Matematik

a Lanjut 1

Vekto

r

Ruang V

ektor

Matriks

Determ

inan

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

1

Determ

inan

Matriks In

vers

Sistem

Persam

aan Linier

Tran

sform

asi Linier

Dra. D

. L. C

rispina P

ardede, D

EA.

Referen

siReferen

si

[1]. Yusuf Y

ahya, D

. Suryad

i. H.S., A

gus S.,

Matem

atika untuk

Perguruan T

inggi, Ghalia-

Indonesia, Jakarta, 1995.

[2]. Suryad

i H.S., P

engantar Aljabar L

inier dan

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

[2]. Suryad

i H.S., P

engantar Aljabar L

inier dan

Geom

etri Analitik

, Penerb

it Gunadarm

a, Jakarta, 1991.

[3]. Seymour L

ipsch

utz, T

heory and problems of

Linear A

lgebra, McG

raw-H

ill, 1968.

2

VEKTOR

VEKTOR

1.Defin

isi Vekto

r

2.Notasi

3.Operasi p

ada V

ektor

4.Interp

retasi Vekto

r Secara Geometris

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

5.Komponen Vekto

r

6.Dalil p

ada O

perasi V

ektor

7.Vekto

r Satuan

8.Panjan

g Vekto

r

9.Perkalian

Vekto

r

3

Vekto

rVekto

r

Vektormem

iliki besaran

dan arah

.

Besaran

fisika yang

dinyatakan

dengan

vektor:

perp

indahan, kecep

atan

dan percep

atan.

A

B

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

dan percep

atan.

Skalarhanya m

emiliki b

esaran saja,

contoh : tem

peratu

r, tekanan, en

ergi,

massa d

an waktu

.

4

A

Vekto

rVekto

r

�Penyajian

Vekto

r

◦Geometri: T

anda P

anah

B

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

◦Notasi: P

atau P

5

A

Penjumlah

an Vekto

rPenjumlah

an Vekto

r

R=A+B

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

6

�Cara P

oligo

n

Penjumlah

an Vekto

rPenjumlah

an Vekto

r

AB

A

R=A+B

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

7

A

RB

�Cara Jajaran

Genjan

g

Penjumlah

an Vekto

rPenjumlah

an Vekto

r

A

R=A+B

A

R

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

8

B

θ

B

R

Dua b

uah vekto

r dikatakan

sama b

ila mem

iliki besaran

(panjan

g) dan arah

yang sam

a.

Vekto

r -A

adalah

vektor yan

g mem

iliki besaran

yang sam

a dengan

vektor A

,

tetapi b

erlawanan arah

, dan b

ila diju

mlah

kan akan

mengh

asilkan

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

dan b

ila diju

mlah

kan akan

mengh

asilkan

vektor 0

.

A + (-A

) = 0

9

A-A

R= A

–B

�R

= A

+ (-B

)

SelisihVekto

rSelisih

Vekto

r

A-B

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

BA

R

10

Perkalian

Vekto

r dengan

Skalar Perkalian

Vekto

r dengan

Skalar

Perkalian

vektor A

dengan

skalar mmengh

asilkan vekto

r mA.

A

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

A

2A

11

Interp

retasi Vekto

r Interp

retasi Vekto

r

Secara G

eometris

Secara G

eometris

x2

6542U

U= [3 2]

2U

= 2 . [3 2]

= [6 4]

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

x1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

321-2

U

-U

-U =

-1 . [3 2]

= [-3 -2]

12

Interp

retasi Vekto

r Interp

retasi Vekto

r

Secara G

eometris

Secara G

eometris

x2

54

�U = [3 2]

�V = [2 3]

�W = U

+ V

= [3 2] +

[2 3]

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

x1

321

1 2 3 4 5

W

U

V

= [3 2] +

[2 3]

= [5 5]

T =

U –

V = …

. ?

13

Komponen Vekto

rKomponen Vekto

r

θ

AAy

Y

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

Komponen Vekto

r A: vekto

r Axdan vekto

r Ay

Komponen-ko

mponen seb

uah vekto

r selalu salin

g

tegaklurus.

