Network Models (Model Jaringan)Penelitian Operasional 2 The Jin Ai, Dr.Eng. Teknik Industri UAJY Semester Gasal TA 2010/2011

Network (Jaringan)Network (Jaringan) terdiri dari himpunan nodes/vertices (simpul) yang terhubung dengan arcs/links (busur/garis) atau branches (cabang). Notasi Jaringan: (N,A), N adalah himpunan nodes, A adalah himpunan arcs N = {1,2,3,4,5} 1 3 5 A = { (1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), 2 4 (3,5), (4,5)}

Terminologi (1)directed arc (busur terarah)aliran pada busur hanya terdapat pada satu arah

undirected arc (busur tak terarah) = linkaliran pada busur diperbolehkan pada kedua arah 1 3

2

4

Terminologi (2)directed network (jaringan terarah)semua busur dalam jaringan terarah

1

3

2

4

Terminologi (3)Path (Jalur/Lintasan) Urutan beberapa busur yang menghubungkan dua simpul5 1 3

2 4

Terminologi (4)Loop/Cycle (siklus) lintasan yang bermula pada suatu simpul dan kembali ke simpul tersebut1 3

2

4

Terminologi (5)Connected (Terhubung) dua simpul terhubung jika sekurangnya ada satu lintasan yang menghubungkannya Connected Network (Jaringan Terhubung) setiap pasangan simpul dalam jaringan terhubung1 3

2

4

Terminologi (6)Tree (Pohon) Jaringan terhubung yang terdiri dari himpunan bagian simpul keseluruhan jaringan, tanpa adanya siklus Spanning Tree (Pohon spanning) Tree yang mencakup keseluruhan jaringan1 3 5

2

4

Contoh Jaringan

Masalah Lintasan Terpendek (Shortest Path)Mencari lintasan terpendek dari simpul asal ke simpul tujuan, misalnya dari Bandung ke Yogyakarta

Algoritma Iteratif Mencari Lintasan TerpendekTujuan iterasi ke-nMencari simpul ke-n yang terdekat dengan simpul asal

Input iterasi ke-nSimpul terdekat sebelumnya (solved nodes), lintasan, dan jaraknya dari simpul asal

Kandidat simpul terdekat ke-nSemua simpul bebas (unsolved nodes) yang terhubung langsung dengan solved nodes

Contoh MasalahA7 2 2 5

O4

B1

4 3

D1

5

T7

C

4

E

Penyelesaiann 1 2 3 Solved node O O A Unsolved node A C B Total Jarak 2 4 2+2 = 4 Simpul terdekat ke-n A C B Jarak Minimum 2 4 4 Hubungan OA OC AB

Masalah Lintasan Terpendek (Shortest Path)Algoritma FormalAlgoritma Djikstra Algoritma Floyd

Excel Solverlihat contoh halaman 325 326 buku teks

Tugas Latihan9.2-1, 9.2-2, 9.2-3, 9.2-6

Minimal Spanning TreeMencari Spanning Tree dengan total jarak hubung minimal Contoh aplikasi:Jaringan kabel listrik/telepon/intranet Jaringan transportasi (jalan/rel KA)

Algoritma Mencari Minimal Spanning Tree1.

2.

3.

Pilih satu simpul secara sembarang, hubungkan simpul tersebut dengan simpul lain yang terdekat Temukan satu simpul tak terhubung yang terdekat dengan salah satu simpul yang sudah terhubung dalam tree (pilih sembarang simpul jika terdapat lebih dari satu simpul terdekat) Ulangi langkah 2, sampai semua simpul terhubung pada tree

Contoh Minimum Spanning Tree

alternatif

Tugas Latihan9.3-2, 9.3-3

Masalah Maximal Flow (Aliran Maksimal)Mencari jumlah aliran terbesar yang mungkin dialirkan dari simpul asal ke simpul tujuan Konsep Algoritma Aliran MaksimalResidual :Kapasitas busur yang tersisa untuk aliran tambahan

Augmenting Path :Lintasan yang menghubungkan simpul awal dan simpul akhir, dengan setiap busur pada lintasan memiliki kapasitas residual positif

ResidualKapasitas residual dari simpul D ke simpul T adalah 5 Aliran dari simpul D ke simpul T yang sudah ditugaskan/ditetapkan adalah 8

D

5

8

T

Algoritma Augmented Path untuk Aliran MaksimalCari augmented path Cari kapasitas residual augmented path yang setara dengan kapasitas residual minimum dari masing-masing busur pada lintasan augmented path Tambahkan aliran pada lintasan augmented path sebesar kapasitas residualnya Kurangi kapasitas residual masing-masing busur dengan kapasitas residual augmented path

