Fungsi Dua Peubah*Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Sistem KoordinatOktan 1R3(Ruang) R2(Bidang)

Kalkulus2-Unpad

*Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Permukaan di Ruang (R3)Jejak di bidang XOY, z = 0 Jejak di bidang XOZ, y = 0 Jejak di bidang YOZ, x = 0 1. BidangBentuk umum:Cara menggambar permukaan: tentukan jejak(perpotongan permukaan dengan bidang XOY,XOZ,YOZ)(garis lurus)(garis lurus)(garis lurus)

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Gambar bidang

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Jejak di bidang XOY, z = 0 Jejak di bidang XOZ, y = 0 (lingkaran) (lingkaran)Jejak di bidang YOZ, x = 0 (lingkaran)2. BolaPersamaan umum bola :

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Gambar Bola

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*3. ElipsoidaJejak di bidang XOY, z = 0 , berupa ElipsJejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa ElipsJejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa ElipsBentuk umum :

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Gambar Elipsoida

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa ElipsJejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa HiperbolaJejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Hiperbola4. Hiperboloida berdaun satuBentuk umum :

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Gambar Hiperboloida Berdaun Satu

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa HiperbolaJejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa HiperbolaJejak di bidang YOZ, x = 0 , tidak ada jejakJejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips 5. Hiperboloida Berdaun duaBentuk umum :

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Gambar Hiperboloida Berdaun Dua

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*6. Paraboloida Elips :7. Paboloida Hiperbola :8. Kerucut Elips :

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*GambarZ x yz x yZ x yParaboloida ElipsParaboloida HiperbolaKerucut Elips

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Fungsi Dua PeubahDefinisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y)Notasi : f : A R (x,y) z = f(x,y)Contoh:

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Daerah Asal (Df) dan Daerah Nilai (Rf)Contoh. Tentukan dan gambarkan Df dari Berupa daerah di bidang

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Jawab :xy2.xy23(seluruh daerah di bidang)

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*xy= {(x,y) R2|x 0 dan (1y)0 atau x 0 dan (1y)0}= {(x,y) R2|x 0 dan y 1 atau x 0 dan y 1}

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*LatihanTentukan dan gambarkan domain dari fungsi berikut:

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Grafik Fungsi Dua PeubahGrafiknya berupa permukaan di ruangZ=f(x,y)DfxyzKarena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengantepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sumbu zakan memotong grafik tepat di satu titik.

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*ContohParaboloida elipsZ x yZ x y33Gambarkan grafik 2elipsoida

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Latihanx2 + y2 = 4y = x22x + 2y + 4z = 8 , di oktan 19 z2 + 9x2 + 4y2 = 36z =4Gambarkan grafik dari :

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Kurva Ketinggianz = f(x,y) z = k adalah kurva ketinggian.

Jadi, kurva ketinggian adalah proyeksi dari perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY.

Kalkulus2-Unpad

*Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Contoh: Untuk k = 0 titik (0, 0)Untuk k = 1 elipsUntuk k = 2 elipsUntuk k = 4 elipsk=2k=4xy1. Gambar kurva ketinggianJawab:

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Untuk k = -2 parabolaUntuk k = 0 parabolaUntuk k = 2 parabolaUntuk k = 4 parabolak=0k=-2k=2k=4xyJawab:

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*LatihanGambarkan kurva ketinggian z = k dari

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Limit Fungsi Dua PeubahDefinisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis berlakuxyz(a,b)Z =f(x,y)LL+L

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Catatanada jika untuk sembarang kurva yang melalui (a,b) Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R2 yang melalui

kurva, maka dikatakanberbeda untuk masing-masing(a,b) dengan nilaitidak ada.. (a,b)

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*ContohJawab :terdefinisi di Df = R2 {(0,0)} *) Di sepanjang garis y=0, kecuali x =0, makatidak adaBuktikan bahwa*) Di sepanjang garis y=x, maka

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Karenamakatidak ada

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*LatihanBuktikan bahwa limit berikut tidak ada

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*KekontinuanDefinisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jikaUntuk memeriksa kekontinuan suatu fungsi di suatu titik sangat sulit, karena limit fungsi sulit dicari.

