85560152 BAB IV Sifat Gelombang Dari Partikel

104

Bab 4

Sifat Gelombang dari Partikel

4.1 Deskripsi

Dalam bab ini memberikan gambaran tentang sifat gelombang dari partikel. Setelah

ditemukannya partikel dan gelombang tahun 1905 dan menemukan bahan gelombang yang

salah satunya gelombang elektromagnetik pada suatu saat dapat bersifat sebagai partikel dan

suatu saat dapat bersifat gelombang. Dengan kajian ini kita dapat melihat bahan meskipun

gelombang maupun partikel dapat berkelakuan sebagai foton dan materi tetapi kedua

fenomena tersebut tidak dapat dijelaskan secara bersamaan tergantung sudut pandang

pengamatan kita ataupun mekanisme paling dominan yang terjadi saat itu. Dalam bab ini

menjelaskan tentang teori gelombang de Broglie, persamaan umum gelombang dan sifat-

sifatnya, partikel dalam kotak dan prinsip ketaktentuan.

4.2 Relevansi

Keterkaitan antara bab ini dengan bab sebelumnya adalah sebagai salah satu lanjutan

teori sub atomic dalam kajian fisika modern karena bab ini berisikan kajian tentang sifat

Gelombang dari partikel, yang memuat tentang dualisme partikel.

4.3 Tujuan Instruksional Khusus (TIK)

Setelah mempelajari Bab ini mahasiswa diharapkan dapat:

1. Memahami teori gelombang de Broglie

2. Memahami bentuk persamaan unum gelombang, kecepatan fasa dan kecepatan grup.

3. Menjelaskan tentang difraksi partikel dan partikel yang terkuantisasi dalam kotak.

4. Menjelaskan prinsip ketaktentuan Heisenberg.

4.4 Uraian Materi

Gelombang zat, atau gelombang pengarah (pemandu) telah menjadi bagian khasanah

ilmu Fisika pada tahun 1925 dengan ditandai oleh munculnya hipotesa de-Broglie. Hipotesa

tentang gelombang pengarah sangat diilhami oleh studi mengenai gerak elektron dalam atom

Bohr.

105

Gelombang zat yang senantiasa menyertai gerak suatu zarah melengkapkan pandangan

tentang dualisme zarah gelombang. Dengan demikian perbedaan antara cahaya dan zarah, atau

lebih tegasnya antara gelombang dan zarah menjadi hilang. Gelombang cahaya dapat

berperilaku sebagai zarah, sebaliknya zarah dapat berperilaku sebagai gelombang.

Pandangan semacam itu sangat berbeda dengan persepsi manusia tentang gejal-gajal

fisik konkret yang dialami nya sehari-hari. Sejak abad ke-20 teori-teori klasik mulai

dipertanyakan kesahihannya untuk dipergunakan di tingkat atom yang sub-atom.

Satu tahun setelah postulat de-Broglie disebarluaskan seorang ahli fisika dari Austria,

Erwin Schrodinger berhasil merumuskan suatu persamaan diferensial umum untuk gelombang

de-Broglie dan dapat ditunjukkan pula kesahihannya untuk berbagai gerak elektron.

Persamaan diferensial ini yang selanjutnya dikenal sebagai persamaan gelombang

Schrodinger sebagai pembuka jalan ke arah perumusan suatu teori mekanika kuantum yang

komprehensip dan lebih formalistik. Pada tahun 1927, satu tahun setelah Schrodinger

merumuskan persamaan gelombangnya, Heisenberg merumuskan suatu prinsip yang bersifat

sangat fundamental. Prinsip ini dirumuskan pada waktu orang sedang sibuk mempelajari

persamaan Schrodinger dan berusaha keras untuk dapat memahami maknanya.

Pada tahun 1926, Heisenberg juga muncul dengan suatu cara baru untuk menerangkan

garis-garis spektrum yang dipancarkan oleh sistem atom. Pendekatannya sangat lain, karena

yang digunakannya adalah matriks. Hasil yang diperoleh dengan cara ini sama dengan apa

yang diperoleh melalui persamaan Schrodinger. Mekanika kuantumnya Heisenberg dikenal

sebagai mekanika matriks.

Secara kronologis prinsip Heisenberg muncul sesudah dirumuskannya persamaan

Schrodinger. Tetapi sebagai suatu prinsip teoritik hal itu merupakan suatu hal yang

fundamental, dan dapat disejajarkan dengan teori kuantum Einstein, postulat de-Broglie, dan

postulat Bohr. Oleh karenanya dalam pembahasannya prinsip Heisenberg ditampilkan lebih

dahulu dari persamaan Schrodinger.

Teori Planck tentang radiasi thermal, teori einstein tentang foton, teori Bohr tentang

atom Hidrogen, dan postulat de-Broglie tentang gelombang zat, serta prinsip Heisenberg

dikenal sebagai teori kuantum lama. Dalam teori kuantum lama terkandung hampir semua

landasan bagi suatu teori yang dapat menguraikan perilaku sistem-sistem fisika pada tingkat

atom dan sub-atom.

106

Melepaskan Diri dari Konsep Klasik Tentang Lintasan

Dalam mengkaji tentang radiasi thermal perlu dihipotesakan bahwa energi (osilator) itu

terkuantisasi, dalam telaah tentang efek fotolistrik dan efek Compton timbul hipotesa bahwa

cahaya itu terkuantisasi dan berperilaku sebagai zarah. Teori Bohr mempostulatkan bahwa

dalam keadaan-keadaan tertentu elektron yang dalam gerakannya mengelilingi inti atom

mengalami percepatan sentrifugal tidak memancarkan radiasi elektromagnetik. Dan banyak

lagi yang bersifat fundamental dalam daerah Fisika Klasik harus ditinggalkan apabila

diinginkan untuk menemukan suatu kerangka konseptual yang dapat menjadi menemukan

suatu kerangka konseptual yang dapat menjadi landasan teoritik untuk gejala-gejala tingkat

atom dan sub-atom.

Salah satu yang perlu ditinjau lagi adalah pandangan klasik tentang lintasan.

Pandangan bahwa jalan yang ditempuh suatu benda dalam ruang dapat dilukiskan sebagai

garis yang mulus (smooth) datang dari pengamat di dunia makro. Dalam suatu proses abstrak

dan idelisasinya benda tersebut kemudian dilukiskan sebagai suatu titik (titik pusat massa)

yang menempuh suatu lintasan berupa garis. Pandangan itu didasarkan pengalaman manusia

sejak ia melempar tombaknya yang pertama sampai pada saat mempelajari lintasan-lintasan

yang ditempuh peluru meriam. Pandangan tersebut telah berkarat dalam otak manusia dan

makin diperkuat oleh pengamatanya sehari-harinya tentang perilaku benda-benda yang

bergerak.

Demikian kuatnya pandangan itu berakar dalam benaknya sehingga dalam menelaah

gerak zarah dalam sistem tingkat atom besar kecenderungannya untuk juga berpegang pada

konsep lintsan klasik itu. Pertanyaan sekarang adalah : “Apakah konsep klasik tentang lintasan

suatu benda (zarah) dalam ruang masih tetap dapat dipegang untuk menelaah sistem-sistem

atom dan sub-atom?”.

Untuk menjawab pertanyaan tersebut perlu ditelaah lebih dahulu kondisi yang

melingkupi suatu perangkat pengamatan lintasan untuk sistem fisika klasik (makro), dan

melihat apakah kondisi-kondisi tersebut dipenuhi oleh perangkat pengamatan untuk suatu

sistem atomik atau sub-atomik. Andaikan bahwa ingin direkam lintasan yang ditempuh sebuah

bola dalam ruang, bola tersebut bergerak di bawah pengaruh gaya gravitasi bumi. Misalkan

gerak bola tersebut direkam dengan tiga buah kamera film secara cermat. Dengan

107

menempatkan masing-masing kamera termaksud dalam posisi yang tepat maka lintasan bola

dalam ruang dapat ditentukan.

Bagaimanakah kedudukan bola tersebut terekam dalam film? Secara fisika bola

teramati karena cahaya matahari atau cahaya buatan yang dipantulkan oleh bola tersebut

sampai pada film di dalam kamera. Gajala pemantulan bearti bahwa foton-foton yang

bertumbukan dengan bola kemudian terhambur dalam sistem kamera. Karena momentum

linear foton-foton tersebut sangat kecil dibandingkan dengan momentum linear bola maka

pengaruh tumbukannya dapat diabaikan. Lintasan yang ditempuh bola tidak terganggu oleh

sistem pengamatannya (arus foton dan kamera).

Di sini terlihat adanya dua sistem yakni :

• Pertama, sistem fisika yang diamati, yaitu bola yang bergerak dalam ruang dalam

pengaruh gaya gravitasi bumi.

• Kedua, sistem pengamatan yang terdiri dari kamera film dan sumber cahaya.

Dalam susunan percobaan di atas kedua sistem tersebut tidak saling mempengaruhi

operasi masing-masing. Sistem pengamatan dan sistem yang diamati tidak saling

mempengaruhi.

Sekarang kita tinjau sebuah sistem mikro yakni lintasan elektron dalam pengaruh

medan gaya luar. Agar elektron tidak dipengaruhi oleh kehadiran geraknya oleh udara, maka

percobaan dilakukan dalam vakum.

Elektron ditembakkan dari sebelah kiri dengan energi kinetik beberapa puluh elektron

volt ke dalam ruang hampa udara. Karena pengaruh medan gaya luar maka gerak elektron

mengalami deflasi (penyimpangan). Andaikan terdapat mikroskop yang dapat dipergunakan

untuk melihat elektron maka dengan mengubah-ubah kedudukan mikroskop pada saat

pengamatan posisi elektron maka dapat diperoleh informasi mengenai jejak elektron tersebut

(hipotesis).

