1225 55 5 5 55 5P Pe en nd du ug ga aa an n 5.1Pendahuluan Telah dikemukakan sebelumnya bahwa Statistik Inferensial berkaitan dengan pem-buatan inferens atau generalisasi atau penarikan kesimpulan terhadap karakteristik tertentudarisuatupopulasiberdasarkaninformasidarisampelyangdiambildari populasitersebut.Secaragarisbesar,penarikankesimpulantentangpopulasi tersebutdapatdibagimenjadiduatopikutama,yaitupendugaandanpengujian hipothesis tentang parameter populasi.Teori tentang pendugaan parameter popu-lasiakandibahasdidalambabini,sedangkanteoritentangpengujianhipotesis akan kita bahas pada bab 6. Sesuaidengannamanya,pendugaanterhadapsuatuparameterpopulasibertu-juanuntukmenentukannilaipendekatanataunilaidugaanbagiparameter populasi tersebut dengan menggunakan statistik sampel.Penduga bagi parameter populasidapatberupapendugatitik(pointestimate)ataupendugaselang (intervalestimate).Pendugatitikdiperolehdenganmenentukansuatunilaitung-gal,yang dihitung dari data sampel sebagai penduga bagi parameter populasi ter-sebut.Misalnyanilairata-ratasampelx yangdihitungdarisuatusampelberu-kuran n merupakan suatu penduga titik bagi parameter populasi .Demikian juga n x p =merupakansuatupendugatitikbagiproporsipdarisuatupercobaan Binomial. Dalammelakukanpendugaan,kitaumumnyahanyamengambilsatusampeldari sekianbanyakkemungkinansampel,dannilaidugaanbagiparameterpopulasi semata-matadihitungberdasarkansampelyangterambiltersebut.Sehinggake-salahandalammelakukanpendugaanakansangatmungkinuntukterjadi.Oleh karena itu, suatu nilai dugaan tidak diharapkan akan menduga parameter populasi secaratepat,akantetapinilaidugaantersebutdiharapkantidakterlalujauhme-nyimpang dari nilai yang diduganya.Dengan kata lain, penduga yang kita inginkan adalah suatu statistik yang distribusi samplingnya mempunyai rata-rata yang sama dengan nilai parameter populasinya. Definisi: Suatu statistik dikatakan sebagai penduga tak bias (unbiased estimator) bagi parameter jika( ) =E . 123Andaikanadalahsuatupendugatakbiasbagiparameter, maka dikatakan sebagai penduga yang paling efisien jika( ) Varlebih kecil dari semua penduga tak bias lainnya. 123 Gambar 5.1Distribusi sampling dari tiga penduga Gambar5.1 menyajikandistribusisamplingdaritigapenduga,yaitu 1 , 2 dan 3 .Dalamgambartersebutterlihatbahwa 1 dan 2 adalahpendugatakbias bagi(perhatikanbahwadistribusisamplingkeduanyaterpusatdisekitar), sedangkan 3 bukan merupakanpendugatakbiasbagi.Diantarakeduapen-duga tak bias tersebut terlihat bahwa varians dari 2lebih kecil daripada 1 , oleh karena itu 2merupakan penduga yang lebih efisien daripada 1 . Dalam bab 4, telah kita tunjukkan bahwa rata-rata sampel merupakan penduga tak bias bagi rata-rata populasi.Selain itu, bagi suatu populasi Normal, dapat juga kita tunjukkanbahwarata-ratasampeladalahpendugayangpalingefisienbagirata-rata populasi dibandingkan penduga tak bias yang lainnya. Suatupermasalahanyangdihadapidalampenggunaanpendugatitikadalahbah-wapendugatersebuttidakmempunyaikapasitasuntukmenyajikantingkatkete-litianpendugaannya.Haliniberbedadenganpendugaselang.Pendugaselang bagi suatu parameter populasi dinyatakan dalam bentuk selang atau intervalyang terletak antara dua nilai tertentu, dimana nilai parameter populasi yang sebenarnya