriks m(2,4) daD m(3,4) walaupun bemilai Dol tetapdisimpan karena nilai tersebut termasuk koefisien matrik yang diapit oleh nilaikoefisien yang bemilai tidak Dol (embedded).

Posisi matriks kekakuan dua dimensi ini, saat ini telah berubah menjadi matriksatu dimensi, yang selanjutnya akan digunakan untuk menentukan distribusi

perpindahan.Variabel ISTK(i) dipakai untuk membatasi LOOP yang akan diper1ukan pada

saat penyelesaian matriks da1am menentukan distribusi perpindahan tiap node.Dari Tabel-1, diperoleh jumlah kotak yang diperlukan untuk penyimpanan

seluruh koefisien matriks kekakuan berjumlah 61. Terlihat pada nilaiJDIAG(15) = 61.

Pemberian nomor node seperti pada Gambar 1, apabila diubah menurut susunanseperti pada Gambar 3 akan menghasilkan matriks kekakuan dengan posisi koefisienmatriks seperti pada Gambar 4.

Pada Gambar 3 terlihat bahwa nomor node terkecil yang paling dekat dengannode 1 adalah node 1, sehingga letak koefisien matriks pada kolom satu akan dimulaidaTi baris satu sampai dengan diagonal utarna. Hal ini tampak pada Gambar 4. Untuknode terkecil yang dekat dengan node 2 adalah node 1, sehingga letak koefisienmatriks pada kolom dua dimulai pada baris dua sampai diagonal utama. Berikutnyanode terkecil yang paling dekat dengan node 3 adalah node 2, sehingga pada kolomtiga letak koefisien matriks dimulai pada baris dua. Demikian pula untuk node 4, node

76

Metode Skyline untuk Menyimpan Matriks Kekakuan pada Persoalan Elemen Hingga (Mike Susmikanti, Utaja, Arya)

terkecil yang terdekat dengan node 4 adalah node 3, berarti letak koefisien rnatrik padakolom 4 dimulai pada bans tiga. Untuk nomor node terkecil yang paling dekat dengannomor node 5 adalah nomor node 4, sehingga letak koefisien matriks pada kolom limadimulai daTi bans empat. Sedangkan untuk nomor node 6 yang terdekat adalah nomornode 1,berarti letak koefisien matriks pada kolom 6 dimulai pada baris 1. Hal iniberlaku sarna untuk semua kolom pada matriks kekakuan tersebut dibawah ini.

Penentuan posisi koefisien embedded seperti dijelaskan sebelumnya dalammatriks kekakuan diperoleh dengan memperhatikan tidak terdapatnya hubungan antaramasing-rnasing node. Misalnya untuk nomor node 2 tidak terhubung dengan nomornode 4, sehingga posisi pada bans dua kolom empat terdapat koefisien embedded(Gambar 4). Demikian pula antara nomor node 3 clan nomor node 4 tidak terhubung,berarti posisi pada baris tiga kolom empat akan terdapat koefisien embedded. Padaposisi matriks kekakuan untuk bans tiga kolom 5 dijumpai koefisien embeddeddikarenakan antara nomor node 3 clan node 5 tidak terhubung. Demikian selanjutnyauntuk pengisian posisi koefisien matriks yang embedded yang lain berlaku serupa.

