175713914 Mehanika Fluida Knjiga

8/10/2019 175713914 Mehanika Fluida Knjiga

1/92


2/92

OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE. FIZIKA SVOJSTVA FLUIDA

1.1 Osnovni pojmovi

Sva tela u prirodi imaju odredjena geometrijskai fizika svojstva.Osnovno geometrijsko svojstvo svih tela je da zauzimaju odreenu oblast prostora, tj. imajuodgovarajuu zapreminu. Svaka taka zapremine tela zove se geometrijska taka i ona jeodreena vektorom poloaja, koji je funkcija vremena, u odnosu na izabranu referentnu taku-koordinatni poetak, odn. odreena je odgovarajuim koordinatama u odnosu na izabranikoordinatni sistem.Osnovno fiziko svojstvosvih tela je materijalnost, tj. fizika tela se predstavljaju kao zapreminaispunjena materijom. Dakle, u svakoj taki tela postoji materija. Na osnovu toga telo se definiekao neprekidna materijalna sredina ili materijalni kontinuum. Masa je osnovno svojstvo materije.Svako telo ima odgovarajuu masu koja je neprekidno rasporeena u zapremini tela i imaosobinu da ne zavisi od oblika tela niti od promene njegovog oblika tokom vremena, tj. ne zavisiod dimenzija duine i vremena.Materija i kretanje su u meusobnoj vezi. Kretanje je nain postojanja materije. Kretanje seodvija u prostoru i vremenu pa su materija, prostor i vreme u uzajamnoj vezi i treba da seposmatraju istovremeno. Prema tome, moe se rei da svaki proces u prirodi predstavlja odreenioblik kretanja materije u prostoru i vremenu.Mehaniko kretanje nekog tela predstavlja promenu njegovog poloaja u prostoru u tokuvremena u odnosu na reper-neko drugo telo, koje se zove referentno telo a bira se tako da napogodan nain moe da se posmatra kretanje zadatog tela. Za referentno telo se vezujeodgovarajui koodrinatni sistem koji predstavlja sistem referencije ili referentni sistem.

U prirodi postoje takva mehanika kretanja za ije prouavanje dimenzije tela nemaju bitnuulogu, tako da telo moemo zameniti samo jednom njegovom takom. Tada celokupnumaterijalnost tela pridodajemo jednoj taki tela i na taj nain uvodimo pojam materijalne take.Dakle, ako geometrijskoj taki tela pridodamo masu tela odn. damo joj svostvo marterijalnosti,tada se ta taka zove materijalna taka.U prirodi se tela podvrgavaju deformacijama pod dejstvom uzroka. Takva tela se zovudeformabilna tela i mogu biti vrsta i fluidna. Promena stanja tela pod dejstvom uzroka sekarakterie deformacijom. Izuavanjem promena stanja deformabilnih tela bavi se naunadisciplina pod nazivom mehanika deformabilnih (neprekidnih) sredina ili mehanika kontinuuma.Ona obuhvata niz naunih disciplina. Podela mehanike deformabilnih tela na posebne disciplineizvodi se u zavisnosti od agregatnog stanja i mehanikih osobina.

U zavisnosti od agregatnog stanja tela, mehanika deformabilnih tela se deli na mehaniku vrstihtela imehaniku fluida,koja se dalje deli na mehaniku tenosti i mehaniku gasova.Sva deformabilna tela poseduju tri osnovna mehanika svojstva: elastinost, viskoznost iplastinost. Ova svojstva su predmet izuavanja posebnih naunih disciplina, i to teorijeelastinosti, mehanike viskoznih fluida i teorije plastinosti.Promena stanja vrstog tela pod dejstvom sila se karakterie deformacijom. vrsta tela sumaterijalna tela sa osobinama elastinosti, koja se prouavaju u oblasti elastinih deformacija po


3/92

Teoriji elastinosti i Otpornosti materijala, i u oblasti trajnih deformacija po Teoriji plastinosti.U ovim naunim oblastima se izuava deformacija telapri razliitim dejstvima spoljanjih sila.Promena stanja fluidnog tela se karakterie brzinom deformacije. U fluidna tela spadaju tena igasovita tela. Uveden je jedan opti pojam fluid za tena i gasovita tela s obzirom na to da suzakoni njihovog ponaanja vrlo slini, a nauka koja se bavi izuavanjem njihovih stanja

mirovanja ili kretanja nazvana je mehanika fluida. U mehanici fluida posebno se izuavajupojave kada se fluid ponaa kao nestiljiv, a posebno pojave kad se stiljivost ne sme zanemariti.Kad god se rezultati pojave podjednako odnose i na tenost i na gas upotrebljava se re fluid.Tena tela menjaju oblik ali ne i zapreminu, dok gasovita menjaju i oblik i zapreminu.I u mehanici deformabilnih tela, kao i u mehanici krutih tela, zadaci mogu biti statikog,kinematikog i dinamikog karaktera. Tako su se u mehanici fluida razvile posebne disciplinekao to su statika fluida, kinematika fluida, dinamika fluida, hidrostatika, hidrodinamika,aerostatika, aerodinamika, dinamika gasova itd. Razvoj mehanike doprinosi razvoju tehnike asamim tim i poboljanju uslova ivota.Za teorijska izuavanja u mehanici stvarna tela i stvarni mehaniki procesi su veoma sloeni, jerobuhvataju veliki broj razliitih uticaja, ije uzimanje u obzir dovodi do velikih matematikih

tekoa. Zbog mogunosti i jednostavnosti teorijskih prouavanja u mehanici, uoavamo samoelemente koji su od bitnog uticaja na karakter prouavanog procesa a ostale zanemarujemo.Takvi rezultati nisu apsolutno tani, a da bi oni bili prihvaeni vri se eksperimentalna provera.Eksperimentalnim ispitivanjem utvruju se granice tanosti dobijenih rezultata teoriskim putem.Na taj nain se utvruje da li izabrana aproksimacija prihvatljiva za formiranje mehanikogmodela.Stvarne mehanike pojave zamenjujemo odgovarajuim mehanikim modelom. Formiranjemehanikih modela predstavlja metod apstrakcijeu mehanici.

1.2 Fluidni deli

Prilikom opisivanja fizikih pojava esto se govori o deliumaterije. Pod tim se podrazumevatako mala koliina materije da njen oblik nema ulogu pri posmatranju, pa se moe zamisliti kaoelementarna kocka, lopta ili bilo kakvo pravilno ili nepravilno geometrijsko telo, ali tako da sudimenzije delia neizmerno vee od dimenzija odgovarajueg molekula. Pri tehnikomprouavanju fizikih pojava u vezi sa kretanjem fluida, mahom nije potrebno voditi rauna omolekularnom kretanju jer zapremina kocke 1 3 sadri 3,4 1010 molekula vode na temperaturi

00 C, ili 2,7 710 molekula vazduha na temperaturi 00 Ci pritisku 760mm ivinog stuba.Delii imaju uvek istu masu, ali im se zapremina i oblik mogu menjati tokom vremena.Posmatranjem kretanja tenosti i gasova dolazi se do zakljuka da pokretljivost delia imaodluujuu ulogu tako da nestiljivost tenosti i stiljivost gasova skoro nemaju nikakvog uticajana tok posmatrane pojave. Stoga su opravdani opti nazivi: fluid,za tenosti i gasove; i fluidni

deli,kao njima odgovarajui deli. Dakle, mala zapremina fluida proizvoljnog oblika naziva sefluidni deli(estica fluida) (Sl.1.1).

Poloaj fluidnog delia obino se odreuje vektorom poloajanjegovog teita, odn. vektorompoloaja ma koje take fluidnog delia, s obzirom na to da je veoma malakoliina materijemasedm u maloj zapreminidV.


4/92

Vektor poloaja pokretne take u odnosu na referentnu taku O je definisan, u Kinematici,

funkcijom: , , ,r r x y z t

. (1.1)

Brzina pokretne take je vektor jednak prvom izvodu vektora poloaja po vremenudr

vdt

. (1.2)

Ubrzanje pokretne take je vektor jednak prvom izvodu brzine, tj. drugom izvodu vektora

poloaja po vremenu2

2

dv d r a

dt dt

. (1.3)

Sl.1.1 Fluidno telo i fluidni deli

Dakle, fluid se moe posmatrati kao kontinuum (neprekidna sredina), izkojeg se moe izdvojiti

fluidni deli, a ijesestanje odreuje raznimfizikim veliinama. Jedna od njih jegustina fluida.Fluidni deli ima svoju elementarnu masu dm i odgovarajuu elementarnu zapreminu dV, a

gustina fluidase definie kao njihov kolinik:

dm

dV . (1.4)

Gustina fluida nije konstantna veliina ve se menja u zavisnosti od poloaja i vremena, te je

treba odrediti kao funkcionalnu zavisnost , , ,x y z t . Dimenzija gustine je 3ML .

Jedinica za merenjegustine je3kg/m .

Korisno je pomenuti fiziku veliinu pod nazivom teina jedinice zapremineilispecifina teina,

koja se obeleava grkim slovom . Postoji srednja i stvarna specifina teina.

Srednja specifina teinajednaka je koliniku teine fluida Gi njene zapremine V:

G

V . (1.5)

Stvarna specifina teina u datoj taki jednaka je graninoj vrednosti odnosa teine fluidnog

delia prema veliini njegove zapremine koja tei nuli u okolini posmatrane take:


5/92

0limV

G dG

V dV

. (1.6)

Ako je fluid homogen, onda su srednja i stvarna specifina teina jednake.

Specifina teina jednaka je proizvodu gustine fluida i ubrzanja zemljinetee: (1.7)

Dimenzija specifine teine je 2 2ML T . Jedinicaza merenjespecifine teine je 2 2kg/m s .

Specifina teina i gustina fluida menjaju se sa temperaturom i pritiskom.

, , , , , , , , , , ,x y z t x y z t p T p T (1.8)

Elementi fluidnog delia su:

dm, dV, , , , , , , , , , , , , ,v a x y z t p p x y z t T T x y z t

. (1.9)

1.3 Sile u fluidu

Na fluidni deli u datoj zapremini, bez obzira da li se zapremina granii sa fluidom ili je

izolovana, dejstvuju razne sile koje mogu bitispoljanje (zapreminske)i unutranje (povrinske).Spoljanje (zapreminske) sile zovu se i masene, jer dejstvuju na elementarnu masu svakogfluidnog delia.Na elementarnu masu dm dV fluidnog delia dejstvuje elementarna masenasila:

mdF Fdm FdV

. (1.10)

Oznakom F

se obeleava sila po jedinici mase.

Pored masenih silana fluidno telo dejstvuju i povrinske sile. Da bi se to pokazalo potrebno jeuoenu zapreminu, koju ispunjava fluid, podeliti nekom povrinom na dva dela.

Neka je A

ta proizvoljna povrina unutar dela prostora ogranienog zapreminom V,ispunjenog

tenou (Sl.1.2) i neka je R

rezultanta svih sila koje napadaju dati fluidni prostor. Tada na maliali konani deo A

povrine A

koji obuhvata taku M, dejstvuje srazmerno mali, takoekonani, deo rezultante svih sila koje napadaju posmatrani fluidni prostor R

. Sila R

se moerazloiti na normalnu komponentu P

koja dejstvuje u pravcu normale na povrinu i kolinearnaje sa vektorom povrine A

, i tangencijalnu komponentu T

koja lei u ravni povrine A, priemu je:

R P T

. (1.11)

Povrinska raspodela elementarnenormalne sile P

po povrini A

odreena je kolinikom P/A, a tangencijalne T/A. Ako se

povrina Atoliko smanji da u jednom trenutku tei nuli ( 0A ),tada graninavrednost raspodele normalnih sila po jedinici povrinepredstavlja normalne naponeu tenosti i naziva sepritiskom:

,lim0

pdA

dP

A

P

A

(1.12)

a granina vrednost raspodele tangencijalnih sila

A

A

A

n

V

R

P

T

M


6/92

0lim ,A

T dT

A dA

(1.13)

predstavlja tangencijalne napone u tenosti.