Komponen skalarn

ya:

Ax =

A co

s θA

y = A sin

θ X

θ

Ax

14

Ada 2 cara m

enyatakan

vektorA

1. A

= A

x+ A

y

2.+

=y

xA

AA

22

Y

Komponen Vekto

r Komponen Vekto

r (lanjutan

)(lan

jutan

)

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

15

=−

x y

A A1

tanθX

θ

AAy

Ax

Komponen Vekto

r Komponen Vekto

r (lanjutan

)(lan

jutan

)

Arah

komponen vekto

r

tergantung p

ada arah

sumbu-su

mbu yan

g

digu

nakan

sebagai acu

an.

AAy

Y

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

A=A

x+ A

y

atau

A=A

x’ +

Ay’

X

θ

Ax

16

Komponen Vekto

r Komponen Vekto

r (lanjutan

)(lan

jutan

)

Dua b

uah vekto

r dikatakan

sama jika ked

uanya m

emiliki

komponen yan

g sama.

u[u

1u2

u3 ] =

v[v

1v2

v3 ], jika u

1= v

1 , u2= v

2 , u3 =

v3 .

Contoh:

1. u=[1 2 3] d

an v

=[2 3 1], u

≠v.D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

1. u=[1 2 3] d

an v

=[2 3 1], u

≠v.

2.Misalkan

[ x-y x+y z-1] =

[4 2 3].

Kedua vekto

r tersebut m

emenuhi kesam

aan bila n

ilai x =

3, y = -1, z =

4.

17D. L

. Crisp

ina ard

ede (O

ktober 2011)

Penjumlah

an Vekto

r

Berd

asarkan K

omponennya

C =

A + B

Cx =

Ax+ B

x

Cy= A

y+ B

y)

(tan

1

22

x y

yx

C C

da

n

CC

C

−=

+=

θ

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

18

Penjumlah

an Vekto

r …

Contoh

Contoh

Misalkan

vektor

U= [3 2] d

an V

= [2 3]

Ux =

3 dan U

y= 2

Vx =

2 dan V

y= 3

Jika W= U

+ V

, maka W

dapat d

icari

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

Jika W= U

+ V

, maka W

dapat d

icari dengan

cara

Wx= U

x + V

x = 3 +

2 = 5

Wy= U

y + V

y = 2 +

3 = 5

∴Vekto

rW = [W

x Wy ] =

[5 5].

19

Dalil P

ada O

perasi V

ektor

Dalil P

ada O

perasi V

ektor

Untuk setiap

vektor A

= [a

1 , a2 , …

, an ],

B= [b

1 , b2 , …

, bn ], C

= [c

1 , c2 , …

, cn ] ∈

Rn

dan besaran

skalar k, m

∈R (R

: him

punan

bilan

gan riil), b

erlaku

1.A+ B = B

+ A

komutatif

A+ (B

+ C)=

(A+ B) +

Caso

siatif

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

2.A+ (B

+ C)=

(A+ B) +

Caso

siatif3.

k(A

+ B) =

kA+ k

Bdistrib

utif

4.A+ 0

= A

5.A+ -A

= 0

6.(k

+m)A

= k

A+ m

A

7.(k

m)A

= k(mA) =

m(kA)

8.1A = A

20

Vekto

r Satuan

Vekto

r Satuan

•Vekto

r dapat d

ituliskan

dalam

vektor-vek

tor satuan.

•Sebuah vekto

r satuan m

empunyai m

agnitu

do/

uku

ran/panjan

g yang b

esarnya sam

a dengan

satu (1).

•Vekto

r satuan dalam

sistem ko

ordinat R

2 (R3 )

dinyatakan

dengan

i dan

j(i, j

dan k)yan

g saling

tegaklurus.

y

yD. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

ji

Ay

xA

A+

=

x

y

i

j

A

R2

kj

iz

yx

BB

BB

++

=

xi

jB

R3

kz

21

Panjan

g Vekto

rPanjan

g Vekto

rBesar d

an arah

vektor d

iuku

r

langsu

ng.