diharapkanterkandungdidalamselangtersebut.Keduanilaitersebut,yang masing-masingmerupakanbatasbawahdanbatasatasbagipendugaselang, ditentukanberdasarkanpadapendugatitikdandistribusisamplingdaristatistik sampelnya.Dengandemikian,didalamsuatupendugaselangterkandung 124konsep-konseptentangteoripeluangyangdapatdigunakanuntukmenyatakan tingkat ketelitian pendugaannya. Perbedaan sampel akan menghasilkan penduga titik yang berbeda, sehingga pen-duga selang yang dihasilkanpun akan berbeda pula.Oleh karena itu, tidak semua pendugaselangakanmengandungnilaiparameterpopulasiyangsebenarnya.Sehinggadalamprosespendugaandenganmenggunakanpendugaselangpun kemungkinanuntukmembuatkesalahanselaluada.Akantetapi,denganmeng-gunakanpendugaselang,peluanguntukmembuatkesalahandalampendugaan dapatditentukan.Olehkarenaitu,pendugaselanglebihdikenaldengansebutan selangkepercayaan(confidenceinterval)karenadidalamnyaterkandungsuatu pengertianbahwaselangtersebutakanmengandungparameterpopulasidengan tingkat kepercayaan atau nilai peluang tertentu. 5.2Selang kepercayaan bagi rata-rata populasi ( diketahui) Penduga titik yang paling efisien bagi rata-rata populasi adalah rata-rata sampel, X .Olehkarenaitu,X dandistribusisamplingbagiX akandigunakanuntuk menentukanselangkepercayaanbagirata-ratapopulasi.Penentuanselang kepercayaandidasarkanpadateoritentangdistribusisamplingdaripopulasi Normal seperti telah kita bahas dalam bab 4.Konsep tentang selang kepercayaan bagi dapat diilustrasikan seperti pada gambar 5.2. -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.00,95a b1x2x3x Gambar 5.2Distribusi sampling bagiX 125Dalamgambar5.2tersebutkitaasumsikanbahwarata-ratapopulasidiketahui nilainya,dandistribusisamplingyangterdiriatassemuakemungkinanrata-rata sampel untuk ukuran sampel tertentu telah diketahui.Selang [a; b] dalam gambar tersebutditentukansedemikanrupasehinggaberjaraksamadaridan95%dari semuarata-ratasampeltercakupdidalamnya.Misalkandaripopulasitersebut diambilsampelolehtigaorangyangberbedadanrata-ratasampelyangmereka perolehadalah 1x , 2x dan 3x .Dariketigarata-ratasampeltersebutkemudian dibuatselangyanglebarnyasamadenganselang[a;b]denganmenggunakan nilairata-ratamasing-masingsampelsebagaititiktengahselang.Ketigaselang tersebutdigambarkandibagianbawahgambar5.2.Perhatikanbahwanilai 1xdan 2xmenghasilkan selang yang mencakup nilai .Sedangkan selang yang di-hasilkanolehnilai 3x tidakmencakupnilaididalamnya.Haliniterjadibukan karenakesalahandalamprosespengambilansampel,tetapisemata-matakarena sifatke-acak-an(randomness)darihasilsampel.Kejadiansepertiiniselang yang tidak mencakup nilai sebenarnya hanya mempunyai peluang sebesar 5%, karenahanya5%darinilairata-ratasampelyangdapatmenyebabkanterjadinya keadaan tersebut. Misalkan untuk menduga rata-rata populasi . sebuah sampel berukuran n diambil darisuatupopulasiyangberdistribusiNormal.Telahkitatunjukkanbahwadistri-busisamplingbagiX akanberdistribusiNormaldenganrata-rata =xdan simpanganbakunx = (lihatbagian4.3).OlehkarenaituvariabelacakZ dimana nXZ =....................................................................................... [5.1] akan berdistribusi Normal baku.Dengan menggunakan Tabel Normal Baku (Tabel Lampiran 2) dapat kita tentukan suatu selang dimana Z akan terletak dalam selang tersebutdengannilaipeluangtertentu.Sebagaicontoh,dariTabelNormalBaku tersebutdapatkitaketahuibahwaP(Z>1,96)=0,025.Selainitu,karenasifat simetris dari Z, maka P(Z < 1,96) = 0,025 (gambar 5.3). Sehingga P(1,96 < Z < 1,96) = 0,95 Denganmensubstitusikannilai nXZ = ,makapernyataanpeluangtersebut setara dengan95 , 0 96 , 1 96 , 1 =|||

