Diktat Kuliah Grafika Komputer

IF-UTAMA III-1

BAB III

OUTPUT PRIMITIF

OBJEKTIF :

Pada Bab ini mahasiswa mempelajari tentang :

1. Primitif Grafis

2. Algoritma Pembentukan Garis

3. Algoritma Pembentukan Lingkaran

4. Algoritma Pembentukan Ellips

TUJUAN DAN SASARAN:

Setelah mempelajari bab ini mahasiswa diharapkan:

1. Memahami objek grafis dua dimensi

2. Memahami algoritma pembentukan garis

3. Memahami Algoritma Pembentukan Lingkaran

4. Memahami Algoritma Pembentukan Ellips

5. Mengimplementasikan algoritma yang telah dipelajari

dengan menggunakan Java

WAKTU dan TEMPAT

1. 4 (Empat) kali pertemuan

2. 8 x 50 menit pertemuan di kelas

3. 16 x 50 menit latihan di rumah

Diktat Kuliah Grafika Komputer

IF-UTAMA III-2

3.1 Primitif Grafis

Secara umum algoritma grafis memiliki persamaan yaitu bagaimana

menampilkan hasil. Primitif grafis yang umum dijelaskan pada tabel berikut :

OBJEK GRAFIS PRIMITIF

Pixel (Dot) Posisi (x,y), Warna

Garis (Line) Posisi (x1,y1,x2,y2), Warna, Thickness, Pattern

Lingkaran (Circle) Pusat(x,y), Radius, Warna, Thickness, Pattern

Ellipse Pusat(x,y), Radius Horisonal/Vertikal, Warna,

Thickness, Pattern

Kurva Teratur/Tidak teratur (Bezier)

Character Type, Slanted, Thickness, Color, dll

Pada bab ini akan dibahas beberapa algoritma untuk pembentukan garis,

lingkaran dan ellips.

3.2 Algoritma Pembentukan Garis

Garis dibuat dengan menentukan dua endpoint atau posisi titik awal dan akhir

dari suatu garis. Kemudian peralatan output membuat garis sesuai posisi titik-titik

tersebut. Untuk peralatan analog seperti plotter dan random-scan display garis lurus dapat

dihasilkan dengan halus.

Pada peralatan digital garis lurus dihasilkan dengan menetapkan titik diskrit

antara titik awal dan akhir. Posisi titik diskrit sepanjang garis lurus data diperhitungkan

dari persamaan garis tersebut.

Untuk menentukan nilai suatu titik, dapat

digunakan prosedur dasar dimana x sebagai

nilai kolom pixel dan y sebagai nilai scan

line sebagai berikut :

setPixel(x,y)

bila nilai x dan y sudah tersimpan pada

frame buffer untuk dapat menampilkannya

pada layer menggunakan fungsi dasar

getPixel(x,y)

Diktat Kuliah Grafika Komputer

IF-UTAMA III-3

3.2.1 Algoritma DDA

Algoritma Digital Differential Analyzer (DDA) adalah algoritma pembentukan

garis berdasarkan perhitungan dx maupun dy dengan menggunakan rumus dy = m.dx.

Garis dibuat dengan menentukan dua endpoint yaitu titik awal dan titik akhir. Setiap

koordinat titik yang membentuk garis diperoleh dari perhitungan kemudian dikonversikan

menjadi nilai integer.

Keuntungan dari algoritma ini adalah tidak perlu menghitung koordinat

berdasarkan persamaan yang lengkap (menggunakan metode offset). Sedangkan

kerugiannya adalah adanya akumulasi Round-off errors, sehingga garis akan melenceng

dari garis lurus, selain itu operasi round-off juga menghabiskan waktu.

Algoritma pembentukan garis DDA adalah sebagai berikut :

void lineDDA (int x0, int y0, int xEnd, int yEnd)

{

int dx = xEnd - x0, dy = yEnd - y0, steps, k;

float xIncrement, yIncrement, x = x0, y = y0;

if (fabs (dx) > fabs (dy))

steps = fabs (dx);

else

steps = fabs (dy);

xIncrement = float (dx) / float (steps);

yIncrement = float (dy) / float (steps);

setPixel (round (x), round (y));

for (k = 0; k < steps; k++) {

x += xIncrement;

y += yIncrement;

setPixel (round (x), round (y));

}

}

Contoh penerapan algoritma DDA :

Contoh 1 : garis dengan endpoint (1,3,8,5)

m=y

2− y

1

x2− x

1

=5− 3

8− 1=

2

7

c= y1− m . x

1= 3−

2

7.1=

19

7

y=2

7. x�

19

7

Diktat Kuliah Grafika Komputer

IF-UTAMA III-4

Penggambaran garis :

3.2.2 Algoritma Bresenham

Algoritma Bresenham merupakan algoritma penggambaran garis yang efisien

dengan menggunakan perhitungan incremental integer.

