16462851 modul-7-matriks-dan-vector-xii-ipa

- 1 – then must yath now’09

7. Siswa mampu memahami konsep yang berkaitan dengan aturan matriks dan vektor serta mengguna-kannya dalam pemecahan masalah.

• Matriks• Vektor

A = B

Matriks

DEFINISI

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom.

A =

dc

ba

Bilangan-bilangan a,b,c,d,e,f disebut elemen-elemen matriks A

ORDO

ORDO suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris, diikuti oleh banyaknya kolom.

A =

dc

ba⇒ ordo matriks A2x3

KESAMAAN MATRIKS

Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika

a. Ordonya sama b. Elemen-elemen yang seletak sama

Contoh :

Diketahuia dua matriks A =

+ 55

24

qp dan B =

+ 37

24

q. Jika matriks A sama dengan

matriks B, hitunglah nilai p dan q !

⇒

+ 55

24

qp =

+ 37

24

q

5p + q = 7 ⇒ p = 1q + 3 = 5 ⇒ q =2

MATRIKS TRANSPOS

Transpos dari suatu matriks A (ditulis A atau A' atau At) adalah matriks yang elemen barisnya adalah elemen kolom A, dan elemen kolomnya adalah elemen baris A.


A = B

Rasa takut hanya akan menghambat orang untuk maju

Α =32x

fed

cba

⇒At =

23xf

e

d

c

b

a

PENJUMLAHAN MATRIKS

Jumlali dua matriks A dan B (ditulis A + B) adalah matriks yang didapat dengan menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen B yang bersesuaian (A dan B harus berordo sama).

A

dc

ba +

B

sr

qp =

A + B

++++sdrc

qbpa

PENGURANGAN MATRIKS

Pengurangan matriks A dan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatip B.

A - B = A + (-B)

A +

B =

A + B

dc

ba+

sr

qp=

++++sdrc

qbpa

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

Jika k suatu skalar dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.

=

dc

baA ⇒

=

dkck

bkakAk

..

...

Dua matriks A dan B terdefinisi untuk dikalikan, jika banyaknya kolom A = banyaknya baris B, dengan hasil suatu matriks C yang berukuran baris A x kolom B

mxonxomxn CxBA =

Aturan perkalian : Yaitu dengan mengendalikan baris-baris A dengan kolom-kolom B, kemudian menjumlahkan hasil perkalian itu.

Contoh :

1.

=

dc

baA dan

=y

xB


++

=

=

dycx

byax

y

xx

dc

baAxB

2 x 2 2 x 1 = 1 x 1

2.

[ a b c ]

z

y

x= [ ax + by + cz ]

1 x 3 3 x 1 1 x 1

Ket :

Perkalian matriks bersifat tidak komutatif (AB ≠ BA) tetapi bersifat asosiatif (AB)C = A(BC).

Determinan Matriks ordo 2 x 2

Jika

=

dc

baA , maka determinan matriks A didefinisikan sebagai |A| = ad – bc

Determinan Matriks ordo 3 x 3

Jika

=

ihg

fed

cba

A maka determinan matriks A didefinisikan sebagai :

h

e

b

g

d

a

ihg

fed

cba

A =

Keterangan:Untuk menghitung determinan A3x3 dibantu dengan menulis ulang dua kolom pertama matriks tersebut atau cara ekspansi baris pertama.

MATRIKS INVERS

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama dan AB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B-1).

Jika

=

dc

baA , maka A-1 =

−

−− ac

bd

bcad

1

Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks AMatriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular.Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular. Sifat A . A-1 = A-1 . A = I

Sifat-Sifat

1. (At)t = A2. (A + B)t = At + Bt

3. (A . B)t = Bt . At

4. (A-t)-t = A


|A| = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb

5. (A . B)-1 = B-1 . A-1

6. A . B = C → |A| . |B| = |C|

ax + by = p dituliscx + dy = q

dc

ba+

y

x=

q

p

Untuk menentukan himpunan penyelesaian, selain dengan metode eliminasi dan substitusi dapat juga diselesaikan dengan menggunakan aturan matriks, yaitu :

1. Matriks AX = B , maka X = A-1 . B

y

x=

−

−− ac

bd

bcad

1

q

p

2. Cara Determinan

x = Dx

p b q d Dy

a p c q

————— = —————— ; y = ———— = ——————

D a b c d

D a b c d

Contoh :

Diketahui sistem persamaan

=+=+14y5x3

9y3x2. Tentukan himpunan penyelesaiannya dengan

cara determinan !A. {1 , -7} D. {4 , 2}B. {-7 , 1} E. {-5 , 3}C. {2 , 4}

Jawab :

53

32

514

39

==D

Dx x

53

32

143

92

==D

Dy y ⇒ 3

910

4245 =−−=x 1

910

2728 =−−=y


HP = {3, 1}


Yakinlah…Setiap anda belajar pasti akan menemukan sesuatu

yang baru….