\|30),makadistribusisamplingbagiXakanmendekatidistribusiNormaldansimpanganbakupopulasidapatdidekati dengan nilai simpangan baku sampel s = 0,05 mm. Dengan menggunakan Tabel Normal Baku (Tabel Lampiran 2) kita peroleh bahwa nilai kritis dari z untuk koefisien kepercayaan 90% adalah z0,05 = 1,645.Sehingga selang kepercayaan 90% bagi rata-rata ketebalan veneer () adalah ) 50 05 , 0 )( 645 , 1 ( 85 , 0 ) 50 05 , 0 )( 645 , 1 ( 85 , 0 + < < atau 0,838 < < 0,862 Untuk koefisien kepercayaan 95%, dari Tabel Lampiran 2 kita peroleh z0,025 = 1,96.Sehingga selang kepercayaan 95% bagi rata-rata ketebalan veneer ( ) adalah ) 50 05 , 0 )( 96 , 1 ( 85 , 0 ) 50 05 , 0 )( 96 , 1 ( 85 , 0 + < < atau 0,836 < < 0,864 Sedangkanuntuk koefisienkepercayaan99%,dariTabelLampiran2kitaperoleh z0,005 = 2,575.Sehingga selang kepercayaan 99% bagi rata-rata ketebalan veneer ( ) adalah ) 50 05 , 0 )( 575 , 2 ( 85 , 0 ) 50 05 , 0 )( 575 , 2 ( 85 , 0 + < < atau 0,832 < < 0,868 Perhatikanbahwasemakintinggikoefisienkepercayaanmakaselangkeperca-yaan yang dihasilkan akan semakin lebar. 129DalamMINITAB,pendugaanselangkepercayaanbagidengannilaidiketahui dilakukan dengan perintah ZINTERVAL[K% confidence], sigma = K for C...C dimana nilai Kdalam [K% confidence] adalah tingkat kepercayaaan; K dalam sigma=Kadalahnilaisimpanganbakupopulasi();danC...Cadalah kolom-kolomdaridatayangakandianalisis(MINITABdapatmenentukanselang kepercayaan bagi beberapa variabel sekaligus). Perintah tersebut dapat diketik dalam jendela Session atau dengan memilih menu StatBasic Statistics1-Sample z... Gambar 5.5 Jendela 1-Sample z untuk selang kepercayaan Pemilihanmenutersebutakanmengaktifjendela1-Samplezsepertiterlihat dalamgambar5.5.Isikannamakolomdimanadatatersebutdisimpankedalam kotakVariables,laludalamkotakLevel:isikantingkatkepercayaanyang diinginkan(MINITABtelahsecaraotomatis mengisinyauntuktingkat kepercayaan 95%),kemudianisikannilaisimpanganbakupopulasikedalam kotakSigmadan klik OK. 130Contoh 5.2 Perhatikan output dari program MINITAB di bawah ini.Output tersebut merupakan hasil analisis dari data tentang diameter pohon Pinus pinaster Ait. dalam tabel 2.1.Dalam analisis tersebut simpangan baku populasi diasumsikan sama dengan 5. MTB > ZInterval 95.0 5 'Diameter'. Confidence Intervals The assumed sigma = 5.00 Variable N MeanStDevSE Mean 95.0 % CI Diameter909.0842.3220.527(8.051,10.117) MTB > Interpretasi dari output tersebut adalah sebagai berikut: Data/variabelyangdianalisisadalahDiameteryangsimpanganbaku populasinya diketahui, yaitu = 5 (The assumed sigma = 5.00).Ukuran sampelnyaadalah90(N);rata-ratasampelnyaadalah9,084(Mean); simpanganbakusampelnyaadalah2,322(StDev);galatbakubagirata-ratanya adalah 0,527 (SE Mean); dan selang kepercayaan 95% bagi adalah 8,051 < < 10,117 (95.0 % CI). 