5. BAB III

22

BAB III

PELABELAN TOTAL SISI - ANTI AJAIB

3.1. Pelabelan Graf

Pelabelan graf adalah suatu pemberian nilai (dengan bilangan bulat)

pada titik atau sisi dari graf atau keduanya sehingga memenuhi kondisi

tertentu. Pelabelan dapat dibagi menjadi beberapa bagian, yaitu pelabelan

sisi, pelabelan simpul dan pelabelan total.

Menurut [10], pelabelan-pelabelan yang sering digunakan adalah

pelabelan semua simpul dan sisi (pelabelan total), pelabelan simpul saja dan

pelabelan sisi saja. Pelabelan simpul adalah pelabelan dengan domain

himpunan simpul, pelabelan sisi adalah pelabelan dengan domain himpunan

sisi dan pelabelan total adalah pelabelan dengan domain himpunan simpul

dan himpunan sisi.

Pelabelan total dapat dibagi menjadi 2, yaitu:

1. Pelabelan total sisi, yaitu : pelabelan dengan memperhitungkan satu sisi

dengan simpul yang menghubungkan sisi tersebut.

2. Pelabelan total simpul, yaitu : pelabelan dengan memperhitungkan satu

simpul dengan sisi-sisi yang terhubung pada simpul tersebut.

Pelabelan

Pelabelan simpul: f : V(G) → Z+

Pelabelan sisi: f : E(G) → Z+

Pelabelan total: f : V(G)∪E(G) → Z+

Gambar 3.1. Macam-macam Pelabelan

22

23

3.2. Pelabelan Anti Ajaib

Pelabelan graf dapat dibedakan menjadi dua bagian, yaitu pelabelan

ajaib dan pelabelan anti ajaib. Pelabelan ajaib adalah pelabelan pada graf

yang memiliki bobot simpul atau bobot sisi pada setiap pelabelan didapatkan

bernilai sama. Sedangkan pelabelan anti ajaib adalah pelabelan pada graf

memiliki bobot simpul atau bobot sisi pada setiap pelabelan didapatkan

berbeda nilai hasil jumlahnya. Pada skripsi ini penulis hanya membahas

pada pelabelan anti ajaib, sebagai perbandingan perhatikan Gambar 3.2 di

bawah ini..

Graf pada Gambar 3.2. (a) merupakan contoh graf sisi ajaib karena

hasil pelabelan total sisi-ajaib pada graf tersebut bernilai sama, yaitu k = 12,

dan dihitung sesuai dengan Persamaan (2.6):

)( 1eb =1+5+6 = 12

b(e2) = 6+4+2 =12

b(e3) = 2+7+3 =12

b(e4) = 3+8+1 = 12

Jadi bobot seluruh sisinya sama yaitu 12.

4

1

3

5 7

6

8

4

7

8

5

2

1 6

3

2

Gambar 3.2: (a) Graf Sisi Ajaib, (b) Graf Sisi Anti Ajaib

e1

e2

e3

e4

e1

e2

e3

e4

24

Sedangkan pada Gambar 3.2. (b) dikatakan graf sisi-anti ajaib

karena hasil pelabelan total sisi-anti ajaib pada graf tersebut, bobot

seluruh sisinya masing-masing berbeda, yaitu dihitung dengan

Persamaan (2.6):

)( 1eb =1+8+2 = 10

)( 2eb =2+7+3 = 11

)( 3eb =3+6+4 = 12

)( 4eb =4+1+ 1 =13

Jadi bobot seluruh sisinya adalah {10,11,12,13}.

3.3. Pelabelan Total (a,d)-Simpul-Anti Ajaib

Pelabelan total (a,d)-simpul-anti ajaib pada graf ( )( )GEGVG ),(=

adalah pemetaan satu-satu pada dari ( ) ( )GVGEf ∪: ke himpunan

{1, 2,..., |V|+|E|}, sedemikian sehingga himpunan bobot simpul dari semua

simpul di G adalah ( ){ }dVadadaa 1,...,2,, −+++ dengan |V| adalah

banyaknya simpul pada graf dan a , d adalah suatu bilangan bulat positif.

