3. Sistem Persamaan Linear2
29
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
-
Upload
cassandra-fitrianna -
Category
Documents
-
view
230 -
download
1
description
kuliah
Transcript of 3. Sistem Persamaan Linear2
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Persamaan linear ditulis
mnmnmm
nn
nn
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
Persamaan tsb dapat ditulis dalam bentuk matriks:
mnmnmm
n
n
c
c
c
x
x
x
aaa
aaa
aaa
......
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
Menentukan x1, x2,...xn
• Metode penyelesaian dalam SPL– Metode Eliminasi Gauss– Metode Eliminasi Gauss-Jordan– Iterasi Jacobi– Iterasi Gauss-Seidel– Metode Invers Matriks– dll
METODE ELIMINASI GAUSS
METODE ELIMINISASI GAUSS
• Prinsip:– Memanipulasi persamaan-persamaan yang
ada dengan menghilangkan salah satu variabel sehingga pada akhirnya hanya tinggal satu persamaan dengan satu variabel.
– Solusi dari persamaan terakhir ini, disubstitusi ke persamaan lain untuk memperoleh penyelesaian.
Langkah• Mengubah matriks menjadi augmented matriks
• Augmented matriks diubah menjadi matriks segitiga atas/bawah
• Sehingga diperoleh penyelesaian xn. Hasil ini kemudian disubstitusi mundur ke persamaan n-1 dan seterusnya.
nnnnnn
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
......
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
nnnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
...
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
nnnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
...
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
nnn
n
n
d
d
d
c
cc
ccc
...
000
......00
...0
...
2
1
222
11211
Membuat matriks segitiga atas (1)• Mengeliminasi suku pertama dari persamaan kedua hingga ke n (a2,1, a3,1, ...an,1)• Untuk itu, persamaan pertama dikalikan h = a2,1/a1,1, sehingga didapatkan
• Persamaan ini kemudian dikurangkan persamaan kedua. Lihat suku pertama dari persamaan kedua hilang.
• Atau bisa ditulis
• Selanjutnya persamaan pertama dikalikan h= a3,1/a11 dan dikurangkan persamaan ketiga. Begitu seterusnya sampai persamaan ke n.
111
211
11
21212
11
2111,2 .... b
a
axa
a
axa
a
axa nn
)()(....)()( 111
2121
11
212212
11
1,22211,21,2 b
a
abxa
a
aaxa
a
aaxaa nnn
22323222 .... bxaxaxa nn
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
....
....
....
....
3322
33333232
22323222
Membuat matriks segitiga atas (2)
• Berikutnya mengeliminasi suku pertama dari persamaan kedua sampai ke n dari persamaan yang baru (dengan cara yang sama)
• Begitu seterusnya hingga tinggal satu variabel. Sehingga persamaan yang didapat bisa ditulis ulang, dalam bentuk matriks segitiga atas:
nn
nnnn
nn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
)1()1(
33333
22323222
11313212111
....00
....
....00
....0
....
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
....
....
....
....
4433
44444343
33434333
atau
nnnn
nn
nn
nn
dxc
dxcxc
dxcxcxc
dxcxcxcxc
....00
....
....00
....0
....
33333
22323222
11313212111
• Setelah diperoleh penyelesaian xn. Hasil ini kemudian disubstitusi mundur ke persamaan n-1 hingga persamaan pertama.
)...(1
)...(1
...................
1
,133,122,111,1
1
,244,233,222,2
2
,111,1
1
nn
nn
nnnnnn
n
nn
nn
xcxcxcdc
x
xcxcxcdc
x
xcdc
x
c
dx
)...(1
,22,11,,
nniiiiiiiiii
i xcxcxcdc
x
atau
Substitusi Mundur
Latihan: Selesaikan SPL berikut ini
1022
22
6
321
321
321
xxx
xxx
xxx
10212
2121
6111
2010
4210
6111
• Jawab:• Augmented matriks;
• Lakukan operasi baris elementer B2-B1 dan B3-2B1:
• Lakukan operasi baris elementer B3+B2:
6200
4210
6111
1)3(1)2(16(1
1)(
1
2)3)2(4(1
1)(
1
3)6(2
1)(
1
sehingga
)...(1
33,122,111,1
1
33,222,2
2
33,3
3
,22,11,,
xcxcdc
x
xcdc
x
dc
x
xcxcxcdc
x nniiiiiiiiii
i
Kemudian, menentukan x1, x2 dan x3
ALGORITMA• Masukkan nilai matriks [A] dan [b] yang membentuk SPL• Bentuk matriks gabungan [c] (augmented matriks) yang
merupakan gabungan matriks [A|b]• Untuk baris ke i, dimana i = 1 sampai n, apakah ada nilai aii = 0.
