1

II. KONSEP DASAR PELUANG

Teori Peluang memberikan cara pengukuran kuantitatif tentang kemungkinan munculnya

suatu kejadian tertentu dalam suatu percobaan/peristiwa. Untuk dapat menghitung peluang

lebih dahulu akan dibahas tentang ruangcontoh dan kejadian.

2.1. Ruang contoh dan kejadian

Misalkan suatu percobaan yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan pasti, akan tetapi

himpunan semua kemungkinan yang akan muncul diketahui. Himpunan semua kemungkinan

yang muncul dari suatu percobaan dikenal dengan ruang contoh dan dinotasikan .

Teladan

1. Misalkan suatu percobaan tentang pelemparan sekeping dadu yang setimbang.

Himpunan semua kemungkinan yang muncul dari percobaan ini adalah:

.

2. Suatu percobaan sekeping mata uang dilempar dua kali. Ruang contoh percobaan ini

adalah:

.

3. Misalkan 7 ekor kuda mengikuti lomba pacuan yang diberi nomor 1,2,...7.

Percobaannya adalah mengamati nomor kuda mencapai garis akhir lomba, maka ruang

contohnya adalah:

4. Suatu percobaan pelemparan dua dadu, warna merah dan biru, maka ruang contoh

terdiri dari 36 titik :

menunjukkan pada dadu merah muncul sisi- dan dadu biru muncul sisi- .

5. Misalkan suatu percobaan mengamati umur aki mobil (dalam jam), maka ruang contoh

percobaan ini adalah:

Setiap bagian dari ruang contoh disebut dengan kejadian. Suatu kejadian merupakan sebuah

himpunan yang kemungkinan muncul dari suatu percobaan.

Dilihat dari cara penghitungannya, himpunan dapat dibedakan menjadi dua yaitu :

1. DISKRIT (Countable) / Dapat dihitung

a. Terhingga (finite)

Contoh : Banyaknya pohon di hutan

b. Tak terhingga (Infinite)

Contoh : Banyaknya bilangan bulat positif.

Contoh penulisan himpunan diskrit :

A = { 1, 2, 3, …, 10 } = {x; x bilangan bulat 1 ≤ x ≤ 10 }

2. KONTINU (Uncountable) / Tak hingga

Contoh : Banyaknya bilangan antara 0 dan 1

2

Contoh penulisan himpunan kontinu: B = {x; x himpunan bilangan 0 ≤ x ≤ 1 }

Teladan

6. Perhatikan pada teladan 1, maka merupakan kejadian munculnya sisi

genap dari percobaan tersebut. Demikian juga bila , maka merupakan

kejadian munculnya sisi kelipatan 3 dari percobaan tersebut.

7. Pada teladan 2, misalkan , maka merupakan kejadian

munculnya koin pertama selalu sisi .

8. Pada teladan 5, misalkan , yaitu merupakan

kejadian dengan jumlah sisi bernilai 6.

Untuk dua kejadian dan dari suatu ruang contoh , didefinisikan kejadian baru ,

yang terdiri dari semua anggota di atau atau keduanya dalam dan . Kejadian

disebut dengan gabungan kejadian dan .

Teladan

9. Perhatikan pada teladan 1, dan , maka

.

10. Pada teladan 2, misalkan dan maka

Dari dua kejadian dan dari suatu ruang contoh dapat juga dibentuk kejadian baru

yang merupakan irisan dari dan . Anggota pada ada di dalam dan .

Teladan

11. Perhatikan pada teladan 1, dan , maka .

12. Pada teladan 2, misalkan dan maka .

Pada dua kejadian dan dengan , kedua kejadian ini disebut sebagai kejadian

terpisah.

Pada gabungan dan irisan dua kejadian dan , dapat juga digeneralisasi untuk banyak

kejadian. Misalkan merupakan kejadian pada ruang contoh , maka gabungan

kejadian-kejadian tersebut dinotasikan dengan yang beranggotakan semua titik dalam

untuk sedikitnya satu nilai Demikian juga irisan kejadian-kejadian

tersebut , yang beranggotan semua titik yang ada dalam semua untuk

Untuk kejadian dapat juga didefinisikan kejadian baru yang merupakan komplemen

kejadian , yang beranggotakan semua titik dalam ruang contoh yang tidak terdapat dalam

.

Teladan

13. Perhatikan pada teladan 1, , maka , yaitu sisi dadu

yang muncul bernilai ganjil

14. Pada teladan 2, misalkan , maka , yaitu

sisi pertama yang muncul adalah .

3

Pada dua kejadian dan , bila semua titik berada di , maka dikatakan bagian

dari dan dinotasikan dengan atau ekivalen dengan . Jika dan maka

kejadian dan adalah sama dan ditulis dengan .