Misalkan

, Vekto

r Adi R

dinyatakan

sebagai A

= A

i+ A

j

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

()

()

()z

2

y

2

x

2

BB

B

++

=B

Misalkan

, Vekto

r Adi R

2dinyatakan

sebagai A

= A

xi+ A

yj

Panjan

g Vekto

r Adihitu

ng d

engan

cara:

Misalkan

, Vekto

r Bdi R

3dinyatakan

sebagai

B= B

xi+ B

yj+ B

z k ,P

anjan

g Vekto

r Bdihitu

ng d

engan

cara:

()

()y

2

x

2

AA

+

=A

22

Perkalian

Titik

Perkalian

Titik

Misalkan

A dan B

vektor d

i dalam

Rn. H

asil kali titik dari

A dan B

adalahA

.B =

A1 B

1+ A

2 B2+...+

An B

n.

dim

ana A

= [A

1 A2 ... A

n ], B= [B

1 B2 ... B

n ].

Dua vekto

r A dan B

dikatakan

tegak lurus satu

sama lain

, jika

A.B

=0.

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

A.B

=0.

Contoh:

Diketah

ui u

= [1 -2 3 -4], v

= [6 7 1 -2], w

= [5 -4 5 7].

u.v =

1.6 + (-2).7 +

3.1 + (-4).(-2) =

3

u.w

= ... ...

v.w = ... ...

Vekto

r ...... dan ...... salin

g tegak lurus.

23

Perkalian

Titik

Perkalian

Titik (L

anjutan

)(Lanjutan

)

Sifat perkalian

titik (dot product) dalam

Rn.

Teorem

a

Untuk sem

baran

g vektor u

,v,w ∈

Rndan

sembaran

g skalar k ∈R berlaku

1. (u+ v) .

w= u.w

+ v.w

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

1. (u+ v) .

w= u.w

+ v.w

2. (ku) .

v= k (u

.v)3. u

.v= v.u

.

4. u.u

≥0 d

an u

.u= 0 jika d

an hanya jika u

= 0.

24

Perkalian

Titik

Perkalian

Titik

……Latih

anLatih

an

1. Jika u= [2 -7 1],

v= [-3 0 4], d

an w = [0 5 -8],

tentukan

a). 3u–4v

b). 2

u–3v–5w.

2.Tentukan

x dan y jika [4 y] =

x[2 3].

3.Tentukan

x, y, z jika

[2 3 4] = x[1 1 1] +

y[1 1 0] + z[1 0 0]

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

4.Dari so

al no. 1, ten

tukan

a). u.v

b). u

.w

3. u.(v+

w)

25

Panjan

g Vekto

r di R

Panjan

g Vekto

r di R

nn

Panjan

g vektor u

= [u

1u2…

un]

dinyatakan

dengan

|u|

2n

22

21u

...u

u

u .

u

++

+=

=u

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

Contoh:

u = [1 -2 3]

26

14

94

1

3

)2

(1

32

2=

++

=+

−+

=u

Jarak pada R

Jarak pada R

nn

Misalkan

dua vekto

r pada R

n, u= [u

1u2…

un] d

an v

= [v

1v2…

vn].

Jarak (distance) an

tara udan v

adalah

2

nn

2

22

2

11

)v

(u...

)v

(u)

v(u

)

,(

d−

++

−+

−=

vu

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

Contoh: u

= [1 -2 4] , v

= [3 1 -5]

27

94

)9(

)3

()

2(

))5

(4(

)1(-2

)3

(1

),

(d

22

2

22

2

=

+−

+=

−−

+−

+−

=v

u

Panjan

g Vekto

r dan Jarak p

ada R

Panjan

g Vekto

r dan Jarak p

ada R

nn…

…

Latih

anLatih

an

1. Tentukan

panjan

g vektor |u|

jika diketah

ui

a). u= [2 -7]

b). u

= [3 -12 4]

2.Tentukan

k sedem

ikian hingga |u|=

√39

dim

ana u

= [1 k -2 5].

