6

MTE3105: Statistik

Topik 6 : Regresi Linear6.1 PengenalanRegresi linear adalah hubungan linear antara pembolehubah kajian suatu subjek dan anggaran hubungan linear yang digunakan untuk meramalkan satu pembolehubah dari nilai pembolehubah yang lain. Misalnya, adakah seseorang pelajar yang baik dalam matemati juga baik dalam perakaunan ataupun baik dalam matematik tetapi lemah dalam perakaunan? Adakah benar bahawa seseorang ahli sukan yang boleh berlari pantas juga boleh melompat lebih jauh dalam acara lompat jauh?

Pembolehubah Bersandar dan Tak Bersandar (Dependent and Independent Variables)Katakan bahawa seorang ahli ekonomi ingin untuk mengkaji hubungan antara perbelanjaan makanan dan pendapatan. Apakah faktor-faktor atau pembolehubah pendapatan rumah untuk dipertimbangkan apabila memutuskan berapa banyak wang perlu membelanjakan atas makanan setiap minggu atau bulan sebagai contoh. Tentu pendapatan rumah merupakan salah satu faktor. Walau bagaimanapun, terdapat banyak pembolehubah lain yang juga memberi kesan kepada perbelanjaan makanan. Sebagai contoh, bilangan ahli rumah, keutamaan dan citarasa ahli-ahli rumah dan apa-apa keperluan khas pemakanan di rumah adalah beberapa pembolehubah yang mempengaruhi keputusan ke atas perbelanjaan makanan. Pembolehubah ini dipanggil pembolehubah bebas atau penjelasan kerana tidak bergantung / bebas dan menerangkan perubahan dalam perbelanjaan makanan di sebuah rumah yang berbeza. Dalam erti kata lain, pembolehubah ini menjelaskan mengapa pendapatan rumah yang berbeza menghabiskan jumlah wang yang berbeza pada makanan. Sementara itu, perbelanjaan makanan dipanggil pembolehubah bersandar kerana nilainya bergantung kepada pembolehubah bebas.Jenis Pembelehubah pembolehubah yang datang pertama dan mempengaruhi atau meramalkan dipanggil pembolehubah bebas.

Pembolehubah kedua, yang dijejaskan atau diramalkan oleh pembolehubah bebas, dipanggil pembolehubah bersandar. Jika kita kata, Jika X maka Y, X pembolehubah bebas dan Y ialah pembolehubah bersandar.

Gambar Rajah Serakan / Sebaran Dalam kajian korelasi, dua pembolehubah rawak yang dianggap mempunyai kaitan disebut pembolehubah dwivariat. Suatu gambar rajah serakan1. Menyediakan gambaran visual hubungan antara dua pembolehubah.2. Dihasilkan apabila pasang nilai diplotkan dengan menggunakan koordinat Cartesan. Sentiasa memplotkan pembolehubah bebas, x, pada paksi mengufuk (paksi x) pada gambar rajah serakann dan pembolehubah bersandar, y, pada paksi menegak (paksi-y). Apabila titik pada gambar rajah serakan muncul berhampiran dengan garis lurus, yang dikenali sebagai garisan regresi, maka korelasi linear (hubungan linear) di antara dua pembolehubah iaitu x dan y. Dalam memeriksa gambar rajah serakan, lihat pola secara menyeluruh yang menunjukkan1. Bentuk (hubungan linear, hubungan melengkung dan berkelompok)2. Arah (hubungan yang positif atau hubungan negatif)3. Kekuatan hubungan4. titik terpencilContoh:1.Positif (langsung) korelasi linear2.Negatif (songsang) korelasi linear3. Tiada korelasi (korelasi sifar) Kekuatan hubungan linear antara pembolehubah x dan y ditentukan oleh pekali korelasi yang ditandakan oleh r. pekali korelasi, r, memberi nilai antara -1 (korelasi negatif sempurna) dan 1 (korelasi positif sempurna) iaitu -1 r 1.Rujuk Nota STPM muka surat 460 461 untuk bentuk korelasi linear Contoh:Markah yang didapati oleh 10 orang pelajar dalam suatu ujian Matematik dan Fizik dijadual di bawah.