Dari sini pula kedudukan elektron teramati karna foton dari suatu sumber cahaya yang

berada dalam bejana vakum itu dipantulkan oleh elektron dan masuk dalam mikroskop.

Keadaannya agark berlainan dengan pengamatan tentang lintasan bola. Foton yang

dipergunakan untuk mengamati cukup besar momentum linearnya, sehingga tumbukan dengan

elektron akan mengubah lintasannya. Jadi apabila jejak elektron itu diperoleh dari serangkaian

108

foton yang terhambur ke dalam mikroskop maka terjadilah juga serangkaian perubahan gerak

elektron. Di sini pengaruh sistem pengamatan cukup besar dan tak dapat diabaikan. Sistem

pengamatan dan sistem fisik yang diamati saling mempengaruhi. Lintasan yang diperoleh

melalui pengamatan elektron penuh dengan kelak-kelok dan lika-liku sebagai hasil tumbukan

antara foton dengan elektron.

Andaikan kita mengadakan pengamatan yang kedua kalinya tentang lintasan elektron

tersebut maka bentuk lintasannya juga berkelok-kelok, namun berbeda bentuknya dengan

lintasan pengamatan pertama. Hal ini disebabkan foton dipancarkan oleh sumber secara acak.

Dengan demikian apabila dilakukan sepuluh kali pengamatan maka akan diperoleh sepuluh

lintasan yang berbeda-beda. Hal ini sangat berbeda dengan pengertian lintasan dalam fisika

klasik, sebagai idealisasinya maka lintasannya adalah pasti dan tidak berubah apabila semua

syarat sistem fisinya sama.

Yang dapat dimasukkan dalam pengamatan jejak elektron hanyalan pendekatan

statistik tentang lintasan, artinya tentang besar kebolehjadian pada saat tertentu/elektron yang

diamati berada dalam suatu kedudukan tertentu dalam ruang r. Konsep klasik tentang lintasan

suatu benda dalam ruang harus diganti dengan suatu konsep statistik tentang kebolehjadian

bahwa suatu elektron berada pada suatu kedudukan dan waktu tertentu apabila kita menelaah

suatu sistem tingkat atom dan sub-atom. Hal ini disebabkan oleh suatu kenyataan bahwa

dalam sistem atomik dan sub-atomik sistem pengamatn dan sistem yang diamati berinteraksi

dengan kuat.

Tentunya dapat dikemukakan usul lain untuk tetap menggunakan konsep lintasan

dalam kasus sistem atomik dan sub-atomik, yakni foton yang dipergunakan adalah foton

dengan momentum linear rendah, artinya energi foton juga rendah, sehingga tidak besar

pengaruhnya terhadap gerak elektron yang ditumbuknya.

Foton berenergi rendah berarti panjang gelombang foton adalah besar Foton dapat

dipresentasikan sebagai paket gelombang dengan panjang gelombang yang dominan λ0. Jika

λ0 besar, maka kedudukannya tak pasti, dan menjadi tak pasti pula ramalan tentang kedudukan

elektron yang ditumbuknya. Usulan semacam itu tidak memberikan jalan keluar, karena

memang rupanya ketakpastian yang meyangkut lintasan sistem atomik merupakan sesuatu

yang fundamental dalam penjabaran sistem-sistem fisika pada tingkat atom.

109

4.4.1 Gelombang de Broglie

Berdasarkan peristiwa efek fotolistrik dari Einstein, yang kemudian didukung dengan

percobaan yang dilakukan oleh Compton telah membuktikan tentang dualisme (sifat kembar)

cahaya, yaitu cahaya bisa berkelakuan sebagai gelombang, tetapi cahaya juga dapat bersifat

partikel. Pada tahun 1924 Louise de Broglie mengemukakan pendapatnya bahwa : cahaya

dapat berkelakuan seperti partikel, maka partikel pun seperti halnya electron dapat

berkelakuan seperti gelombang.

Gambar 4.1 Skema Percobaan Louise de Broglie

Sebuah foton dengan frekuensi f memiliki energi sebesar hf dan memiliki momentum

p = , karena c = fλ, maka momentum foton dapat dinyatakan p = hf/c sehingga panjang

gelombang foton dapat dinyatakan λ = h/p. Untuk benda yang bermassa m bergerak dengan

kecepatan memiliki momentum linier sebesar mv maka panjang gelombang de Broglie dari

benda itu dinyatakan dengan persamaan

λ � ��

�� (4.1)

Untuk menguji hipotesis yang dilakukan oleh Louise de Broglie pada tahun 1927,

Davisson dan Germer di Amerika Serikat dan G.P. Thomson di Inggris secara bebas

meyakinkan hipotesis Louise de Broglie dengan menunjukkan berkas elektron yang terdifraksi

bila berkas ini terhambur oleh kisi atom yang teratur dari suatu kristal. Davisson dan Germer

melakukan suatu eksperimen dengan menembakkan electron berenergi rendah yang telah

diketahui tingkat energinya kemudian ditembakkan pada atom dari nikel yang diletakkan

110

dalam ruang hampa. Berdasarkan hasil pengamatan Davisson dan Germer terhadap elektron-

elektron yang terhambur ternyata dapat menunjukkan adanya gejala interferensi dan difraksi.

Dengan demikian hipotesis de Broglie yang menyatakan partikel dapat berkelakuan sebagai

gelombang adalah benar.

Berapakah panjang gelombang de Broglie dari sebuah elektron yang bergerak dengan kelajuan

2×105 m/s jika massa elaktron 9,1x10-31 kg dan h=6,6×10-34 Js?

Penyelesaian :

Diketahui : v = 2×105 m/s ; m = 9,1×10-31 kg ; h = 6,6×10-34 Js

Ditanyakan : λ = …?

4.4.2 Persamaan Gelombang

Jika suatu gelombang dapat menyatakan suatu partikel maka gelombang tersebut

haruslah menempati ruang yang terbatas pula. Gelombang yang demikian keadaannya tentulah

bukan merupakan gelombang tunggal melainkan suatu gelombang komposit, yaitu gelombang

yang tersusun dari banyak bentuk gelombang dasar sinus, yang akan kita lihat berikut ini.

Gelombang Tunggal

Suatu bentuk gelombang sinus tunggal dengan amplitudo Am, frekuensi sudut ω, dan

pergeseran sudut θ, kita tuliskan sebagai u = Am cos(ωt − θ) atau dengan menggunakan notasi

kompleks

u = Am e j(ωt −θ)

(4.2)

Jika θ merupakan fungsi x, θ = kx , dengan k adalah bilangan gelombang, k=2π/λ , dimana λ

adalah panjang gelombang, maka (4.2) menjadi :

111

(4.3)

memberikan persamaan unruk gelombang maju karena untuk suatu nilai

amplitudo yang konstan, x harus makin besar dengan bertambahnya t ; dalam hal ini

gelombang merambat ke arah sumbu x positif. Persamaan adalah

persamaan untuk gelombang mundur.

Kecepatan rambat gelombang dapat dicari dengan melihat perubahan posisi amplitudo.

Untuk gelombang maju, amplitudo akan bernilai konstan jika ωt − kx = 0 atau x = ωt/k.

Kecepatan rambat gelombang adalah :

(4.4)

dengan f adalah frekuensi siklus. Kecepatan ini disebut kecepatan fasa. Bentuk gelombang

tunggal ini merupakan bentuk gelombang non-kausal, yaitu suatu bentuk gelombang yang

untuk suatu t tertentu membentang dalam selang −∞<x<+∞.

Paket Gelombang

Kita lihat suatu bentuk gelombang komposit yang merupakan jumlah dari n gelombang

sinus yang masing-masing mempunyai amplitudo Amn , frekuensi ωn dan bilangan gelombang

kn , yaitu :

(4.5)

Gelombang komposit ini adalah gelombang maju yang dapat kita tuliskan sebagai

(4.6)

dengan k0 , ω0 , A0 berturut-turut adalah nilai tengah dari bilangan gelombang, frekuensi dan

amplitudo. Dalam tinjauan ini kita membatasi variasi nilai bilangan gelombang k pada selang

yang sempit, yaitu :

112

Selain itu perbedaan nilai k antara gelombang-gelombang sinus tersebut sangat kecil sehingga

perubahan nilai k dapat dianggap kontinyu. Kita menganggap pula bahwa dalam selang variasi

bilangan gelombang yang sempit ini, amplitudo dari masing-masing gelombang penyusun

tidak terlalu bervariasi sehingga Amn /A0 ≈1. Dengan anggapan ini maka (4.6) menjadi :

(4.7)

Apa yang berada dalam tanda kurung pada (4.7), yang kita sebut S(x,t), merupakan suatu

faktor yang akan membuat amplitudo gelombang menjadi fungsi dari x dan t. Bagaimana

bentuk amplitudo sebagai fungsi x, dapat kita lihat pada suatu t tertentu, misalnya pada t = 0.

Pada t = 0, bentuk amplitudo gelombang menjadi :

(4.8)

Karena perubahan k dianggap kontinyu maka :

(4.9)

Dengan demikian maka persamaan gelombang komposit (4.7) untuk t = 0 menjadi

(4.10)

Persamaan (4.10) menunjukkan bahwa amplitudo gelombang komposit ini merupakan fungsi

dari x yang dinyatakan dengan adanya faktor S(x), dan kita katakan bahwa amplitudo

gelombang terselubung oleh fungsi :

Bentuk gelombang (4.8) inilah bentuk gelombang sebagai fungsi x yang bebas dari waktu

yang dapat dituliskan sebagai :

(4.11)

Limit fungsi selubung S(x) adalah _k jika x→0 dan 0 jika x→∞; jika digambarkan

113

akan terlihat seperti pada Gambar.4.2.

