4.2. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga 1 2 3 1 2...

Geometri dalam Ruang, Vektor 147

4.2. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Sebenarnya pengertian vektor pada bidang diamensi dua sama

halnya pengertian vektor dalam ruang dimensi tiga, jika vektor pada

bisang mempunyai dua komponen, maka vektor dalam ruang mempunyai tiga komponen. Yaitu ;

Dimana kji ,, merupakan vektor satuan atau vektor basis pada arah

ketiga sumbu, atau i vektor satuan searah sumbu- x , j vektor

satuan searah sumbu- y dan k vektor satuan searah dengan sumbu-

z

Panjang vektor u ditunjukan oleh u yang merupakan rumus jarak

yaitu :

2

3

2

2

2

1 uuuu secara koordinat dimensi tiga digambarkan seperti

Gambar 4.12

Jika diketahui dua vektor 321 ,, uuuu dan 321 ,, vvvv maka

yang disebut Hasil Kali Titik didefinisikan sebagai berikut :

Z

X

Y

i

k

j

u

Gambar 4.12. Vektor dalam Ruang Diamensi Tiga

kujuiuuuuu 321321 ,,


Tentukan sudut ABC jika 3,2,1A , 6,4,2 B dan

2,3,5 C dan Gamarkan

Jika digamabar sebagai berikut :

Misalkan vektor u adalah vektor yang titik asalnya di titik B dan titik

ujungnya di titik A atau vektor

BA dan vektor v adalah vektor yang

titik asalnya di titik B dan titik ujungnya di titik C atau vektor

BC ,

maka vektor u dan v dapat ditentukan sebagai berikut.

. 9,6,1))6(3(),42(),21(

uBA

. 8,7,3))6(2(),43(),25(

vBC

vu

vuCos

6,4,2 B

2,3,5 C

3,2,1 A

.

Contoh 4.13 :

Penyelesaian 4.13 :

Cosvuvu

332211 vuvuvuvu


222222 8)7(39)6()1(

)8)(9()7)(6()3)(1(

Cos

6449981361

72423

Cos

122118

111Cos

045,11863,10

111Cos

925,09818,119

111Cos

031,22

4.2.1. Sudut dan Kosinus Arah

Jika diketahui suatu vektor yaitu vektor u , sudut yang tak nol antara

vektor u dengan vektor satuan yang searah dengan sumbu koordinat

yaitu i , j dan k disebut sudut-sudut arah vektor u , jika sudut-

sudut tersebut dilambangkan dengan , dan , jika vektor u

dinyatakan sebagai kujuiuu 321 , maka sudut-sudut itu

dinyatakan sebagai , dan dimana secara rumus

diberikan :

u

u

iu

uiCos 1

u

u

ju

ujCos 2

u

u

ku

ukCos 3

Berlaku juga 1222 CosCosCos seperti Gambar 4.13

Cos Cos Cos


Diketahui vektor kjiu 432 tentukan sudut-sudut arah untuk

vektor u

Diketahui vektor kjiu 432 , maka

291694432 222 u

29

2Cos

29

3Cos

29

4Cos

Gambar 4.13. Sudut-Sudut Arah Vektor

k

j

u

i

Z

X

Y

Contoh 4.14 :

Penyelesaian 4.14 :


4.2.2. Bidang Dibentuk Oleh Vektor

Untuk melukiskan sebuah bidang ada beberapa cara, salah satunya

dengan menggunakan bahasa vektor atau dengan menggunakan

bantuan vektor, misalkan CBAn ,, adalah sebuah vektor yang tak

nol dan 1111 ,, zyxP adalah titik tetap, jika koordinat zyxP ,, yang

memenuhi persamaan 01

nPP adalah sebuah bidang yang melalui

1P dan tegak lurus n , seperti pada Gambar 4.14

karena vektor CBAn ,, tegak lurus dengan vektor

PP1 atau

01

nPP atau :

0,,,, 111 CBAzzyyxx

0111 zzCyyBxxA

Sehingga secara umum jika diketahui sebuah vektor CBAn ,,

yang tegak lurus pada sebuah bidang di titik 1111 ,, zyxP , maka

persamaan bidang dapat ditentukan yaitu :

