ANALISIS NON PARAMETRIK II

A. DASAR TEORI

Uji statistik nonparametrik dapat juga digunakan untuk menguji signifikasi perbedaan antara dua sampel yang bebas atau menguji mungkin tidaknya dua sampel bebas itu berasal dari populasi yang sama.

1. Uji Kasus Dua Sampel Bebas

a. Uji U Man Witney

Fungsi Pengujian :

• Untuk menguji perbedaan nilai tengah (median) skor dua buah populasi berdasarkan dua sampel yang tidak berpasangan.

• Uji ini digunakan untuk menguji perbandingan dua perlakuan atau uji perbandingan suatu perilaku terhadap kontrol.

Persyaratan Data :

• Data paling tidak memiliki sakala ordinal.

Prosedur Pengujian :

1). Hipotesis dari penelitian

2). Tentukan jumlah n1 dan n2.

Dalam pengertian ini n1 adalah jumlah sampel yang berukur lebih kecil dari n2.

3). Gabungkan n1 dan n2, berikan rangking kepada skor-skornya dengan memperhatikan tanda + dan -. Skor disusun dari mulai 1 - k (=n1+n2). Untuk rangking kembar cari ratarata rangkingnya.

4). Untuk 3 < n1 dan n2 < 8. Perhatikan frekuensi skor n1 dan n2 dalam urutan skor gabungan.

Hitung jumlah frekuensi skor n1 yang mendahului n2 atau sebaliknya. Jumlah seluruh frekuensi skor yang mendahului = U.

Selanjutnya gunakan Tabel J (Siegel, 1997). Tentukan probabilitas (p) yang dikaitkan dengan terjadinya suatu harga sebesar U menurut n1 dan n2. Seandainya harga U tidak ditemukan dalam Tabel J, buat modifikasi dengan memakai rumus: U = (n1 x n2) – U’

U’ = Harga U hasil perhitungan/pengamatan yang tidak terdapat dalam Tabel J atau Tabel K.

Harga-harga p tersebut dipakai untuk pengujian satu sisi, sedangkan untuk melakukan pengujian dua sisi harga p= 2 x pTabel. Jika p ≤ α , maka tolak Ho.

1

2

5). Untuk 9 ≤ n2 ≤20. Perhatikan frekuensi skor n1 dan n2 dalam urutan skor gabungan.

Hitung jumlah frekuensi skor n1 yang mendahului n2 atau sebaliknya. Jumlah seluruh frekuensi skor yang mendahului = U. Selanjutnya gunakan Tabel K (Siegel, 1997). Tentukan probabilitas (p) yang dikaitkan dengan terjadinya suatu harga sebesar U menurut n1 dan n2. Seandainya harga U tidak ditemukan dalam Tabel K, buat modifikasi dengan memakai rumus:

U = (n1 x n2) – U’

U’ = Harga U hasil perhitungan/pengamatan yang tidak terdapat dalam Tabel J atau Tabel K.

Harga-harga p tersebut dipakai untuk pengujian satu sisi, sedangkan untuk melakukan pengujian dua sisi harga p = 2 x pTabel. Jika p<α , maka tolak Ho.

6). Untuk n2 > 21. Perhatikan frekuensi skor n1 dan n2 dalam urutan skor gabungan. Hitung jumlah frekuensi skor n1 yang mendahului n2. Jumlah seluruh frekuensi skor n1 yang mendahului n2 = U.

Hitung Harga z dengan memakai rumus:

Z=U−1

2n1 n2

√ 112

n1 n2 (n1+n2+1 )

U=n1 n2+12

.n1. (n1+1 )−R1

U=n1 n2+12

.n2. (n2+1 )−R2

Selanjutnya gunakan Tabel A (Siegel,1997). Tentukan probabilitas (p) yang dikaitkan dengan terjadinya suatu harga z. Harga-harga p tersebut dipakai untuk pengujian satu sisi, sedangkan untuk melakukan pengujian dua sisi harga p = 2 x pTabel. Jika p < α , maka tolak Ho.

