8 Integral Terbit

8/17/2019 8 Integral Terbit

1/27


2/27

34 4)( x xdx

d =+ ∫ +=∴ .4

43 xdx x

34 4)*( x xdx

d =− ∫ −=∴ *.4

43 xdx x

dalam ketiga contoh ini kita mengetahui pernyataan$pernytaan yang mempunyai

turunan 4x3 . +etapi sebarang suku konstanta dalam pernyataan aslinya menjadi

nol dalam turunannya dan semua jejak konstanta tersebut menjadi hilang.

adi jika kita tidak menguasai asal usul turunan tersebut, kita tidak mengetahui

nilai suku konstanta itu, apakah -, , $*, atau nilai lainnya. Oleh sebab itu

menerima keberadaan suku konstanta seperti itu yang bernilai tertentu

dengan menambahkan simbol C pada hasil integrai itu"

yakni, ∫ += C xdx x 43

.4

C disebut konstanta integrasi dan harus selalu disertakan.

!ntegral demikian disebut integral taktentu karena biasanya kita tidak

mengetahui nilai C tersebut. Akan tetapi, pada keadaan tertentu, nilai C mungkin

saja diperoleh bila informasi lebih lanjut tentang integral itu tersedia.

Sebagai contoh, unutk menentukan I = ∫ dx x .4 3

, diketahui bah/a I = 3

apabila x = 2. S eperti sebelumnya"

∫ +== C xdx x I 43 .4

+etapi I = 3 apabila x = 2 sehingga 3 = 24 + C ∴ C = !3

adi, dalam hal ini I = x4 " !3

8.1.2 Definisi integral taktentu ( Antiderivatives)

Definisi

Sebuah fungsi 0() adalah anti turunan (antiderivatives) dari sebuah

fungsi f() jika 0′() 1 f() untuk setiap dalam domain f. 2impunan semua anti

turunan dari f disebut integral taktentu (in!efinite integral) dari fterhadap ,

dinotasikan

∫ dx x f )( 1 0()

Integral -


3/27

Simbol adalah tan!a integral. 0ungsi f disebut integran (integran!) dari

integral , adalah ariabel integrasi dan disebut konstanta integrasi (konstanta

sebarang).

'erhatikan beberapa contoh berikut"

(a) %)( = xdx

d C xdx +=∴∫ %

(b) aaxdx

d =)( C axdxa +=∴∫

(c) %)( −= nn nx x

dx

d dengan menggantikan n dengan n % diperoleh

nn

xn xdx

d )%()(

%

+=+

nn

xn

x

dx

d =

+

∴+

%

%

# n ≠ $%

Sehingga diperoleh rumus ∫ ++=+

C n

xdx x

nn

%.

%

, n ≠ $%

(d)

x

x

dx

d %)(ln = ∫ +=∴ C xdx x ln

%

5engan mengumpulkan hasil$hasil tersebut kita peroleh rumus Integral "tan!ar"

C xdx +=∫ % ...................................................................................6.%

C axdxa +=∫ .................................................................................6.

∫ ++

=+

C

n

xdx x

nn

%

.%

, n ≠ $%................................................................6.3

∫ += C xdx x ln%

..............................................................................6.4

ontoh 6.%"

* 7%%.7

x dx x C = +∫

. %- %-dx x C = +∫

Integral %


4/27

73. 7lndx x C

x= +∫

ontoh 6."

f() 1 ∫ dx x3 , diketahui f() 1 %-. +entukan f().

'enyelesaian"

f() 1 C xC xdx x +=+=∫ 33 33

3

f() 1 6 1 %- ⇒ 1

adi f() 1 3

Aturan al#a$ar untuk integral taktentu.

∫ ∫ = dx x f k dx x f k )()( ...............................................................6.*

∫ ∫ −=− dx x f dx x f )()( ..............................................................6.7

∫ ∫ ∫ ±=± dx x g dx x f dx x g x f )()()8()(9 ..................................6.&

ontoh 6.3"

C x x xdxdx xdx xdx x x ++−=+−=+− ∫ ∫ ∫ ∫ ***%-3)*%-3( 3

+ampak bah/a dengan menggunakan rumus 6.& untuk mengintegralkan

penjumlahan suatu fungsi kita tinggal menjumlahkan integral masing$masing

fungsi.