VEKTOR

Contoh :1. Titik A(3 , 0 , 6) dan B(0 , 3 , -3), titik P membagi AB dengan perbandingan 1 : 2 maka

koordinat titik P adalah ....A. (3 , 1 , 5) D. (1 , 2 , 3)B. (1 , 3 , 4) E. (3 , 2 , 1)C. (2 , 1 , 3)Jawaban C

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,1,23

312,30,06

3

3,3,012,0,6

21

3,3,016,0,3.2. =−++=−+=+

−+=++=nm

mBAnp

SOAL LATIHANMATRIKS

1. Diketahui matriks A =

cb

a

32

4 dan B =

+

+−7

1232

ba

abc. Nilai c yang memenuhi A = 2B adalah

a. -2 b. 3 c. 5 d. 8 e. 10


−

−−1263

1596 dan B =

−−

−421

532. Nilai k yang memenuhi A = kB adalah

.....

a. 3 b. -3c. -1 d. 3

1e. -

3

1


−

−2

2

124

. Hasil dari matriks

A2 adalah ......

a.

4

4

1416

c.

−

−53

1217 d.

53

1217

b.

−

−4

4

1416

e.

−−−

31

415


4. Hasil kali dari

654

321

6

4

2

5

3

1

=......

a.

6449

2822c.

2249

2864 d.

30154

1882

b.

6428

4922 e.

30154

641


−

+yxy

xyx dan B =

−

−

322

11

y

x.

Jika AT menyatakan matriks traspos dari A, maka persamaan AT = B dipenuhi untuk x = ........

a. 2 b. 1 c. 0 d. -1 e. -2


−142

101

21 x

. Jika matriks

merupakan matriks singular, maka nilai x adalah .....a. -6 b. -4 c. 0 d. 4 e. 6


0

2

y

x, B =

−43

21 dan C

=

−−−

21

81. Nilai x + y yang memenuhi AB = C

adalah .....a. -2 b.-1 c. 0 d. 1 e. 2

8. Diketahui A =

20

02 dan B =

87

65 dan

pernyataan berikut :1. A2 = 2A2. AB = BA3. AB = 2B4. BAB = 2B2

Dari pernyataan tersebut yang benar ......a. 1 dan 2 c. 1,2, dan 3 d. 1,2,3, dan 4b. 1 dan 3 e. 2,3, dan 4


−

−2

2

124

dan B =

−15

1012.

Hasil dari A2 + B = .....

a.

5

4

15

144c.

−62

25 d.

68

225

b.

−

−3

4

15

1428 e.

−24

63


10. Diketahui matriks

23

34

y

x =

7

12.

Nilai x + y = .......a. -11 b. 10 c. -5 d. 5 e. 11

11. Diketahui f(x) = x2 – 2x dan A =

23

01.

Nilai f(A) adalah .......

a.

−03

01 c.

−30

01 d.

51

42

b.

− 03

01 e.

− 21

03

12. Bila matriks A =

− 021

64

532

x adalah matriks

singular, maka nilai x = ......a. -10 b. 10 c. 5 d. 15 e. -5

13. Jika x memenuhi :

−

−1)2log(

)62log(log

b

aax

=

1log

1log

a

b, maka nilai x = ..........

a. 1 b. 2 c. 4 d. 6 e. 8

14. Nilai x dari sistem persamaan

=−=+1032

523

yx

yx

dinyatakan dalam matriks adalah .......

a. x =

32

23102

53

−

c. x =

32

2332

23

−

−−−

d. x =

32

23210

35

−

b. x =

32

23310

25

−

− e. x =

32

23103

52

−

−

15. Sistem persamaan

=+=−

33

5

yx

yx diselesaikan dengan

menggunakan matriks untuk y = 13

11 −p

Nilai p =

a. -12 b. -2 c. 4 d. 8 e. 18


TUGAS INDIVIDU

1. Jika A=

714

938

625

, maka determinan A = ......

a. -4 b. -3 c. 3 d. 4 e. 5

2. Matriks A=

− 413

021 . Matriks A’.A = ......

a.