Gambar 4.2 Paket gelombang.

Kita katakan bahwa gelombang komposit ini berada dalam selubung atau paket dan

kita sebut sebagai paket gelombang. Paket gelombang ini mempunyai amplitude maksimum di

suatu titik dan nilainya menurun dengan cepat di luar titik tersebut. Bentuk gelombang seperti

inilah yang dapat dipakai untuk menyatakan partikel dengan pengertian bahwa posisi partikel

adalah di sekitar nilai maksimum gelombang ini. Lebar daerah di sekitar nilai maksimum ini,

yang kita sebut lebar paket gelombang, harus kita definisikan. Pendefinisian ini agak bebas

sehingga kita tidak menentukan posisi elektron secara pasti melainkan menentukan rentang x

di mana elektron mungkin berada.

Jika kita ambil nilai (∆k x/2) = π/2 maka pada x = ±π/∆k amplitudo telah menurun

sampai 63% dari nilai maksimumnya. Nilai x merupakan batas lebar paket gelombang

sehingga lebar paket gelombang adalah :

(4.12)

Hubungan antara sebaran bilangan gelombang, ∆k, dan lebar paket gelombang, ∆x, menjadi :

(4.13)

Dari persamaan gelombang komposit (4.7) :

(4.14)

kita dapat mendefiniksikan dua macam kecepatan.

a. Yang pertama adalah kecepatan fasa vf0 = ω0/ k0 seperti yang telah kita kenal pada

gelombang tunggal.

114

b. Yang kedua adalah kecepatan group yang dapat kita lihat dari amplitudo gelombang

komposit S(x,t)A0. Amplitudo gelombang ini akan mempunyai bentuk yang sama bila S(x,

t) = konstan . Hal ini akan terjadi jika (∆ωn)t=(∆kn)x untuk setiap n.

Dari sini kita definisikan kecepatan group sebagai :

(4.15)

karena ∆k kita anggap cukup kecil. Kecepatan group ini merupakan kecepatan

rambat paket gelombang.

4.4.3 Kecepatan Fasa dan Kecepatan Grup

Amplitude gelombang de Broglie yang berkaitan dengan benda bergerak

mencerminkan peluang benda itu didapatkan pada suatu tempat pada saat tertentu. Contoh

yang terkenal bagaimana group gelombang timbul ialah dalam gejala ayunan gelombang. Bila

dua gelombang bunyi yang amplitudonya sama tetapi frekuensinya sedikit berlainan

ditimbulkan pada saat yang sama (serentak), bunyi yang kita dengar berfrekuensi sama dengan

rata-rata dari kedua frekuensi semula dan amplitudenya naik dan turun secara periodic

(berkala). Fluktuasi amplitude yang timbul berulang-kali tiap detik banyaknya sama dengan

perbedaan antara kedua frekuensi semula. Jika bunyi semula mempunyai frekuensi 440 dan

442 Hz, kita akan mendengar fluktuasi bunyi dengan dengan frekuensi 441 Hz dengan dua

puncak bunyi keras yang disebut ayunan, per detik.

Secara matematis untuk menggambarkan group gelombang ialah dengan

menyatakannya sebagai superposisi dari gelombang individual yang mempunyai panjang

gelombang berbeda-beda yang interferensinya menghasilkan variasi amplitude yang

mendefinisikan bentuk group gelombang. Jika kecepatan gelombangnya sama, kecepatan

penjalaran group gelombang ialah kecepatan yang sama. Namun, jika kecepatan gelombang

berubah terhadap panjang gelombang (seperti yang terjadi pada gelombang de Broglie),

gelombang individual yang berbeda tidak menjalar bersama, dan group gelombang memiliki

kecepatan yang berbeda dari gelombang pendirinya.

Tidaklah sukar untuk menghitung kelajuan u yang merupakan kelajuan penjalaran

group gelombang. Marilah kita anggap bahwa group gelombang timbul dari kombinasi dua

115

gelombang yang beramplitude sama A, tetapi frekuensi sudutnya berbeda dω dan bilangan

gelombangnya berbeda dk. Kita dapat menyatakan gelombang semula dengan rumus:

y1 = A cos ( ωt –kx ) (4.16a)

y2 = A cos [( ω + dω) t – ( k + dk ) x] (4.16b)

Gambar 4.3 Group gelombang

Gambar 4.4 Gelombang superposisi untuk frekuensi berbeda

Pergeseran resultan y pada saat t dan pada kedudukan x ialah jumlah dan y1 dan y2.

Dengan pertolongan identitas :

Cos α + cos β = 2 cos ½ ( α + β ) cos ½ ( α – β ) (4.17)

Dan hubungan :

Cos (-θ) = cos θ

Kita dapatkan :

y = y1 + y2

= 2A cos ½ [( 2ω + dω ) t – ( 2k + dk ) x] cos ½ (dωt – dk x) (4.18)

Karna dω dan dk kecil dibandingkan dengan ω dan k berurutan, maka :

2ω + dω = 2ω

2k + dk = 2k

116

Dan :

Ayunan y = 2A cos (ωt – kx) cos (��

� � (4.19)

Persamaan (4.19) menyatakan gelombang yang berfrekuensi sudut ω dan bilangan gelombang

k yang termodulasi dengan frekuensi sudut ½dω dan bilangan gelombang ½ dk.

Efek modulasi ini menghasilkan group gelombang yang berbaris seperti pada gambar

4.4 Kecepatan fase w besarnya :

Kecepatan fase w = �� (4.20)

Sedangkan kecepatan u group gelombangnya ialah

Kecepatan group u = �� (4.21)

Bergantung pada perilaku kecepatan fase yang berubah terhadap bilangan gelombang

dalam medium tertentu, kecepatan groupnya bisa lebih besar atau lebih kecil dari kecepatan

fasenya. Jika kecepatan fase w sama untuk setiap panjang gelombang, sebagaimana pada

gelombang cahaya dalam ruang hampa (vakum), maka kecepatan group dan kecepatan fasenya

sama.

Frekuensi sudut dan bilangan gelombang dari gelombang de Broglie yang berpautan

dengan sebuah benda yang massa diamnya mo yang bergerak dengan kecepatan v ialah

ω = 2πv = ��

�

Frekuensi sudut gelombang de Broglie :

� � �� /�� (4.22)

� � ��

�

Bilangan gelombang de Broglie :

� � �� /�� (4.23)

Baik ω maupun k merupakan fungsi kecepatan v. Kecepatan fase w seperti yang telah kita

dapatkan,

Kecepatan fase de Broglie :

��

� (4.24)

Yang besarnya melebihi kecepatan benda v dan kelajuan cahaya c, karena v < c.

117

Kecepatan group u dari gelombang de Broglie yang berkaitan dengan benda itu ialah

� � �� /��

��/��

Sekarang : ��

��!/� dan ��

�� !/� sehingga kecepatan groupnya menjadi :

kecepatan group de Broglie :

u = v (4.25)

group gelombang de Broglie berkaitan dengan sebuah benda yang bergerak menjalar dengan

kecepatan yang sama dengan kecepatan benda itu. Kecepatan fase w dari gelombang de

Broglie kelihatannya tidak mempunyai arti fisis yang langsung.

4.4.4 Difraksi Partikel

Eksperimen yang memperlihatkan keberadaan gelombang de Broglie Manifestasi

gelombang yang tidak mempunyai analogi dalam perilaku partikel Newtonian ialah gejala

difraksi. Dalam tahun 1927 Davisson dan germer di Amerika Serikat dan G.P. Thomson di

Inggris secara bebas menyakinkan hipotesis de Broglie dengan menunjukkan berkas electron

terdifraksi bila berkas itu dihamburkan oleh kisi atom yang teratur dari suatu Kristal.

Eksperimen Davisson Germer

Davisson dan Germer mempelajari electron yang terhambur oleh zat padat dengan

memakai peralatan seperti pada gambar 4.5. Energy electron dalam berkas detector dapat

diubah-ubah. Fisika klasik meramalkan bahwa electron yang terhambur akan muncul dalam

berbagai arah dengan hanya sedikit kebergantungan dari intensitas terhadap sudut hambur dan

lebih sedikit lagi dari energy electron primer. Dengan memakai blok nikel sebagai target,

Davisson dan Germer membuktikan ramalannya.

118

(a)

(b)

Gambar 4.5 Model eksperimen (a). Louise de Broglie ; (b) Davisson-Germer

Ditengah-tengah pekerjaan tersebut terjadi sesuatu peristiwa yang memungkinkan

udara masuk kedalam peralatannya dan mengoksidasi permukaan logam. Untuk menguasai

oksidasi nikel murni, target itu dipanggang dalam oven bertemperatur tinggi. Setelah

perlakuan tersebut, targetnya dikembalikan ke dalam peralatan dan pengukurannya dilakukan

lagi.

Ternyata sekarang hasilnya sangat berbeda dari sebelum peristiwa itu terjadi: sebagai

ganti dari variasi yang kontinu dari intensitas electron yang terhambur terhadap sudut, timbul

maksimum dan minimum yang jelasteramati yang kedudukannnya bergantung pada energy

electron. Graf pada setiap pik polar yang biasa digambarkan untuk intensitas electron setelah

peristiwa itu ditunjukkan dalam gambar 4.6 metode plotnya dilakukan sedemikian sehingga

intensitas pada setiap sudut berbanding lurus dengan jarak kurva pada sudut itu dari titik

hamburannya. Jika intensitasnya sama untuk semua sudut hambur, kurvanya akan berbentuk

lingkaran dengan titik hambur sebagai pusat.

