3.1 Bentuk-bentuk non dimensional dari persamaan fluida

Persamaan-persamaan fluida dapat ditulis dalam bentuk nondimensional. Untuk itu, pertama-

tama kita definisikan variabel yang tidak berdimensi dibawah ini :

o

~ ,

ou

uu ~ ,

2

~

oo

o

u

ppp

− ,

oT

TT ~

, 0

~

L

tut o ,

oo

o

u

L~ ,

oL

xx ~ ,

ok

kk ~

, po

p

pC

CC ~

, og

GG ~

, o

~

Variabel-variabel di atas yang bersubscript “o” adalah variabel-variabel acuan, misalnya ou

adalah kecepatan “freestream”, oL adalah panjang dari benda (chord length dari airfoil) dan

lain-lain. Untuk kuantitas τ dan t tidak diberikan variabel karakteristik acuan khusus. τ dinon-

dimensionalkan menggunakan variabel acuan Lo, uo, dan μo, karena memang tidak pernah ada

variabel acuan untuk kuantitas ini. Untuk waktu t, biasanya memang tidak ada waktu

karakteristik dalam suatu permasalahan, kecuali untuk kasus tertentu di mana terdapat

karakteristik frekuensi (kasus ini akan kita bahas nanti). Tekanan p dinon-dimensionalkan

sedikit berbeda. Untuk p kita ambil selisih dari tekanan dengan tekanan acuan, karena p muncul

di persamaan momentum sebagai gradien. Karena sudah ada po di numerator, maka kita

normalisasi dengan menggunakan ρo dan uo.

Sekarang apabila kita ganti variabel-variabel misalnya o ~= , dan seterusnya kedalam

persamaan (a) dan (b), maka kita dapatkan :

( ) 0~.~~

~

~=+ u

td

d

……...........…………… ( )a~

GFR

ptd

ud

re

~~1~~1~~~

~~ ++−= ………… ( )b

~

di mana

=

=

=

~1~

oo LxLx.

Untuk persamaan energi, kita akan menggunakan persamaan (i) dan kita akan lakukan ini untuk

kasus besar Q = 0. Apabila kita subsitusikan variabel di atas ke dalam persamaan ini dan

