a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan...

87
BAB I LOGIKA MATEMATIKA 1.1 Pendahuluan Logika (logic) berasal dari bahasa yunani “logos”yang berarti kata “ucapan” atau “alasan”. logika dapat di artikan ilmu yang berhubungan dengan prinsip-prinsip validitas penalaran dan argument-argumen.penarikan kesimpulan tentang validitas argument dinamakan logika deduktif (deductive reasonin). dimana kesimpulan harus mengikuti kebenaran premis-premisnya.jadi tidak mungkin kesimpulan yang salah diperoleh dari premis- premis yang benar,atau satu saja premis yang salah.maka kesimpulan juga harus bernilai salah.di pihak lain juga di kembangkan logika induktif (inductive logic). Yang pengertiannya sama dengan logika deduktif,tetapi penarikan kesimpulan disertai dengan tampilnya beberapa kemungkinan yang menyertainya. Logika pertama kali dikembangkan oleh Aristoteles (filsuf yunani) dan disebut logika tradisional atau logika klasik (classical logic).sekitar 300 tahun sebelum masehi atau .logika ini juga di sebut logika simbolik (symbolic logic) karena menggunakan symbol-simbol logika secara intensif. Logika memainkan peranan penting di berbagai bidang ilmu,antara lain di bidang matematika dan ilmu computer.logika juga dapat dapat dimanfaatkan untuk membuat dan menguji program-program computer.berbagai cabang ilmu computer/informatika menggunakan logika untuk mengerjakannya, misalnya kecerdasan buatan (artificial intelligence). sistem pakar (expert systems). Pemrograman logika (logic programming) dan sebagainya. 1

Transcript of a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan...

Page 1: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

BAB ILOGIKA MATEMATIKA

1.1 Pendahuluan

Logika (logic) berasal dari bahasa yunani “logos”yang berarti kata “ucapan” atau “alasan”. logika dapat di artikan ilmu yang berhubungan dengan prinsip-prinsip validitas penalaran dan argument-argumen.penarikan kesimpulan tentang validitas argument dinamakan logika deduktif (deductive reasonin). dimana kesimpulan harus mengikuti kebenaran premis-premisnya.jadi tidak mungkin kesimpulan yang salah diperoleh dari premis-premis yang benar,atau satu saja premis yang salah.maka kesimpulan juga harus bernilai salah.di pihak lain juga di kembangkan logika induktif (inductive logic). Yang pengertiannya sama dengan logika deduktif,tetapi penarikan kesimpulan disertai dengan tampilnya beberapa kemungkinan yang menyertainya.

Logika pertama kali dikembangkan oleh Aristoteles (filsuf yunani) dan disebut logika tradisional atau logika klasik (classical logic).sekitar 300 tahun sebelum masehi atau .logika ini juga di sebut logika simbolik (symbolic logic) karena menggunakan symbol-simbol logika secara intensif.

Logika memainkan peranan penting di berbagai bidang ilmu,antara lain di bidang matematika dan ilmu computer.logika juga dapat dapat dimanfaatkan untuk membuat dan menguji program-program computer.berbagai cabang ilmu computer/informatika menggunakan logika untuk mengerjakannya, misalnya kecerdasan buatan (artificial intelligence). sistem pakar (expert systems). Pemrograman logika (logic programming) dan sebagainya.

Peran logika yang penting ini menyebabkan logika menjadi salah satu ilmu kunci di bidang komputer dan diajarkan sejak awal kuliah di bidang computer.logika yang dimaksud di sini adalah logika matematika (mathematical logic) yaitu logika yang menggunakan kaidah-kaidah dan turan aturan matematika untuk menyelesaikannya.

Logika matematika adalah suatu studi tentang proses-proses deduksi yang bersifat matematik.subyek logika dapat ditelusuri dari ilmu filosofi.sehingga peran filosofi penting dalam logika matematika.Dengan kata lain sebenarnya logika matematika adalah metode pencarian pembuktian (methods of proofs). ini dapat di bagi menjadi dua bagian (1) penalaran semantic (semantic reasoning) yang berusaha menjawab

1

Page 2: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

“apakah kebenaran itu?” dan (2) penalaran sintaktik (syntactic reasoning), yang menjawab “apa yang dapat di ungkapkan?”

Logika lebih mengacu pada penalaran sintatik, karena ia menghasilkan suatu pernyataan-pernyataan (statements) yang dapat bernilai benar (true) atau salah (false) dan menghasilkan kesimpulan berdasarkan pernyataan-pernyataan tersebut. Pernyataan-pernyataan yang bernilai benar atau salah tersebut menjadi subjek utama dari derivasi logika (logical derivation).

Dasar-dasar dari derivasi logika adalah proposisi-proposisi (propositions), yakni pernyataan-pernyataan yang bernilai benar atau salah. Proposisi-proposisi dapat digabung dan dimanipulasi dengan berbagai cara, yang merupakan subjek utama dari logika proposional (propositional logic) atau kalkulus proposional (propositional calculus).

Logika proposional disusun dari suatu argumen (argument) yang logis. Argumen yang logis berisi proposisi atomik (atomic propositions) yang tak mungkin dipecahkan. Proposisi-proposisi atomik tersebut dapat dirangkai atau dikombinasikan dengan berbagai perangkai (connective) menjadi proposisi majemuk (compound propositions), atau disebut juga ekspresi logika (logical expressiion).

Disini ada proposisi-proposisi yang disebut tautologi (tautologies, tautology), yakni proposisi yang nilainya selalu benar. Tautologi akan menghasilkan implikasi logis (logical implikations) dan ekuivaleni logis (logical equivalences) atau kesamaan logis.

Implikasi logis merupakan dasar dari penalaran yang kuat (sound reasoning), sedangkan kesamaan logis menunjukkan bagaimana proposisi-proposisi dapat dimanipulasi secara aljabar (algebraically).

1.2 DASAR-DASAR LOGIKA

Ada suatu argumen yang dikatan secara logis kuat (logically sound), tetapi juga ada yang tidak. Argumen berisi proposisi-proposisi yang sudah tak mungkin dipecah-pecah lagi yang disebut proposisi atomik. Proposisi-proposisi atomik inilah yang kemudian dirangkai dengan perangkai logika (logical connectives) menjadi proposisi majemuk.

Contoh 1-1:Perhatikan dengan seksama argumen logis berikut ini:

(1) Jika harga gula naik, maka pabrik gula akan senang(2) Jika pabrik gula senang, maka petani tebu senang

2

Page 3: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

(3) Dengan demikian, jika harga gula naik, maka petani tebu senang

Pernyataan (1) dan (2) disebut Premis-premis (premises) dari argumen, sedangkan pernyataan (3) berisi kesimpulan (conclusion).Jadi, jika suatu argumen memiliki premis-premis yang benar, maka kesimpulan juga harus benar. Dan jika hal ini terjadi, maka argumen tersebut secara logis kuat (soundness).

Contoh 1-2 :Perhatilkan contoh argumen berikut ini :

(1) Program komputer ini memiliki bug, atau masukannya salah

(2) Masukannya tidak salah(3) Dengan demikian, program komputer ini memiliki bug

Contoh di atas juga merupakan argumen yang secara logis kuat, dan dapat dibuktikan dengan berbagai cara.

Pada contoh 1-1 di atas adalah tentang argumen yang menggunakan perangkai “jika...maka...” (if ...then...) untuk merangkai dua pernyataan yang membentuk pernyataan majemuk (compound statements). Sedangkan argumen pada contoh 1-2 memakai perangkai “atau (or)”

Dalam buku ini, akan dipakai huruf-huruf A, B, C dan seterusnya untuk menggantikan proposisi-proposisi tersebut, untuk mempermudah pemahaman tentang proposisi.

Sekarang lihat pada contoh 1-1 di atas. Kalimat tersebut diubah menjadi proposisi-proposisi dan proposisi diubah menjadi huruf-huruf seperti berikut :

A = Harga gula naikB = Pabrik gula senang C = Petani tebu senang

Maka argumen tersebut dapat ditulis sebagai berikut :(1) Jika A maka B(2) Jika B maka C(3) Jika A maka C

Bentuk argumen yang memakai pola tersebut dinamakan Hypothetical Syllogism.

3

Page 4: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Bentuk argumen lain dapat dilihat pada pada comtoh 1-2. Jika proposisi tersebut diganti dengan huruf, maka akan berbentuk seperti berikut :

A = Program komputer ini memiliki bugB = Masukannya salah

Maka argumen tersebut sekarang dapat ditulis :(1) A atau B(2) Bukan B(3) A

Bentuk argumen di atas dinamakan Disjunctive Syillogism.Ada bentuk ragumen lain yang sangat penting, yang dinamakan Modus Ponens. Lihat contohnya pada argumen berikut ini :Contoh 1-3 :

(1) Jika lampu lalu-lintas menyala merah, maka semua kendaraan berhenti

(2) Lampu lalu-lintas menyala merah(3) Dengan demikian, semua kendaraan berhenti

Jika argumen di atas diganti dengan huruf seperti berikut :A = Lampu traffic menyala merahB = Semua kendaraan berhentiMaka bentuk argumen di atas menjadi :

(1) Jika A maka B(2) A(3) B

Disini masih diperkenalkan argumen lain yakni Modus Tollens. Contoh argumen yang menggunakan modus tollens adalah :

Contoh 1-4 :(1) Jika saya makan, maka saya kenyang(2) Saya tidak makan(3) Dengan demikian, saya tidak kenyang

Jika argumen di atas diganti huruf seperti berikut :A = Saya makan B = Saya kenyang

Maka bentuk argumen di atas akan menjadi :(1) Jika A maka B(2) Bukan A(3) Bukan B

4

Page 5: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Semua bentuk argumen di atas, yakni Hypothetical Syllogism, Disjunctive Syllogism. Modus Ponens dan Modus Tollens merupakan contoh-conton argumen yang penting yang biasanya menjadi contoh bentuk-bentuk logika yang valid.

1.3 PROPOSISI

Proposisi-proposisi merupakan pernyataan-pernyataan yang ada di dalam suatu argumen. Pernyataan-pernyataan tersebut selalu mempunyai properti tertentu yakni suatu nilai benar atau salah, dan tak ada nilai lainnya. Pernyataan yang bernilai benar atau salah inilah yang disebut proposisi.

Definisi : Setiap pernyataan yang bernilai benar atau salah, disebut proposisi. Tidak bisa kedua-duanya atau nilai lainnya.

Misalnya pernyataan “Program komputer ini memiliki bug”, adalah proposisi yang bernilai benar atau salah. Disini sebenarnya ada masalah dikotomi (dichotomy), dua pilihan dengan memakai pengertian teknis. Pengertian teknis berarti tak ada kemungkinan lain selain yang sudah ada dan diterima benar atau salahnya. Persoalan yang terjadi, ternyata banyak sekali pernyataan dan argumen yang tidak bisa dipakai dengan pengertian teknis.

Contoh 1-5 :Perhatikan 3 pernyataan berikut :

(a) Angka 8 adalah angka keberuntungan (b) Angka 13 adalah angka sial (c) Indonesia negara yang kaya raya

Ketiga contoh di atas, mengandung perdebatan. Karena setiap orang memiliki pendapat yang berbeda-beda. Ada yang menganggapnya benar, ada yang menganggapnya salah, bahkan ada juga yang tidak bisa menjawab atau bahkan menganggapnya tak berarti (meaningless). Dengan kata lain, pernyataan-pernyataan tersebut tidak dapat dipakai di sini, atau tak mungkin dijadikan proposisi.

Selain pernyataan yang mengandung perdebatan atau tak berarti, bentuk kalimat perintah (commands) dan pertanyaan (questions) juga merupakan kalimat yang tak dapat dijadikan proposisi. Dengan kata lain, jika pernyataan terserbut tidak dapat dijawab benar atau salahnya (is true or false?), maka ia tidak dapat berfungsi sebagai proposisi.

Dalam hidup sehari-hari, sebenarnya banyak sekali pernyataan yang tidak mungkin bisa dijawab hanya dengan benar atau salah. Ia bukanlah

5

Page 6: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

dunia yang terdiri dari hitam atau putih saja. Dipandang dari sudut proposisi, suatu pernyataan mungkin tidak sepenuhnya benar atau juga tidak sepenuhnya salah, ia memiliki gradasi tertentu. Inilah yang menjadi subjek dari logika fuzzy (fuzzy logic). Sedangkan pernyataan-pernyataan atau argumen yang tidak bisa ditangani dengan logika proposional. Akan ditangani oleh logika predikat (predicate logic).

Proposisi harus berbentuk suatu pernyataan yang berupa kalimat, harus memiliki subjek dan predikatnya masing-masing, dan bisa ditambah objeknya. Contoh: “Bambang menikah”, dan “Hasan menangis”. Tetapi, kalimat berikut: “Yetno dan Desi pergi kuliah”, harus dibaca “yetno pergi kuliah” dan “Desi pergi kuliah”. Hal ini untuk menghindari terjadinya pernyataan yang tak mungkin mengacaukan proposisi yang sudah ditentukan jika muncul pernyataan “Yetno dan Nita pergi kuliah” di bagian lain dari argumen. Tetapi, kalimat “Yetno mencintai Desi”, dengan “Yetno amat mencintai Desi” dan “Yetno sungguh-sungguh mencintai Desi dengan sepenuh hati”, dapat dibaca sebagai satu proposisi yang sama, karena intinya hanya “Yetno cinta Desi”.