U hidrostatici, tj. kod problema vezanih za ravnoteu mirne tenosti, nema tangencijalnih sila, pase samim tim ne mogu javiti ni tangencijalni naponi . Prisustvo tangencijalnih napona u tenostikoja miruje uslovilo bi meusobno pomeranje delova fluidnih masa jednih u odnosu na druge,ime bi se naruila ravnotea mirne tenosti.

Normalne sile dP

dejstvuju uvek upravno na ma koju stvarnu ili zamiljenu povrinu Ad

utenosti, i imaju pravac isti sa vektorom povrine ali su suprotnog smera(smer ulazne normalena povrinu), pa je otuda elementarna normalna sila:

dP pdA

. (1.14)

Ukoliko bi normalne sile u tenosti dejstvovale u istom smeru kao i vektor povrine tj. odpovrine prema spolja (smer izlazne normale na povrinu), tada bi one mogle izazvati

razdvajanje delova fluidnih masa i pojavu prekida u tenosti, ime bi bio naruen kontinuitetfluidnog prostora. Iz ovoga sledi da se normalni naponi u tenosti mogu javiti samo kaooptereenje na pritisak a nikako na istezanje, pa se otuda normalni naponi u fluidima i nazivajupritiskom.U skladu sa izrazima (1.9) i (1.11) jedinica za merenje pritiska jednaka je odnosu jedinice za siluprema jedinici povrine i u Internacionalnom SI sistemujedinicaosnovnu jedinicu za merenjepritiska predstavlja Paskal (Pa), pri emu je:

1Pa =2m

N

1

1= 310 kPa = 510986.0 bar.

1.4 Stiljivost fluida

Fiziko svojstvo fluida da menja svoju zapreminu pod dejstvom normalnih povrinskih sila zove

sestiljivost.Prema stiljivosti, fluid moe biti nestiljiv(stalne gustine .const -tenosti) ili

stiljiv(promenljive gustine , , ,y z t -gasovi).Stiljivost tenosti je vrlo mala. Potrebna je velika sila pritiska da bi se zapremina tenosti barmalo smanjila, a po prestanku dejstva sile pritiska sabijena tenost bi zauzela prethodnuzapreminu. Neka se pod dejstvom elementarnog pritiska dp smanji zapremina za dV (Sl.1.3).Izraz dV Vpredstavlja relativnu zapreminsku promenu.

Sl.1.2 Povrinske sileu fluidu


7/92

Sl.1.3 Stiljivost fluida

Ova promena sraunata za jedinicu pritiska i uzeta sa negativnim znakom je koeficijent

stiljivosti:1 dV

sV dp

. (1.15)

Znak minus pokazuje da smanjenju pritiska odgovara poveanje zapremine i obrnuto.

Reciprona vrednost koeficijenta stiljivosti obeleava se slovom i naziva se modulom

stiljivosti:

1 dpV

s dV . (1.16)

Modul stiljivosti ima istu dimenziju kao i pritisak.

Masa fluida je konstantna, jednaka proizvodu gustine i zapremine:.m V const (1.17)

Diferenciranjem izraza (1.17) se dobija dm dV Vd =0, odakle je:

dV d

V

(1.18)

Primenom (1.18) na (1.15) i (1.16) dobijaju se izrazi za u zavisnosti od pritiska i gustine :

koeficijent stiljivosti1 d

sdp

, (1.19)

modulstiljivostidp

d

. (1.20)

Koeficijent stiljivosti i modul stiljivosti su funkcije pritiska i temperature.

Koeficijenti stiljivosti imaju male vrednosti, i u veini hidraulikih dogadjaja su bez uticaja na

ishod. Time se raun uprouje jer gustina onda ne zavisi od pritiska. Samo u izuzetnimsluajevima se voda posmatra kao stiljiv fluid, npr. kada se prouava udar vode.

1.5 Viskoznost fluida


8/92

Fluid se odlikuje pokretljivou svojih delia. Drugim reima, i najmanja sila je dovoljna da

izazove klizanje jednih delia po drugima. Neki delii su pokretljiviji a neki manje pokretljivi, tj.nisu svi fluidni delii jednako pokretljivi. Uzrok tome je to se delii uzajamno taru i to sila

trenja, koja time nastaje, spreava klizanje raznorodnih delia na razliite naine.

Fluid u kome nema sile trenja je zamiljen i kao takav zove seidealan (savren) ili neviskozan.Savrenih fluida u stvarnosti nemajer se pri kretanju svakog fluida javlja sila trenja. Prouavanjekretanja idealnog fluida ima veliki znaaj jer daje korisne rezultate u sluajevima kada je sila

trenja veoma mala, kao i pri pojavama kada se i realan fluid ponaa kao idealan.U suprotnom,postoji sila trenja (unutranje trenje) i takav fluid jeviskozan.

Dakle, fiziko svojstvo pokretljivosti fluida okarakterisano je kao viskoznost, a premaviskoznosti, fluid moebiti idealan(neviskozan) - fluid bez trenja, ilirealan (viskozan) fluid sa

trenjem.Strujanje fluida je veoma jednostavno kad brzine imaju isti pravac u svim takama fluidnog

prostora. Takvo strujanje se javlja, npr. iznad nepokretne neizmerno dugake i ravne ploe(Sl.1.4).Merenjem brzine u pravcu y-ose, poev od proizvoljno izabrane take O, zapaa se da

na ploi fluid miruje a da sa udaljavanjem od nje brzine fluida postepeno rastu. Brzine zavise odmesta gde se mere, i zato su funkcije koodrinata. U datom sluaju fluid tee pravcem ose x, i

brzine su iste u takama koje pripadaju istoj pravoj y=const. U drugim pravcima fluid nema

brzinu. Tada brzina u trenutaku 0t ima pravac ose x i menja se sa koordinatom y:

x y z xv v i v j v k v y i

(1.21)

Sl.1.4 Viskoznost fluida


9/92

U nekoj taki M na rastojanjuypostoji brzina v, a u neposredno bliskoj taki M 1 na rastojanju dy

postoji brzina

1

v yv y dy v y dy

y

. Razlika izmedju ovih brzina je upravo sabirak

v ydy

y

, koji predstavlja relativnu brzinu dva susedna sloja na rastojanju dy.Parcijalni izvod

daje relativnu promenu brzine po jedinici normale na slojevima fluida.Promena brzine pravcem normale na ploi fiziki se objanjava dejstvom medjumolekularnihsila fluida i ploe, i fluida medjusobom, pa te sile ine da se prisustvo vrstih povrina uvekispoljava kao konica kretanju tehniki najvanijih fluida, vode i vazduha. Fluidni delii se lepeza plou. Tu pojavu je Isak Njutn izrazio relacijom:

v

, (1.22)

gde su: -tangencijalni (smiui napon) i -koeficijent dinamike viskoznosti (dinamikaviskoznost), koji izraava proporcionalnost izmedju relativne promene brzine i tangencijalnog

napona. Susedni fluidni slojevi imaju skoro istu brzinu jer je njihova relativna brzina izvanrednomala. Kad bi ona negde bila konane vrednosti porastao bi parcijalni izvod preko svake mere asa njim i tangencijalni napon. To je suprotno iskustvu, u prirodi ne mogu postojati ni dverazliite vrednosti brzine na povrini koja razdvaja fluid od vrstog tela ili fluid od fluida.Dodirom sa vrstom povrinom, stvarni fluid svodi svoju brzinu na brzinu povrine, a u istojfluidnoj povrini ne moe fluidni deli sauvati nejednake vrednosti brzine. Jedini izuzetak odtoga je savreni (neviskozan) fluid, kod koga je =0.U mehanici fluida se esto dinamika viskoznost deli gustinom i taj kolinik se nazivakinematiki koeficijent viskoznosti ili kinematika viskoznost:

. (1.23)

Dimenzije dinamike i kinematike viskoznosti su: 1 1 2 1;ML T L T .Dinamika i kinematika viskoznost zavise od prirode fluida, od temperature i od pritiska kojem

je izloen: , , ,p T p T . (1.24)Viskoznost gasova raste sa porastom temperature a kod tenosti, obrnuto, opada.

1.6Uticaj toplote na fluide

Fluid menja svoju zapreminu i gustinu pod uticajem toplote. Fiziko stanje fluida je uslovljenotemperaturom.

Nestiljivi fluid(tenost) ponaa se prema Gej-Lisakovom zakonu. Tada se promene zapremine i

gustine izraavaju relacijama: 0 01TV V T T (1.25)

0

01T

T T

(1.26)

gde su: TV -zapremina fluidne mase na temperaturi T; 0V -zapremina iste fluidne mase na

temperaturi 0T ; -koeficijent toplotnog irenja; T -gustina fluidne mase na temperaturi T;


10/92

0 -gustina iste fluidne mase na temperaturi 0T .

Tenosti imaju mali koeficijent toplotnog irenja (za vodu je 0.00044 od 0 0 C do 100 0 C a za ivu0.00018). Zbog toga, tenosti spadaju u nestiljiva tela te im je karakteristina jednainafizikog stanja 0 .const Kod stiljivih fluida, za idealni gas vai opta jednaina stanja koja dovodi u vezu pritisak,

gustinu i temperaturu: p g RT (1.22)gde su: p-statiki pritisak u gasu, R-gasna konstantaT- apsolutna temperatura, ije su jedinicemera,redom: 2N/m , 0 0Nm/N K, K. Iz ove jednaine se vidi da gustina zavisi i od pritiska i od

temperature. Svarni gasovi se ne ponaaju strogo prema ovom zakonu. Odstupanja mogu bitiznatna a mere se kolinikom /p RT jer je ovaj jednak jedinici samo kad se gas ponaa kaoidealan.Gustina vazduha u normalnoj atmosferi i gustina vazduha u proizvoljnim uslovima stoje u odnosu 0

0 0

pT

T

, koji

predstavlja karakteristinu jednainu. Iz toga proizilazi da je ak i idealan gas nezgodan za rad jer njegovakarakteristina jednaina sadri novu nepoznatu, i to temperaturu. Da bi se sraunala gustina gasa na datom pritisku

neophodno je da se prethodno odredi raspored temperature u fluidu. U tu svrhu koristi se jednaina toplotnogbilansa,ime se bavi posebna oblast fizike pod nazivom termodinamika.Ako se temperatura moe izdvojiti iz jednaine stanja i gustina izraziti kao funkcija pritiska

f p tada se kae da je fluid barotropan, a kad je to nemogue fluid je baroklin.

Nestiljivi fluidi predstavljaju najprostije barotropne fluidesa 0 .const Pri izotermnim pojavama, kada je T=const., u idealnom gasu uvek je gustina linearna

funkcija pritiska, to se moe napisati u obliku: f p Cp , gde je C nekakva konstanta.

Tada se karakteristina jednaina moe napisati u obliku: 0

0

.constp p

U termodinamici se prouavaju politropski procesi gde je gustina nf p Cp i karakteristina jednaina

0

0

.nn

constp p

Ako je u prethodnoj jednaini n , za vazduh 1.408 , tada je re o adijabatskoj promeni

stanja kada se toplota ne odvodi ni dovodi. To su povratni procesi-kvazistatiki, mogu se odvijati u oba smera.

1.7 Kratak pregled fizikih svojstava tenosti:

1.Homogenostje osobina tenosti da je u svim deliima ista gustina;

2.Izotropijapodrazumeva u svim pravcima iste osobine tenosti;

3.Kohezija je pojam koji podrazumeva dejsvo privlanih sila unutar tenosti. Kohezija medjudeliima vode je slaba. Zato se delii mogu lako odvajati jedni od drugih. Posledica kohezionihsila su povrinski naponi, usled kojih se nivo tenosti u prepunom sudu, pre prosipanja ispupiiznad ivice posude.


11/92

4.Adhezija je pojam koji podrazumeva dejstvo privlanih sila izmedju delia tenosti i zidovasuda. Usled adhezionih sila tenosti prijanjaju za zidove sudova i, zbog toga, pri kretanju tenostikroz vodove i cevovode jedan sloj delia (estica) tenosti ostaje nepokretan.