hasilnya lalu dimanipulasi seperti sebelumnya, maka akan didapat

( ) ( )t~

d

p~dT~~~~~~~~~1

~

~~~ BEu

R

ETk

RPtd

TdC c

e

c

er

p −+= ... ( )c~

di mana :

oo

oc

TCp

uE

2

(Bilangan Eckert), o

oooe

LuR

(Bilangan Reynolds),

oo

or

Lg

uF

2

(Bilangan Froude), o

oPor

k

CP

(Bilangan Prandtl),

ooTB (Bilangan Ekspansi termal)

Parameter-parameter non-dimensional ini mempunyai arti fisik yang sangat penting. Perlu

diingat bahwa parameter Re dan Fr didapat dengan cara membagi koefisien setiap suku dalam

persamaan momentum dengan koefisien suku ruas kiri persamaan, yang menjelaskan efek

inersia. Oleh karena itu, Re adalah rasio dari suku inersia terhadap suku viskos. Dengan kata

lain, Re menjelaskan perbandingan efek inersia terhadap efek viskos. Dengan alasan yang

sama, arti fisik dari Fr adalah perbandingan antara efek inersia dan gravitasi. Parameter Fr

penting hanya untuk kasus dimana terdapat free-surface (seperti dalam kasus aliran pada

permukaan air).

Dalam persamaan energi terdapat bilangan Pr. Arti dari bilangan ini adalah perbandingan efek

difusivitas viskositas terhadap difusivitas termal. Dapat dilihat dari definisi di atas bahwa

harga rP tergantung dari jenis fluida dan tidak bergantung dari aliran. Sedangkan untuk

parameter Ec biasanya diubah ke parameter lain seperti bilangan Mach, seperti yang akan

ditunjukkan dalam paragraf di bawah.

Persamaan dasar fluida dalam bentuk nondimensional ini (persamaan ( )a~ -persamaan ( )c~ )

sangat berguna dalam hal-hal berikut :

1. Menyederhanakan persamaan tersebut. Misalnya apabila aliran yang dipelajari

mempunyai Re yang tinggi ( )→eR , maka dapat dilihat dari persamaan ( )b~

, suku

yang menjelaskan viscous stress dapat diabaikan. Juga karena Pr biasanya mempunyai

harga sekitar 1, maka suku yang menjelaskan konduksi panas dan viscous dissipation

dapat diabaikan dalam persamaan ( )c~ .

2. Biasanya dalam melakukan eksperimen untuk mensimulasikan aliran di sekitar benda

kita membuat model yang lebih kecil daripada dimensi benda yang sebenarnya.

Persamaan ( ) ( )ca ~~ − memberitahu kita bahwa eksperimen dengan model yang lebih

kecil ini akan berhasil mensimulasikan aliran dengan tepat apabila harga-harga

parameter : BPFRE rrec ,&,,, adalah sama seperti pada aliran yang sebenarnya. Ini

disebabkan variabel yang terdapat dalam persamaan ( ) ( )ca ~~ − tidak berdimensi. Jadi

apabila ada dua persoalan (aliran disekitar benda dan aliran disekitar model), maka

solusi dari persamaan ( ) ( )ca ~~ − untuk kedua aliran tersebut adalah sama apabila bentuk

kedua permukaan benda tersebut sama dan harga dari parameter-parameter di atas

mempunyai nilai yang sama.

Dalam aerodinamika biasanya kita mempelajari aliran udara. Udara dapat diasumsikan sebagai

perfect gas. Untuk perfect gas, kita dapat menggunakan parameter lain yang lebih umum

digunakan dalam aerodinamika seperti M (Mach number). Untuk perfect gas 10

0

0 −=

RC p dan

kecepatan suara (ao) adalah oo RTa 0= sehingga bilangan Eckert menjadi,

2

02

0

2

000

00

2

0 )1()1()1( Ma

u

RT

uEc −=−=−=

, dimana 0a

uM o= adalah bilangan March. Dapat dilihat bahwa parameter-parameter non-

dimensional atau “Aerodynamics Similarity” untuk perfect gas adalah : Re, Fr, Pr, Mo, γ, dan

Bβ.

Berikutnya, kita akan nondimensionalkan persamaan keadaan ),( = p . Pertama-tama,

