4 D E R E T - · PDF fileModel Perkembangan Usaha ... berpola seperti deret hitung, ......

1 | Matematika Ekonomi

aswhat.wordpress.com

4 D E R E T

Konsep deret merupakan konsep matematika yang cukup populer dan

aplikatif khusunya dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan

pertumbuhan suatu gejala tertentu. Apabila perkembangan atau pertumbuhan

suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik

deret hitung maupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan relevant

diterapkan untuk menganalisisnya. Namun demikian, sebelum membahas lebih

jauh tentang konsep deret, terlebih dahulu akan dibahas tentang konsep notasi

sigma.

Notasi sigma merupakan sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan

suatu penjumlahan secara singkat. Notasi sigma ditulis dengan lambang “ Ʃ ”.

lambang tersebut merupakan huruf besar Yunani yang berasal dari kata “sum”

yang artinya jumlah.

Secara umum, sigma didefenisikan sebagai berikut:

1 2 3

1

...n

n i

i

U U U U U

(4.1)

1

n

i

i

U

dibaca penjumlahan suku Ui, untuk i = 1 sampai dengan i = n.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

Contoh 1

Tuliskan bentuk 1 + 3 + 5 + 7 + 11 ke dalam bentuk notasi sigma.

Penyelesaian

U1 = 1 = 2(1) – 1

U2 = 3 = 2(2) – 1

U3 = 5 = 2(3) – 1

U4 = 7 = 2(4) – 1



U5 = 11 = 2(5) – 1

sehingga, notasi sigma dari bentuk 1 + 3 + 5 + 7 + 11 adalah 5

1

2 1i

i

. ■

Contoh 2

Tuliskan bentuk 2 3 4 5 6

13 5 7 9 11

ke dalam bentuk notasi sigma.

Penyelesaian

1

1 11

1 2 1 1U

4

4 4

7 2 4 1U

2

2 2

3 2 2 1U

5

5 5

9 2 5 1U

3

3 3

5 2 3 1U

6

6 6

11 2 6 1U

sehingga, notasi sigma dari bentuk 2 3 4 5 6

13 5 7 9 11

adalah 6

1 2( ) 1i

i

i . ■

4.1.Deret Hitung (Deret Aritmetika)

Deret hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan

penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan

suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda dinotasikan dengan b, yang

tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.

b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un-1 (4.2)

Misalnya: deret 1 + 3 + 5 + 7 + 9, memiliki beda 2, b = 2.

Misalkan suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum dari deret

hitung adalah sebagai berikut:

a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b) (4.3)

4.1.1. Suku ke-n dari Deret Hitung (Un)

Besarnya nilai suku ke-n (Un) dari sebuah deret hitung dapat diketahui dengan

menggunakan rumus berikut:



Un = a + (n – 1)b (4.4)

Contoh 3

Tentukan suku ke-10 dari deret hitung 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Penyelesaian:

Diketahui U1 = a = 1; U2 = 3. Jadi b = U2 – U1 = 3 – 1 = 2.

Dengan menggunakan rumus Un, perhatikan bahwa:

U2 = 1 + (2 – 1) x 2 = 3

U3 = 1 + (3 – 1) x 2 = 5

U4 = 1 + (4 – 1) x 2 = 7

U5 = 1 + (5 – 1) x 2 = 9

Dari sini, maka dengan mudah dapat diketahui suku ke-10 dari deret hitung

tersebut, yaitu:

U10 = 1 + (10 – 1) x 2 = 1 + 18 = 19.

Jadi, suku ke-10 dari deret hitung 1 + 3 + 5 + 7 + 9 adalah 19. ■

4.1.2. Jumlah n Suku Pertama (Sn)

Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah

jumlah nilai suku-sukunya, mulai dari suku pertama sampai dengan suku ke-n dari

deret yang dimaksud.

1 2 3

1

...n

n i n

i

S U U U U U

(4.5)

Untuk n = 4, maka jumlah 4 suku pertama adalah

4

4 1 2 3 4

1

i

i

S U U U U U


5

5 1 2 3 4 5

1

i

i

S U U U U U U


6

6 1 2 3 4 5 6

1

i

i

S U U U U U U U



Dengan menggunakan bentuk umum Un = a + (n – 1)b, makas masing-masing S4,

S5, dan S6, dapat ditulis kembali menjadi:

S4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) = 4a + 6b

S5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = 5a + 10b

S6 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b)= 6a + 15b

Dengan memperhatikan pola dari masing-masing S4, S5, dan S6, maka bentuknya

dapat ditulis kembali menjadi:

4

44 6 4 4 1

2S a b a b

5

55 10 5 5 1

2S a b a b

6

66 15 6 6 1

2S a b a b

Sehingga secara umum dapat ditulis menjadi

1 2 12 2

n

n nS na n b a n b (4.6)

Persamaan (4.6) masih bisa disederhanakan menjadi:

2 12

12

2

n

n

nS a n b

na a n b

na U

Sehingga, jumlah n suku pertama dari deret hitung adalah

2

n n

nS a U atau (4.7)

2 12

n

nS a n b (4.8)

Contoh 4

Jumlah 10 suku pertama pada contoh 1 sebesar

10 10

105 1 19 5(20) 100

2S a U ■



Catatan:

Perhatikan bahwa contoh 2 cuman menhasilkan jumlah 10 suku pertama dari deret

hitung sebagaimana yang terlihat pada contoh 1. Cara ini tidak memperlihatkan

secara jelas berapa nilai dari masing-masing suku pertama sampai dengan suku

kesepuluh. Untuk mengetahui berapa besar suku ke-6 sampai dengan suku ke-10,

maka kita bisa menggunakan rumus sebagaiamana yang diperlihatkan pada

contoh 1.

4.2. Deret Ukur (Deret Geometri)

Deret ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian

terhadap sebuah bilangan tertentu. Perbandingan antara dua suku yang berurutan

selalu tetap. Perbandingan tersebut disebut dengan rasio yang dilambangkan

dengan “ r ”.

1

n

n

Ur

U

(4.9)

Jika suku pertama dimisalkan dengan a, maka bentuk umum deret ukur

adalah:

a + ar + ar2 + ar

3 + ... + ar

n-1 (4.10)

4.2.1. Suku ke-n dari Deret Ukur

Apabila a menyatakan suku pertama, n menyatakan banyaknya suku dan r

sebagai rasio, maka suku ke-n dari deret ukur adalah:

Un = arn-1

(4.11)

4.2.2. Jumlah n Suku

Seperti halnya dalam deret hitung, jumlah sebuah deret ukur sampai dengan

suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan

suku ke-n.

1 2 3

1

...n

n i n

i

S U U U U U

(4.12)

Untuk Un = arn-1

, maka



2 2 1... n n

nS a ar ar ar ar

Jika kedua ruas dikalikan dengan r maka diperoleh:

2 3 1... n n

nrS ar ar ar ar ar

Sehingga,

n

n nS rS a ar

1 1 n

nS p a r

Dari sini, maka jumlah n suku pertama deret ukur adalah:

1

1

n

n

a rS

r

, untuk r < 1, dan (4.13)

1

1

n

n

a rS

r

, untuk r > 1. (4.14)

Contoh 5

Diketahui sebuah deret berikut:

5 + 10 + 20 + 40 + 80

Tentukan suku ke 8, kemudian tentukan berapa jumlah 8 suku pertama dari deret

tersebut.

Penyelesaian

Diketahui: U1 = a = 5; U2 = 10; U3 = 10; U4 = 10; U5 = 10.

Sehingga

2

1 1

102

5

n

n

U Ur

U U

Untuk n = 8, a = 5, dan r = 2, maka

U8 = (5)(2)8-1

= 5 x 27 = 5 x 128 = 640.

Jadi, suku ke-8 dari deret tersebut adalah 640.

Selanjutnya, karena r = 2 > 1, maka jumlah 8 suku pertama dari deret yang

dimaksud adalah:

8

8

5 2 15(256 1) 1275

2 1S



Jadi, jumlah 8 suku pertama adalah 1275. ■

4.3. Penerapan Ekonomi

Dibidang bisnis dan ekonomi, prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam

kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila

perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan

nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur, maka teori

deret yang bersangkutan relevant diterapkan untuk menganalisanya.

4.3.1. Model Perkembangan Usaha

Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya

produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal

berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan

untuk menganalisa perkembangan variabel yang dimaksud. Berpola seperti deret

hitung maksudnya adalah bahwa variabel yang bersangkutan bertambah secara

konstan dari satu periode ke periode berikutnya.

Kasus 1

Perusahaan genteng “Sokajaya” menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan

pertama produksinya. Dengan pertambahan tenaga kerja dan peningkatan

produktivitasnya, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah

setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan,

a. Berapa buah genteng yang dihasilkan pada bulan ke-5?

b. Berapa buah genteng yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?