PelajarABCDEFGHIJ

Markah Matematik20253743455670758090

Markah Fizik15203035304350607078

Lukiskan satu gambar rajah serakan untuk menunjukkan markah-markah di atas. Mengikut pandangan mata anda, adakah Matematik yang diperoleh oleh seorang pelajar berkaitan dengan markah Fiziknya?Penyelesaian:Lukis gambar rajah serakan.Mengikut pandangan mata, titik-titik itu terletak berhampiran dengan satu garis lurus yang berkecerunan positif. Ini bermakna dua pembolehubah itu meningkat bersmaa atau merosot bersama. Tafsirannya ialah pelajar baik dalam Matematik juga baik dalam Fizik dan sebaliknya pelajar yang lemah dalam Matematik juga lemah dalam Fizik. Maka terdapat hubungan linear positif amtara markah Matematik dan markah Fizik. Hubungan linear positif ini disebut korelasi positif.

Contoh:Jadual di bawah menunjukkan skor tahun lima IQ markah berbanding dengan pelajar menghabiskan masa (jam) menonton televisyen setiap minggu.(a) Lukiskan gambar rajah serakan.(b) Nyatakan, jika anda fikir terdapat hubungan linear positif, hubungan linear negatif, atau tiada hubungan.IQ score, xHours watching TV, y

1246

11616

9830

11417

8541

10925

10521

Penyelesaian:(a) gambar rajah serakan(b) hubungan linear negatif.

Contoh:Jadual di bawah menunjukkan umur kanak-kanak dalam jumlah membuat lawatan oleh doktor pada setahun.(a) Lukiskan satu gambar rajah serakan.(b) Nyatakan, jika anda fikir terdapat hubungan linear positif, hubungan linear negatif, atau tiada hubungan.umur, xjumlah lawatan oleh doktor, y

59

61

712

1418

158

719

96

1215

Penyelesaian:(a) Gambar rajah serakan:(b)Tiada hubungan antara x dan y.Problem:

The table gives data on yearly red wine consumption (litres of Alcohol from drinking red wine per person) and yearly deaths from heart disease (deaths per 100000 people) in 20 towns.

TownAlcohol from red wineHeart disease deaths

A2.5200

B3.9165

C2.9130

D2.4190

E2.9221

F0.8298

G9.170

H0.8210

I0.7300

J7.9100

K1.8168

L1.9266

M0.8230

N6.590

O1.6210

P5.8120

Q1.3280

R1.2200

S2.7175

T2.8190

(a)Plot a scatter diagram that shows how red wine consumption helps explain heart disease death rates.

(b)Describe the relationship. Is there a linear pattern? How strong is the relationship?

(c)Is the correlation positive or negative? Briefly, explain what this says about red wine and heart disease. From your point of view, do these data give good evidence that drinking red wine helps prevent heart attacks? Why?

Solution:(a)Scatter diagram:

(b) From the scatter diagram, it is noted that there is a fairly strong linear relationship.

(c) The correlation is negative. Towns with high red wine consumption have fewer heart disease deaths. While those with low consumption tend to have more heart disease deaths. This may not be the cause of the lower heart disease deaths rate; there may be some other reason for the link.

Problem:

The table gives data on the marks obtained by ten students for a Mathematics test and a Physics test in a school.

StudentMathematicsPhysics

19095

28590

38080

47570

57065

67065

77065

86560

96055

106055

(a) Plot a scatter diagram that shows how the results of the Mathematics test affect the result of the Physics test.

(b) Describe the relationship. Is there a linear pattern? How strong is the relationship?

(c) Is the correlation positive or negative? Briefly, explain what this says about Mathematics and Physics. From your view, do these data give good evidence that students that is good in Mathematics will perform well in Physics also? Why?

Solution:(a)Scatter diagram:

(b) Fairly strong linear relationship.