Integral


5/27

Lati%an 8.1

Soal % : *, selesaikan integral berikut dan cek hasilnya dengan menggunakan

turunan.

%. ( %) x dx+∫ . (* 7 ) x dx−∫ %3. (3 )

t dt +∫

34. ( 4 )

t t dt +∫

3*. ( * &) x x dx− +∫ *7. (% 3 ) x x dx− −∫

% %&.

3 x dx

x

− − ÷ ∫ 3

% 6.

* x dx

x

− + ÷ ∫

%

3. x dx−

∫ * ; 4

%-. x dx−

∫ 3%%. ( ) x x dx+∫

%.

xdx

x

+ ÷ ÷

∫

%; 4

%3. 6 # d#

#

− ÷

∫ * ; 4

% %%4.

&d#

#

− ÷

∫

3%*. (% ) x x dx−−∫ 3%7. ( %) x x dx− +∫

%&. t t t dt t +∫ 34%6. t dt t +∫ 4 * 7

%. # #

d# #

− +∫ -. ( 3) # # d#− +∫

%. ( 3)( %) x x dx− +∫ . ( )( * 3) x x x dx+ + +∫ 3. ( ) x dx−∫ 4. ( %) x dx−∫

*. ( %)( 3)t t dt − +∫


6/27

&. >langi soal 7, untuk )(d

dg()dan)

%(

d

d)( x x x f == .

Selesaikan soal 6 : 3-.

6. 5iketahui xdx

xdf 3

)(= dan f(4) 1 %. +entukan f(), kemudian hitung f(%).

. +urunan pertama fungsi f() adalah %43 +

x, Apabila f(%) 1 *, tentukan f()

dan nilai f().

3-.


7/27

Atau tanpa pemisalan"

C x

C x

xd xdx x

x

dx

+−

=+−−

−=

−

−−=−=

−−

−−

∫ ∫ ∫

33

)3(

%.

3

%

3

)3()3()3(

)3(

%

%

3

3

3

. @..........................*cos*sin =∫ xdx x

'enyelesaian"

=isalkan" u 1 cos * ⇒ du 1 $* sin * d

$ dx xdu

*sin*

=

C xC udu

u xdx x +−=+−=

−= ∫ ∫ *cos%*

%

3*

%

**cos*sin

33

Atau tanpa pemisalan"

3

sin* cos * (cos* ) cos * (cos* )sin * cos *

*sin* *

%cos *

%*

x xd x xd x x xdx

x

x C

= = −−

= − +

∫ ∫ ∫

Lati%an 8.2

Soal % : -, gunakan substitusi untuk mencari integral berikut.

%.4(& * ) x dx−∫ . ∫ − dx x&

3. ∫ − )4( xdx

4. dx x x *cos*sin

∫

*. dx x x *sin*cos

∫ 7. ∫ 3(4 : %) d

&. ∫ ++

+3 )(

)%(

x x

dx x6. ∫ − )4%(

4

x x

dx

. dx x x

x∫ ++

+*3

3

%-. ∫ −% xdx x

%%. ∫ − % xdx x

%. ∫ − x xdx

cos%

sin

Integral *


8/27

%3. dx x

x∫ + tan%

sec %4.∫

−3

% x

dx

%*.dx

x x x

x x∫ −+−

+−&3

*

3

%3*

3

%7. ∫ +++ d# # # # # )()%4(% 34

%&. 3 & 3 # # d#−∫ %

%6.(% )

dx x x+∫

3 %. 6 % d θ θ θ −∫ 3(% )

-. x

dx x

+∫

Soal % : 3, tentukan fungsi yang diminta.

3%. % (3 %) , (%) 3, ...@ds t t s sdt

= − = =

%; 3. 4 ( 6) , (-) -, ...@d#

x x # #dx

−= + = =

*

%3. , (%) , ...@

dr t r r

dt t

−= = =

8.& Integral fungsi trigono'etri

=isalkan u fungsi yang diferensiabel terhadap . 5engan menggunakan

rumus diferensiasi pada fungsi trigonometri didapat

dx

duuu

dx

d

dx

duuu

dx

d

dx

duuu

dx

d

dx

duuu

dx

d

csc)(cot#sec)(tan

sin)(cos #cos)(sin

−==

−==

Sehingga diperoleh

C uduuC udx

dx

duu +=+=

∫ ∫ sincosatausincos ...........................6.

