2-3-Permodelan Matematika Pada Sistem Fisik Dan Kegunaannya Pada Sistem Kontrol

Teori Sistem KontrolTransformasi Laplace

Diagram Blok dan Fungsi Transfer

Permodelan Matematika pada Sistem Fisik danKegunaannya Pada Sistem Kontrol

Ardiansyah1

1Laboratorium Teknik Pengendalian Bio-Lingkungan

Teknik Pertanian-Universitas Jenderal Soedirman

Bahan Kuliah Kontrol Otomatik

Ardiansyah Permodelan Matematika ...



Outline

1 Teori Sistem KontrolModel Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik

2 Transformasi LaplaceTeori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace

3 Diagram Blok dan Fungsi Transfer




Model Matematika dari Sistem FisikBeberapa Contoh Model Sistem Fisik

Outline








Sistem : Input-Proses-Output

Misalkan sebuah rangkaian resistor seri digambar sebagai berikut :GambarDalam diagram digambarkandengan input adalah Vin, proses adalah

R2R1+R2

, dan output adalahVout

Kita akan mencoba menyatakan sebuah sistem dalam bentuk

dimana, x ′ adalah vektor persamaan keadaan, xadalah vektor variabel keadaan, u adalah vektor input, y adalahvektor output. A, B , C , dan D adalah matriks koe�sien darimasing-masing vektor





Permodelan Sistem Fisik

Banyak fenomena sistem dan keteknikan yang lebih mudahdipahami apabila diformulasikan dalam persamaan di�erensial

Persamaan di�erensial melibatkan derivatif (turunan), danintegral dari variable dependen terhadap variabel independen(misal : dy(t)

dt , y adalah variable dependen, dan t adalahvariabel independen)

Turunan ke -n , dimana n adalah nilai yang paling besar darisuatu persamaan menyebabkan persamaan itu disebutpersamaan di�erensial ordo ke-n

Persamaan di�erensial dikatakan linear apabila konstantabukan merupakan fungsi dari variabel independen (misal :

an+1dyn(t)dtn +an

dyn−1(t)dt = f (t), sedangkan an+1dan anadalah

konstanta dan bukan fungsi dari y(t))





Persamaan Di�erensial Biasa Ordo ke-n

Model matematika yang menggambarkan sistem �sik biasanyadigambarkan dalam persamaan di�erensial orde ke-n :

De�nition

dnydtn = w

[t, y(t), y

′(t), ..., d

n−1ydtn−1

, u(t)]

dimana : t = waktu, u(t) = fungsi input, w = fungsi nonlinear,y(t) = output sistem. Fungsi-fungsi lain bisa ditambahakan hinggaturunan ke n−1, untuk membuat sebuah sistem persamaan :

x1(t) = y(t)

x2(t) = y′(t)

x3(t) = y′′(t)

...

xn(t) =dn−1y(t)dtn−1





Persamaan Di�erensial Biasa Ordo ke-nLanjutan..

selanjutnya sistem persamaan ordo ke-n dapat diubah ke sistempersamaan di�erensial orde ke-1 sebagai berikut :

x′1 = x2(t)

x′2 = x3(t)

...

x′n−1 = xn(t)

x′n = w [t, x , ,x2(t), ..., xn(t), u(t)]

(1)





Persamaan Di�erensial Biasa Ordo ke-nLanjutan..

Jika sistem persamaan pada 1 diubah bentuknya menjadi vektor,maka akan berbentuk :

x(t) = [x1(t), x1(t), ..., xn(t)]T (2)

f(t, x, u) = [x2, x3, ..., xn, w(t, x1, ..., xn, u)]T (3)

dimana x(t) adalah vektor �variabel keadaan sistem (system state

vector)� pada saat t (T adalah operasi transpose vektor )Dalam notasi vektor, persamaan 1 dinyatakan dengan :

x′(t) = f(t, x(t), u(t)) (4)

dan output y(t)





Persamaan Keadaan (State Equations)

Sistem persamaan di�erensial orde-1 disebut persamaan keadaan.Langkah-langkah pembentukan persamaan keadaan adalah sebagaiberikut :