(c) Positive linear correlation. Good result in Mathematics produces good results in Physics also. This may not the sole reason. Good theoretical background enhances results.Latihan 7.1 (SPTM Note m/s 458 459)

6.2Garis Regresi

Model regresi adalah persamaan matematik yang menerangkan hubungan antara dua atau lebih pembolehubah. Satu model regresi ringkas hanya dua pembolehubah: satu bebas dan satu bersandar. Pembolehubah bersandar adalah yang akan diterangkan, dan pembolehubah bebas digunakan untuk menjelaskan ubahan dalam pembolehubah bersandar. Oleh itu, model regresi linear rinkgas adalah model yang memberikan hubungan garis lurus antara dua pembolehubah.Kita tahu bahawa pekali korelasi boleh digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan linear di antara dua pembolehubah, bagaimanapun ia tidak boleh digunakan untuk membuat anggaran atau ramalan ke atas pembolehubah. Untuk mengatasi kelemahan ini, garis yang paling sesuai dilukis pada gambar rajah serakan dan garis ini dipanggil garis regresi. Kaedah mata boleh digunakan untuk melukis satu garis dipanggil garis lurus penyuaian terbaik pada gambar rajah serakan.Melukis garis lurus penyuaian terbaik dengan Kaedah mata adalah melukis garis regresi supaya titik-titik bertaburan dengan kekerapan yang sama di kedua-dua belah garis ini. Garis regrasi perlu juga melalui titik (,), yang merupakan titik min set data yang diberikan.

Rujuk contoh melukis garis regresi dengan kaedah pencocokan, nota STPM m/s 475.Walau bagaimanapun, lukisan oleh kaedah 'Mata " adalah agak tidak teratur dan terdapat satu cara matematik untuk melukis garis regresi yang dikenali sebagai kaedah kuasa dua terkecil

6.3 Garis Lurus Kuasa Dua Terkecil (The Least Squares Straight Line)Garis regresi kuasa dua terkecil y atas x:1. Garis regresi y atas x mengikut model linear y = A + Bx dan mempunyai n pasangan data dwivariat.

2.

Dikenali sebagai pekali garis regresi y atas x.3.

di mana

dan

Contoh:

Cari garis regresi y atas x untuk data dwivariat beriktu.

x22522046292453613055

y76517342883226245437

Penyelesaian:

Binakan satu jadual untuk x, y, x2 dan xy.xyx2xy

22764841672

525127042652

20734001460

464221161932

29888412552

2432576768

532628091378

612437211464

30549001620

553730252035

(x = 392(y = 503(x2 = 17576(xy = 17533

n = 10

Maka, persamaan garis regresi y atas x ialah y = 89.069 0.989x.

Garis regresi kuasa dua terkecil x atas y:1. Garis regresi x atas y mengikut model linear x = C + Dy dan mempunyai n pasangan data dwivariat.

2.

Dikenali sebagai pekali garis regresi x atas y.3.

di mana

and

Contoh:

Cari garis regresi x atas y untuk data dwivariat beriktu.

x73649083351012108639

y13273615577683394218

Penyelesaian:

Bina satu jadual untuk x, y, y2 dan xy.xyy2xy

7313169949

64277291728

903612963240

83152251245

355732491995

10765776760

12836889996

10391521390

864217643612

3918324702

(x = 502(y = 406(y2 = 121942(xy = 15617

n = 10

Maka, persamaan garis regresi x atas y ialah x = 85.644 0.873y.

Pekali Korelasi (Correlation Coefficient)Gambar rajah serakan menyediakan idea visual hubungan antara dwivariat dan jenis korelasi linear yang muncul di antara dua pembolehubah. Maka, kita boleh menentukan sama ada terdapat korelasi linear antara dwivariat atau tidak. Walau bagaimanapun kita perlu tahu darja korelasi linear antara dwivariat. Oleh itu, nilai berangka boleh memenuhi keperluan ini. Pekali korelasi adalah nilai berangka yang menunjukkan darjah korelasi linear antara dwivariat.

Pekali korelasi yang mempunyai nilai-nilai di antara -1 dan 1, termasuk kedua-duanya. Pekali korelasi 1 menunjukkan korelasi linear positif sempurna (yang kuat) manakala nilai pekali korelasi -1 menunjukkan korelasi negatif sempurna (yang kuat) antara dwivariat.Jika pekali korelasi mempunyai nilai positif atau negatif yang kecil, maka x dan y dikatakan tidak mempunyai korelasi linear.

Pekali Korelasi / Pekali Korelasi Pearson (The Pearson correlation coefficient)

Kecerunan garis regresi adalah nilai B dalam kes (garis regresi y atas x) dan kecerunan garis regresi adalah nilai D dalam kes (garis regresi x atas y). Pekali Penentuan / Jumlah variasi, r2, digunakan untuk mengukur penyuaian garisan regresi pada data sebenar. Ia juga mengukur jumlah variasi relatif pembolehubah bersandar yang dikaitkan kepada pembolehubah bebas.Julat nilai bagi r2 ialah 0 r2 1.