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Teorema:1. Fungsi polinom m peubah kontinu 2. Fungsi rasionalkontinu di asalkan3. Jika g(x,y) fungsi dua peubah yang kontinu di (a,b) dan f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b), maka fog kontinu di (a,b) dan (fog) (x,y) = f(g(x,y)).

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Contoh KekontinuanSelidiki kekontinuan fungsi berikut:f kontinu dimana-mana (R2) kecuali di parobola y2=4xMisal (Polinom) g kontinu dimana-mana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R.Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang.

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Turunan ParsialDefinisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah.

Turunan parsial pertama f terhadap y (x dianggap konstan):

1. Turunan parsial pertama f terhadap x (y dianggap konstan):Notasi lain :

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Contoh:Tentukan fx dan fyJawab :

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*LatihanTentukan fx dan fy dari fungsi berikut :

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Definisi: Misalkan f(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah, maka

Turunan parsial pertama f terhadap y (x,z konstan):

1. Turunan parsial pertama f terhadap x (y,z konstan):3. Turunan parsial pertama f terhadap z (x,y konstan):

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*LatihanTentukan fx, fy dan fz dari fungsi berikut :

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Turunan Parsial Kedua

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*ContohTentukan Jawab :dari

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*LatihanTentukan dari

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Arti Geometris Turunan Parsial Pertama (a, b) sKemiringan garis singgung di titik (x,y,z)dalam arah sumbu x positif

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*z x y (a, b) sKemiringan garis singgung di titik (x,y,z)dalam arah sumbu y positifArti Geometris Turunan Parsial Pertama

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Vektor GradienDefinisi:Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D R2 Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D didefinisikan sebagaiadalah vektor satuan arah sumbu x,y positifNotasi lain: grad f(x,y), del f(x,y) Definisi Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalahadalah vektor satuan arah sumbu x,y,z positif.

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*ContohTentukandandariJawab :Jadi:

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*LatihanA. TentukandariB. Tentukandi titik yang diberikandi P (2,3) di P (3, 3) di P (2, 1)

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Aturan RantaiMisalkan x = x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t)) Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*ContohMisalkan w = x2 y3 dengan x = t3 dan y = t2,

tentukanJawab:

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Contoh2. Misalkan z = 3x2 y2 dengan x = 2s+7t dan y = 5st, Jawab:tentukan dan

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Latihan1. Tentukan(dalam t)2. Tentukandari fungsi berikut :dari fungsi berikut :

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Fungsi Implisit(i) Jika bentuk implisit dari maka(ii) Jika bentuk implisit darimaka

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Contoh :1. Tentukan dari2. Tentukan dariJawab :

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Turunan BerarahMisalvektor satuan dengan pangkal di P0(x0, y0) P0

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*atauNilai z di Q adalah makaJika s0, maka diperolehJika jarak ke P adalah s, makaP0

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Definisi : Jika f(x,y) mempunyai turunan parsial dan vektor satuan sebarang, maka turunan berarah f di titik dalam arah adalah :Perhatikan bahwa:sudut antara

Kalkulus2-Unpad

*ContohJawab:1. Tentukan turunan berarah fungsi di titik P(1,1) dalam arah vektorSehingga turunan berarah f di (1,1) adalah:Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad

**ContohJawab:2. Tentukan suatu vektor dalam arah mana fungsibertambah paling cepat di P(2,-1) dan berapa laju perubahan dalam arah ini.Agar bertambah paling cepat searah.*Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad

Karena searahmaka vektor satuannya Lajunya =*Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*LatihanTentukan turunan berarah fungsi f pada titik P yang diberikan dalam vektor a. f(x,y) = y2 lnx , P(1, 4), b. f(x,y) = xey yex , P(0, 0),c. f(x,y) = e xy , P(1, 1), d. f(x,y) = x/(x+y) , di P(1, 1) dalam arah ke titik Q(-1,-1)e. f(x,y) = xy+z2 , di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3)Tentukan suatu vektor satuan dalam arah mana f bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah inia. f(x,y) = ey sin x , P(5/6,0)b. f(x,y) = 4x3y2 , P(1,1)c. f(x,y) = 1x2y2 , P(1,2)

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*MisalTentukansehinggaJika,TentukansehinggaDiketahuijikajikadana. Tentukan fx(1,2) dan fy(1,2)b. Tentukan turunan berarah f di (1,2) dalam arah ke titik asal.