C uduuC udxdx

duu +−=+−=

∫ ∫ cossinataucossin .....................6.%-

C uduuC udxdx

duu +=+=

∫ ∫ tansecatautansec ........................6.%%

C uduuC udxdx

duu +−=+−=

∫ ∫ cotcscataucotcsc ...................6.%

erdasarkan rumus$rumus %. $ %.% diperoleh rumus berikut"

Integral 7


9/27


10/27

1 C x xC uu

du++=+=∫ sectanlnln

4. ∫ ∫ = dx x

xdx x

cos

sintan # misal u 1 cos ⇒ du 1 $sin d

C x xC uduu

dx x +=−=+−=−= ∫ ∫ seclncoslnln%

tan

Lati%an 8.&

Soal % : -, carilah integralnya.

%. (cos sin3 ) x x dx+∫ . (% cos* ) x dx−∫

3. sin( %)t dt −∫ 4. sec (3 )d α α −∫

%

*. (tan3 csc )d θ θ θ −∫ 7. ∫ xdx x cossin

&. ∫ dx x x cos4sin 6. ∫ dx x x 4cos*cos%-

. ∫ d& &

& sin%-. ∫ + dt t t )4cos(

%; 3 ; %%. sin( %) x x dx+∫ % %

%. cos % dt t t

− ÷ ∫

3%3. csc (% ) # # d#−∫ %4. ∫ − d& & )3cot(

%*. *sin 3 .sin * & & d& ∫ %7. sin 3 xdx∫ %&. 7cos ( %) # d#−∫ %%6. 4 tan t dt ∫

%. 4 cot ( %) p p dp− +∫ -. ( sin ) x x x dx−∫

Soal % : 4%, gunakan substitusi untuk mencari integral berikut.

4%. cos sin x x dx∫ 3. sin sin # # d#∫

3. tan sect t dt ∫ & 4. tan sec x x

dx∫

*. sec tan

v v dvπ π + + ÷ ÷

∫ 7. csc cot

v v dv

π π + + ÷ ÷ ∫

sin( %)&.

cos ( %)

t dt

t

++∫ 3

7cos6.

(% sin )

t dt

t +∫

Integral 6


11/27

. cot csc # # d#∫ sec tan

3-.sec

& & d&

& ∫

33%. sin x dx∫ 33. cos x dx∫ 333. tan t dt ∫ 334. cot 3t dt ∫ 3 3*. sin cos x x dx∫ 37. ∫ dt t t t

%cos

%sin

%

3&.

cos

sind

θ θ

θ θ ∫

Selesaikan soal 36 : 3, dengan cara yang diminta.

36. ∫ + dx x x x

3

)tan(

sectan%6

a. =isalkan u 1 tan , diikuti dengan 1 u3, kemudian / 1

b. =isalkan u 1 tan3, kemudian 1 u

c. =isalkan u 1 tan3

3. dx x x x )%cos()%sin()%(sin% −−−+∫

a. =isalkan u 1 : %, diikuti dengan 1 sin u, kemudian / 1 %

b. =isalkan u 1 sin( : %), kemudian 1 % u

c. =isalkan u 1 % sin( : %)

Selesaikan soal 4- : 4*.

( %)cos 3( %) 74-.

3( %) 7

r r dr

r

− − +

− +∫

3

sin

4%. cos d

θ θ

θ θ ∫

4. )%

(sin6 π += t

dt

ds dan s(-) 1 6. +entukan s(t).

43. )4

(cos3

θ π

θ −=

d

dr dan r(-) 1

6

π . +entukan r(θ).

44. ?ecepatan sebuah partikel yang bergerak maju mundur pada sebuah garis

lurus untuk setiap t adalah 1 ds;dt 1 7 sin t meter;detik. jika s 1 - saat t 1 -,

carilah nilai s pada saat t 1 π; detik.