1 Pilih yang paling tinggi derajatnya sebagai x1(t)

2 Turunkan x1(t) sebagai x2(t), sehingga x2(t) =dx1(t)dt

3 Buat sistem persamaan di�erensial dengan menurunkan x1(t),x2(t) dan seterusnya, setiap persamaan ke-i mempunyaivariable independen berupa xi+1

4 Persamaan ke-n diperoleh sebagai modi�kasi persamaan asliyang mengandung variabel independen xn−1, ..., x1





Outline








Permodelan Tangki Pemanas Bahan Cair (PDB Ordo-1)

Qtangki = Qin−Qout

Qinadalah panas yang masukmelalui heater, yangdirumuskan Qin =

1R u

2, dimanau adalah tegangan yangdiberikan ke heater, Qout

adalah panas yang keluartangki pemanas, yangdirumuskan Qout = k (T −To),dimana T adalah suhu tangkidan To adalah suhu luar tangkiQtangki = C dT

dt , dimana C

adalah kapasitas panas tangki.





Permodelan Tangki Pemanas Bahan Cair (PDB Ordo-1)Lanjutan...

Persamaan awal menjadi :C dT

dt = 1R u

2−k (T −To)misalkan x = T −To danp = u2sehinggaC dx

dt =1R p−kx

(C d(T−To)dt = C dT

dt ,karenadTo = 0)dalam bentuk persamaankeadaan menjadidxdt =

1RC p−

kC x





Model R-L-C Seri (PDB Ordo-2)

Persamaan di�erensial yang menggambarkan rangkaian seri R-L-Cadalah :

R i(t) +Ldi(t)

dt+

1

C

∫i(t)dt = v(t) (5)

dimana R = tahanan, L = induktansi, C = kapasitansi, v(t) =voltase, dan i(t) = arus

Jika kita asumsikan x1(t) =∫i(t)dt dan x2(t) =

dx1(t)dt = i(t),

maka :dx1(t)dt = x2(t)

dx2(t)dt = 1

Lv(t)−RL x2(t)−

1LC x1(t)





Model Seri Beban-Pegas-Kompresor (PDB Ordo-2)

Sistem seri beban-pegas-kompresor dinyatakan dalam persamaandi�erensial berikut :

Md2y(t)

dt2+B

dy(t)

dt+Ky(t) = f (t) (6)

dimana M = massa, B = koe�sien kompresi, K = konstantapegas, f (t) = gaya yang diberikan, y(t) = perpindahan

Dengan asumsi x1(t) = y(t), dan x2(t) =dx1(t)dt , maka

:dx1(t)dt = x2(t)

dx2(t)dt = 1

M f (t)− BM x2(t)− K

M x1(t)





Model Pendulum Terbalik (PDB Ordo-2)

Persamaan di�erensial yang menggambarkan sistem tersebut adalah(Kailath, 1980; Craig, 1986) :

−ml2 d2θ

dt2+(mlg) sin(θ) = τ = u(t) (7)

dimana : m = ; l = panjang pendulum; θ = sudut deviasi darigaris vertikal searah jarum jam, τ = u(t) adalah torsi yangdiberikan pada batang berlawanan arah jarum jam, t = waktu, g =gaya gravitasi





Model Pendulum Terbalik (PDB Ordo-2)Lanjutan...

Jika kita asumsikan x1 = θ dan x2 =dθ

dt adalah variabel keadaan,maka representasi persamaan 7 dalam sistem persamaan variabelkeadaan adalah :

dx1dt = x2

dx2dt = (g/l) sin(x1)− (l/ml2)u(t)





PDB Ordo-3 ke Persamaan Keadaan

(http://en.wikibooks.org/wiki/Control_Systems/State-Space_Equations)




Teori Transformasi LaplaceAplikasi Transformasi Laplace

Outline








Transformasi Laplace

De�nition

Transformasi laplace adalah tool yang digunakan untuk mencarisolusi dari sistem persamaan di�erensial linear biasa (ordinary lineardi�erential equations). Dibandingkan dengan metode lainnya,transformasi laplace mempunyai kelebihan sebagai berikut :

