2 Mehanika Neprekidnih Sredina PDF

7/24/2019 2 Mehanika Neprekidnih Sredina PDF

1/44

Mehanikaneprekidnih

sredinaKOLEGIJ: INENJERSKA MEHANIKA STIJENA


2/44

Sadraj

Matematike veliine

Naprezanja

Jednadbe ravnotee

Jednadbe transformacije

Glavna naprezanja i Mohrove krunice

Deformacije

Jednadbe transformacije

Glavne deformacije i Mohrove krunice

Zadatci


3/44

Osnovni pojmovi

IN SITU NAPREZANJA

SEKUNDARNA NAPREZANJA (INDUCIRANA)


4/44

Skalar, vektor, tenzor

SKALARje matematiki pojam uveden u svrhu razlikovanja veliinaprisutnih u prirodi.

Matematiki odreen samo veliinom.

U potpunosti opisan jednom dimenzijom (sekunda, kilogram).

Usporedba mogua samo izmeu skalara iste prirode (iste fizikalnedimenzije).

Dva skalarajednaka ako su im jednaki predznaci i brojane vrijedn

-2 C 2 C


5/44


VEKTOR najee oznaava veliinu koja ima iznos, smjer i orijentac

Sloenije veliine od skalara jer su za potpuni opis potrebna tri realna b(npr. kod pomaka x, y, z koordinate u potpunosti odreuju koliko pomatoke iznosi, pravac pomaka, te smjer na pravcu u kojem se pomakodvija).

Ove prirode su pomak, brzina, akceleracija, sila, moment sile

Zadavanje vektora sile


6/44


TENZORI su veliine sloenije strukture, odreene, osim veliinom ismjerom, referentnom ravninom na koju se promatra.

Postoje tenzor naprezanja (lat. tensio = naprezanje), tenzordeformacija, tenzor inercije .

Puni tenzor naprezanja 3 x 3 = 9 podataka


7/44

1. Naprezanja


8/44

Naprezanje u toki

Svaku silu mogue rastaviti na dvije komponente: Normalnu sile tj. okomitu na ravninu (Fn)

Posmini silu (Fs)

Odnos normalne sile po jedinici povrine

Definira normalno naprezanje n

Odnos posmine sile po jedinici povrine Definiraposmino naprezanje

Dimenzija 1 Pa = 1 N/m2


9/44

Naprezanje u toki

Normalno naprezanje moe biti tlano ili vlano.

U geotehnikom inenjerstvu veinom se radi sa normalnim tlanimnaprezanjima te se iz toga razloga uzimaju kaopozitivna naprezanj

Iz ove konvencije slijedi da momenti u smjeru kazaljke sata dajupozitivna posmina naprezanja.

Takoer, kutovi u smjeru kazaljke sata uzimaju se kao pozitivni.

Suprotno od ope mehanike !


10/44

Naprezanje u toki

Rastavljanje sile na komponente s obzirom na kut ostupanja .

Fn = F cos

Fs = F sin

Vrijednost komponente normalnog naprezanja n :

n =

=

cos

= 2

Ovisnost tenzora o promatranoj ravnini

predstavlja klju razumijevanja .


11/44

Tenzor naprezanja

Ukoliko promatramo normalne i posmine komponente naprezanjaodnosu na definirane osi, primjerice Kartezijevom koordinatnomsustavu sa 3 meusobno okomite osi, tijelo se moe zamisliti kao kocije su stranice meusobno okomite ravnine presjeka:

Stupac sadri komponente koje djeluju na istoj ravnini,

Redak sadri komponente koje djeluju du iste osi.


12/44

Tenzor naprezanja

Promatranjem 2D ravnine, u sluaju ravnotenog stanja i iz o = 0slijedi da je:

xy = yx, analogno slijedi da i

xz = zx,

yz = zy.

Tenzor naprezanja definiran je saest (6) nezavisnih komponenti

tri normalne komponente xx, yy, zz,

tri posmine komponente xy, xz, yz .


13/44

Tenzor naprezanja

Tenzor naprezanja je simetrian (ima 6 komponenti samo) tenzordrugog reda, te se moe podijeliti na dvije komponente:

SFERNI DIOmijenja volumen tijela (oblik ostaje nepromijenjen = const

DEVIJATORSKI DIOmijenja oblik tijela (V= const.).

Pri tome je 0 odreen kao 0 =1

3(xx + yy + zz)


14/44

Jednadbe ravnotee

Na paralelnim stranicama diferencijalnog elementa komponentenaprezanja nisu jednakog iznosa! Svaka komponenta tenzoranaprezanja varira u iznosu od toke do toke unutar tijela

ij = ij (x,y,z), ij = ij (x,y,z) u funkciji su x,y,z tj. zavise od poloaja

Element je u ravnotei ako vrijede slijedeejednadbe ravnotee

Svaka jednadba sadri inkremente komponentenaprezanja u jednom smjeru.

Vrijednosti X,Y,Z su sile samog tijela (F=ma).