Integral


12/27

4*. 'ercepatan sebuah partikel yang bergerak maju mundur pada sebuah garis

lurus untuk setiap t adalah a 1 d s;dt 1 π cos πt meter;detik. ika s 1 - dan

1 - ketika t 1 -, carilah s ketika t 1 % detik.

8. Integral arsial

!ntegral parsial adalah salah satu teknik menyelesaikan integral fungsi

bentuk perkalian ∫ dx x g x f )()( . Bumus integral parsial diturunkan dari rumus

deriatif untuk fungsi perkalian, yaitu

dx

dvu

dx

duvvu

dx

d ..).( +=

5alam bentuk diferensial menjadi" d(u.) 1 du u d atau

u d 1 d(u) : du

ika kedua ruas diintegralkan, diperoleh"

∫ ∫ ∫ ∫ −=−= duvvuduvuvd dvu .)(

adi ∫ ∫ −= duvuvdvu ......................................................................6.%&

ontoh 6.7"

%. dx x∫ ln 1 C@ nisalkan u 1 ln dan 1

dx x∫ ln 1 ln $ ∫ )(ln xd x

1 ln $ ∫ ∫ −= dx x xdx x x ln%.

1 ln :

. ( ) sin cos cos cos ( ) x xdx x d x x x x d x= − = − −∫ ∫ ∫

1 $cos cos x x dx∫ D diturunkan menjadi E

1 $cos ∫ x xd sin D dipilih " u 1 dan 1 sin E

1 $cos )sinsin( ∫ − xdx x x

1 $cos C x x x ++ cossin

3. ∫ ∫ = 3 ln3%

ln xdx xdx x Ddiambil u 1 ln dan 1 3E

1 ∫ − ))(lnln(3% 33

xd x x x

Integral 3-


13/27

1 ∫ − )%

ln(3

% 33 dx x

x x x

1 ∫ − dx x x x 33

%ln

3

%

1 C x x x +− 33

%ln

3

%

Ada metode lain dalam integral parsial yang bisa digunakan, metode ini

mudah dipahami tetapi mempunyai kelemahan yaitu hanya bisa digunakan jika

memuat perkalian dua buah fungsi dengan salah satu fungsinya bisa diturunkan

terus menerus hingga menjadi nol (-).

=isalkan kita gunakan salah satu contoh diatas "

∫ = ....................sin

xdx x

tanda diturunkan diintegralkan

() Sin

($) $cos

() $sin

($) - os

'erhatikan tanda panah yang menunjukkan proses perkalian fungsi yang

akan diintegralkan, jadi hasilnya adalah

sin x x dx∫ 1 $cos C x x x ++ cossin D coba cocokkan dengan metodesebelumnyaE

5engan integral parsial maka diperoleh rumus$rumus berikut"

dx xn

n

n

x xdx x n

nn ∫ ∫ −

− −+=

%

cos%sincos

cos ............................6.%6

dx xn

n

n

x xdx x n

nn ∫ ∫ −

− −+−=

%

sin%cossin

sin ..........................6.%

dx xn

n

xn

xdx x n

n

n ∫ ∫ +−−− −−

+−

= %

cos%

cos)%(

sincos ......................6.-

dx xn

n

xn

xdx x n

n

n ∫ ∫ +−−− −−

+−

−= %

sin%

sin)%(

cossin .....................6.%

ontoh 6.&"

Integral 3%


14/27

3 cos sin % %. cos cos cos sin sin

3 3 3 3

x x x dx x dx x x x C = + = − +∫ ∫

34

3 -

3

sin cos 3. sin sin

4 4% 3 sin cos %

sin cos sin4 4

% 3 sin cos %sin cos

4 4

x x x dx x dx

x x x x x dx

x x x x x C

= − +

= − + − + ÷

= − − + +

∫ ∫ ∫

( )

( )

3 3 %

sin %3. sec cos cos

cos

% % sin %. . ln sec tan

cos cos

% %sec tan ln sec tan

x x dx x dx x dx

x

x x x C

x x

x x x x C

− −= = +

= + + +

= + + +

∫ ∫ ∫

Lati%an 8.


