3198 Unggul Me SDOF Free Response

7/23/2019 3198 Unggul Me SDOF Free Response

1/6

Tekn

ikMes

in-FTI

-ITS

B

a

b

2

GetaranBebas1 DOF

2.1 Frekuensi Natural

Untuk getaran translasi 1 DOF, frekuensi naturalndidefinisikan

n =2fn =

k

mrad/s (2.1)

dimana kadalah kekakuan pegas dan m adalah massa. Untuk getaran translasi dengan arah

vertikal, frekuensi natural dapat didefinisikan

n =2fn =

g

strad/s (2.2)

dimana stadalah defleksi statik.

Sedangkan untuk getaran rotasi 1 DOF, frekuensi naturalndidefinisikan

n =2fn =

kt

Jrad/s (2.3)

dimana ktadalah kepegasan torsi dan Jadalah momen inersia.

2.2 Getaran Bebas System 1 DOF Tak Teredam

Persamaan gerak getaran bebas tak teredam untuk getaran translasi didefinisikan sebagai

m x + kx =0 (2.4)

dimana x = d2x

dt2adalah percepatan dari massa m. Solusi dari persamaan diatas dapat dicari

dengan mengasumsikan

x (t) = Cest (2.5)

dimana Cdansadalah konstanta yg perlu ditentukan. Substitusi persamaan (2.5) ke persa-maan (2.4), kita dapatkan

Cms2 + k

=0

1


2/6

Tekn

ikMes

in-FTI

-ITS

2.2 Getaran Bebas System 1 DOF Tak Teredam 2

karenaCtidak bisa sama dengan nol, maka

ms2 + k=0 (2.6)

sehigga

s = k

m

1/2=in (2.7)

Karena kedua nilai s dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan (2.6), penyelesaian

umum untuk persamaan (2.4) dapat diexpresikan

x (t) = C1eint

+ C2eint (2.8)

dimanaC1 danC2adalah konstanta.

Dengan menggunakan identitas

eit =cost isint

persamaan (2.8) dapat ditulis

x (t) =A1cosnt+ A2sinnt (2.9)

dimana A1 dan A2 adalah konstanta. KonstantaC1 danC2 atau A1 dan A2 dapat ditentuk-

an dari kondisi awal. Jika nilai kondisi awal untuk posisi x (t=0) = x0 dan kecepatan

x (t=0) = x0, dari persamaan (2.9)

x (t=0) =A1 = x0

x (t=0) =nA2 = x0(2.10)

atau A1 = x0dan A2 = x0n

. Sehingga penyelesaian persamaan (2.4) adalah

x (t) = x0cosnt+x0

nsinnt (2.11)

Sedangkan persamaan gerak getaran bebas tak teredam untuk getaran rotasi didefinisikan

sebagai

J+ kt=0 (2.12)

Sama dengan gerak translasi, penyelesaian umum dari getaran bebas tak teredam untuk ge-taran rotasi adalah

(t) =A1cosnt+ A2sinnt1 (2.13)

dimana A1 dan A2 ditentukan dari kondisi awal. Untuk kondisi awal (t=0) = 0 dan

0(t=0) = 0, persamaan diatas bisa ditulis

(t) =0cosnt+0

nsinnt1 (2.14)


3/6

Tekn

ikMes

in-FTI

-ITS

2.3 Getaran Bebas System 1 DOF Teredam 3

2.3 Getaran Bebas System 1 DOF Teredam

Persamaan gerak getaran bebas tak teredam untuk getaran translasi didefinisikan sebagai

m x + c x + kx =0 (2.15)

Solusi dari persamaan diatas dapat dicari dengan mensubstitusi persamaan (2.5) ke persama-

an (2.15)

ms2 + cs + k=0 (2.16)

akar dari persamaan diatas adalah

s1, 2 =c

c2 4mk

2m= c

2m

c

2m

2 k

m(2.17)

Kedua akar ini mempunyai dua penyelesaian untuk persamaan (2.15)

x1(t) = C1es1t dan x2(t) = C2e

s2t (2.18)

Dan penyelesaian umum untuk persamaan (2.15) merupakan kombinasi dari dua solusi diatas

x (t) = C1es1t

+ C2es2t

= C1e

c

2m+

( c2m )

2 km

t

+ C2e

c

2m

( c2m )2 k

m

t

(2.19)

dimanaC1 danC2adalah konstanta yang ditentukan dari kondisi awal.

2.3.1 Konstanta Damping Kritis dan Rasio Redaman

Konstanta damping kritis

Konstanta damping kritiscc didefinisikan

cc =2m

k

m=2

km =2mn (2.20)

Rasio redaman

Rasio redaman didefinisikan

=c

cc=

c

2mn=

c

2

km=

cn

2k(2.21)

Untuk getaran rotasi 1 DOF, rasio redaman didefinisikan

=ct

2Jn=

ct

2

ktJ(2.22)


4/6

Tekn

ikMes

in-FTI

-ITS

2.3 Getaran Bebas System 1 DOF Teredam 4

2.3.2 Respon Getaran Bebas System 1 DOF Teredam

Dengan mendefinisikanc

2m=

c

cc cc

2m= n (2.23)

persamaan (2.17) bisa ditulis

s1, 2 =

2 1

n (2.24)

dan persamaan (2.19) bisa ditulis

x (t) = C1e

+

21

nt

+ C2e

21

nt (2.25)

Sehingga perilaku dari penyelesaian persamaan diatas tergantung dari besarnya nilai dam-

ping. Untuk = 0 menghasilkan respon getaran bebas tak teredam. Untuk 0 ada tiga

tipe penyelesaian tergantung dari besarnya damping ratio .

Underdamped

Ketika damping rasio dalam range 0 <


5/6

Tekn

ikMes

in-FTI

-ITS

2.4 Penurunan Logaritmic 5

Critically damped

Ketika = 1, sistem getaran kita sebutcritically damped. Untuk kondisi ini kedua akars1dans2adalah sama

s1 = s2 =cc

2m =n (2.30)dan penyelesaian persamaan (2.15) adalah

x (t) =(C1 + C2t) ent (2.31)

Untuk kondisi awal x (t=0) = x0dan x0(t=0) = x0, kita peroleh

C1 = x0 dan C2 = x0 + nx0 (2.32)


x (t)=

[x0+

( x0+

nx0) t] ent

(2.33)

Overdamped

Ketika > 1, sistem getaran kita sebut overdamped. Untuk kondisi ini,2 1

adalah

positif dan akar s1dan s2 dapat ditulis

s1 =+

2 1

n


6/6

Tekn

ikMes

in-FTI

-ITS

2.4 Penurunan Logaritmic 6


x1

x2=

ent1

en(t1+d) =end (2.38)

Dari persamaan diatas penurunan logarithmic dapat kita tulis

=lnx1

x2= nd = n

21 2n

=

21 2

=

2

d c

2m(2.39)

untuk damping kecil 1, persamaan (2.39) bisa ditulis

2 (2.40)

3198 Unggul Me SDOF Free Response

Documents

Transcript of 3198 Unggul Me SDOF Free Response