3.Hitu

ng jarak an

tara vektor u

dan v, jika

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

3.Hitu

ng jarak an

tara vektor u

dan v, jika

a). u= [1 7], v

= [6 -5]

b). u

= [3 -5 4], v

= [6 2 -1]

4.Tentukan

harga k sed

emikian

hingga d

(u,v) =

6

dim

ana u

= [2 k 1 -4], v

= [3 -1 6 -3]

28

RUANG VEKTOR

RUANG VEKTOR

1.Field

2.Ruang V

ektor d

i atas Suatu

Field

3.Ruang V

ektor B

agian

4.Ketergan

tungan

Linier

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

4.Ketergan

tungan

Linier

5.Kombinasi L

inier

6.Dim

ensi d

an Basis

29

Field

Field

Misalkan

K seb

uah him

punan. P

ada K

didefin

isikan 2 (d

ua) o

perasi

yang d

isebut p

enjumlah

an (+

) dan perkalian

( . ).

K m

erupakan

field

bila aksio

ma-aksio

ma b

erikut d

ipenuhi:

1.K te

rtutupterh

adap operasi p

enjumlah

an (+

) dan perkalian

( . )

2.Operasi p

enjumlah

an bersifat a

sosia

tifpada K

3.Terd

apat id

entita

spenjumlahanyan

g juga m

erupakan

anggo

ta K

4.Setiap

anggo

ta K m

emiliki in

vers

penjumlahanyan

g juga an

ggo

ta

K

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

30D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

K

5.Operasi p

enjumlah

an bersifat k

omutatif

pada K

6.Operasi p

erkalian bersifat a

sosia

tifpada K

7.Operasi p

erkalian bersifat d

istributif

terhadap operasi p

enjumlah

an

8.Operasi p

erkalian bersifat k

omutatif

pada K

9.Terd

apat id

entita

sperkalia

nyan

g juga m

erupakan

anggo

ta K

10.Setiap

anggo

ta K m

emiliki in

vers

perkalia

nyan

g juga m

erupakan

anggo

ta K

Field

Field

(K, +

, . ) adalah

Field, jika ∀

α, β

, γ∈

K dipenuhi:

1. α+ β

∈K d

an α

. β∈

K(tertu

tup)

2. (α

+ β) +

γ= α

+ (β

+ γ)

(asosiatif)

3. ∃0 ∈∈∈ ∈

K ∋

α+0 =

0+α= α

(0 identitas p

enjumlah

an)

4. ∀

α∈K ∃

-α∈

α∈

α∈

α∈K

∋α+-α

= -α

+α= 0

(-αinvers p

enjumlah

an dari α

)

αβ

βα

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

(-invers p

enjumlah

an dari

)

5. α+ β

= β

+ α

(komutatif)

6. (α.β).γ

= α.(β

.γ) (aso

siatif)

7. α.(β

+ γ) =

α.β

+ α.γ

; (β+ γ).α

= β.α

+ β.γ

(distrib

utif)

8. α. β

= β

. α(ko

mutatif)

9. ∃1 ∈∈∈ ∈

K ∋

α.1 =

1.α= α

(1 identitas p

erkalian)

10. ∀α

≠0 ∈

K ∃

ααα α-1∈∈∈ ∈

K∋

α.α

-1= α

-1.α= 1

(α-1invers p

erkalian dari α

)31

Misalkan

(K, +

, . ) adalah

Field

dan V him

punan tid

ak kosong

dim

ana, jika ∀

u, v ∈

V, u

+ v ∈

V d

an ∀

u ∈

V, k ∈

K

berlaku

ku ∈

V. H

impunan V diseb

ut R

uang Vektor jika

berlaku

:

A1.

∀u, v, w

∈V, (u

+ v) +

w = u + (v +

w)

A2.

∀u ∈

V, ∃

0 ∈V ∋

u+0 =

u(0: vekto

r nol)

Ruang V

ektor d

i Atas Su

atu Field

Ruang V

ektor d

i Atas Su

atu Field

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

A2.

∀u ∈

V, ∃

0 ∈V ∋

u+0 =

u(0: vekto

r nol)

A3.