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Bidang SinggungDefinisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik Po adalah sebuah bidang yang melalui Po dan tegak lurus pada Teorema:Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidang singgung di titik adalah :

Untuk permukaan Persamaan bidang singgung di adalah :

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Definisi :Garis normal permukaan S di Po adalah garis yangmelalui dan searah vektor normal bidang singgungpada S di Poyaitu :atau

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Contoh1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normalpermukaan x2 + y2 + 2z2 = 23 di titik (1, 2, 3)Jawab: Misalkan Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah2(x 1) + 4(y + 2) + 12 (z 2) = 0 2x + 4y + 12 z = 46

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Jadi persamaan parameter garis normal adalahx = 1+2t, y = 2 + 4t , z = 3 + 12t2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normalPermukaan di (1, 2, -5)Jawab:

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Jadi persamaan parameter garis normal adalahJadi persamaan bidang singgung di (1, 2, -5) adalah

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Latihan1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normalpermukaana. x2 + y2 3z = 2 di titik (-1, -4, 6)b. y = ex cos z di titik (1, e, 0)c. x1/2 + y1/2 + z1/2 = 4 di titik (4, 1, 1)d. z= 2e3y cos 2x di titik (/3, 0, -1)2. Tentukan semua titik pada permukaan z=x22xyy28x+4y dimana bidang singgungnya mendatar3. Perlihatkan bahwa permukaan x2+4y+z2=0 dan x2+y2+z2 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). (yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama).4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x2+2y2+3z2=12 di mana bidang singgungnya tegak lurus terhadap garis dengan persamaan parameter: x=1+2t, y=3+8t, z=2 6t

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Nilai Ekstrim Fungsi Dua PeubahDefinisi:Misalkan jikadisebut nilai maksimum global dari f pada Df ,, maka:disebut nilai minimum global dari f pada Df ,jikadisebut nilai ekstrim global dari f pada Df ,jika ia merupakan nilai maksimum global atauminimum global.Jika (i) dan (ii) hanya berlaku untuk bola buka yang berpusat di (x0,y0), maka nilai yang diperoleh disebut maksimum lokalatau minimum lokal.

Kalkulus2-Unpad

*Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Di mana nilai ekstrim muncul?Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis

Titik Kritis ada 3 (tiga), yaituTitik-titik batas DfTitik Stasioner

Titik Singular

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Uji Nilai Ekstrim LokalUntuk menguji apakah di titik stasioner terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu:Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x0,y0), danmaka1. f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D>0 dan2. f(x0,y0) nilai minimum lokal jika D>0 dan3. f(x0,y0) bukan nilai ekstrim jika D

Kalkulus2-Unpad*Contoh1. Tentukan titik kritis, nilai ekstrim dan jenisnya, dariJawab :fx(x,y) = 8x3 2xfy(x,y) = 6yfxx(x,y) = 24x2 2fyy(x,y) = 6fxy(x,y) = 0Titik kritis (stasioner) diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu8x3 2x=02x (4x2 1)=0x=0 , x = 6y =0y = 0Jadi titik-titik kritisnya (titik stasioner) adalah (0, 0), (, 0) dan (-,0)

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Uji nilai ekstrim lokal dengan D :Jadi nilai minimum lokaldanTitik (0,0) merupakan titik pelana.