– Bila tidak ada: lanjutkan– Bila ada: Tukarkan baris ke i dengan i+k sehingga ai,i ≠ 0. bila tidak
ada, maka perhitungan tidak bisa dilanjutkan.• Untuk baris i ke-2 smp n,
– ulangi untuk baris j = i sampai n, lakukan operasi baris elementer:Hitung
• Ulangi untuk kolom k = i sampai n+1 (karena sampai d)
• Hitung substitusi mundur untuk menentukan penyelesaian, untuk i = n sampai 1(bergerak dari baris ke n sampai baris pertama)
1,1
1,2
1,1
1, contoh ,c
ch
c
ch
ii
ij
)...(1
,22,11,,
nniiiiiiiiii
i xcxcxcdc
x
kikjkj chcc ,1,, *'
Mulai
Baca: [A] & [b]
ci,j = Ai,j
h = cj,i-1/ci-1,i-1
cj,k = cj,k – h*ci-1,k
i = 1 to n
j = 1 to n
i = 2 to n
j = i to n
k = i to n+1
A
j = 1 to n
cj, n+1 = bj
Selesai
Tulis hasil xi
nilai_d = nilai_d - ci,j*xj
xj = nilai_d / ci,i
i = n-1 to 1
j = i + 1 to n
A
xn = cn, n+1 / cn, n
nilai_d = ci,n+1
METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
• Pengembangan dari Eliminasi Gauss• Augmented matriks diubah menjadi matrik
diagonal
• Penyelesaian secara langsung, yaitu nilai d1,d2, d3,...
nnnnnn
n
n
d
d
d
b
b
b
aaa
aaa
aaa
1...00
...............
0...10
0...01
...
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
nn dxdxdx ,..., 2211
Teknik Eliminasi
• Sama seperti pada Eliminasi Gauss, yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer)
• Hanya saja, penyelesaian didapat secara langsung dan matriks berubah sampai menjadi matrkis diagonal
Latihan
1dan x 2 x:anPenyelesai
110
201BB
110
311 /2B
220
3112BB
Elementer Baris OperasiMelakukan
842
311
SPL dari matriks Augmented
Jawab
842
3
SPL Selesaikan
21
21
2
12
21
21
xx
xx
ALGORITMA• Masukkan nilai matriks [A] dan [b] yang membentuk SPL• Bentuk matriks gabungan [c] (augmented matriks) yang
merupakan gabungan matriks [A|b]• Untuk baris ke i, dimana i = 1 sampai n, apakah ada nilai aii = 0.
– Bila tidak ada: lanjutkan– Bila ada: Tukarkan baris ke i dengan i+k sehingga ai,i ≠ 0. bila tidak
ada, maka perhitungan tidak bisa dilanjutkan.• Untuk baris ke-j, dimana j = i+1 sampai n, lakukan operasi baris
elementer:– Hitung
– Untuk kolom k, dimana k = 1 sampai n+1 (karena sampai d)
• Penyelesaian untuk i = n sampai 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama)
jiac
1, nii ax
ikkjkj ahaa *,,
Selesai
Tulis hasil xi
i = n-1 to 1
A
Ci,n+1 = ci,n+1/ cii
Cii = 1
Mulai
Baca: [A] & [b]
ci,j = Ai,j
h = cj,i/ci,i
cj,k = cj,k – h*ci,k
i = 1 to n
j = 1 to n
i = 1 to n
j = 1 to n
k = i to n+1
A
j = 1 to n
cj, n+1 = bj
I ≠ jtidak
METODE ITERASI JACOBI
Iterasi Jacobi
• Metode eliminasi dalam penyelesaian SPL kadang menjumpai masalah, seperti pembulatan
• Metode eliminasi juga kurang efektif untuk SPL berukuran besar
• Metode iterasi lebih efektif• Iterasi Jacobi menggunakan rumusan rekursif
untuk menghitung nilai pendekatan solusi SPL• Iterasi berjalan terus sampai toleransi yang
diberikan terlampaui.