119

Dua pertanyaan segera timbul dalam pikiran: apakah yang menjadi penyebab efek baru

ini, dan mengapa tidak muncul sebelum target nikel itu dipanggang?

Hipotesis de Broglie mendorong tafsiran bahwa gelombang elektron didifraksikan oleh

target sama seperti sinar-x didifraksikan oleh bidang-bidang atom dalam Kristal. Tafsiran ini

mendapat dukungan setelah disadari bahwa efek pemanasan sebuah blok nikel pada

temperature tinggi menyebabkan banyak Kristal individual kecil yang membangun blok

tersebut bertanggung menjadi Kristal tinggi yang besar yang atom-atomnya tersusun dalam

kisi yang teratur.

Marilah kita tinjau apakah kita dapat membuktikan bahwa gelombang de Broglie

merupakan penyebab dari hasil Davisson dan Germer. Pada suatu percobaan tertentu berkas

electron 54eV diarahkan tegak-lurus pada target nikel, dan maksimum yang tajam dalam

distribusi elektron terjadi pada sudut 500 dari berkas semula. Sudut dating dari sudut hambur

relative terhadap suatu keluarga bidang Bragg ditunjukkan dalam gambar 4.6 keduanya

bersudut 650. Jarak antara bidang dalam keluarga itu yang bisa diukur melalui difraksi sinar-x

adalah 0,091 nm. Persamaan Bragg untuk maksimum dalam pola difraksi ialah

nλ = 2d sin θ (4.26)

40 V 44 V 48 V 54 V 60 V 64 V 68 V

Gambar 4.6 Hasil Eksperimen Davisson-Germer

Di sini d = 0,091 nm dan θ = 65o; dengan menganggap n = 1, panjang gelombang de Broglie λ

dari elektron yang terdifraksi adalah :

λ = 2d sin θ = (2) (0,091 nm) (sin 65o) = 0,165 nm

sekarang kita pakai rumus de Broglie

λ = �

��

120

untuk menghitung panjang gelombang elektron yang diharapkan. Energi kinetik 54eV kecil

dibandingkan dengan energy diam moC2 yaitu sebesar 5,1 x 105 eV, sehingga kita dapat

mengabaikan efek relativistic.

Karena : K = ½ mv2

Maka momentum elektron itu mv ialah

mv = √2$ % = &�2��9,1 10�+��,��54 /0��1.6 10��3 456�

= 4,0 x 10-24 kg m/s

Jadi panjang gelombang elektron itu ialah

λ = �

�� = 7,7+ 8 �9:!; 4.<

=,9 8 �9:�; ��.�/< = 1,66 x 10-10 m = 0,166 nm

yang besarnya sesuai dengan panjang gelombang yang diamati. Jadi eksperimen Davisson dan

Germer menunjukkan bukti langsung dari hipotesis de Broglie mengenai sifat gelombang

benda bergerak.

Analisis eksperimen Davisson-Germer sebenarnya tidak langsung seperti yang

ditunjukkan di atas, karena energi elektron bertambah ketika elektron itu masuk ke dalam

Kristal dengan besar yang sama dengan besar fungsi kerja (work function) permukaan itu. Jadi

kecepatan elektron dalam eksperimen lebih besar di dalam Kristal dan panjang gelombang de

Broglie yang bersangkutan menjadi lebih kecil dari harga di luar Kristal. Komplikasi lainnya

timbul dari interferensi antara gelombang yang didifraksi oleh keluarga lain dari bidang bragg

yang membatasi terjadinya maksimum dan minimum menjadi hanya kombinasi tertentu dan

energy elektron dan sudut datang sebagai pengganti dari setiap kombinasi yang memenuhi

persamaan Bragg.

Elektron bukanlah satu-satunya jenis partikel yang perilaku gelombangnya dapat

ditunjukkan. Difraksi neutron dan atom secara keseluruhan jika dihambur oleh Kristal yang

cocok telah teramati, dan nyatanya difraksi neutron seperti juga difraksi sinar-x dan elektron

telah dipakai untuk menyelidiki struktur Kristal.

Mikroskop Elektron

Sifat gelombang elektron yang bergerak merupakan dasar dari mikroskop elektron

yang dibuat untuk pertama kali dalam tahun 1932. Daya pisah setiap instrumen optimis

dibatasi oleh difraki sehingga besarnya berbanding lurus dengan panjang gelombang yang

121

dipakai untuk menyinari benda yang diselidiki. Untuk mikroskop yang baik yang memiliki

cahaya yang tampak, perbesaran maksimum yang bermanfaat ialah sekitar 500 kali ;

perbesaran yang lebih tinggi membentuk bayangan yang lebih besar tetapi tidak

mengungkapkan rincian. Elektron cepat memiliki panjang gelombang yang jauh lebih pendek

dari cahaya tampak dan mudah dikendalikan oleh medan listrik dan magnetik karena elektron

bermuatan. Sinar-x juga memiliki panjang gelombang yang pendek, tetapi sampai sekarang

orang belum berhasil (?) untuk memfokuskan sinar itu dengan baik.

Dalam mikroskop elektron, kumparan yang berarus listrik dipakai untuk menimbulkan

medan magnetik yang berlaku sebagai lensa untuk memfokuskan berkas elektron pada benda

yang diselidiki dan alat ini menghasilkan baying yang diperbesar pada layar pendar (fluoresen)

atau pelat fotografik (gambar 3.8). untuk mencegah berkas itu tersebar sehingga mengaburkan

bayangan yang dihasilkan, dipakai sampel yang tipis dan seluruh system itu dihampakan.

Teknologi “lensa” magnetic belum menghasilakan daya resolusi teoretis dari

gelombang elektron. Misalnya, elektron 100 keV mempunyai panjang gelombang 0,0037 nm,

tetapi resolusi yang sebenarnya yang dapat dicapai mikroskop elektron hanya sekitar 0,1 nm.

Sumber elektron

Lensa kodensor magnetik

Objek

Lensa objektif magnetik

Lintasan elektron

Lensa proyeksi magnetik

Bayangan

Gambar 4.7 Skema pengamatan mikroskop electron yang dipercepat daripada cahaya dalam mikroskop optic, maka mikroskop elektron dapat menghasilkan bayangan yang tajam pada perbesaran yang lebih tinggi.

122

Namun ini tetap merupakan kemajuan yang besar dibandingkan dengan daya pisah

mikroskop optis yang besarnya sekitar 200 nm, dan perbesaran 1.000.000 x telah dicapai oleh

mikroskop elektron.

4.4.5 Partikel dalam Kotak

Sebagai pendahuluan dalam menentukan gambaran statistik sistem partikel maka kita

tinjau keadaan yang paling sederhana yaitu suatu sistem dengan 1 partikel dalam kotak 1

dimensi. Tujuan kita adalah mendapatkan gambaran untuk

menjelaskan karakteristik partikel dalam kotak 1 dimensi. (Dilakukan dalam kotak

karena dalam kotak aspek dimensinya justru akan memudahkan perhitungan

lebih lanjut walaupun dalam kenyataannnya partikel tidak selalu berada dalam kotak).

Gambar 4.8 Partikel dalam kotak 1 dimensi

Kotak yang ditinjau adalah kotak 1 dimensi kemudian setelah itu dengan melihat

prinsip yang ada dalam kotak 1 dimensi, dengan mudah kita dapat menentukan partikel dalam

kotak 3 dimensi. Dari sini dapat ditentukan harga fungsi energi f(E) berdasarkan variabel pada

sistem yang terdefinisi. Perhatikan gambar 4.8. Syarat batas yang diberikan adalah partikel

berada dalam kotak 1 dimensi, berarti partikel hanya ada pada daerah L < x< 0 dan tidak pada

batas x=0 dan x=L. Dengan adanya pernyataan dualisme gelombang yang dicetuskan oleh De

Broglie bahwa selain memiliki sifat partikel juga memiliki sifat gelombang maka keberadaan

partikel dalam kotak dapat dinyatakan dalam persamaan gelombang :

(4.27)

Jika partikel terdapat dalam kotak yang panjangnya L, maka syarat batas memenuhi :

(4.28)

123

dengan syarat di atas berarti A≠0, maka syarat persamaan (4.2) memberikan nilai sin kl = 0;

yakni ketika sin kl = sin nπ

kl = nπ ; n = 1,2,3,… dimana k = 2π/λ (4.29)

Jika k menyatakan bilangan gelombang, maka akan diperoleh : kl = nπ

(4.30)

Dari persamaan (4.30) dapat dianalisis bahwa panjang kotak agar kita dapat menemukan

partikel yang didefinisikan dalam sistem tersebut adalah L=n(½)λ harus merupakan kelipatan-

kelipatan dari ½ panjang gelombang. Bagaimana mendapatkan persamaan energi sistem

tersebut? Hal ini dapat dilakukan dengan menentukan fungsi energi. Kita tinjau harga

momentum yang dimiliki partikel oleh De Broglie dapat dinyatakan dengan :

(4.31)

Gambar 4.9 Ilustrasi panjang kotak 1 D berkaitan dengan L

Pernyataan lain mengenai energi kinetik partikel (jika interaksi antar partikel

diabaikan) E = ½ mv2, dalam bentuk momentum energi tersebut dapat dinyatakan dengan :

(4.32)

maka :

(4.33)

sehingga :

(4.34)

124

Terlihat pada pers. (4.34) bahwa harga E ini bergantung pada n. Penurunan harga energi ini

juga dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan Schroedinger yaitu dengan :

(4.35)

Jika kita menginginkan suatu fungsi energi f(E), maka berdasarkan pers.(4.36) dapat

diambil kesimpulan bahwa fungsi energi yang dimaksud adalah:

(4.37)

Pers. (4.37) menunjukkan bahwa variabel n merupakan harga yang ditentukan oleh nilai E,

jika variabel lainnya kita anggap konstan [L2π/nh(2m)1/2], sehingga pengamatan kita pada

sistem seperti ini sangat ditentukan oleh harga rentang energi yang diberikan.