kita tuliskan diferensial dari ρ sehingga,

dt

d

dt

dp

pdt

d

+

=

111

dt

d

dt

dp

dt

d −=

1

dimana dari termodinamika kita ketahui bahwa β adalah coefficient of thermal expansion dan

α adalah isothermal compressibility,

p

1

Sekarang kita nondimensionalkan persamaan diatas. Untuk itu, kita tambahkan definisi baru,

0

~

, 0

~

.

Dengan menggunakan variabel-variabel tersebut, persamaan menjadi

td

d

td

pdu

td

doo ~

~~

~

~~

~

~

~1

0

2

00

−=

Berikutnya kita perkenalkan specific heat ratio VP CC . Karena,

1−=

s

s

s

.

maka,

v

S T

S SC T T

T T

= = −

p

P S T

h p SC T

T T p

= = −

sehingga,

2

2S T

S T

aS T

p ST

T p pa

pST

T

−

= = =

−

Dengan demikian maka,

2

oo

oo

a

=

Akhirnya, apabila kita kembali ke persamaan untuk td

d~

~

~1

,

td

dB

td

pdM

td

d~

~~

~

~~

~

~

~1 2

0

−=

……........…… ( )d

~

Persamaan terakhir adalah persamaan keadaan dalam bentuk non-dimensional.

Selain bilangan-bilangan yang sudah dibahas, ada beberapa bilangan lain yang juga merupakan

parameter penting dalam mekanika fluida. Untuk beberapa kasus unsteady, seperti dalam

kasus aliran viskos di sekitar silinder, terdapat waktu/frekuensi karakteristik To atau fo. Untuk

kasus ini, parameter non-dimensional untuk waktu perlu diubah menjadi0

~

t

tt . Apabila kita

lakukan prosudur yang sama seperti sebelumnya, maka akan didapatkan koefisien baru di

depan suku unsteady (t

) dalam persamaan-persamaan di atas. Koefisien baru ini dikenal

dengan sebutan bilangan Strouhal,

oo

o

o

oot

Lf

u

L

uTS =

Parameter ini sangat penting untuk kasus aliran yang mempunyai karakteristik

frekuensi/waktu.

Berikutnya adalah kasus aliran kecepatan rendah dimana efek gravitasi sebanding dengan

efek inersia dan viskos. Untuk kasus ini,

( )− 1o

Untuk kasus ini karena suku inersia sebanding dengan suku viskos. Selain itu dalam kasus ini

aliran disebabkan karena adanya perbedaan antara temperatur suatu permukaan dengan

temperatur fluida, sehingga terdapat parameter baru yaitu temperature permukaan (Tw). Oleh

karena itu, bentuk non-dimensional yang tepat untuk kecepatan dan temperature adalah dalam

kasus ini adalah,

ow

o

oo

o TT

TTT

L

uu

−

−=

~~

Apabila kita lakukan prosudur yang sama seperti sebelumnya, maka kita akan mendapatkan

koefisien baru pengganti Fr di depan suku berat gravitasi dalam persamaan momentum.

Koefisien ini adalah bilangan Grashof (Gr),

( )2

32

o

owooor

TTLgG

−=

Bilangan Grashof merupakan parameter penting dalam perpindahan panas, khususnya kasus

konveksi bebas.

3.1.1 Kondisi Batas Non-dimensional

Pembicaraan kita tentang bentuk non-dimensional belum lengkap sebelum kita non-

dimensionalkan kondisi batas. Di dekat permukaan terdapat parameter baru yaitu temperatur

permukaan atau Tw. Untuk itu, kita perlu mengubah bentuk non-dimensional termperatur

menjadi,

ow

o

TT

TTT

−

−

~

Dengan bentuk baru ini maka bentuk non-dimensional kondisi batas menjadi,

uNn

TkatauTu =

==

~1

~,1~ di permukaan.

Dapat dilihat bahwa prosudur ini menghasilkan satu lagi bilangan non-dimensional, yaitu

bilangan Nusselt (Nu)

( )owo

wu

TTk

qN

−

Bilangan Nu adalah parameter yang penting dalam permasalahan perpindahan panas,

khususnya pada kasus konveksi.