Prinsip dari algoritma Bresenham adalah :

1. Sumbu vertikal memperlihatkan posisi scan line.

2. Sumbu horizontal memperlihatkan kolom pixel

3. Pada tiap langkah, penentuan pixel selanjutnya didasari oleh parameter integer yang

nilainya proporsional dengan pengurangan antara vertical separations dari dua posisi

piksel dari nilai actual.

Algoritma Bresenham diuraikan sebagai berikut untuk 0<m<1 :

1. Tentukan dua endpoint garis dalam bentuk koordinat pixel. Endpoint sebelah kiri

merupakan posisi (x0,y0) sedangkan endpoint kanan adalah (xm,ym), dimana n

adalah jumlah pixel yang akan digambar setelah titik awal.

2. hitung konstanta 2∆x, 2∆y – 2∆x dimana ∆y = yn-y0 dan ∆x = xn-x0

3. Plot (x0,y0) sebagai titik awal

Diktat Kuliah Grafika Komputer

IF-UTAMA III-5

4. Hitung parameter keputusan pk (dimulai dari k = 0) dan gunakan parameter tersebut

untuk mencari y selanjutnya dengan ketentuan sebagai berikut :

Jika pk < 0,

titik selanjutnya adalah (xk+1, yk) dan Pk+1 = Pk + 2∆y

Jika pk >= 0,

titik selanjutnya adalah ((xk+1, yk+1) dan Pk+1 = pk + 2∆y – 2∆x

5. Ulangi langkah 4 sampai xn tercapai

Contoh-contoh penerapan algoritma Bresenham :

Contoh 1 : Garis dengan titik (20,10,30,18)

∆X = 10, ∆Y = 8

Po = 2∆Y - ∆X = 6

2.∆Y = 16

2∆Y - 2∆X = -4

K Pk (Xk+1,Yk+1)

0 6 (21,11)

1 2 (22,12)

2 -2 (23,12)

3 14 (24,13)

4 10 (25,14)

5 6 (26,15)

6 2 (27,16)

7 -2 (28,16)

8 14 (29,17)

9 10 (30,18)

3.3 Algoritma Pembentukan Lingkaran

Lingkaran merupakan objek grafik yang paling sering digunakan pada grafik

sederhana.

Lingkaran dapat didefinisikan sebagai kumpulan titik yang memiliki jarak r dari

posisi pusat (xc,yc). Persamaan lingkaran dengan titik pusat (xc,yc) dan radius r dapat

dispesifikasikan menggunakan koordinat rectangular berikut :

(x – xc)2 + (y-yc)

2 = r

2

Diktat Kuliah Grafika Komputer

IF-UTAMA III-6

Lingkaran juga dapat didefinisikan menggunakan koordinat polar. Lingkaran yang

sama dapat didefinisikan sebagai berikut :

x = r cos θ + xc

y = r sin θ + yc

dimana 0 ≤ θ ≤ 2π

Kita dapat menggambarkan lingkaran dengan menggunakan persamaan koordinat

rectangular diatas, akan tetapi pendekatan ini menimbulkan dua masalah yaitu :

1. Persamaan tersebut mengandung perhitungan akar yang operasinya memakan waktu.

2. Timbul gap yang cukup signifikan pada lingkaran ketika digambarkan.

Lingkaran dapat juga digambarkan dengan menggunakan persamaan koordinat

polar, tetapi fungsi trigonometri juga membutuhkan cost yang tidak sedikit sehingga

algoritma yang disusun tidak akan efisien.

Untuk mengatasi masalah yang timbul dari penerapan koordinat polar maupun

rectangular, Bresenham menyusun suatu algoritma pembentukan lingkaran yang hanya

menggunakan aritmetika integer. Secara prinsip algoritma ini sejenis denga algoritma

penggambaran garis yang disusun oleh orang yang sama.