5.3Selang kepercayaan bagi rata-rata populasi ( tidak diketahui) Prosedur pendugaan selang kepercayaan bagi rata-rata populasi yang dirumuskan dalamaturan5.1hanyadapatditerapkanjikanilaisimpanganbakupopulasi diketahuibesarnyaatauukuransampelnyacukupbesar.Padaprakteknya,sim-panganbakupopulasijarangsekalidiketahuinilainya,selainitu,seringkaliter-jadiukuransampelyangdapatdiambilpuntidaklahterlalubesar.Padakasus demikianmakaprosedurdalamaturan5.1tidakdapatdigunakanuntukmenen-tukanselangkepercayaanbagirata-ratapopulasi.Akantetapi,jikadistribusi populasinya mendekati bentuk seperti genta, maka selang kepercayaan bagi rata-rata populasi dapat dihitung dengan menggunakan distribusi sampling T, dimana n sXT =....................................................................................... [5.8] 131VariabelacakTberdistribusimengikutikaidahdistribusitdenganderajatbebas=n1.Sepertikitaketahui,distribusitmempunyaibentukyangmiripdengan distribusiNormalbaku,yaitumempunyaidistribusisepertigenta,dansimetris terhadap nilai 0 (lihat gambar 5.6). 0t/2t -t/2221 - Gambar 5.6Ilustrasi tentang nilai kritis t/2 Dalam gambar 5.6 nilai kritis t/2 adalah nilai t yang membuat luas daerah di ujung kanankurvatsamadengan/2.Nilai-nilaittersebutdapatditentukandengan menggunakanTabeldistribusitdalamTabelLampiran3.Hubunganantaranilai kritist/2dengankoefisienkepercayaanbagivariabelacakTdapatdinyatakan sebagai berikut: ( ) = < < 12 2t T t P................................................................ [5.9] atau =|||

\| 5.4Penentuan ukuran sampel untuk menduga nilai rata-rata Selang kepercayaan (1 )100% bagi menyajikan suatu perkiraan tingkat kete-litian bagi penduga titiknya, dalam hal ini adalahx .Jika nilai yang sebenarnya adalah titik tengah dari selang kepercayaan, makaxtelah secara tepat menduga (tanpakesalahansamasekali).Akantetapi,x umumnyajarangsekalisama persisdengan.,sehingganilaix akanmenyimpangdarinilaiyangsebe-narnya.Selisihantarax dengandisebutsebagaigalatpenarikansampel (samplingerror).Besargalattersebutakanmencapainilaimaksimumjikanilai yangsebenarnyaterletakdisalahsatuujungselangkepercayaan,dalamhal tersebut,besarsimpangannya(galatpenarikansampel)adalahn z 2(lihat gambar 5.8). n z x +2n z x 2xSimpangan (galat penarikan sampel) Gambar 5.8Simpangan (kesalahan pendugaan) dalam menduga denganx Untukcontoh5.1,kitadapatmengatakanbahwadengantingkatkepercayaan 90%, galat penarikan sampel yang terjadi karena menduga dengan nilai rata-rata sampelx= 0,85 mm adalah tidak lebih dari 0,012 mm. 135 Aturan 5.3 Dengantingkatkepercayaan(1)100%,galatpenarikansampelyang terjadikarenamendugarata-ratapopulasidenganrata-ratasampeladalah tidak lebih darin z 2. Aturan5.3tersebutdapatkitagunakanuntukmenentukanbesarukuransampel yang dapat menjamin bahwa galat penarikan sampel tersebut tidak lebih dari suatu nilaitertentu,misalnyae.Halinidapatdilakukandenganmenentukannilain sehinggan z 2 = e. Aturan 5.4 Galatpenarikansampelyangterjadikarenamendugarata-ratapopulasidenganrata-ratasampelx padatingkatkepercayaan(1)100%,tidak akan lebih dari e jika ukuran sampelnya adalah 22|||