Partikel dalam kotak 3 dimensi

Pembahasan yang lebih luas, sistem pada contoh 1 di atas dapat kita kembangkan menjadi

sitem partikel tunggal dalam kotak 3D, yaitu yang memiliki panjang, lebar dan tinggi. Untuk

lebih jelasnya perhatikan gambar 4.4. Jika diinginkan partikel berada dalam kotak, maka

syarat yang harus dipenuhi adalah :

0 < x < Lx ; 0 < y < Ly ;0 < z < Lz

Fungsi gelombang yang menggambarkan partikel dalam kotak adalah :

(4.38)

Gambar 4.10 Ilustrasi partikel dalam kotak 3 D

125

Dengan demikian syarat batas tersebut memenuhi :

(4.39)

maka persamaan (4.8) dapat kita turunkan dengan menggunakan syarat batas

tersebut :

(4.40)

Dengan menghindari solusi trivial, maka : A(sin kz z)≠0 dan ψ = A(0)(0)(0) = 0 sehingga A≠0.

Sehingga persamaan ini harus memenuhi hubungan :

(4.41)

Mengingat harga momentum p adalah suatu vektor,

(4.42)

dimana k adalah bilangan gelombang yang juga merupakan vektor dan h/2π adalah suatu

konstanta, sehingga pernyataan harga momentum partikel untuk ruang 3 dimensi dapat

dinyatakan dengan :

> � ? ��@ � (4.43)

Jika harga Lx = Ly = Lz = L, maka persamaan di atas menjadi :

(4.44)

126

dan mengingat n adalah indeks yang berjalan (n = 1, 2, 3, …) yang dapat dinyatakan sebagai

bilangan kuantum. Untuk menggambarkan tingkatan-tingkatan energi, pernyataan yang lebih

mudah jika kita memberlakukan sifat simetris pada sistem ini:

(4.45)

Untuk lebih jelasnya jika tingkatan energi ini digambarkan dalam koordinat bola sebagai

berikut :

Harga volume bola pada gambar 4.5 adalah 0 � =+ AB+

Jika dipandang 1/8 volume bola, maka untuk menentukan harga perubahan energy

merupakan fungsi R atau E adalah :

Gambar 4.11 Illustrasi PengembanganRuang Energi

dimana f(E) adalah fungsi energy dari sistem satu buah partikel yang berada dalam kotak tiga

dimensi. Dalam menjelaskan sebuah system kita harus memiliki metode yang tepat untuk

mendapatkan informasi tentang perubahan sistem tersebut akibat dari perubahan variabel yang

dinyatakan dalam fungsi f(X) dengan X merupakan variable teramati. Hal inilah dinamakan

spesifikasi keadaan sistem. Sebagai latihan coba anda turunkan persamaan energi untuk kasus

Osilator harmonik dan atom hidrogen.

127

Panjang gelombang de Broglie partikel yang terperangkap

CD =�E D n =1,2,3,.. (4.46)

λ � �E+

λ = L

λ = 2L

L

Gambar 4.12 Fungsi gelombang partikel yang terperangkap dalam kotak yang lebarnya L.

Karena λ = h/mv, pembatasan pada panjang gelombang de Broglie yang datang dari

lebar kotak adalah ekivalen (setara) dengan pembatasan pada momentum partikel, atau

pembatasan pada energi kinetik. Energi kinetic sebuah partikel bermomentum mv adalah:

K = ½ mv2 = ��

�� (4.47)

Karena λ = h/mv, mv = h/λ dan

K = ��

��

Panjang gelombang yang diizinkan adalah λn =2L/n, dank arena partikel itu tidak

memiliki energi potensial dalam model ini, maka energi yang bisa dimilikinya adalah:

128

Partikel dalam kotak FD � D��G�E� n=1,2,3,…. (4.48)

Setiap energi yang diizinkan disebut tingkat energi, dan bilangan bulat n yang member

spesifikasi tingkat energi En disebut bilangan kuantum. Sebuah partikel yang terperangkap

dalam kotak tidak dapat memiliki energi yang sembarang seperti yang dimiliki partikel bebas,

kentyataan terperangkapnya menyebabkan pembatasan pada panjang gelombangnya yang

hanya mengizinkan energi yang ditentukan oleh persamaan (4.48).

Sebuah partikel dalam kotak berdinding tegar merupakan suatu contoh

yang dibuat-buat, tetapi kuantisasi energi yang didapatkan di situ berlaku umum, sebuah

partikel yang terperangkap dalam suatu daerah ruang (walaupun daerah itu tidak memiliki

batas yang terdefinisikan secara baik, hanya dapat memiliki energi tertentu saja. Secara eksak

berapa besar energi ini, bergantung dari massa partikel dan perincian bagaimana partikel itu

terperangkap. Dalam bab yang akan datang kita akan melihat bagaimana kuantisasi energi

muncul untuk elektron dalam atom, molekul dan zat padat serta untuk proton dan neutron

untuk inti atomic.

Aspek penting dari persamaan (4.48) ialah pernyataan bahwa partikel yang

terperangkap tidak boleh memiliki energi nol. Karena panjang gelombang de Broglie sebuah

partikel adalah λ = h/mv, dengan kepesatan rata-rata v = 0 yang merupakan panjang

gelombang tak-terhingga. Akan tetapi tidak ada yang mendamaikan suatu panjang gelombang

tak terhingga dengan sebuah partikel yang terperangkap, sehingga masing-masing partikel

harus memiliki beberapa energi kinetik. Eksklusi (peniadaan) E=0 sebagai harga yang

diizinkan untuk energi partikel yang terperangkap, seperti juga pembatasan energi E menjadi

sekelompok harga yang diskrit merupakan suatu hasil yang tidak kita dapatkan dalam meknika

klasik; di sini setiap energi termasuk nol diizinkan.

Mengapa tidak kita sadari adanya kuantisasi energi dalam dunia pengalaman kita? Kita

yakin bahwa sebuah kelereng yang menggelinding bolak-balik antara dinding sebuah kotak

dengan lantai yang licin dapat memiliki kecepatan berapa saja, sehingga energinya dapat

berharga berapa saja sekehendak yang kita berikan, termasuk nol. Supaya kita bisa

menyakinkan diri bahwa persamaan (4.48) tidak bertentangan dengan hasil pengamatan kita

yang langsung di samping memberikan pandangan yang unik dalam skala mikroskopik, kita

129

akan menghitung tingkat energi yang diizinkan untuk sebuah partikel dalam kotak yang

berdimensi atomic dan kemudian sebuah partikel dalam kotak dengan dimensi makroskopik.

Contoh soal 1 : Carilah tingkat energi sebuah elektron dalam kotak yang lebarnya 0,1 nm

Jawaban :

Di sini m = 9,1 x 10-31 kg dan L = nm = 10-10m, sehingga energi elektron yang diizinkan

adalah

En = D� 8 �7.7�7 8 �9:!; 4.<��

G 8 �3,� 8 �9:!H�� 8 ��9:HI�� = 6,0 x 10-18 n2 J = 38n2 eV

Energi minimum yang dimiliki elektron adalah 38 eV, yang bersesuaian dengan harga n=1,

deretan tingkat energi diteruskan dengan E2 =152 eV, E3 = 342 eV, E4 = 608 eV, dan

sebagainya. Tingkat energi ini cukup berjauhan, sehingga kuantisasi energi elektron dalam

kotak seperti itu jelas tampak bila kotak semacam itu betul ada.

Contoh soal 2 : Hitung tingkat energi kelereng yang bermassa 10 g dalam kotak yang

lebarnya 10 cm.

Jawaban:

Dengan m =10 g = 10-2 kg dan L = 10 cm = 10-1 m

En = D� 8 �7,7�7 8 �9:!; 4.<��G 8 ��9:�� 8 �9:H �� = 5,5 x 10-64 n2 J

Energi minimumyang dapat dimiliki kelereng itu adalah 5,5 x 10-64J, yang bersesuaian dengan

n = 1, sebuah kelereng yang memiliki energi kinetic sebesar ini memiliki kecepatan hanya

sebesar 3,3x10-31m/s, sehingga secara eksperimental tidak bisa dibedakan dari kelereng yang

diam. Kecepatan yang nalar yang dapat dimiliki kelereng itu, dikatakan �+ m/s yang

bersesuaian dengan tingkat energi yang berbilangan kuantum n = 1030! Tingkat energi yang

diizinkan sangat berdekatan, sehingga tidak ada cara untuk menentukan apakah kelereng

tersebut dapat memiliki energi tertentu seperti yang diramalkan oleh persamaan (3.18) atau

energi lainnya. Jadi dalam daerah pengalaman sehari-hari efek kuantum tidak teramati, hal ini

menerangkan suksesnya mekanis newton dalam daerah ini.

130

4.4.6 Prinsip Ketaktentuan Heisenberg

Konsep klasik tentang lintasan kurang bermakna bila dipergunakan dalam menelaah

sistem fisika tingkat atom, karena pada sistem ini, sistem pengamatan dan sistem yang diamati

saling mempengaruhi. Konsep lintasan yang klasik harus diganti dengan pendekatan statistik,

yaitu dengan menyatakannya dalam besarnya kebolehjadian bahwa suatu zarah berada di suatu

kedudukan tertentu pada saat tertentu pula.