Seandainya skor berangka sama jumlahnya banyak atau harga p sangat berdekatan dengan α , gunakan rumus yang memakai faktor koreksi, yaitu rumus:

z=U−1

2(n1−n2)

√[ n1 n2

N ( N−1 ) ] [ n1+n2+112

−∑T ]T= t3−t

12

t= skor berangka sama

b. Uji

3

Fungsi Pengujian :

Hampir sama dengan Uji Fisher, yaitu untuk menguji perbedaan proporsi dua buah populasi berdasarkan proporsi dua sampel yang tidak berpasangan. Kelebihan Uji bisa dipakai untuk dua atau lebih kategori. Uji sebaiknya digunakan jika n > 40. Untuk 20<n<40 dengan frekuensi kategori-kategorinya (Oij>5) bisa digunakan Uji , namun jika ada salah satu frekuensi < 5 Uji tidak boleh digunakan. Untuk n < 20 pilihlah Uji Fisher.

Persyaratan Data :

Dapat digunakan untuk data berskala nominal dengan dua atau lebih dari dua kategori.

Prosedur Pengujian :

1). Buat Tabel Silang (k x r), k adalah kolom = 2 dan r adalah baris ≥2. Kolom dipakai untuk dua pasangan sampel yang tidak berpasangan, sedangkan baris disediakan untuk berbagai kategori.

2). Masukan frekuensi-frekuensi hasil pengamatan (Oij) ke dalam Tabel.

3). Hitung dan masukan ke dalam Tabel, frekuensi-frekuensi yang diharapkan (Eij) yang dihitung dengan cara mengalikan jumlah baris dan jumlah kolom pada posisi Eij kemudian membaginya dengan total frekuensi (N).

4). Hitung harga 2 memakai rumus:

¿∑i=1

r

∑j=1

k (Oij−Eij )2

Eij

5). Untuk k=2 dan r=2, hitung dengan rumus :

¿

n(|AD−BC|−12

n)2

( A+B ) (C+D ) ( A+C )(B+D)db=1

6).Gunakan Tabel C (Siegel, 1997). Tentukan probabilitas (p) yang dikaitkan dengan terjadinya suatu harga sebesar pada db = (r-1)(k-1). Harga-harga p tersebut dipakai untuk pengujian dua sisi, sedangkan untuk melakukan pengujian satu sisi harga p = ½ pTabel.

2. Uji Hipotesis k Sampel Bebas

a. Uji Kruskal Wallis

Kruskal-wallis test adalah Anova one-way dengan menggunakan Rank. Hipotesis test ini adalah bahwa sampel berasal dari populasi yang sama.

Variabel 1 Jumlah

Variabel 2A B (A+B)C D (C+D)

Jumlah (A+C) (B+D) n

4

Uji ini mirip dengan uji Anova pada data parametrik hanya saja tidak dipenuhi anggapan kenormalan dari data. Analisis yang digunakan berdasarkan Rij yaitu ranking data, bukan data itu sendiri.

Langkah-langkah uji hipotesis

H0 dan H1

Statistik penguji :

H= 1216(17)

[∑ R j2/n ]−3(n+1)

Dimana:

Rij = Rank untuk semua observasi XijK = Banyaknya populasini = Obervasi ke iN = Jumlah total sampel

Daerah kritis,

H0 ditolak jika H > α ; K- 1

b. Uji Perluasan Median

Perluasan uji median digunakan untuk menguji apakah beberapa populasi darimana sampel diambil mempunyai edian yang sama. hipotesis statistiknya menyatakan populasi-populasi darimana sampel diambil mempunyai median yang sama.

Adapun teknik analisisnya adalah :

• Tentukan median gabungan.

• Tentukan frekuensi dari skor (nilai pengamatan) dibawah median yang disajikan dalam tabel kontingensi bxk atau 2xk, dimana b=banyaknya garis dan k=banyaknya kolom

• Uji Median:

¿∑ (Oi−Ei )2

E i

ilai dibandingkan dengan dengan tabel pada taraf nyata dengan derajat bebas (b-1) (k-1).