5. Promenljivost oblikaje svojstvo tenosti da zauzima oblik suda u kome se nalazi, jer je trenje

medju deliima tenosti veoma malo tako da ono ne spreava promenu oblika.6. Nepromenljivost zapremine, tj. tenosti ni pod dejstvom velikih sila pritiska ne menjajuzapreminu ili toliko malo je promene da se to moe zanemariti, pa se tenosti smatrajunestiljivim.

7. Horizontalnost povrine tenosti u miru-Oblik povrine mirne tenosti u irokom sudu jehorizontalna. Na svaki deli tenosti dejsvuje sila zemljine tee. Ako je povrina tenostinagnuta pod nekim uglom , tada e na svaki deli dejstvovati dve komponente sile zemljinetee: gravitaciona sinG i normalna cosG . Pod uticajem gravitacione komponente deli bikrenuo nanie jer normalna komponenta ne stvara otpor trenja, poto ga u tenosti praktino

nema. Ravnotea nastupa onda kada je gravitaciona sila jednaka nuli, a to je jedino mogue akoje jednako nuli, to je dokaz da mirna tenost ima povrinu horizontalnu.

8. Kapilarnost-To je pojava izdizanja ili sputanja nivoa tenosti iznad normalnog. Kapilarnostse javlja u uskim cevima (kapilarima), kao posledica istovremenog dejstva unutranjihkohezionih sila u tenosti, adhezionih sila izmedju tenosti i zidova kapilarnih cevi, ipovrinskih napona. Ova pojava, pored ostalog, ima izvanredan znaaj u kretanju sokova biljakai u kretanju vode u zemljitu. Visina izdizanja nivoa u kapilarima zavisi od prirode tenosti iveliine poprenog preseka kapilara. Visina izdizanja vode u kapilarima (h), prema empirijskimsaznanjima, je priblina koliniku broja 30 i prenika kapilara (d) (h=30/d). Nasuprot vodi, nivoive se sputa u kapilarnim cevima. Ta pojava se naziva kapilarna depresija.

9. Viskoznost (unutranje trenje)-Sve tenosti se pri kretanju manje ili vie raslojavaju, tj. kreuse laminarno. Otpor smicanju, koji se javlja usled trenja izmedju slojeva pri ovom raslojavanjuzove se viskoznost (unutranje trenje). Ovo se moe uoiti ako se u neki prosrtan sud stavitenost pa se na mirnu povrinu priljubi staklena ploica i polako vue horizontalno. Prvi slojtenosti, priljubljen uz ploicu, usled sile adhezije kretae se istom brzinom kao ploica. Drugisloj i svaki sledei ispod kretae se manjom brzinom do poslednjeg sloja koji ostaje nepokretanusled adhezije sa sudom. Veliina viskoznosti zavisi od prirode tenosti i toplotnog stanjatenosti. Veu viskoznost imaju tenosti vee gustine. Viskoznost opada saporastom temperature.

Kontrolna pitanja 1

1. Fluidno telo i fluidni deli2. Stiljivost fluida3. Viskoznost fluida4. Sile u fluidu5. Fizika svojstva tenosti


12/92

2. STATIKA FLUIDA

Statika fluida je deo Mehanike fluida koji se bavi izuavanjem ravnotee fluida. Ravnotea(relativno mirovanje) fluida odreena je uzajamnim dejstvom svih sila koje napadaju posmatranifluidni prostor. Ravnoteu fluida koji se nalazi u stanju mirovanja ili relativnog mirovanja,odravaju dve vrste sila:spoljanje ili masene (zapreminske) sile i unutranje ili povrinske sile.

2.1 Masene sile

Masene sile dejstvuju na elementarnu masu svakog fluidnog delia unutar zapremine kojaograniava posmatrani fluidni prostor, pa se esto zovu izapreminske sile. U ovu grupu silaspadaju:gravitacione sile(teina), mehanike, inercijalne, elektrostatike, elektromagnetne sile

itd. pri emu je svaki fluidni deli male ali konane mase m optereen malim ali konanim

delom glavnog vektora masenih sila mF

. Kako je prema drugom Njutnovom principu sila pro-porcionalna masi, to se glavni vektor masenih sila rasporeuje na sve fluidne delie unutarfluidnog prostora. Raspodela glavnog vektora masenih sila po jedinici mase fluidnog prostora,

moe se tada predstaviti kolinikom mFm /

. Ukoliko je masa fluidnog delia beskonano mala

( 0m ), tada je granina vrednost kolinika mFm /

:

0lim m mm

F dFF

m dm

(2.1)


13/92

jednaka sili F

, koja predstavlja intenzitet polja masenih silaili masenu raspodelu glavnogvektora spoljanjih sila.

Na osnovu izraza (2.1) sledi da je elementarni glavni vektor spoljanjih sila mFd

koji napada

fluidni deli elementarne mase dm obuhvaene elementarnom zapreminom dV jednak:

mdF Fdm

. (2.2)

Na osnovu izraza (2.1) i drugog Njutnovog principa, zakljuuje se da je intenzitet polja masenih

sila ekvivalentan ubrzanju koje spoljanje sile saoptavaju jedinici mase fluidnog prostora. Uskladu sa tim, odgovarajua jedinica za intenzitet polja masenih sila u internacionalnom SIsistemu je

2

N m( )

kg s

F

.

Kako se elementarna masa fluidnog delia moe predstaviti proizvodom gustine i elementarne

zapremine, tj. dm dV , pri emu u optem sluaju gustina predstavlja funkciju poloaja( , , )y z to sledi:

mdF FdV

. (2.3)

Ukupna masena sila mF

, koja napada itav fluidni prostor obuhvaen proizvoljnom zapreminom

V, odreena je rezultantom svih elementarnih sila koje napadaju svaki fluidni deli unutarkonane zapremine V, odnosno zapreminskim integralom:

m

V

F FdV

. (2.4)

Kako su sile vektorske veliine, to vektorski zbir svih masenih sila koje napadaju dati fluidni

prostor predstavljaglavni vektor masenih silai obeleava se oznakom mF

.

2.2 Povrinske sile

Povrinske sile postoje u unutranjosti fluida. Fluidni delii ispunjavajui fluidni prostor se

medjusobno dodiruju nekim elementarnim povrinama ida

(Sl. 2.1b).Na dodirnim povrinamadvaju elementarna susedna fluidna delia kada je fluid u stanju mirovanja dejstvuju, upravno ka


14/92

unutranjosti svakog, elementarne pritisne sile ipda

i ipda

, koje su istih veliina, pravaca asuprotnih smerova saglasno treem Njutnovom principu (jednakost dejstva i protivdejstva) iPaskalovom zakonu o jednakosti pritiska u taki u svim pravcima ako je fluid homogen iizotropan. Ove pritisne sile, koje su uvek u paru, unutar fluidnog prostora uzajamno se

ponitavaju. Zato preostaju samo pritisne sile koje dejstvuju na elementarne granine povrinedA oko fluidne mase (Sl. 2.1a).

Povrinske sile su neprekidno rasporeene po ma kojoj povrini koja ograniava fluidni prostor

ili neki njegov deo, odnosno razdvaja posmatrani fluidni prostor od neke druge sredine.

Elementarna povrinska pritisna sila dP

koja napada beskonano mali deo dA

proizvoljne

povrine A

predstavljena je u obliku:

dP p dA

, (2.5)

gde znak minus oznaava da su vektori Pd

i Ad

suprotnog smera. Tada je ukupna sila koja

dejstvuje po itavoj povrini A

odreena povrinskim integralom:

A

P p dA

. (2.6)

Pritisak se zovestatiki pritisak,ako fluid miruje. Statiki pritisakje uvek normalan na svakojstvarnoj ili zamiljenoj povrini i ima istu vrednost u nekoj taki u svim pravcima koji prolaze

kroz taku. Pri tome nastaje sila statikog pritiska, koja ima odgovarajue osobine, tj. uvek je

normalna na svakoj stvarnoj ili zamiljenoj povrini, i vrednost joj je ista u jednom mestu u svim

pravcima. Ako bi sila statikog pritiska bila pod nekim uglom u odnosu na normalu povrinetada bi se uvek mogla razloiti na normalnu i tangencijalnu komponentu. Tada bi tangencijalnakomponenta izazivala klizanje fluidnih delia te ne bi bilo mogue mirovanje fluida. Da jepritisak jednak u svim pravcima u ma kojoj taki fluidnog prostora dokazuje se na osnovuanalitikih uslova ravnotee svih sila, koje dejstvuju na elementarni tetraedar MABC (Sl.2.2), akoji glase: algebarski zbir projekcija svih sila na pravac ma koje ose treba da bude jednak nuli.

Shodno Sl 2.2i s obzirom na to da je projekcija strane ABC, povrine nA , na odgovarajuoj

koordinatnoj ravni cos , ; cos , ; cos ,x n y n z nA A n x A A n y A A n z sledi:

cos , cos ,x n nx n x nx x n

P P PP P n x n x p p

A A A

cos , cos ,y n ny n y ny y n

P P PP P n y n y p p

A A A

(2.7)


15/92


16/92

Sl. 2.1a i bElementarne pritisne sile Sl.2.2Sile pritiska

2.3 Hidrostatiki pritisak, skalarno polje pritiska

Pritisak je skalarna veliina, to znai da je za potpuno odreivanje pritiska u fluidnom prostorupotrebno znati samo jedan numeriki parametar u obliku imenovanog broja koji predstavljaveliinu, odnosno vrednost pritiska. Vrednosti pritiska u fluidnom prostoru u nekom trenutkuvremena, menjaju se neprekidno od take do take i to tako da svakoj taki prostora odgovarajedna i samo jedna vrednost pritiska, pa kaemo da u posmatranom tenutku pritisak predstavljafunkciju poloaja taaka u prostoru (koordinata). Skup vrednosti pritisaka u taakama prostora ukojima je u datom trenutku definisana vrednost pritiska odreuje tzv. skalarno polje pritiska, kojeu optem sluaju moe biti predstavljeno funkcijom prostornih koordinata i vremena:

( , , , )p p x y z t .

U hidrostatici, dakle u sluaju mirovanja fluida, polje pritiska je stacionarno (ne menja se savremenom), pa predstavlja samo funkciju prostornih koordinata:

( , , )p p x y z .

Prethodne funkcije pritiska odreuju zakonitosti po kojima se menjaju vrednosti pritiska utakama fluidnog prostora. Poznavanjem odgovarajue zakonitosti moe se odrediti vrednostpritiska u ma kojoj taki fluidnog prostora samo na osnovu poznatih koordinata u uslovimaravnotee mirnog fluida.

Ve je reeno da polje pritiska predstavlja jednoznanu funkciju poloaja, odnosno da uposmatranom trenutku vremena u jednoj taki fluidnog prostora moe da postoji jedna i samojedna vrednost pritiska. Sa druge strane, kod skalarnih polja, kakvo je i polje pritiska, mogue jepostojanje beskonano velikog broja taaka u kojima je jedna ista vrednost pritiskap.Geometrijsko mesto taaka unutar fluidnog prostora sa istom vrednou pritiska odreuje tzv.

povrine konstantnog pritiska ili izobarne povrine, koje se mogu predstaviti jednainom:

B

A

M

gradp

p= const.

p= const.

p= const.1

2

n

n


17/92


18/92

Atmosferski pritisak pa(ili barometarski pritisak pb)predstavlja povrinsku raspodelu sile kojomzemljina atmosfera dejstvuje na jedinicu povrine i izraava se kao apsolutni pritisak slobodne

atmosfere odreen u odnosu na apsolutni vakuum, potpuno otsustvo pritiska (Sl. 2.3b). Vrednostatmosferskog pritiska je promenljiva veliina i menja se u zavisnosti od atmosferskih uslova,temperature i nadmorske visine. Meutim, kako su ove promene veoma male, to se za

odgovarajue podruje atmosferski pritisak moe smatrati konstantnom veliinom. Na povrinimora atmosferski pritisak iznosi,

5 52

N760 mmHg 1bar 10 10 Pa

map

.

Vrednost pritiska u slobodnom prostoru uvek je jednaka atmosferskom (barometarskom)pritisku. U zatvorenom prostoru, u nekom rezervoaru ili sudu, vrednost pritiska moe biti via, ilipak nia od atmosferskog. U prvom sluaju kaemo da u sudu vlada nadpritisak, dok je udrugom sluaju u sudu podpritisak ili vakuum.