1.5 Asumsi – asumsi yang Sering Digunakan

Telah kita saksikan bahwa persamaan–persamaan dasar fluida adalah persamaan–persamaan

yang sangat kompleks. Persamaan momentum, misalnya adalah persamaan diferensial yang

nonlinier. Oleh karena itu persamaan tersebut sangat sulit untuk diselesaikan secara analitik.

Apabila kita ingin menyelesaikan persamaan–persamaan tersebut. Secara analitik maka kita

harus menyederhanakan persamaan–persamaan tersebut dengan mengasumsikan sesuatu.

Berikut ini adalah asumsi-asumsi yang sering digunakan.

2.6.1 Steady :

Asumsi ini menyatakan bahwa variabel–variabel aliran ( dllTpeu ,,,,, ) di setiap titik dalam

aliran tidak berubah dengan waktu sehingga 0=

t . Perlu diingatkan asumsi ini tidak

menyatakan bahwa 0=dt

d.

2.6.2 Inviscid :

Asumsi ini menyatakan bahwa suku yang menjelaskan efek viskos dalam persamaan–

persamaan dapat diabaikan. Asumsi ini dapat digunakan apabila Re sangat tinggi. Untuk kasus

Re tinggi apabila kita lihat persamaan (~

b ) & (~

c ) maka suku-suku

~Re

1 ~

& uEc ~)

~~( Re

, (Pr ~ 1) menjadi sangat kecil & dapat diabaikan . Selain itu apabila harga Re cukup tinggi,

suku–suku dalam persamaan ( )~c , yaitu )~~(

PrRe

1q menjadi sangat kecil & dapat diabaikan

( karena Pr ~ 1). Karena )( u= dan )( Tqq = maka asumsi ini tidak dapat digunakan

di daerah di mana terdapat u dan T yang tinggi seperti daerah di dekat permukaan benda

& dalam shockwave.

Untuk aliran inviscid, persamaan momentum dan energi menjadi jauh lebih sederhana,

Gpdt

ud +−= (persamaan Euler)

2

( ) ( ) ( )2

d ue G u Q pu

dt + = + −

Apabila kita bandingkan dengan persamaan umum untuk momentum persamaan Euler adalah

satu orde (di x ) lebih rendah. Oleh karena itu persamaan ini tidak memenuhi kondisi batas

(boundary condition) wallwall Utxxu == ),( . Kondisi batas kondisi batas yang harus dipenuhi

oleh persamaan Euler hanyalah sebagian dari kondisi batas yang dipenuhi oleh persamaan

Navier-stokes, yaitu

ˆ ˆ( , )wall wallu x x t n U n= = .

Sedangkan, kondisi batas lainnya yang menyatakan bahwa kecepatan aliran fluida didekat

permukaan benda yang mempunyai arah sejajar dengan permukaan benda haruslah sama

dengan kecepatan benda diarah tersebut tidak dapat dipenuhi. Dengan kata lain, perbedaan

kecepatan tangensial antara benda dan fluida didekat benda tersebut (kondisi slip)

diperbolehkan dalam aliran inviscid.

2.6.3 Adiabatik:

Asumsi ini menyatakan bahwa tidak ada panas yang masuk kedalam sistem. Dengan demikian

maka suku yang menjelaskan radiasi termal (ρQ) dapat diabaikan dalam persamaan energi.

Selain itu asumsi ini juga berarti bahwa transfer panas dibatas-batas fluida juga dapat diabaikan

( 0ˆ =nq ).

2.6.4 Isentropik:

Asumsi isentropic menyatakan bahwa aliran fluida adalah aliran yang inviscid & adiabatic.

Sehingga, untuk aliran isentropic persamaan (d) menjadi,

0=dt

dsT atau 0=

dt

ds

Persamaan ini dapat digunakan untuk menggantikan persamaan energi dalam aliran isentropic.

Persamaan ini menyatakan bahwa entropi dari “fluid element” adalah konstan sepanjang

pergerakannya. Selain bentuk di atas, alternatif dari persamaan energi adalah persamaan (g),

dengan mengabaikan suku-suku yang relevan dengan asumsi ini sehingga

dt

dp

dt

dh

1=

2.6.5 Konstan S (Homentropik):

Asumsi ini menyatakan bahwa entropi (s) adalah kontan di mana pun sehingga 0=s . Karena