Lingkaran merupakan objek yang simetris sehingga karakteristik ini dapat

dimanfaatkan untuk mengurangi pekerjaan pada saat menggambar lingkaran. Lingkaran

dibagi menjadi 8 oktan (lihat gambar 3.x), misalkan kita menyusun algoritma untuk

menggambarkan lingkaran di oktan pertama, maka koordinat untuk 7 oktan selanjutnya

dapat ditentukan pada table 3.1 berikut :

Tabel 3.1 Koordinat simetri 8 oktan

Oktan x y

1 x y

2 -x y

3 x -y

4 -x -y

5 y x

6 -y x

7 y -x

8 -y -x

Diktat Kuliah Grafika Komputer

IF-UTAMA III-7

Tahapan penggambaran lingkaran dengan menggunakan algoritma yang dikenal

dengan nama algoritma midpoint ini adalah sebagai berikut :

1. Input jari-jari r dan koordinat pusat lingkaran (xc, yc), kemudian tntukan

koordinat untuk titik awal yaitu (xo, y0) = (0, r).

2. Hitung nilai awal untuk parameter keputusan p0 = 1 – r

3. Untuk setiap xk, mulai dari k=0, lakukan langkah berikut :

jika pk<0, maka titik selanjutnya pada lingkaran dengan pusat (0,0) adalah (xk +

1, yk) dan pk+1 = pk + 2 xk+1 + 1,

jika pk≥0, titik berikutnya adalah (xk+ 1, yk - 1)

dan pk+1 = pk + 2 xk+1 + 1 - 2 yk+1

dimana 2 xk+1 = 2 xk + 2, dan 2 yk+1 = 2 yk – 2

4. Tentukan titik simetri untuk 7 oktan lainnya dengan menggunakan table 3.x

5. Untuk lingkaran dengan pusat bukan di (0,0). Pindahkan setiap posisi pixel hasil

perhitungan (x, y) dengan rumus x = x + xc , y = y + yc

6. Ulangi langkah 3 sampai 5, hentikan ketika x >= y

Contoh Penerapan algoritma midpoint untuk mengggambarkan lingkaran.

Contoh 1 : lingkaran dengan persamaan X2 + Y

2 =100

k (X,Y) 2X 2Y Pk

- (0,10) 0 20 -9

0 (1,10) 2 20 -6

1 (2,10) 4 20 -1

2 (3,10) 6 20 6

3 (4,9) 8 18 -3

4 (5,9) 10 18 8

5 (6,8) 12 16 5

6 (7,7) 14 14 6

1

2 3

4

8

7 6

5

Gambar 3.x Lingkaran dengan 8 oktan

Diktat Kuliah Grafika Komputer

IF-UTAMA III-8

3.4 Algoritma Pembentukan Ellips

Ellips merupakan salah satu objek grafis dengan persamaan koordinat rectangular

sebagai berikut :

dan persamaan polar :

Teknik yang digunakan untuk menggambarkan garis dan lingkaran yang telah

dibicarakan sebelumnya dapat diimplementasikan untuk menggambarkan ellips.

Elipps merupakan objek yang memiliki empat bagian yang simetris seperti

digambarkan pada gambar 3.x. dari karakteristik ini, dapat disusun suatu algoritma yang

memplot pixel di kuadran pertama dan menentukan titik di tiga kuadran lainnya.

Kuadran pertama dibagi menjadi 2 (dua) region dan dengan menggunakan

algoritma midpoint ellipse, plot titik untuk region pertama, kemudian koordinat akhir

pada region I menjadi koordinat awal untuk region II.

Region 1 dan 2 dapat digunakan dengan berbagai macam cara. Pertama dimulai

dari posisi (0,r) dan melangkah searah jarum jam sepanjang jalur ellips pada kuadran

pertama. Pergeseran dengan unit step dalam x pada saat slope lebih besar dari 1.

Alternative lain dimulai pada rx,0) dan seleksi titik dalam arah berlawanan dengan

jarum jam pergeseran unit step y ke unit step x pada saat kemiringan lebih besar daripada

-1.

Algoritma untuk menggambarkan ellips yang dikenal dengan sebutan Midpoint

ellipse algorithm adalah sebagai berikut :

1. Input rx, ry dan pusat Ellips (xc, yc), tentukan titik pertama pada pusat ellips

sebagai : (x0,y0) = (0,Ry)

2. Hitung nilai awal parameter keputusan di region 1 :

P10 = ry2 – rx

2ry + ¼ r

2x

1)()( 22

=−

+−

y

c

x

c

r

yy

r

xx

θ

θ

sin.

cos.

yc

xc

ryy

rxx

+=

+=

Reg 1

Reg 2 Ry

Rx

Diktat Kuliah Grafika Komputer

IF-UTAMA III-9

3. Untuk semua xk di region 1, dimulai dari k=0 lakukan tes berikut :

jika p1k < 0 titik selanjutnya dari ellips yang berpusat di (0,0) adalah

(xk+1,yk) dan p1k+1 = p1k + 2r2

yxk+1 + ry2

jika p1k >=0 maka titik selanjutnya adalah :