Konsep statistik tentang kedudukan dapat diungkapkan secara matematik oleh

Heisenberg dengan menggunakan eksperimen gendanken (percobaan dalam benak) sebagai

berikut. Andaikan elektron diamati melalui mikroskop dengan menggunakan foton-foton yang

dipancarkan sumber cahaya.

Pada gambar di atas θ adalah sudut maksimum sedemikian hingga foton yang datang

dari kedudukan masih dapat masuk dalam sistem optik mikroskop. Andaikan suatu foton

datang dari sumber cahaya dengan momentum linear sebesar :

λh

po = (4.49)

Foton ini menumbuk elektron, dan kemudian terhambur dengan sudut θ terhadap

sumbu optik mikroskop. Momentum linear foton terhambur, dalam arah x adalah :

θλ

sinh

px = (4.50)

dalam arah yang bertolak belakang dengan arah px’.

hal ini berarti bahwa elektron dapat terlihat dalam mikroskop apabila momentum linear

foton berada dalam daerah antara :

φλ

sinh

pix += dan φ

λsin

hpi

x −=

Dengan demikian ketidakpastian momentum foton adalah :

φλ

sin2h

p ix =Λ (4.51)

Hal ini berarti juga bahwa elektron akan terlihat bila ketidakpastian momentum linearnya

memiliki nilai :

φλ

sin2h

px =Λ (4.52)

131

Permasalahannya sekarang adalah : Bagaimanakah kedudukan elektron dalam arah-x ?

Jika digunakan cahaya dengan panjang gelombang λ, maka daya pisah (resolusi) mikroskop

tersebut adalah :

φsin

2h

x =Λ (4.52)

Artinya jarak yang lebih kecil dari ini tidak dapat dibedakan lagi. Kedudukan elektron

tak dapat ditentukan dengan ketakpastian yang lebih kecil. Oleh karena itu agar elektron masih

dapat dilihat dengan mikroskop maka sekaligus harus dipenuhi bahwa :

φλ

sin2h

px =Λ dan φsin

2h

x =Λ

Perkalian kedua persamaan tersebut menghasilkan :

hxpx 2. =ΛΛ

Suatu telaah yang lebih eksak memberikan hubungan :

2

.h

xpx ≥ΛΛ (4.53)

Persamaan (4.53) merupakan prinsip ketidakpastian Heisenberg, ketidakpastian

momentum dan posisi suatu zarah tidak dapat lepas satu dari lainnya. Apabila dituntut

ketakpastian yang tak berhingga bagi harga posisi elektron (∆x=0), maka tidak akan diperoleh

sama sekali informasi mengenai besarnya momentum linear elektron, dan sebaliknya.

Ketidakpastian bukan lagi bergantung dari ketelitian alat, akan tetapi merupakan

sesuatu yang fundamental, sesuatu yang hakiki dengan dunia fisika pada tingkat atom.

Di tingkat mikroskopis, prinsip ketakpastian Heisenberg menjadi tidak relevan. Hal itu

dapat diperkirakan dengan mengambil contoh yang konkrit. Selanjutnya prinsip ketidakpastian

Heisenberg dapat dikembangkan dalam tiga dimensi menjadi

2

.h

xpx ≥ΛΛ

2

.h

ypx ≥ΛΛ

2

.h

zpx ≥ΛΛ

132

dan dapat dijabarkan pula ketidakpastian energi dan waktu sebagai berikut :

2

.h

tE ≥ΛΛ (4.54)

Contoh soal 3 : Pengukuran menghasilkan kedudukan proton dengan ketelitian ±10-11 m.

Cari ketaktentuan kedudukan proton 1 detik kemudian. Anggaplah v << c. (gunakan h/2π =

1,054x10-34 J.s)

Jawaban :

Jika kita sebut ketaktentuan dalam kedudukan proton ∆x0 pada aktu t=0. Ketaktentuan

momentum pada saat ini ialah :

∆> K ��∆8I�� L ∆> � ∆�$M� � $9∆M

Ketaktentuan kecepatan proton ialah :

∆M � ∆M/$9 L ∆M K �=�I∆8I

Jarak yang ditempuh proton dalam waktu t tidak dapat diketahui lebih teliti dari :

∆ � ∆M L ∆ K �N��I∆8I

Jadi ∆x berbanding terbalik dengan ∆x0 ; lebih banyak kita ketahui kedudukan proton pada

t=0, lebih sedikit kita ketahui kedudukan berikutnya pada aktu t=t. Harga ∆x pada t=1s adalah

∆ K O�,9P=8�9:!;4<Q��<��,7R�8�9:�S��9:HH�� L ∆ K 3,15 10+$

Ini adalah 3,15 km – mendekati 2 mil. Grup gelombang sempit yang semula telah berkembang

menjadi jauh lebih lebar, karena kecepatan fase dan gelombang komponen berubah terhadap

bilangan gelombang dan kisaran besar dari bilangan gelombang harus ada untuk membentuk

grup gelombang semula yang sempit.

Penerapan Prinsip Ketaktentuan dalam Orbital Atom

Apa itu orbital atom : Orbital dan orbit

Ketika planet bergerak mengitari matahari, kita dapat menggambarkan jalur yang

ditempuh oleh planet itu yang disebut dengan orbit. Gambaran sederhana dari atom juga sama

dengan fenomena tersebut dan kita dapat menggambar elektron-elektron yang mengorbit

mengelilingi nukleus (inti atom). Walaupun sesungguhnya elektron-elektron tidak mengorbit

pada jalur yang tetap melainkan mengorbit pada sebuah ruang yang disebut dengan orbital.

Orbit dan orbital terkesan sama, tetapi sebenarnya memiliki makna yang cukup

berbeda. Kita perlu memahami perbedaan di antara keduanya.

Ketidakmungkinan penggambaran orbital elektron

Untuk menggambar suatu jalur kita perlu mengetahui secara pasti di mana objek

tersebut berada dan ke arah mana objek itu bergerak.

tersebut untuk elektron-elektron.

Prinsip ketidakpastian Heisenberg

pasti di mana elektron itu berada dan ke arah mana elektron itu bergerak. Hal ini membuat kita

tidak mungkin menggambarkan secara tepat jalur atau orbit dari elektron yang mengelilingi

nukleus. Tetapi ada suatu cara lain yang bisa diterima untuk menggambarkan pergerakan

elektron-elektron di sekitar nukleus.

Elektron hidrogen - orbital 1s

Bayangkan kita memiliki satu atom hidrogen dan menentukan posisi

elektronnya pada suatu waktu tertentu. Segera sesu

menentukan posisi elektron ini, dan kita mendapati elektron itu sudah ada di

posisi yang berbeda. Kita tidak mengerti bagaimana elektron ini berpindah dari

posisi yang pertama ke posisi yang kedua

titik posisi dari elektron tersebut, dan kita akan perlahan

dimensi peta posisi dari elektron tersebut

Dalam kasus elektron hidrogen, elektron dapat ditemukan di manapun di

sekeliling nukleus. Diagram menunjukkan kemungkina

elektron yang membentuk ruang wilayah yang mengelilingi nukleus.

Pada 95% dari hasil pengamatan, elektron dapat ditemukan dalam suatu

ruang wilayah yang relatif dekat dengan nukleus. Wilayah dari ruang

tersebut kita sebut dengan

Ki ta dapat beranggapan bahwa orbital merupakan suatu ruang wilayah di mana elektron itu

bergerak di dalamnya.

133


berbeda. Kita perlu memahami perbedaan di antara keduanya.

Ketidakmungkinan penggambaran orbital elektron-elektron

menggambar suatu jalur kita perlu mengetahui secara pasti di mana objek

tersebut berada dan ke arah mana objek itu bergerak. Sayangnya, kita tidak bisa melakukan hal

elektron.

Prinsip ketidakpastian Heisenberg menunjukkan bahwa kita tidak dapat mengetahui secara



da suatu cara lain yang bisa diterima untuk menggambarkan pergerakan

elektron di sekitar nukleus.

orbital 1s


elektronnya pada suatu waktu tertentu. Segera sesudahnya, kita kembali



posisi yang pertama ke posisi yang kedua. Kita coba untuk terus mencari titik

itik posisi dari elektron tersebut, dan kita akan perlahan-lahan menemukan suatu gambaran 3

dimensi peta posisi dari elektron tersebut


sekeliling nukleus. Diagram menunjukkan kemungkina




tersebut kita sebut dengan orbital.

ta dapat beranggapan bahwa orbital merupakan suatu ruang wilayah di mana elektron itu


menggambar suatu jalur kita perlu mengetahui secara pasti di mana objek

Sayangnya, kita tidak bisa melakukan hal

menunjukkan bahwa kita tidak dapat mengetahui secara



da suatu cara lain yang bisa diterima untuk menggambarkan pergerakan


dahnya, kita kembali



Kita coba untuk terus mencari titik-

lahan menemukan suatu gambaran 3


sekeliling nukleus. Diagram menunjukkan kemungkinan dari posisi




ta dapat beranggapan bahwa orbital merupakan suatu ruang wilayah di mana elektron itu

Tiap orbital memiliki nama :

Orbital yang dihuni oleh elektron hidrogen disebut dengan

menunjukkan bahwa orbital tersebut

nukleus. Huruf "s" menunjukkan bentuk dari orbital tersebut. Orbital s berbentuk bulat

simetris yang mengelilingi nukleus.