dpd

1 Tdsh += maka )0(;

11==+= sTppsTh

.

Dengan demikian untuk aliran ini persamaaan momentum menjadi,

GhGpdt

du+−=+−=

1

Asumsi ini digunakan apabila entropi setiap fluid element mempunyai harga yang sama pada

daerah asal aliran (aliran dengan freestream yang seragam, misalnya) dan aliran juga dapat

diasumsikan sebagai aliran isentropic. Untuk aliran yang homentropik ada sebuah teorema

yang sangat berguna yaitu “Kelvin's Theorem”. Untuk mendapatkan teorema ini kita mulai dari

definisi “Circulation”( ).

ldu = di mana lintasan dalam integral adalah lintasan di dalam fluida. Sekarang

kita lihat turunan material dari ,

+==

)( ld

dt

duld

dt

duldu

dt

d

dt

d.

Apabila kita perhatikan sketsa di sebelah dan ingat

bahwa ld berada dalam fluida maka,

uddt

xdd

dt

ldd

dt

lddld

dt

d==== )()()()(

Dengan demikian maka,

02

)(

2

=

==

ududulddt

du , karena integral tertutup dari sebuah total differential

adalah nol. Oleh karena itu maka persamaaan untuk dt

d menjadi,

==

s

dsndt

udld

dt

du

dt

d ˆ

di mana persamaaan ini didapatkan dengan menggunakan teorema Stokes untuk aliran yang

homentropik & G adalah gaya yang konservatif (G = - ) sehingga

)()( hhGhdt

ud−+−=+−= . Dengan demikian maka =−=

0 ˆ)( dsnh

dt

d,

karena 0= A untuk setiap skalar A. Jadi kita telah dapatkan sebuah teorema

0=

dt

d (Teorema Kelvin).

Sekali lagi lintasan dalam definisi adalah lintasan di dalam fluida & daerah di dalam

lintasan tersebut hanya terdapat fluida (tidak ada benda lain). Apabila kita lihat definisi dari

& kita gunakan Stokes Theorem maka,

( ) ==ss

dsnwdsuuldu ˆˆ

Jadi pengertian dari teorema Kelvin adalah sebagai berikut. Apabila kita ikuti sebuah kontur

tertutup yang di dalamnya hanya berisi fluida & pada awalnya fluida tersebut tidak mempunyai

vortisitas, maka bagian–bagian dalam fluida tersebut tidak akan mempunyai vortisitas

seterusnya (apabila aliran fluida tersebut diasumsikan sebagai aliran homentropik & G adalah

konservatif ).

Kegunaan teorema ini adalah dalam mempelajari aliran uniform yang melewati sebuah benda.

Karena aliran jauh didepan benda tersebut adalah seragam maka aliran tersebut tidak

mempunyai pada awalnya. Jadi menurut teorema Kelvin pada saat bagian dari fluida tersebut

melewati benda maka – nya tetap nol & fluida tetap tidak mempunyai . Kondisi

0== u dapat digunakan untuk mengganti persamaan momentum untuk kasus– asus

seperti ini. Teorema ini juga membawa kita kepada asumsi selanjutnya yaitu asumsi

irrotasional.

Persamaan momentum untuk aliran yang homentropik dapat dituliskan seperti di bawah ini

dengan menggunakan vector identity:

2

2

uu u u = + (****)

Dengan identitas ini maka persamaaan momentum untuk aliran homentropik & G yang

konservatif menjadi,

)2

(2

++−=+

uhu

t

u (R)

Aliran steady homentropik )0(

Untuk aliran yang steady maka persamaan (R) menjadi, )2

(2

++−=u

hu

Sekarang kita ambil dot product persamaan di atas dengan u,

)2

()(2

++−=u

huuu

Karena u tegak lurus dengan u maka, )2

(02

++−=u

hu

Sekarang kita definisikan unit vector sebagai u

u

Dengan definisi ini maka, )2

()2

(ˆ022

++

=++=

uh

uh

Tetapi adalah unit vector yang menunjukkan arah streamline (lihat definisi ).

Maka persamaan di atas menjadi,

++2

2uh = konstan sepanjang streamline (Bernoulli Eqn)