Catatan Algoritma Aliran MaksimalUntuk efisiensi, jika terdapat lebih dari satu augmented path yang bisa dipilih, augmented path dengan kapasitas residual terbesar yang dipilih Algoritma dihentikan jika sudah tidak ada lagi augmented path dengan kapasitas residual positif

Masalah Aliran Maksimum (1)Carilah kapasitas aliran jaringan berikut ini dari simpul 1 ke simpul 5.10 0

45

20 0 0

120

30

50

c12 c21

0

30

0 0

10

2

40

3

20

Masalah Aliran Maksimum (2)Iterasi 1 p 1-2-5 1-2-3-5 1-2-3-4-5 1-3-5 1-3-4-5 1-4-5 1-4-3-5 cp Min{20,30} = 20 Min{20,40,20} = 20 Min{20,40,10,20} = 10 Min{30,20} = 20 Min{30,10,20} = 10 Min{10,20} = 10 Min{10,5,20} = 510 0

45

20 0 0

120

30 10 20 10 0 0

50 20

0

30

2

40

3

20 0

Salah satu kemungkinan augmented path terbaik

Masalah Aliran Maksimum (3)Iterasi 2 p cp Min{20,30} = 20 Min{20,40,10,20} = 10 Min{10,10,20} = 10 Min{10,20} = 1010 0

45

20 0 20 0

p* 1-2-5 1-2-3-4-51-3-4-5 1-4-5

120 0

10

520

0 10 30 20 2 40 10 0

20 10 0

3

0

Iterasi 3 p 1-3-4-5 1-4-5 cp Min{10,10,20} = 10 Min{10,20} = 100 10

45

20 10

10

10

10 0 20 5 20

kemungkinan augmented path terbaik

20

10

20 10 0

2

40

3

0

Masalah Aliran Maksimum (4)Iterasi 4 p 1-3-4-5 cp Min{10,10,10} = 100 10

45

0 10 15

20 10 20

10

10 0 30 0 20 10 0

520

410

20 20 10

10

2

40

3

0

130 20 20

520

Kapasitas aliran = (20 + 20 + 20) = 60

2

0

3

Masalah Aliran Maksimal (Maximal Flow)Excel Solverlihat contoh halaman 336 337 buku teks

Tugas Latihan9.4-3, 9.4-4, 9.4-6

Review PO1Masalah Jaringan dapat dimodelkan dalam bentuk Linear Programming (Pemrograman Linier)Masalah Lintasan Terpendek (Shortest Path) Masalah Aliran Maksimal (Maximal Flow)

Tugas Latihan:Buatlah model LP dari permasalahan soal no. 9.2-3 dan 9.4-1 Selesaikan model LP dengan Solver Excel

Masalah Aliran Biaya Minimum (Minimum Cost Capacitated Flow)Mencari lintasan-lintasan dari satu atau beberapa simpul asal (source node) ke satu atau beberapa simpul tujuan (destination node) yang meminimumkan biaya total aliran Tiap busur mempunyai arah dan kapasitas aliran Tiap simpul dapat menjadi asal atau tujuan atau keduanya (transhipment node) Bentuk Model : LP

NotasiVariabel dan Parameter: xij = Jumlah aliran dari simpul i ke simpul j uij = kapasitas dari busur (i, j), uij > 0 cij = unit biaya alir dari simpul i ke simpul j bi = aliran net pada simpul i Simpul: Source: bi > 0 Transshipment: bi = 0 Destination: bi < 0[bi] i cij (uij) xij b j] j

Model LPMinimize z =Subject to (i , j ) A

cij xijjN

x jk xij = b j ,k ( j , k )A i (i , j )A

0 xij uij

Contoh

[50]

9

14

4 [30][0]2 3

(10)

2 3

31

(80)

[40]

2

5 [60]

Model LPMinimasi z = 2x12 + 4x13 + 9x14 + 3x23 + x35 + 3x45 + 2x54 Kendala x12 + x13 + x14 = 50 + x23 = 40 x12 x13 x23 + x35 = 0 x14 + x45 x54 = 30 x35 x45 + x54 = 60 10 x12 x35 80 x12, x13, x14, x23, x35, x45, x54 0

supply node trans. node demand node Capacity limit

Kasus Khusus Masalah Aliran Biaya MinimumMasalah Transportasi (Transportation Model) Masalah Penugasan (Assignment Model) Masalah Transhipment (Transhipment Model) Masalah Lintasan Terpendek Masalah Aliran Maksimum

Masalah Aliran Biaya MinimumExcel Solverlihat contoh halaman 342 buku teks

Tugas Latihan9.5-2, 9.5-4, 9.5-5