CBAn ,,

1111 ,, zyxP zyxP ,,

1111 ,, zzyyxxPP

Bidang

Gambar 4.14. Bidang Melalui titik P1

0111 zzCyyBxxA


Tentukan persamaan bidang yang melalui titik 3,4,2P dan tegak

lurus dengan vektor 6,3,4n

Diketahui titik 3,4,2P sehingga didapat nilai 21 x , 41 y , dan

31 z serta vektor 6,3,4n sehingga didapat nilai 4A , 3B ,

dan 6C , karena rumus untuk menentukan persamaan bidang

adalah 0111 zzCyyBxxA , maka :

0111 zzCyyBxxA

0364324 zyx

018612384 zyx

38634 zyx

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik 3,2,4 P dan tegak

lurus dengan vektor kjin 462

Diketahui titik 3,2,4 P sehingga didapat nilai 41 x , 21 y ,

dan 31 z serta vektor kjin 462 sehingga didapat nilai

2A , 6B , dan 4C , karena rumus untuk menentukan

persamaan bidang adalah 0111 zzCyyBxxA , maka :

0111 zzCyyBxxA

0342642 zyx

012412682 zyx

16462 zyx

Contoh 4.15 :

Penyelesaian 4.15 :

Contoh 4.16 :

Penyelesaian 4.16 :


4.2.3. Jarak Titik Ke Bidang

Jika diberikan suatu titik 000 ,, zyxP

dan sebuah bidang yang

mempunyai persamaan DCzByAx , maka jika L menyatakan

suatu jarak dari titik tertentu ke suatu bidang, maka jarak itu dinyatakan dengan rumus :

Pandang sebuah bidang seperti Gambar 4.15

Misalkan titik 111 ,, zyx terletak pada bidang datar, andaikan

101010 ,, zzyyxxm adalah vektor dari titik 111 ,, zyx ke

titik 000 ,, zyx .

CBAn ,, adalah vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang

diberikan, maka bilangan L adalah proyeksi vektor m pada n , maka

diperoleh :

n

nmmL

cos

222

101010

CBA

zzCyyBxxAL

222

000

CBA

DCzByAxL

L

000 ,, zyx

111 ,, zyx

m

CBAn ,,

Gambar 4.15. Jarak Titik ke Bidang


222

101010

CBA

CzCzByByAxAxL

222

111000

CBA

CzByAxCzByAxL

222

000

CBA

DCzByAxL

karena titik 111 ,, zyx terletak pada

bidang, maka DCzByAx 111

Tentukan jarak titik 3,2,4 P ke bidang 9543 zyx

Dari bidang datar 9543 zyx diketahui nilai 3A , 4B ,

5C , dan 9D , dari titik 3,2,4 P diketahui nilai 41 x ,

21 y , dan 31 z , maka jarak titik 3,2,4 P ke bidang

9543 zyx adalah :

222

000

CBA

DCzByAxL

222 5)4(3

9)3)(5()2)(4()4)(3(

L

25169

915812

L

50

41L

Contoh 4.17 :

Penyelesaian 4.17 :


4.2.4. Dua Bidang Sejajar

Diketahui ada dua buah bidang yang masing-masing mempunyai

persamaan 1111 DzCyBxA dan 2222 DzCyBxA kedua

bidang dikatakan sejajar jika :

21 AA , 21 BB , 21 CC dan 21 DD ,

Catatan :

Suatu titik cbaP ,, dikatakan terletak pada bidang

1111 DzCyBxA jika 1111 DcCbBaA

Suatu titik cbaP ,, dikatakan terletak pada bidang

2222 DzCyBxA jika 2222 DcCbBaA

Diketahui sebuah bidang dengan persamaan 8243 zyx ,

tentukan sebuah bidang yang melalui titik 2,2,2P dan sejajar

dengan bidang 8243 zyx

Diketahui bidang dengan persamaan 8243 zyx , maka bidang

yang sejajar dengan bidang 8243 zyx adalah

2243 Dzyx , karena bidang yang sejajar dengan bidang

8243 zyx melalui titik 2,2,2P , maka diperoleh nilai 2D yaitu

2243 Dzyx

2222423 D

2486 D

102 D

Sehingga persamaan bidang yang sejajar dengan bidang

8243 zyx dan melalui titik 2,2,2P adalah 10243 zyx

Contoh 4.18 :

Penyelesaian 4.18 :


Diketahui dua bidang sejajar yaitu bidang I : 12435 zyx , dan

bidang II : 4435 zyx , berapa jarak kedua bidang yang sejajar

itu

Jika kita ilustrasikan dengan gambar, sebagai berikut :

Untuk menentukan jarak kedua bidang itu atau L , maka kita harus

menentukan sebuah titik cbaP ,, yang terletak pada bidang II,

caranya adalah :