Nadpritisak pmje apsolutna razlika stvarne vrednosti pritiska u nekom zatvorenom prostoru(sudu) i vrednosti atmosferskog pritiska, kada je pritisak u tom prostoru vii od atmosferskog.Drugim reima, nadpritisak pokazuje za koliko je pritisak u nekom sudu vii od atmosferskog

pritiska ( ap p )(Sl. 2.3b). Ova razlika stvarnog pritiska u sudu i atmosferskog pritiska meri semanometrom, pa se zato nadpritisak naziva i manometarskim pritiskom.

Sl. 2.3b Hidrostatiki pritisak

Podpritisak pvje apsolutna razlika stvarne vrednosti pritiska u nekom zatvorenom prostoru ivrednosti atmosferskog pritiska, za sluaj kada je pritisak u tom prostoru nii od atmosferskog (

ap p

).

Ova razlika stvarnog pritiska u sudu i atmosferskog pritiska meri se depresijom stuba tenosti(najee ive) u instrumenu koji se naziva vakuummetar, pa se zato podpritisak nazivavakuummetarskim pritiskom.

S obzirom da depresija predstavlja negativno stanje u odnosu na nivo atmosferskog pritiska to sepodpritisak naziva jo i negativnim pritiskom. Maksimalna vrednost podpritiska odgovara tzv.

p

p

p

pp

p

0 0

A

A

a

a

B

B

pm

pvB

A


19/92


20/92

2.4 Ojlerova jednaina za mirni fluid

Osnovni uslov statike ravnotee fluida je da vektorski zbir svih sila koje napadaju fluidni

prostor unutar proizvoljne zapremine V obuhvaene zatvorenom povrinom A

bude jednak nuli:

1

0n

i

i

F

0mF P

. (2.11)

Primenom izraza (2.4) i (2.6) na (2.11) dobija se:

0V A

FdV p dA

. (2.12)

Transformacijom, na osnovu Gausove teoreme, povrinskog integrala u zapreminski dobija se:

gradA V

p dA p dV

(2.13)

Primenom (2.13) na izraz (2.12) dobija se uslov o statikoj ravnotei fluida u oblikuzapreminskog integrala u sledeem obliku:

( grad ) 0V

F p dV

. (2.14)

Vrednost zapreminskog integrala moe biti jednaka nuli samo ako je zapremina V = 0 ili pakkada je podintegralna veliina jednaka nuli. Poto je zapremina fluidnog prostora ko-nana irazliita od nule, to podintegralna veliina mora biti jednaka nuli, pa sledi

1gradF p

. (2.15)

Jednaina (2.15) predstavlja vektorski oblik Ojlerove jednaine za fluidu mirovanju, odn.osnovni uslov koji mora biti ispunjen da bi fluid bio u stanju statike ravnotee .

Ojlerova jednaina je vektorska jednaina, pri emu se vektor raspodele masenih sila po jedinici

mase fluidnog prostora F

moe predstaviti preko svojih projekcija X, Y i Z:


21/92


22/92

U optem sluaju, gustina fluida predstavlja funkciju pritiska. Integraljenjem jednaine (2.19)sledi opte reenje za funkciju potencijala u obliku:

Cpdp

p)(

)(

. (2.20)

Nepoznata konstanta integracije za barotropni fluidodreuje se za poznatu funkciju promene

stanja fluida ( )p i granine uslove pri kojima za vrednost pritiska 0p p , funkcija

potencijala ima vrednost 0 0( )p na osnovu ega u optem sluaju sledi:

0

0 ( ) ( )p p

dp dp

p p

. (2.21)

Kada je fluid nestiljivsituacija je znatno jednostavnija. Tada je gustina konstantna (

0 .const ),to primenom na (2.17) i izvlaenjem 0r ispred znaka integrala daje reenje uobliku:

00

0 0

1 1p p

dp dp

0 0

0

1( ) .p p

(2.22)

Iz prethodnog se vidi da zaista postoji takva skalarna funkcija pritiska = (p)za koju se

intenzitet polja masenih sila F

moe predstaviti u obliku grad (2.17).

Vektori koji se mogu predstaviti u obliku gradijenta neke proizvoljne skalarne funkcije nazivaju sepotencijalnim vektorima, a polja takvih vektorapotencijalnimpoljima. Prema tomeusluaju barotropnog fluidaosnovni uslov statike ravnotee fluidnih masa je da polje glavnog

vektora masenih sila mora biti potencijalno.

Sl. 2.4 Ekvipotencijale povrine i linije sila

F

F

N

N

M

M

= const.

= const.

= const.

= const.

1

2

3

4

t


23/92

Iz osobina skalarnih polja, sledi da se skalarno polje potencijala kao sloena funkcija poloaja

px,y,z)unutar fluidnog prostora moe predstaviti neprekidnom raspodelom povrinakonstantnog potencijala const. odnosno ekvipotencijalnim povrinama.Kako vektor

intenziteta polja masenih sila F

predstavlja potencijalni vektor, tj. ima osobinu da se u svakoj

taki fluidnog prostora poklapa sa vektorom gradijenta potencijala, to je u svakoj taki poljanjegov pravac kolinearan sa pravcem normale na ekvi-

potencijalnu povrinu, a smer sa smerom porasta potencijala .

Na taj nain, ako je poznat skup ekvipotencijalnih povrina const. polje raspodele glavnog

vektora masenih sila ( , , )F F x y z

po jedinici mase fluidnog prostora moe biti predstavljenoodgovarajuim skupom tzv. vektorskih linija poljaili linija sila, koje su u svakoj taki poljanormalne na ekvipotencijalnu povrinu, kao na Sl. 2.4.

Vektorska linija poljaje geometrijsko mesto taaka u kojima se pravac vektora (u ovom sluajuvektora F

) poklapa sa pravcem tangente na tu liniju.

2.5Osnovna hidrostatika jednaina

Sl. 2.5 Putanja fluidnog delia

Ojlerova jednaina daje mogunost analize uslova pod kojima je mogua statika ravnoteafluida, ali se zbog svoje vektorske forme teko moe neposredno primenjivati za reavanjekonkretnih hidrostatikih problema. Zato se kao nunost namee potreba iznalaenja

odgovarajue skalarne forme jednaine ravnotee, koja bi bila jednostavnija za neposrednu pri-menu, a ne bi bila u suprotnosti sa Ojlerovom jednainom. Osnovna ideja koja se namee je dase iskoristi zakljuak do koga se dolo prethodnom analizom Ojlerove jednaine, da je ravnoteabarotropnog fluida u stanju mirovanja mogua jedino u sluaju kada je polje glavnog vektoramasenih sila potencijalno.


24/92

Poto u potencijalnim vektorskim poljima vaezakoni konzervacije(odranja) mase, impulsa ienergije, to bi se u ovom sluaju odgovarajua interpretacija zakona odranja energije svela naodreivanje jedininog rada glavnog vektora masenih sila dW . U skladu sa tim, elementarni radglavnog vektora masenih sila po jedinici mase fluidnog prostora bio bi jednak skalarnom pro-

izvodu intenziteta polja masenih silaF

i usmerenog elementa putanjedl

(Sl.2.5)

( , )dW F dl

, (2.23)

gde su vektori F

i dl

zadati preko svojih projekcija na pravce odgovarajuih koordinatnih osa

F X i Y j Zk

i dl dxi dy j dzk

.

Kako je na osnovu (2.17) intenzitet polja masenih sila F

jednak gradijentu potencijala, to naosnovu (2.17) i (2.23) sledi:

( , ) (grad , )dW F dl dl

, tj.

( ) ( ) ( ) ( )X i Y j Z k dxi dy j dzk i j k dxi dy j dzkx y z

.

Skalarnim mnoenjem vektora u zagradama sledi

Xdx Ydy Zdz dx dy dzdx dy dz

.

Kako izraz na desnoj strani jednaine predstavlja totalni diferencijal funkcije potencijala , to seprethodna jednaina moe napisati u obliku:

Xdx Ydy Zdz d , (2.24)

na osnovu ega se zakljuuje da elementarni mehaniki rad glavnog vektora masenih sila po

jedinici mase fluidnog prostora ne zavisi od izbora putanje dl

ve samo od prirataja potencijalau pravcu vektora gradijenta ili drugaije reeno od razlike potencijala u krajnjim takamaAiBputanjeL (Sl.2.5).

Jednaina (2.24) naziva se osnovnom hidrostatikom jednainomi po svom kararkeru onapredstavlja energijsku jednainu koja izraava zakon o odranju energije unutar fluidnogprostora koji se nalazi u stanju ravnotee (mirovanja ili relativnog mirovanja). Kako za sluajbarotropnog fluida prirataj potencijala, na osnovu jednaine (2.19), iznosi


25/92

( )

dpd

p

,

to u optem sluaju za mirovanje barotropnog fluida osnovna hidrostatika jednaina ima oblik

( )dp Xdx Ydy Zdzp

, (2.25)

gdeX, YiZpredstavljaju projekcije glavnog vektora masenih sila po jedinici mase fluidnogprostora [N/kg], odnosno projekcije vektora ubrzanja na pravce odgovarajuih koordinatnih osa,

a ( )p predstavlja funkciju promene gustine sa pritiskom [kg/m3].

Za nestiljiv fluid jednaina (2.25) ima znatno jednostavniju formu:

1dp Xdx Ydy Zdz

, (2.26)

jer je gustina konstantna ( .const ).

Osnovna hidrostatika jednaina ini osnovu hidrostatike i neposredno se primenjuje u

reavanju mnotva problema vezanih za mirovanje ili relativno mirovanje fluida.

Neophodan uslov za njeno reavanje je da su poznate komponente glavnog vektora masenih silapo jedinici mase u pravcima odgovarajuih koordinatnih osa, kao i odgovarajui uslovi pritiska unekoj taki fluidnog prostora.

2.6 Mirovanje nestiljivog fluida u polju sile zemljine tee

Sl. 2.6 Nadpritisak u gravitacionom polju

Kada nestiljiv fluid (tenost), za koji je .const , miruje u gravitacionom polju, tada naelementarnu masu fluidnog delia dmobuhvaenu okolinom proizvoljne takeM(x,y,z) dejstvujeelementarna masena sila dFmkoja je ekvivalentna sopstvenoj teini fluidnog delia, tj. dFm= dG


26/92

=gdm. Ako se usvoji pravougli koordinatni sistem ije osexiylee u horizontalnoj ravni, avertikalna osazima pozitivan smer u smeru dejstva sile zemljine tee (Sl.2.6), tada po jedinicimase fluidnog delia dejstvuje masena sila:

m mdF dG gdm gkdm dF Fdm Xi Yj Zk dm

ije su projekcije na pravce odgovarajuih koordinatnih osa:

0, 0 i mdF gdm

X Y Z gdm dm

.

Zamenom projekcijaX, YiZu osnovnu hidrostatiku jednainu (2.26) i integraljenjem celejednaine sledi:

1 1dp gdz dp g dz C

pgz C

. (2.27)

Nepoznata integraciona konstanta C odreuje se iz uslova da apsolutni pritisak na slobodnojpovrini tenosti u koordinatnom poetkux=y=z= 0 ima vrednost p = pa na osnovu ega iz

(2.27) sledi aC p . Zamenom konstante Cu (2.27) sledi jednaina raspodele pritiska utenosti u obliku:

ap p gz . (2.28)

Na osnovu jednaine (2.28) se zakljuuje da veliina nadpritiska u takiM(x,y,z) fluidnogprostora, koji je posledica dejstva gravitacionog polja zemljine tee na jedininu masunestiljivogfluida, iznosi:

mg ap p p gz . (2.29)

2.6.1 Spojeni sudovi. Paskalov zakon


27/92

Na Sl.2.8aprikazani su spojeni sudovi 1 i 2 ispunjeni homogenom tenou, sa klipovima na

visinama 1h

i 2h

na koje dejstvuju pritisci 1p

i 2p

. Relaciju (2.27) moemo napisati u obliku

p gz C , a na nekoj dubini, za ekviskalarne ravne povrine, moraju pritisci biti jednaki, pa

se moe napisati da je:

1 1 3

2 2 3

1 1 2 2 1 2 2 1 2 1

p gh p

p gh p

p gh p gh p p gh gh g h h

p gh h

Ako je 1p

= 2p

tj. na slobodnim povrinama dejstvuju jednaki pritisci tada je h=0 ( 1h

= 2h

) i tada

se u spojenim sudovima tenost nalazi svuda na istom nivou.

