2 Solution Separable

28
Separable Differential Equation Separable Differential Equation Definisi Banyak Persamaan Diferensial (PD) orde 1 disederhanakan dalam bentuk: ) ( ' ) ( x f y y g = Sering dituliskan dalam bentuk lain yang lebih dikenal: dx x f dy y g ) ( ) ( = Disebut separable karena variabel x dan y dipisahkan sehingga x muncul di ruas kanan sedang y muncul di sebelah kiri.

Transcript of 2 Solution Separable

Page 1: 2 Solution Separable

Separable Differential EquationSeparable Differential Equation

Definisi

� Banyak Persamaan Diferensial (PD) orde 1 disederhanakan

dalam bentuk:

)(')( xfyyg =

� Sering dituliskan dalam bentuk lain yang lebih dikenal:

dxxfdyyg )()( =

� Disebut separable karena variabel x dan y dipisahkan

sehingga x muncul di ruas kanan sedang y muncul di sebelah

kiri.

Page 2: 2 Solution Separable

� Pengintegralan kedua sisi menghasilkan:

cdxxfdyyg += ∫∫ )()(

Contoh 1

� Selesaikan PD berikut:

04'9 =+ xyy

Penyelesaian:

� Dengan cara pemisahan variabel:

xdxydy 49 −=

Page 3: 2 Solution Separable

� Pengintegralan kedua sisi menghasilkan jawaban umum:

cxy ~22

9 22 +−= atau cyx

=+49

22

=

~cc

=18

cc

� Jawaban menunjukkan sebuah famili dari ellips.

Page 4: 2 Solution Separable

Contoh 2

� Selesaikan PD berikut:

21' yy +=

Penyelesaian:

� Dengan cara pemisahan variabel dan pengintegralan: � Dengan cara pemisahan variabel dan pengintegralan:

dxy

dy=

+ 21cxy +=arctan

)tan( cxy +=

Page 5: 2 Solution Separable

Contoh 3

� Selesaikan PD berikut:

xyy 2' −=

Penyelesaian:

� Dengan cara pemisahan variabel dan integral: � Dengan cara pemisahan variabel dan integral:

xdxy

dy2−=

cxy ~ln 2 +−=

Page 6: 2 Solution Separable

cxey~2+−=

� Karena ea+b = eaeb dan dengan seting:

0yuntuk dan 0yuntuk ~~

<−=>= cece cc

2xcey −= cey =� Jawaban merupakan keluarga fungsi “bell-shaped curves”.

Page 7: 2 Solution Separable

Initial Value Problem

� Pada kebanyakan aplikasi di bidang rekayasa, kita tidak

tertarik pada solusi umum dari persamaan diferensial tetapi

pada solusi khusus y(x) yang memenuhi kondisi awal (initial

condition), misalnya pada kondisi titik x0 solusi y(x)

dinyatakan oleh y0:

)( yxy = 00 )( yxy =

� Persamaan Diferensial orde-1 bersama dengan syarat awal ini

disebut initial value problem.

� Untuk menyelesaikan problem seperti ini, kita harus

menemukan solusi khusus dari persamaan yang memenuhi

syarat awal yang diberikan.

Page 8: 2 Solution Separable

Contoh 4

� Selesaikan initial value problem berikut:

1)0( ,01')1( 22 ==+++ yyyx

Penyelesaian:

� Langkah 1. Penyelesian PD dengan cara pemisahan variabel: � Langkah 1. Penyelesian PD dengan cara pemisahan variabel:

22 11 x

dx

y

dy

+−=

+� Dengan integrasi kita dapatkan:

cxy +−= arctanarctan

cxy =+ arctanarctan

Page 9: 2 Solution Separable

� Kedua ruas diambil tan-nya:

( ) cxy tanarctanarctantan =+

� Formula untuk tan:

( )ba

baba

tantan1

tantantan

−+

=+ba tantan1−

� Ambil:

xbya arctandan arctan ==

( )xy

xyxy

−+

=+1

arctanarctantan

Page 10: 2 Solution Separable

cxy

xytan

1=

−+

� Langkah 2. Penggunaan initial condition.

� Kita tentukan c dari initial condition.