4435 zyx jika kita beri nilai 1x dan 1y , maka

diperoleh :

441315 z

4435 z

448 z

44 z

1z

Sehingga diperoleh titik yang terletak pada bidang 4435 zyx

yaitu 1,1,1P , dan untuk mengetahui jarak kedua bidang kita

gunakan jarak sebuah titik ke bidang, dalam hal ini kita tentukan

jaraka titik 1,1,1 P ke bidang I yaitu 12435 zyx dengan

menggunakan rumus : 222

000

CBA

DCzByAxL

Contoh 4.19 :

Penyelesaian 4.19 :

12435: zyxIBid

4435: zyxIIBid

L

cbaP ,,


222

000

CBA

DCzByAxL

222 435

12141315

L

16925

12435

L

50

8L

50

8L

Sehingga diperoleh jarak bidang I : 12435 zyx ke bidang II :

4435 zyx adalah 50

8

4.2.5. Dua Bidang Tegak Lurus

Jika diketahui dua bidang yaitu bidang I 1111 DzCyBxA dan

bidang II 2222 DzCyBxA , dua bidang tersebut dikatakan tegak

lurus seperti Gambar 4.16

1111 DzCyBxA

2222 DzCyBxA

222 ,, CBAm

111 ,, CBAn

Gambar 4.16 : Bidang Saling Tegak Lurus


Dari Gambar 4.16 dapat diketahui, bahwa vektor 111 ,, CBAn

adalah vektor yang tegak lurus bidang I 1111 DzCyBxA ,

sedangkan vektor 222 ,, CBAm adalah vektor yang tegak lurus

bidang II 2222 DzCyBxA , bidang I dikatakan tegak lurus

bidang II jika vektor 111 ,, CBAn tegak lurus vektor

222 ,, CBAm , dua buah vektor 111 ,, CBAn dan vektor

222 ,, CBAm dikatakan tegak lurus jika 0mn atau

0212121 CCBBAA

Diketahui dua buah bidang yaitu bidang I dengan persamaan

7232 zyx dan bidang II dengan persamaan 922 zyx

apakah kedua bidang tersebut tegak lurus ?

Diketahui bidang I 7232 zyx maka vektor yang tegak lurus

bidang I adalah 2,3,2n , bidang II 922 zyx maka vektor

yang tegak lurus bidang II adalah 2,2,1m , dua bidang tersebut

dikatakan saling tegak lurus jika 0mn , maka :

0mn

0212121 CCBBAA

0222312

0462

00

Karena 0mn artinya vektor 2,3,2n saling tegak lurus dengan

vektor 2,2,1m , akibatnya bidang I 7232 zyx tegak lurus

bidang II 922 zyx

Contoh 4.20 :

Penyelesaian 4.20 :


Diketahui dua buah bidang yaitu bidang I dengan persamaan

943 zyx dan bidang II dengan persamaan 1222 zbyx

tentukan nilai b agar kedua bidang itu tegak lurus

Diketahui bidang I 943 zyx maka vektor yang tegak lurus

bidang I adalah 1,4,3 n dan bidang II 1222 zbyx maka

vektor yang tegak lurus bidang II adalah 2,,2 bm , agar kedua

bidang itu tegak lurus, maka haruslah kedua vektor 1,4,3 n dan

2,,2 bm juga harus tegak lurus, vektor 1,4,3 n tegak lurus

vektor 2,,2 bm jika 0mn

0mn

0212121 CCBBAA

021423 b

0246 b

044 b

44 b

1b

Sehingga agar bidang I 943 zyx tegak lurus bidang II

1222 zbyx , maka nilai 1b

Contoh 4.20 :

Penyelesaian 4.20 :