Sl.2.6a Spojeni sudovi

Paskal je formulisao zakon o promeni pritiska:

Kroz tenost u ravnotei, svaka promena pritiska u jednoj taki prenosi se podjednako u sve

ostale take prostora koji tenost zaprema.


28/92

Na Paskalovom zakonu zasnovan je rad hidrauline prese, hidrauline konice ili hidrauline

dizalice. Nasl.6bprikazano je podizanje tereta G pod dejstvom sile F na klip A. Utroen rad sile

F na pomeranju Ah

jednak je ostvarenom radu na podizanju tereta G na pomeranju Bh

, po

zakonu o odranju energije, ako zanemarimo trenje. Prema tome vai jednakost:

A B A BW W F h G h

Sl.2.6b Spojeni sudovi

Za nestiljiv fluid, s obzirom da nema promene zapremine, iz prethodnog sledi relacija o

jednakosti pritiska:

;BA BA

A BI A A II B B

B A

AA B

B A B

hFF h G h

G h

A hV A h V A h

A h

AF F Gp p p

G A A A

Prema Paskalovom zakonu spoljanji pritisak se prenosi kroz tenost na sve stranepodjednako.

Kontrolna pitanja 2


29/92

1. Masene sile

2. Povrinske sile

3. Hidrostatiki pritisak

4.

Ojlerova jednaina za mirni fluid

5. Osnovna hidrostatika jednaina

6. Mirovanje nestiljivog fluida u polju zemljine tee

7. Spojeni sudovi. Paskalov zakon


30/92

2.7 Pritisak na ravne i krive povrine

2.7.1 Pritisak na ravne povrine

Neka je proizvoljna ravna povrinaA,koja je nagnuta pod uglom u odnosu na horizontalu,potopljena u tenosti gustine Sl. 2.7).Problem se sastoji u odreivanju ukupne sile pritiska

kojom tenost dejstvuje na datu ravnu povrinu. Budui da jesila pritiska P

vektorska

veliina, to reenje problema podrazumeva da treba odrediti: veliinu, pravac, smer sile pritiska,kao i napadnu taku u kojoj dejstvuje na datu povrinu.

Iz osobina povrinskih sila sledi da je pravac sile pritiska uvek upravan na ma koju stvarnu ilizamiljenu povrinuAu tenosti, a da je smer uvek orijentisan prema datoj povrini (usuprotnom smeru od vektora povrine), te su u tom smislu pravac i smer sile pritiska unapredpoznati.

Veliina sile pritiska u optem sluaju odreena je zbirom svih elementarnih sila pritiska dPkoje

dejstvuju po itavoj povriniA, odnosno integralom: A

pdA

.


31/92

Sl.2.7 Pritisak na ravnu povrinu

Ako se usvoji elementarna povrina dAoko takeM, koja se nalazi na dubiniz, tada je sila

pritiska dPkoja dejstvuje na elementarnu povrinu dA, odreena izrazom:

,dP pdA gzdA (2.30)

pa je na osnovu prethodnog izraza za silu pritiska:

AP g zdA

, (2.31)

Izraz pod integralom predstavlja statiki moment povrineA u odnosu na horizontalnu ravan

slobodne povrine tenosti, koji je za celu povrinu jednak proizvodu povrineA sa odstojanjem


32/92

od slobodne povrine do teita povrine, koje u ovom sluaju iznosi Cz

(lit.Tehnikamehanika, drugi deo, glava2), na osnovu ega je:

CA

zdA z A

,pa je traena veliina sile pritiska jednaka:

Cgz A . (2.32)

Kako proizvod Cgz

predstavlja pritisak koji dejstvuje u teitu povrine A, to se na osnovuizraza (2.32) zakljuuje da jesila pritiska koja dejstvuje na povrinu A potopljenuu tenostijednaka proizvodu pritiska koji dejstvuje u teitu povrine A i veliine same povrine A,

odnosno:

,Cp A

(2.33)

gde je: Cp

pritisak u teitu povrineA.

Napadna taka sile pritiska ne nalazi se u teitu C povrine A kako bi se oekivalo, ve u taki

D, koja se nalazi na veoj dubini Dz

u tenosti i koja se naziva centar pritiska. Ovo je posledicalinearne raspodele pritiska u tenosti koja se nalazi u polju sile zemljine tee, pri emu na delovepovrine koji se nalaze na veoj dubini dejstvuje vii pritisak, pa je i sila pritiska na donjupolovinu povrine vea.

Sistem paralelnh sila istog smera se uvek svodi na rezultantu a to je u ovom sluaju ukupna silapritiska na datu povrinu. Prema teoremi o slaganju dveju paralelnih sila istog smera(& 3.1.1izraz 30, u literaturi [Prvi deo, str.46, Tehnika mehanika, S. Miti]) napadna linija rezultante

dveju paralelnih sila uvek je blia napadnoj liniji vee sile, to je i napadna linija a samim tim inapadna taka rezultantePsistema paralelnih sila pritiska na povrinuA pomerena ispod teitapovrine u neku takuD,jer elementarne sile pritiska direktno zavise od dubine (koordinate) z i

poveavaju se sa njenim poveanjem (izraz 2.31).Taka D(, ,

D D Dx y z

) predstavlja centar

(sredite) sistema paralelnih sila-centar pritiska, te se njene koordinate mogu odrediti prema

teoremi (62)(&5.1 u literaturi [Prvi deo,str.75, Tehnika mehanika, S. Miti]). S obzirom na toda su sile elementarne i izraunavaju se integraljenjem, to u ovim izrazima treba uzeti umesto


33/92

zbirova od jedan do n-sila integrale po povrini A (izraz 2.31). Koordinate take D se odredjuju uodnosu na koordinatni sistem ije ose Ox i Oy lee na slobodnoj povrini tenosti a osa Oz stojivertikalno i usmerena je nanie. Ova teorema je zasnovana na Varinjonovoj teoremio momenturezultante sistema paralelnih sila u prostoru, koja glasi: Moment rezultante prema koordinatnojosi (ravni) jednak je algebarskom zbiru momenata komponenata prema istoj osi (ravni)(& 4.2.7

izraz (61), u literaturi [Prvi deo, str.69, Tehnika mehanika, S. Miti]).Tako se obrazujujednaine:

2

D

A

D

A

DA

x P g xzdA

y P g yzdA

z P g z dA

(2.34)Zamenom (2.32) u (2.34) dobija se:

2

D C

A

D C

A

D C

A

x gz A g xzdA

y gz A g yzdA

z gz A g z dA

odakle sledi:

2

D C

A

D C

A

D C

A

x z A xzdA

y z A yzdA

z z A z dA

(2.35)


34/92

Budui da povrina A lei u ravni pod nagibom moe se uvesti novi koordinatni sistem,rotiran oko take O za ugao , tako da se poloaj ma koje takeM(x,y,z) elementarne povrinedA povrine Apredstavi novim koordinatama M(,u,v) s tim to se mora uvesti odgovarajuaveza izmedju koordinata:

; cos ; sinx u y v z v (2.36)

Primenom (2.36) na (2.35), uvode se odgovarajue transformisane koordinate:

; cos ; sin

; cos ; sinC C C C C C

D D D D D D

x u y v z v

x u y v z v

i dobija se sistem jednaina:

2

2

D C

A

D C

A

D C

A

u v A uvdA

v v A v dA

v v A v dA

(2.37)

Iz prve relacije dobija se koordinata napadne take D u pravcu ose Ou, koja se poklapa sa osomOx:

AD

C

uvdA

uv A

. (2.38)Druge dve daju isti rezultat, tj. odredjujupoloaj napadne take D u pravcu ose Ov koja lei uravni povrine A:


35/92

2

AD

C

v dA

vv A

. (2.39)

Izrazi u brojiocima predstavljaju momente inercije potopljene povrineA u odnosu na oseOu iOv, tako da je:

IuvA

uvdA -centrifugalni moment inercije (2.40)

2IuA

v dA -aksijalni moment inercije (2.41)

Napomena:O momentima inercije ravne povrine videti &2.2 u literaturi [Drugi deo, str.122-125, Tehnika mehanika, S. Miti])

Primenom izraza (2.40) i (2.41) na (2.38) i (2.39), koordinate centra pritiska u ravni A mogu senapisati u sledeem obliku:

;uv uD DC C

I Iu v

v A v A

(2.42)

Poloaj napadne takeDrezultantePsistema paralelnih sila pritiska u odnosu na teite Csemoe odrediti primenom tajnerove teoreme (&2.3 u literaturi [Drugi deo,str.125-129, Tehnikamehanika, S. Miti]):

2I I ;u u C uv u v C C v A I I u v A ,

gde je osa uparalelna osiua osa vparalelna v, i obe prolaze kroz teite CpovrineA, pa sezovu teine ose a odgovarajui momenti inercije sopstveni momenti inercije.Tada je:

I u v u vD C u v C C D C DC D CC C

I Iu v A u v A u u u u u

v A v A

,


36/92

2 I II 0u uD C u C D C D CC C

v v A v A v v v vv A v A

. (2.43)

Ako obeleimoI I

u C

, uslovno da bi nas asocirao na teite a to je aksijalni momentinercije za osu koja prolazi kroz teite povrine a nikako polarni moment inercije, tada je

pomeranje centra pritiska od teita u pravcu ose v:

CCD D C

C

Iv v v

v A

(2.44)

gde je: IC aksijalni moment inercije povrine A u odnosu na osu koja prolazi kroz teite

povrine; Cv poloaj teita povrine A u odnosu na sistem 0uv (Sl. 2.7),A veliinapovrine. Vidi se iz (2.43) ili (2.44) da je centar pritiska D uvek dublje od teita C povrineAida je ta razlika utoliko manja ukoliko je teite nie.

U odnosu na sistem Oxyzovo pomeranje je odreeno preko sinusa ugla nagiba povrineApremahorizontali i iznosi:

1

sin sinC

C

vz

v A

, (2.45)

Kako je prema slici/sinC Cv z , to na osnovu prethodnog izraza sledi:

sin1

sinC C

C C

I Iz

z A z A

. (2.46)

Ako povrina A ima osu simetrije normalnu na pravac ose u, tada se teina osa moe uzeti za

osu v ( C se nalazi na toj osi). Tada jeI 0; 0uv Du .


37/92

Vrednost pritiska i poloaj napadne take ne zavise od ugla

nagiba povrineA,to znai da

se nita ne menja ako se povrina zarotira oko teine ose u paralelne osi u. Ovo pravilo seesto koristi tako da se raun sprovodi samo za vertikalan poloaj ravni A.

CP gz A;

C

C

Iz

z A

. (2.47)

Ako ravna povrina predstavlja horizontalno dno suda, onda je na osnovu prethodnog za

Cz h :

,dP pdA ghdA tj.

VP ghA hA V G

,(2.48)

to znai da jepritisak na dno suda jednak teini stuba tenosti koji ima oblik cilindra, s

osnovom jednakom povrini dna suda, i visinu jednaku rastojanju od dna do slobodne povrine.

Ovaj pritisak ne zavisi od oblika suda. Prema tome, pritisci p i sile pritiska P jedne iste tenosti

na dna sudova raznih oblika, ukoliko su povrine dna jednake, bie jednake veliine ako su

visine pritiska jednake. To se zovePaskalov hidrostatiki paradoks.


38/92


39/92

Prve dve jednaine (2.51), odreuju intenzitete komponenti elementarne sile pritiska koje

dejstvuju u horizontalnom pravcu, pri emu povrine dAxiydA

predstavljaju ortogonalneprojekcije elementarne povrine dA na vertikalne koordinatne ravni 0yz i0xz.