\| =ezn .............................................................................. [5.14] Padaprinsipnya,aturan5.4hanyadapatdigunakanjikakitamengetahuivarians populasi,.Akantetapi,kenyataannyajarangsekalikitadihadapkanpada keadaan tersebut.Dalam kasus yang demikian, nilai biasanya diduga lebih dulu denganmengambilsuatusampelpendahuluandaripopulasiyangbersangkutan dengan ukuran sampel n > 30. Contoh 5.4 Untuk persoalan dalam Contoh 5.1, tentukanlah berapa ukuran sampel yang harus diambil, agar kesalahan pendugaan pada tingkat kepercayaan 95% tidak lebih dari 0,01 mm. Penyelesaian Nilaisimpanganbakusampels=0.05mmyangdiperolehdaripengambilan sampelsebelumnya(berukuran50)akankitagunakansebagaipendugabagi.Dengan menggunakan aturan 5.3, maka 136( ) ( )04 , 9601 , 005 , 0 96 , 12=((

= nOlehkarenaitu,agarkesalahanpendugaanpadatingkatkepercayaan95%tidak lebih dari 0,01 mm maka ukuran sampel yang sebaiknya diambil adalah 97. 5.5Selang kepercayaan bagi proporsi p Dalambagian4.5,telahkitabahasbahwanilaiproporsisampel nxp =dalam sebuah percobaan Binomial merupakan penduga yang baik bagi proporsi populasi p.Selain itu, telah pula kita ketahui bahwa np pp pz) 1 ( =............................................................................. [5.15] merupakansuatuvariabelacakyangmempunyaidistribusimendekatidistribusi Normalbaku(lihataturan4.4).Olehkarenaitu,denganmenggunakansifat simetris distribusi Normal, untuk nilai kritis z/2 berlaku =|||

\|< < 1) 1 (2 / 2 /zn p pp pz P.................................... [5.16] dapat ditunjukkan bahwa pernyataan peluang tersebut setara dengan ( ) = + < < 1 ) 1 () 1 (2 / 2 /n p p z p p n p p z p P.......... [5.17] Namundemikian,keduatitikujungselangdalampernyataanpeluangtersebutdi atasmasihmengandungnilaipyangtidakdiketahuinilainya.Jikanilaincukup besar,nilaippadakeduaujungselangtersebut(dibawahtandaakar)dapat digantidengann x p =.Penggantiantersebuttentusajaakanmenghasilkan suatugalat(error),akantetapigalatyangdihasilkansangatlahkeciljikaukuran sampelnya(n)cukupbesar.Olehkarenaitu,pernyataanpeluangtersebutdapat dituliskan sebagai berikut: ( ) + < < 1 )1 ( )1 ( 2 / 2 /n p p z p p n p p z p P....... [5.18] Pernyataanpeluangtersebutmerupakansuatupendekatanbagiselang kepercayaan bagi proporsi. 137Aturan 5.5Selang kepercayaan bagi p untuk n>30 Selang kepercayaan (1 )100% bagi parameter binomial p didekati dengan n p p z p p n p p z p )1 ( )1 ( 2 / 2 / + < < ....................... [5.19] atau n p p z p )1 ( 2 / .................................................................... [5.20] dimana nxp =adalahproporsisampel;nadalahukuransampel;danz/2 adalahnilaikritisdarivariabelacaknormalbakuyang membuatluasdaerah di ujung kanan kurva sama dengan /2. Contoh 5.5 Hasil suatu survey terhadap 500 keluarga di suatu kota, menunjukkan bahwa 324 keluargatelahmempunyaisambungantelepondirumahnya.Tentukanselang kepercayaan 95% bagi proporsi kepemilikan sambungan telepon di kota tersebut. Penyelesaian Proporsisampeluntukkasusiniadalah648 , 0500324= = p .DariTabelNormal baku(TabelLampiran2)kitaperolehnilaikritisz/2=z0,025=1,96,makadengan mensubstitusikannilai-nilaitersebutkedalamrumusdalamaturan5.5,selang kepercayaan 95% bagi p adalah ( ) ( )500648 , 0 1 648 , 096 , 1 648 , 0500648 , 0 1 648 , 096 , 1 648 , 0+ < < p0,606< p < 0,690 Data yang dikumpulkan untuk keperluan pendugaan bagi proporsi merupakan data dalam skala pengukuran nominal.Misalnya untuk kasus dalam contoh 5.5 di atas responsyangkitaperolehdarisetiapkeluargaadalahmemilikisambungan teleponatautidakmemilikisambungantelepon.Untukkeperluananalisisdata, datadalamskalanominalbiasanyadinyatakandalambentukskorataukode, notasiyangbiasadigunakanadalah1atau0.Sehinggakeluargayangmemiliki sambungan telepon mendapat skor 1 danyang tidak memiliki sambungan telepon mendapat kode 0.Dengan demikian, dari ke 500 keluarga tersebut akan terdapat 324 skor benilai 1 dan 176 skor bernilai 0. 