Penyelesaian:

Dari kasus tersebut, diketahui a = 3.000; b = 500; dan n = 5.

a. Genteng yang dihasilkan pada bulan ke-5 adalah

U5 = 3.000 + (5 – 1)500 = 3.000 + 2.000 = 5.000

Jadi, genteng yang dihasilkan pada bulan ke-5 sebanyak 5.000 buah genteng

b. Banyaknya genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan ke-5 adalah:



5 5

5 5 53.000 3.000 5.000 (8.000) 20.000

2 2 2S U

Jadi, banyaknya genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan ke-5 sebanyak

20.000 buah genteng. ■

Kasus 2

Besarnya penerimaan “PT. Cemerlang” dari hasil penjualan barangnya adalah 720

juta rupiah pada tahun kelima dan 980 juta rupiah pada tahun ketujuh. Apabila

perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung

tentukanlah:

a. Berapa perkembangan penerimaannya per tahun?

b. Berapa besar penerimaan pada tahun pertama?

c. Pada tahun keberapakah penerimaannya bisa mencapai 460 juta rupiah?

Penyelesaian:

a. Misalkan, besarnya penerimaan PT cemerlang pada tahun ke-n = Un.

Sehingga,

U5 = 720 (dalam juta rupiah), dan U7 = 980. (dalam juta rupiah).

Sehingga:

U5 = a + 4b → 720 = a + 4b

U7 = a + 6b → 980 = a + 6b

Untuk U7 – U5, maka diperoleh

2b = 260, sehingga nilai b = 130.

Jadi, perkembangan penerimaan PT Cemerlang per tahun sebesar 130 juta

rupiah.

b. Untuk U5 = 720, dan b = 130, maka

U5 = a + 4b → a = U5 – 4b = 720 – 4(130) = 720 – 520 = 200.

Jadi, penerimaan PT cemerlang pada tahun pertama sebesar 200 juta rupiah.

c. Misalkan penerimaan pada tahun ke-n sebesar 460 juta rupiah, sehingga:

Un = a + (n – 1)b

⇔ 460 = 200 + (n – 1)(130)

⇔ 460 = 200 + 130n – 130



⇔ 460 = 70 + 130n

⇔ 130n = 460 – 70 = 390

⇔ n = 3.

Jadi, penerimaan PT Cemerlang akan mencapai 460 juta rupiah pada tahun

ke-3. ■

4.3.2. Model Bunga Majemuk

Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan-

pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung, misalnya, besarnya

pengembalian kredit dimasa datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau

sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang

akan diterima dimasa datang.

Jumlah akumulatif dimasa datang setelah n-tahun (Fn) dapat dihitung dengan

menggunakan rumus berikut:

Fn = P(1 + i)n (4.15)

atau

1

1nn

P Fi

(4.16)

dengan Fn = Nilai masa datang tahun ke-n

P = Nilai di masa sekarang

i = tingkat bunga per tahun

n = jumlah tahun

Persamaan (4.15) mengandung anggapan yang tersirat bahwa bunga yang

diperhitungkan dibayarkan satu kali dalam setahun. Apabila bunga diperhitungkan

dibayarkan lebih dari satu kali (misalnya m kali) dalam setahun, maka jumlah di

masa datang menjadi:

1

mn

n

iF P

m

(4.17)

dengan m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

atau



1

1

nmnP F

i

m

(4.18)

Perhatikan bahwa, bentuk (1 + i) pada Persamaan (4.15) dan 1i

m

pada

Persamaan (4.17) dalam dunia bisnis dinamakan “faktor bunga majemuk” yaitu

suatu bilangan yang lebih besar dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung

jumlah dimasa datang dari suatu jumlah sekarang. Sedangkan bentuk

1

1n

i

pada Persamaan (4.16) dan bentuk 1

1

mni

m

pada Persaman (4.18) disebut

“faktor diskonto” (discount factori) yaitu suatu bilangan yang lebih kecil dari 1

yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah di masa

datang.

Kasus 3

Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak 5 juta rupiah untuk jangka

waktu 3 tahun dengan tingkat bunga 2% per tahun.

a. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan?

b. Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap

semester, berapa jumlah yang harus ia kembalikan?

Penyelesaian:

Diketahui: P = 5.000.000; n = 3 tahun; dan i = 2% = 0,02.

a. Fn = P(1 + i)n

F3 = 5.000.000 (1 + 0,02)3

= 5.000.000. (1,061208)

= 5.306.040.