Masalahnya, kadang-kadang ada kalimat yang cukup panjang dan memerlukan pemecahan kalimat untuk menangkap proposisi-proposisi yang ada didalamnya. Misalnya: “Saya akan sekolah walaupun tak punya uang”. Kalimat ini memiliki dua proposisi yakni “Saya akan sekolah” dan “Saya tak punya uang”. Tetapi bagaimana dengan kata penghubung “walaupun”, dan bagaimana menafsirkannya? Di sini perlu ditafsirkan dalam bentuk kalimat “Jika saya akan sekolah dan tak punya uang, maka saya akan sekolah”.

1.4 Variabel dan Konstanta Proposional

Huruf-huruf A, B, dan C yang menggantikan proposisi-proposisi di atas disebut variabel proposional (propositional variables), yang hanya memiliki nilai benar (True=T) atau salah (False=F) saja. Ingat: pemberian nilai hanya ada dua kemungkinan, yakni T dan F saja. Disini tidak dipakai B (Benar) dan S (Salah). Tetapi T dan F agar lebih terbiasa dengan berbagai buku teks (teks book) yang membahas logika berbahasa inggris.

Jadi, pernyataan untuk proposisi majemuk “A atau B”, maka nilai A = T, atau B = F, atau sebaliknya. Tentunya masih ada kemungkinan lain yakni sama-sama bernilai T atau F disebut konstanta-konstanta proposional (propositional constans).

6

Page 7: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Variabel dan konstanta proposional adalah proposisi atomik (atomic propositions), yakni proposisi yang tak dapat dipecah lagi, menggabungkan beberapa proposisi atomik dengan perangkai tertentu, menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition).

Contoh 1-6 :Lihat proposisi majemuk berikut ini :

A atau B (A or B)A dab B (A and B)Bukan A (not A)

Jadi, kata-kata “atau (or)”, “dan (and)”, dan “bukan (not)” digunakan sebagai perangkai untuk merangkai proposisi-proposisi yang disebut perangkai dasar atau perangkai alamiah (natural connectives).

Definisi : propisi yang berisi satu variabel proposisional atau satu konstanta proposisional disebut proposisi atomik. Semua proposisi bukan atomik, disebut proposisi majemuk, dan semua proposisi majmuk memiliki minimal satu prangkai logika.

Setiap proposisi akan diberi nilai tertentu dengan aturan tertentu. Aturan tersebut diberikan dari arti perangkat yang digunakan sebagai contoh jika A = T dan B = F, maka (A atau B) mengahasilkan nilai T.

Alat yang digunakan untuk memberikan nilai dengan aturan tertentu tersebut adalah tabel kebenaran (truth tabel). Tabel kebenaran menghasilkan nilai-nilai kebenaran dari semua proposisi-proposisi pada semua pemberian nilai yang dimungkinkan. Bahasa tentang tabel kebenaran secara lebih detail akan disajikan pada Bab 2 berikut :

RINGKASAN (1). Logika adalah ilmu tentang metode penalaran yang berhubungan

dengan pembuktian validitas suatu argumen.(2). Suatu argumen yang berisi pernyataan-pernyataan harus diubah

menjadi bentuk logika untuk dapat dibuktikan validitasnya.(3). Untuk membuat bentuk logika, maka argumen harus diubah

menjadi proposisi-proposisi dan proposisi diubah menjadi variabel proposisi dengan huruf tertentu.

(4). Setiap variabel proposisi ditentukan nilainya dan dimanipulasi dengan cara tertentu untuk mendapatkan untuk mendapatkan nilai kebenarannya.

(5). Argumen-argumen didjuctive Syllogism. Hypothetical Syllogism. Modus ponens, dan modus tollesn merupakan contoh-contoh argumen yang penting dan valid. Serta menjadi contoh bentuk-bentuk logika yang biasa dipakai.

7

Page 8: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

SOAL-SOAL LATIHAN

BAGIAN-1 :Manakah dari pertanyaan-pertanyaan berikut adalah proposisi?[a] Apakah jawabanmu ini sudah benar, Yetno?[b] Yetno pergi kuliah[c] 4 adalah angka prima [d] 4 adalah bukan angka prima[e] Yetno, pergilah ke sekolah sekarang juga!

BAGIAN-2 :Manakah dari pertanyaan-pertanyaan berikut yang berupa proposisi atomik dan yang berupa proposisi majemuk?[a] Setiap orang Indonesia kaya raya[b] Yetno kaya raya, demikian juga dewi[c] Yetno dan dewi sama-sama kaya raya [d] Yetno kaya raya dan memiliki banyak harta [e] Yetno kaya raya atau banyak hartanya

BAGIAN-3 :Berilah nilai konstanta proposional T atau F pada pernyataan berikut![a] Yogyakarta adalah ibukota negara Indonesia.[b] Angka 8 adalah angka genap.[c] Jepang berbentuk negara republik.[d] Indonesia berbentuk negara serikat.[e] Perang sipil sama dengan perang saudara.

8

Page 9: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

BAB IITABEL KEBENARAN

2.1 PENDAHULUAN

Setelah membaca Bab I, anda tentu mengerti bahwa logika adalah ilmu tentang penalaran (reasoning). Penalaran berarti mencari bukti validitas dari suatu argumen, mencari konsistensi dari pertanyaan-pernyataan, dan membahas materi tentang kebenaran dan ketidakbenaran.

Logika hanya berhubungan dengan bentuk-bentuk (form) logis dari argumen-argumen, serta penarikan kesimpulan tentang validitas dari argumen tersebut. Logika tidak memasalahkan arti sebenaenya dari pernyataan tersebut, ataupun isi (content) dari pernyataan.

Contoh 2-1 :Manusia mempunyai 2 mataBadu seorang manusia Maka badu mempunyai 2 mata

Argumen [2-1] di atas masih terasa masuk akal, sekali lagi harap diperhatikan bahwa logika tidak memasalahkan arti atau isi suatu pernyataan, tetapi hanya bentuk logis dari pernyataan itu.Logika hanya menekan bahwa premis-premis yang benar harus menghasilkan kesimpulan yang benar (valid), bukan kebenaran secara aktual atau sehari-hari (actual truth). Di pihak lain tentu saja premis-premis yang benar tidak mungkin menghasilkan kesimpulan yang salah, atau premis-premis yang salah menghasilkan kesimpulan yang benar.

Jadi, bentuk memainkan peranan yang sangat penting untuk membuktikan validitas suatu argumen. Selain bentuk (sintaks) dari argumen, masalah materi (matter) dari suatu argumen juga penting karena semantik (semantic) argumen harus diketahui sebelum mengubahnya menjadi bentuk logika. Namun tentu saja semantik dari argumen tersebut harus dipandang sebagai properti dari suatu hubungan yang bersifat matematis.

9

Page 10: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

2.2 TABEL KEBENARAN

Penekanan logika adalah pada penarikan kesimpulan tentang validitas suatu argumen untuk mendapatkan kebenaran yang bersifat abstrak. Ini dibangun oleh kaidah-kaidah dasar logika tentang kebenaran dan ketidakbenaran dengan menggunakan perangkai logika, yakni ”dan (and)”, “atau (or)”, “bukan(not)”, “jika...maka... (if...then../implies)”, dan “jika dan hanya jika (if and only if)”

Contoh 2-3 :Jika hujan, maka Badu basah kuyup-kuyup

“jika hujan” pada kalimat di atas benar, “maka Badu basah kuyup” masih bisa dipertanyakan kebenarannya, karena mungkin Badu memiliki payung atau Badu berteduh, atau Badu disiram air oleh temannya dan berbagai kemungkinan lainnya. Logika tidak berhubungan dengan kemungkinan-kemungkinan, logika hanya mengambil nilai kebenaran saja.

Contoh 2-4 :(1) Badu menabrak pagar rumah dan menginjak-injaknya.(2) Badu menginjak-injak pagar rumah dan menabraknya.

Kalimat pertama masuk akal karena secara alamiah atau secara hard logic memang harus demikian kejadiannya, tetapi kalimat kedua, terasa tidak masuk akal karena tidak mungkin ada kejadian menginjak-injak baru kemudian menabraknya. Tetapi, sekali lagi logika tidak memasalahkan pengertian sesuai bahasa sehari-hari (meaning), karena logika lebih mementingkan bentuk dari pernyataan-pernyataan.Perangkai “dan” pada contoh di atas hanya perangkai yang bersifat komutatif (commutativity) sehingga pada logika, kedua kalimat atau pernyataan di atas sama saja.

Definisi: Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang menunjukkan secara sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang sederhana.

Setiap kombinasi dari proposisi-proposisi sederhana tersebut atau variabel proposional, nilainya tergantung dari jenis perangkai atau operator yang digunakan untuk mengkombinasikannya.

10

Page 11: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

2.3 PERANGKAI LOGIKA ATAU OPERATOR

Setiap perangkai pada logika, memiliki kebenarannya masing-masing sesuai jenis perangkai logika yang digunakan. Untuk mengetahui nilai kebenarannya, digunakan aturan dengan memakai tabel kebenaran.

Perangkai-perangkai yang digunakan adalah:

Perangkai SimbolDan (and)

Atau (or) vBukan (not) Jika... maka... (if...then.../implies) →

Jika dan hanya jika (if and only if) ↔Gambar 2-1 Perangkai dan simbolnya

Perangkai logika atau operator dalam bentuk simbol digunakan untuk membuat bentuk-bentuk logika atau ekspresi logika.Di sini hanya akan digunakan konstanta proposional T untuk True dan F untuk False.

2.4 KONJUNGSI [ ]

Konjungsi (conjuction) adalah kata lain dari perangkai “dan (and)”, dan konjungsi mempunyai tabel kebenaran seperti berikut :

A B A B

F F F

F T F

T F F

T T T

Gambar 2-2 Tabel kebenaran

Pada tabel kebenaran konjungsi, hanya ada satu nilai T jika pasangan tersebut keduanya bernilai T, lainnya pasti F. Perangkai atau operator disebut perangkai binary (binary logical connective), karena ia memakai dua variabel proposional.

Definisi: Misalnya A dan B proposisi. Proposisi “A dan B”, yang disimbolkan dengan AB adalah proposisi yang bernilai benar, jika nilai A

11

Page 12: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

dan B keduanya benar, jika lainnya pasti salah. Proposisi berbentuk AB, disebut konjungsi A dan B.

AB disebut nilai fungsi kebenaran (truth function) dari A dan B yang nilainya tergantung dari nilai kebenaran A dan B. Tabel kebenaran menunjukkan bagaimana cara memperlakukan perangkai . Sedangkan operand-operand dari konjungsi disebut konjung (conjunct). Operand disini sama artinya dengan variabel proposional.

Contoh berikut menunjukan tabel kebenaran dan perangkai untuk nilai suatu konjungsi yang lebih rumit:

A B C AB (AB)C BC A(BC)F F F F F F F

F F T F F F F

F T F F F F F

F T T F F T F

T F F F F F F

T F T F F F F

T T F T F F F

T T T T T T T Gambar 2-3 Tabel kebenaran yang rumit

Seperti dibahas di atas, perangkai merupakan perangkai binary atau dyadic, maka jika ada 2 perangkai yang merangkaikan proposisi majemuk A B C maka harus dibaca A B, kemudian baru dirangkai dengan C, atau dipastikan dengan tanda kurung (A B) C. Tetapi, jika pada A B C . B C yang ingin didahulukan, maka harus diberi tanda kurung sehingga menjadi A (B C).

Pada tabel kebenaran di atas, nilai (A B) C dengan A (B C) sama pada setiap pasangan A, B dan C. Dan jika A, B dan C bernilai T, maka hasilnya juga T.

Hal yang perlu diperhatikan, perangkai tidak masalah jika diubah tanda kurungnya. Karena mempunyai sifat asosiatif (associativity), dan ternyata tidak mengubah nilai kebenaran yang dihasilkannya. Lebih jauh tentang masalah ini dibahas pada Bab 5 tentang equivalensi (equivalence) atau kesamaan. Sedangkan pemakaian tanda kurung dan aturan pengurutan perangkai dapat dilihat pada Bab 3 berikut tentang proposisi majemuk yang juga membahas tentang fully parenthe sized expressions (fpe) dan aturan pengurutan (precedence rule).

12

Page 13: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

2.5 DISJUNGSI [v]

Tanda v digunakan sama dengan perangkai “atau (or)”. Disjungsi (disjunction) ini juga berfungsi sebagai perangkai binary. Tabel kebenarannya seperti berikut:

A B A v BF F FF T TT F TT T T

Gambar 2-4 Tabel kebenaran v

Dari tabel kebenaran di atas, nilai AvB bernilai F jika nilai A dan B keduanya F, lainnya pasti T.

Definisi : Misalnya A dan B adalah proposisi. Proposisi “A atau B”, yang disimbolkan dengan AvB, adalah proposisi yang bernilai salah, jika nilai A dan B keduanya salah, jika lainnya pasti benar. Prposisi berbentuk AvB, disebut disjungsi A dan B.

Pada tabel kebenaran disjungsi, operand-operand dari disjungsi disebut disjung (disjunct).

Dalam bahasa Inggris, pemakaian perangkai or mempunyai dua pemakaian yakni “inclusive or” dan “exlusive or”. Lihat contoh kalimat berikut: “I was in yogyakarta or surabaya at 8.00 pm yesterday”. Secara fisik, saya tidak mungkin berada di dua tempat pada waktu yang sama. Di sini “or” dipakai dalam pengertian “exlusive or”. Tetapi perhatikan contoh berikut: “you have either pizza or fried chicken”. Anda dapat memilih pizza atau fried chicken atau bahkan kedua-duanya. Di sini “or” dipakai pada pengertian “inclusive or”. Perangkai v pada logika cenderung bermakna “inclusive or”. Buktinya, perhatikan jika A dan B keduanya bernilai T, maka (AvB) bernilai T.