4.2.6. Soal-Soal Latihan

A. Untuk tiap pasangan titik 1P dan 2P dibawah ini, berikan

sketsa ruas garis berarah

21PP dan kemudian tulis vektornya

dalam bentuk ckbjai

1. 3,2,11P dan 1,5,42P

2. 3,3,11 P dan 1,4,22 P

3. 0,2,01P dan 1,1,12P

4. 3,1,21 P dan 2,0,42 P

B. Tentukan sudut antara vektor m dan vektor n di bawah ini

1. 2,3,4 m dan 5,2,1n

2. 1,4,2 m dan 3,2,2 n

3. 3,3,1 m dan 1,2,1n

4. kjim 532 dan kjin

C. Tentukan Persamaan Bidang yang melalui titik P dan tegak

lurus vektor n

1. 5,1,1P dan kjin 322

2. 3,1,2P dan kjin 23

3. 1,1,1P dan kjin 24

4. 5,1,3 P dan kjin 232

D. Tentukan Persamaan Bidang yang Melalui titik P dan Sejajar

dengan bidang DCzByAx

1. 1,1,1P dan bidang 3242 zyx

2. 3,2,1 P dan bidang 642 zyx

3. 2,1,4 P dan bidang 0432 zyx

E. Tentukan Jarak Titik P ke Bidang DCzByAx



F. Tentukan Jarak Bidang-Bidang Sejajar Berikut

1. 923 zyx dan bidang 19246 zyx

2. 5235 zyx dan bidang 7235 zyx


4.3. Hasil Kali Silang (Cross Product)

Sudah kita ketahui bahwa hasilkali titik dari dua buah vektor

321 ,, uuuu dan vektor 321 ,, vvvv adalah sebuah scalar yaitu

melalui rumus :

Lain halnya dengan hasilkali silang (cross product) yang menghasilkan

sebuah vektor, jika diketahui dua buah vektor 321 ,, uuuu dan

321 ,, vvvv maka yang disebut hasil kali silang dirumuskan

sebagai berikut :

Untuk memperlancar pembahasan hasilkali silang, kita ingat kembali cara menghitung Determinan, misalnya :

1. Determinan 2x2

Misal diketahui determinan A dengan orde 2x2 yaitu :

bcaddc

baA

2. Determinan 3x3 Misalkan diketahui determinan A dengan orde 3x3 yaitu :

321

321

321

ccc

bbb

aaa

A

21

21

3

31

31

2

32

32

1cc

bba

cc

bba

cc

bba

321

321

321

3

321

321

321

2

321

321

321

1

ccc

bbb

aaa

a

ccc

bbb

aaa

a

ccc

bbb

aaa

a

332211 vuvuvuvu

122131132332 ,, vuvuvuvuvuvuuxv


Sehingga jika kita identikan dimana 321 ,, uuuu dan

321 ,, vvvv maka :

321

321

vvv

uuu

kji

uxv kvv

uuj

vv

uui

vv

uu

21

21

31

31

32

32

kvuvujvuvuivuvu 122113312332

kvuvujvuvuivuvu 122131132332

122131132332 ,, vuvuvuvuvuvuuxv

Jika kita menukar uxv menjadi vxu maka komponen vektor umenempati baris ke tiga dan komponen vektor v menempati baris ke

dua, yaitu :

321

321

uuu

vvv

kji

vxu kuu

vvj

uu

vvi

uu

vv

21

21

31

31

32

32

kuvuvjuvuviuvuv 122113312332

kuvuvjuvuviuvuv 122131132332

122131132332 ,, uvuvuvuvuvuvvxu

Misalkan 1,2,1 u dan 1,4,2v tentukan vu dan uv

142

121

kji

vu

Contoh 4.21 :

Penyelesaian 4.21 :


kji42

21

12

11

14

12

kji )2)(2()4)(1()1)(2()1)(1()1)(4()1)(2(

kji 442142

vu kji 02

121

142

kji

uv

kji21

42

11

12

12

14

kji )4)(1()2)(2()1)(1()1)(2()1)(2()1)(4(

kji 441224

uv kji 02

4.3.1. Tafsiran Geometri u x v

Arti dari hasil kali silang juga perlu digambarkan secara geometri untuk memperjelas.

Teorema A :

Andaikan u dan v vektor-vektor dalam ruang dimensi tiga

dan sudut antara mereka, maka :

1. uxvvuxvu 0 berarti uxv tegak lurus terhadap u

dan v

2. u, v dan uxv membentuk suatu system tangan kanan

rangkap tiga

3. sinvuuxv


Bukti :

Misalkan diketahui dua buah vektor yaitu 321 ,, uuuu dan

321 ,, vvvv maka sesuai dengan rumus hasilkali silang didapat

122131132332 ,, vuvuvuvuvuvuuxv , sehingga diperoleh :

uxvu 122133113223321 vuvuuvuvuuvuvuu

123213312132231321 vuuvuuvuuvuuvuuvuu



uxvu 0

Artinya vektor uxv tegak lurus terhadap vektor u

Teorema B :

Dua vektor u dan v dalam ruang dimensi tiga adalah sejajar

jika dan hanya jika u x v = 0

Penerapan dari hasil kali silang kedua vector salah satunya adalah

untuk menentukan persamaan bidang yang melalui tiga titik yang

tidak segaris.