Persamaan Bernoulli di atas adalah persamaan Bernoulli yang lebih umum dari persamaan

Bernoulli untuk aliran inkompresibel yang kita kenal selama ini. Kita dapat menggunakan

persamaan di atas untuk mendapatkan persamaan Bernoulli untuk kasus inkompresibel seperti

yang dilakukan di bawah ini. Dari termodinamika, dt

dp

dt

ds

dt

de

1−= Karena 0=

dt

ds dan

persamaan kontinuitas maka )( up

dt

de=

. Untuk kasus inkompresibel, 0= u sehingga

0=dt

de atau e adalah konstan sepanjang streamline. Karena =+=

peh (konstan sepanjang

streamline)

p+ maka persamaan Bernoulli di atas menjadi, =++

2

2up

konstan sepanjang

streamline. Persamaan di atas adalah persamaan Bernoulli yang kalian kenal selama ini.

2.6.6 Aliran Irotasional (aliran potensial)

Asumsi irotasional menyatakan bahwa = 0. Dari pembahasan di 2.6.5 dapat dilihat bahwa

asumsi ini berlaku apabila aliran dapat diasumsikan sebagai aliran homentropik dan tidak

mempunyai vortisitas pada daerah asal aliran (freestream yang seragam, misalnya). Dengan

kata lain aliran irotasional pasti aliran homentropik tetapi aliran homentropik belum tentu aliran

irotasional. Karena aliran irotasional pastilah aliran yang homentropik maka asumsi irotasional

hanya dapat digunakan dalam kasus Re yang tinggi dan setiap fluid element mempunyai harga

entropi yang seragam pada daerah asal aliran.

Sekarang kita akan gunakan persamaan (R) utk mendapatkan persamaan energi untuk aliran

irotational dan membandingkannya dengan persamaan serupa untuk kasus aliran steady

homentropik, yang secara umum adalah rotasional.

Karena u== 0 & untuk setiap skalar , 0)( = maka untuk aliran irrotational u

dapat dinyatakan sebagai =u dimana disebut “potensial”. Dengan definisi u ini maka

persamaan (R) menjadi,

0))(2

1( 2 =+++

h

t

sehingga, )()(2

1 2 tfht

=+++

Fungsi f(t) dapat kita masukkan ke dalam karena apabila kita redefinisikan, )('' tf+=

maka uu === ''. Jadi persamaan diatas menjadi

+++

2

1h

t= konstan di manapun didalam fluida

Persamaan di atas adalah persamaan energi untuk aliran irrotational atau dikenal juga dengan

“aliran potensial”. Sekilas persamaan di atas sama dengan persamaan energi untuk aliran

steady homentropik (persamaan Bernoulli). Namun, konstan di sebelah kanan dari kedua

persamaan tersebut berbeda. Dalam kasus irotational konstan tersebut adalah konstan

dimanapun!!!. Sedangkan dalam kasus aliran steady homentropik (rotasional) konstan tersebut

hanyalah konstan sepanjang streamline.

2.6.7 Aliran inkompresibel

Dalam mekanika fluida, seringkali digunakan asumsi inkompresibel. Asumsi ini menyatakan

bahwa perubahan massa jenis terhadap waktu dari sebuah fluid element adalah nol (massa jenis

setiap fluid element adalah konstan selama pergerakannya). Secara matematis, asumsi ini dapat

dinyatakan seperti,

01

=dt

d

atau 0= u

di mana versi sebelah kanan diambil dengan memanfaatkan hukum kekekalan massa

(kontinuitas).

Untuk melihat kapan asumsi ini bisa digunakan, kita kembali ke persamaan keadaan dalam

bentuk nondimensional ( )d~

td

dB

td

pdM

td

d~

~~

~

~~

~

~

~1 2

0

−=

Dari persamaan di atas, dapat dilihat bahwa asumsi inkompresibel terpenuhi dalam kasus

isotermal (temperatur adalah konstan) apabila 12 M (bilangan Mach dari aliran sangat