138Untuk analisis data dengan MINITAB, ke 500 skor tersebut harus disimpan dalam satukolomtertentu,misalnyadalamkolomC1yangdiberinamatelepon.Prosedurpenentuanselangkepercayaanbagiproporsidilakukansamaseperti menentukanselangkepercayaanbagirata-ratapopulasidalambab5.2,yaitu dengan memilih menu StatBasic Statistics1-Sample z... OutputMINITABuntukkasusiniadalahsebagaiberikut(nilaisigma=0.478 diperoleh dari hasil perhitungan( ) 4776 , 0 648 , 0 1 648 , 0 )1 (= = p p ): MTB >MTB > ZInterval 95.0 .4776 'Telepon'. Confidence Intervals The assumed sigma = 0.478 VariableN Mean StDevSE Mean95.0 % CI Telepon 500 0.64800.4781 0.0214( 0.6061,0.6899) MTB > 5.6Penentuan ukuran sampel untuk menduga proporsi Penentuan ukuran sampel yang diperlukan untuk menduga proporsi suatu populasi dengan tingkat kesalahan tertentu dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti padabagian5.4.Padatingkatkepercayaan(1)100%,selangkepercayaan bagi p ditentukan dengan rumus [5.19], yaitu: n p p z p p n p p z p )1 ( )1 ( 2 / 2 / + < < Selang kepercayaan tersebut mempunyai titik pusat dip serta melebar ke kiri dan ke kanan sejauhn p p z e )1 (2 / = ................................................................... [5.21] darititikpusattersebut.Nilaietersebutadalahnilaimaksimumbagigalat penarikansampelpadatingkatkepercayaan(1)100%.Dengansedikit manipulasi aljabar, dapat ditunjukkan bahwa 139( ) ( )222 /1ep p zn = ................................................................... [5.22] Namundemikian,persamaantersebuttidakdapatlangsungdigunakanuntuk menentukanukuransampelnkarenamasihmengandungnilaipyangnilainya tidak diketahui.Perhatikan bahwa nilai maksimum bagi( ) p p1 adalah karena nilaip selalu terletak antara nol dan satu.Oleh karena itu, nilai maksimum bagi n adalah ( ) ( )222 /24122 /4 ezezn== Aturan 5.6 Galatpenarikansampelyangterjadikarenamendugaproporsipopulasip denganproporsisampelppadatingkatkepercayaan(1)100%,tidak akan lebih dari e jika ukuran sampelnya adalah ( )222 /4 ezn= ................................................................................... [5.23] Contoh 5.6 Tentukanlahukuransamplenyaagarpadatingkatkepercayaan90%,kesalahan pendugaanbagiproporsikepemilikansambungantelepondalamcontoh5.5tidak lebih dari 0,05. Penyelesaian: Diketahuigalatpenarikancontoh(kesalahanmaksimum)yangdiperbolehkan adalahe=0,05danuntuktingkatkepercayaan90%nilaikritisnyaadalahz/2= z0,05 = 1,645.Maka ( ) ( )6 , 270) 05 , 0 ( 4645 , 1422222 /===ezn Dengandemikianpadatingkat kepercayaan90%,ukuransampelyangsebaiknya diambil agar kesalahan pendugaannya tidak lebih dari 0,05 adalah 271 keluarga. 