� Setting x = 0 dan y = 1, kita dapatkan 1 = tan c.

11

=−+xy

xy

x

xy

+−

=1

1

Page 11: 2 Solution Separable

Modeling: Separable Equation

� Modeling berarti penyusunan model matematika dari

problem fisis atau sistem.

Contoh 1 (Newton’s law of cooling)

� Sebuah bola tembaga dipanaskan sampai suhu 1000C. Pada

saat t = 0 bola tersebut ditempatkan ke dalam air yang

dipertahankan pada suhu 300C. Pada akhir 3 menit, suhu bola dipertahankan pada suhu 300C. Pada akhir 3 menit, suhu bola

berkurang ke 700C. Carilah waktu dimana suhu bola

berkurang pada 310C.

Informasi fisis:

� Eksperimen menunjukkan bahwa waktu laju perubahan suhu bola sebanding

terhadap perbedaan antara T dan suhu medium sekeliling.

� Eksperimen juga menunjukkan bahwa panas mengalir cepat dalam tembaga

sedemikian hingga pada setiap saat suhu sama di semua titik dalam bola.

Page 12: 2 Solution Separable

Penyelesaian:

� Langkah 1. Modeling.

Untuk sistem kita, formulasi matematika untuk hukum

pendinginan dari Newton:

)30( −−= Tkdt

dT

dt

di mana kita gunakan konstanta kesebandingan k sehingga k>0.

� Langkah 2. Solusi Umum.

Solusi umum di atas diperoleh dengan pemisahan variabel:

30)( += ktcetT

Page 13: 2 Solution Separable

� Langkah 3. Gunakan initial condition.

Initial condition adalah T(0)=100. Solusi khusus untuk kondisi

ini:

3070)( += −ktetT

� Langkah 4. Gunakan informasi lebih lanjut.

Konstanta k dapat dicari dari informasi yang diberikan, Konstanta k dapat dicari dari informasi yang diberikan,

T(3)=70.

703070)3( 3 =+= − keT

1865.04

7ln

3

1==k

Page 14: 2 Solution Separable

� Dengan menggunakan nilai k ini, kita dapatkan temperatur

T(t) dari bola adalah:

3070)( 1865.0 += − tetT

� Untuk T=310C akan dicapai pada saat:

70ln1865.0atau 170 1865.0 ==− te t

78.221865.0

70ln==t

� Akan dicapai setelah kira-kira 23 menit.

Page 15: 2 Solution Separable

Contoh 2 (Aliran air melalui orifice/Torricelli’s law)

� Sebuah tanki silindris dengan tinggi 1.5 m berdiri dengan

diameter dasar berupa lingkaran dengan diameter 1 m pada

awalnya berisi air. Pada dasar tanki terdapat lubang dengan

diameter 1 cm dan terbuka suatu saat dan air mulai mengalir

akibat pengaruh gravitasi. Carilah tinggi h(t) dari air dalam

tanki untuk sembarang waktu t. Hitunglah waktu dimana air

dalam tanki menjadi ½ , ¼ penuh dan saat kosong. dalam tanki menjadi ½ , ¼ penuh dan saat kosong.

Page 16: 2 Solution Separable

Penyelesaian:

� Langkah 1. Modeling.

Untuk sistem kita, formulasi model matematika persamaan

diferensial dari problem fisisnya.

Volume air yang mengalir keluar untuk interval waktu yang

singkat ∆t:

tAvV ∆=∆ tAvV ∆=∆

dimana A=0.502π cm2 merupakan luas penampang outlet dan v adalah kecepatan air keluar.

ghv 2600.0=

Hukum Torricelli menyatakan kecepatan air melalui orifice

dinyatakan:

Page 17: 2 Solution Separable

o g = 980 cm/s2 adalah percepatan gravitasi

o h tinggi sesaat air dari orifice

o √2gh adalah kecepatan air dalam tanki turun

setinggi h dan hambatan sangat kecil sehingga

diabaikan

o Faktor 0.600 digunakan cross section

(penampang) aliran sedikit lebih kecil dari orifice.