Penyajian secara grafis dari hubungan antara kejadian dapat menggunakan diagram Venn

seperti pada aljabar himpunan. Ruang contoh digambarkan sebagai semua titik dalam

persegi-panjang, dan kejadian , digambarkan sebagai semua titik dalam lingkaran di

dalam persegi-panjang. Kejadian-kejadian yang menjadi perhatian dapat ditandai dengan

arsiran pada daerah tertentu. Diagram Venn pada Gambar, daerah yang diwarnai berturut-

turut menunjukkan , , , , dan

(a) (b) (c)

(d) (e)

Gambar Diagram Venn

Hubungan yang sangat berguna antara gabungan, irisan, dan komplemen dikenal dengan

hukum DeMorgan, yaitu:

Operasi gabungan, irisan, dan komplemen pada kejadian sama dengan aturan pada aljabar

himpunan. Beberapa aturannya adalah:

a. Komutatif : ;

b. Asosiatif : ;

c. Distribusi : ;

4

HIMPUNAN PELUANG

(Aljabar Kejadian)

Tindakan (Trial)/

Eksperimen

Unsur (Element)

Unit Pengamatan

x

Peristiwa (Outcome)

Himpunan (Set) /

Gabungan dari Unsur

A

Kejadian (Event)

Himpunan Semesta

(Universum)

Himpunan meliputi semua

unsur yang diperhatikan

“Ada Pembatasan”

S

Ruang Contoh

(Sample Space)

Himpunan hasil yang

mungkin dari percobaan

Himpunan Kosong

(Empty Set)

Himpunan yang tidak ada

anggotanya

Kejadian Mustahil

(Impossible Event)

2.2. Cara Menghitung Ruang Contoh dan Ruang Kejadian

Beberapa cara yang dapat digunakan untuk mencacah dan menghitung banyaknya anggota

ruang contoh dan kejadian adalah :

2.2.1. Kaidah Penggandaan

Bila suatu percobaan menghasilkan kemungkinan hasil dan bila percobaan kedua dapat

menghasilkan kemungkinan hasil, maka kedua percobaan tersebut menghasilkan

kemungkinan hasil.

Prinsip dasar mencacah

Misalkan dilakukan dua percobaan. Bila percobaan ke-1 menghasilkan kemungkinan hasil

dan bila untuk setiap hasil dari percobaan ke-1 terdapat kemungkinan hasil dari percobaan

ke-2, maka secara bersama-sama terdapat kemungkinan hasil dari kedua percobaan

tersebut.

Prinsip dasar mencacah secara umum

Misalkan dilakukan percobaan. Bila percobaan ke- menghasilkan kemungkinan hasil

dan bila untuk setiap hasil dari percobaan ke- erdapat kemungkinan hasil dari percobaan

ke- , dan seterusnya bila untuk setiap hasil dari percobaan ke- terdapat

kemungkinan hasil dari percobaan ke- , maka secara bersama-sama terdapat kemungkinan hasil dari percobaan tersebut.

Prinsip perhitungan banyaknya cara pada percobaan ini didasarkan atas penggandaan dari

banyaknya cara dari masing-masing tahap maka prinsip ini disebut Hukum Penggandaan.

5

Teladan

15. Suatu panitia beranggotakan 4 orang akan dibentuk untuk kegiatan peringatan hari

kemerdekaan Republik Indonesia di kampus. Calon yang dipilih terdiri dari: 3 orang

mahasiswa tingkat-1, 4 orang tingkat-2 , 3 orang tingkat-3, dan 5 orang tingkat akhir.

Setiap tingkat diwakili satu orang. Berapa kemungkinan hasil yang berbeda dalam

membentuk panitia tersebut ?

Solusi: Banyaknya kemungkinan memilih mahasiswa tingkat-1 sebanyak 3, tingkat-2

sebanyak 4, tingkat-3 sebanyak 3, dan tingkat-4 sebanyak 5. Maka banyaknya

kemungkinan panitia adalah :

16. Berapa banyaknya kemungkinan yang berbeda dari nomor plat kendaraan terdiri atas

7 digit, dengan 3 digit pertama merupakan huruf dan sisanya angka?

Solusi: Banyaknya kemungkinan nomor plat kendaraan dihitung dengan prinsip

penggandaan yatu

2.2.2. Permutasi

Berapa banyak susunan yang berbeda dapat dibentuk dari huruf A, B, dan C ? Semua

kemungkinan susunannya adalah: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Jumlah susunan

yang berbeda sebanyak 6. Susunan ini disebut dengan permutasi. Hasil ini dapat juga

diperoleh dengan menggunakan prinsip penggandaan, yaitu obyek pertama dari permutasi

ada 3 kemungkinan, obyek kedua dapat dipilih dari sisanya yaitu 2, dan obyek ketiga dari

permutasi diperoleh dari sisanya yaitu 1. Sehingga terdapat permutasi.

Misalkan ada obyek yang berbeda, maka banyaknya permutasi adalah:

Bila dari huruf A, B, dan C dipilih dua secara acak dan diperhatikan susunannya.

Kemungkinan susunannya adalah: AB, AC, BC, BA, CB, CA. Jumlah susunan yang berbeda

permutasi.

Secara umum bila terdapat obyek yang berbeda dan diambil secara acak obyek, maka

banyaknya permutasi adalah:

Teladan

17. Seseorang mempunyai 10 buku berbeda yang terdiri atas matematika, kimia,

biologi, dan kamus. Buku-buku tersebut akan disusun sesuai kelompoknya. Berapa

banyaknya kemungkinan susunan berbeda ?

Solusi : banyaknya susunan buku matematika , kimia , biologi , dan kamus . Sehingga banyaknya permutasi dengan kelompok matematika, diikuti kimia, biologi,

dan kamus ada sebanyak . Sedangkan banyaknya permutasi

kelompok buku sebanyak . Sehingga banyaknya susunan

keseluruhan adalah

18. Suatu panitia yang terdiri dari 3 orang dengan rincian seorang sebagai ketua, seorang

sebagai sekretaris, dan seorang sebagai bendahara akan dipilih dari 6 orang kandidat

dengan ketentuan jabatan tidak boleh dirangkap. Berapa banyaknya kemungkinan

susunan panitia berbeda yang dapat dibentuk ?