U geotehnici openito dominantna sila gravitacije (zusmjerena prema dolje) Vektor sile tijela oblika je

(0,0,z).

Inkrementnormalnognaprezanjau smjeru x


15/44

Jednadbe transformacijenaprezanja

Koriste se kada je potrebno odrediti naponsko stanje u odreenomlokalnom (zarotiranom)sustavu, u odnosu na glavni sustav osi(globalne osi) za koji znamo vrijednost naprezanja!

Npr. Potrebno je odrediti normalno i posmino naprezanje nadiskontinuitetu ako su poznata naprezanja u smjeru osix,y:

Drugim rijeima, za poznate y i xy odrediti y i xy na diskontinuitetu

stijenske mase

Oito, sustav je zarotiran okosi z, te se z i z poklapaju

??


16/44


Potrebno za tenzor globalnih naprezanja odrediti lokalna naprezan

Kako se rotacija dogaa oko osi z, slijedi da je z = z.

Ostala naprezanja dobiju se na slijedei nain


17/44


Prostorni element je kocka!

Rotirane vertikalne strane A i B dotiu strane

originalnog elementa.

Isjee se prizma 0AB i promotre komponente

naprezanja na njenim povrinama:

Iz jednadbiravnotee dobijusejednadnabetransformacije


18/44


Jednadbe transformacije slue za odreivanje naprezanja uproizvoljnom smjeru ako su poznate komponente naprezanja u dvameusobno okomita smjera!


19/44

Glavna naprezanja

Drugi nain potpunog definiranja stanja naprezanja (umjesto 3normalne i 3 posmine komponente na meusobno okomitimravninama) je odreivanjem veliine ismjera tri glavna naprezanja

Glavna naprezanja predstavljaju maksimalnu moguu vrijednostnormalnih naprezanja.

Kada su normalna naprezanja ekstremna, posmina

naprezanja jednaka su nuli (nema ih)!

Algebarsko vee normalnonaprezanje


20/44

Glavna naprezanja

Pravci na kojima ne djeluje posmina naprezanja nazivaju se glavnosi naprezanja a normalna naprezanja koja djeluju na tim pravcimglavna naprezanja i oznaavaju se sa 1,2,3.

Matrica tenzora naprezanja za orijentaciju koordinatnih osi kada neposminih naprezanja.

Vrijedi 1 > 2 >


21/44

Glavna naprezanja

Pod kojim kutom su posmina naprezanja jednaka nuli?

Za glavna naprezanja vrijedi xy = 0 te slijedi:KUT POD KOPRAVCI (RAGLAVNIH NA


22/44

Glavna naprezanja

U transformacijske jednadbe uvrtavanjem

Dobivaju se vrijednosti glavnih naprezanja:

Uvrtavanjem kuta u drugu transformacijsku jednadbu dobiva seda je posmino naprezanje = 0!


23/44

Glavna naprezanja

Najvee posmino naprezanje nalazi se u ravnini nagnutoj za 45 uodnosu na osi glavnih naprezanja.

Iznos najveeg posminog naprezanja:

Kut najveeg posminognaprezanja, max


24/44

Mohrove krunice naprezanja

Ukoliko su globalnex,y osi ujedno osi glavnih naprezanja tada izjednadbi transformacija posmina naprezanja nestaju (=0), te su oosi glavnih naprezanja.

Nadalje se jednostavnim trigonometrijskim odnosima dobiju jednad


25/44


Jednadbe predstavljaju jednadbu krunice centrirane u 12 (1 + 3)

= 2 ,

1,2 najvea i najmanja vrijednostnormalnog naprezanja,

dvije toke koje predstavljaju ravnineglavnih naprezanja lee na suprotnim

krajevima promjera Mohr-ove krunice, ravnine glavnih naprezanja su u stvarnosti

meusobno okomite,

ravnine najveih posminih naprezanjapod kutom od 45 u odnosu na ravnineglavnih naprezanja.


26/44


Primjer 1: Zadana su naprezanja na slici. Potrebno je odrediti normai posmino naprezanje na plohi nagnutoj pod kutom = 35 o u odnna referentnu horizontalnu ravninu.


27/44


Rjeenje primjera 1:

Normalno naprezanje = 39 kPa

Posmino naprezanje = 18.6 kPa

Sredite krunice

Radijus


28/44

Invarijante naprezanja

Kako je prikazano, rotiranjem osi komponente tenzora naprezanjamijenjaju vrijednosti.

Ipak, postoje funkcije komponenata naprezanja koje se ne mijenjajve ostaju konstantne tzv. INVARIJANTE NAPREZANJA.

PRVA INVAR. NAPREZAN

DRUGA INVAR. NAPREZA

TREA INVAR. NAPREZA


29/44

2. Deformacije


30/44

Deformacije

Poetni (P,Q) i promijenjeni poloaji toaka (P,Q).