Gambar 3.3. Contoh Pelabelan Total (a,d)-Simpul-Anti Ajaib

1 2

3

4

5

7 8

9

10

6

18

17

19

20

21

v1 v2

v3 v4

v5

25

Graf pada Gambar 3.3. di atas dapat dihitung bobot tiap simpulnya

dengan menggunakan Persamaan (2.5) sebagai berikut:

b(v1) =10+1+6 = 17

b(v2) =6+5+7 = 18

b(v3) =7+4+8 = 19

b(v4) =8+3+ 9 =20

w(v5) =9+2+10 =21

Jadi bobot seluruh simpulnya adalah {17, 18, 19, 20, 21}.

3.4. Pelabelan Total (a,d)-Sisi - Anti Ajaib

Pada bab sebelumnya telah dijelaskan bahwa pelabelan anti ajaib

adalah graf yang memiliki bobot simpul dan sisi pada setiap pelabelan

berbeda.

Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pada graf G = (V(G),E(G)) adalah

pemetaan yang bersifat satu-satu pada dari f : )()( GEGV ∪ ke himpunan

{1, 2,..., |V|+|E|}, sedemikian sehingga himpunan bobot dari semua sisi di G

adalah {a, a+d, a+2d,..., a+(|E|-1)d} dengan a, d adalah bilangan bulat

positif.

3

5 4

2

1

6

7

11

15

Gambar 3.4. Contoh Pelabelan Total (a,d)-Sisi-Anti Ajaib

e2

e1 e3

26

Graf pada Gambar 3.4. di atas dapat dihitung bobot tiap sisinya dengan

menggunakan Persamaan (2.6) sebagai berikut:

b(e1)=4+1+2 = 7

b(e2)=2+3+6 = 11

b(e3)=6+5+4 = 15

Jadi bobot seluruh sisinya adalah {7,11, 15}.

Serupa dengan definisi pelabelan anti ajaib, akan tetapi terdapat suatu

ketentuan pada himpunan bobot sisinya, yaitu membentuk barisan

aritmatika dengan suku awal a=7 dan beda d=4.

Untuk kasus pada Gambar 3.2.(a) didapatkan bobot seluruh sisinya

sama, yaitu a=12, dan pelabelan tersebut disebut pelabelan ajaib.

3.5. Pelabelan Total (a,d) -Sisi-Anti Ajaib pada Graf Lingkaran Cn

Graf pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib membentuk deret aritmatika

{a, a+d, a+2d,..., a+(|E|-1)d}, untuk suatu bilangan positif d. dalam kasus

ini penulis menetapkan dengan 41 ≤≤ d .

Pada pembahasan selanjutnya, penulis akan menjelaskan tentang

pelabelan total (a,d)-sisi - anti ajaib berikut contoh pada graf lingkaran Cn

untuk 2≥n dengan 41 ≤≤ d dan nilai suku awal a yang berbeda.

Pada graf lingkaran Cn untuk n = 2 dengan d = 1, pelabelan total (a,d)-

sisi - anti ajaib untuk pelabelan sisi ),( 1vvf n dapat digambar sembarang.

27

Graf pada Gambar 3.5. untuk graf lingkaran C2 didapatkan deret

C2 = 6, 7. Maka graf tersebut mempunyai nilai suku awal a = 6 dan d = 1.

Untuk Gambar pada graf lingkaran Cn selanjutnya, dapat dilihat pada

Lampiran 1, dengan bobot-bobotnya sebagai berikut:

Pada graf lingkaran C3 = 8,9,10

Maka graf lingkaran tersebut mempunyai nilai suku awal a = 8 dan d =1

Pada graf lingkaran C4 = 10,11,12,13

Maka graf lingkaran tersebut mempunyai nilai suku awal a = 10 dan d = 1

Pada graf lingkaran C5 = 11,1,2,13,14,15




Pada graf lingkaran C7 = 15,16,17,18,19,20,21,22


Pada graf lingkaran C8 = 17,18,19,20,21,22,23,24,25




3

1

4

2

Gambar 3.5. Pelabelan Total (a,1)-Sisi-Anti Ajaib pada

Graf Lingkaran C2

4

1

3

2

28

Pada graf lingkaran C10 = 23, 24,25,26,27,28,29,30,31,32


Pada graf lingkaran C11 = 24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34