Pekali penentuan / jumlah variasi boleh dinyatakan sebagai peratusan dengan mendarabkan dengan 100%.Pekali penentuan,

nilai r2Penyuaian garis regresi data mentahKebolehpercayaan ramalan

1sempurna

baiktidak wujudDipercayaiTidak boleh dipercayai

0.8

0.6

0.4

0

Menggunakan garis regresi membuat ramalan (Using regression line to make predictions)Garis regresi boleh digunakan untuk membuat ramalan tetapi ramalan hanya sah dalam julat nilai data dwivariat yang diambil. Ini kerana mungkin tidak ada korelasi linear antara dwivariat di luar julat nilai-nilai data yang diambil. Jika pekali korelasi data dwivariat dekat dengan 1, maka ramalan dengan garis regregi adalah boleh dipercayai/lebih tepat.Ralat Piawai anggaran,

Ralat piawai anggaran menunjukkan sisihan piawai titik data sekitar garis regresi lebih kurang Se.Residual / Reja suatu titik di garis regresi ialah jarak menegak dari garis.

Reja (Residual) = y - , di mana y ialah diperoleh dari data mentah, nilai diperoleh dengan menggantikan nilai x ke dalam garis regresi berkenaan.Nilai kecerunan dalam garis regresi memberikan nilai ramalan berdasarkan hubungan linear meningkat atau menurun berapa kali. Contoh:

Seorang guru sebuah sekolah menengah ingin tahu sama ada terdapat korelasi linear antara skor Matematik dan Ekonomi di kalangan pelajarnya. Oleh itu, beliau mengkaji rekod markah pelajar yang dipilih secara rawak dan markah adalah seperti yang ditunjukkan dalam jadual di bawah.PelajarABCDEFGHIJ

markah Matematik (x)18275185332446488883

Markah Ekonomi (y)38294681555913548187

a. Hitungkan pekali korelasi bagi markah Matematik dan Ekonomi. Berikan ulasan mengenai sama ada pelajar yang baik dalam Matematik juga baik dalam Ekonomi.b. Cari persmaan garis regresi Matematik atas Ekonomi.c. Cari persmaan garis regresi Ekonomi atas Matematik.

Dengan menggunakan garis regresi yang sesuai, anggar

d. markah Matematik seorang pelajar yang tidak hadir, tetapi mendapat 30 markah dalam Ekonomi.e.markah ekonomi seorang pelajar yang mendapat 75 markah dalam Matematik tetapi tidak hadir dalam peperiksaan ekonomi.f.Apabila markah Matematik ialah 85, apakah rejanya / residual?Penyelesaian:Binakan satu jadual untuk x, y, x2, y2 dan xy.

xyx2y2xy

18383241444684

2729729841783

5146260121162346

8581722565616885

3355108930251815

245957634811416

46132116169598

4854230429162592

8881774465617128

8387688975697221

(x = 503(y = 543(x2 = 31597(y2 = 34683(xy = 31468

n = 10

a.Pekali korelasi,

Memandangkan r = 0.726 adalah positif dan besar / kuat, maka pelajar yang baik dalam matematik juga baik dalam ekonomi. Sebaliknya, pelajar yang lemah dalam Matematik juga lemah dalam Ekonomi.b.Garis regresi Matematik (x) atas Ekonomi (y) ialah x = C + Dy

Maka, persamaan garis regresi Matematik (x) atas Ekonomi (y) ialah

x = 6.90 + 0.799y.

c.Garis regresi Ekonomi (y) atas Matematik (x) ialah y = A + Bx

Maka, persamaan garis regresi Ekonomi (y) atas Matematik (x) ialah

y = 21.10 + 0.660x.

d.Garis regresi Matematik (x) atas Ekonomi (y) digunakan untuk menganggarkan markah Matematik apabila markah Ekonomi diberi.

Apabila y = 30, x = 6.91 + 0.799 (30)

= 30.27

( 30

Maka, pelajar yang mendapat 30 markah untuk Ekonomi boleh diramalkan mendapat 30 markah dalam Matematik.

e. Garis regresi Ekonomi (y) atas Matematik (x) digunakan untuk menganggarkan markah Ekonomi apabila markah Matematik diberi.