6

Solusi: Banyaknya kemungkinan memilih ketua sebanyak 6, memilih sekretaris

sebanyak 5, dan memilih bendahara sebanyak 4 kemungkinan. Maka banyaknya

kemungkinan memilih panitia adalah:

kemungkinan

19. Berapa banyaknya susunan yang dapat dibentuk dari kata ?

Solusi: Banyaknya permutasi ada sebanyak , bila 3 dan 2

berbeda. perhatikan untuk susunan , antar huruf dan

dipermutasikan, akan dihasilkan susunan:

semuanya merupakan susunan , yaitu sebanyak permutasi. maka

banyaknya susunan

susunan yang berbeda dari .

Secara umum permutasi dari obyek yang terdiri dari jenis yang berbeda, dengan

obyek jenis- , obyek jenis ke- , dan obyek jenis- adalah:

Teladan

20. Misalkan terdapat 3 orang, katakanlah namanya A, B, dan C. Mereka akan duduk

mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa banyaknya kemungkinan susunan ?

Solusi : Permutasi melingkar hanya mempertimbangkan perbedaan posisi relatif suatu

obyek yang berada di samping kiri dan kanannya. Perhatikan ketiga gambar di

bawah ini:

Ketiga gambar memiliki posisi relatif yang sama, walaupun secara sekilas tampak

seperti susunan yang berbeda.

Banyaknya kemungkinan susunan duduk dari A, B, dan C adalah 2, yaitu :

Secara umum bila ada obyek yang berbeda disusun dalam melingkar, maka banyaknya

susunannya adalah

7

2.2.3. Kombinasi

Pada permutasi susunan/urutan benda diperhatikan. Kita sering tertarik hanya dalam

penentuan banyaknya grup yang beranggotakan obyek yang dapat dibentuk dari obyek.

Sebagai contoh, berapa banyaknya grup beranggota 3 yang dipilih dari 5 obyek A, B, C, D,

dan E? Untuk menjawabnya perhatikan uraian ini, karena ada 5 cara memilih obyek yang

pertama, berikutnya ada 4 cara, dan 3 cara untuk memilih obyek ketiga. Sehingga ada

kemungkinan susunan. Akan tetapi, perhatikan pada setiap grup tersebut, misalkan

obyek yang terpilih A, B, C, dihitung 6 kali (yaitu semua permutasi: ABC, ACB, BAC, BCA,

CAB, CBA). Sehingga banyaknya grup yang terbantuk adalah

Pemilihan obyek tanpa memperhatikan urutan disebut kombinasi.

Secara umum bila ada obyek yang berbeda, kemudian dipilih secara acak grup obyek,

maka banyaknya susunan . Setiap grup akan

dihitung . Sehingga banyaknya grup obyek yang dapat dibentuk dari obyek yang

berbeda adalah:

Notasi untuk kombinasi adalah

untuk . Sehingga

menyatakan

banyaknya kemungkinan memilih grup beranggota dari obyek yang berbeda.

Teladan

21. Suatu panitia yang terdiri atas 3 orang tanpa diperhatikan jabatannya, dipilih dari 20

orang. Berapa kemungkinan cara memilih panitia tersebut ?

Solusi: Banyaknya cara memilih 3 orang dari 20 orang tanpa memperhatikan

susunanya adalah:

kemungkinan.

22. Suatu tim dipilih dari 5 wanita dan 7 laki-laki. Berapa banyaknya cara memilih tim

yang terdiri dari 2 wanita dan 3 laki-laki, bila ada 2 orang laki-laki yang menolak

berada dalam satu grup ?

Solusi : Banyaknya memilih 2 wanita dar 5 wanita adalah , dan memilih 3 laki-

laki dari 7 laki-laki sebanyak , sehingga banyaknya cara memilih tim adalah

kemungkinan.

Perhatikan batasan bahwa 2 orang laki-laki menolak dalam satu tim. Cara memilihnya

ada 2 kemungkinan yaitu:

a. Dua orang laki-laki yang menolak, keduanya tidak dipilih dalam tim,

banyaknya kemungkinan:

b. Dari 2 orang laki-laki yang menolak dipilih satu orang dalam tim, banyaknya

kemungkinan:

8

Sehingga banyaknya cara memilih laki-laki dengan persyaratan tersebut sebanyak

, dan banyaknya cara memilih tim sebanyak

kemungkinan.

23. Misalkan dalam satu kotak antena televisi, terdapat rusak dan siasanya

yang berfungsi dengan baik dan diasumsikan semua yang rusak dan yang berfungsi

tidak dapat dibedakan. Berapa banyaknya susunan linier yang dapat dibentuk dengan

ketentuan tidak ada 2 antena rusak berturutan letaknya.

Solusi : Bayangkan ada yang berfungsi dengan baik diletakkan dalam satu

baris. Bila tidak boleh ada 2 antena rusak yang terletak bersebelahan, maka pada

setiap ruang antara antena yang berfungsi baik hanya dapat diletakkan satu antena

rusak. Ruang yang mungkin meletakkan antena rusak sebanyak posisi, dan

dipilih untuk menempatkan antena yang rusak (perhatikan Gambar...). Maka

banyaknya kemungkinan susunan linier dengan ketentuan tidak ada 2 antena rusak

berturutan letaknya sebanyak:

Identitas kombinasi yang sangat berguna adalah:

dengan .