Pada graf lingkaran C12 = 26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37


Pelabelan total (a,1)-sisi - anti ajaib pada graf lingkaran Cn, pola

pelabelan yang digunakan adalah sebagai berikut:

),(),(

)(

1

1

vvfvvf

vf

n

ii

i

+

n

ini

22

=−=

=

1,...,2,1,...,2,1

−==

nini

Teorema 3.1. : Untuk setiap 2≥n , pada graf lingkaran Cn mempunyai

pelabelan total (2n+2,1)-sisi - anti ajaib.

Bukti : Misalkan : }1|{)( nivCV in ≤≤=

},{}11|,{)( 11 vvnivvCE niin ∪−≤≤= +

2

1

3 4 5 6

7

8 9 10 11

12

24

13 14 15 16

17

18 19

20 21 22 23

Gambar 3.6. Contoh Pelabelan Total (a,1)-Sisi-Anti Ajaib pada

Graf Lingkaran C12

29

Misalkan pelabelan total }2,...,2,1{)()(: nCECVf nn →∪ didefinisikan

sebagai berikut:

),(),(

)(

1

1

vvfvvf

vf

n

ii

i

+

n

ini

22

=−=

=

1,...,2,1,...,2,1

−==

nini

Misalkan: ),( 1+iif vvb , untuk 11 −≤≤ ni menyatakan bobot sisi 1, +ii vv ,

pada graf lingkaran Cn maka :

12)1()2()(

)(),()(),( 111

++=++−+=

++= +++

iniini

vfvvfvfvvb iiiiiif

1312

)(),()(),( 111

+=++=

++=

nnn

vfvvfvfvvb nnnf

Misalkan bf menyatakan barisan bobot sisi pada Cn

}10|)22{())}1()22(()),2()22((),...,1)22((),22{(

}13,3,...,32,22{}13,3,...,32,22{

}13{}11|12{

)},({}11|),({ 11

−≤≤++=−++−+++++=

+++=+++=

+∪−≤≤++=

∪−≤≤= +

niinnnnnnn

nnnnnnnn

nniin

vvbnivvbbf nfiif

Jadi terbukti untuk setiap 2≥n , pada graf lingkaran Cn mempunyai

pelabelan total (2n+2,1)- sisi - anti ajaib.


sisi-anti ajaib untuk pelabelan sisi ),( 1vvf n dapat digambar sembarang.

30

Graf pada Gambar 3.7. untuk graf lingkaran C2 didapatkan deret




Pada graf lingkaran C3 = 9, 11, 13


Pada graf lingkaran C4 = 11, 13, 15, 17


Pada graf lingkaran C5 = 13, 15,17, 19, 21


Pada graf lingkaran C6 = 15,17, 19, 21,23, 25


Pada graf lingkaran C7 = 17, 19, 21,23, 25, 27, 29

Maka graf lingkaran tersebut mempunyai nilai a = 17 dan d = 2

Pada graf lingkaran C8 = 19, 21,23, 25, 27, 29, 31, 33


Pada graf lingkaran C9 = 21,23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37


3

2

1

4

1

2

3

4


Graf Lingkaran C2

31

Pada graf lingkaran C10 = 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41


Pada graf lingkaran C11 = 25, 27, 29, 31, 33, 35 ,37, 39, 41, 43, 45


Pada graf lingkaran C12 = 27, 29, 31, 33, 35 ,37, 39, 41, 43, 45, 47, 49


Pelabelan total (a,2)-sisi-anti ajaib pada graf lingkaran Cn, pola


),(),(

)(

1

1

vvfvvf

vf

n

ii

i

+

1

1)(22

=+−=

=in

i

1,...,2,1,...,2,1

−==

nini

Teorema 3.2. : Untuk setiap 2≥n , pada graf lingkaran Cn mempunyai

pelabelan total (2n+3,2)-sisi-anti ajaib.