rendah). Dari definisi bilangan Mach, maka jelaslah bahwa asumsi ini terpenuhi apabila harga

a0 sangat tinggi. Karena, s

pa

=

0 maka harga a0 akan tinggi apabila perubahan massa jenis

yang disebabkan oleh perubahan tekanan sangatlah kecil.

Selain itu, syarat 12 M khusus untuk aliran unsteady juga berarti bahwa waktu yang

dibutuhkan untuk perubahan signifikan dalam aliran adalah relatif jauh lebih lama

dibandingkan dengan waktu yang dibutuhkan oleh kecepatan suara untuk merambat sejauh

karakteristik panjang.

Untuk aliran inkompresibel yang isotermal, k = konstan dan μ = konstan. Apabila asumsi ini

dapat digunakan, maka persamaan-persamaan fluida menjadi lebih sederhana. Persamaan-

persamaan (a) dan (b) untuk kasus inkompresibel adalah:

0= u (I.1)

1u pu u G

t

+ = − + +

di mana ( ) ( )( )TI u u u = + + .

Karena (I.1), maka menjadi,

( )( )Tu u = +

sehingga

2 2

0

u u u =

= + =

.

Substitusikan ke persamaan momentum maka,

uvGp

uut

u 2. ++

−=+

(I.2)

di mana

v .

Karena ρ adalah konstan, maka untuk kasus ini yang tidak diketahui adalah u1, u2, u3 dan p.

Sedangkan ρ, G, μ() diketahui. Jadi persamaan (I.1) dan (I.2) (4 persamaan) adalah persamaan

yang harus diselesaikan untuk mendapatkan u1, u2, u3 dan p. Dengan kata lain, persamaan

energi biasanya tidak dibutuhkan untuk menyelesaikan kasus inkompresibel. Persamaan

energi hanya dibutuhkan dalam kasus aliran yang dipanaskan secara tidak seragam misalnya

dan kasus-kasus aliran dengan perpindahan panas.

1.6 Garis-garis aliran

Pemahaman secara fisis dari solusi persamaan-persamaan dasar bisasanya dilakukan dengan

bantuan garis-garis aliran. Selain membantu memahami fisik aliran, garis-garis aliran juga

sangat berguna dalam visualisasi eksperimen. Secara umum terdapat 3 tipe garis-garis aliran

yang biasa digunakan. Ketiga tipe ini adalah “streamline” (garis arus), “pathline”(jejak arus)

dan “streakline”. Di subbagian ini kita akan bahas ketiga garis-garis aliran ini satu persatu.

2.7.1 Streamline

Streamline adalah garis-garis yang di mana pun sejajar dengan vektor kecepatan. Konsep

streamline sangat berguna untuk memahami fisik dari aliran steady. Konsep ini tidak terlalu

berguna dalam aliran unsteady karena vektor-vektor kecepatan berubah-ubah setiap saat.

Dari penjelasan di atas, streamline dl didapatkan dengan mengevaluasi

0u dl = .

Apabila kita gunakan koordinat kartesian maka persamaan di atas menjadi,

2 3 3 2 0u dx u dx− = , 3 1 1 3 0u dx u dx− = , 1 2 2 1 0u dx u dx− =

atau 31 2

1 2 3

1uu u

dx dx dx ds= =

di mana s adalah parameter yang diperkenalkan untuk memudahkan integrasi persamaan di

atas. Solusi dari persamaan di atas untuk streamline yang melewati titik 0x x= pada waktu

0t = mepunyai bentuk

( )0 , ,x x x t s=

2.7.2 Pathline

Pathline adalah garis yang menjelaskan jejak dari sebuah partikel fluida. Karena partikel fluida

bergerak bersama fluida yang mempunyai kecepatan u, maka pathline haruslah memenuhi

d xu

dt= .

Persamaan untuk pathline yang melintasi titik x0 pada waktu t0 adalah solusi persamaan di atas

yang memenuhi kondisi awal ( )0 0tx x= = . Secara umum solusi ini mempunyai bentuk

( )0 ,x x x t=

2.7.3 Streakline

Streakline adalah garis yangmenjelaskan jejak dari partikel-partikel fluida yang melewati

sebuah titik x0 pada waktu t = (setiap partikel melewati titik ini pada waktu yang berbeda).