Pembuktian analitik sebagai berikut: perhatikan anggota grup dengan r obyek. Pada grup

yang terbentuk ada yang beranggotakan obyek ke-1, dan ada yang tidak beranggota obyek ke-

1. Cara memilih grup dengan anggota yang mengandung obyek ke-1 sebanyak

dan

grup dengan anggota yang tidak mengandung obyek ke-1 sebanyak

.

Nilai disebut dengan koefisien binomial yang sangat terkenal dalam teorema binomial.

Teorema binomial :

2.2.4. Koefisien Multinomial

Misalkan dari obyek yang berbeda dibagi dalam grup dengan anggota masing-masing

grup adalah , , ..., dengan

. Berapa banyaknya kemungkinan

membaginya? Untuk menjawabnya, perhatikan banyaknya kemungkinan membagi dalam

grup-1 sebanyak

, untuk setiap pilihan grup-1 banyaknya kemungkinan membagi grup-2

9

sebanyak

, dan seterusnya sampai grup-r sebanyak

.

Sehingga banyaknya kemungkinan semuanya adalah:

Notasi

Jika , didefinisikan

sebagai:

Sehingga

menunjukkan banyaknya membagi obyek yang berbeda dalam

grup yang berbeda dengan anggota masing-masing grup bertutut-turut

Teladan

24. Bila 10 orang anak akan dibagi dalam 2 tim, yaitu A dan B, dengan masing-masing

beranggotakan 5 orang. Berapa kemungkinan cara membagi tim tersebut ?

Solusi: Banyaknya kemungkinan membagi :

2.2.5. Sebaran bola dalam wadah

Misalkan terdapat bola yang berbeda dan akan disebarkan dalam wadah yang berbeda.

Banyaknya kemungkinan sebanyak .

Teladan

25. Misalkan ada 3 buah benda yang akan ditempatkan pada dua tempat, yaitu A dan B.

Cara penempatan benda tersebut adalah: A berisi 0 dan B berisi 3, A berisi 1 dan B

berisi 2, A berisi 2 dan B berisi 1, atau A berisi 3 dan B berisi 0. Banyaknya

kemungkinan :

26. Misalkan ada 2 buah benda akan ditempatkan pada tiga buah tempat misalkan A, B,

dan C. Cara penempatan benda tersebut adalah:

,

,

,

,

,

Banyaknya kemungkinan :

10

Bila bola tersebut tidak dapat dibedakan satu sama lain. Pada kasus ini ada berapa

kemungkinan ? Penempatan benda ke dalam wadah dapat dinyatakan dalam vektor dengan menyatakan banyaknya bola dalam wadah- . Sehingga

permasalahan ini dapat disederhanakan menjadi: .

Untuk menghitungnya perhatikan terdapat satu baris benda yang tidak dapat dibedakan, dan

akan dibagi dalam yang tidak kosong (perhatikan Gambar)

Kita dapat memilih tempat dari tempat yang tersedia. Sebagai contoh misalkan

dan dan salah satu pemilihan pembagi tempat sebagai berikut:

maka nilai , , dan .

Sehingga banyaknya kemungkinan membagi yang tidak dapat dibedakan ke dalam wadah

adalah

Preposisi 1

Terdapat

nilai bulat positif yang berbeda dari vektor yang

memenuhi: dengan ,

Untuk mendapatkan solusi taknegatif (sebagai lawan positif), banyaknya solusi taknegatif

sama dengan banyaknya solusi positif dari

(yaitu dengan menyatakan , , ), sehingga dari preposisi di atas

diperoleh preposisi 2 berikut ini:

Preposisi 2

Terdapat

nilai bulat taknegatif yang berbeda dari vektor yang

memenuhi:

Teladan

27. Berapa banyaknya solusi bilangan bulat taknegatif dari ?

Solusi :

, yaitu , , , dan .

28. Seorang investor mempunyai 20 ribu $ yang akan diinvestasikan dalam 4 macam

proyek. Setiap investasi dalam satuan ribu $. Jika 20 ribu $ diinvestasikan semuanya,

ada berapa kemungkinan cara menginvestasikan? Berapa cara bila tidak semua uang

diinvestasikan?

11

Solusi: Misalkan menyatakan jumlah uang (ribu $) yang diinvestasikan pada

proyek- dengan , maka banyaknya kemungkinan nilai yang

memenuhi dengan adalah:

kemungkinan investasi.

Bila tidak semua uang diinvestasikan, maka tambahkan sebagai cadangan, maka

banyaknya kemungkinan nilai yang memenuhi dengan adalah:

kemungkinan investasi.

3. Aksioma Peluang

Definisi klasik peluang suatu kejadian adalah frekuensi relatif antara banyaknya kejadian

yang muncul terhadap semua kemungkinan yang muncul dari suatu percobaan. Misalkan

suatu percobaan tentang pelemparan sekeping dadu yang setimbang. Ruang contoh dari

percobaan ini adalah . Banyaknya anggotanya sebesar . Suatu

kejadian didefinisikan sebagai sisi genap yang muncul dari percobaan tersebut, maka

himpunan kejadian adalah . Peluang kejadian muncul sebesar

Pada definisi klasik ini setiap anggota ruang contoh mempunyai peluang yang sama untuk

muncul atau mempunyai peluang yang seragam, yaitu

.

