TUGAS UAS KOMPUTERRuang-Ruang Vektor Kompleks

Oleh : PamujiNim : 2014220012

Program Studi Pendidikan MatematikaFakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan

1

1 BILANGAN KOMPLEKS

Sampai saat ini kita hanya memandang ruang-ruanag vektor yang saklar-saklarnya berupa bilangan rill. Akan tetapi, banyak penerapan penting darivektor menghendaki dibolehkanya saklar-saklar berupa bilangan kompeks.Ruang vektor yang membolehkan saklar kompleks disebut ruang vektor kom-pleks, dan yang hanya membolehkan saklar rill saja disebut matriks denganelemen(entri) saklar mempunyai nilai-nilai eigen, yang tidak benar jika yangdibolehkan hanya saklar rill.misalnya matriks

A =

[ 2 15 2

](1)

mempunyai polinom karakteristik

det(I A) = det[+ 2 15 2

]= 2 + 1 (2)

sehingga persamaan karakteristik 2 + 1 = 0, tidak mempunyai penyelesaianrill dan karena itu tidak terdapat nilai eigen rill.dalam tiga pasal yang pertama dari bab ini kita akan menelaah ulang be-berapa sifat dasar bilangan kompleks, dan dalam pasal-pasa selanjutnya kitaakan bahsa ruang vektor kompleks.karena

x2 > 0untuk setiap bilangan rill x, persamaan

x2 = 1 (3)tidak mempunyai penyelesaian rill. untuk menangani masalah ini matem-atikawan abad ke delapan belas memperkenalkan bilangan imajiner(khayal).

i =1 (4)

yang mereka asumsikan mempunyai sifat

i2 = (1)2 = 1 (5)

sehingga dengan demikian dapat diperlakukan sebagai bilangan rill, Ekspresibentuk

a+ bi

2

dengan a dan b merupakan bilangan-bilangan rill yang disebut bilangankompleks dan ini diperlakukan sesuai dengan aturan-aturan hitungan bakudengan tambahan sifat bahwa i2 = 1.sejak awal abad kesembilan belas dikenal bahwa bilangan kompleks

a+ bi

dapat dipandang sebagai lambang alternatif untuk pasangan terurut bilanganrill

(a, b)

dan bahwa operasi-operasi penambahan, pengurangan, perkalian, dan pem-bagian dapat didefinisikan pada pasangan-pasangan terurut ini sehingga berlakuhukum-hukum hitungan yang umum dari i2 = 1. inilah pendekatan yangkita ikuti.

Definisi. Bilangan Kompleks adalah suatu pasangan terumit bilanganrill, yang dinyatakan oleh (a, b) atau (a+ bi).Contoh 1Beberapa contoh bilangan kompleksdalam kedua notasi itu adalah :

Pasangan Terurut Notasi Ekivalen(3,4) 3 + 4i(-1,2) 1, 2i(0,1) 0 + i(2,0) 2 + 0i(2,-2) 4 + (2)i

Untuk kemudian, tiga bilangan kompleks yang terakhir biasanya akan dis-ingkat sebagai

0 + i = i2 + 0i = 24 + (2)i = 4 2isecara geometris bilangan kompleks dapat ditinjau sebagai titk ataupun

vektor di bidang xy(gambar1.1)

Figure 1: Gambar 1.1

3

Contoh 2Beberapa bilangan kompleks diperlihatkan sebagai titik dalam Gambar1.2adan sebagai vektor-vektor dalam Gambar1.2b. Kadang-kadang lebih memu-

Figure 2: Gambar 1.2

dahkan menggunakan huruf tunggal, seperti misalnya z, untuk menyatakanbilangan kompleks, Jadi kita boleh menuliskan

z = a+ bi

Bilangan ril a disebutbagian rill z dan bilangan rill b disebut bagian ima-jiner z. Bilangan-bilangan ini masing-masing dinyatakan oleh Re(z) danIm(z).Jadi,

Re(4 3i) = 4 dan Im(4 3i)= -3Bilamana bilangan kompleks dinyatakan secara geometris dalam sistem koor-dinat xy, maka sumbux disebut sumbu rill , sumbuy disebut sumbuimajiner , dan bidangnya disebut bidang kompleks(Gambar 1.3). samahalnya seperti dua vektor di R2 yang di definisikan adalah sama jika kedu-anya mempunyai komponen sama, sehingga kita mendefinisikan dua bilangankompleks adalah sama jika bagian-bagian riilnya sama dengan bagian-bagianimajinernya sama:Definisi. Dua bilangan kompleks, a + bi dan c + di, didefinisikan sama ,dituliskan a+ bi = c+ dijika a = c dan b = djika b = 0, maka bilangan kompleks a + bi mengecil menjadi a + Oi, yangcukup kita tuliskan sebagai a, jadi untuk sebarang bilangan riil a,

a = a+Oi

4

Figure 3: Gambar 1.3

sehingga dengan demikian bilangan riil dapat dipandang sebagai bilangankompleks dengan bagian imajiner nol. Secara geometris, bilangan riil bers-esuaian dengan titik pada sumbu riil. Jika a = 0, maka a + bi mengecilmenjadi 0 + bi, yang biasanya kita tuliskan sebagai bi. Bilangan-bilangankompleks ini, yang bersesuaian dengan titik-titik pada sumbu imajiner dise-but bilangan imajiner murni

5