∀u ∈

V, ∃

-u ∈

V ∋

u+-u = 0

A4.

∀u, v ∈

V, u

+ v =

v + u

M1. ∀

k ∈K, ∀

u, v ∈

V, k(u

+ v) =

ku + kv

M2. ∀

k, l ∈K, ∀

u ∈

V, (k +

l) u = ku

+ lu

M3. ∀

k, l ∈K, ∀

u ∈

V, (k l) u

= k (l u

)

M4. ∀

u ∈

V , ∃

1 ∈K ∋

1.u = u

32

Ruang V

ektor

Ruang V

ektor

…

… Contoh

Contoh

1. Him

punan sem

ua n

-tuple d

ari elemen-elem

en field

K,

dim

ana p

enjumlah

an vekto

r dan perkalian

skalar yang

didefin

isikan seb

agai

(a1 , a

2 ,…, a

n ) + (b

1 , b2 ,…

, bn ) =

(a1 +

b1 , a

2+ b

2 ,…, a

n+ b

n )

k (a1 , a

2 ,…, a

n ) = (ka

1 , ka2 ,…

, kan ) d

imana a

i , bi ∈

K,

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

k (a1 , a

2 ,…, a

n ) = (ka

1 , ka2 ,…

, kan ) d

imana a

i , bi

K,

adalah

ruang vekto

r atas field K

.

2. Misalkan

V h

impunan sem

ua m

atriks (mxn

) dim

ana

setiap sel b

erisi anggo

ta K. V

meru

pakan

ruang vekto

r atas K dengan

operasi p

enjumlah

an m

atriks dan perkalian

skalar.

33

Ruang V

ektor

Ruang V

ektor

…

… Latih

anLatih

an

1. Tunjukkan

bahwa u

ntuk sem

baran

g skalar k dan

sembaran

g vektor U

dan V, b

erlaku

k (U –

V) =

kU –

kV

2. Diketah

ui h

impunan pasan

gan teru

rut d

ari

bilan

gan riil V

= {(a, b

)|a, b ∈

R}. T

unjukkan

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

bilan

gan riil V

= {(a, b

)|a, b ∈

R}. T

unjukkan

bahwa V

bukan

ruang vekto

r atas R di b

awah

operasi p

enjumlah

an dan perkalian

skalar pada V

yan

g didefin

isikan seb

agai (a, b) +

(c, d) =

((a + c),

(b+d)) d

an k(a,b

) = (ka, b

)

34

Ruang V

ektor

Ruang V

ektor

…

… Latih

anLatih

an

3. Diketah

ui h

impunan pasan

gan teru

rut d

ari

bilan

gan riil V

= {(a, b

)|a, b ∈

R}. T

unjukkan

bahwa V

bukan

ruang vekto

r atas R di b

awah

operasi p

enjumlah

an dan perkalian

skalar pada V

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

operasi p

enjumlah

an dan perkalian

skalar pada V

yan

g didefin

isikan seb

agai

a). (a, b) +

(c, d) =

(a, b) d

an k(a,b

) = (ka, kb

)

b). (a, b

) + (c, d

) = ((a+

c), (b+d)) d

an

k(a,b) =

(k2a, k

2b)

35

Ruang V

ektor B

agianRuang V

ektor B

agian

Misalkan

W h

impunan bagian

dari ru

ang vekto

r atas field

K.

W diseb

ut R

uang Vektor B

agian dari V

, jika W

adalah

ruang vekto

r atas field K

, dengan

operasi

penjumlah

an vekto

r dan perkalian

skalar pada V

.

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

penjumlah

an vekto

r dan perkalian

skalar pada V

.

Contoh:

V = ru

ang vekto

r dari sem

ua m

atriks (mxn

)

W = him

punan sem

ua m

atriks A(a) d

imana a =

a .

W m

erupakan

ruang vekto

r bagian

dari V

.36

Ketergan

tungan

Linier

Ketergan

tungan

Linier

Misalkan

V ru

ang vekto

r atas field K

.