Langkah-langkah uji hipotesis:

1). H0 dan H1

2). Taraf Nyata α= 5 % = 0,05

3). Uji Statistik = Uji Chi Kuadrat

4). Wilayah Kritik (Daerah Penolakan H0) :

α

5

5). Perhitungan :

Median Gabungan Me FrekuensiObservasi(Oi)FrekuensiHarapan(Ei)

¿∑ (Oi−Ei )2

E i

6). Kesimpulan

B. PERMASALAHAN

Mengaplikasikan secara manual dan spss:

1. Uji Kasus Dua Sampel Bebas

a. Uji U Man Witney b. Uji

2. Uji Hipotesis k Sampel Bebas

a. Uji Kruskal Wallisb. Uji Perluasan Median

C. PEMBAHASAN

1. Uji Kasus Dua Sampel Bebas

a. Uji U Man Witney Seorang guru melakukan penelitian untuk mengetahui tingkat pemahaman siswa dalam pembelajaran matematika berdasarkan lokasi sekolahnya. Penelitan dilakukan di dua lokasi sekolah yang berlainan yaitu di pinggiran yang jauh dari pusat kota dan di kota yang dekat dengan pusat kota. Tingkat persepsi siswa terhadap model pembelajaran didasarkan pada skor yang diperoleh dari hasil test, sehingga tiap responden bisa memperoleh skor antara 1-100. Pengambilan sampel di kedua lokasi dilakukan secara random.Dugaan peneliti, tingkat pemahaman dalam pembelajaran matematika siswa yang berasal dari kota yaitu yang dekat dengan pusat kota memiliki pemahaman yang lebih baik dari siswa yang dipinggiran.

Hitungan maual:

1). Hipotesis dari penelitian di atas adalah :Ho : µ0 = µ1 (Tidak terdapat perbedaanrata-rata tingkat

pemahaman siswa dalam pembelajaran matematika )H1 : µ0 ≠ µ1 (Terdapat perbedaan rata-rata tingkat pemahaman

siswa dalam pembelajaran matematika )2). Kriteria pengambilan keputusan

Terima H0 : Bila U hit >Utabel (α)

Tolak H0 : Bila Uhit <Utabel (α)

3). Uji : Tentukan jumlah n1 dan n2. Tabel 1. Data hasil tes matematika

No X1 X2

6

1 64 642 81 363 81 814 81 645 36 816 64 817 81 648   369   6410   64  n1=7 n2=10

X1= Kota X2=Pinggiran

4). Pengujian dilakukan pada taraf nyata atau tingkat signifikansi (level of significance), = 0,05.

Tabel 2. Data hasil tes matematikaDengan Ranking

Skor X1 36 64 64 81 81 81 81 ΣR1

Ranking 2 7 7 14 14 14 14 72

Skor X2 36 36 64 64 64 64 64 81 81 81 ΣR2

Ranking 2 2 7 7 7 7 7 14 14 14 81

Karena nilai R1 < R2 Maka Nilai U dihitung dengan rumus :

U=n1 n2+12

.n1. (n1+1 )−R1

U=(7 ) (10 )+12

. (7 ) (7+1 )−72=¿26

U’ = (n1 x n2) – U =(10)(7)-26=44

U=n1 n2+12

.n2. (n2+1 )−R2

U=(7 ) (10 )+12

.(10). (10+1 )−81=44

Dengan taraf kesalahan = 5%, maka diperoleh

U tabel (7,10) = 14U hit = 26

Z=U−1

2n1 n2

√ 112

n1 n2 (n1+n2+1 )

Z=26−1

2(7 )(10)

√ 112

(7 )(10) (7+10+1 )=-0,8783

p(Z<-0,8783) = 0,1899

7

Untuk uji 2 pihak (2-Tailed p) maka p = 2 (0,8106)= 0,3797

5). Kriteria pengujian :

Terima H0 : Bila Uhit> Utabel

Tolak H0 : Bila Uhit <Utabel

H0 ditolak jika nilai p(z)<αDari Hasil di atas karena Uhit = 44 >Utabel = 14

P(z)=0,3797>0,05Maka H0 diterima dan H1 ditolak dengan tingkat kepercayaan 95 %.

6). Kesimpulan

Dari hasil pengujian diatas dan kriteria keputusan yang dibuat maka dapat disimpulkan tidak terdapat perbedaan rata-rata tingkat pemahaman siswa dalam pembelajaran matematika.