15/27

##### auauuauauaua −−−+−+

'ersamaan kuadrat juga dapat diselesaikan dengan metode ini dengan syarat harus

ditransformasikan dulu menjadi bentuk diatas.

+entuk "u$stitusi # uaua −− u 1 a sin θ

# uaua ++ u 1 a tan θ

# auau −− u 1 a sec θ

ontoh 6.6"

%.@.............

=

−∫ xdx

=isal " 1 3 sin θ #

d 1 3 cos θ dθ# dan 1 sin θ

C

x

ar'C d

d

d

d

x

dx

+=+===

−=

−=

−

∫ ∫

∫

∫ ∫

)3sin(cos

cos

.

sin%

cos

3

3

sin

cos3

θ θ θ

θ θ

θ

θ θ

θ

θ θ

. @...............&4

=+−∫ x x

dx

∫ ∫ +−

=+− )3()(&4 x

dx

x x

dxsubst" $ 1 3 tan θ # d1 3 secθ dθ

1 ∫ + )3(3tan dsec3

θ

θ θ

1 3

3

∫ + )%(tan dsec

θ

θ θ

13

3∫

θ

θ θ

sec

dsec

13

3∫ θ d 1 C

xar'C +

−=+

3

tan

3

3

3

3θ

3. @.............%7

=−

∫ dx x

x

Integral 33

3

θ

$

3

θ

4

θ


16/27

misal" 1 4 sec θ d 1 4secθ tanθ dθ

θ θ θ θ

θ d dx

x

xtansec4

sec4

%7sec%7%7

∫ ∫ −

=−

1 θ θ θ d tan%sec4 ∫ −

1 θ θ d tan4∫

1 4 C d +−=−∫ θ θ θ θ tan)%(sec

1 C x

ar' x

+

−

−4

sec4

%7

Integral 34


17/27

Lati%an 8.*


18/27

'ernyataan seperti ∫ +++

*%%

6& x x

x tidak muncul dalam daftar integral

standar kita, tetapi sebenarnya muncul pada banyak penerapan matematis.

'ernyataan ∫ +++

*%%

6& x x

x dapat dinyatakan dalam pecahan parsial yang lebih

sederhana strukturnya, yaitu

*%%

6& ++

+ x x

x

%

%

*

3

)%)(*(

6&

++

+=

+++

= x x x x

x

Sehingga

∫ ∫ ∫ +++=++

+dx

xdx

xdx

x x

x

%

%

*

3

*%%

6&

'ecahan ini merupakan Gfungsi dari suatu fungsi linear ,H yang

didasarkan pada integral standar ∫ dx x%

, jadi hasilnya sudah jelas"

∫ +++

*%%

6& x x

x

∫ ∫ ∫ −++=−++

= dx x

dx x

dx x x

xdx

%

%

*

3

)%)(*(

6&

C x x ++++= )%(ln

%)*(ln3

Ada dua macam fungsi rsaional yang akan kita bahas pada pokok

bahasan ini, yaitu"

(%)k

k

k a x

%

a x

%

a x

%

a xa xa x

x f

−++

−+

−=

−−−...

))...()((

)(

%

%

%

Ada dua cara untuk mengubah menjadi penjumlahan pecahan parsial, yaitu

pertama dengan cara menyamakan penyebut kedua ruas kemudian

menyamakan kedua pembilang dan kedua menggunakan rumus

k a xk

k k

a xa xa x

x f a x %

=−−−

−=

))...()((

)()(

%

...................................................6.

())(

...)()()(

)(%

%

a x

%

a x

%

a x

%

a x

x f k k k k −

++−

+−

=− −

Integral 37


19/27

Seperti bentuk pertama, di sini juga ada dua cara untuk mengubah menjadi

penjumlahan pecahan parsial, yaitu pertama dengan cara menyamakan

penyebut kedua ruas kemudian menyamakan kedua pembilang dan kedua

menggunakan rumus

#)(

)(

%

%

%

≥=

=

=−

−

=

k untuk dx

x f d %

x f %

a x

k

k

k

a x

.........................................................6.3

(3))()())((

)( ( px x

) *x

'bx x

+ %x

( px x'bx x

x f

++

++

++

+=

++++

'enyebut tidak dapat difaktorkan menjadi faktor linier. >ntuk menentukan A,, ' dan I samakan penyebut kedua ruas kemudian menyamakan kedua

pembilang.

ontoh 6."