1405.7Selang kepercayaan bagi varians populasi Dalam bagian 5.2 dan 5.3 telah kita bahas bagaimana menduga rata-rata populasi denganmenentukanselangkepercayaannya.Padakasus-kasustersebutkita tertarikuntukmendugaukuranpemusatandaripopulasi.Namundemikian,telah kitaketahuibahwaukuranpemusatansajatidakdapatsecaralengkap menjelaskankarakteristikpopulasinya.Misalnya,seorangpetugasqualitycontrol dalamsuatuprosesproduksiharusdapatmemastikanbahwahasilproduksinya memenuhispesifikasitertentu.Dalamhalini,tidakhanyarata-rataproduksinya yangharusmemenuhipersyaratantertentu,tetapiproduktersebutjugaharus konsistenatautidakterlalubervariasi.Konsistensihasilproduksitersebutdapat diukurdenganmenghitungvariansdariukuranproduktersebut,sepertiberatnya, ketebalannya,volumenyaatauukuranyanglainnya.Sebagaipenutupbabini, dalambagianiniakankitabahasprosedurpendugaanselangkepercayaanbagi varians populasi, 2.Varianssampel,s2,adalahpendugatitiktakbiasdarivarianspopulasi,2.Akan tetapi, untuk dapat menentukan selang kepercayaan bagi 2 kita harus mengetahui distribusi sampling dari statistik tersebut. JikadarisuatupopulasiNormaldenganvarians2diambilsampelberukurann berkali-kali,makaakankitaperolehberbagainilaivarianssamples2.Darinilai-nilai varians sampel tersebut dapat dibangkitkan suatu variabel acak baru, yaitu 2, yang nilai-nilainya ditentukan dengan rumus ( )2221s n =............................................................................... [5.24] 0 32derajat bebas = 4derajat bebas = 7derajat bebas = 152 Gambar 5.9Kurva distribusi Chi-kuadrat untuk = 4, 7 dan 15 141Distribusidari2disebutsebagaidistribusiChi-kuadratdenganderajatbebas = n 1.Dari rumus di atas, jelas terlihat bahwa 2 tidak pernah negatif dan nilai-nilainya berkisar antara 0 dan .Oleh karena itu, kurva distribusinya tidak pernah simetristerhadapnol.SuatudistribusiChi-kuadratdibedakandengandistribusi Chi-kuadratyanglainnyadenganderajatbebasnya.Sehinggaakanterdapat banyak sekali distribusi Chi-kuadrat.Gambar 5.9 menyajikan tiga bentuk distribusi Chi-kuadrat dengan derajat bebas 4, 7 dan 15. DalamdistribusiChi-kuadrat,notasi 2 digunakanuntukmelambangkannilai2 yang membuat luas diujung kanan distribusinya sama dengan, sedangkan nilai 2yangmembuatluasdiujungkiridistribusinyasamadengandilambangkan dengan 21(gambar5.10).TabelLampiran4menyajikannilai-nilai 2 yang membuatluasdaerahdiujungkanandistribusinyasamadengan,untuk beberapa nilai tertentu.Dalam tabel tersebut nilai-nilai dicantumkan pada judul kolom,sedangkannilai-nilai 2 tercantumdalambadantabel.Kolompalingkiri dari tabel tersebut menyajikan derajat bebas dari distribusinya. 02 221 Gambar 5.10Ilustrasi tentang 2dan 21 Contoh 5.7 Tentukannilaikritisdaridarisuatuvariabel2yangberidistribusiChi-kuadrat dengan derajat bebas 8 sehinggaa.luas daerah di ujung kanan kurvanya = 0,05 b.luas daerah di ujung kiri kurvanya = 0,05 142Penyelesaian: a.Nilai kritis bagi variabel 2 dengan derajat bebas = 8 yang membuat luas di ujungkanankurvanya=0,05dinotasikandengan 28 ; 05 , 0 .DalamTabel Lampiran4nilaitersebutadalahselyangmerupakanpertemuanantara baris=8dengankolom=0,05,yaitu15,507.Olehkarenaitu,untuk derajat bebas = 8, maka 05 , 0 ) 507 , 15 (2= > Pb.Nilai kritis bagi variabel 2 dengan derajat bebas = 8 yang membuat luas di ujung kiri kurvanya = 0,05 dinotasikan dengan 28 ; 95 , 028 ); 05 , 0 1 ( =.Dalam TabelLampiran4nilaitersebutadalahselyangmerupakanpertemuan antarabaris=8dengankolom=0,95,yaitu2,733.Olehkarenaitu, untuk derajat bebas = 8, maka 05 , 0 ) 733 , 2 (2= < P Denganmenggunakannotasitersebut,makakitadapatmembuatpernyataan peluang berikut: ( ) =