Di sini perangkai “atau” dalam bahasa Indonesia juga disamakan pengertiannya dengan “inclusive or” dalam bahasa Inggris untuk mendapatkan nilai kebenaran yang sama dari tabel kebenaran.

2.6 NEGASI [ ]

13

Page 14: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Negasi (negation) digunakan untuk menggantikan perangkai “bukan not)” dan tabel kebenarannya seperti berikut:

A A AF T FT F TGambar 2-5 Tabel kebenaran -

Negasi berarti hanya kebalikan dari nilai variabel proposional yang dinegasi. Jika F akan menjadi T dan sebaliknya, atau negasi F adalah T.

Definisi : Misalnya A adalah proposisi. Pernyataan “ini bukan A” adalah proposisi yang lain, disebut negasi dari A. Negasi dari A diberi simbol –A, dan dibaca ”bukan A”

Perangkai – disebut perangkai unary atau monadic, karena hanya dapat merangkai satu variabel proposisional. Tetapi, perlu diperhatikan sekali lagi dengan baik-baik tentang mengubah suatu pernyataan menjadi variabel-variabel proposisional. Harap diingat bahwa untuk mengubah suatu pernyataan menjadi variabel proposisional, setiap pernyataan harus memiliki subjek dan predikatnya masing-masing dan tidak memasalahkan arti (meaning) dari kalimat tersebut.

Contoh 2-5 :Saya lapar atau saya kenyangContoh tersebut diubah menjadi variabel proposisional akan menjadi:A = Saya laparB = Saya kenyang

Dan jika menjadi bentuk logika, adalah (A v B), tidak boleh ditafsirkan dan diganti menjadi variabel proposisional seperti berikut:A = Saya laparA = Saya kenyang

Sehingga menjadi (A v A). Sekali lagi, dalam logika proposisional hal ini tidak boleh dilakukan.

Pengubahan pernyataan menjadi bentuk logika seperti contoh di atas tentunya salah. Walaupun arti dari kata “kenyang “ adalah “tidak lapar”, tetapi itu penafsiran dalam bahasa sehari-hari. Jadi, pastikan bahwa pernyataan mengandung kata “bukan atau tidak” untuk dapat memberi tanda negasi.

Perangkai ,v, dan – disebut perangkai alamiah atau perangkai dasar, karena semua perangkai dapat dijelaskan hanya dengan tiga perangkai tersebut.

14

Page 15: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

2.7 IMPLIKASI [ → ]

Implikasi (implication) menggantikan perangkai “jika...maka...(if...then...)”. Implikasi yang memakai tanda → disebut ilmplikasi material (material implication). Tabel kebenaranya seperti berikut:

A B A → B

F F TF T TT F FT T TGambar 1-6 Tabel kebenaran →

Hanya ada satu nilai F dari (A→B) jika A bernilai T dan B bernilai F, bukan sebaliknya. Pasangan yang terletak disisi kiri yakni A, disebut antecedent, sedangkan disisi kanan yakni B, disebut consequent. Oleh karena itu, implikasi juga disebut conditional, atau mengkondisikan satu kemungkinan saja dari sebab dan akibat.

Definisi: misalnya A dan B adalah proposisi. Implikasi “ A implikasi B”, yang yang disimbolkan dengan A→ B, adalah proposisi yang bernilai salah, jika nilai A bernilai benar dan B bernilai salah, dan jika lainnya pasti benar. Pada implikasi ini, disebut antecedent (atau hipotesis atau premis) dan B disebut consequence (atau kesimpulan).

Implikasi dapat menimbulkan salah pengertian jika dipahami dengan bahasa sehari-hari. Perhatikan pernyataan berikut: “jika hari ternyata benar-benar hujan, dan saya membawa payung, maka saya sebenarnya mengingkari pernyataan yang saya buat, tetapi justru jika saya membawa payung dan hari ternyata tidak hujan, sama saja saya berbohong. Sekali lagi perhatikan tebel kebenarannya, hanya ada satu nilai F pada (A→B) jika A bernilai T dan B bernilai F, lainnya pasti T.

Sejarah singkat :

15

Page 16: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Tabel kebenaran menjelaskan secara sistematis dar nilai-nilai kebenaran yang berasal dari priposisi-proposisi sederhana. Bentuk modern dari tabel kebenaran diperkenalkan oleh Emil Post (1987 – 1954) dan Ludwig Wittgenstein (1889 – 1951) pada sekitar tahun 1920-an. Namun demikian, tabel kebenaran sebenarnya telah digunakan oleh Gottlob Frege sewaktu ia mengembangkan teori Boole tentang elective function ( atau fungsi kebenaran). Notasi dari tabel kebenaran telah ada sejak zaman dahulu, yang digunakan oleh filsuf Yunani dan ahli logika bernama Philo dari Megara, dengan teorinya tentang Implikasi.

2.8 EKUIVALENSI [ ↔ ]

Equivalensi (equevalence) dengan simbol ↔ mengantikan perangkai “jika dan hanya jika (if and only if)”. Dapat juga disingkat dengan iff. Tabel kebenarannya sebagai berikut:

A B A↔BF F TF T FT F FT T T

Gambar 2-7 Tabel kebenaran ↔

Jadi nilai A ↔ B mempunyai nilai T jika pasangan A dan B bernilai sama, baik T maupun F. Jika pasangan berbeda pasti F.

Definisi: misalnya A dan B adalah proposisi. Ekuivalensi “A jika dan hanya jika B”, yang disimbolkan A↔B, adala proposisi yang bernilai benar, jika nilai A bernilai benar dan B bernilai benar , dan jika lainnya pasti benar.

Perangkai ↔ disebut biconditional, karena ia mengkondisikan atau merangkaikan dua ekspresi logika.

Jadi, sekarang semua perangkai “dan”, “atau”, “bukan”, “implikasi (jika..maka..)” dan “jika dan hanya jika” sudah mempunyai tabel kebenarannya masing-masing. Masih ada dua perangkai lain yang merupakan kebalikan dari perangkai “bukan dan (nand)” dan “bukan atau (nor)”.

2.9 PERANGKAI BUKAN DAN [│]

16

Page 17: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Tabel kebenarannya seperti berikut :

A B A│BF F TF T TT F T

T T FGambar 2-8 Tabel kebenaran │

Jika diperhatikan nilai kebenaran dari (A│B), maka hasilnya akan terlihat terbalik dari A B, oleh karena itu disebut “bukan dan (not and)” atau operator nand (kadang-kadang disebut sheffer stroke). Simbolnya berupa vertical sroke [│].

Definisi: misalnya A dan B adalah proposisi. Proposisi “A bukan B”, yang disimbolkan dengan A│B, adalah proposisi yang bernilai salah, jika nilai A bernilai benar dan B bernilai benar, dan jika lainnya past benar.

2.10 PERANGKAI BUKAN ATAU [↓]

A B A ↓ BF F TF T FT F F

T T FGambar 2-9 Tabel kebenaran ↓

Jika diperhatikan kebenaran dari nilai (AvB), maka hasilnya akan terlihat terbalik dari AvB, oleh karena itu disebut bukan “atau (not or)” atau operator nor. (disebut juga Peice Arrow). Simbolnya berupa [↓].

Definisi: misalnya A dan B adalah propsisi “A bukan atau B”, yan g disimbolkan dengan A ↓ B, adalah proposisi yang bernilai benar, jika nilia A bernilai salah dan B bernilai salah , dan jika lainnya pasti salah.

Semua operator dapat digunakan bersama-sama pada suatu argumen atau ekspresi logika dengan membentuk susunan proposisi majemuk dari yang sederhana sampai dengan yang rumit. Hal ini tentu dilakukan dengan mengubah pernyataan-pernyataan pada argumen menjadi variabel proposisional, dan merangkaikannya dengan operator yang relevan, dan akhirnya membuktikan validitas argumen tersebut.

17

Page 18: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

2.11 PERANGKAI XOR

Perangkai “XOR” (exlisive or), mempunyai tabel kebenaran A xor B berikut ini:

A B ABF F TF T FT F F

T T FGambar 2-10 Tabel kebenaran dari A+B

Jika diperhatikan, A xor B tampak terbalik dari A ↔ B yakni jika A dan B nilainya sama, maka hasilnya F, tetapi jika A dan B nilainya berbeda, maka hasilnya T.Definisi: Misalnya A dan B adalah proposisi. Proposisi “A xor B”, yang disimbolkan dengan A+B adalah bernilai benar jika A dan B bernilai sama, baik benar ataupun salah, jika A dan B berbeda pasti salah.

Semua perangkai yang telah dibahas di atas akan dipergunakan untuk membahas Bab-bab berikut, terutama perangkai ─, , v, → dan ↔, serta mengimplementasikan definisinya dalam tabel kebenaran untuk membuat tabel kebenaran yang lengkap pada expresi-expresi logika atau proposisi majemuk.

SOAL-SOAL LATIHAN

BAGIAN – 1 :Gunakan konstanta proposisional A untuk “Bowo kaya raya” dan B untuk “Bowo hidup bahagia”. Lalu ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini menjadi bentul logika!

(1) Bowo tidak kaya.(2) Bowo kaya raya dan hidup bahagia.(3) Bowo kaya raya atau tidak hidup bahagia.(4) Jika Bowo kaya raya, maka ia hidup bahagia.(5) Bowo hidup bahagia jika dan hanya jika ia kaya raya.

BAGIAN -2 :Berilah konstanta proposisional terserah anda , dan ubahlah pernyataan-pernyataan berikut menjadi bentuk logika!

18

Page 19: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

(1). jika bowo berada di Malioboro, maka dewi juga ada di Malioboro.

(2). pintu rumah Dewi berwarna biru atau coklat(3). berita itu tidak menyenangkan(4). bowo akan datang jika ia mempunyai kesempatan.(5). jika Dewi rajin kuliah, maka ia pasti pandai

BAGIAN – 3Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan tabel kebenaran!

(1). Apakah kebenaran dari nilai (A A)?(2). Apakah kebenaran dari nilai (A v A)?(3). Apakah nilai kebenaran dari (A A) dan (Av A)?(4). Apakah (A→B) mempunyai nilai kenenaran yang

sama dengan (B→A)?(5). Apakah (A→B)→C mempunyai kebenaran yang sama

dengan A→(B→C)?

BAGIAN - 4Buatah tabel kebenaran dengan semua kemungkinan nilai kebenaran dari ekspresi-ekspresi logika berikut ini!

(1). (A B)(2). A (A B)(3). ((A (B C)) . (B C)) (A C)(4). (A B) . (((A B) →A) B)(5). (A→B) → (B → A)(6). A ((C B) ↔ C)(7). ((A B) → C) A

19

Page 20: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

BAB IIIProposisi Majemuk

3.1 Pendahuluan

Perangkai logika digunakan untuk mengkombinasikan proposisi-proposisi atomik menjadi proposisi majemuk. Untuk menghindari keslahan tafsir akibat adanya ambiguitas (ambiguity) satu orang dengan lainnya, maka proposisi majemuk yang akan dikerjakan lebih dahulu akan diberi tanda kurung dan disebut fully parenthesized expression (fpe)

Proposisi mejemuk yang sangat rumit , dapat dipecah-pecah menjadi subekspresi-subekspresi, subekspresi dipecah menjadi sub ekspresi, dan seterusnya tergantung tingkat kerumitannya. Tehnik ini dinamakan Prsng. Tetapi, mungkin saja proposisi majemuk tidak memiliki tanda kurung, untuk itu harus ditentukan urutan proses pengerjaannya terlebih dahulu, menurut aturan tertentu.Sebelum membahas secara detail tentang proposisi majemuk , perlu diketahui istilah lain yang terdapat pada logika proposisional yakni ekspresi logika yang sebenarnya hanya nama lain dari bentuk-bentuk logika, termasuk didalamnya proposisi majemuk.

3.2 Ekspresi logika

Ekspresi logika (logical expressiioni) sebenarnya adalah proposisi-proposisi yang dibangun oleh variabel-variabel logika yang berasal dari pernyataan atau argumen. Jadi, variabel logika yang berupa huruf-huruf tertentu yang dirangkai dengan perangkai logika, dapat dinamakan ekspresi logika atau formula. Contoh: A ۸ B dan B saja, dapat disebut ekspresi logika, dimana A dan B adalah variable logika atau variabel proposisional.Setiap ekspresi logika dapat bersifat atomik atau majemuk tergantung dari variabel proposisional yang membentuknya bersama perngkai yang relevan.

Definisi: proposisi atomik berisi satu variabel proposisional atau satu konstanta proposisional.

Definisi: proposisi majemuk berisi minimum satu perangkai, dengan lebih dari datu variabel proposisional.

20

Page 21: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Seperti dijelaskan diatas, proposisi majemuk dapat menyebabkan tarjadinya ambiguitas, atau kesalahan penafsiran jika tanda kurung tidak dengan tepat diletakkan pada tempatnya yang benar.

Contoh 3-1 :Lihat contih argumen berikut:Jika Dewi rajin belajar, maka ia akan lulus ujian dan ia dapat pergi nonton bioskop.

Pernyataan diatas, dapat diubah menjadi variabel proposisional :A = Dewi rajin belajarB = dewi lulus ujianC = Dewi pergi nonton bioskop

Maka, jika diubah ekspresilogika adalah sebagai berikut:A → B ۸ C

Tetapi, persoalannya adalah data dua kemungkinan pengerjaan, yakni: ((A→B)۸C) atau (A→(B ۸C), dan kedua kemungkinan tersbut akan menghasilkan nilai kebenaran yang berbeda.Disinilah letak pentingnya pemberian tanda kurung biasa, sehingga menjadi fpi dan aturan pengoperasiannya.