1 Persamaan homogen (homogenous equation) dan integraltentu diselesaikan dalam satu operasi

2 Transformasi laplace mengubah persamaan di�erensial menjadipersamaan aljabar dengan variabel independen s. Denganmanipulasi aljabar, persamaan dapat diselesaikan dandikembalikan ke bentuk eksplisit melalui inverse transformasilaplace





Teori Transformasi Laplace

Jika diberikan sebuah fungsi f (t) yang memenuhi kondisi :∫∞

0 | f (t)e−σt | dt < ∞, untuk beberapa bilangan σ riil terhingga,maka transformasi laplace f (t) dide�nisikan sebagai :F (s) =

∫∞

0 f (t)e−stdt , yang dinotasikan sebagai :

F (s) = L [f (t)] (8)

s adalah variabel kompleks yang dide�nisikan s = s+ jω





Invers Transformasi Laplace

Untuk transformasi Laplace F (s) yang diberikan, operasi untukmendapatkan f (t) disebut invers transformasi Laplace yangdide�nisikan sebagai f (t) = 1

2πj

∫ c+j∞c−j∞ F (s)estds, dan dinotasikan

sebagai :

f (t) = L −1F (s) (9)





Teorema Penting Transformasi Laplace

Perkalian dengan satu konstanta. Jika k adalah konstanta,maka : L [kf (t)] = kF (s)Penjumlahan dan Penguranganf1(t) → F1(s)f2(t) → F2(s)

, maka L [f1(t)± f2(t)] = F1(s)±F2(s)

Di�erensiasif (t) → F (s)

f (0) → limt→0f (t), maka L

[df (t)dt

]= sF (s)− limt→0f (t)

= sF (s)− f (0)Bentuk umum untuk turunan yang lebih tinggi

L[dnf (t)dtn

]= snF (s)−

limt→0

[sn−1f (t)+ sn−2 df (t)dt + sn−3 d

2f (t)dt + ...+ dn−1f (t)

dt

]atau

L[dnf (t)dtn

]=

snF (s)−[sn−1f (0)+ sn−2f (1)(0)+ sn−3f (2)(0)+ ...+ f n−1(0)

]Ardiansyah Permodelan Matematika ...




Teorema Penting Transformasi LaplaceLanjutan...

IntegrasiIntegrasi pertama : L

[∫ t0 f (τ)dτ

]= F (s)

s

Integrasi orde ke -n : L[∫ t1

0

∫ t20 ...

∫ tn0 f (τ)dτ

]= F (s)

sn

Pergeseran terhadap waktuL [f (t−T )us(t−T )] = e−TsF (s); dimana us(t−T )menyatakan fungsi satuan yang digeser terhadap waktu kekanan sebesar T

Teorema Nilai Awalf (t) → F (s)limt→0f (t) = lims→∞sF (s) jika limitnya dapat terde�nisi





Teorema Penting Transformasi LaplaceLanjutan...

Teorema Nilai Akhirf (t)→ F (s)limt→∞f (t) = lims→0sF (s)jika sF (s) analitis pada sumbu imaginer dan berada padabagian kanan bidang s

Pergeseran KompleksL [e±αt f (t)] = F (s±α)

Konvolusi Nyata (Perkalian Kompleks)f1(t) → F1(s)f2(t) → F2(s)

, jika f1(t) = f2(t) = 0 untuk t < 0, maka

F1(s)F2(s) = L [f1(t)∗ f2(t)] = L[∫ t

0 f1(τ)f2(t− τ)dτ]=

L[∫ t

0 f2(τ)f1(t− τ)dτ]

∗= konvolusi dalam domain waktu





Uraian Pecahan Parsial (Partial-Fraction)

Jika solusi transformasi laplace berbentuk G (s) = Q(s)P(s) , dimana

P(s) dan Q(s) merupakan suku banyak dari dari s. Asumsi bahwaorde P(s) lebih banyak dari Q(s), dimanaP(s) = sn+an−1s

n−1+ ...+a1s+a0, dimana a0, a1, ..., an−1adalahkoe�sien nyata (riil), maka uraian pecahan parsial dapat diberikandalam kasus G (s) dengan a. Pole sederhana, b. Pole orde banyak,c. Pole kompleks sekawan.