Selesaikan dx x x

x∫ +−

+

))(%(

*%3

'enyelesaian"

-ara 1. enentukan A !an +

=isalkan%))(%(

*%3

++

−=

+−+

x

+

x

%

x x

x

dengan menyamakan kedua penyebut diperoleh

%3 * 1 A( ) ( : %)

Substitusikan 1 % diperoleh %6 1 3A ⇒ A 1 7

Substitusikan 1 $ diperoleh $% 1 $3 ⇒ 1 &

-ara 2. enentukan A !an +

73

%6

*%3

%

==+

+== x x

x %

&3

%

%

*%3

=−

−=−+=

−= x x

x +

C x xdx x xdx x x

x

+++−=

++−=+−

+

∴ ∫ ∫ )ln(&)%ln(7&

%

7

))(%(

*%3

Integral 3&


20/27

ontoh 6.%-"

Selesaikan ∫ +−++

dx x x

x x

)()%(

.

'enyelesaian"

=isalkan%)%()()%(

++

−+

−=

+−++

x

C

x

+

x

%

x x

x x

5engan rumus 6. dan 6.3 diperoleh

4

4

)%(

*

43.3

)(

%).())(%(

)(

3

4

%

%%

)(

%

%

%

=+−

=−

++=

=−

=+++−++

=

+

++=

=+

++=

+++

=

−=

==

=

x

x x

x

x

x xC

x

x x x x

x

x x

dx

d +

x

x x %

C x x x

dx x x x

dx x x

x x

+++−+−

−=

++

−+

−=

+−++

∴ ∫ ∫

)ln(

4)%ln(

*

)%(3

4

)(

4

)%(

*

)%(3

4

)()%(

ontoh 6.%%"

Selesaikan ∫ ++++

dx x x

x x

)4)(%(

3

.

'enyelesaian"

4%)4)(%(

3

++

+++

=++

++ x

) *x

x

+ %x

x x

x x

5engan menyamakan kedua penyebut diperoleh

3

1 (A )(

4) (' I)(

%)

1 '3 ( I) (4A ') (4 I)

5iperoleh "

' 1 %

4A ' 1 ⇒ A 1 J.

3

#

3

4

-−==⇒

=+

=+) +

) +

) +

Integral 36


21/27

∫ ∫ ∫ +−

++

+=

++

++∴ dx

x

xdx

x

xdx

x x

x x

4%)4)(%(

3

3

4%

3

• @...%3

4

%

=+

+

∫ dx x x

=isalkan 1 tan θ ⇒ d 1 sec

θ dθ

C x x

C x x

C d

d dx x

x

+++=

+++=

++=

+=

+=

+

+=

+

+

∫

∫ ∫ ∫

arctan

3

)%ln(

6

%

arctan3

%ln

4

%

3

)ln(sec

4

%

3

tan

4

%

sec.sec

tansec.

%tan

tan

%

3

4%

3

4%

3

4%

θ θ θ θ

θ θ

θ θ θ

θ

θ

• @...4

3

=+

−∫ dx x x

=isalkan 1 tan α ⇒ d 1 secα dα

C x

x

C x

x

C d

d d dx x

x

+−+=

+−+=

+−=

−=

−=

+

−=

+

−

∫

∫ ∫ ∫

arctan

3

)4ln(

4

%

arctan

3

4ln

%

3

)ln(sec

%

3

tan

%

sec.sec4

tansec.

4tan4

tan

4

3

3

3

α α α α

α α α

α α α

α

α

C x

x x xdx x x

x x+−++++=

++++

∴ ∫ arctan3

arctan3

)4ln(

4

%)%ln(

6

%

)4)(%(

3

Integral 3

% + x

% θ

4 + x

α


22/27

Lati%an 8.,

Selesaikan soal % : %4.