Analisis dengan SPSS

Descriptive Statistics

N Mean Std. Deviation Minimum MaximumNilai 17 66,0588 16,39920 36,00 81,00Kelompok 17 1,59 ,507 1 2

Ranks

kelompok N Mean Rank Sum of Ranks

nilai

KOTA 7 10,29 72,00PINGGIRAN 10 8,10 81,00Total 17

Test Statisticsa

nilaiMann-Whitney U 26,000Wilcoxon W 81,000Z -,948Asymp. Sig. (2-tailed) ,343Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)]

,417b

a. Grouping Variable: kelompokb. Not corrected for ties.

Nilai probabilitas uji dua pihak berdasarkan statistik U sebesar p=0,417 dan berdasarkan statistik z sebesar p=0,343, keduanya lebih besar dari taraf nyata 0,05. Dengan demikian disimpulkan untuk menerima H0 bahwa tidak terdapat perbedaan rata-rata tingkat pemahaman siswa dalam pembelajaran matematika antara sekolah di kota dan sekolah dipinggiran.

b. Uji

Hitungan maual:

1). Hipotesis

H0 : Pemilihan kegiatan minat dan bakat tidak tergantung pada jurusan

8

H1 : Pemilihan kegiatan minat dan bakat tergantung pada jurusan

2). Taraf Nyata α= 1 % = 0,05

3). Uji Statistik : 2

4). Wilayah Kritik : 2 > 2

0,05(k-1)(b-1)

5). Perhitungan :

Tabel 3. Data Frekuensi Minat BakatJurusan Teknik Bangunan dan Teknik Mesin

Minat dan BakatJurusan

JumlahTeknik Bangunan Teknik Mesin

Sepak Bola 20 10 30Karya ilmiah 15 45 60Jumlah 35 55 90

¿

n(|AD−BC|−12

n)2

( A+B ) (C+D ) ( A+C )(B+D)db =1

¿

90(|20 x 45−10 x15|−12(90))

2

(30 ) (6 0 ) (35 )(55)

¿90 (705 )2

(3465000)

6). Kesimpulan

Karena nilai 3.84146 maka disimpulkan untuk menolak H0 artinya pemilihan kegiatan minat dan bakat tergantung pada jurusan.

Analisis dengan SPSS

Case Processing Summary

CasesValid Missing Total

N Percent N Percent N PercentMinat Bakat * Jurusan 90 100,0% 0 0,0% 90 100,0%

Minat Bakat * Jurusan Crosstabulation

Jurusan TotalTeknik

BangunanTeknik Mesin

Minat Bakat

Sepak Bola

Count 20 10 30Expected Count 11,7 18,3 30Residual 8,3 -8,3Adjusted Residual 3,8 -3,8

Karya Ilmiah

Count 15 45 60Expected Count 23,3 36,7 60Residual -8,3 8,3Adjusted Residual -3,8 3,8

TotalCount 35 55 90Expected Count 35,0 55,0 90

9

Chi-Square TestsValue df Asymp. Sig.

(2-sided)Exact Sig. (2-sided)

Exact Sig. (1-sided)

Pearson Chi-Square 14,610a 1 ,000Continuity Correctionb 12,910 1 ,000Likelihood Ratio 14,614 1 ,000Fisher's Exact Test ,000 ,000Linear-by-Linear Association

14,448 1 ,000

N of Valid Cases 90

a. 0 cells (0,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 11,67.

b. Computed only for a 2x2 table

Hasil Output untuk tabel Minat Bakat * Jurusan Crosstabulation dapat di interpretasikan:

Nilai Adjusted Residual yang cukup besar (dengan nilai absolut 8,3) menunjukan deviasi atau perbedaan  yang besar pada setiap sel dari nilai yang diharapkan. Terlihat bahwa nilai Residual yang merupakan selisih antar nilai Observed dengan Expected Frequency menjauh dari nol.  Jika hipotesis awal benar, maka kita mengharapkan nilai residualnya akan menjadi nol atau mendekati nol.