Uraian Pecahan Parsial (Partial-Fraction)a. Pole Sederhana

G (s) = Q(s)P(s) =

Q(s)(s+s1)(s+s2)...(s+sn)

, dimana s1 6= s2 6= ... 6= sn, maka

G (s) dapat ditulis

G (s) =Ks1

s+s1+

Ks2

s+s2+ ...+ Ksn

s+sn, dimana

Ks1 =[(s+ s1)

Q(s)P(s)

]|s=−s1=

Q(−s1)(s2−s1)(s3−s1)...(sn−s1)

Contoh : G (s) = 5s+3(s+1)(s+2)(s+3) ; →G (s) =

K−1s+1

+ K−2s+2

+ K−3s+3

;→K−1 =[(s+1)Q(s)

P(s)

]|s=−1= 5(−1)+3

(2−1)(3−1) =−1,lanjutkan untuk K−2 dan K−3Untuk b. pole orde banyak dan c. pole kompleks sekawan, pelajarireferensi :)





Tabel Transformasi Laplace





Outline








Penyelesaian Persamaan Di�erensial Biasa Linear

Misal sebuah persamaan di�erensial :d2x(t)dt2

+3 dx(t)dt +2 x(t) = 5us(t), dimana us(t) adalah masukan

fungsi tangga yang dide�nisikan :

us(t) =

{1 t > 0

0 t < 0. Inisial kondisi x(0) =−1 dan

x (1)(0) = dx(t)dt |t=0= 2

Penyelesaian persamaan menjadi :s2X (s)− sx(0)− x (1)(0)+3 sX (s)−3 x(0) +2X (s) = 5

s

X (s) = −s2−s+5s(s+1)(s+2) , dengan ekspansi partial-fraction diperoleh

X (s) = 52s −

5s+1

+ 32(s+2)

dengan inverse transformasi laplace diperoleh :x(t) = 5

2−5 e−t + 3

2e−2t dimana t ≥ 0




Diagram Blok

Menjabarkan komposisi dan hubungan sistem

Memodelkan seluruh jenis sistem

Digunakan bersama fungsi transfer untuk menjabarkanhubungan sebab akibat keseluruhan sistem

Diagram Blok dasar dari suatu sistem kendali berumpan balikadalah seperti pada gambar :

r(t), R(s) = masukan referensi (perintah), y(t), Y (s) = keluaran(variabel yang dikendalikan), b(t), B(s) = sinyal umpan balik




Diagram BlokLanjutan...

u(t), U(s) = sinyal penggerak(actuating signal)e(t), E (s) = sinyal error, U(s)ketika H(s) = 1 atauE (s) = R(s)−Y (s)H(s) = fungsi transfer balikanG (s) = fungsi transfer lintasmaju (forward-path)G (s)H(s) = L(s) = fungsitransfer loopM(s) = Y (s)

R(s) = fungsi transfersistem

Y (s) = G (s)U(s);B(s) = H(s)Y (s)Pada KomparatorU(s) = R(s)−B(s); sehinggaY (s) = G (s) (R(s)−B(s))Y (s) = G (s)R(s)−G (s)B(s)= G (s)R(s) −G (s) [H(s)Y (s)]∴Y (s)+Y (s)G (s)H(s) =G (s)R(s)

Y (s) = G(s)R(s)1+G(s)H(s)

M(s) = Y (s)R(s) = G(s)

1+G(S)H(s)




Dari Persamaan Keadaan ke Diagram BlokRangkaian R-C Seri (Sederhana)

Persamaan Rangkaian :vi = i R + 1

C

∫ t0 i dt

dalam persamaan keadaan :i = 1

R

[vi − 1

C

∫ t0 i dt

]Persamaan Output :vo =

1C

∫ t0 i dt

Transformasi laplacepersamaan keadaan danpersamaan outputI (s) = 1

R

[Vi (s)− 1

Cs I (s)]

