1_Fismat_2

Fisika Matematika 2

SKS : 3 sksDosen : Sahrul HidayatKonsultasi : [email protected] materi kuliah : staff.phys.unpad.ac.id/sahrul/

Jadwal Kuliah : Selasa, jam 10.30 13.00Ruang : 201

16:10:57

1. Deret Deret Pangkat Deret Taylor/MacLaurin

2. Deret Fourier3. Transformasi Fourier4. Transformasi Laplace5. Persamaan Diferensial Biasa Orde 16. Persamaan Bernouli7. Persamaan Diferensial Biasa Orde 28. Persamaan Nilai Eigen9. Penyelesaian PDB dengan metode deret

Materi :16:10:58

Fisika Matematika 2

Metode Perkuliahan

16:10:58

Fisika Matematika 2

1. Tugas = 15 %2. Quiz = 15 %3. UTS = 35 %4. UAS = 35 %

Komponen Penilaian

16:10:58

Fisika Matematika 2

Komponen Penilaian

Huruf

Mutu

Angka

Mutu

Rentang / Batasan

A 4 80 A 100

B 3 68 B 79

C 2 57 C 67

D 1 46 D 56

E 0 0 E 45

T - Mahasiswa diwajibkan melengkapi

tugas (

1. Boas, M. L.(2006), Mathematical methods in the physical sciences, 3rd ed., John Wiley & Sons, New York

2. Tang, K.T. (2007). Mathematical Methods for Engineers and Scientists, Springer

3. Riley, K. F. , M. P. Hobson and S. J. Bence (2006), Mathematical Methods for Physics and Engineering 3rd edition, Cambridge University Press

Buku Referensi

16:10:58

Fisika Matematika 2

Pendahuluan 16:10:58

Fisika Matematika 2

Contoh deret tak hingga:

DERET

1

2

1

4

1

8

1

16

1

32

1

64 1

Terlihat bahwa derettersebut bersifat konvergen

Contoh deret yang bersifat tidak konvergen:

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1

11

21

4

1

8 1

16

1

321

64

DERET TAK HINGGA 16:10:59

Fisika Matematika 2

Ungkapan umum derettak hingga:

1 2 3

1

n k

k

a a a a a

a1, a2, suku-suku deret an suku ke-n dari deret

1

n

n k

k

S a

Jumlah sampaisuku ke-n

Jika Sn nilainya terbatas pada n , deret tersebutkonvergen, jika nilainya tak hingga, deret tersebut divergen.

Deret Geometri 16:10:59

Fisika Matematika 2

Di dalam deret geometri, masing-masing suku merupakanfactor/perkalian dengan suatu bilangan konstan r (rasio).

2 3 1 1

1

n n

n

a ar ar ar ar ar

Deret tersebut konvergen terhadap nilai jika

dan divergen jika

1

a

r1r

1r

1 1r Merupakan interval kekonvergenan deret geometri

16:10:59

Fisika Matematika 2

Contoh :

3 3 3 3

10 100 1000 10000

.3 .03 .003 .0003 .333...1

3

3

101

110

a

r

3

109

10

3

9

1

3

Deret Geometri

c x c c x c x c x c xnn

n

n

n

0 1 2 2 3 30

atau

c x a c c x a c x a c x a c x ann

n

n

n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 1 2 2 3 30

Koefisien c0, c1, c2 dan a adalah konstan.

Deret Pangkat

Ungkapan umum deret pangkat:

16:10:59

Fisika Matematika 2

Menguji Konvergensi Deret

Salah satu metode untuk menguji kekonvergenan deret adalahmetode rasio.

= lim

+1

Jika || < 1 deret bersifat konvergen, jika || > 1 deret bersifatdivergen, dan jika || = 1 kekonvergenan tidak bisa ditentukan.

Contoh :

Tentukan apakah deret berikut konvergen atau tidak!

=0

1

!

16:10:59

Fisika Matematika 2

=0

!

Contoh :

Tentukan untuk nilai x berapa deret berikut bersifat konvergen!

Menguji Konvergensi Deret 16:10:59

Fisika Matematika 2

=0

3

TUGAS

=0

3

+ 1 =0

+ 2

3+1

a. b.

1. 2.

Tentukan untuk nilai x berapa deret berikut bersifat konvergen!

Menguji Konvergensi Deret 16:10:59

Fisika Matematika 2

Salah satu deret yang sering ditemukan dalam kasus fisika adalahFungsi Bessel. Contoh fungsi Bessel akan ditemukan pada kasusdistribusi temperature pada lempeng atau perambatangelombang pada drum. Ungkapan fungsi Bessel untuk orde ke-0 adalah sebagai berikut:

0(x) = =0

1 2

22 ! 2

Tentukan untuk nilai x berapa deret tersebut konvergen!