Gambar 3. Pembagian elemen clan penomoran node dengan bentuk susunan lain

I 2

~6~ 12 13 14 15~:=~==~t:=i

=:+-

~~~

--.'K~_""nrd~ nrd,"'9_"""'(-).'Koefisien'"

~

Gambar 4~

Posisi koefisien matriks kekakuan sesuai dengan penomoran node padaGambar 3

177

Risalah wkakarya Komputasi dalam Sains clan Teknologi Nuklir XIV, Juli 2003

Dengan metode skyline, susunan nomor node seperti pada Gambar-3 denganmatriks kekakuan yang tampak pada Gambar-4, diperoleh nilai-nilai JSTK(I),JDIAG(I) clan ISTK(I) yang ditampilkan pada Tabel 2.

Tabel2. Hubungan kolom masing-masing dengan variabel JSTK(i), illIAG(i) clanISTK(i) sesuai dengan penomoran node pada Gambar 3

Kolom123456789101112131415

JSTK(I)122226777767777

m~G(!2-~ISTK(I)

777767777654321

357915222936

434956637077

Dan Tabel 2, diperoleh jumlah kotak yang diperlukan untuk penyimpananseluruh koefisien matriks kekakuan berjumlah 77. (JDIAG(15) = 77).

Terlihat bahwa jumlah kotak yang diperlukan untuk penempatan nomor nodeseperti pada Gambar 1 dibandingkan dengan Gambar 3, temyata lebih efisienpenempatannya seperti pada Gambar 1 dengan jumlah kotak yang diperlukan hanyaberjumlah 66.

KESIMPULAN

Dengan metode skyline, jumlah koefisien matriks yang disimpan temyata lebihsedikit dibandingkan dengan jumlah koefisien semula dan proses penyelesaiannyaakan menjadi lebih ringkas dan cepat. Selain itu metode skyline cocok digunakanuntuk memproses penyelesaian matriks simetri dan spars dengan ukuran yang besar.

178

Metode Skyline untuk Menyimpan Matriks Kekakuan pada Persoalan Elemen Hingga (Mike Susmikanti, Utaja, Arya)

DAFTARPUSTAKA

ROBERT D. COOK, "Concepts and Applications of Finite Element Analysis'John Wiley & Sons, Inc. (1974)

2.

UTAJA, "Metode RCM untuk Mencegah Timbulnya Matrib dengan BandedTidak Beraturan pada Metode Elemen Hingga", Prosiding Lokakarya Komputasidalam Sains clan Teknologi Nuklir X, Jakarta (1999)

3 FRANK L. STASA, "Applied Finite Element Analysis for Engineers", CBSCollege Publishing (1985)

179

Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XN, Juli 2003

DISKUSI

RUSTAMA

1. Penomoran node dalam arah yang berbeda menghasilkan jumlah koefisienmatriks yang dihasilkan berbeda. Apakah ada "rules" untuk menetapkanarah penomoran yang paling optimal?

2. Apakah jumlah koefisien matriks yang banyak pada metode skyline denganyang lebih sedikit, menunjukkan yang banyak itu lebih teliti?

MIKE SUSMIKANTI

1. Tidak acta suatu ketentuan yang pasti untuk menetapkan arab penomorannode yang paling optimal, tetapi berdasarkan pengalaman diusahakan bahwanomOI node yang besar tidak diletakkan berdekatan dengan nomer nodeyang kecil. Sebenarnya acta suatu makalah yang ingin dikemukakan olehbapak Vtaja, mengenai cara khusus untuk penomoran node tersebut.

2. Dalam matrik kekakuan sebenarnya yang perlu diperhatikan adalah nilai-nilai koefisien matriksnya yang kemungkinan memberikan ill condition(kondisi buruk) yang berpengaruh pacta proses penyelesaian nilaiperpindahan .Pemecahan persoalan ini dapat diselesaikan secara numerikdengan LV dekomposisi.

RULIY ANTI P ARDEWI

1. Yang menentukan matriks ukuran besar apakah dengan mengetahui jum1ahnode saja atau juga melihat derajat kebebasan?

2. Bagaimana mengetahui bahwa suatu persoalan elemen hingga untukperhitungan matriknya dapat diselesaikan dengan metode skyline.

180

Metode Skyline untuk Menyirnpan Matriks Kekakuan pada Persoalan Elemen Hingga (Mike Susmikanti, Utaja, Arya)

MIKE SUSMIKANTI

1. Untuk mengetahui sebelumnya, apakah suatu matriks kekakuan mempunyaiukuran yang besar tidak hanya dipengaruhi oleh faktor, banyaknya nodetetapi juga oleh faktor derajat kebebasan atau arah pergerakan yang dialamibenda tersebut.

2. Perhitungan matriks dalam persoalan elemen hingga dapat diselesaikandengan metode skyline apabila matriks tersebut berukuran besar, menyebar,banded dan simetri.

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

.S2 Magister Manajemen, STIE IGI

Pengalaman KeIja :6.

.StafPengolahan Data-Biro Bina Program BATAN

.Kasubbid Statistik -Pusat Pengembangan Informatika BAT AN

.Pranata Komputer -P2TIK BAT AN

Organisasi Profesional : -7

lRl