3.3 SKEMA

Skema (schemas) merupakan cara untuk menyederhanakan suatu proposisi mejemuk yang rumit, dengan memberi tanda huruf tertentu untuk menggantikan suatu sub ekspresi ataupun sub-sub eksresi.

Definisi: semua ekspresi yang berisi identifikator-identifikator yang menunjukkan adanya suatu ekspresi logika disebut skema.

Suatu ekspresi logika tertentu , misalnya (A ۸ B) dapat diganti dengan P, sedangkan (A v B) dapat dianti dengan Q. Jadi P berisi variabel proposisional A dan B, demikian juga Q. P di sini bukan varibel proposisional, karena nilai P tergantung dari nilai A dan B.

Contoh 3-2 :P = (A B) dan Q = (A v B), maka (P → Q) = ((A B) → (A v B))

Sekarang perhatikan yang berikut ini :(1). Expresi apa saja berbentuk (P) disebut negasi.(2). Expresi apa saja berbentuk (P Q) disebut konjungsi.(3). Expresi apa saja berbentuk (P v Q) disebut disjungsi.

21

Page 22: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

(4). Expresi apa saja berbentuk (P → Q) disebut implikasi (conditional)

(5). Expresi apa saja berbentuk (P ↔ Q) disebut ekuivalensi (biconditional)

Contoh di atas ((A B) → (A v B)) disebut implikasi yang berisi konjungsi (AB) dan disjungsi (A v B).

Sekarang lihat aturan berikut ini : (1). Semua ekspresi atomik adalah fpe(2). Jika P adalah fpe, maka juga (P)(3). Jika P dan Q adalah fpe, maka juga (P Q), (P v Q), (P →

Q) dan (P↔Q)(4). Tak ada fpe lainnya.

Ekspresi-ekspresi logika yang dijelaskan di atas disebut well formed formulae (wff). jadi, wff adalah fpe demikian juga sebaliknya.

Jika ada suatu ekspresi logika yang di jelaskan di atas di sebut well-formed formulae (wff). Jadi wff adalah fpe demikian juga sebaliknya.

Jika ada suatu ekspresi logika (P). Maka P disebut skop negasi (scope of negation) dengan perangkai disebut perangkai utama (main connective) dari (P). maka contoh di atas, yakni (P→Q),dapat di uraikan sebagai berikut:

(P → Q) ↑

Skop kiri Perangkai utama skop kanan↓

((A B) → (A v B))

Gambar 3-1 perangkai utama dan sub perangkai

22

Page 23: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

BAB IVTAUTOLOGI

4.1 PENDAHULUAN

Mengubah suatu argumen atau pernyataan menjadi suatu ekspresi logika, tentunya harus mengenali subekspresi-subekspresinya sebagaimana dibahas di Bab 3 di atas. Salah satu cara yang telah diperkenalkan adalah teknik Parsing, yaitu dengan membentuk Parse Tree yang memudahkan pembentukan ekspresi logika, khususnya yang berbentuk proposisi majemuk (subekspresi-subekspresi).

Membuktikan validitas ekspresi-ekspresi logika dari suatu argumen dapat dilakukan dengan menggunakan tabel kebenaran. Caranya dengan memberi variabel proposisional pada setiap proposisi argumen tersebut lebih dahulu, kemudian membentuk proposisi majemuk untuk setiap pernyataan, dan akhirnya mengevaluasi dengan tabel kebenaran.

4.2 MENGEVALUASI VALIDITAS ARGUMEN

Tabel kebenaran memiliki aturan-aturan untuk setiap perangkat, dengan setiap pasangan nilai variabel proposisional yang dimungkinkan, sebagaimana telah dibahas pada bab sebelumnya .Sebelum mengevaluasi validitas suatu argumen, sebaiknya pernyataan-pernyataan dibentuk menjadi ekspresi logika lebih dahulu.

Contoh: Jika Anda mengambil mata kuliah logika matematika, dan jika Anda tidak memahami tautologi, maka Anda tidak lulus mata kuliah tersebut.

Untuk membuktikan validitasnya, berilah variabel proposisional yang relevan, misalnya :A = Anda mengambil kuliah logika matematikaB = Anda memahami tautologiC = Anda lulus mata kuliah

Maka bentuk ekspresi logikanya berupa proposisi majemuk seperti berikut:

(A B) C

23

Page 24: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Kemudian buatlah tabel kebenarannya dengan semua pasangan nilai A, B dan C yang dimungkinkan.

A B C B C A B (AB) C

F F F T T F TF F T T F F TF T F F T F TF T T F F F TT F F T T T TT F T T F T FT T F F T F FT T T F F F T

Gambar 4-1 Tabel kebenaran (AB) C

Tabel kebenaran tersebut cukup besar. Tabel kebenaran dengan seluruh nilai yang dimungkinkan dibuat dengan rumus: 2N. (N = jumlah variabel proposisional). Jadi, jika ada 3 variabel proposisional, yakni A, B dan C, maka ada 23 = 8 pasangan yang mungkin dari proposisional A, B dan C.

Persoalan yang mungkin muncul adalah membuat lebar kolom yang berbeda-beda untuk setiap tahap perhitungan nilai kebenaran dari setiap ekspresi logika yang berupa proposisi majemuk yang panjang. Persoalan ini dapat disederhanakan dengan memakai skema, misalnya:

P = (A B) CQ = (A B)R = B S = C

Dengan skema ini lebar kolom bisa diatur menjadi sama, tetapi jumlah baris masih tetap sesuai dengan jumlah pasangan yang mungkin dari setiap variabel proposisional.

Contoh 4-2:Tidak belajar, tidak lulus.

Kalimat tersebut dalam logika proposisional, harus dibaca lengkap, yakni :

Jika Anda tidak belajar, maka Anda tidak lulus.Maka bentuknya sekarang menjadi “jika…maka…”.Lalu proposisi

diubah menjadi variabel proposisional :

24

Page 25: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

A = Anda belajarB = Anda lulusSehingga akan menjadi :

A B

Contoh 4-3:Barang-barang yang dibeli di toko ini dapat dikembalikan, hanya jika berada dalam kondisi yang baik,dan hanya jika pembeli membawa bukti pembelian.

Pernyataan tersebut dapat diubah menjadi variabel proposisional :A = Barang-barang dapat dikembalikanB = Barang-barang dalam kondisi baikC = Pembeli membawa bukti pembelian

dan ekspresi logikanya:A (B C)

Jadi, suatu pernyataan, dan nantinya juga pernyataan-pernyataan dalam suatu argumen, dapat diubah menjadi ekspresi logika. Untuk membantu hal ini, dapat digunakan heuristik (heuristic) berikut:

Heuristik untuk Mengubah Pernyataan Menjadi Ekspresi Logika:[1] Ambil pernyataan-pernyataan yang pendek, tanpa kata “dan”,

“atau”, “jika…maka”, “jika dan hanya jika”, pada pernyataan tersebut yang bisa dijawab benar atau salah.

[2] Ubahlah pernyataan-pernyataan yang pendek tersebut dengan variabel-variabel proposisional. Rangkailah variabel-variabel proposisional dengan perangkai yang relevan

[3] Bentuklah menjadi proposisi majemuk jika memungkinkan, dengan memberi tanda kurung biasa yang tepat.

Contoh 4-4:Lihat sebuah pernyataan berikut ini:

25

Page 26: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Jika Badu belajar rajin dan sehat, maka Badu lulus ujian, atau jika Badu tidak belajar rajin dan tidak sehat, maka Badu tidak lulus ujian.

Langkah 1:Menentukan proposisi-proposisi yang tepat:(1) Badu belajar rajin (2) Badu sehat(3) Badu lulus ujian

Langkah 2:Mengganti proposisi dengan variabel proposisi:A = Badu belajar rajin B = Badu sehatC = Badu lulus ujian

Langkah 3:Perangkai yang relevan adalah implikasi (), negasi () dan “atau ()” terakhir “dan ()”.

Langkah 4:Mengubahnya menjadi ekspresi logika berupa proposisi majemuk:

((A B) C) ((A B) C)

Heuristik meerupakan semacam pedoman yang disarankan untuk mengerjakan sesuatu, tetapi tidak selalu harus diikuti. Dalam bahasa Inggris heuristik disebut rule of thumb.

Jika suatu argumen terdiri dari banyak pernyataan dan diikuti satu pernyataan berupa kesimpulan, maka validitasnya ditentukan dari hasil tabel kebenaran, yakni: premis-premis dari argumen harus benar sehingga kesimpulan yang diambil dari premis-premis tersebut harus benar. Maka perhatikan tentang Tautologi berikut ini.

4.3 TAUTOLOGI

Argumen yang validitasnya dibuktikan dengan tabel kebenaran harus menunjukkan nilai benar maka argumen tersebut valid, jika tidak maka sebaliknya. Jika pada tabel kebenaran untuk semua pasangan nilai variabel-variabel proposisional yang ada bernilai benar atau T, maka disebut tautologi (tautology).

Contoh 4-5: Lihat ekspresi logika dari suatu pernyataan berikut ini:

(A B) (C (B C))

26

Page 27: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Buat tabel kebenarannya sebagai berikut:

C(BC

(A B) (C (B C))

A B C B C A B B CF F F T T F T T TF F T T F F F T TF T F F T F T T TF T T F F F T T TT F F T T F T T TT F T T F F F T TT T F F T T T T TT T T F F T T T T

Gambar 4-2 Tabel kebenaran (A B) (C (B C))

Ekspresi logika di atas adalah tautologi karena pada tabel kebenaran, semua pasangan menghasilkan nilai T.

Contoh 4-6:Apakah (AA) adalah tautologi?Pembuktian: Buatlah tabel kebenarannya:

A A AAF T TT F T

Gambar 4-3 Tabel kebenaran AA

Jadi, (AA) adalah tautologi, dan juga disebut Exluded Middle Law.

Contoh 4-7:Apakah ABB adalah tautologi?Pembuktian: Buatlah tabel kebenarannya:

27

Page 28: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

A B AB AB ABBF F F T T

F T F T TT F F T TT T T F T

Gambar 4-4 Tabel kebenaran ABB

Jadi, ekspresi di atas juga Tautologi

Tautologi juga dapat ditulis dengan symbol ╞ (suatu metasymbol, bukan perangkai logika). Maka pada ekspresi logika di atas dapat ditulis:

╞ A B BContoh 4-8:Diketahui : Jika ABB adalah tautologiBuktikan : (A B C) C juga tautologi

Bukti :Misalnya memakai skema P dan Q.I. Masukkan ke ekspresi logika pertama menjadi PQQII. Misalnya: P = AB sedangkan Q = C, masukkan ke ekspresi

logika yang dibuktikan. Maka: (A B C) C akan menjadi PQQIII. Lihat (I) dan (II) akan terlihat sama, maka memang tautologi.

Jika tautologi dipakai pada suatu argumen, berarti argumen harus mempunyai nilai T pada seluruh pasangan yang ada pada tabel kebenaran yang membuktikan bahwa argumen tadi valid, yang juga kadang-kadang disebut argumen yang kuat (sound argument).

Sebagaimana telah dibahas pada bab-bab terdahulu, argumen haruslah memiliki premis-premis dan mempunyai kesimpulan. Jika premis-premis benar, maka kesimpulan juga harus benar.

Contoh 4-9:Lihat pada argumen berikut:Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kuliah.

28

Page 29: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

diubah ke variabel proposisional:A = Tono pergi kuliah B = Tini pergi kuliah C = Siska tidur

diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

(1) A B (premis) (2) C B (premis) (3) (AC) B (kesimpulan)

maka sekarang dapat ditulis:((AB) (CB)) ((AC)B)

atau{AB, CB}╞ (AC)B

kemudian buatlah tabel kebenaran dari ekspresi logika tersebut:

((AB) (CB ((AC)B)

A B C AB CB (AB) (CB) AC (AC)BF F F T T T F T TF F T T F F T F TF T F T T T F T TF T T T T T T T TT F F F T F T F TT F T F F F T F TT T F T T T T T TT T T T T T T T T

Gambar 4-5 Tabel kebenaran ((AB) (CB)) ((AC)B)

Jika tabel kebenaran menunjukkan hasil tautologi, maka argumen tersebut valid. Dalam logika, tautologi dapat ditulis T atau 1 saja. Jadi jika A adalah tautologi, maka A = T atau A = 1.

Definisi: Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar di dalam tabel kebenarannya, tanpa mempedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya, disebut tautologi

29

Page 30: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Sekarang perhatikan pembahasan tentamg kontradiksi dan contingent pada pembuktian validitas argumen berikut ini.

4.4 KONTRADIKSI

Kebalikan dari tautologi adalah kontradiksi (contradiction) atau absurditas (absurdities), di mana semua nilai pasangan nilai dari tabel kebenaran menghasilkan nilai F.

Contoh 4-10:Lihat pada ekspresi logika berikut:

A ATabel kebenarannya seperti berikut:

A A A AF T FT F F

Gambar 4-6 Tabel kebenaran dari A A

Definisi: Sutau ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa mempedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya, disebut kontradiksi.

Jadi, (AA) pada tabel kebenaran semua bernilai F, sehingga disebut kontradiksi.

Suatu kontradiksi pada argumen akan dijumpai jika antara premis-premis bernilai T, sementara kesimpulan bernilai F. Namun hal ini tidak mungkin terjadi, karena premis-premis yang benar harus menghasilkan kesimpulan benar. Dalam bahasa logika, konjungsi dari semua premis dengan negasi dari kesimpulan selalu bernilai F, dan terjadilah kontradiksi. Negasi kesimpulan berarti memberi nilai F pada negasi kesimpulan.