Misalkan diketahui tiga titik yaitu 321 ,, aaaA , 321 ,, bbbB dan

321 ,, cccC , dari ketiga titik tersebut dapat diketahui dua buah

vektor yaitu vektor 332211 ,, abababAB

dan vektor

332211 ,, acacacAC

.

Vektor rkqjpiACAB

adalah vektor yang melalui titik

321 ,, aaaA dan tegak lurus bidang yang memuat titik 321 ,, aaaA ,

321 ,, bbbB dan 321 ,, cccC , maka bidang yang memuat tiga titik

321 ,, aaaA , 321 ,, bbbB dan 321 ,, cccC mempunyai persamaan :

0321 azrayqaxp


Tentukan persamaan bidang yang melalui tiga titik 3,2,11 P , titik

2,1,42 P dan titik 0,3,23 P

Misalkan vector

12PPu dan

32PPv sehingga kita dapat

menentukan vector u dan vector v yaitu :

5,3,3)2(3,12,4112

PPu

kjiPPu 53312

2,4,6)2(0,)13,4232

PPv

kjiPPv 24632

Diperoleh :

246

533

kji

uxv

kji46

33

26

53

24

53

ji )5)(6()2)(3()5)(4()2)(3(

k)3)(6()4)(3(

kji 1812306206

kji 62414

Sehingga bidang yang melalui titik 2,1,42 P dengan normal

kji 62414 mempunyai persamaan :

0111 zzCyyBxxA

026124414 zyx

012624245614 zyx

012245662414 zyx

4462414 zyx

Contoh 4.22 :

Penyelesaian 4.22 :


Atau dapat juga ditentukan dengan mengambil titik 3,2,11 P karena

titik 1P juga terletak pada bidang dengan normal kji 62414

mempunyai persamaan :

0111 zzCyyBxxA

036224114 zyx

018648241414 zyx

018481462414 zyx

4462414 zyx

Perlihatkan bahwa luas jajaran genjang yang dibentuk oleh vector

u

dan

v sebagai sisi berdampingan adalah vxu ..

Jika kita gambarkan secara geometri, maka sebagai berikut :

Karena luas jajaran genjang itu adalah tinggixalasLuas .. dimana

valas . dan Sinutinggi . sehingga Luas jajaran genjang itu

adalah :

SinuvL dan karena Sinvuvxu .. , maka terbukti bahwa

luas jajaran genjang di atas adalah vxuL ..

Sinu

v

u

Contoh 4.23 :

Penyelesaian 4.23 :


Sebuah jajaran genjang yang dibentuk dari dua buah vektor

kjiu 23 dan vektor kjiv 324 adalah

Diketahui vektor kjiu 23 dan kjiv 324 , maka vu

324

123

kji

vu

kjivu24

23

34

13

32

12

kjivu 864926

kjivu 14134

Luas jajaran genjang adalah vuL

vuL

222 14134 L

19616916 L

381L

Contoh 4.24 :

Penyelesaian 4.24 :


4.3.2. Soal-Soal Latihan

A. Dikebrikan kjiu 223 , kjiv 34 dan

kjiw 42 tentukan :

1. uxv 2. )( wvux

3. )(vxwu 4. )(vxwux

B. Tentukan vector satuan yang tegak lurus terhadap bidang

yang dibentuk oleh tiga titik yaitu :

1. 0,2,1A , 3,1,5 B dan 2,0,4 C

2. 5,1,0 A , 2,2,2B dan 1,4,3 C

C. Tentukan Luas Jajaran Genjang yang dibentuk dari vector A

dan B sebagai dua sisi yang berdampingan

1. kjiA 42 dan kjiB 524

2. kjiA 252 dan kjiB 633

D. Tentukan Luas segitiga yang dibentuk dari tiga titik A, B dan

C yaitu :

1. 1,2,3 A , 6,4,2B dan 7,2,1C

2. 1,2,1A , 0,3,0B dan 6,5,4C

E. Tentukan persamaan bidang yang melalui tiga titik A, B dan

C yaitu

1. 6,5,2A , 2,1,1B dan 6,0,4C

2. 3,2,1 A , 1,2,4 B dan 6,1,5C

4.2. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga 1 2 3 1 2...

Documents

Transcript of 4.2. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga 1 2 3 1 2...