%. ∫ +− x x xdx

3 . ∫ −++

*4

)%(

x x

dx x

3. dx x x x

x x∫ −+−

−+)4)(3)(%(

%4% 4. ∫ +−

+ x x x

dx x

4*

*3

3

*. ∫ ++ )%)(%( x xdx

7. ∫ ++ 3 t t t

ee

dt e

&. ∫ +%3 xdx

6. ∫ −%3 xdx

. ∫ + 4

)%( x

dx x%-. dx x x

x x

∫ −− +−

)%-3(

&6

%%.∫ +++

)(

)*3(

x x

dx x%. ∫ +++ )%)(%( x x x

dx

%3. ∫ +−+

;3

3

)*4(

)%(

x x

dx x%4. ∫ +

++

3

)(

x

dx x x

Selesaikan soal %* : %7.

%*. ∫ −+ 7sinsincos

# #

d# # # misalkan sin y 1 kemudian gunakan pecahan parsial.

%7. ∫ −+ coscossin

x x

dx x # misalkan cos 1 y kemudian gunakan pecahan parsial.

Soal %& : %6, tentukan fungsi (t).

%&. (t : 3t )dt

dx1 % , t F -, (3) 1 -

%6. (3t4 4t %)dt

dx 1 √3 , (%) 1 3

4π −

Integral 4-


23/27

8./ Integral tertentu

'ada subbab berikut akan kita pelajari tentang teori dasar dari kalkulus

yang sangat penting dalam perhitungan kalkulus.

Teore'a !asar kalkulus

=isalkan )( x , ′ 1 f() ada untuk setiap interal a K K b dan 0 kontinyu pada

interal a L L b. =aka integral tertentu dari f() adalah

[ ] )()()()( a , b , x , dx x f b

a

b

a −==∫ 6.4

'erhatikan simbul integral tertentu ∫ b

a

dx x f )( .

∫ b

a

dx x f )(

Milai dari integral tertentu tergantung dari fungsi f() dan batas integral

(interal), tidak tergantung dari ariabel bebas yang digunakan. Oleh karena itu

nilai integral berikut sama.

∫ ∫ ∫ ==b

a

b

a

b

a

dp p f duu f dx x f )()()( .................................................6.*

ontoh 6.%"

2itung nilai integral tertentu berikut.

%. [ ] 47)%%()()%(

%

%

=−=+−+=+=+∫ x xdx x

. [ ]

%%

%)-cos()

3cos(cossin 3

3

-

-

=+−=−−−=−=∫ π π

π

xdx x

%.

( )

3

7%.

3

%&.

3

%

3

%

)%(%%

4

-

;34

-

;%4

-

)%( =−=

=

++=+ +∫ ∫ x

xd xdx x

ila diselesaikan dengan substitui"

=isalkan % 1 p ⇒ d 1 dp atau d 1 N dp.

Integral 4%

adalah ariabel

integrasi

integrand

batas atas integrasi

batas ba/ah integrasidibaca integral dari f() d dari a sampai b


24/27

1 - ⇒ p 1 % dan 1 4 ⇒ p 1 # batas integral ikut berubah

3

7%.

3

%&.

3

%

3

%

%

%

;3

%

;%4

-

=−=

==+ ∫ ∫ p

dp pdx x

Sifat$sifat integral tertentu"

%. Mol"

∫ =a

a

dx x f -)( ...................................................................................6.7

. >rutan integrasi

∫ ∫ −=b

a

a

b

dx x f dx x f )()( ..................................................................6.&

3. 'erkalian dengan konstanta

∫ ∫ =b

a

b

a

dx x f k dx xkf )()( .................................................................6.6

4. umlah dan selisish

[ ]∫ ∫ ∫ ±=±b

a

b

a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ...................................6.

*. 'enjumlahan

∫ ∫ ∫ =+'

a

'

b

b

a

dx x f dx x f dx x f )()()( ..................................................6.3-

ontoh 6.%3"

=isalkan &)(#)(#*)(%

%

4

%

%

%

=−== ∫ ∫ ∫ −−

dx xhdx x f dx x f .

=aka"

%. )()()(4

%

%

4

=−−=−= ∫ ∫ dx x f dx x f sifat

. [ ] 3%&.3*.)(3)()(3)(%

%

%

%

%

%

=+=+=+ ∫ ∫ ∫ −−−

dx xhdx x f dx xh x f sifat 3 dan 4

3. 3)(*)()()(4

%

%

%

4

%

=−+=+= ∫ ∫ ∫ −−

dx x f dx x f dx x f sifat *

Integral 4


25/27

Lati%an 8./

Soal % : %&, hitung integral tertentu berikut.