Contoh 4-11:Lihat ekspresi logika berikut ini:

((A B) A) B

Tabel kebenarannya seperti berikut:

(( A B) A) B

30

Page 31: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

A B A B ( A B) (( A B) A)F F T F F F FF T T T T T FT F F T T F FT T F F T F F

Gambar 4-7 Tabel kebenaran dari (( A B) A) B

Jadi ekspresi logika di atas terjadi kontradiksi. Dalam logika, kontradiksi dapat ditulis F atau 0 saja, sehingga jika A adalah kontradiksi, maka A = F atau A = 0.

4.5 CONTINGENT

Jika semua nilai kebenaran menghasilkan nilai F dan T maka terjadi contingent atau formula campuran (mixed formulae).

Contoh 4-12:Lihat contoh pada ekspresi logika berikut:

((A B) C) A

Tabel kebenarannya sebagai berikut:

((A B) C) A

A B C A B A B CF F F F T FF F T F T FF T F F T FF T T F T FT F F F T TT F T F T TT T F T F TT T T T T T

Tabel 4-8 Tabel kebenaran dari ((AB)C)ADefinisi: Sutau ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa mempedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya, disebut contingent.

Contoh 4-13:Perhatikan ekspresi logika berikut ini:

31

Page 32: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

((A B) (B C)) (C A)

Tabel kebenarannya sebagai berikut:

A B C B C A B B C C AF F F T T T F F F TF F T T F T T T T TF T F F T T T F T FF T T F F T T T T TT F F T T F F T F TT F T T F F T T F TT T F F T T T T T TT T T F F T T T T T

Gambar 4-9 Tabel kebenaran dari (( A B) (B C)) (C A)

Nilai-nilai kebenaran pada nilai kebenaran sebagai hasil akhir di tabel kebenaran tidak selalu harus urut antara F dan T, yang penting ada T dan ada F.

Argumen yang memiliki nilai kebenaran contingent, harus memilih nilai-nilai kebenarannya hanya pada T. perhatikan bahwa masih ada premis-premis yang T dan F, tetapi kesimpulan T. Ingat bahwa (F T = T). Pada kasus ini argumen tetap dianggap tidak valid karena yang bukan tautologi - atau apa saja asal bukan tautologi - dianggap tidak valid. Terdapat istilah yang penting pada tautologi, yakni ekuivalen secara logis (logically equivalence).

Sejarah Singkat:Gottlob Frege ( 1848-1925) dapat disebut sebagai bapak logika

matematika modern abad XIX bersama-sama dengan George Boole. Frege lahir di Wismar, Mecklenburg-Vorpommern. Ia belajar di Universities of Jena and Gottingen, dan kemudian bergabung di fakultas matematika di Jena. Sebelum muncul Frege dan Boole, logika boleh dikatakan berhenti selama hampir 2000 tahun sesudah era Aristoteles, filsuf Yunani, yang mengembangkan bentuk silogistik dari penalaran.

Sumbangan Frege yang terbesar adalah di bidang filosofi matematika, filosofi bahasa dan dasar-dasar aksiomatika modern dari matematika dan logika. Tujuan utamanya adalah membuktikan validitas setiap tahap pembuktian matematika dengan membuat asumsi yang eksplisit, aksioma dan aturan-aturan dari deduksi, sehingga menghilangkan intuisi dari argumen matematika. Ia yakin bahwa aritmatika adalah dasar dari sebagian logika dan dapat dieksprsikan pada semua konsep dan formalisasi logika. Ia

((A B) (B C))

(( A B) (B C)) (C A)

32

Page 33: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

mengembangkan berbagai notasi simbolik, seperti kuantor dan variabel, dan menjadi pondasi logika matematika modern .

Karya Frege yang terkenal adalah: Begriffsshrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (1879) atau Conceptual Notation, Die Grundlagen der Arithmetik (1884) atau Foundation of Aritmetic, dan Grundgesetze der Arithmetik (1893-1903) dan sebagian diantaranya diterjemahkan menjadi The Basic Laws of Arithmetic: An Exposition of the System (1965). Karya-karya ini sangat mempengaruhi filosof Inggris, Bertrand Russell.

Ia terkenal sebagai guru yang sangat perhatian, dengan keahlian utamanya pada topik-topik yang rumit. Hidupnya cukup tenang, walaupun sayangnya - ia kehilangan orang-orang yang dicintainya sangat dini. Ayahnya meninggal waktu ia masih anak-anak. Anak dan istrinya juga meninggal pada usia muda. Frage hanya menerima publikasi kecil selama hidupnya, tetapi sekarang ia menjadi salah satu filosof yang karyanya banyak dipelajari.

RINGKASAN(1) Tabel kebenaran dari ekspresi-ekspresi logika yang berupa

proposisi majemuk dan dari suatu pernyataan dan argumen dibuat berdasarkan tabel kebenaran untuk setiap perangkai.

(2) Tabel kebenaran dapat menunjukkan hasil tautologi jika nilai kebenaran yang dihasilkan semuanya T, dan kontradiksi jika semua F, sedangkan contingent jika ada T dan ada F.

(3) Argumen yang terbukti tautologi, dianggap valid, sedangkan yang bukan (kontradiksi dan contingent), dianggap tidak valid.

SOAL-SOAL LATIHAN

BAGIAN-1:Tentukan apakah dari ekspresi-ekspresi logika berikut ini termasuk tautologi, kontradiksi atau contingent!(1) A (B A)(2) (B A) A(3) A A(4) (A B) (B A)

33

Page 34: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

(5) (A (B C)) ((A B) (A C))(6) (A (A B)) B(7) ((A B) (A B)(8) ((A B) (B C)) (AC)(9) ((A B) ((A B) (A B)(10) (B (A B)) A(11) (A (B C)) ((A B) (A C))(12) (A B) (A B) B

BAGIAN-2:Jika (AA) adalah tautologi, buktikan bahwa ekspresi-ekspresi logika berikut ini adalah tautologi!(1) (A B) (A B)(2) A A(3) ((A C) B) ((A C) B)

BAGIAN-3:Buktikan hukum-hukum logika, yakni:(1) Hypothetical Syllogism(2) Disjunctive Syllogism(3) Modus Ponens(4) Modus Tollensadalah tautologi dengan tabel kebenaran!

34

Page 35: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

BAB VEKIUVALENSI LOGIS

5.1 PENDAHULUAN

Pada Bab 4 telah dibahas bahwa ekspresi logika dapat termasuk tautologi, kontradiksi atau contingent. Bab ini akan membahas persamaan-persamaan antara dua buah ekspresi logika yang mungkin ekuivalen (sama), mungkin berbeda, yang dibuktikan dengan tabel kebenaran.

5.2 EKUIVALEN SECARA LOGIS

Jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi atau kontradiksi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis. Lain halnya dengan contingent, di mana ia memiliki semua nilai T dan F. Jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama, maka contingent juga disebut ekuivalen secara logis.

Contoh 5-1:Perhatikan pernyataan berikut ini:(1) Dewi sangat cantik dan peramah(2) Dewi peramah dan sangat cantik

Kedua pernyataan tersebut di atas, secara sekilas akan tampak ekuivalen atau sama saja, yang dalam bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan berikut ini:A = Dewi sangat cantikB = Dewi peramah

Maka ekspresi logika tersebut adalah:(1) A B(2) B A

Jika dikatakan dua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, maka dapat ditulis:

(A B) (B A)

35

Page 36: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Ekuivalensi logis dari kedua ekspresi logika dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran berikut ini:

A B A B B A

F F F F

F T F FT F F F

F T T TGambar 5-1 Tabel kebenaran (A B) (B A)

Dalam tabel kebenaran di atas, walaupun setiap ekspresi logika memiliki nilai T dan F, tetapi karena terletak pada urutan yang sama, maka tetap dikatakan ekuivalen secara logis. Seandainya urutan T dan F tidak sama, maka tidak bisa dikatakan ekuivalen secara logis.

Definisi: Proposisi A dan B disebut ekuivalen secara logis jika AB adalah tautologi. Notasi atau simbol A B menandakan bahwa A dan B adalah ekuivalen secara logis. Proposisi dapat diganti dengan ekspresi logika berupa proposisi majemuk.

Tabel kebenaran merupakan alat untuk membuktikan kebenaran ekuivalen secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut.

Contoh 5-2:Lihat kalimat berikut ini:

(1) Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur(2) Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur

Secara intuitif dapat ditebak bahwa kedua pernyataan di atas sebenarnya sama saja, tetapi apakah benar demkian jika dibuktikan dengan tabel kebenaran berdasarkan ekspresi logika. Untuk itu perlu diubah dahulu menjadi ekspresi logika dengan memberi variabel proposisional:

A = Badu pandaiB = Badu jujur

Maka kedua pernyataan tersebut menjadi:(1) A B(2) ( A B)

36

Page 37: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Terbuktilah sekarang bahwa berdasarkan tabel kebenaran, kedua ekspresi logika di atas ekuivalen.

A B A B A B ( A B)F F F T T

F T F T T

T F F T T

T T T F F

Gambar 5-2 Tabel kebenaran (A B) dan ( A B)

Perhatikan: Walaupun kedua ekspresi logika di atas memiliki nilai kebenaran

yang sama - meskipun ada nilai T dan F - keduanya hanya dapat dikatakan ekuivalen secara logis jika dihubungkan dengan perangkai ekuivalensi dan akhirnya menghasilkan tautologi.

Perhatikan lanjutan tabel kebenarannya sebagai berikut:

(A B) ( A B)TTTT

Gambar 5-3 Tabel kebenaran (A B) ( A B)

Kedua ekspresi di atas dapat dikatakan ekuivalen secara logis, karena semua nilai kebenarannya bernilai T atau tautologi.

5.3 KOMUTATIF

Di atas sudah dibahas bahwa (AB) (BA). Dengan perangkai ,variabel kedua proposisional tersebut dapat saling menggantikan tempat tanpa mengubah nilai kebenaran ekspresi logika keduanya. Hal ini disebut komutatif (commutativity).Jadi: (AB) (BA)

Demikian juga dengan perangkai :

(AB) (BA)dan perangkai :

37

Page 38: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

(AB) (BA)

Sifat komutatif dari ketiga perangkai tersebut di atas, dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran.

Lain halnya dengan perangkai (implikasi). Perangkai ini tidak memiliki sifat komutatif, oleh karena itu (AB) dengan (BA) memiliki nilai kebenaran yang berbeda. Lihat pembuktiannya pada tabel kebenaran berikut ini:

A B AB BCF F T TF T T FT F F TT T T T

Gambar 5-4 Tabel kebenaran AB dan BA

Dari tabel tersebut terlihat bahwa ekspresi logika AB dengan BA keduanya tidak ekuivalen.

5.4 ASOSIATIF

Penempatan tanda kurung biasa pada suatu ekspresi logika memegang peran penting, karena tanda kurung menunjukkan urutan prioritas proses pengerjaan. Perhatikan masalah fpe pada bab-bab terdahulu.

Jika diterapkan pada dua buah ekspresi logika, penempatan tanda kurung biasa dapat diubah tanpa mengubah nilai kebenarannya pada tabel kebenaran yang dibuat.

Contoh 5-3: Lihat berikut ini:

((A B) C) dan (A (B C))

38

Page 39: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Tabel kebenarannya adalah sebagai berikut:

A B C AB (AB)C BC A(BC)F F F F F F FF F T F F F FF T F F F F FF T T F F T FT F F F F F FT F T F F F FT T F T F F FT T T T T T T

Gambar 5-5 Tabel kebenaran (A B) C dan A (B C)

Maka dapat dibuktikan bahwa:((A B) C) (A (B C))

Proses pemindahan tanda kurung bisa tanpa mengubah nilai kebenarannya ini disebut asosiatif (associativity).

Asosiatif lain biasanya terjadi pada perangkai yang sama, seperti dan . Contoh ((AB)C) (A(BC)). Lain halnya dengan perangkai (implikasi). Jika pada AB dan BA sudah bernilai tak sama, tentu saja ((AB)C) dan (A(BC)) juga pasti tidak sama.

Karena itu jika pada satu ekspresi logika perangkainya berbeda, jangan sembarangan memindah tanda kurung. Hal ini akan menghasilkan nilai kebenaran yang berbeda.

Contoh 5-4:Lihat:

((A B) C) dan (A ( B C))dengan tabel kebenaran:

A B C AB (AB)C BC A(BC)F F F F F F FF F T F T T FF T F F F T FF T T F T T FT F F F F F FT F T F T T TT T F T T T TT T T T T T T

Gambar 5-6 Tabel kebenaran (A B) C dan A ( B C)Nilai kebenaran dari (AB)C dan A(BC) terbukti tidak sama,

walaupun urutan perangkainya sama. Hal ini disebabkan oleh letak tanda

39

Page 40: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

kurung yang berbeda, yang menyebabkan adanya perbedaan nilai kebenaran.

Jadi, pada gabungan perangkai dan , pemberian tanda kurung yang berbeda menyebabkan nilai kebenaran yang berbeda pula. Sedangkan pada perangkai (implikasi), karena pada AB dan BA sudah bernilai tak sama, maka ((AB)C) dan (A(BC)) juga pasti tidak sama.

5.5 HUKUN-HUKUM LOGIKA

Dari ekuivalensi secara logis, dapat dikembangkan hukum-hukum logika untuk membuktikan berbagai keperluan, termasuk membuktikan validitas sebuah argumen. Hukum-hukum logika antara lain berasal dari ekspresi-ekspresi logika berdasarkan pernyataan-pernyataan, oleh karena itu kebenarannya dapat dibuktikan melalui pernyataan tersebut.