Trea od jednaina odreuje komponentu elementarne sile pritiska dPzkoja dejstvuje uvertikalnom pravcu, pri emu elementarna povrina dAzpredstavlja projekciju na horizontalnukoordinatnu ravan 0xytj. na ravan slobodne povrine tenosti.

Na osnovu jednaina (2.51) intenziteti komponenti ukupne sile pritiska odreeni su integralima:

Sl.2.9 Pritisak na krivu povrinu

,

,

.

x

y

z

x x

A

y y

A

z

A

p dA

p dA

p dA

(2.52)

pri emuAx,AyiAzpredstavljaju projekcije date krive povrine na odgovarajue koordinatneravni.

Kako projekcije krive povrineAna koordinatne ravni predstavljaju ravne povrine, to se zaodreivanje intenziteta komponenata sile pritiskaPkoje dejstvuju na projekcijeAx,Ayu


40/92

verikalnim koordinatnim ravnima primenjuje metodologija koja se primenjuje kod odreivanjasile pritiska na ravne povrine, pa su veliine odgovarajuih komponenata rezultujue silepritiska uxiypravcu:

,x Cx x y Cy ygz A P gz A . (2.53)ije su napadne take, odreene izrazima:

yCy

Cyy

xCx

Cxx

Az

Iz

Az

Iz odnosno,,

(2.54)

gde su:AxiAy projekcije krive povrineAna odgovarajue vertikalne koordinatne ravni 0yzi0xz;zCxizCy poloaji teita projekcijaAxiAyu odnosu na slobodnu povrinu tenosti;ICxiICy momenti inercije projekcijaAxiAyu odnosu na ose koje prolaze kroz teita povrina iparalelne su, redom, osama Oyi Ox.

to se tie vertikalne komponente sile pritiskaPz, pojekcijaAzlei u ravni slobodne povrinetenosti. Sa druge strane, s obzirom na to da je elementarna povrina dAbeskonano mala, to onau celosti lei na dubiniz,pri emu jezCz=z. Tada veliina pritiska koji dejsvuje po itavoj

elementarnoj povrini dA iznosip gz

, pa je intenzitet komponente sile pritiska uzpravcu:

z zz z z

A AP gzdA g zdA . (2.55)Prema slici (Sl.2.9),podintegralna veliina predstavlja elementarnu zapreminu cilindra visineziosnovice dAz:

zdV zdA ,

pa je komponentaPz

zz z

VP g dV gV , (2.56)

iz ega se zakljuuje da vertikalna komponenta sile pritiska Pzodgovara teini tenosti kojapritiska datu krivu povrinu, od slobodne povrine tenosti do same krive povrine.


41/92


42/92

2.8 Sila potiska, plivanje tela i stabilnost ravnotee

U prethodnom odeljku je analiziran sluaj odreivanja sile pritiska kojom tenost dejstvuje na

proizvoljnu otvorenu krivu povrinu potopljenu u njoj. U ovom odeljku se razmatra sluajzatvorene krive povrine kada je to povrina omotaa nekog tela proizvoljnog oblika izapremine.

2.8.1 Sila potiska

Neka je telo zapremine V, omotaa povrineA, potopljeno je u tenosti (sl.2.10). Postavljen jeDekartov koordinatni sistem tako da koordinatni poetak O, kao i ose Oxi Oy, lee na slobodnojpovrini tenosti a osa Ozusmerena vertikalno nanie. Tada je u nekoj taki na dubini z ispodslobodne povrine apsolutni pritisakpjednak zbiru pritiska na slobodnu povrinu, npr.atmosferskog, i pritiska tenosti usled dejstva zemljine tee:

;ap p z g . (2.57)

Na elementarnu povrinu dA omotaa povrineA, upravljenog elementa dA

, uzimajui u obzirrelacije (2.6) i (2.9) i da je:

ap p p

grad p grad p z i j k kx y z

;

0; 0; ; .a

p p pp const

x y z

,

dejstvuje sila pritiska:

A

P pdA grad p dV k dV Vk

. (2.58)


43/92

Sl.2.10 Sila potiska

Dakle, ukupna sila pritisaka-rezultanta sila pritisaka, koje dejstvuju na potopljeno telo, jednaka

je proizvodu zapremine tela i specifine teine tenosti a dejstvuje navie. Ako je telo samo

delimino potopljeno, tada je rezultanta sila pritisaka jednaka proizvodu zapremine potopljenog

dela tela i specifine teine tenosti.

Rezultanta sila pritisaka, koju trpi potpuno ili delimino potopljeno telo odn.zatvorena kriva

povrina A potopljena u tenosti gustine , zove se sila potiska (Arhimedova sila) ili, kratko,

potisak.

Arhimedova teoremaTelo potopljeno u tenosti prividno gubi od svoje teine onoliko kolika je

teina njime istisnute tenosti.

Potisak je sila koja ima:

-veliinu jednaku proizvodu zapremine potopljenog tela ili potopljenog dela tela i specifine

teine tenosti (P V

);

-pravac vertikalan, sa napadnom linijom koja prolazi kroz teite zapremine potopljenog tela ili

potopljenog dela


44/92

Sl. 2.11Sila potiska: a) sila pritiska na gornju povrinu; b) sila pritiska na donju povrinu;c)sila pritiska na zatvorenu povrinu

tela;

- smer navie.

a) b) c)

Moe se zakljuiti:

-Sila pritiska na proizvoljnu zatvorenu krivu povrinu potopljenu u tenosti ne zavisiodhorizontalnih komponenata sile pritiska, jer je dejstvo horizontalnih komponenata simetrino uodnosu na ma koju vertikalnu ravan koja preseca datu krivu povrinu, te se njihovo dejstvoponitava u parovima;

-Ukupna sila pritiska (rezultanta sila pritiska) na proizvoljnu zatvorenu krivu povrinupotopljenu u tenosti

ekvivalentna je razlici vertikalnih komponenata sila pritiska koje optereuju datu povrinu sadonje i sa gornje strane i naziva sepotiskom (Sl. 2.11abc);


45/92

-Veliina sile potiska ekvivalentna je proizvodu specifine teine tenostig

izapremine V koja je obuhvaena datom zatvorenom krivom povrinomA tj. potisak tela jednakje teini tenosti koju telo istisne;

-Sila g g g gP P k V k gV k

je sila kojom tenost pritiska gornju polovinu odslobodne povrine nanie (Sl.2.11a), i ima isti smer kao i osa Oz dekartovog koordinatnogsistema usmerena kao na Sl.2.10.Sila kojom tenost pritiska donju polovinu povrine prema

slobodnoj povrini tenosti ima smer navie: d d d d P P k V k gV k

(Sl.2.11b)

-Sila potiska P Pk

ima smer navie (Sl.2.11c) jer je: d g d g V V P P

.

-Sila potiska ne zavisi od veliine pritiska koji vlada iznad slobodne povrine tenosti(podpritiskapvili nadpritiskapm) jer isti simetrino optereuje celu krivu povrinu, pa se njegovodejstvo ponitava.

-Napadna taka sile potiska D vC se nalazi u teitu zapremine Vograniene datomzatvorenom krivom povrinomA.

2.8.2 Plivanje tela

Na potopljeno telo dejstvuju sila potiskaP i silateine tela G vertikalnog pravca ali suprotnogsmera. Sila potiska dejstvuje navie a sila teine nanie.


46/92


47/92


48/92

Obrtanjem tela oko horizontalne ose mogu se postii sva tri ravnotena stanja, to zavisi od

poloaja teita tela prema centru potiska (Sl.2.13).

Ako teite lei ispod centra potiska, ravnoteno stanje je stabilno jer pri malom odstupanju odravnotenog poloaja potisak i teina obrazuju spreg sila (Sl.2.13a), tako da se telo vraa u

prvobitan poloajpod dejstvom momenta tog sprega sila.

Ako se centar potiska i teite tela poklapaju tada je indiferentno ravnoteno stanje (Sl.2.13b).

Ako se teite tela popne iznad centra potiska nastaje spreg sila iji moment udaljava telo od

ravnotenog poloaja (Sl.2.13c).

a) b) c)

Sl. 2.13 Ravnotea tela u fluidu: a) stabilna; b) indiferentna; c) labilna ravnotea


49/92

2.8.3.2 Uslovi stabilnosti ravnotee delimino potopljenog tela

Ako se plovno telo kree translatorno po horizontali ili se obre oko vertikalne ose, tada jeindiferentno ravnoteno stanje. Translatorno kretanje po vertikali izaziva promenu potiska iremeti ravnoteu koja se ipak uspostavlja sama od sebe usled translatornog pomeranja telavertikalno u suprotnom smeru.

Obrtanjem tela oko horizontalne ose menjaju se, u optem sluaju, i oblik, i veliina potopljenogdela tela a samim tim se premeta centar potiska. Plovna tela (brodovi) uglavnom imajuvertikalnu ravan simetrije koja see povrinu vode (ravan plivanja) po uzdunoj osi, tzv. osiinklinacije. Obrtanje tela oko horizontalne uzdune ose (ose inklinacije) zove se bono ljuljanje.Telo moe da se obre i oko horizontalne ose upravne na uzdunu osu u ravni plivanja i ono se

zove uzduno ljuljanje.

Stabilnost tela pri plivanju razmatra se samo u sluaju ako je G


50/92


51/92

2.9 Relativno mirovanje tenosti

Ako se tenost nalazi u sudu koji se kree ravnomerno ili ubrzano konstantnim ubrzanjem, tada

e se u tenosti nakon izvesnog vremena uspostaviti takvo stanje u kome se tenost nalazi ustanju mirovanja ako se posmatra u odnosu na neki koordinatni sistem koji je fiksiran za sud ilipak neku taku u tenosti, ali e se zajedno sa sudom i dalje kretati u odnosu na neki drugikoordinatni sistem koji je usvojen van suda. Stanje kretanja ili mirovanja koje zavisi od izbora ilokacije koordinatnog sistema naziva se relativnim kretanjem, odnosno relativnim mirovajem.Kretanje suda prenosi se podjednako na sve fluidne delie unutar fluidnog prostora, pa se takvokretanje nazivaprenosnimkretanjem. Ukoliko je prenosno kretanje ubrzano, tada e naelememtarnu masu svakog fluidnog delia saglasno Drugom Njutnovom principu javiti sile kojase suprostavljaju promeni stanja u kome se tenost prethodno nalazila. Ove sile nazivaju seinercijalnim silamai s obzirom da dejstvuju na masu fluidnih delia unutar itave zapremine

koja ograniava fluidni prostor po svom karakteru spadaju u masene sile.

Problemi u vezi sa ravnoteom tenosti koja relativno miruje, spadaju u statike probleme, jer seravnoteno stanje koje se uspostavlja pri relativnom mirovanju odrava u toku vremena sve dokse pod dejstvom drugih sila ova ravnotea ne narui. S obzirom da postoje dva osnovna tipakretanja analizirae se ravnotea tenosti koja relativno miruje pri translatornom i rotacionomprenosnom kretanju.

2.9.1 Translatorno prenosno kretanje

Analizira se jednakopromenljivo translatorno kretanje suda (suporta) sa tenou u polju silezemljine tee, niz strmu ravan koja je nagnuta pod uglom u odnosu na horizontalu (Sl.2.15).

Kretanje se odvija konstantnim ubrzanjem a

, intenziteta (a= const.), pravca strme ravni i smeraniz nju.

Za analizu problema koristi se osnovna hidrostatika jednaina (2.26):

1dp Xdx Ydy Zdz


52/92

Sl.2.15 Relativno mirovanje tenosti pri translatornom prenosnom kretanju

U ovom sluaju ravnoteu tenosti u sudu odravaju dve zapreminske sile: teina tenosti u sudu

gmG

, i

sila inercije inF ma

, koja dejstvuje u smeru suprotnom od smera sile koja uzrokujekretanje niz strmu ravan, pa zato ispred nje stoji znak minus. Ukupna masena sila je:

m inG F

.

Glavni vektor masenih sila po jedinici mase u ovom sluaju predstavlja vektor a

koji se dobija

vektorskim zbirom vektora a

i vektorag

, kao na Sl. 2.15:F g a

.