Apabila x = 75, y = 21.10 + 0.660 (75)

= 70.6

( 71

Maka, pelajar yang mendapat 75 markah untuk Matematik boleh diramalkan mendapat 71 markah dalam Ekonomi.

f.Daripada data, apabila markah Matematik 85, markah Ekonomi ialah 81.

= 21.10 + 0.660x

= 21.10 + 0.660 (85)

= 77.2

Reja / residual = y -

= 81 77.2

= -3.8

Contoh:

Satu kajian yang dijalankan ke atas harga sejenis alat ganti kereta dan jarak kedai yang menjual alat ganti dari pusat sebuah bandar. Data berikut diperoleh.

Harga (RM)10184025506065807075

Jarak (km)20253233434550556580

(a) Anggarkan harga alat ganti kereta itu yang dijual oleh sebuah kedai yang berada 30 km dari pusat sebuah bandar.(b) Anggarkan harga alat ganti kereta itu yang dijual oleh sebuah kedai yang berada di pusat bandar. Berikan ulasan untuk jawapan anda.

Penyelesaian:

Katakan x ialah jarak kedai yang menjual alat ganti dari pusat sebuah bandar

y ialah harga sejenis alat ganti kereta

Binakan satu jadual untuk x, y, x2 dan xy.

xyx2xy

2010400200

2518625450

324010241280

33251089825

435018492150

456020252700

506525003250

558030254400

657042254550

807564006000

(x = 448(y = 493(x2 = 23162(xy = 25805

n = 10

Garis regresi harga (y) atas jarak (x) ialah y = A + Bx

Maka, persamaan garis regresi harga, y atas jarak, x ialah y = -4.594 + 1.203x

(a)Apabila x = 30, y = -4.594 + 1.203(30)

= 31.50

Maka, harga alat ganti kereta pada jarak 30 km ialah RM31.50

(b)Kedai di pusat bandar, x = 0

Apabila x = 0, y = -4.594 + 1.203(0)

= -4.594

Iaitu harga alat ganti kereta ialah RM4.59. Harga tidak boleh megambil negatid, maka ini adalah tidak mungkin.

Jadi, penggunaan garis regresi tidak boleh digunakan untuk membuat anggaran di luar julat nilai data dwivariat / sampel. Ada kemungkinan x dan y tidak mempunyai hubungan linear untuk 0 x 20Contoh:

Satu eksperimen dijalankan untuk mengukur panjang bayang-bayang tiang pada masa yang berlainan pada suatu hari. Keputusan direkodkan dalam jadual di bawah; masa ialah bilangan jam selepas tengahari.Masa (jam)00.51.01.42.02.53.03.54.04.5

Panjang (meter)00.180.200.360.480.680.800.881.001.16

(a) Plotkan data pada gambar rajah serakan.

(b) Cari garis regresi untuk panjang (y) atas masa (x) dan lukiskan garis regresi y atas x dalam rajah yang sama.(c) Anggarkan panjang bayang-bayang selepas 5 jam lepas tengahari. Ulaskan keputusan anda.(d) Dari garis regresi y atas x, terbitkan persamaan garis regresi(i) y atas t di mana y ialah panjang yang diukur dalam meter dan t adalah masa yang diukur dalam minit lepas tengahari.(ii) L atas x di mana bacaan yang salah 0.02 meter ditambah kepada setiap panjang y dan L adalah bacaan yang diperbetulkan dalam meter dan x ialah masa yang diukur dalam jam lepas tengahari.(e) Terangkan mengapa garis regresi y atas x dikira dan bukan garis regresi x atas y. Jika garis regresi x atas y dikira, terangkan secara ringkas apa pengubahsuaian perlu dibuat kepada eksperimen supaya baris ini boleh digunakan dengan betul.Penyelesaian:

Contoh:

Kolej menawarkan kursus-kursus Teknologi Maklumat. Kos mengurus kursus bergantung kepada bilangan pelajar yang berdaftar. Jadual di bawah menunjukkan hubungan antara bilangan pelajar berdaftar dan kos pengurusan.Bilangan pelajar1634432067701157778

Kos (( RM10000)2.74.45.33.27.48.12.36.67.82.2

(a) Plotkan data pada gambar rajah serakan.(b) Garis regresi untuk kos (y) atas bilangan pelajar (x) ialah y = A + Bx. Cari A dan B, dan lukiskan garis regresi y atas x pada rajah yang sama.(c) Apakah yang dimaksudkan oleh nilai A dan B?(d) Anggarkan kos pengurusan jika terdapat 90 orang pelajar berdaftar. Ulaskan keputusan anda.