Contoh 5-5:Lihat:

(1) Jika Anda tidak belajar, maka Anda akan gagal(2) Anda harus belajar, atau Anda akan gagal

Untuk membuat ekspresi logika, maka variabel proposisional harus diganti lebih dahulu seperti berikut:

A = Anda belajarB = Anda gagal

Maka ekspresi logikanya akan menjadi:(1) A B(2) A B

Buktikan bahwa AB AB dengan memakai tabel kebenaran.

A B AB A ABF F T T TF T T T TT F F F FT T T F T

Gambar 5-7 Tabel kebenaran AB dan AB

Ternyata AB AB karena memiliki nilai kebenaran yang sama. Dari tabel kebenaran tersebut juga dapat dibuktikan bahwa perangkai (operator) dapat diganti dengan perangakai dan .

40

Page 41: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Sekarang perhatikan hukum De Morgan (De Morgan’s law) berikut:(1) (A B) A B(2) (A B) A B

Kebenaran hukum De Morgan juga dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran. Ingat, bahwa selama nilai kebenarannya sama, maka tetap disebut ekuivalen.

Seperti hukum-hukum lainnya, hukum ini pun dapat dilakukan terbalik. Jadi, (A B) A B tetap akan sama dengan A B (A B).

Sejarah Singkat :Augustus De Morgan (1806-1871) dilahirkan di India. Ayahnya seorang

kolonel di ketentaraan India. Keluarga De Morgan pindah ke Inggris ketika dia berumur 7 tahun. Ia masuk sekolah pribadi dan sejak kecil sangat berminat di bidang matematika. De Morgan belajar di Trinity College, Cambridge, lulus tahun 1827. Ia mendapat pekerjaan di University College, London, di tahun 1828, tetapi sempat berhenti dan kembali tahun 1836 dan terus di sana sampai tahun 1866.

De Morgan merupakan guru yang lebih menekankan prinsip daripada teknik. Di antara muridnya adalah Augusta Ada, Countess of Lovelace, yang membantu Charles Babbage mewujudkan mesin komputasi, awal mesin komputer. De Morgan sudah mengenali kemampuan Augusta Ada di bidang matematika sejak dini.

De Morgan juga seorang penulis yang produktif. Ia menulis lebih dari 1000 artikel selama 15 periode. De Morgan membuat berbagai buku teks di berbagai bidang, misalnya logika, probabilitas, kalkulus dan aljabar. Tahun 1838, ia menjelaskan pembuktian yang penting yang disebut mathematical induction, suatu pengertian yang sangat ia kuasai.

Tahun 1842, De Morgan juga menyumbang pengembangan logika simbolik. Ia menemukan berbagai notasi yang membantunya membuktikan ekuivalensi proposisional, seperti hukum yang disebut sesuai dengan namanya. De Morgan mungkin juga orang yang pertama kali mendefinisikan pengertian limit dan pengembangan test tentang konvergensi dari infinite series.

Pada tahun 1837 De Morgan menikah dengan Sophia Freud, yang menulis biografi De Morgan tahun 1882. Tugas riset, mengajar dan menulis menyebabkannya hanya menyisakan sedikit waktu bagi keluarganya dan kehidupan sosialnya. Walaupun begitu, ia banyak dikenal karena berbagai ilmu yang dikembangkannya, sifat humorisnya dan keramahtamahannya.

Contoh 5-6:Hukum-hukum logika lainnya dapat dilihat berikut ini:

(1) Jika Badu tidak sekolah, maka Badu tidak akan pandai(2) Jika Badu pandai, maka Badu pasti sekolah

41

Page 42: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Untuk membuktikan ekuivalensi kedua pernyataan tersebut, maka harus di ubah menjadi ekspresi logika seperti berikut:A = Badu sekolahB = Badu pandai

Maka akan menjadi:(1) A B(2) B A

Pembuktian ekuivalensi dilakukan dengan tabel kebenaran seperti berikut ini:

A B A B AB BAF F T T T TF T T F T TT F F T F FT T F F T TGambar 5-8 Tabel kebenaran AB dan BA

dan terbukti bahwa:A B B A

Sekarang dengan perangkai (ekuivalensi) atau if and only if, ekivalen antara dua ekspresi logika ini dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran:

(1) A B(2) (A B) (B A)

Tabel kebenarannya:

A B AB AB BA (AB)(BA)F F T T T TF T F T F FT F F F T FT T T T T T

Gambar 5-9 Tabel kebenaran A B dan (A B)(B A)

Jadi, dapat dibuktikan bahwa:A B (A B)(B A)

Dalam bahasa lainnya:(1) Jika A dan B mempunyai nilai kebenaran yang sama, maka…

42

Page 43: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

(2) Jika A maka B, dan jika B maka A.

Sekarang perhatikan tabel kebenaran berikut untuk membuktikan AB (AB).

A B AB A B AB (AB)F F F T T T FF T F T F T FT F F F T T FT T T F F F T

Gambar 5-10 Tabel kebenaran A B dan (AB)

Jadi, dapat dibuktikan bahwa:A B (A B)

Selain itu perangkai dapat diganti dengan kombinasi perangkai dan . Begitu juga perangkai di atas dapat diganti dengan kombinasi perangkai dan .

A B (A B) (B A) (A B) (B A)

Karena itu sekarang hukum De Morgan dapat dimodifikasi, agar lebih sederhana. Lihat hukum ke-1:

(A B) A B(A B) (A B)

A B (A B)

Hukum ke-2 akan menjadi seperti berikut:A B (A B)

Dalam tautologi, nilai kebenaran dapat diganti seperti berikut:True 1False 0

Dan sekarang dapat dicoba pada tabel kebenaran seperti berikut:

A 1 0 A1 A0F T F F FT T F T F

Gambar 5-11 Tabel kebenaran A1 dan A0

43

Page 44: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Dengan melihat nilai pada tabel kebenaran dapat disimpulkan bahwa:A1 A (Identity of )A0 0 (Zero of )

Selain itu dengan tabel kebenaran, dapat dibuktikan pula bahwa:A1 1 (Identity of )A0 A (Zero of )

Berikut ini akan dibuat tabel yang berisi hukum-hukum logika yang penting dan banyak digunakan untuk melakukan operasi logika. Semua hukum-hukum tersebut dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran.

Biasanya hukum-hukum tersebut berpasangan (kecuali pada hukum negasi ganda atau Law of Double Negation), sehingga disebut pasangan ganda (Dual Pairs). Lihat Tabel 5-1.

RINGKASAN

(1) Ekspresi-ekspresi logika dapat ekuivalen secara logis jika pada tabel kebenaran memperlihatkan nilai-nilai kebenaran yang sama.

(2) Jika variabel-variabel proposisional dapat saling bertukar tempat dan masih bernilai sama, dinamakan komutatif, sedangkan jika letak tanda kurung bisa dipindah-pindahkan, maka disebut asosiatif.

(3) Ekspresi-ekspresi logika yang mempunyai nilai sama disusun dan dijadikan hukum-hukum pokok logika dan biasanya berpasangan. Hukum-hukum tersebut misalnya De Morgan’s Laws, Idempotence Law, Identity Laws, Dominition Laws dan sebagainya.

Tabel 5-1 Tabel hukum-hukum pokok logika (Daftar Ekuivalensi)

HUKUM NAMA

44

Page 45: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

A1 AA0 A

Identity of (Identity Laws)Zero of (Identity Laws)

A1 1A0 0

Identity of (Dominition Laws)Zero of (Dominition Laws)

AA 1AA 0

Tautology (Excluded Middle Law)Law of Contradiction

AA AAA A

Idempotence LawsIdempotence Laws

A A Law of Double NegationAB BAAB BA

Commutativity (Commutative Laws)Commutativity (Commutative Laws)

(AB)C A(BC)(AB)C A(BC)

Associativity (Assosiative Laws)Associativity (Assosiative Laws)

A(BC) (AB)(AC)A(BC) (AB)(AC)

Distributivity (Distributive Laws)Distributivity (Distributive Laws)

A(AB) AA(AB) A

AbsorptionAbsorption

A(AB) ABA(AB) AB

AbsorptionAbsorption

(AB) AB(AB) AB

De Morgan’s LawDe Morgan’s Law

(AB)(AB) AAB ABAB (AB)AB (AB)(AB)AB (AB)(BA)

SOAL-SOAL LATIHAN

BAGIAN-1 :Buktikan bahwa ekspresi-ekspresi logika berikut ini ekuivalen, dengan menggunakan tabel kebenaran!

(1) AB (AB) (BA)

45

Page 46: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

(2) A(AB) 1(3) (AB) C (AB) C(4) A(BC) (AB) C(5) AB (AB)(6) ((AB) B) 0(7) ((A(BC)) (A(BC)))A 1

BAGIAN-2:Buktikan hukum-hukum logika yakni:

(1) Hypothetical Syllogism(2) Disjunctive Syllogism(3) Modus Ponens(4) Modus Tollens

adalah ekuivalen dengan 1 atau tautologi!

46

Page 47: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

BAB VIPENYEDERHANAAN PROPOSISI MAJEMUK

6.1 PENDAHULUANDi atas sudah dibahas tentang ekuivalensi serta menemukan hukum-

hukum pokok logika yang diperoleh dari ekuivalensi ekspresi-ekpresi

logika melalui pembuktian tabel kebenaran. Bab ini membahas

penggunaan hukum-hukum logika pada operasi logika dinamakan

penyederhanaan (simplifying).

Ingat bahwa sebenarnya berbagai macam ekuivalensi dari berbagai

ekspresi logika memberikan kemudahan untuk penyederhanaan.

Karena dapat membuat bentuk ekspresi logika yang rumit menjadi

sangat sederhana.

6.2 OPERASIONAL PENYEDERHANAANOperasi-operasi penyederhanaan dapat dilakukan dengan

menggunakan Tabel 5-1 yang berisi berbagai hukum logika, baik

yang memiliki nama maupun tidak. Perhatikan operasi

penyederhanaan berikut ini beserta hukum yang digunakan yang

tertulis di sisi kanannya. Penyederhanaan eksposisi logika atau

bentuk-bentuk logika ini dibuat sederhana mungkin.

Contoh 6-1 :

( A AW ) ( A A )

A ( A A ) Zero of

A 1 Tautologi

A Identity

47

Page 48: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Contoh 6-2 :

( A A ) ( ABC )

( A A ) A( BC )) Asosiatif

A ( B (B C )) Distributif

A (( B B) ( BC )) Distributif

A (1 ( B C )) Tautologi

A ( B C ) Identity

Contoh 6-3 : ((A (B C))A(A (B C))) A

((A ( BvC) ( Av ( Bv C)))vA A 8

( (A ( BvC) v ( Av ( Bv C)))vA De Morgar’s

Law

(( Av ( BvC)) v( Av ( Bv C)))vA De-

Morgan's Law

(( Av( B C)) v ( A ( B C)))v

De- Morgan's Law

(( Av(B C) v (A (BC)vA Law of Double

N

( Av(B C) v (A(BC))vA Asosiatif

( Av(B C) v Av(A (BC ) Komutatif

( Av (B C) v (Av(A (BC ))) Asosiatif

( Av (B C) v A Assorption

Av( Av (B C) Komutatif

(Av( Av (B C)) Asosiatif

(Av A) Absorption

1 Tautologi

Contoh 6-4:

48

Page 49: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

( A B) ((A B) A)

( Av B) v ( ( Av B)v A)) A-B

( A B)v( A B) v A)) De

Morgan's Law

( AB)v(A B)v A)) La of Double N

( AB)v(A( A B)) Komutatif

( AB)v( Av ( A B)) Absorption

( AB)v( Av B) Asosiatif

( Av B) v Av B komutatif

A ( Av B) v B Asosiatif

Av B Absorption

Penyederhanaan akan berhenti pada bentuk ekspresi logika yang

paling sederhana, dan sudah tidak mungkin disederhanakan lagi.

Ekuivalen-ekuivalen sebenarnya memberikan aljabar dari ekspresi-

ekspresi, dan aljabar tersebut merupakan suatu instance of class

(atau type) dari aljabar yang dinamakan Aljabar Boole (Boolean

algebras).

6.3 MENGHILANGKAN PERANGKAI DANSudah dibahas di atas, bahwa perangkai dasar sebenarnya

hanya , dan . Jadi, semua perangkai, dapat dijelaskan hanya

dengan tiga perangkasi dasar atau alamiah tersebut. Dengan

demikian, perangkai implikasi (conditional) dan ekuivalen

(biconditional) dapat diganti dengan perangkai dasar.

Untuk perangkai implikasi, dapat digunakan hukum logika pada tabel

5-1:

(A B) AvB

Sedangkan untuk perangkai ekuivalen, dapat digunakan hukum

logika berikut:

49

Page 50: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

(2) (A B) (AB)v( A B)

(3) (A B) (A B) (B A)

Contoh 6-5:

Hilangkan tanda dari logika no: 3 di atas!

(A B) (A B) (B A)

( AvB) ( AvB) A B

( AvB) (Av B) Komutatif

Contoh 6-6:

Hilangkan tanda dan (dari ekspresi logika berikut ini:

(A B) C) v ((CD) (BvD))

(( AvB) C) v ((C D) (BvD)) A B

(( AvB) C) v (((C D) (D C)) (BvD)) A B

(( AvB) C) v ((( C v D) ( D v C)) (BvD)) A B

(( AvB) C) v (( C v D) ( D v C)) (BvD)) Asosiatif

Sekarang sudah hilang semua perangkat dan dari ekspresi

logika yang diinginkan. Tetapi, apakah bentuk logika yang diperoleh

masih bisa disederhanakan lagi? Hal ini bisa dicoba dengan hukum-

hukum logika.