Pada percobaan di atas, bila yang diperhatikan adalah munculnya sisi genap dan ganjil dari

dadu tersebut maka ruang contoh dapat dinyatakan sebagai . Sehingga

penulisan anggota ruang contoh tidak unik, akan tetapi banyaknya anggota unik.

Pada definisi peluang klasik memiliki beberapa kelemahan. Pada percobaan di atas

diasumsikan dadu tersebut setimbang sehingga setiap sisi mempunyai peluang yang sama

untuk timbul. Pada kenyataannya persyaratan ini tidak mudah dipenuhi. R. Von Mises

(1883-1953) dan R.A Fisher (1890-1962) mengemukakan definisi Empirik/Frekuensi Nisbi

suatu kejadian. Peluang suatu kejadian berkaitan dengan sekuens hasil percobaan yang

diulang takhingga kali.

dengan adalah frekuensi kejadian muncul dalam percobaan bebas yang dilakukan.

Untuk yang sangat besar, nilai

akan konvergen ke suatu nilai tertentu maka nilai ini

disebut peluang kejadian .

Misalkan pada percobaan di atas, dadu dilempar sebanyak 1000 kali. Hasil percobaan

sebagai berikut :

sisi 1 2 3 4 5 6

Frekuensi 166 169 165 167 169 164

12

maka peluang untuk masing-masing sisi sebuah dadu adalah :

sisi 1 2 3 4 5 6

Peluang

sehingga peluang kejadian adalah

Batasan peluang dikemukakan oleh Kolmogorov dikenal dengan defini peluang secara

aksiomatik. Peluang adalah suatu fungsi yang memetakan anggota ruang contoh ke suatu

gugus bilangan nyata dan memenuhi ketiga aksioma peluang, yaitu :

1. Bernilai tak negatif, ;

2. Bernorma satu, ;

3. Bersifat aditif, yaitu

, jika untuk

4. Beberapa preposisi sederhana

Pada subbab ini akan dibahas tentang beberapa preposisi sederhana yang terkait dengan peluang.

Kejadian dan bersifat saling terpisah dan . dengan menggunakan Pada

aksioma 2 dan 3, yaitu .

Preposisi 3

Teladan

29. Perhatikan pada Teladan 1, peluang mendapatkan sisi ganjil adalah

Proposisi keempat menyatakan bahwa jika kejadian berada di dalam kejadian , maka

peluang kejadian tidak lebih besar dari peluang kejadian .

Preposisi 4

Jika , maka

Preposisi dapat dibuktikan sebagai berikut: Nyatakan kejadian sebagai .

sehingga kejadian dan bersifat saling terpisah, maka

sedangkan , sehingga

Preposisi 5 menyatakan hubungan peluang dari gabungan dua kejadian sebagai peluang

masing-masing kejadian dan irisannya.

Preposisi 5

13

Untuk mendapatkan formula terlebih dulu nyatakan sebagai gabungan dari

dua kejadian yang terpisah, yaitu dan diperoleh

sedangkan , dari aksioma 3 diperoleh

atau ekivalen dengan

maka

Teladan

30. Misalkan dua uang logam dilempar dan setiap anggota ruang contoh

mempunyai peluang yang sama yaitu masing-

masing

. Misalkan kejadian menyatakan sisi pada uang logam

pertama dan menyatakan sisi pada uang logam kedua .

Dengan proposisi 3 diperoleh:

Peluang dapat juga dihitung langsung, yaitu:

Proposisi 5 dapat dikembangkan untuk 3 kejadian misalkan , , dan .

dengan preposisi 3 diperoleh

dengan menggunakan aturan distribusi kejadian sama dengan , sehingga

Preposisi 6

Penjumlahan

diberlakukan untuk semua

kemungkinan dengan ukuran dari dari bilangan .

14

5. Ruang contoh dengan peluang sama

Percobaan secara alamiah mengasumsikan semua hasi yang muncul dalam ruang contoh

mempunyai peluang yang sama untuk terjadi. Misalkan suatu percobaan dengan ruang contoh

merupakan himpunan berhingga, dinyatakan . Peluang setiap titik

contohnya adalah

. Menurut aksioma 3, untuk

kejadian , maka

, dengan menyatakan banyaknya anggota ruang contoh dan

menyatakan banyaknya anggota kejadian.

Teladan

31. Pada teladan 5, tentukan peluang kejadian dengan jumlah kedua sisi dadu bernilai 6.

Solusi :

, maka

32. Sebuah wadah berisi 6 bola putih dan 5 bola hitam, 3 bola diambil secara acak.

Berapa peluang bola yang terambil satu berwarna putih dan sisanya warna hitam?

Solusi :

Bila bola diambil satu persatu, maka , dan . Sehingga peluang terpilihnya 1 bola putih dan 2 bola hiatm sebesar:

.

Peluang tersebut dapat juga diperoleh dengan cara pengambilan 3 bola sekaligus

tanpa memperhatikan susunannya, maka

, dan

, sehingga peluang kejadian tersebut sebesar:

33. Sebuah komite terdiri atas 5 orang dipilih secara acak dari suatu grup yang terdiri dari

6 laki-laki dan 9 wanita. Bila pemilihan dilakukan secara acak, berapa peluang komite

tersebut terdiri dari 3 laki-laki dan 2 wanita?