Funkcije kojima se opisuju pomaci:- ux smjeru u ( x,y)- u y smjeru v ( x,y)


31/44

Deformacije

Mogue komponente pri deformiranju tijela su: Translacija

Rotacija

Deformacija kao izduenje / skraenje u nekom smjeru

Posmina deformacija


32/44

Rotacija krutog tijela

Oblik elementa ostaje konstantan (ne mijenja se).

kako se radi o malim kutovima sin =

U matrinom zapisu:


33/44

Normalna deformacija

U matrinom zapisu:

Vlak u geotehnici - ve


34/44

Posmina deformacija

Definira se kao promjena kuta izmeu dvije (prethodno) meusobnokomite linije.

kako se radi o malim kutovima sin = , cos = 1

du = dy sin() + dx cos() dx

= dy + dx 1 dx

= dy

Prema slici, kut :

U matrinom zapisu:


35/44

Ukupna matrica deformacije

Matrica rotacije predstavlja samo rotaciju krutoga tijela Matrica deformacija uzrokuje distorziju

IZ OVOG RAZLOGA PRAKTINO IH JE PISATI ODVOJENO!

Dobije se:

Matrica deformacija Matrica rotacije

S obzirom da

vrijedi:


36/44

Jednadbe deformacija

Ispisivanjem i sreivanjem dobiju se konanejednadbe koje opisudeformacije u odnosu na ostvareni pomak:

UZDUNE DEFORMACIJE:

POSMINA DEFORMACIJA:

ROTACIJA:


37/44

Tenzor deformacija

Slino kao i kod naprezanja, kombiniranjem uzdunih i posminihdeformacija, moe se dobiti tenzor deformacija.

Tenzor deformacija je tenzor drugoga reda, kao i tenzor naprezanjamatrica je simetrina sa est nezavisnih varijabli:

xy = yx,

xz = zx,

yz = zy.

Transformacijske karakteristike tenzora deformacija:- mjerenjem samo uzdunih deformacija mogue odrediti sve komponent

tenzora!

f ij


38/44

Jednadbe transformacijedeformacija

Slino kao i kod naprezanja, za poznate globalne komponente x, xy mogue je odrediti (zarotirane) lokalne komponente x, y,i xy

J d db t f ij


39/44


Ako je funkcija fkoja ovisi ox i y :

Zamjenom f sa u i v slijedi:

J d db t f ij


40/44


Konano, dobiju se jednadbe transformacije deformacija, slino kkod naprezanja:

Slijedi iz:

Gl d f ij


41/44

Glavne deformacije

Slino kao i kod glavnih naprezanja, postavlja se pitanje za koji kutvrijedi exy (ili xy) = 0?

xy - inenjerska posmina deformacija

exymatematika posmina deformacija

Uzdune deformacije exx se nazivaju glavnim

deformacijama (posmine deformacije = 0!). Matrini zapis:

KUT PODPRAVCI GLAVNI

M h k i d f ij


42/44

Mohrove krunice deformacija

Ukoliko su globalnex,y osi ujedno osi glavnih deformacija tadajednadbe transformacija postaju:

Kao i kod naprezanja, pretpostavi se

= 2 , te slijedi:

H l ji!


43/44

Hvala na panji!

K it lit t i i


44/44

Koritena literatura, izvori

http://www.grad.unizg.hr/_download/repository/GI_2_predavanje_Stannaprezanja_i__deformacija.pdf

http://www.gradst.hr/Portals/9/docs/katedre/Teorija%20konstrukcija/O20II/ONKII-1-5.pdf

An Introduction to Geotechnical Engineering, 2nd Edition; Robert D. Hoal. (2010)
http://www.grad.unizg.hr/_download/repository/GI_2_predavanje_Stanje_naprezanja_i__deformacija.pdfhttp://www.grad.unizg.hr/_download/repository/GI_2_predavanje_Stanje_naprezanja_i__deformacija.pdfhttp://www.grad.unizg.hr/_download/repository/GI_2_predavanje_Stanje_naprezanja_i__deformacija.pdfhttp://www.grad.unizg.hr/_download/repository/GI_2_predavanje_Stanje_naprezanja_i__deformacija.pdfhttp://www.gradst.hr/Portals/9/docs/katedre/Teorija%20konstrukcija/ONK%20II/ONKII-1-5.pdfhttp://www.gradst.hr/Portals/9/docs/katedre/Teorija%20konstrukcija/ONK%20II/ONKII-1-5.pdfhttp://www.gradst.hr/Portals/9/docs/katedre/Teorija%20konstrukcija/ONK%20II/ONKII-1-5.pdfhttp://www.gradst.hr/Portals/9/docs/katedre/Teorija%20konstrukcija/ONK%20II/ONKII-1-5.pdfhttp://www.gradst.hr/Portals/9/docs/katedre/Teorija%20konstrukcija/ONK%20II/ONKII-1-5.pdfhttp://www.grad.unizg.hr/_download/repository/GI_2_predavanje_Stanje_naprezanja_i__deformacija.pdf

2 Mehanika Neprekidnih Sredina PDF

Documents

Transcript of 2 Mehanika Neprekidnih Sredina PDF