�Vekto

r-vektor v

1 , v2 ,…

, vm

∈V dikatakan

Bergantung Linier, jika terd

apat

λ1 , λ 2 ,…

, λ m ∈

K yan

g tidak sem

ua n

ol,

sedem

ikian hingga

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

sedem

ikian hingga

λ1v1+ λ

2v2 + …

+ λ

m v

m = 0

�Jika

λ1 =

λ2=…

=λm=

0,maka

v1 ,

v2 ,…

,vm

dikatakan

Beb

asLinier.

37

Ketergan

tungan

Linier

Ketergan

tungan

Linier

…

… Contoh

Contoh

1. Vekto

r u= [1 1 0], v

= [1 3 -1], w

= [5 3 -2]

bergan

tung lin

ier, karena 3

u+ 2 v

–w

= 0.

2. Tunjukkan

bahwa vekto

r-vektor b

erikut b

ebas

linier.

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

linier.

u= [6 2 3 4],

v= [0 5 -3 1],

w= [0 0 7 -2] .

38

Ketergan

tungan

Linier

Ketergan

tungan

Linier

…

… Latih

anLatih

an

1. Selid

iki apakah

vektor-vekto

r udan v

beriku

t bebas lin

ier

atau bergan

tung lin

ier.

a). u= [3 4], v

= [1 -3]

b). u

= [2 -3], v

= [6 -9]

c). u= [4 3 -2], v

= [2 -6 7]

d). u

= [-4 6 -2], v

= [2 -3 1]

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

d). u

= [-4 6 -2], v

= [2 -3 1]

2. Selid

iki apakah

matriks-m

atriks beriku

t bebas lin

ier.

39

=

=

=0

0

11

C ,

10

01

B ,

11

11

A

).a

=

=

=0

4-

5-1

C ,

22

1-3

B ,

13

21

A

).b

Ketergan

tungan

Linier

Ketergan

tungan

Linier

…

… Latih

anLatih

an

3. Misalkan

V ru

ang vekto

r dari p

olin

omial b

erderajat ≤

3

atas R. (R

: him

punan bilan

gan riil) selid

iki apakah

u= t 3

-3t 2

+ 5t +

1

v= t 3

-t 2

+ 8t +

2

w= 2t 3

-4t 2

+ 9t +

5

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

w= 2t

-4t

+ 9t +

5

bebas lin

ier.

40

Kombinasi L

inier

Kombinasi L

inier

Misalkan

V seb

uah ru

ang vekto

r atas field K

dan

v1 , v

2 ,…, v

m∈

V. S

embaran

g vektor d

alam V

yang

berb

entuk λ

1v1+ λ

2v2 + …

+ λ

m vm

diseb

utKombinasi

Linierdari

vektor-vekto

r

v1 ,v2 ,…

,vm.

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

Dengan

katalain

,

Vekto

rvdikatakan

kombinasi

linierdari

vektor-vekto

r

v1 ,

v2 ,…

,vm

bila

terdapat

skalar-skalarλ1 ,

λ2 ,

…,λm

sedem

ikianhingga

v=λ1v1+λ2v2 +

…+λmvm

41

Kombinasi L

inier

Kombinasi L

inier

…

… Contoh

Contoh

1. Vekto

r e1= [1 0 0], e

2= [0 1 0], e

3= [0 0 1],

mem

bangkitkan

ruang vekto

r R3.

∀[a b

c ]∈R3,

[a b c ]

= a [1 0 0] +

b [0 1 0] +

c [0 0 1]

= ae1+ b e

2+ ce3.

∴∀

[a b c ]∈

R3meru

pakan

kombinasi lin

ier dari e

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

∴∀

[a b c ]∈

R3meru

pakan

kombinasi lin

ier dari e

i

2. Selid

iki apakah

vektor v

= [3 9 -4 4] m

erupakan

kombinasi lin

ier dari vekto

r-vektor

u= [1 -2 0 3]

v= [2 3 0 1]

w= [2 -1 2 1]

42

Kombinasi L

inier

Kombinasi L

inier

…

… Latih

anLatih

an

1. Nyatakan

vektor v

= [1 -2 5] seb

agai kombinasi lin

ier dari

vektor-vekto

r u1 =

[1 1 1], u2 = [1 2 3], u

3 = [2 -1 1]

2. Nyatakan

vektor w

= [2 -5 3] seb

agai kombinasi lin

ier dari

vektor-vekto

r e1 =

[1 -3 2], e2 = [2 -4 -1], e

3 = [1 -5 7].