Za Dekartov koordinatni sistem Oxyz, koji je usvojen na slobodnoj povrini tenosti u sudu takoda je Ox osa upravna na ravan kretanja, u skladu sa tim komponente glavnog vektora masenihsila po jedinici mase su:

X= 0 ,cos , sin ,Y a Z a g

(2.59)

Ako se vrednosti za X, YiZ zamene u osnovnu hidrostatiku jednainu tada je:

1cos ( sin )dp a dy a g dz

,

pa integraljenjem cele jednaine sledi:


53/92

1cos ( sin )dp a dy a g dz C

,

odnosno,

cos ( sin ) .p

y a z a g C

(2.60)

Nepoznata integraciona konstanta Cse odreuje iz graninih uslova poznatog pritiskapu nekojtaki fluidnog polja. Ovde se moe iskoristiti uslov da je u koordinatnom poetku, odabranom naslobodnoj povrini tenosti, totalni pritisakpjednak atmosferskom pritiskupa. Primenom

graninih uslova

0 ax y z p p na jednainu (2.60) dobija se integracionakonstanta:

apC

. (2.61)

Tada se na osnovu (2.61) jednaina (2.60), moe napisati u obliku:

1( ) cos ( sin )ap p y a z a g

. (2.62)

Dobijena jednaina predstavljajednainu raspodele pritiska u tenostiza razmatrani primer. Onaomoguava eksplicitno odreivanje vrednosti pritiska u ma kojoj takiM(x,y,z) fluidnog prostoraije su koordinatex,yizpoznate. S obzirom dappredstavlja totalni pritisak u tenosti veliina(ppa) na levoj strani jednaine (2.62) je nadpritisak koji je posledica dejstva glavnog vektoramasenih sila.

Za poznatu vrednost pritiskap=p1, reavanjem jednaine (2.62) po promenljivojz,moe se zarazmatrani sluaj odrediti odgovarajuajednaina izobarne povrine, odnosno povrinekonstantnog pritiska(p1= const.) u 0yzkoordinatnoj ravni:

1cos 1

sin sinap paz y

g a g a

(2.63)


54/92

Jednaina (2.63) predstavlja jednainu prave oblika:

,z ky b

1cos 1k , .sin sin

ap patg bg a g a

na osnovu ega se zakljuuje da povrine konstantnog pritiska (p= const.) predstavljaju familiju

paralelnih ravni iji je ugao nagiba .

Za uslovp1=pakoji vai na slobodnoj povrini tenosti je koeficijent b= 0, pa se dobijajednaina slobodne povrine tenostiu obliku:

yag

az

sincos

. (2.64)

Izraz (2.64) predstavlja jednainu prave koja prolazi kroz koordinatni poetak (Sl.2.15).Ugao

nagiba slobodne povrine tenosti moe se odrediti na osnovu jednaine slobodne povrinetenosti (2.63), pri emu treba primeniti relacije uoene sa Sl.2.15

sin cos , i cos sina a a g a :

cos sin ,sin cos

a a tgg a a

Tada je ugao nagiba slobodne povrine tenosti u odnosu na horizontalnu ravan:

cos.

sin

aarctg

g a

(2.65)


55/92

Ugao nagiba slobodne povrine tenosti u odnosu na horizontalnu ravan bio bi prav ( 2

)

u sluaju kada

cos

sin

a

g a

, tj. sin 0g a . Zakljuuje se da se to

deava ako se suport kree ubrzanjem sin

ga

Sl.2.16 Relativno mirovanje tenosti pri translatornom prenosnom kretanju

Ako ubrzanje suporta (suda u kome se nalazi tenost) zavisi od vremena tada nije mogue da

tenost u tom sudu miruje, ve e se stalno kretati (klatiti).Nije mogue ostvariti relativno

mirovanje fluida u sudu koji se kree translatorno promenljivim ubrzanjem.

2.9.2 Rotaciono prenosno kretanje oko vertikalne ose

Pri rotaciji suda sa tenou konstantnom ugaonom brzinom u tenosti se uspostavlja

stacionarno stanje u kome se uslovi ravnotee fluidnih masa odravaju za sve vreme dok se

reim kretanja ne promeni. U tom sluaju tenost relativno miruje u odnosu na koordinatni

sistem koji se kree zajedno sa tenou, pa se moe primeniti osnovna hidrostatika jednaina

(2.26).


56/92

Ako se usvoji koordinatni sistem 0xyztakav da sezosa sistema poklapa sa osom rotacije (osomsimetrije suda) axiyosa lee na slobodnoj povrini tenosti (Sl. 2.17), tada u toku rotacije nafluidni deli u proizvoljnoj takiM(x,y,z) u horiznontalnoj ravni 0xyradijalno u odnosu na osurotacijezdejstvuje masena sila koja je ekvivalentna centrifugalnoj sili. Kako je centrifugalna silajednaka proizvodu mase i normalnog (centrifugalnog)

a) b)

Sl. 2.17 Relativno mirovanje tenosti pri rotacionom prenosnom kretanju

ubrzanja na

, to na jedininu masu fluidnog delia dejstvuje masena sila ekvivalentna

normalnom ubrzanju na

:

2n

a r

. (2.66)

Na taj nain su projekcije glavnog vektora masenih sila po jedinici mase fluidnog prostoraXi Y

na pravce koordinatnih osaxiyodreene projekcijama vektora centrifugalnog ubrzanja na

naodgovarajue ose odnosno:


57/92

2 2, ,x Y y (2.67)

pri emu saglasno Sl.2.17, takaM(x, y, z) lei na krunici, poluprenika r sa centrom ukoordinatnom poetku. Putanja fluidnog delia za vreme rotacije suda je krunica definisana

jednainom:

2 2 2r x y . (2.68)

U pravcu vertikalne ose, fluidni deli u takiM(x,y,z) ima konstantno ubrzanje usled dejstva sile

zemljine tee:Z g

. (2.69)

Zamenom projekcijaX, YiZglavnog vektora masenih sla u osnovnu hidrostatiku jednainu, tj.unoenjem izraza (2.68) i (2.69) u (2.26) dobija se:

2 21 .dp xdx ydy gdz

Integraljenjem ove jednaine dobija se:

2 21 ,dp xdx ydy g dz C

2 22 21 ,

2 2

x ygz C

22 21 ( )

2p x y gz C

. (2.70)

Nepoznata integraciona konstanta Cmoe se odrediti iz uslova da je vrednost pritiska naslobodnoj povrini tenosti jednaka atmosferskom pritiskup=pa. Poto je poetak koordinatnogsistema odabran na slobodnoj povrini tenosti, to je:

za0x y z , vrednost pritiska p=pa.

Primenom ovih graninih uslova na jednainu (2.70), dobija se integraciona konstanta C:

1aC p

.

Zamenom vrednosti integracione konstante Cu jednainu (2.70), dobija sejednaina raspodelepritiska u tenosti:


58/92

22 21 ( ) ( )

2ap x y gz

. (2.71)

Ova jednaina se primenom uslova (2.68) moe napisati u zgodnijoj formi,

2 21( )

2ar

p p gz

, (2.72)

gde r predstavlja intenzitet vektora poloaja proizvoljne takeM(x,y,z) unutar fluidnog prostorau odnosu na osu rotacijez, odnosno radijus putanje fluidnog delia u toku rotacije. Prvi lan nadesnoj strani jednaine pomnoen gustinom izraava poveanje pritiska koje nastaje u tenostipod dejstvom centrifugalne sile pri obrtanju a prema hidrostatikom pritisku pri apsolutnommirovanju. Poveanje pritiska na istoj dubiniz srazmerno je kvadratu rastojanja od obrtne ose i

kvadratu ugaone brzine, i moe biti veliko. Ovo saznanje se esto koristi u tehnici, npr. za radcentrifugalnih pumpi, za separaciju (razdvajanje) tenosti itd.

Jednaina slobodne povrine tenostise moe dobiti primenom uslova da je na slobodnojpovrini tenosti pritisak jednak atmosferskom pritiskup=pa, na osnovu ega je:

2 2

2

rz

g

. (2.73)

Jednaina (2.73) predstavlja jednainu parabole drugog reda u 0rzravni sa temenom u

koordinatnom poetku koja je simetrina u odnosu na osu rotacijez, na osnovu ega sezakljuuje da slobodna povrina tenosti ima oblik rotacionog paraboloida. Osim toga, na osnovujednaine raspodele pritiska (2.72) moe se za ma koju poznatu vrednost pritiskap=pNu takiN(r, z), odrediti geometrijsko mesto taaka u kojima pritisak ima konstantnu vrednost (pN=const.), ili tzv. izobarna povrina, pri emu je:

2 2 1( )

2 N ar

p pg g

. (2.74)

Ova jednaina predstavlja takoe jednainu parabole iz iste familije kojoj pripada i jednaina(2.73), ali je za razliku od nje pomerena u negativnom smeru osezza (pNpa)/g. Na osnovuovoga se zakljuuje da povrine konstantnog pritiska u tenosti koja rotira konstantnom

ugaonom brzinom (= const.), predstavljaju familiju koaksijalnih povrina u obliku rotacionihparaboloida koji su neprekidno rasporeeni unutar fluidnog prostora.


59/92

Jednaina slobodne povrine tenosti se moe iskoristiti da bi se izraunalo do koje visine se pridatoj ugaonoj brzini podigne tenost us zid suda, a koliko se spusti teme paraboloida u odnosu nanivo tenosti pre poetka rotacije.

Neka takaA(D/2, hR) na sudu oznaava krajnju taku do koje se tenost popela uz zid suda.

Tada takaApripada slobodnoj povrini tenosti pa prema tome zadovoljava jednainu slobodnepovrine tenosti (2.73), pa je zay=D/2 i z= hR, na osnovu (2.73)

2 2

8Rh

. (2.75)

Ako je prvobitna zapremina tenosti u sudu pre rotacije prema Sl. 2.17 iznosila:

2

0 4

DV H

, (2.76)

tada e ista ta zapremina tenosti biti u sudu i za vreme rotacije, pod uslovom da nemeprosipanja tenosti iz suda, ali je sada njen oblik drugaiji. Ova zapremina se moe izraunatitako to e se od zapremine cilindra visine h0+ hRoduzeti zapremina rotacionog paraboloidavisine hR, pa je:

2 2

0

1( )

4 2 4R RD D

V h h h

.

Kako ova zapremina mora biti jednaka prvobitnoj zapremini ( 0V V ), to sledi:

0

1,

2R Rh h h H

(2.77)

tj.0

1

2Rh h H

. (2.78)

Poto prema Sl.2.17 visina na koju se tenost popne uz zid iznosiHhh R0 , to je na

osnovu (2.77) i (2.75):


60/92

2 2

0 2 16R

R

h Dh h H

g

. (2.79)

Visina sputanja temena paraboloida je prema slici 0hH

, pa je na osnovu relacije (2.78) i(2.75):

2 2

0 2 16Rh DH h

g

. (2.80)

Na osnovu ovoga sledi da se u odnosu na nivo tenosti u stanju mirovanja, tenost pri rotaciji

popne uz zidove suda za veliinu gD 1622 za koliko se i spusti du ose rotacije.

Kontrolna pitanja

1. Izvesti jednainu raspodele pritiska,jednainu slobodne povrine tenosti, ugao nagibaslobodne povrine tenosti u odnosu na horizontalnu ravan u tenosti koja se nalazi u sudu, kojise jednakopromenljivo translatorno kree u polju sile zemljine tee, niz strmu ravan koja jenagnuta pod uglom u odnosu na horizontalu.

2. Izvesti jednainu raspodele pritiska u tenosti koja se nalazi u sudu, koji vri obrtno kretanjeoko nepokretne ose u polju sile zemljine tee


61/92

4.2.3 Laminarno i turbulentno strujanje. Rejnoldsove jednaine

Posmatranjem tokova realnog fluida zapaena su dva razliita strujna stanja.

Kretanje fluida kada se stie utisak pravilnosti, tj. kada su strujnice paralelne i slobodna

povrina ravna, ako postoji, naziva se laminarnim ili kretanjem u slojevima.