Bentuknya sama dengan orbital 1s kecuali r

nukleus - di mana letaknya pada tingkat energi kedua.

Jika kita perhatikan secara seksama, kita dapat menemukan bahwa terdapat wilayah di

mana rapat elektronnya lebih tinggi (di mana titik

"Kerapatan elektron" merupakan suatu istilah yang dipakai untuk memberitahuka

kemungkinan kita dapat menemukan elektron pada posisi tertentu.

Elektron-elektron 2s (dan juga 3s, 4s) berada dalam posisi dekat dengan nukleus

daripada yang mungkin kita bayangkan. Efek dari ini adalah pengurangan energi dari elektron

dalam orbital s. Semakin dekat elektron dengan nukleus, semakin rendah energinya

orbital p

Tidak semua elektron memiliki sifat seperti orbital s. Pada tingkat energi

pertama, orbital hanya terdiri dari orbital 1s, tetapi ketika kita memasuki tingkat

energi kedua, selain daripada orbital 2s, kita akan menemukan

Orbital p berbentuk sep

Gambar di sebelah kiri menunjukkan adanya titik yang membagi ruang

wilayah. Perlu diingat, orbital menunjukkan 95% kemungkinan elektron itu

berada.

Tidak seperti orbital s, orbital p memiliki arah

yang mengarah ke bawah.

Pada tiap tingkat energi ada kemungkinan terdapat 3 orbital p yang arahnya saling

tegak lurus satu sama lain. Arah dari tiap orbital p ini diberi simbol p

merupakan

134

Orbital yang dihuni oleh elektron hidrogen disebut dengan orbital 1s

menunjukkan bahwa orbital tersebut memiliki tingkat energi yang terdekat dengan

" menunjukkan bentuk dari orbital tersebut. Orbital s berbentuk bulat

simetris yang mengelilingi nukleus. Orbital di sebelah kiri merupakan orbital 2s.

Bentuknya sama dengan orbital 1s kecuali ruang wilayahnya yang lebih jauh dari

di mana letaknya pada tingkat energi kedua.


mana rapat elektronnya lebih tinggi (di mana titik-titiknya lebih pekat) dekat dengan nukleus.

"Kerapatan elektron" merupakan suatu istilah yang dipakai untuk memberitahuka

kemungkinan kita dapat menemukan elektron pada posisi tertentu.

elektron 2s (dan juga 3s, 4s) berada dalam posisi dekat dengan nukleus


emakin dekat elektron dengan nukleus, semakin rendah energinya



energi kedua, selain daripada orbital 2s, kita akan menemukan

Orbital p berbentuk seperti 2 buah balon yang identik yang diikat di tengahnya.



Tidak seperti orbital s, orbital p memiliki arah tertentu - pertama yang mengarah ke atas dan


tegak lurus satu sama lain. Arah dari tiap orbital p ini diberi simbol px, py dan p

orbital 1s. Angka "1"

memiliki tingkat energi yang terdekat dengan

" menunjukkan bentuk dari orbital tersebut. Orbital s berbentuk bulat

Orbital di sebelah kiri merupakan orbital 2s.

uang wilayahnya yang lebih jauh dari


titiknya lebih pekat) dekat dengan nukleus.

"Kerapatan elektron" merupakan suatu istilah yang dipakai untuk memberitahukan

elektron 2s (dan juga 3s, 4s) berada dalam posisi dekat dengan nukleus


emakin dekat elektron dengan nukleus, semakin rendah energinya.



energi kedua, selain daripada orbital 2s, kita akan menemukan orbital 2p.

erti 2 buah balon yang identik yang diikat di tengahnya.



pertama yang mengarah ke atas dan


dan pz. x, y dan z

koordinat dari orbital-orbital tersebut.

Orbital p pada tingkat energi kedua disebut dengan 2p

lainnya 3px, 3py dan 3pz, maupun 4p

selain dari tingkat energi pertama memiliki orbital p. Pada energi level yang lebih tinggi

bentuk dari balon akan semakin lonjong, yang berarti kemungkinan elektron berada akan

semakin jauh dari nukleus.

orbital d dan f

Selain daripada orbital s dan p, terdapat dua bentuk or

berada pada tingkat energi yang lebih tinggi. Pada tingkat energi ketiga, kita akan menemukan

5 bentuk dari orbital d ( dengan bentuk dan penamaan yang lebih rumit ), dan tentunya juga

orbital 3s dan orbital 3p (3px, 3p

total 9 orbital.

Pada tingkat energi keempat, selain daripada orbital 4s , 4p dan 4d , kita juga akan

menemukan tambahan 7 buah orbital

tingkat energi yang lebih tinggi.

Menempatkan elektron di orbital

Kita dapat membayangkan sebuah atom seperti sebuah istana

pada lantai bawah tanah, kemudian tiap lantai terdiri dari kamar

ditempati oleh elektron-elektron. Lantai pertama hanya terdiri dari satu kamar ( yaitu orbital 1s

); lantai kedua terdiri dari 4 kamar (orbital 2s, 2p

kamar ( satu orbital 3s, tiga orbital 3p dan 5 orbital 3d ) dan seterusnya.

tersebut tidaklah besar.

135

orbital tersebut.

Orbital p pada tingkat energi kedua disebut dengan 2px, 2py dan 2pz. Begitu juga pada orbital

, maupun 4px, 4py dan 4pz dan seterusnya. Seluruh tingkat energi

energi pertama memiliki orbital p. Pada energi level yang lebih tinggi


Selain daripada orbital s dan p, terdapat dua bentuk orbital lainnya di mana elektron


( dengan bentuk dan penamaan yang lebih rumit ), dan tentunya juga

, 3py dan 3pz). Pada tingkat energi ketiga kita akan menemukan


menemukan tambahan 7 buah orbital f - dengan total 16 orbital. Orbital s, p, d dan f memiliki

energi yang lebih tinggi.

Menempatkan elektron di orbital

Kita dapat membayangkan sebuah atom seperti sebuah istana - di mana nukleus berada

pada lantai bawah tanah, kemudian tiap lantai terdiri dari kamar-kamar (orbital) yang akan

elektron. Lantai pertama hanya terdiri dari satu kamar ( yaitu orbital 1s

); lantai kedua terdiri dari 4 kamar (orbital 2s, 2px, 2py dan 2pz); lantai ketiga terdiri dari 9

kamar ( satu orbital 3s, tiga orbital 3p dan 5 orbital 3d ) dan seterusnya. Tetapi kamar

. Begitu juga pada orbital

Seluruh tingkat energi

energi pertama memiliki orbital p. Pada energi level yang lebih tinggi


bital lainnya di mana elektron


( dengan bentuk dan penamaan yang lebih rumit ), dan tentunya juga

). Pada tingkat energi ketiga kita akan menemukan


dengan total 16 orbital. Orbital s, p, d dan f memiliki

di mana nukleus berada

kamar (orbital) yang akan

elektron. Lantai pertama hanya terdiri dari satu kamar ( yaitu orbital 1s

); lantai ketiga terdiri dari 9

Tetapi kamar-kamar

Tiap orbital hanya dapat ditempati oleh 2 elektron

Cara yang lazim digunakan untuk menggambarkan orbital yang dihuni oleh elektron

adalah dengan cara "kotak-kotak elektron".

"Kotak-kotak elektron"

Orbital dapat diwakili oleh kotak dan atom digambarkan sebagai anak panah.

Anak panah ke atas dan anak panah ke bawah digunakan untuk menggambarkan

elektron yang berbeda arah.

Orbital 1s ditempati oleh 2 elektron seperti gambar di sebelah kanan dan kita bisa

menuliskannya lebih singkat dengan 1s

".

Ingat, angka 1 mewakili tingkat energi, huruf s mewakili tipe dari orbital dan angka 2

mewakili jumlah elektron yang berada pada orbital tersebut.

Urutan mengisikan orbital

Elektron mengisi dari orbital pada tingkat energi rendah (dekat dengan nukleus)

sebelum mengisi pada orbital pada tingkat yang lebih tinggi. Ketika dihadapkan pada orbital

yang berada pada energi yang sama, elektron akan mengisi orbital yang

Diagram di bawah ini menggambarkan tingkat energi orbital sampai tingkat energi

keempat.

136

Tiap orbital hanya dapat ditempati oleh 2 elektron.


kotak elektron".

dapat diwakili oleh kotak dan atom digambarkan sebagai anak panah.


elektron yang berbeda arah.


iskannya lebih singkat dengan 1s2 . Kata ini dibaca " satu s dua " bukan " satu s kuadrat


mewakili jumlah elektron yang berada pada orbital tersebut.



yang berada pada energi yang sama, elektron akan mengisi orbital yang kosong dahulu.



dapat diwakili oleh kotak dan atom digambarkan sebagai anak panah.



Kata ini dibaca " satu s dua " bukan " satu s kuadrat




kosong dahulu.


Perhatikan bahwa orbital s selalu memiliki energi yang rendah daripada orbital p pada

seluruh tingkat energi, jadi orbital s akan ditempati

menempati orbital p.

Kita akan menemui kejanggalan pada posisi orbital 3d. Orbital ini berada pada tingkat

energi yang lebih tinggi daripada 4s

sebelum menempati orbital 3d dan baru kemudian 4p. Kejanggalan berikutnya akan kita temui

pada tingkat energi yang lebih tinggi lagi, sebagai contoh, di mana terjadi penindihan tingkat

energi yang mengakibatkan orbital 4f akan terisi setelah orbital 6s.

4.5 Latihan Soal

1. Dari keadaan diam elektron dipercepat dengan beda potensial sebesar 100 Volt.

Berapakah panjang gelombang de Broglienya?