Hasil Output untuk tabel Chi-Square Test dapat di interpretasikan

Pada tabel ini tidak hanyan nilai Chi-Square saja yang ditampilkan tapi ada juga nilai dari uji dengan menggunakan Likelihood Ratio dan Fisher’s Exact Test. Didapat nilai dari Chi-Square adalah 14,610 dan p-value<0,0001 sehingga dapat diambil kesimpulan tolak hipotesis awal (H0) dan menyatakan terdapat hubungan yang signifikan antara jurusan dengan pemilihan kegiatan minat dan bakat pada taraf signifikansi 5 %. Hasil ini juga sejalan dengan uji Likelihood Ratio dimana nilainaya adalah 14,614 dengan p-value<0,001 karena nilai p-value<0,05 tolak hipotesis awal juga.

2. Uji Hipotesis k Sampel Bebas

a. Uji Kruskal Wallis

Hitungan secara manual:

1). Langkah-langkah uji hipotesis

H0 : Semua K populasi adalah identik

H1 : Tidak semua K populasi identik

2). Statistik penguji : Kruskal-Wallis

H= 1216(17)

[∑ R j2/n ]−3(n+1)

Dimana:

Rij = Rank untuk semua observasi XijK = Banyaknya populasi

10

ni = Obervasi ke iN = Jumlah total sampel

3). Taraf nyata α=0,05

4). Daerah kritis, H0 ditolak jika H > α ; K- 1

5). Perhitungan

Tabel 4. Data Hasil Belajar berdasarkan Waktu Kegiatan

Lama Belajar

Nilai Tes

1 jam 64 81 64 812 jam 36 81 64 493 Jam 81 64 36 364 Jam 64 36 49 64

Tabel 5. Data Ranking GabunganHasil Belajar berdasarkan Waktu Kegiatan

1 jam 2 jam 3 Jam 4 Jam

Ranking

9,5 2,5 14,5 9,514,5 14,5 9,5 2,59,5 9,5 2,5 5,5

14,5 5,5 2,5 9,548 32 29 27

H= 12n(n+1)

[∑ R j2/n ]−3(n+1)

H= 1216(17)

[482/ 4+322/4+292/4+272/ 4 ]−3 (16+1)

H=¿3,022

0,05(3)=7,81473

6). Kesimpulan

Karena H=3,022 < 0,05(3)=7,81473 maka disimpulkan untuk untuk menerima H0 artinya tidak terdapat perbedaan rata-rata hasil belajar keempat sampel yang diuji, atau semua k populasi adalah identik.

Analisis dengan SPSS:

Descriptive Statistics

N MeanStd.

DeviationMinimum Maximum

Hasil Tes 16 59,38 17,126 36 81Waktu Belajar 16 2,50 1,155 1 4

11

Ranks

Waktu Belajar N Mean Rank

Hasil Tes

1 Jam 4 12,002 Jam 4 8,003 Jam 4 7,254 Jam 4 6,75Total 16

Test Statisticsa,b

Hasil TesChi-Square 3,293df 3Asymp. Sig. ,349

a. Kruskal Wallis Testb. Grouping Variable:

Waktu Belajar

Terlihat bahwa pada kolom Asymp sig (2-tailed) untuk diuji 2 sisi adalah 0,349. Disini didapat probabilitas diatas 0,05, maka Ho diterima.

Berdasarkan dari kedua pengujian, hasil yang diperoleh sama yaitu Ho diterima atau minimal salah satu dari ketiga populasi tidak identik artinya tidak terdapat perbedaan rata-rata keempat sampel yang diuji.

b. Uji Perluasan Median

Analisis secara manual:1). H0=keempat sampel mempunyai median yang sama

H1=minimal ada satu sampel mediannya berbeda

2). Uji Statistik:

3). araf nyata: α = 0,05

4). Wilayah kritik (daerah penolakan H0): > α ; k -1

5). Perhitungan:

Kita ingin menguji pada taraf nyata5% apakah rata-rata hasil belajar akan meningkat dengan meningkatnya waktu belajar yang digunakan dalam latihan tryout matrmatika. Misal data hasil belajar dengan waktu belajar seperti pada tabel 6.