Jadi pada saat pelunasan, setelah 3 tahun, nasabah tadi secara keseluruhan

harus mengembalikan sebanyak Rp. 5.306.040,-

b. Bunga diperhitungkan dibayarkan tiap semester, maka m = 2.



1

mn

n

iF P

m

2 3

3

6

0,025.000.000 1

2

5.000.000 1,01

5.000.000 1,06152

5.307.600

x

F

Jadi, jumlah yang harus dikembalikan menjadi lebih besar, yaitu Rp.

5.307.600,- ■

Kasus 4

Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar Rp.532.400,- dalam tiga

tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10% per tahun,

berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang ini?

Penyelesaian:

Diketahui: F = 532.400; n = 3; dan i = 10% = 0,1.

1

1n

P Fi

3

1x 532.400 400.000

1 0,1P

Jadi, besarnya tabungan mahasiswa tersebut saat ini adalah Rp. 400.00,- ■

4.3.3. Model Pertumbuhan Penduduk

Model deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam

hal penaksiran jumlah penduduk. Jumlah penduduk dunia mengikuti pola deret

ukur, yang secara matematiknya dirumuskan sebagai berikut:

P1 = P1Rt-1

(4.19)

dengan

R = 1 + r (4.20)

P1 = jumlah penduduk pada tahun pertama (basis)

Pt = jumlah penduduk pada tahun ke-t



r = persentase pertumbuhan per tahun

t = indeks waktu (tahun)

Kasus 5

Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, dengan tingkat

pertumbuhannya 4 persen per tahun.

a. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006.

b. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5%, berapa

jumlahnya 11 tahun kemudian?

Penyelesaian

Diketahui: P1 = 1 juta; r = 4% = 0,04; R = 1,04.

a. P tahun 2006 berarti t = 16

P16 = 1.000.000 (1,04)15

= 1.000.000 (1,800943) = 1.800.943.

Jadi, jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006 sebesar 1.800.943 jiwa.

b. Perhatikan bahwa perhitungan dimulai dari 2006 sehingga pada bagian ini P1

= P16 = 1.800.943; r = 2,5% = 0,025; R = 1,025. Sehingga:

P11 = 1.800.943 (1,025)10

= 2.305.359

Jadi jumlah penduduk 11 tahun kemudian terhitung dari tahun 2006 sebesar

2.305.359 jiwa. ■

Soal-Soal Latihan

1. Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 + ....

2. Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.

3. Carilah jumlah dari:

a. 40 bilangan bulat positif ganjil yang pertama

b. 25 bilangan bulat positif yang pertama.

4. Carilah suku ke-27 dari setiap deret hitung berikut:

a. 3 + 7 + 11 + ...

b. -8 + (-4) + 0 + 4 + ...

5. Suku ke-6 sebuah deret hitung adalah 24.000 dan suku ke-10 adalah 18.000.

supaya suku ke-n sama dengan 0, maka berapakah nilai n?



6. Carilah jumlah dari 6 suku pertama pada setiap deret ukur berikut:

a. 3 + 9 + 27 + 81 + ...

b. 16 + 8 + 4 + 2 + ...

7. Carilah enam suku pertama dari deret ukur berikut:

a. a = 2; r = 1/3

b. a = 6; r = -2

8. suku ke-5 dan suku ke-8 suatu deret ukur berturut-turut adalah 48 dan 384.

Tentukan suku ke-4 dari deret tersebut.

9. Jika (k + 1) + (k – 1) + (k – 5) membentuk deret ukur, maka tentukanlah nilai k

tersebut.

10. Jika Tuan X mendepositokan uangnya di Bank sebesar Rp. 5.000.000,- dengan

tingkat bunga yang berlaku 12 persen per tahun, berapakah nilai total deposito

Tuan X pada akhir tahun ketiga?

11. Seorang mahasiswa ingin menabung uangnya Rp.1.500.000,- di Bank dengan

tingkat suku bunga yang berlaku 15% per tahun. berapakah nilai uangnya

dimasa datang setelah 10 tahun kemudian jika bunganya dihitung:

a. Semesteran

b. Kuartalan

c. Bulanan

d. Harian

12. Seorang ibu ingin merencanakan uang tabungannya di Bank pada tahun ketiga

akan berjumlah Rp.30.000.000,-. Tingkat bunga yang berlaku 15% per tahun.

Berapakah jumlah uang tabungan ibu tersebut saat ini?

4 D E R E T - · PDF fileModel Perkembangan Usaha ... berpola seperti deret hitung, ......

Documents

Transcript of 4 D E R E T - · PDF fileModel Perkembangan Usaha ... berpola seperti deret hitung, ......