},{}11|,{)( 11 vvnivvCE niin ∪−≤≤= +


Graf Lingkaran C12

4

2

6 8 10 12

14

16 18 20 22

24

1

3 5 7 9

11

13

15 17 19 21

23

32


sebagai berikut:

),(),(

)(

1

1

vvfvvf

vf

n

ii

i

+

1

1)(22

=+−=

=in

i

1,...,2,1,...,2,1

−==

nini



3)(2322

221222)1(2)1)(2()2(

)(),()(),( 111

++=++=

+++−+=+++−+=

++= +++

inin

iiniiini

vfvvfvfvvb iiiiiif

32212

)(),()(),( 111

+=++=

++=

nn

vfvvfvfvvb nnnf


}10|2)32{()}1(2)32((),...,4)32((),2)32((),32{((

}14,...,72,52,32{}32,14,...,72,52{

}32{}11|322{}32{}11|3)(2{

)},({}11|),({ 11

−≤≤++=−+++++++=

++++=++++=

+∪−≤≤++=+∪−≤≤++=

∪−≤≤= +

niinnnnnn

nnnnnnnn

nniinnniin

vvbnivvbbf nfiif


pelabelan total (2n+3,2)-sisi - anti ajaib.

33


sisi - anti ajaib untuk pelabelan sisi ),( 1vvf n dapat digambar sembarang.

Graf pada Gambar 3.9 untuk graf lingkaran C2 didapatkan deret




Pada graf lingkaran C3 = 7,10,13


Pada graf lingkaran C4 = 8,11,14,17


Pada graf lingkaran C5 = 9,12,15,18,21




Pada graf lingkaran C7 = 11,14,17,20,23,26,29


Pada graf lingkaran C8 = 12,15,18,21,24,27,30,33


1

2

4

3

4

2

1

3


Graf Lingkaran C2

34



Pada graf lingkaran C10 = 14,17,20,23,26,29,32,35,38, 41


Pada graf lingkaran C11 = 15,18,21,24,27,30,33,36,39,42, 45


Pada graf lingkaran C12 = 16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46, 49


Pelabelan total (a,3)-sisi - anti ajaib pada graf lingkaran Cn, pola


),(),(

)(

1

1

vvfvvf

vf

n

ii

i

+

1

1)(1

=++=

+=in

i

1,...,2,1,...,2,1

−==

nini

Teorema 3.3.: Untuk setiap 2≥n , pada graf lingkaran Cn mempunyai

pelabelan total (n+4,3)-sisi - anti ajaib.

3

2

4 5 6 7

8

9 10 11 12

13

1

24 23 22

21

20

19

18 17 16

15

14


pada Graf Lingkaran C12

35


},{}11|,{)( 11 vvnivvCE niin ∪−≤≤= +


sebagai berikut:

),(),(

)(

1

1

vvfvvf

vf

n

ii

i

+

11)(

1

=++=

+=in

i

1,...,2,1,...,2,1

−==

nini



4343

)2()1)()1(

)(),()(),( 111

++=++=

++++++=

++= +++

niin

iini

vfvvfvfvvb iiiiiif

4211

)(),()(),( 111

+=+++=

++=

nn

vfvvfvfvvb nnnf


}10|3)4{()}1(3)4((),...,6)4((),3)4((),4{((

}14,...,10,7,4{}4,14,...,10,7{

}4{}11|43{

)},({}11|),({ 11

−≤≤++=−+++++++=

++++=++++=

+∪−≤≤++=

∪−≤≤= +

niinnnnnn

nnnnnnnn

nnini

vvbnivvbbf nfiif


pelabelan total (n+4,3)-sisi - anti ajaib.