%. ∫

%

3&dx . ∫

-* dx x

3. ∫ −

-

)3( dt t 4. ∫ −

-

)( dt t

*. ∫ −+-

%

)*3( dx x x

4 3

-

7. 34

x x dx

− ÷

∫

( )%

-

&. x x dx+∫ %

6. dx

x

−

−∫

-

. sin x dx

π

∫ -

%-. (% cos ) x dx

π

+∫ ;3

-%%. sec t dt

π

∫ * ;7

;7%. csc t dt

π

π ∫ 3 ; 4

; 4%3. csc cot d

π

π

θ θ θ ∫ -

;

% cos%4.

t dt

π

+∫

;

; %*. (6 sin ) # # d#

π

π − +∫

4

4%7. x dx

−∫ 4

%%&.

udu

u

−∫

Soal %6 : 3-, gunakan substitusi untuk menghitung integral tertentu berikut.

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

++

++

−+

+−

−

−

−

%

-

%

%

%

343%

-

%

%

-

3

-

%

-

3

)4(

*.

6

..%

)%(.%..-

%.%3..%

%.)%(..%6

dr

r

r b

t

dt t a

d#t t bdt t t a

dr r r bdx xa

d# #bdx xa

-. sin cos

4 4

x xdx

π

∫ 3 ; 33. tan sec4 4 x x

dxπ

π ∫

( ) 3 ;

%%; 3

%; 6

; 34. % x dx x− −∫

%;3 4 3;

-*. (% ) x x dx

−+∫

dxu

u∫

+4%

;%)%(.7

; 4

; &. %*sin 3 cos3 x x dx

π

π −∫

Integral 43


26/27

;

-

3sin cos6.

% 3sin

x xdx

x

π

+∫

; 4

; 3-

sec.

(% & tan )

xdx

x

π

+∫

; 4

; 37

cos3-.

sin

t dt

t t

π

π

∫ Soal 3% : 3*, cari

d#

dx.

%

3%. (3 3)

x

# x x dx= + −∫ %

%3.

x

# dt t

= ∫

-

33. cos

x

# t dt = ∫

%

34.

x

# u du= ∫ tan

-

3*. sec

x

# p dp= ∫

Soal 37 : 4-, gunakan sifat$sifat integral tertentu.

37. =isalkan f dan g kontinyu dan memenuhi

.6)(,7)(,4)(

*

%

*

%

%

==−= ∫ ∫ ∫ dx x g dx x f dx x f

2itung"

[ ] [ ]∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

−−*

%

*

%

*

%

%

*

)()(4.)()(.)(.

)(3.)(.)(.

dx x g x f f dx x g x f edx x f d

dx x f 'dx x g bdx x g a

3&. =isalkan f dan g kontinyu dan memenuhi

.4)(,*)(,%)(

&

&

%

==−= ∫ ∫ ∫ dx xhdx x f dx x f

2itung"

[ ] [ ]∫ ∫ ∫ −+−

&

&

%

)(3)(.)()(.)(. dx xh x f 'dx xh x f bdx x f a

[ ]∫ ∫ ∫ −&

&

%

%

)()(.)(.)(. dx x f xh f dx x f edx x f d

36. =isalkan *)(*

%

=∫ dx x f . 2itung"

Integral 44


27/27

a. ∫ *

%

)( duu f b. ∫ *

%

)(3 d& & f c. ∫ %

*

)( dt t f d.

∫ −*

%

)( dx x f

3. =isalkan f kontinyu dan &)(#3)(4

-

3

-

== ∫ ∫ d& & f d& & f . 2itung"

∫ ∫ 3

4

4

3

)(.)(. dt t f bd& & f a

4-. =isalkan f kontinyu dan 7)(#-)(3

%

%

%

== ∫ ∫ −−

dr r hdr r h . 2itung"

∫ ∫ −%

3

3

%

)(.)(. duuhbdr r ha

8 Integral Terbit

Documents

Transcript of 8 Integral Terbit