∆V harus sama dengan perubahan ∆V* volume air dalam tanki.

hBV ∆−=∆ *

o B adalah luas penampang tanki dan ∆h adalah

penurunan tinggi h(t) dari air.

o Tanda minus karena volume air dalam tanki menurun

Page 18: 2 Solution Separable

*VV ∆=∆

hBtghAtAv ∆−=∆=∆ 2600.0

B

ghA

t

h 2600.0−=

∆∆

Bt∆

o Dengan mengambil ∆t � 0, kita peroleh persamaan

diferensial:

hB

gA

dt

dh 2600.0−=

Page 19: 2 Solution Separable

o Dimana A = 0.502π cm2, luas penampang tanki B = 50.02π cm2, dan √2g = √2.980 = 44.3 cm1/2/s.

2/100266.0 hdt

dh−=

o Initial condition:o Initial condition:

cm 150)0( =h

dimana t = 0 adalah saat lubang dibuka.

Page 20: 2 Solution Separable

� Langkah 2. Solusi umum, solusi khusus.

Kita selesaikan persamaan diferensial menggunakan metode

pemisahan variabel kemudian pengintegralan;

dtdhh 00266.02/1 −=−

cth ~00266.02 2/1 +−=

o Pembagian dan pengambilan akar kuadrat:

cc=

2

~

Page 21: 2 Solution Separable

2)00133.0()( tcth −=

o Dengan initial condition, h(0) = c2 =150, jawaban khusus:

2)00133.025.12()( tth −=

� Langkah 3. � Langkah 3.

Untuk menjawab pertanyaan tersisa, kita nyatakan t dalam h;

ht =− 00133.025.12

00133.0

25.12 ht

−=

Page 22: 2 Solution Separable

o Tanki dalam keadaan ½ dari kondisi penuh:

min 0.451070.200133.0

0.7525.12 3 =⋅=−

= st

o Tanki dalam keadaan ¼ dari kondisi penuh terjadi setelah t

= 76.8 min dan kosong setelah t = 154 min.

Page 23: 2 Solution Separable

Menjadikan Bentuk Separable

� Persamaan diferensial orde -1 yang bukan berbentuk

separable dapat dijadikan menjadi bentuk separable dengan

mengubah variabel.

=x

ygy'

x

dimana g adalah sembarang fungsi dari y/x, sebagai contoh

(y/x)3, sin(y/x), dll.

� Bentuk ekspresi baru:u

x

y=

dengan catatan bahwa y dan u adalah fungsi x.

Page 24: 2 Solution Separable

� Dengan pendiferensialan:

xuuy '' +=

� Dengan memasukkan ke persamaan awal dan mengingat

bahwa g(y/x) = g(u):

)(' ugxuu =+ )(' ugxuu =+

� Sekarang kita bisa memisahkan variabel u dan x:

x

dx

uug

du=

−)(

Page 25: 2 Solution Separable

Contoh 1

� Selesaikan PD berikut:

0'2 22 =+− xyxyy

Penyelesaian:

� Pembagian dengan x2:2

yy� Pembagian dengan x2:01'2

2

=+

−x

yy

x

y

xuuy '' +=

� Jika u = y/x maka;

01'2atau 01)'(2 22 =++=+−+ uxuuuxuuu

Page 26: 2 Solution Separable

� Dengan pemisahan variabel:

x

dx

u

udu−=

+ 21

2

� Dengan integrasi:

2 +−=+c

=+ 2*ln)1ln( 2 cxu +−=+

x

cu =+ 21

� Penggantian u dengan y/x:

cxyx =+ 22

42

22

2c

yc

x =+

Page 27: 2 Solution Separable

Contoh 2 (Initial value problem)

� Selesaikan IVB berikut:

0)( ,cos2

'23

=+= πyy

xx

x

yy

Penyelesaian:Penyelesaian:

� Kita set:

x

yu = xuy = uxuy += ''

u

xxuuxu

22 cos2' +=+

Page 28: 2 Solution Separable

� Operasi aljabar dan pengintegralan menghasilkan:

2cos2' xxuu = cxu += 22 sin2

1

� Karena u = y/x:

cxxuxy 2sin2 2 +==

� Karena sinπ = 0, initial condition menghasilkan c = 0:

2sin2 xxy =