Tabel 6. Data Ranking GabunganHasil Belajar

HasilRan

kHasil Rank

36 2,5 64 9,536 2,5 64 9,536 2,5 64 9,536 2,5 64 9,549 5,5 81 14,549 5,5 81 14,564 9,5 81 14,564 9,5 81 14,5

12

Median Gabungan Me = (64+ 64)/2 = 64

Tabel 7. FrekuensiObservasi(Oi)

1 jam 2 jam 3 jam 4 jam> Me 2 1 1 0≤ Me 2 3 3 4

Jumlah 4 4 4 4

Tabel 8. Frekuensi Harapan(Ei):

  1 jam 2 jam 3 jam 4 jam> Me 2 2 2 2≤ Me 2 2 2 2Jumlah 4 4 4 4

¿∑ (Oi−Ei )2

E i

¿(2−2 )2

2+

(2−2 )2

2+

(1−2 )2

2+

(3−2 )2

2+

(1−2 )2

2+

(3−2 )2

2+

(0−2 )2

2+

(4−2 )2

2

Untuk α = 0,05; derajat bebas = (b–1)(k−1) =1, dari tabel diperoleh nilai 0,05(3)=7,81473

< α ; k- 1

0,05(3)=7,81473

6). Kesimpulan

Karena 0,05(3)=7,81473 maka disimpulkan untuk untuk menerima H0 artinya keempat sampel mempunyai median yang sama. tidak terdapat perbedaan rata-rata hasil belajar.

Analisis dengan SPSS:

Descriptive Statistics

N Mean Std. Deviation Minimum MaximumHasil Tes 16 59,38 17,126 36 81Waktu Belajar 16 2,50 1,155 1 4

Frequencies

Waktu Belajar1 Jam 2 Jam 3 Jam 4 Jam

Hasil Tes> Median 2 1 1 0<= Median 2 3 3 4

Test Statisticsa

13

Hasil TesN 16Median 64,00Chi-Square 2,667b

df 3Asymp. Sig. ,446a. Grouping Variable:

Waktu Belajarb. 8 cells (100,0%) have

expected frequencies less than 5. The minimum expected cell frequency is 1,0.

Terlihat bahwa pada kolom Asymp sig (2-tailed) untuk diuji 2 sisi adalah 0,446. Disini didapat probabilitas lebih besar dari 0,05, maka Ho diterima.

Artinya keempat sampel mempunyai median yang sama, tidak terdapat perbedaan rata-rata hasil belajar.

D. KESIMPULAN

1. Kesimpulan singkat yang diperoleh adalah bahwa terdapat kesamaan antara hasil yang dikerjakan secara manual dengan hasil SPSS.

2. Ketatnya asumsi dalam statistika parametrik, secara metodologis sulit dipenuhi oleh peneliti-peneliti dalam bidang ilmu sosial. Sebab dalam kajian sosial, sulit untuk memenuhi asumsi distribusi normal maupun kesamaan varians (2), selain itu banyak data yang tidak berbentuk numerik, tetapi hanya berupa skor rangking atau bahkan hanya bersifat nilai kategori. Oleh karenanya, statistika inferensial saat ini banyak berkembang kepada teknikteknik yang tidak berlandaskan pada asumsi-asumsi di atas, yang dikenal sebagai Statistika Nonparametrik.

3. Uji Kruskal Wallis merupakan padanan bagi analisis ragam dalam metode arametrik sehingga uji ini dikenal dengan nama Analisis ragam satu arah Kruskal-wallis.

4. Dalam uji Kruskal Wallis tidak diperlukan asumsi tentang kebebasan galat, ragam yang sama maupun distribusinya yang normal. asumsi yang menjadi dasar pengujiannya adalah bahwa sampel yang dibandingkan bersal dari distribusi kontinyu.

DAFTAR PUSTAKA

Siegel, Sidney. 1992 Statistik Non Parametrik Untuk Ilmu-ilmu Sosial. Jakarta: PT.Gramedia Pustaka Utama.

Wijaya, 2006. Statistika Non Parametrik (Aplikasi Program SPSS). Bbandung, Alfabeta.Nugraha Setiawan, 2005, Statistika Nonparametrik Untuk Penelitian Sosial Ekonomi

Peternakan (Kumpulan Bahan Kuliah), Bandung, Universitas Padjadjaran

14

Gempur Safar,dkk. 2007, Modul Metode Statistika II, Yogyakarta, Universitas Gajah Mada.