3. Hitu

ng k sed

emikian

hingga vekto

r t= [1 -2 k]

meru

pakan

kombinasi lin

ier dari vekto

r-vektor

v= [3 0 -2] , w

= [2 -1 -5]

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

v= [3 0 -2] , w

= [2 -1 -5]

4. Nyatakan

matriks seb

agai kombinasi lin

ier dari

matriks-m

atriks

43

−=

11

13

P

−=

=

=

10

20

C ,

11

00

B ,

01

11

A

Dim

ensi d

an Basis

Dim

ensi d

an Basis

Dim

ensi

Dim

ensi

Suatu

ruang vekto

r V dikatakan

Berdim

ensi n

, jika dapat

ditem

ukan

sebuah him

punan n

vektor an

ggo

ta V yan

g

bebas lin

ier, sedangkan

setiap him

punan (n

+ 1) vekto

r

anggo

ta V selalu

bergan

tung lin

ier. Dengan

kata lain, d

alam

ruang vekto

r berd

imensi n

, jumlah

maksim

um vekto

r

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

ruang vekto

r berd

imensi n

, jumlah

maksim

um vekto

r

anggo

ta V yan

g bebas lin

ier adalah

n.

Basis

BasisSetiap

him

punan n

buah vekto

r yang b

ebas lin

ier dari su

atu

ruang vekto

r berd

imensi n

diseb

ut B

asis

dari ru

ang vekto

r

44

Dim

ensi d

an Basis

Dim

ensi d

an Basis

…

… Contoh

Contoh

1. Misalkan

ruang vekto

r V d

ibentuk o

leh vekto

r-vektor

p= [1 -2 3 1] d

an q

= [2 -4 5 2].

Kedua vekto

r tersebut tid

ak berkelip

atan, b

erarti keduanya

bebas lin

ier. Dengan

dem

ikian, d

imensi ru

ang vekto

r yang

dibentuk o

leh vekto

r-vektor terseb

ut ad

alah 2.

2. Vekto

r e1= [1 0 0], e

2= [0 1 0], e

3= [0 0 1], m

erupakan

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

2. Vekto

r e1= [1 0 0], e

2= [0 1 0], e

3= [0 0 1], m

erupakan

basis d

ari ruang vekto

r R3.

λ1[1 0 0] +

λ2[0 1 0]+

λ3 [0 0 1] =

[0 0 0]λ1+ λ

2+ λ

3 = 0

λ2+ λ

3 = 0

λ1= λ

2= λ

3 = 0

λ3 =

0Jelas b

ahwa e

1 , e2 , e

3bebas lin

ier, dan m

erupakan

basis R

3.

45

Dim

ensi d

an Basis

Dim

ensi d

an Basis

…

… Latih

anLatih

an

1. Selid

iki apakah

vektor -vekto

r e1= [1 0 0], e

2= [1 1 0], d

an

e3= [1 1 1], m

erupakan

basis d

ari ruang vekto

r R3.

2. Selid

iki apakah

vektor -vekto

r u= [1 1 2], v

= [1 2 5], d

an

w= [5 3 4], m

erupakan

basis d

ari ruang vekto

r R3.

3.Tentukan

dim

ensi d

an basis d

ari ruang vekto

r yang d

ibentuk

oleh

D. L

. Crisp

ina P

ardede (O

ktober 2011)

oleh

a). a= [1 1 2], b

= [1 2 5], c

= [5 3 4].

b). a

= [1 2 2], b

= [2 4 4], c

= [1 0 1].

c). a= [1 0 1], b

= [3 0 3], c

= [2 0 2].

46