(e) Setiap pelajar perlu membayar RM1400.00 untuk kursus. Menulis persamaan bagi jumlah keseluruhan bayaran yang diterima jika terdapat x pelajar berdaftar. Lukiskan garis pada rajah yang sama dan anggarkan jumlah minimum pelajar yang mesti mendaftar jika kolej ini ingin mendapatkan keuntungan.Penyelesaian:

Contoh:

Satu kajian dijalankan untuk menguji keberkesanan ubat baru untuk suatu rawatan penyakit. Jadual di bawah menunjukkan bilangan kali seseorang pesakit mengambil ubat dan kadar kejayaan dalam menyembuhkan penyakit itu.Bilangan kali ubat diambil, t154575105135165195315

Kadar kejayaan, p0.1370.1980.2470.3720.4810.4810.5000.515

(a) Plotkan data pada gambar rajah serakan.

(b) Jika garis regresi untuk kadar kejayaan, p atas bilangan kali ubat diambil, t ialah p = A + Bt, cari nilai A dan B. Berikan jawapan anda tepat kepada 3 tempat perpuluhan.(c) Nyatakan titik garis regresi yang mesti dilalui dan lukiskan garis itu.(d) Dapatkan dari garis yang anda lukis, kadar pesakit yang pulih jika bilangan kali ubat diambil ialah 150. Seterusnya, cari kebarangkalian bahawa 5 pesakit yang dipilih secara rawak mengambil ubat 150 kali, sekurang-kurangnya satu pesakit pulih.Penyelesaian:

Contoh:

Jadual menunjukkan suhu maksimum yang direkodkan di sebuah bandar bagi suatu tempoh masa tertentu.BulanJanuaryFebruaryMarchAprilMayJuneJuly

Suhu ((C)22.320.217.916.116.812.610.9

(a) Salinan jadual di atas dengan mewakilkan 1 untuk Januari, 2 untuk Februari dan seterusnya.(b) Plotkan data pada gambar rajah serakan dengan bulan pada paksi-x dan suhu pada paksi-y.(c) Cari min bagi data di atas.(d) Cari garis regresi untuk suhu atas masa ini dalam bentuk y = A + Bx. Nilai B mewakili apa?(e) Dari garis regresi, ramalan suhu bagi bulan Disember adalah 15.3(C. Berikan satu sebab mengapa nilai yang diramalkan berbeza daripada nilai sebenar.Penyelesaian:

Latihan 7.3 Nota STPM ms 485 489Latihan Ulang Kaji Nota STPM ms 489 496 (Soalan 1, 4, 5, 6. 7, 9, 10, 13, 14, 17, 20)Rumus yang diberikan:

aPrediction equation in linear regression

y = b0 + b1x

where

and

bCoefficient of determination R

x

y

Titik min ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 )

Garis penyuaian terbaik dilukis dengan Mata

Dr Hu Laey Nee, IPG Kampus Sarawak 1

_1407909691.unknown

_1407909699.unknown

_1407909703.unknown

_1407909707.unknown

_1407909709.unknown

_1407909711.unknown

_1407909712.unknown

_1407909710.unknown

_1407909708.unknown

_1407909705.unknown

_1407909706.unknown

_1407909704.unknown

_1407909701.unknown

_1407909702.unknown

_1407909700.unknown

_1407909695.unknown

_1407909697.unknown

_1407909698.unknown

_1407909696.unknown

_1407909693.unknown

_1407909694.unknown

_1407909692.unknown

_1407909683.unknown

_1407909687.unknown

_1407909689.unknown

_1407909690.unknown

_1407909688.unknown

_1407909685.unknown

_1407909686.unknown

_1407909684.unknown

_1407909679.unknown

_1407909681.unknown

_1407909682.unknown

_1407909680.unknown

_1407909675.unknown

_1407909677.unknown

_1407909678.unknown

_1407909676.unknown

_1407909674.unknown