6.4 PERANGKAI CUKUPPerangkai cukup (sufficiently connected) sebenarnya hanya ingin

menunjukkan bahwa ekspresi atau bentuk logika dengan perangkai

apa saja dapat diubah menjadi ekspresi logika dengan memakai apa

saja dapat diuba menjadi eskpresi logika dengan memakai perangkai

dasar atau perangkai ilmiah, yakni , dan . Bahkan ekspresi logika

dengan perangkai dapat diubah menjadi dan , dan bentuk logika

dengan perangkai dapat diubah dengan memakai perangkai dan

. Perhatikan contoh berikut :

Contoh 6-7:

50

Page 51: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

(A A)

Av A De Morgan’s Law

AvA Law of Double

Negation

Sampai di sini sudah terbukti, tetapi masih dapat disederhanakan :

1 Tautologi

Contoh 6-8:

(Av A)

A A De Morgan’s Law

AA Law of Double Negatio

Untuk contoh dengan perangkai dan dapat dilihat pada tebel 5-1

Sekarang bagaimana dengan perangkai Nand dan Nor yang tabel

kebenarannya telah dibahas pada Bab 2 di atas? Apakah memang

kedua perangkai tersebut perangkai cukup dan dapat dijelaskan

hanya dengan , dan . ?

Kita mulai denan perangkai Nand – yang sebenarnya juga dapat

ditulis (AB) -dengan membuat tabel kebenaran seperti berikut :

A A A A A

F F T T

T T F F

Gambar 6-1 kebenaran A/A dan A

Perhatikan tabel kebenaran tersebut, hasilnya ternyata :

AA A

Lalu lihat tabel kebenaran berikut ini :

A B A B (AB)(AB) AB

F F T F F

F T T F F

51

Page 52: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

T F T F F

T T F T T

Gambar 6-2 tabel kebenaran (AB)(AB) dan AB

Hasilnya ternyata :

(AB)(AB) AB

Dengan demikian perangkai Nand tergologn perangkai cukup,

karena ia dapat dijelaskan denan perangkai dasar.

Selanjutnya perangkai Nor yang sebenarnya dapat ditulis (AvB)

apakah benar ia juga merupakan perangkai cukup.

Lihat tabel kebenaran berikut ini:

A A AA A

F F T T

T T F F

Gambar 6-3 tabel kebenaran AA dan A

Perhatikan tabel kebenaran tersebut, hasilnya :

AA A

Lalu lihat tabel kebenaran berikut ini :

A B AB (AB) (AB) AvB

F F T F F

F T F T T

T F F T T

T T F T T

Gambar 6-4 tabel kebenaran (AB) (AB) dan AvB

Hasilnya ternyata :

(AB) (AB) AvB

Jadi, sebenarnya perangkai Nor juga perangkai cukup, karena ia

juga dapat dijelaskan denan perangkai dasar.

52

Page 53: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Bahkan ternyata perangkai Nand ekuivalen dengan perangkai Nor

seperti yang dibuktikan dengan tebel kebenaran berikut :

A A AA A A

F F T T

T T F F

Gambar 6-5 tabel kebenaran AA dan A A

Atau ternyata hasilnya cukup mengejutkan :

AA A A

Tetapi, bagaimana jika AA A A, apakah memang benar terbukti

dengan tabel kebenaran?

RINGKASAN(1) Penyederhanaan untuk mendapatkan bentuk yang paling

sederhana dapat menggunakan hukum-hukum logika.

(2) Semua ekspresi atau bentuk logika dapat dijelaskan denan

perangkai dasar.

(3) Perangkai cukup juga berarti bahwa perangkai Nand dan Nor

dapat dijelaskan dengan perangkai dasar.

SOAL-SOAL LATIHANBAGIAN -1 :Sederhanakan bentuk-bentuk logika berikut ini menjadi bentuk yang

paling sederhana!

(1) A (AA)

(2) (A(BB))

53

Page 54: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

(3) A(AB)

(4) (AB)(( AB) A)

(5) (A (BvC)) AB

(6) (A(BC))(A(BC)

(7) (AB)((AB)A

(8) (A(BA))B(A(AB))

(9) (ABC)(CAC)

BAGIAN - 2 : Buktikan absorptionlaus berikut ini dengan penyederhanaan!

(1) A(AB)A

(2) A(AB) A

(3) (AB)(AB)B

(4) (AB) (AB)B

BAGIAN - 3 :Hilangkan tanda dan dari ekspresi logika berikut ini dan

sederhanakan lagi jika memungkinkan!

(1) AB

(2) (AB) ( BC)

(3) (AB) ( B C)

BAGIAN - 4 :Buktikan bahwa hukum-hukum logika berikut ini adalah tautologi,

atau = 1, dengan menggunkan penyederhanaan :

(1) Hypothetical Syllogism

(2) Disjunctive Syllogism

(3) Modus Ponens

(4) Modus Tollens

54

Page 55: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

BAGIAN - 5 :Buktikan ekuivalensi dua ekspresi berikut dengan penyederhanaan!

(1) (A . B) (B.C) = B (AvC)

(2) ((AB)vA) = 1

(3) (Av(CD)) = (AC) v (AD)

(4) A (AB) = AB

(5) (AB) = AB

(6) (AB) (AB) = A

(7) AB = ((AB) (BA))

(8) AB = (AvB) (BvA)

(9) (Av(BvC)) = (AB) v (AC)

(10) (AC) (BD) = (AB) (AD) v (BC) (CD)

BAB VIIRangkaian Logika Kombinasional

7.1 Pendahuluan

Dalam bab ini, akan dipelajari gerbang (gates) lojik, elemen logika paling dasar yang digunakan dalam sistem-sistem dijital. Di samping itu, juga akan dipelajari teknik-teknik matematika yang digunakan dalam perancangan rangkaian (circuits) dari gerbang-gerbang tersebut, dan

55

Page 56: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

bagaimana merancang rang kaian-rangkaian yang memerlukan biaya murah (cost-effective). Teknikteknik matematika yang dimaksud merupakan teknik-teknik dasar untuk merancang hampir semua rangkaian dijital, didasarkan pada aljabar Boolean. Salah satu aspek rancangan adalah untuk menghindari rangkaian yang tidak perlu dan biaya yang berlebih, yaitu suatu tujuan yang diselesaikan dengan teknik ini dan disebut dengan penyederhanaan. Karnaugh maps menyediakan metode grafilk (tabel) untuk meningkatkan pemahaman tentang penyederhanaan dan penyelesaian permasalahan penyederhanaan.

7.2 Logika Biner Dan Gerbang -Binary Logic and Gates

Rangkaian-rangkaian dijital merupakan komponen perangkat keras (hardware) yang memanipulasi informasi biner. Rangkaian-rangkaian diimplementasikan dengan menggunakan transistor-transistor dan antarhubungan (interconnection) dalam peralatan-peralatan (devices) semikonduktor kompleks yang disebut integrated circuits dan selanjutnya lebih dikenal dengan IC. Masing-masing rangkaian dasar disebut sebagai gerbang lojik. Untuk penyederhanaan dalam rancangan, rangkaian-rangkaian elektronik berbasis-transistor dimodelkan sebagai gerbang-gerbang lojik. Sehingga perancang tidak perlu memperhatikan tentang elektronik-elektronik internal dari gerbang-gerbang individu, tetapi hanya tentang sifat-sifat lojik eksternal mereka. Masing-masing gerbang menyelenggarakan operasi lojik tertentu. Keluaran-keluaran (outputs) dari gerbang-gerbang diterapkan sebagai masukan-masukan (inputs) dari gerbang-gerbang lain untuk membentuk suatu rangkaian dijital.

Untuk menggambarkan sifat-sifat operasional rangkaian-rangkaian dijital, perlu diperkenalkan notasi matematilk yang menentukan operasi dari masing-masing gerbang dan yang bisa digunakan untuk menganalisa dan merancang rangkaian-rangkaian. Sistem lojik biner ini merupakan salah satu klas sistem matematika yang secara umum disebut sebagai aljabar Boolean. Nama ini sebagai penghormatan matematisi Inggris George Boole, yang di tahun 1854 menerbitkan sebuah buku yang memperkenalkan teori matematika tentang lojik. Aliabar Boolean khusus yang akan dibicarakan digunakan untuk menggambarkan antarhubungan gerbang-gerbang dijital dan untuk merancang rangkaian-rangkaian lojik melalui manipulasi ekspresiekspresi Boolean. Pertama-tama akan diperkenalkan konsep logika biner dan memperlihatkan hubungannya dengan gerbang-gerbang lojik dan sinyal-sinyal biner. Kemudian disajikan sifat-sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep-konsep lain dan metode-metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian-rangkaian lojik.

56

Page 57: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Logika Biner –BinaryLogic

Logika biner berurusan dengan variabel-variabel biner yang mempunyai dua nilai diskrit dan dengan operasi-operasi logika matematika yang diterapkan pada variabel-varilabel tersebut. Dua nilai diskrit yang dimaksud mungkin disebut dengan nama-nama yang berbeda, namun untuk maksud dan tujuan ini akan lebih mudah untuk berfikir tentang istilah-istilah nilai biner dan memasang (assign) 1 atau 0 ke masing-masing variabel. Variabel-variabel ditandai dengan huruf-huruf alfabet seperti A, B, C, X, Y, dan Z. Selanjutnya notasi ini akan diperluas dan bisa meliputi string dari huruf-huruf, bilangan-bilangan, dan karakter-karakter khusus. Terhadap variabel-variabel biner terhubung tiga operasi lojik dasar yang disebut AND, OR, dan NOT.

1. AND. Operasi ini dinyatakan (atau diwakili oleh) dengan suatu titik (dot) atau dengan ketidakhadiran (absence) operator. Sebagai contoh, Z = X•Y atau Z = XY dibaca Z sama dengan A, X AND Y. Operator lojik AND diinterpretasikan sebagai berikut : Z = 1 bila dan hanya bila X = 1 dan Y = 1; selain itu Z = 0. (Ingat bahwa X, Y, dan Z merupakan variabel-variabel biner yang hanya bisa mempunyai nilai 1 atau 0.)

2. OR. Operasi ini dinyatakan dengan simbol tambah (+ ). Sebagai contoh, Z = X + Y dibaca Z sama dengan X OR Y, berarti bahwa Z = 1 bila X = 1 atau jika Y = 1, atau jika kedua X = 1 dan Y = 1. Z = 0 bila hanya bila X = 0 dan Y = 0.NOT. Operasi ini dinyatakan dengan symbol petik tunggal ('). Sebagai contoh, Z = X' dibaca Z sama dengan NOT X, berarti bahwa Z adalah apa yang X tidak. Dengan kata lain, jika X = 1, maka Z = 0; tetapi jika X = 0, maka Z = 1. Operasi NOT juga disebut sebagai operasi komplemen (complement), karena operasi ini merubah 1 menjadi 0 dan 0 menjadi 1.

Logika biner menyerupai artimatika biner, dan operasi-operasi AND dan OR masing-masing mempunyai kemiripan dengan perkalian dan penjumlahan. Ini kenapa simbol-simbol yang digunakan untuk AND dan OR sama dengan mereka yang digunakan untuk perkalian dan penjumlahan. Akan tetapi, logika biner seharusnya tidak dirancukan dengan aritmatika biner. Di samping itu, harus disadari juga bahwa suatu variabel aritmatika menandakan suatu bilangan yang bisa terdiri dari banyak angka (digits), sementara suatu variabel lojik selalu 1 atau 0. Persamaan-persamaan berikut mendefinisikan operasioperasi lojik OR:

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1

57

Page 58: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Dari definisi di atas, kelihatan bahwa operasinya menyerupai operasi jumlahan, kecuali untuk operasi terakhir. Dalam logika biner, 1 + 1 = 1 (dibaca satu OR satu sama dengan satu), tetapi dalam aritmatika biner, 1 + 1 = 10 (dibaca satu tambah satu sama dengan dua). Untuk menghindari arti mendua (ambiguity), sering kali digunakan simbol v untuk operasi OR dari pada simbol +. Akan tetapi selama operasi-operasi aritmatika dan logika tidak tercampur, masing-masing bisa menggunakan simbol + dengan arti mereka masing-masing.

Persamaan berikutnya mendefinisikan operasi lojik AND:0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 1

Operasi ini identik dengan perkalian biner, asalkan hanya digunakan bit tunggal. Simbol alternatif terhadap . untuk AND adalah , yang sering digunakan dalam konjungsi dengan simbol v untuk OR.

Untuk masing-masing kombinasi nilai-nilai dari variabel biner seperti X dan Y, ada nilai Z yang ditentukan dengan definisi operasi lojik. Definisi bisa didaftar dalam format yang kompak dalam tabel kebenaran (truth table). Suatu tabel kebenaran untuk suatu operasi adalah suatu tabel kombinasi variabel-variabel biner yang memperlihatkan hubungan antara nilai-nilai yang diambil variabel dan nilai-nilai hasil operasi. Tabel-tabel kebenaran untuk operasi-operasi AND, OR, dan NOT diperlihatkan dalam Tabel 4.1. Tabel kebenaran mendaftar semua kombinasi yang mungkin dari niiai-nilai untuk dua variabel dan hasil-hasil operasi. Tabel kebenaran mendemonstrasikan secara jelas definisi dari ketiga operasi.