36

Pada pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib graf lingkaran C3 dengan

d = 4, untuk pelabelan sisi ),( 1vvf n dapat digambar sebagai berikut:

Graf pada Gambar 3.11 untuk graf lingkaran C2 didapatkan deret

C3 = 7,11,15. Maka graf lingkaran Cn tersebut mempunyai nilai suku awal

a = 7 dan d = 4. Untuk Gambar pada graf lingkaran Cn selanjutnya, dapat

dilihat pada Lampiran 4, dengan bobot-bobotnya sebagai berikut:

Pada graf lingkaran C5 = 9,13,17,21,25


Pada graf lingkaran C7 = 11,15,19,23,27,31,35


Pada graf lingkaran C9 = 13,17,21,25,29,33,,37,41,45


Graf Lingkaran C3 dan C11

3

5 4

2

1

6

6

11

13 18

1 2 3

14 5 4 7 16 9

8 15 20

17 10 19 22

21

10

37


Pada graf lingkaran C11 = 15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55


Pelabelan total (a,4)-sisi-anti ajaib pada graf lingkaran Cn dengan n

ganjil, pola pelabelan yang digunakan adalah sebagai berikut:

1),(1,...,2,112),(

,...,4,2,...,3,1

11

)(

1

1

=−=+=

⎩⎨⎧

==

+++

=

+

vvfniivvfnini

ini

vf

n

ii

i

Teorema 3.4.: Untuk setiap 3≥n dengan n ganjil, pada graf lingkaran Cn

mempunyai pelabelan total (n+4,4)-sisi- anti ajaib.


},{}11|,{)( 11 vvnivvCE niin ∪−≤≤= +


sebagai berikut:

1),(1,...,2,112),(

,...,4,2,...,3,1

11

)(

1

1

=−=+=

⎩⎨⎧

==

+++

=

+

vvfniivvfnini

ini

vf

n

ii

i



38

44,...,4,2)1)1(()12()1(,...,3,1)1)1(()12()1(

),(

)(),()(),(

1

111

++=⎩⎨⎧

=+++++++=+++++++

=

++=

+

+++

niniiiinniinii

vvb

vfvvfvfvvb

iif

iiiiiif

4)11(1)1(

)(),()(),( 111

+=++++=

++=

nn

vfvvfvfvvb nnnf


}10|4)4{())}1(4)5((),...,8)4((),4)4((),4{((

}5,...,12,8,4{}4,5,...,12,8{

}4{}11|44{

)},({}11|),({ 11

−≤≤++=−++++++=

+++=+++=

+∪−≤≤++=

∪−≤≤= +

niinnnnnn

nnnnnnnn

nnini

vvbnivvbbf nfiif

Jadi terbukti untuk setiap 3≥n dengan n ganjil, pada graf lingkaran Cn

mempunyai pelabelan total (n+4,4)-sisi - anti ajaib.

3.6. Proses Model RAD (Rapid Aplication Development)

Pada saat RAD diimplementasikan, maka para pemakai bisa menjadi

bagian dari keseluruhan proses pengembangan sistem dengan bertindak

sebagai pengambil keputusan pada setiap tahapan pengembangan. RAD bisa

menghasilkan suatu sistem dengan cepat karena sistem yang dikembangkan

dapat memenuhi keinginan dari para pemakai sehingga dapat mengurangi

waktu untuk pengembangan ulang setelah tahap implementasi. Ada

beberapa hal yang perlu diperhatikan di dalam mengembangkan suatu sistem

39

dengan menggunakan RAD dengan berdasarkan pada fase-fase sebagai

berikut:

a. Business modeling, pada fase ini dilakukan proses identifikasi informasi

permasalahan pada pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pada graf

lingkaran Cn berbasis GUI. Pelabelan dengan memperhitungkan satu sisi

dengan simpul yang menghubungkan sisi tersebut merupakan pelabelan

total sisi. Hubungan antara dua simpul dengan satu sisi menghasilkan

pelabelan sisi-ajaib dan pelabelan sisi-anti ajaib.

b. Data modeling, merupakan proses identifikasi variabel yang digunakan

pad apelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pada graf lingkaran Cn. Variabel

tersebut terdiri dari himpunan simpul dan himpunan sisi dengan nilai

masukan suku awal (a) dan beda (d) yang menghasilkan bobot pada

pelabelan graf lingkaran Cn.

c. Proses modeling, fase ini bertujuan untuk mengimplementasikan dari

fase data modeling dengan melakukan tahapan-tahapan secara diagram

yang mengilustrasikan urutan dari operasi yang dilakukan untuk

mendapatkan suatu hasil pada aplikasi pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib

pada graf lingkaran Cn berbasis GUI. Proses modeling dilakukan sesuai

dengan langkah-langkah pada proses business modeling dan data

modeling. Perhatikan flowchat pada Gambar 3.12 di bawah ini:

40

d. Application generation, pada tahapan ini dilakukan pengoperasian suatu

aplikasi dengan proses algoritma pada bahasa pemrograman. Berikut

STAR

Untuk Cn Masukan d, n

d = 1

d = 2

d =3

d =4

nvvfniinvvfniivf

n

ii

i

2),(1,...,2,1,2),(

,...,2,1,)(

1

1

=−=−=

==

+

1),(1,...,2,1,1)(2),(

,...,2,1,2)(

1

1

=−=+−=

==

+

vvfniinvvfniivf

n

ii

i

1),(1,...,2,1,1)(),(

,...,2,1,1)(

1

1

=−=++=

=+=

+

vvfniinvvfniivf

n

ii

i

1),(1,...,2,112),(

,...,4,21,...,5,3,11

)(

1

1

==+=

⎩⎨⎧

=++=+

=

+

vvfniivvfniinnii

vf

n

ii

i

Jumlah Bobot, Suku awal (a,d)

END

Tidak

Ya

Tidak

Tidak

Tidak

Ya

Ya

Ya

d tidak boleh lebih dari 4

Gambar 3.12. Flowchat Aplikasi Pelabelan Total (a,d)-Sisi-Anti Ajaib

41

merupakan penggalan dari aplikasi pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib

pada graf lingkaran Cn berbasis .

d=1; n = handles.n; for i=1:n s1(i)=i; s3=2*n; end for i=1:n-1; s2(i)=(2*n)-i; end handles.d=d; handles.s1=s1; handles.s2=s2; handles.s3=s3; guidata(hObject,handles); d=2; n = handles.n; for i=1:n s1(i)=2*i; s3=1; end for i=1:n-1; s2(i)=2*(n-i)+1; end handles.d=d; handles.s1=s1; handles.s2=s2; handles.s3=s3; guidata(hObject,handles); d=3; n = handles.n; for i=1:n s1(i)=1+i; s3=1; end for i=1:n-1; s2(i)=n+i+1; end handles.d=d; handles.s1=s1; handles.s2=s2;

42

handles.s3=s3; guidata(hObject,handles); d=4; n = handles.n; for i=1:2:n s1(i)=1+i; s3=1; end for i=2:2:n s1(i)=n+1+i; end for i=1:n-1; s2(i)=2*i+1; end for i=1:n-1 a(i)=s1(i)+s1(i+1)+s2(i); end ====================================== d = handles.d; n = handles.n; s1=handles.s1; s2=handles.s2; s3=handles.s3; for i=1:n-1 a(i)=s1(i)+s1(i+1)+s2(i); end b=s1(1)+s1(n)+s3; if b>max(a) c=[a,b]; else c=[b,a]; end e=min(c); s1=num2str(s1); s2=num2str(s2); s3=num2str(s3); c=num2str(c); end p=n/2; q=-p:p; x=sin(q*pi/-p); y=cos(q*pi/-p); x2=x; y2=y;

43

axis('square') axes(handles.gambar); plot(x,y,'.r',x2,y2,'markersize',30); for i=1:n text(x(i)+0.03,y(i),[' ',num2str(s(i))],'HorizontalAlignment','left') if i~=n x1(i)=(x(i)+x(i+1))/2; y1(i)=(y(i)+y(i+1))/2; else x1(i)=(x(n)+x(1))/2; y1(i)=(y(n)+y(1))/2; end text(x1(i),y1(i),[' ',num2str(s4(i))],'HorizontalAlignment','left') end set(handles.gambar, 'Visible', 'off'); set(handles.tutup, 'Visible', 'off'); function matikan(off) set(off,'Value',0)

e. Testing and turnover, pada fase ini merupakan tahapan yang sangat

penting, yaitu dilakukan uji tes terhadap aplikasi yang telah dibuat,

sebagai contoh perhatikan Gambar 3.13 di bawah ini.

Gambar 3.13. Aplikasi Pelabelan Total (a,d)-Sisi-Anti Ajaib

5. BAB III

Documents

Transcript of 5. BAB III