Iterasi Jacobi
nn
nnnnnn
nn
nn
nnnnnn
n
n
a
xaxaxabx
a
xaxabx
a
xaxabx
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
bxA
11,22211
22
212122
11
121211
2
1
2
1
21
22221
11211
...
......
...
...
:anpenyelesai dicari
dapat maka nol, tidak semuanya diagonalelemen -elemen Jika
......
...
............
...
...
atau
][]][[
• Proses penyelesaiannya dapat dimulai dengan nilai awal x1, x2, ...xn = 0, untuk menghitung x’1, x’2, ...x’n.
• Selanjutnya hasil x’1, x’2, ...x’n disubstitusi lagi untuk mendapatkan nilai x’’1, x’’2, ...x’’n. dan seterusnya sampai error terlampaui
%1001
ji
ji
ji
x
xx
Latihan
%23,19%100476,2
2476,2,476,2
5
85714,2.2667,1.210''
%45,3%1007619,2
8571,27619,2,7619,2
7
2.3667,1.420''
%69,20%10038095,1
667,138095,1,38095,1
3
28571,25''
'','','' memperolehuntuk ',','kan Substitusi
25
10',8571,2
7
20',667,1
3
5'
',',' menghitunguntuk 0,, nilaikan Substitusi5
2210,
7
3420,
3
5
:bentuk dalam ditulisdapat SPL
Jawab
10522
20374
53
:berikut SPL Selesaikan
3
2
1
321321
321
321321
213
312
321
321
321
321
x
x
x
xxxxxx
xxx
xxxxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
Algoritma• Masukkan matriks [A] dan [b]• Tentukan batas maksimum iterasi atau toleransi error• Tentukan nilai awal xi, untuk i = 1 sampai n• Simpan nilai xi untuk i = 1 sampai n• Untuk i = 1 sampai n hitung:
• Iterasi= iterasi + 1• Apakah iterasi sudah maksimum atau toleransi error
sudah terlampaui. Jika sudah berhenti. Jika belum, iterasi lagi.
iii
ijjiji
iii
xxb
xaba
x
)(1
Selesai
Tulis hasil xi
A
True = 1 1tidak
Mulai
Baca: [A] & [b]
xbi= xbi – ai,j * xj
xbi = xbi / ai,i
j = 1 to n
A
i= 1 to n
xbi = bj
I ≠ j
tidak
True=0, iter = 0xi = 0 (i = 1:n)
iter = iter +1True =1
Ixbi -xiI > tol
True = 0
xi = xbi (i=1:n)
1
tidak
METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL
Iterasi Gauss-Seidel
• Sama dengan iterasi Jacobi, hanya saja nilai x1, x2, xn langsung dipakai.
• Nilai x1langsung dipakai mencari x2, dan nilai x1, x2 langsung dipakai mencari xn.
• Dengan metode ini, konvergensi lebih cepat
Latihan
09524,25
90476,1.2667,1.210'
' menghitunguntuk 90476,1'dan 667,1' nilaidengan aSelanjutny
90476,17
0.3667,1.420'
' menghitunguntuk 0'dan 667,1' nilaidengan aSelanjutny
667,13
5'
' menghitunguntuk 0, nilaikan Substitusi5
2210,
7
3420,
3
5
:bentuk dalam ditulisdapat SPL
Jawab
10522
20374
53
:berikut SPL Selesaikan
3
321
2
231
1
132
213
312
321
321
321
321
x
xxx
x
xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
Selesai
Tulis hasil xi
A
True = 1 1tidak
Mulai
Baca: [A] & [b]
xb= xb – ai,j * xj
xb = xb / ai,i
j = 1 to n
A
i= 1 to n
xb = bj
I ≠ j
tidak
True=0, iter = 0xi = 0 (i = 1:n)
iter = iter +1True =1
Ixb-xiI > tol
True = 0
xi = xb
1
tidak
Bedanya Jacobi (xbi)dan Gauss-Seidel (xb)