Vo(s) =1Cs I (s)

Jika digambarkan dalamdiagram blok adalah :




Dari Persamaan Keadaan ke Diagram BlokRangkaian R-C

Persamaan Sistemvi = i1(t)R1+

1C1

∫ t0 [i1(t)− i2(t)]dt = L =>

Vi (s) = I1(s)R1+1C1s

[I1(s)− I2(s)]

v1 = i2(t)R2+1C2

∫ t0 i2(t)dt =L=> V1(s) = I2(s)R2+

1C2s

I2(s)Variabel Keadaan : i1(t) dan i2(t)Persamaan keadaan yang ditransformasi laplace

I1(s) =1R1

[Vi (s)− 1

C1s(I1(s)− I2(s))

]I2(s) =

1R2

[V1− 1

C2sI2(s)

]; Pers Output : Vo(s) =

1C2s

I2(s)




Dari Persamaan Keadaan ke Diagram BlokRangkaian R-C (Lanjutan..)

Diagram Blok dari sistem tersebut adalah sebagai berikut :

Diagram Blok ini dapat dimodi�kasi atau disederhanakan




Tabel Modi�kasi Diagram Blok




Contoh Kasus Modi�kasi Diagram Blok




Sistem Multi Variabel




Fungsi Transfer Sistem Multi Variabel

Dalam kendali mesin pesawat baling-baling, kecepatan rotasi mesindan suhu mesin dipengaruhi oleh laju pengaliran bahan bakar dansudut lempeng baling-baling. Apabila persamaan masukan dankeluaran (yang sudah ditransformasi laplace) berbentuk sebagaiberikut :

Y1(s) = G11(s)R1(s) + G12(s)R2(s)Y2(s) = G21(s)R1(s) + G22(s)R2(s)

(10)

dimana : Y1(s) = Kecepatan rotasi mesin, Y2(s) = Suhu turbin,R1(s) = laju bahan bakar, R2(s) = sudut lempeng baling-balingG11 = fungsi transfer antara laju bahan bakar dan kecepatan rotasimesin pada sudut baling-baling R2(s) = 0




Fungsi Transfer Sistem Multi VariabelLanjutan...

G12 = fungsi transfer antara sudut lempeng baling-baling dankecepatan rotasi mesin pada laju bahan bakar R1(s) = 0dan seterusnya..dalam bentuk matriks

Y (s) =

[Y1(s)Y2(s)

]; R(s) =

[R1(s)R2(s)

]; G (s) =

[G11 G12

G21 G22

];

dimana Y (s) adalah vektor output, R(s) adalah vektor input, danG (s) adalah matrix fungsi transfer




Fungsi Transfer Sistem Multi VariabelLanjutan...

Theorem

Apabila terdapat p masukan dan q keluaran, fungsi transfer antara

masukkan ke-j dan keluaran ke-i adalah Gij(s) =Yi (s)Rj (s)

dalam bentuk matrix Y(s) = G(s)R(s)

Y(s) =

Y1(s)Y2(s)...

Yq(s)

; R(s) =

R1(s)R2(s)...

Rp(s)

; maka G(s) harus berorde

p x q untuk persamaan vektor Y(s) = G(s)R(s), dimana

G(s) =

G11(s) G12(s) ... G1p(s)G21(s) G22(s) ... G2p(s)... ... ... ...

Gq1(s) Gq2(s) ... Gqp(s)




Referensi

Cheng, D.K. 1959. Analysis of Linear System. Addison-Wesley

Kuo, B.C. 1995. Automatic Control System. Prentice Hall Inc.

Ross, T.J. 1997. Fuzzy Logic with Engineering Application.McGraw-Hill Inc


2-3-Permodelan Matematika Pada Sistem Fisik Dan Kegunaannya Pada Sistem Kontrol

Documents

Transcript of 2-3-Permodelan Matematika Pada Sistem Fisik Dan Kegunaannya Pada Sistem Kontrol