Sl. 4.5 Laminarno strujanje

Turbulentno strujanjeje kretanje fluida koje izgleda kao da je uzburkano, bez znakova bilo

kakve pravilnosti, tj. pojedine strujnice se presecaju a na slobodnoj povrini stvaraju se

ispupenja i udubljenja koja su promenljiva, slobodna povrina je neravna.

Sl. 4.6 Turbulentno strujanje

Obadve vrste kretanja mogu se videti u cevima i kanalima pri emu laminarnom strujanju

odgovaraju obino male brzine a turbulentnom velike. Pri poveanju brzine prelazi laminarno

strujanje u turbulentno. Suprotna pojava nastupa prilikom smanjenja brzine. Medjutim, stanje

strujanja ne zavisi samo od brzine nego i od drugih inilaca.

Teorija o kretanju viskoznog fluida dobro se slae sa eksperimentima, izvrenim pri laminarnom

strujanju, ime je ta teorija potvrena.Kod laminarnog strujanja su male brzine i dimenzije, i

fluid je vie viskozan, te tada vae Navije-Stoksove jednaine.Kod turbulentnog strujanja brzine


62/92

i dimenzije su velike, fluid je manje viskozan, teorija o turbulentnom strujanju je veoma

komplikovana, te se za reavanje tehnikih problema koriste priblini obrasci uz uvodjenje

koeficijenata koji se eksperimentima odredjuju.

Razliku izmeu laminarnog i turbulentnog strujanja zapazili su mnogi naunici. Rejnoldsovi

eksperimenti i zakljuci, izvedeni pred kraj devetnaestog veka, stvorili su pravu sliku oturbulenciji i oznaili put ka sistematskoj naunoj analizi ove pojave.

Rejnoldsov eksperiment je vrlo prost (Sl.4.7). Iz staklenog suda A voda istie kroz pravu cev

krunog preseka prenika d. Iz sudaBse ukapava obojena tenost u cev da bi se okom pratilo

kretanje. Strujanje je ustaljeno a temperatura tenosti konstantna. Menjane su cevi i brzine

isticanja. Posmatrajui promenljive brzine strujanja iste tenosti, i u istoj cevi, Rejnolds je opazio

da se pri malim brzinama obojena strujnica jasno vidi i da se ne mea s ostalima. Meutim, pri

veim brzinama kretanja sva tenost se oboji, tj. strujnice se presecaju pa se tenosti meaju.

Sl. 4.7 Shema Rejnoldsovog eksperimenta

Postepenim poveanjem brzine pri laminarnom strujanju, Rejnolds je utvrdio da prelaenje u

turbulentno kretanje nastaje uvek pri odredenoj brzini koja vrlo malo odstupa od sluaja do

sluaja. On je ovu brzinu nazvao kritinom brzinom( krv ). Ako je strujanje turbulentno, pa se

smanjuje brzina, onda pri kritinoj brzini nastupa obratna pojava (turbulentno kretanje prelazi u

laminarno).

Kritina brzina nije ista za sve cevi ni za sve tenosti; ona zavisi od prenika cevi i od

viskoznosti:


63/92

,kr kr v v d . (4.55)

Eksperimenti su pokazali da prelaenje laminarnog strujanja u turbulentno umnogome zavisi odspoljanjih uzroka, npr. od stanja pri ulasku u cev. Pri paljivom vrenju ogleda moe kritinabrzina biti vea od one koju je Rejnolds opazio. Zato se kao kritina smatra najmanja brzina prikojoj strujanje prelazi iz jednog u drugo stanje,iz stanja laminarnog strujanja u turbulentno. Akose paljivim rukovanjem postigne da se odri stanje laminarnog strujanja i pri veim brzinama odkritine vrednosti, onda se i pri najmanjem poremeaju, laminarno strujanje naglo preobraa uturbulentno. Ova pojava je slina nekoj vrsti labilne ravnotee.

Prelaz od turbulentnog kretanja ka laminarnom je pravilniji. Ispod odreene brzine, kretanje jeuvek laminarno, i ni na koji nain ne moe da se pri toj brzini pojavi turbulencija. Dakle, nikakavporemeaj ne moe izvesti tenost iz laminarnog stanja ako je brzina dovoljno mala. Ta pojavase moe porediti sa stanjem stabilne ravnotee.

Turbulentno strujanje je Nikuradze-a. (Nikuradze) 1929 g. je snimao pokretnim fotografskimaparatom i tom prilikom dobio je razliite slike pri raznim brzinama kretanja aparata mada sebrzina vode nije menjala (Sl.4.8). Pri brzini aparata oko 12cm/sjasno se vidi da se turbulentnokretanje sastoji iz bezbroj sitnih vrtloga koji stvaraju utisak haotinog kretanja. Ti vrtlozi nisustabilni ve se stalno menjaju: as ieznu na jednom mestu, as se pojave na drugom. Prirodnoje da u ovom sluaju ne moe biti govora o stacionarnom (ustaljenom) strujanju. Kasnije e sevideti da se vrednosti brzina u svakoj taki kolebaju oko neke stalne vrednosti koja ne zavisi odvremena. Zato se i na turbulentno kretanje mogu primeniti rezultati dobiveni prouavanjemstacionarnog strujanja.

.


64/92

Sl.4.8Fotografija laminarnog i turbulentnog strujanja

Brzina je glavni pokazatelj strujanja, pa se pri istraivanju turbulentnog kretanja najvea panjaobraa upravo polju brzine. Na prvi pogled izgleda da se ne moe zamisliti da postoji neki zakon

kome bi se pokoravale brzine delia

Turbulentno kretanje izgleda sasvim haotino poto se strujnice presecaju. U jednoj istoj taki,

brzina ne ostaje konstantna ni po pravcu, ni po veliini, ve se menja tokom vremena . Upravo su

te vremenske promene bile uzrok glavnih tekoa teoriskom i eksperimentalnom prouavanju

turbulencije. Kretanje se nije moglo smatrati ustaljenim, a nije se mogla nai ni formula koja bi

obuhvatila vremenske promene brzine.

Medutim, pokazalo se da brzine u jednoj taki osciluju oko neke stalne vrednosti tzv. prosene

brzine (Sl. 4.9). Ova brzina pretstavlja neku vrstu srednje brzine u pogledu vremenskih promena.

Projekcije prosene brzine oznaene su sa:, , .x y zv v v


65/92

Kriva AB (Sl. 4.8) grafiki pretstavlja vremenske promene projekcije xv

brzine u nekoj taki

prostora. Jednaina krive AB je funkcija xv f t . Ako se posmatra dovoljno veliki interval

vremena T, tada se prosena brzina moe napisati u obliku:

0 0

1 1T T

x xv v dt f t dt

T T

(4.56)

Sl. 4.9 Grafiki prikaz vremenske promene projekcije brzine ( xv f t )

Brzina xv jednaka je zbiru prosene vrednosti xv i trenutnog odstupanja xv

brzine od vremenski

prosene vrednosti xv

:'

x x xv v v . Primenom poslednjeg izraza na xv

dobija se:

001 '

0

' xT

x vdtvT

(4.57)

Vrednosti'

xv u raznim vremenskim intervalima dt mogu biti as pozitivne, as negativne, a

njihova prosena vrednost ('

xv ) jednaka nuli. Analogno se to moe pokazati i za projekcije brzina

na ostale pravce dekartovog koordinatnog sistema:'

y y yv v v 'z z zv v v , gde su: xv , yv , zv -

stvarne brzine; xv

, yv

, zv

-prosenei xv

, yv

, zv

-pulsacione brzine. Takva kretanja su uglavnom

stacionarna.

Na isti nain bi se dokazalo da e prosena vrednost trenutnih otstupanja svih fizikih strujnih

veliina koje linearno zavise od brzine biti jednaka nuli u ogranienim razmacima vremena pod


66/92

uslovom da su razmaci dovoljno dugi. Takva strujna veliina je, npr. zapreminski protok.Poznato je daprotok kroz cevi moe imati stalnu vrednost bez obzira da li je strujanje laminarnoili turbulentno.

Meutim, kad je u pitanju proizvod dve brzine, vrednost prosenog kvadrata brzine razlikuje se

od kvadrata prosene brzine.

Rejnolds je predloio da se na prouavanje turbulentnog kretanja primeni statistika metoda, i to

da se umesto pravih brzina (i drugih strujnih veliina) uzimaju prosene vrednosti za veliki

interval (0,T). Treba da se napiu jednaine kretanja, po principu Navije-Stoksovih jednaina, s

tim to se prave brzine zamenjuju prosenim vrednostima. Naponima se dodaju dopunski naponi

(turbulentni naponi) kojima se izraava uticaj trenutnih otstupanja brzina od prosene vrednosti.

Jednaina kontinuiteta se izraava prosenim brzinama na isti nain kao i stvarnim.

Za realan nestiljiv fluid i turbulentno strujanja, Navije-Stoksova jednaina dopunjenaunutranjom silom usled trenja nastalog turbulencijom ima vektorski oblik:

.

1turb

dvF grad p v T

dt

(4.58)

Prema tome, uvodjenjem prosenih vrednosti brzina u jednainu (4.58)dobijene su Rejnoldsovejednaine u skalarnom obliku, u kojima su zanemarene zapreminske sile, i koje glase:

2 2 2

'2 ' ' ' '2 2 2

x x x xx x y x z

dv v v vpv v v v v

dt x x y z x y z

2 2 2

' ' '2 ' '2 2 2

y y y y

x y y y z

dv v v vpv v v v v

dt y x y z x y z

2 2 2

' ' ' ' '22 2 2

z z z zx z y z z

dv v v vp v v v v vdt z x y z x y z

(4.58)

Rejnoldsovim jednainama(4.58) se pridruuje ve poznata jednaina kontinuiteta:


67/92

0yx zvv v

x y z

Na ovaj nain postavljene jednaine uvode est novih veliina. Radi hjihovog odredivanja trebauvesti nove hipoteze, kao to je Njutnova hipoteza posluila za odredivanje napona pri izvoenju

Navije-Stoksovih jednaina. Ako bi se postavila nekakva veza slina Njutnovoj vezi za viskozan

fluid

xdv

dy

dobilo bi se, naprimer, za ravansko strujanje usled turbulencije:

' ' , .xturb turbdv

dT da B B const dy

(4.59)

KoeficijentBpretstavlja turbulentnu dinamiku viskoznost. Koeficijent viskoznosti odgovaramedumolekulskoj izmeni koliine kretanja a koeficijent turbulentne viskoznostiB vezuje se zamakroprenos koliina kretanja konanih masa iz sloja u sloj kao posledice meanja strujnica.Kad bi se za B usvojila stalna vrednost pokazalo bi se da je nekoliko desetina hiljada puta vea

od . Meutim, merenjima je utvrdeno da seBne moe smatrati konstantom za dati fluid iliturbolenciju jer se menja du preseka. Naprimer, za cevi jeBjednako nuli na zidovima; veoma jemalo u blizini zidova, a dostie maksimum oko polovine poluprenika i najmanju vrednost ima uosi cevi. Dopunski naponi potiu od inercijalnih sila, i ne stoje ni u kakvoj vezi s viskoznosnimsilama, tako da oni imaju istu vrednost i u turbulentnom strujanju neviskoznog fluida. Ovim sepotvrduje Prantl-ova (Prandtl) zamisao po kojoj fluid struji van graninog sloja upravo kao da je

savren. Razume se, to ne znai da realan fluid postaje neviskozan ve znai da se pretstavaodnosi na kinematiku sliku strujanja, jer svojstva realnog fluida, kao to su: mogunostnastanka vrtloga i njihovog uguivanja, rasipanje energije, promena toplotnog stanja i druga; imai fluidna struja van graninog sloja ali ih nema neviskozni fluid.

Turbulentno kretanje se ne javlja samo u cevima, ve ga ima i u okolini ma kakve vrste povrine

preko koje fluid struji pa, ak, i tamo gde nema vrstih povrina ali gde se meaju slojevi fluida

nejednakih brzina.

4.2.4 T

175713914 Mehanika Fluida Knjiga

Documents

Transcript of 175713914 Mehanika Fluida Knjiga