Titik stasionerfxxfyyfxyDKeterangan(0,0) 26012f(0,0) bukan nilai ekstrim(, 0)46024f(1/2,0) nilai minimum lokal(-, 0)46024f(-1/2,0) nilai minimum lokal

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*2. Tentukan nilai ekstrim global dan jenisnya, darif(x,y) = x2y2+1 pada S = {(x,y)| x2 + y2 1}Jawab :fx(x,y) = 2xfy(x,y) = 2yfxx(x,y) = 2fyy(x,y) = 2fxy(x,y) = 0Titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, didapat (0,0)Perhatikan bahwa titik kritis (0, 0) terletak di dalam S, dan D(0,0)

Selanjutnya tentukan titik-titik batasnya.Untuk mencari maksimum/minimum dari f(x,y) pada S,selesaikan ekstrim fungsi f(t) sebagai fungsi satu peubah.

Lingkaran satuan.Misal2t= 0, , 2, 3t= 0, /2, , 3/2t=0 x = 1, y = 0 f(1,0)=2 (nilai maksimum global)t=/2 x = 0, y = 1 f(0,1)=0 (nilai minimum global)t= x = -1 , y = 0 f(-1,0)=2 (nilai maksimum global)t=3/2 x = 0, y =-1 f(0,-1)=0 (nilai minimum global)*Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Latihan1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, daria. f(x,y) = x3+y3-6xyb. f(x,y) = xy2 6 x2 6y2c. f(x,y) = x2 +4 y2 2x+8y 1d. f(x,y) = 3x3 +y2 9x + 4y2. Tentukan nilai ekstrim global dan jenisnya, dari f(x,y) =x26x+y28y+7 pada S={(x,y)| x2 + y2 1}

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Metoda LagrangeMetoda Lagrange digunakan untuk mencari nilai ekstrimterkendala.Misalkan z =f(x,y) dengan kendala g(x,y)=0.Akan dicari nilai ekstrim f terhadap kendala g.

Kalkulus2-Unpad

Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) =0 Cari perpotongan kurva ketinggian f(x,y)=k dengan fungsi kendala g(x,y)=0 sehingga diperoleh k terbesar. Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung garis tegak lurusnya sama.Karena kurva ketinggian , kurva kendalamaka*Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Metoda Lagrangedengan (x0,y0) titik kritis, pengali langrange dengan (x0,y0) titik kritis, , pengali langrange g(x0,y0)=0, h(x0,y0)=0 Untuk memaksimumkan/meminimumkan f (x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0, selesaikan sistem persamaan: Untuk memaksimumkan/meminimumkan f (x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0 dan h(x0,y0) selesaikan sistem persamaan:

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari1. f(x,y)= x2 y2 + 1 pada lingkaran x2+y2=1Jawab:Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaanlagrange :danyaitu:2x = 2x .(1) 2y = 2y .(2)x2+y2 = 1 ..(3)Contoh

Kalkulus2-Unpad

Kalkulus2-Unpad*Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin sama-sama nol, sehinggaUntuk x 0, dari (1) di dapat = 1, kemudian dari (2)di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x2=1 x = 1 Untuk y 0, dari (2) di dapat = -1, kemudian dari (1)di dapat x = 0, dan dari (3) di dapat y2=1 y = 1 Jadi titik-titik kritisnya : (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1) f(1, 0) = 2, f(-1, 0) = 2 f(0, 1) = 0, f(0,-1) = 0maka titik kritis : (1,0) dan (-1,0)maka titik kritis : (0,1) dan (0,-1)

Kalkulus2-Unpad

2. Tentukan nilai minimum global dari Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),terhadap kendala Jawab:(1)(3)(2)(4)Kalkulus2-Unpad*

Substitusi ke (4), didapatKarenaSehingga nilai minimumnya adalah:Jadi titik kritis :Kalkulus2-Unpad*

Kalkulus2-Unpad*LatihanGunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari

f(x,y) = x2 + y2 pada kendala g(x,y)= xy 3 = 0f(x,y) = xy pada lingkaran x2 + y2 = 1f(x,y) = 4x2 4xy+ y2 pada kendala x2+y2 = 1f(x,y,z) = x2+y2+z2 pada kendala x + 3y 2z = 12

Kalkulus2-Unpad