Dengan demikian persamaan untuk streakline didapatkan dengan menyelesaikan persamaan

( ) 0, t

d xu x x

dt== = .

Streakline adalah garis yang terlihat apabila kita melakukan visualisasi aliran dengan

menggunakan asap atau “dye”

Catatan: Untuk kasus steady, streamline, pathline, dan streakline menghasilkan garis-garis

yang sama.

Contoh: Aliran 2-D (unsteady) yang mempunyai kecepatan

( )1 1

2 2

3

1 2

0

u x t

u x

u

= +

=

=

yang melewati titik (1,1)

a. Streamline pada waktu t = 0

11

dxu

ds= , 2

2

dxu

ds=

substitusikan u1 dan u2 (t = 0)kemudian integrasikan didapatkan

1

sx e= dan 2

sx e=

sehingga persamaan untuk streamline adalah 1 2x x=

b. Pathline pada waktu t = 0

11

dxu

dt= , 2

2

dxu

dt=

( )1

1 1

t tx c e

+= , 2 2

tx c e=

Apabila partikel fluida ini melewati (1,1) pada t = 0 maka, c1 = c2 = 1

( )1

1

t tx e

+= , 2

tx e=

Sehingga persamaan untuk pathline adalah,

21 ln

1 2

xx x

+=

c. Streakline pada waktu t = τ

Untuk kasus ini kondisi awalnya adalah

x1 = 1, x2 = 1, pada waktu t =

hasilnya adalah,

( ) ( )1 1

1

t tx e

− + − += dan 2

tx e −= yang pada waktu t = 0 menjadi 21 ln

1 2

xx x

−=

2.8 Aliran 2-D dan Fungsi Arus ( stream function)

Untuk kasus aliran 2-D, persamaan kontinuitas dapat dituliskan menjadi,

1 2

1 2

0u u

x x

+ =

Persamaan ini akan selalu terpenuhi apabila kita definisikan

1

2

ux

=

dan 2

1

ux

= −

(SF)

( )1 2,x x disebut “fungsi arus “ atau “stream function” dan fungsi ini sangat membantu kita

dalam menyelesaikan permasalahan aliran 2D.

Untuk kasus aliran incompressible, persamaan kontinuitas menjadi,

1 2

1 2

0u u

x x

+ =

.

Untuk kasus ini fungsi arus didefinisikan sebagai,

1

2

ux

=

dan 2

1

ux

= −

Persamaan “momentum” (I.4) dapat kita manipulasi untuk mendapatkan persamaan diferensial

untuk karena,

( ) ( ) ( ) ( )00

u u u u u ==

= + − −

maka persamaan (I.4) menjadi,

( ) ( ) 2u ut

+ − =

.

Karena u = maka persamaan di atas hanya terdapat satu variabel yaitu u. Sekarang kita

substitusikan (SF) untuk u di dalam persamaan di atas dan hasilnya adalah,

( ) ( ) ( )2 2 2 4

1 2 2 1

0vt x x x x

− + − =

(SF 2)

Dari persamaan terakhir terlihat bahwa apabila kita mempelajari kasus aliran 2D dan kita

gunakan fungsi arus, kita tidak perlu bersusah-payah untuk menyelesaikan persamaan

kontinuitas dan cukup menyelesaikan persamaan (SF 2) untuk satu variable, yaitu ψ. Ini

tentunya disebabkan oleh definisi dari fungsi arus yang secara otomatis telah memenuhi

persamaan kontinuitas.

Sekarang kita akan melihat lebih dalam arti fisik dari fungsi arus. Pertama-tama, streamline

untuk aliran steady dapat ditemukan dengan menggunakan . Definisi stream line adalah

garis yang paralel dengan u atau 0=uld . Untuk aliran 2-D persamaan 0=uld menjadi

(1 1 2 2ˆ ˆdl dx e dx e= + ),

02112 =− dxudxu

Substitusikan (SF) untuk u1 dan u2 ,

02

2

1

1

=

−

− dx

xdx

x

atau 02

2

1

1

=

+

= dx

xdx

xd

Sehingga dapat disimpulkan bahwa ψ = konstan adalah kurva-kurva yang menjelaskan

streamline.

Sekarang kita akan hitung “mass flux” Q yang melintasi 2 streamline seperti dalam sketsa di

atas.

=+−==

B

A

B

A

ddxudxudlnuQ )()ˆ.( 2112

)( ABQ −=

Jadi selisih dari harga ψ antara 2 streamline proporsional dengan “mass flux” Q yang melewati

kedua streamline tersebut.