Tabel 6.1Tabel-tabel kebenaran untuk tiga operasi lojik dasar

AND OR NOTX Y Z=x. Y X Y Z=X+ Y X Z=xl0 0 0 0 0 0 0 10 1 0. 0 1 1 1 01 0 0 1 1 11 1 1 1 1 1

7.3 Gerbang Lojik ~Logic Gates

58

Page 59: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Gerbang-gerbang lojik adalah rang kaian-rangkaian elektronik yang beroperasi pada satu atau lebih sinyal-sinyal masukan untuk menghasilkan sinyal-sinyal keluaran. Sinyal-sinyal elektronik seperti voltase atau arus ada dalam suatu sistem dijital dalam salah satu dari dua nilai yang bisa dikenali. Rang kaian-rangkaian yang dioperasikan dengan voltase (voltage-operated) menanggapi dua jangkauan voltase terpisah yang menyatakan suatu variabel biner sama dengan lojik 1 atau lojik 0, seperti digambarkan dalam Gambar 4.1. Terminal-terminal masukan dari gerbang-gerbang lojik menerima sinyal-sinyal biner dalam jangkauan (voitase) yang diperbolehkan dan merespon pada terminal-terminal keluaran dengan sinyal-sinyal biner yang masuk dalam jangkauan yang ditentukan.

Simbol-simbol grafik yang digunakan untuk menandakan tiga tipe gerbang AND, OR, dan NOT - diperlihatkan dalam Gambar 4.2 (a). Gerbang merupakan rangkaian-rangkaian elektronik yang menghasilkan ekuivalen sinyal-sinyal output lojik 1 dan lojik 0 sesuai dengan tabel-tabel kebenaran mereka jika ekuivalen sinyal-sinyal input diterapkan. Dua sinyal input X dan Y ke gerbang-gerbang AND dan OR mengambil satu dari empat kombinasi yang mungkin : 00, 01, 10, atau 11. Sinyal-sinyal input ini diperlihatkan sebagai timing diagram dalam Gambar 4.2 (b), bersama dengan timing diagram untuk sinyal output yang bersesuaian untuk masing-masing tipe gerbang. Sumbu mendatar dari timing diagram menyatakan waktu, dan sumbu tegak memperlihatkan sinyal berserta perubahannya antara dua tingkatan voltase yang mungkin. Tingkat bawah (low level) menyatakan lojik 0 dan tingkat atas (high level) menyatakan lojik 1. Gerbang AND merespon dengan sinyal output lojik 1 jika kedua sinyal input adalah lojik 1. Gerbang OR merespon dengan sinyal output lojik 1 jika salah satu atau kedua sinyal input adalah lojik 1. Selanjutnya gerbang NOT lebih dikenal dengan sebutan inverter. Alasan dari penggunaan nama ini adalah jelas, yaitu dari tanggapan dalam timing diagram. Sinyal lojik output merupakan versi kebalikan dari sinyal lojik input X.

59

Page 60: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

(b) Timing Diagram

Gambar 4.2 Gerbang-gerbang Lojik Dijitalsmentara output-nya adalah lojik 0 jika ada input berupa lojik 0. Grbang OR dengan enam input menanggapi dengan lojik 1 jika ada input berupa lojik 1; dan output-nya menjadi lojik 0 hanya jika semua input berupa lojik 0.

Gambar 4.3 Gerbang-gerbang dengan lebih dari Dua Input

60

Page 61: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

7.4 AIjabar Boolean ~Boolean Algebra

AIjabar Boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi lojik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR, dan NOT (kornplernen). Fungsi Boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sarna dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi lojik, dan tanda kurung. Untuk nilai variabel-variabel yang diketahui, suatu fungsi Boolean bisa sama dengan 1 atau 0. Sebagai contoh perhatikan fungsi Boolean berikut

F=X+ Y’Z

Dua bagian ekspresi, X dan Y’Z disebut suku-suku (terms) dari fungsi F. Fungsi F sama dengan 1 jika term X sama dengan 1 atau jika term Y’Z sama dengan 1, dan ini akan terjadi hanya jika kedua Y' dan Z sarna dengan 1. Selain itu, F sarna dengan 0. Operasi komplemen menyebabkan bahwa jika Y=l, maka Y harus sama dengan 0. Sehingga, kesimpulannya F=1 jika X=l, atau jika Y=0 dan Z=1. Suatu fungsi Boolean mengekspresikan relasi lojik antara variabel-variabel biner.

Suatu fungsi Boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi Boolean merupakan daftar semua kombinasi anka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner. Tabel-tabel kebenaran untuk operasi-operasi lojik dasar diberikan dalam Tabel 4.1. Banyaknya baris dalarn tabel kebenaran adalah 2n, di mana n adalah banyaknya variabel dalam fungsi. Kombinasi-kombinasi biner untuk tabel kebenaran adalah bilangan biner n-bit yang bersesuaian dengan cacah dalarn desimal dari 0 sampai dengan 2n -1. Tabel 4.2 memperlihatkan tabel kebenaran untuk fungsi F=X+Y’Z. Ada delapan kornbinasi biner yang mungkin dengan meng-assign bit ke masing-masing tiga variabel X, Y, dan Z Kolorn dengan label F rnemuat 0 atau 1 untuk masing-masing delapan kombinasi yang disebut di atas. Tabel memperlihatkan bahwa fungsi sama dengan 1 jika X = 1 dan jika Y = 0 dan Z = 1. Selain itu fungsi sama de ngan 0.

Suatu fungsi Boolean bisa ditransformasi dari suatu ekspresi aljabarke suatu diagram rangkaian (circuit diagram) yang dibentuk dari gerbang gerbang lojik. Diagram rangkaian lojik untuk fungsi F diperlihatkan dala Gambar 4.4. Suatu inverter pada input Y menghasilkan komplemen dari Y, yaitu Y1. Kemudian gerbang AND beroperasi pada Y' dan Z, dan akhirnya gerbang OR mengkombinasikan

61

Page 62: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

X dengan YZ. Dalam diagram rangkaian lojik, variabel-variabel fungsi diambil sebagai input-iinput rangkaian, dan variabel biner F diambil sebagai output rangkaian. Selanjutnya gerbang-gerbang dihubungkan dengan kabel (wires) yang membawa sinyal-sinyal lojik. Rangkaian-rangkaian lojik tipe ini disebut rangkaian logika kombinasional (combinational logic circuits), karena veriabei-vadabet dikombinasikan dengan operasi-operasi lojik. X

Gambar 4.4 Diagram Rangkaian Lojik F = X + Y’Z

Selanjutnya dengan menerapkan aturan-aturan operasi lojik dasar di atas, maka tabel kebenaran fungsi F = X + Y1Z bisa diperlihatkan pada Tabel 4.2 berikut

Tabel 4.2Tabel kebenaran untuk fungsi F=X+Y7

X Y Z F= X+ Y’Z0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1

Hanya ada satu cara jika fungsi Boolean dinyatakan dalam tabel kebenaran. Akan tetapi, ada banyak cara untuk menyatakan fungsi Boolean dalam bentuk aijabar. Dengan memanipulasi suatu ekspresi Boolean menurut aturan-aturan aijabar Boolean, seringkah bisa diperoleh suatu ekspresi yang lebih sederhana untuk fungsi yang sama. Untuk mengetahui bagaimana hal ini dilakukan, penting sekali untuk terlebih dahulu rnempeiajari aturan-aturan dasar (basic rules) aijabar Boolean.

Identitas-identitas Dasar AIjabar Boolean -Basic Identities of Boolean Algebra

Tabel 4.3 memperlihatkan identitas-identitas dasar aljabar Boolean. Notasi disederhanakan dengan menghilangkan simbol untuk AND. Sembilan identitas dasar memperlihatkan hubungan antara variabel

62

Page 63: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

tunggal X. komplemennya X, dan konstanta-konstanta biner 0 dan 1. Lima identitas berikutnya, yaitu 10 sampai 14 mepunyai lawan-pasangan (counterparts) dalam aijabar biasa. Selanjutnya identitas tiga terakhir, yaitu 15 sampai 17 tidak beriaku dalam aljabar biasa, akan tetapi bermanfaat dalam pemanipulasian ekspresi-ekspresi aljabar.

Aturan-aturan dasar didaftar dalam label yang telah disusun dalam dua kolom yang mendemonstrasikan sifat dualitas aljabar Boolean. Dual dari suatu ekspresi aijabar diperoleh dengan mempertukarkan operasi-operasi OR dengan AND dan sebaliknya, dan angka biner 0 dengan angka biner 1.

Tabel 4.3ldentitas-identitas dasar AIjabar Boolean

1 X + 0 =X 2. X • 1 =X3. X +1 = 1 4. X • 0 = 05. X + X =X 6. X • X =X7. X + X’ = 1 8. X •.X’= 09. X" = X

10. X + Y =Y + X 11. X • Y = Y • X Komutatit12. X + (Y + Z) = (X + Y) + Z 13. X • (Y • Z) = (X• Y)Z Asosiatif14. X• (Y + Z) = X • Y + X • Z 15. X + Y • Z = (X + Y) • (X + Z Distributif16. (X + Y)'= X’. Y' 17. (X • W = X' + Y' De Morgan's

Sembilan identitas yang melibatkan variabel tunggal bisa dengan mudah dibuktikan dengan mengganti masing-masing dengan dua nilai yang mungkin dari X. Sebagai contoh, untuk memperlihatkan bahwa X + 0 = X, ambil X = 0 untuk mendapatkan 0 + 0 = 0, dan X = 1 untuk mendapatkan 1 + 0 = 1. Kedua persamaan bernilai true menurut definisi operasi lojik OR. Setiap ekspresi bisa diganti dengan variabel X untuk semua persamaan Boolean yang terdaftar dalam tabel. Sehingga dengan identitas nomor 3 dan dengan X AB + C, akan diperoleh AB + C + 1 = 1. Identitas nomor 9 menyatakan bahwa komplementasi dobel (doubly conimplement) akan mengembalikan suatu variabel ke nilai asli. Sehingga jika X = 0, maka X' = 1 dan Y” = 0 = X.

Indentitas 15 merupakan dual dari aturan distributif biasa (identitas 14). Seperti yang sudah diilustrasikan sebelumnya bahwa setiap variabel dalam identitas bisa diganti dengan ekspresi Boolean, dan identitas masih tetap berlaku. Jadi untuk ekspresi (A + B)(A + CD), bisa diambil X = A, Y = B, dan Z = CD, dan dengan aturan (identitas 15), diperoleh

(A + B)(A + CD) = A + BCD

63

Page 64: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Selanjutnya dua identitas terakhir, (X + Y)' = KeY dan (X • Y)' = X' + Y' disebut dengan teori DeMorgan. Teori ini sangat penting untuk memperoleh komplemen dari suatu ekspresi. Tabel 4.4 berikut memperlihatkan tabel kebenaran yang membuktikan aturan DeMorgan.

Tabel 4.4Tabel kebenaran untuk membuktikan Teori DeMorgan

X Y X+Y X•Y X’ Y’ (X+Y)’ X • Y’

(X•Y)’ X’+Y’

0 0 0 1 1 1 1 1 1 10 1 1 0 1 0 0 0 1 11 0 1 0 0 1 0 0 1 11 1 1 1 0 0 0 0 0 0

Pada waktu mengkomplemenkan suatu ekspresi, tanda kurung memegang peranan yang sangat penting, karena simbol komplemen yang digunakan dalam pembahasan ini adalah petik tunggal (single quote - 1 ). Sehingga ekspresi (X + Y)' menyatakan komplemen dari X + Y, akan tetapi jika tanda kurung dihilangkan maka akan mempunyai arti yang berbeda, yaitu X di-ORkan dengan komplemen dari Y.

Teorema DeMorgan bisa diperluas menjadi tiga atau lebih variabel. Selanjutnya teori umum DeMorgan bisa dinyatakan sebagai

(Xl + X2………………..+ Xn) = Xl' • X2' •…. Xn'(Xl• X2………………………….• Xn) = X1'+ X2'+…….+ Xn'

karena dengan sifat asosiatif (X1, + X2 + ... + Xn)’ = (X1 + (X2 + ... + X” )) demikian juga (X, • X2• ... • X1'= (X1• (X2• ... • Xn)'.

Perhatikan bahwa operasi lojik berubah dari OR ke AND atau dari AND ke OR. Di samping itu, komplemen dihilangkan dari keseluruhan ekspresi clan ditempatkan di atas masing-masing variabel. Sebagai contoh,

(A + B + C + D)’ = A’ B’ C’ D’

64

Page 65: a · Web viewKemudian disajikan sifat sifat aljabar Boolean, bersama dengan konsep konsep lain dan metode metode yang bermanfaat dalam perancangan rangkaian rangkaian lojik. Logika

Soal-soal latihan

1. Perlihatkan dengan menggunakan tabel-tabel kebenaran, validitas identitas-identitas berikut :

a) Teorema DeMorgan untuk tiga variabel : (XYZ)' = X' + Y' + Z’b) Hukum distributif kedua: X + YZ = (X + Y)(X + Z)c) X’Y + Y’Z + XZ’ = XY’ + YZ’ + X’Z

2. Buktikan identitas dari persamaan Boolean berikut, menggunakan manipulasi aljabar

a) X’Y’ + X’Y + XY = X' + Yb) A’B + B’C’ + AB + B’C = 1c) Y + X’Z + XY’ = X + Y + Zd) X’Y’ + Y’Z + XZ + XY + YZ'= XY’+ XZ + YZ’

3. Buktikan identitas dan persamaan Boolean berikut, menggunakan manipulasi aljabara) AB’ + A’C’ D' + A’B’D’ + A’B’CD’ =B’+ A’C’D'b) XZ + WY’Z’ + WY’Z’ + WX’Z’ = XZ + WY’Z’ + WXY’ + W’XY +c) X’YZ’d) CD + AB’ + AC + A’C' + A’B + C’D' = (A' + B' + C + D’)(A +

B + C’+ D)

65