2. Cari panjang gelombang de Broglie

kecepatan 20 m/s.

3. Berapakah panjang gelombang yang harus

jika sebuah foton dalam berkas itu memiliki momentum yang sama dengan momentum

elektron yang bergerak dengan kecepatan 5.10

4. Berapakah panjang gelombang de Broglie dari sebuah elektron yang bergerak dengan

kecepatan 3.106 m s-1?

5. Energi terendah yang mungkin dimiliki sebuah partikel yang terperangkap dalam sebuah

kotak ialah 1 eV. Berapakah energi dua tingkat berikutnya yang dapat dimiliki partikel

itu.

137


seluruh tingkat energi, jadi orbital s akan ditempati terlebih dahulu oleh elektron sebelum


energi yang lebih tinggi daripada 4s - jadi elektron akan menempati orbital 4s lebih dahulu

rbital 3d dan baru kemudian 4p. Kejanggalan berikutnya akan kita temui


energi yang mengakibatkan orbital 4f akan terisi setelah orbital 6s.

keadaan diam elektron dipercepat dengan beda potensial sebesar 100 Volt.

Berapakah panjang gelombang de Broglienya?

Cari panjang gelombang de Broglie dari sebutir pasir 1 mg yang ditiup angin dengan

Berapakah panjang gelombang yang harus dimiliki radiasi gelombang elektromagnetik


elektron yang bergerak dengan kecepatan 5.106 m/s.

Berapakah panjang gelombang de Broglie dari sebuah elektron yang bergerak dengan

Energi terendah yang mungkin dimiliki sebuah partikel yang terperangkap dalam sebuah



terlebih dahulu oleh elektron sebelum


jadi elektron akan menempati orbital 4s lebih dahulu

rbital 3d dan baru kemudian 4p. Kejanggalan berikutnya akan kita temui


keadaan diam elektron dipercepat dengan beda potensial sebesar 100 Volt.

dari sebutir pasir 1 mg yang ditiup angin dengan

dimiliki radiasi gelombang elektromagnetik


Berapakah panjang gelombang de Broglie dari sebuah elektron yang bergerak dengan

Energi terendah yang mungkin dimiliki sebuah partikel yang terperangkap dalam sebuah


138

6. Carilah bentuk tingkat energi (dalam MeV) sebuah neutron dalam kotak 1 dimensi yang

lebarnya 10-14m. Berapakah energi minimum neutron? (Diameter inti atomik berorde

besar sama dengan lebar tersebut).

7. Kedudukan dan momentum elektron 1 keV ditentukan secara serentak. Jika

kedudukannya dapat ditentukan sekitar 1 A0, berapa peresentasi ketaktentuan

momentumnya.

8. Bandingkan ketaktentuan kecepatan sebuah elektron dan sebuah proton yang terperangkap

dalam kotak 10 A0.

9. Kedudukan sebuah proton ingin ditentukan tanpa mengubah energi kinetiknya lebih dari 1

keV. Tentukan ketelitian maksimum dari kedudukan partikel itu.

10. Partikel elementer yang tak mantap yang disebut meson eta memiliki massa diam 549

MeV dan umur rata-rata 7x10-19 s. Berapa ketidakpastian massa diamnya.

4.6 Rangkuman

1. Kalau foton dapat berkelakuan seperti partikel, maka Louise de Broglie mengusulkan

bahwa partikel pun dapat bersifat sebagai gelombang dengan panjang gelombang yang

diusulkan oleh de Broglie yaitu :

λ � ��

��

2. Kebenaran dari dugaan Louise de Broglie dibuktikan oleh Davisson dan Germer dengan

mengamati gejala interferensi dan difraksi elektron yang ditembakkan pada atom nikel

3. Teori gelombang Louise de Broglie mengemukakan pendapatnya bahwa : cahaya dapat

berkelakuan seperti partikel, maka partikel pun seperti halnya electron dapat

berkelakuan seperti gelombang.

4. Davisson dan Germer melakukan suatu eksperimen dengan menembakkan electron

berenergi rendah yang telah diketahui tingkat energinya kemudian ditembakkan pada

atom dari nikel yang diletakkan dalam ruang hampa. Berdasarkan hasil pengamatan

Davisson dan Germer terhadap elektron-elektron yang terhambur ternyata dapat

menunjukkan adanya gejala interferensi dan difraksi. Dengan demikian hipotesis de

Broglie yang menyatakan partikel dapat berkelakuan sebagai gelombang adalah benar.

5. Bentuk superposisi gelombang jika terdapat dua gelombang yang bertemu :

y1 = A cos ( ωt –kx )

139

y2 = A cos [( ω + dω) t – ( k + dk ) x]

= 2A cos ½ [( 2ω + dω ) t – ( 2k + dk ) x] cos ½ (dωt – dk x)

6. Sebuah partikel yang terperangkap dalam kotak yang panjangnya L, bertujuan untuk

menentukan bvahwa setiap electron mempunyai tingkat energy yang berbeda satu sama

lainnya. Hal ini selanjutnya diturunkan dari fungsi gelombang, dengan menentukan fungsi

energi f(E) berdasarkan variabel pada sistem yang terdefinisi.

7. Pernyataan lain mengenai energi kinetik partikel (jika interaksi antar partikel diabaikan) E

= ½ mv2, dalam bentuk momentum energi tersebut dapat dinyatakan dengan :

4.7 Test Formatif

1. Bila dari keadaan diamnya electron dipercepat berturut-turut oleh beda potensial V1 = 100

volt dan V2 = 400 volt, maka perbandingan panjang gelombang de Broglie sebelum dan

sesudah dipercepat adalah ... .

a. 1 : 4 d. 2 : 1

b. 1 : 2 e. 4 : 1

c. 3 : 3

2. Besarnya panjang gelombang de Broglie dari sebuah elektron yang bergerak dengan

kelajuan 0,3 c, dengan c = 3x108 m/s dan massa elektron 9,1x10-31 kg adalah :

a. 0,02 A d. 0,08 A

b. 0,04 A e. 0,09 A

c. 0,06 A

3. Jika tetapan Planck = 6,60x10-34 Js, panjang gelombang de Broglie suatu elektron yang

bergerak dengan kelajuan 9,11x108 ms-1 adalah....

a. 6,6 ´ 10-47 Å d. 6,6 Å

b. 6,6 ´ 10-2 Å e. 66 Å

c. 6,6 ´ 10-1 Å

4. Cahaya kuning mempunyai panjang gelombang 6600 Å. Jika tetapan Planck h=6,60x10-34

Js dan kelajuan cahaya dalam ruang hampa adalah 3x108 ms-1, momentum foton cahaya

kuning adalah ....

140

a. 10-45 kg ms-1 d. 1027 kg ms-1

b. 10-41 kg ms-1 e. 1019 kg ms-1

c. 10-36 kg ms-1

5. Sebuah elektron dipercepat oleh suatu beda potensial V. Jika e = muatan elektron. m=

massa elektron, dan h=konstanta Planck, panjang gelombang l de Broglie elektron ini

dapat dinyatakan dengan rumus ....

6. Jika dari keadaan diamnya elektronvpertama dipercepat oleh benda potensial V1 dan

elektron lain dengan beda potensial V2 perbandingan panjang gelombang de Broglienya

untuk beda potensial berorde kV adalah ....

7. Para ahli berikut yang tidak mengemukakan teori atom modern adalah…

a. Louis de Broglie

b. Erwim Schrodinger

c. W. Heisenberg

d. Neils Bohr

e. Aufbau

8. Berikut ini percobaan yang mendukung teori atom mekanika kuantum, kecuali…

a. Efek fotolistrik

b. Eksperimen compton

c. Eksperimen difraksi berkas elektron

d. Radiasi benda mampat

141

e. Penembakan partikel alfa terhadap lempeng tipis

9. Dualisme gelombang – partikel dikemukakan oleh…

a. Louis de Broglie

b. Erwin Schrodinger

c. W. Heisenberg

d. Einstein

e. Max Planck

10. Tidak mungkin dapat ditentukan kedudukan dan momentum suatu benda secara seksama

pada saat bersamaan. Pernyataan ini dikemukakan oleh…

a. Louis de Broglie

b. Erwin Schrodinger

c. W. Heisenberg

d. Einstein

e. Max Planck

11. Daerah di sekitar inti dengan kebolehjadian untuk mendapatkan elektron disebut…

a. Sub orbit

b. Sub kulit

c. Kulit

d. Orbit

e. Orbital

12. Fungsi persamaan Schrodinger untuk menentukan kedudukan…

a. Proton dalam tiga demensi

b. Neutron dalam tiga dimensi

c. Elektron dalam tiga dimensi

d. Proton dalam orbital

e. Neutron dalam orbital

4.8 Tindak Lanjut

Jika anda telah selesai mengerjakan soal latihan dan tes formatif di atas, maka hitung jawaban

anda yang benar kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk menentukan tingkat penguasaan

anda terhadap materi modul ini.

142

Rumus:

UVW,�X Y/W,�XZXXW � [�$\X] [X^X_XW `XW, _/WXa[�$\X] ZbX\ 100%

Tingkat Penguasaan:

90% - 100% = Baik Sekali

80% - 89% = Baik

70% - 79% = Cukup

0% - 69% = Kurang

Jika tingkat penguasaan anda di bawah 80%, maka diharapkan mengulangi materi ini,

khususnya bagian-bagian yang belum dipahami, serta menambah pengetahuan dari referensi

lain yang berhubungan.

85560152 BAB IV Sifat Gelombang Dari Partikel

Documents

Transcript of 85560152 BAB IV Sifat Gelombang Dari Partikel