Solusi :

dan

,

sehingga peluang terpilihnya 3 laki-laki dan 2 wanita dalam komite tersebut sebesar:

34. Diketahui pada kotak I (K1) terdapat 4 bola merah dan 3 bola hitam dan pada kotak kedua

(K2) terdapat 3 bola Merah dan 4 bola hitam. Suatu percobaan dilakukan sebagai berikut:

ambil satu bola secara acak dari K1 dan bola tersebut dimasukkan ke dalam K2. Kemudian

satu bola diambil secara acak dari K2. Berapa peluang bola dari K2 tersebut

berwarna hitam?

Solusi:

15

Bola yang terplih dari K1 ada dua kemungkinan : hitam atau merah. Bila dari K1

terambil bola merah maka pada K2 bola merah menjadi 4 dan bila yang terambil dari

K1bola hitam maka pada K2 bola hitam menjadi 5.

35. Rombongan tur yang terdiri dari 5 orang memilih tempat untuk menginap pada 3

hotel yang berbeda. Berapa peluang kelimanya menginap di hotel yang sama ?

Berapa peluang ada 1 hotel yang tidak dipilih?

Solusi :

a. Ruang contoh = 35= 243. Peluang kelimanya menginap di hotel yang sama sebesar:

b. Peluang bahwa ada 1 hotel yang tidak dipilih adalah:

6. Peluang Bersyarat

Subbab ini merupakan bagian penting dari teori peluang yaitu peluang bersyarat. Konsep ini

sangat bermanfaat untuk menghitung peluang bila sebagian tentang sebagian hasil percobaan

diketahui dan dapat digunakan untuk menghitung peluang yang diinginkan menjadi lebih

mudah.

Peluang bersyarat digunakan untuk menghitung peluang suatu kejadian bila kejadian lain

telah terjadi. Misalkan dua dadu digulirkan dan misalkan hasil percobaan mempunyai

peluang yang sama, sehingga peluangnya masing-masing ialah

. Misalkan pada dadu

pertama sisi yang muncul mata 3. Dengan diketahuinya informasi ini, berapa peluang bahwa

jumlah kedua mata dadu yang muncul sama dengan 8? Bila diketahui bahwa pada dadu

pertama muncul mata 3, maka kemungkinan sisi yang muncul pada kedua dadu ada 6

kemungkinan, yaitu (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), dan (3,6). Dengan kata lain, bila dadu

pertama muncul mata 3, maka peluang (bersyarat) masing-masing hasil-percobaan (3,1),

(3,2), (3,3), (3,4), (3,5), dan (3,6) ialah

, Sedangkan peluang (bersyarat) 30 titik lainnya di

dalam ruang contoh ialah 0. Jadi peluang yang diinginkan ialah

.

Jika menyatakan kejadian jumlah dua sisi dadu 8, sedangkan adalah kejadian bahwa

dadu pertama muncul mata 3, maka peluang yang baru diperoleh di atas disebut sebagai

peluang bersyarat terjadinya bila diketahui telah terjadi, dan dilambangkan sebagai

Bila kejadian telah terjadi, maka agar kejadian terjadi, maka kejadian yang

sesungguhnya merupakan sebuah titik yang sekaligus berada di dan , atau harus berada

16

di dalam . Karena kejadian telah terjadi, haruslah menjadi ruang contoh yang

baru. Sehingga peluang terjadinya kejadian sama dengan peluang relatif

terhadap peluang kejadian , dan dirumuskan sebagai:

untuk .

Peluang Bersyarat

Peluang bersyarat terjadinya kejadian bila diketahui telah terjadi, dan dilambangkan

sebagai didefinisikan sebagai:

untuk

Teladan

36. Sekeping uang logam dilemparkan dua kali. Jika diasumsikan bahwa keempat titik di

dalam ruang contoh berpeluang muncul sama,

berapakah peluang bersyarat kedua lemparan itu menghasilkan sisi gambar, bila

diketahui lemparan pertama menghasilkan sisi gambar?

Solusi: Jika menyatakan kejadian bahwa kedua lemparan menghasilkan

sisi gambar, dan kejadian bahwa lemparan pertama

menghasilkan sisi gambar, maka peluang kedua lemparan itu menghasilkan sisi

gambar adalah:

Formula peluang bersyarat juga dapat ditulis sebagai:

Peluang kejadian sama dengan peluang kejadian dikalikan dengan peluang kejadian

setelah kejadian terjadi. Formula ini disebut sebagai kaidah penggandaan.

Teladan

37. Misalkan sebuah kantung berisi 8 kelereng merah dan 4 kelereng putih. Dari kantung

tersebut diambil secara acak 2 kelereng tanpa pengembalian. Jika diasumsikan bahwa

peluang setiap kelereng terambil mempunyai peluang yang sama, berapa peluang

bahwa kedua kelerang yang terambil berwarna merah?

Solusi:

Misalkan dan masing-masing menyatakan kejadian terambilnya kelereng

berwarna merah pada ambilan pertama dan ambilan kedua. Bila telah diketahui

kelereng merah pada ambilan pertama, maka dalam kantung tersebut tersisa ialah 7

17

kelereng merah dan 4 kelereng putih, sehingga

. Sedangkan peluang

kelereng merah pada ambilan pertam adalah

, maka peluang terpilihnya

dua kelerang warna merah adalah

Peluang ini juga dapat dihitung dengan rumus: =

38. Jika ada pesawat datang, maka radar mampu mendeteksi secara tepat dengan peluang

0.99. Jika tidak ada pesawat, radar salah mendeteksi (menyatakan ada pesawat)

dengan peluang 0.1. Diasumsikan bahwa peluang sebuah pesawat asing masuk ke

wilayah kita sebesar 0.05. Tentukan besarnya peluang salah sinyal (tidak ada pesawat

tetapi radar mendeteksinya) dan salah deteksi (ada pesawat tapi radar menyatakan

tidak ada).