Grafik fungsi Bessel

16:10:59

Fisika Matematika 2

n terbatas (solusi pasial) n tak hingga (solusi total)

Ungkapan Fungsi dalam bentuk Deret

Deret dapat merepresentasikan suatu fungsi

16:10:59

Fisika Matematika 2

Sebuah fungsi f(x) dapat diuraikan menjadi deret pangkat.

Tinjaulah fungsi f(x) = sin x. Maka sin x dapat dituliskan dalambentuk deret pangkat sebagai berikut :

sin = 0 + 1 + 22 + 3

3 ++

Dalam hal ini, yang menjadi masalah adalah bagaimanamenentukan nilai konstanta-konstanta a0, a1, a2 dst.

16:10:59

Fisika Matematika 2

Bagaimana bentuk umum deret fungsi f(x)?

Untuk mendapatkan bentuk umum deret fungsi f(x), f(x), dapatdiuraikan di sekitar x = a. Bentuk deret pangkatnya dapatditulis sebagai

f x =0 + 1 + 2 2 + 3

3 +

+

Deret Taylor dan Deret MacLaurin

16:10:59

Fisika Matematika 2

Turunan f(x)

14

5

3

4

2

321

1

)()(5

)(4)(3)(2)(

n

n axanaxa

axaaxaaxaaxf

2

3

5

2

432

2

)())(1(

)(54)(43)(322)(

n

n axann

axaaxaaxaaxf

3

2

543

3

)())(1)(2(

)(543)(43232)(

n

n axannn

axaaxaaxf

4

2

54

4

)())(1)(2)(3(

)(5432432)(

n

n axannnn

axaaxf

!))(1)(2)(3)(4(21)( nnnnnnxf n


16:10:59

Fisika Matematika 2

Jika dimasukkan nilai x = a (penghampiran di sekitar x = a), maka :

!2

)(

2

)(2)(

!1

)(

1

)()(

!0

)(

1

)()(

22

22

2

11

11

1

00

afafaaaf

afafaaaf

afafaaaf

`!3

)(

32

)(32)(

33

333 afafaaaf

!

)())(1)(2)(3(4321)(

!4

)(

432

)(432)(

3

!

43

44

4

n

afaannnnaf

afafaaaf

n

n

n

n


16:10:59

Fisika Matematika 2

Substitusi koefisien kedalam fungsi menghasilkan:

!

)()(

!4

)()(

!3

)()(

!2

)()())(()()(

44

33

221

n

axaf

axaf

axaf

axafaxafafxf

nn

Persamaan diatas disebut sebagai deret Taylor.


16:10:59

Fisika Matematika 2

Apabila aproksimasi dilakukan di sekitar a = 0 (x = 0),

maka deret Taylor tersebut berubah menjadi

)0(!

)0(!4

)0(!3

)0(!2

)0()0()(

44

33

22

1

nn

fn

xf

x

fx

fx

xffxf

Persamaan diatas disebut sebagai deret MacLaurin

Ungkapkan uraian deret MacLaurin untuk fungsi f(x) = sin x

Contoh :


16:10:59

Fisika Matematika 2

!4!3!2

1432 xxx

xe x

!6!4!2

1cos642 xxx

x

!7!5!3

sin753 xxx

xx

432

)1ln(432 xxx

xx

32

!3

)2)(1(

!2

)1(1)1( x

pppx

pppxx p

- < x < .

- < x < .

- < x < .

-1 < x < 1

-1 < x < 1


Uraian deret MacLaurin untuk beberapa fungsi dasar

16:10:59

Fisika Matematika 2

...!

...!2

1!

)(2

0

k

xxx

k

xxp

k

k

k

n

TUGAS

3. Tunjukan uraian deret MacLaurin fungsi ex di sekiar x = 0 adalah


- < x < .

Buktikan bahwa deret tersebut konvergen untuk daerah:

16:10:59

Fisika Matematika 2

1. Perkalian Fungsi

!5!3)1(sin)1(

53 xxxxxx

!5!5!3!3

65432 xxxxxx

2. Pembagian Fungsi

4321

432

1)1ln(

32

432

xxx

xxxx

xx

x


16:10:59

Fisika Matematika 2


3. Penjabaran bentuk binomial dari sebuah fungsi

32

321

1

!3

)3)(2)(1(

!2

)2)(1(1)1(

1

1

xxx

xxxxx

4. Integrasi

64212

02

0

1)1(

tgarctgarc1

tttt

xtt

dtxx

753

)1(1

753

642

2

tttt

dttttt

dt

753

tgarc753 xxx

xx

16:10:58

Fisika Matematika 2


4. ex sin x

5. tan x

TUGAS

Tentukan uraian deret MacLaurin untuk fungsi-fungsi

berikut:

1_Fismat_2

Documents

Transcript of 1_Fismat_2