(xk+1,yk-1) dan p1k+1 = p1k + 2rx2yk+1 + ry

2

dengan 2ry2xk+1 = 2r

2yxk + 2r y

2 dan 2rx

2yk+1 = 2r

2xyk + 2r x

2

4. Hitung nilai awal dari parameter keputusan di region 2 menggunakan titik akhir

dari region 1 sebagai (x0,y0) dengan rumus :

P20 = ry2(x0 + ½)2 + rx

2 (y0-1)2 - r x

2 ry

2

5. Untuk setiap yk di region 2 dimulai dari k=0 lakukan uji berikut :

jika p2k < 0 titik selanjutnya dari ellips yang berpusat di (0,0) adalah

(x,yk-1) dan p2k+1 = p2k - 2r x 2yk+1 + rx

2

jika p2k >=0 maka titik selanjutnya adalah :

(xk+1,yk-1) dan p2k+1 = p2k + 2rx2yk+1 + rx

2

6. Tentukan titik simetris pada tiga kuadran lainnya

7. Pindahkan posisi (x,y) ke titik pusat ellips (xc, yc) dengan rumus

x = x + xc dan y = y + yc

8. Ulangi langkah untuk region 1 sampai 2ry2x ≥ 2rx

2y

Contoh penerapan algoritma penggambaran ellips

Contoh 1 :

Penggambaran Ellips dengan pusat (0,0), Rx = 8 dan Ry = 5

Region I

k x y Px Py Pk

0 0 5 0 640 -279

1 1 5 50 640 -204

2 2 5 100 640 -79

3 3 5 150 640 96

Diktat Kuliah Grafika Komputer

IF-UTAMA III-10

k x y Px Py Pk

4 4 4 200 512 -191

5 5 4 250 512 84

6 6 3 300 384 25

7 7 2 350 256 144

Region II

k x y Px Py Pk

- 7 2 350 256 -129.75

0 8 1 400 128 206.25

1 8 0 400 0 270.25

Contoh 2

Penggambaran Ellips dengan pusat (0,0), Rx = 6 dan Ry = 2

Region I

k x y Px Py Pk

0 0 2 0 144 -59

1 1 2 8 144 -47

2 2 2 16 144 -27

3 3 2 24 144 1

4 4 1 32 72 -35

5 5 1 40 72 9

6 6 0 48 0 61

Region II

Tidak ada karena y sudah = 0

3.5 Rangkuman

1. Objek grafik standar yang dibahas pada bab ini adalah titik, garis, lingkaran, dan

ellips

2. Algoritma untuk menggambarkan garis adalah Bresenham dan DDA

3. Algoritma DDA adalah suatu algoritma pengkonversian suatu himpunan pixel

menjadi suatu garis

Diktat Kuliah Grafika Komputer

IF-UTAMA III-11

4. Algoritma Bresenham merupakan algoritma penggambaran garis yang efisien

dengan menggunakan perhitungan incremental integer.

5. Algoritma penggambaran lingkaran Bresenham membagi lingkaran menjadi 8

bagian yang simetris sehingga pixel yang perlu dihitung hanya pada bagian 1 saja.

6. Algoritma penggambaran ellips membagi ellips menjadi 2 region

3.6 Latihan Soal

1. Jelaskan perbedaan penggambaran garis menggunakan algoritma bresenham dan

algoritma DDA

2. Modifikasi algoritma Bresenham untuk menggambarkan garis dengan gradien (m)

lebih dari 1

3. Gunakan algoritma Bresenham dan DDA untuk menggambarkan garis (0,4,3,12)

4. Gambarkan lingkaran dengan persamaan berikut :

a. x2 + y

2 = 64

b. (x-3)2 + (y-2)

2 = 25

c. (x+1)2 + (y+2)

2 = 36

5. Gambarkan ellips dengan persamaan berikut :

a. 1215

22

=+yx

b. 12

)1(

5

)2( 22

=−

+− yx

c. 12

)3(

5

)2( 22

=+

++ yx

6. Implementasikan algoritma pembentukan lingkaran menggunakan Java sehingga

membentuk lingkaran penuh

3.7 Referensi

[1] Hearn, Donald, M. Pauline Baker, Computer Graphics, Prentice Hall.

[2] Rowe, Glenn W, Computer Graphics with Java, Palgrave, 2001

[3] Sutopo, Ariesto Hadi, Pengantar Grafika Komputer, Gava Media, 2002