Solusi:

Misalkan adalah kejadian pesawat asing memasuki wilayah dan adalah kejadian

radar mendeteksi adanya pesawat. Diketahui , dan

= 0.1. Peluang salah sinyal yaitu:

;

dan peluang salah deteksi yaitu:

Misalkan kita mengambil secara acak 3 kartu dari seperangkat kartu bridge yang terdiri atas

52 kartu. Berapa peluang tidak satupun dari ketiganya merupakan kartu hati? Misalkan

adalah kejadian kartu pertama bukan hati, adalah kejadian kartu kedua bukan hati, dan

adalah kejadian kartu ketiga bukan hati. Maka

Misalkan adalah kejadian-kejadian sedemikian sehingga , maka

Teladan

39. Murid kelas X terdiri dari 12 siswi dan 4 siswa. Kelas tersebut dibagi menjadi 4

kelompok yang masing-masing beranggotakan 4 orang. Berapa peluang setiap

kelompok memiliki seorang siswa?

Solusi:

Misalkan didefinisikan kejadian-kejadian berikut:

= {siswa pertama dan kedua berada pada grup yang berbeda}

= {siswa pertama, kedua, dan ketiga berada pada grup yang berbeda}

= {siswa pertama, kedua, ketiga, dan keempat berada pada grup yang berbeda}

18

Peluang masing-masing kejadian adalah:

adalah kejadian siswa pertama dan kedua berada pada grup yang berbeda.

Andaikan kita tetapkan posisi salah satunya. Maka siswa kedua memiliki 15 tempat

yang mungkin, dan 12 diantaranya berbeda grup dengan siswa pertama. Jadi

.

Sekarang asumsikan bahwa siswa pertama dan kedua sudah berada pada kelompok

yang berbeda. Untuk siswa yang ketiga ada 14 tempat, dan 8 tempat untuk kelompok

yang berbeda. Jadi

.

Selanjutnya orang keempat punya 13 tempat kosong, dan 4 diantaranya berbeda grup

dengan tiga lainnya. Jadi

Dengan demikian peluang setiap kelompok memiliki seorang siswa adalah:

40. Kotak A berisi 3 kelereng merah dan 4 kelereng biru. Kotak B berisi 4 kelereng merah

dan 3 kelereng biru, sedangkan Kotak C berisi 2 kelereng merah dan 3 kelereng biru.

Percobaan dilakukan sebagai berikut: pertama ambil satu kelereng dari kotak A dan

dimasukkan ke kotak B, kedua ambil satu kelereng dari kotak B dan dimasukkan ke

kotak C, ketiga ambil satu kelereng dari Kotak C. Berapa peluang mendapatkan

kelereng merah dari ketiga ambilan tersebut?

Solusi:

Pada saat awal kotak A berisi 3 kelereng merah dan 4 biru sehingga

.

Kotak B mendapatkan tambahan 1 kelereng merah dari kotak A, sehingga ada 5

kelerang merah dan 3 kelereng biru, sehingga

. Akhirnya Kotak C

mendapatkan tambahan 1 kelereng merah sehingga ada 3 kelerang merah dan 3

kelereng biru, sehingga

. Sehingga

7. Formula Bayes

Misalkan kejadian dan . Kejadian dapat dinyatakan sebagai , Kejadian dan bersifat terpisah, sehingga dengan menggunakan aksioma ke

3 dari peluang diperoleh

(1)

Formula ini menyatakan bahwa peluang kejadian merupakan rataan terboboti peluang

bersyarat dari kejadian setelah terjadi.

19

Teladan

41. Sebuah perusahaan asuransi mengetahui bahwa masyarakat terbagi dalam kelompok,

yaitu kelompok cenderung mengalami kecelakaan dan kelompok yang tidak

mengalami kecelakaan. Statistik perusahaan menunjukkan bahwa orang yang

cenderung mengalami kecelakaan akan mengalami kecelakaan pada suatu waktu

dalam kurun waktu 1 tahun dengan peluang 0.4, sedangkan peluang ini turun menjadi

0.2 untuk yang tidak cenderung mengalami kecelakaan. Bila diasumsikan bahwa 30

persen populasi cenderung mengalami kecelakaan, berapa peluang bahwa seorang

pemegang polis baru akan mengalami kecelakaan dalam waktu setahun sejak ia

membeli polis tersebut.

Solusi: Misalkan kejadian menyatakan kejadian bahwa pemegang polis akan

mengalami kecelakaan dalam periode satu tahun sejak membeli polis, dan misalkan

adalah kejadian bahwa pemegang polis itu cenderung mengalami kecelakaan. Maka

peluang sebesar:

42. Kantung I berisi 2 kelereng putih dan 4 kelereng merah, sedangkan kantung II berisi 1

kelereng putih dan 1 kelereng merah. Sebuah kelereng diambil secara acak dari

kantung I dan dimasukkan ke dalam kantung II, dan kemudian sebuah kelereng di

ambil secara acak dari kantung II. Berapa peluang terambilnya kelereng putih dari

kantung II?

Solusi:

Misalkan adalah kejadian terambilnya kelereng putih dari kantung I, dan adalah

kejadian terambilnya kelereng putih dari kantung II. Maka

Persamaan (1) dapat digeneralisasi untuk kejadian yang saling terpisah

sehingga

.

Suatu kejadian dalam ruang contoh dapat dinyatakan sebagai gabungan kejadian yang

terpisah, yaitu:

Maka peluang kejadian adalah:

Misalkan kejadian telah terjadi, peluang salah satu kejadian yang juga muncul adalah

Persamaan ini dikenal sebagai rumus Bayes, yang diberi nama mengikuti penemunya

Thomas Bayes, seorang filsuf berkebangsaan Inggris.

20

Teladan

43. Tiga anggota sebuah organisasi telah dicalonkan sebagai ketua. Peluang tuan Adam

terpilih adalah 0.3, peluang tuan Brown terpilih adalah 0.5, dan peluang Nyonya

Cooper terpilih adalah 0.2. Seandainya Tuan Adams terpilih, peluang terjadinya

kenaikan iuran anggota naik adalah 0.8. Seandainya Tuan Brown atau Nyonya Cooper

terpilih peluang kenaikan iuran anggota masing-masing adalah 0.1 dan 0.4. Ternyata

iuran anggota naik, berapa peluang Nyonya Cooper menjadi ketua terpilih bagi

organisasi tersebut ?.

Solusi:

Peluang Adam terpilih =P(A)=0.3

Peluang Brown terpilih = P(B) = 0.5

Peluang Cooper terpilih = P(C) = 0.2

Peluang iuran naik bila Adam terpilih = P(N|A)= 0.8

Peluang iuran naik bila Brown terpilih= P(N|B)= 0.1

Peluang iuran naik bila Cooper terpilih = P(N|C) = 0.4

Peluang Cooper terpilih bila ternyata iuran telah naik= P(C|N) ?

44. Jika ada pesawat datang, radar mampu mendeteksi secara tepat dengan peluang 0.9.

Jika tidak ada pesawat, radar salah mendeteksi (menyatakan ada pesawat) dengan

peluang 0.1. Asumsikan bahwa peluang sebuah pesawat asing masuk ke wilayah kita

sebesar 0.05. Diketahui bahwa P(A) = 0.05 P(R|A) = 0.9 dan P(R|Ac) = 0.1. Jika

diketahui bahwa radar mendeteksi adanya pesawat, berapa peluang pesawat tersebut

benar-benar telah memasuki wilayah yang bersangkutan?

Solusi:

8. Kejadian Bebas

adalah peluang bersyarat dari kejadian bila kejadian telah terjadi, secara umum

tidak sama dengan , peluang kejadian (tidak bersyarat) kejadian . Dengan kata lain,

informasi tentang kejadian telah terjadi, akan mengubah peluang terjadinya kejadian .

Dalam kasus bila sama dengan , dikatakan bahwa kejadian bebas dengan

kejadian . Artinya, kejadian bebas terhadap kejadian bila informasi tentang telah

terjadi tidak mengubah peluang terjadinya kejadian .

Kejadian bebas dengan kejadian bila

21

Dua kejadian dan dikatakan bebas, jika

Jika kejadian dan bebas, maka kejadian dan juga bebas.

Misalkan dan bebas. Kejadian dapat dinyatakan sebagai : dengan dan merupakan kejadian yang saling terpisah, sehingga

atau dapat dinyatakan bahwa

Teladan

45. Perhatikan pelemparan dadu bersisi-6 setimbang sebanyak 2 kali. Jika adalah

kejadian mendapatkan mata dadu 2 pada pelemparan pertama dan adalah kejadian

mendapatkan mata dadu 3 pada pelemparan kedua. Apakah kejadian dan bersifat

bebas?

Solusi:

dan

Dengan demikian

dan

maka

Ternyata

maka kejadian dan bersifat saling bebas

46. Percobaan sama dengan teladan 31. Misalkan adalah kejadian nilai maksimum

mata dadu yang muncul dari dua kali lemparan adalah 2. Kejadian adalah kejadian

nilai minimum mata dadu yang muncul dari dua kali lemparan adalah 2. Apakah

kejadian dan bersifat bebas?

Solusi:

dan

.

maka

Ternyata

maka kejadian dan bersifat saling bebas

Tiga kejadian , dan dikatakan bebas jika dipenuhi

a. b. c. d.

22

Secara umum kejadian dikatakan saling bebas jika untuk sembarang

anak gugus berlaku

Teladan

47. Misalkan sebuah dadu bersisi enam dilemparkan dua kali. Kejadian adalah angka

yang muncul pada dadu pertama adalah 1, 2, 3, kejadian adalah angka yang muncul

pada dadu pertama adalah 3, 4, 5 dan adalah kejadian jumlah angka kedua dadu

bernilai 9. Apakah kejadian , dan bebas ?

Solusi:

Maka kejadian , dan tidak bebas.

48. Misalkan sebuah percobaan melemparkan sebuah mata uang yang setimbang dua kali.

Kejadian adalah munculnya sisi muka lemparan pertama, adalah munculnya sisi

muka lemparan kedua, dan adalah kejadian sisi yang muncul berbeda. Apakah

kejadian , dan bebas ?

Solusi:

, ,

, , ,