−−−

−

16412

451

12110

d.

−−−

4812

2393

2168

b.

−−

1139

7261

015

e.

−−

−−

912

838

122348

c.

−−

−

487

0115

932

3. Hasil kali akar - akar persamaan 21

313

++−

xx

x = 0

adalah .....

a. 3

2− b. 3

4− c. 3

5− d. 3

2 e.

3

4

4. Diketahui A =

− 34

21. Hasil dari 2a2 – 4A + 5I

adalah ......

a.

−

−178

49 d.

−

−134120

6014

b.

−

−6760

307 e.

−

−117104

5213

c.

1223

48

5. Diketahui A=

− 34

31 dan matriks tak nol X

sedemikian sehingga AX = 3X. Matriks X = .....

a.

−3

1 b.

2

3 c.

−5

2 d.

42

1 e.


−−

1

5

6. Diketahui A=

10

21. Maka An = .....

a.

01

12n c.

10

21 nd.

−10

32 nn

b.

10

13n e.

−10

31 n

7. Diketahui P =

−

−

130

20

004

t

t

t

. Jika P matriks

singular, maka nilai t yang memenuhi =....a. -4 b. -3 c. -2 d. -1 e. 0

8. Jika diketahui

ihg

fed

cba

= -6, adalah .....

a. -18 b. -6 c. 6 d. 18 e. 72

9. Jika matriks

− 500

112

22 xx

singular, maka nilai x yang

memenuhi adalah ....a. -1 dan 3 c. -2 dan 1 e. 0 dan -1b. 0 dan 2 d. 1 dan 3

10.

−−

3b

d1 +

−

−b3

54 =

−

−34

12

+1ac

1c2,

maka nilai a = ....

A. –2 C. 3

2D. 2

B. 3

4− E. 3

2−


=

4

1-

1

2 A ,

+= y

2

3

yx B , dan

=

1

2

3

7 C . Apabila B – A = Ct, dan Ct = transpose

matriks C, maka nilai x.y = ….A. 10B. 15C. 20D. 25E. 30


Soal Ujian Nasional tahun 2007


=

5

0

2

3 A ,

=

1

1-

y

x B , dan

=

5

1-

15-

0 C , At adalah transpose dari A. Jika At . B =

C maka nilai 2x + y = ….A. – 4B. – 1C. 1D. 5E. 7


13. Matriks X berordo ( 2 x 2 ) yang memenuhi

=

1

3

2

4 X

4

2

3

1 adalah ….

A.

4

5-

5

6-

B.

5

6-

4

5

C.

5

5-

4

6-

D.

1

2-

3-

4

E.

8-

10-

10-

12

Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004


=

5

2

3

1 A ,

=

4

2-

1

3 B , dan P(2x2).

Jika matriiks A x P = B, maka matriks P adalah ….

A.

10

18-

8-

13

B.

2

8-

7-

21

C.

10-

18

8

13-

D.

2-

8

7

21-

E.

12

6

14

5


15. Diketahui hasil kali matriks

=

7

3

9

16

d

b

c

a

2

3

1

4 .

Nilai a + b + c + d = ….A. 6B. 7C. 8D. 9E. 10




=

4p-

9-

3

4 A ,

=

3

5-

1

5p B , dan

=

6p

8

4-

10- C , Jika matriks A – B = C–1, nilai 2p = ….

A. – 1 B. –½C. ½D. 1E. 2Soal Ujian Nasional tahun 2001


=

2-

3

1-

2 A ,

=

10-

12

4-

6 B dan A2 =

xA + yB. Nilai xy = ….A. – 4B. – 1C. – ½D. 1½E. 2Soal Ujian Nasional tahun 2000

VECTOR

1. Diketahui titik A(7 , 4 , -1), B(2 , 4 , 9) dan C(1 , 3 , 2). Jika P terletak pada BA

dengan AP : PB =

2 : 3, maka vektor 2 CP

+ BA

= ....

A.

−−−

1

1

4

C.

−−

8

2

13

D.

−

10

0

5

B.

−−

9

1

9

E.

−10

0

5

2. Jika titik A(2 , 8 , 1), B(3 , 9 , 1) dan C(2 , 9 , 1). Nilai tangen sudut yang dibentuk oleh vektor BA

dan CA

sama dengan ....

A. 1 C. 2

1D. -

2

12

B. 2

12 E. -1

C. 2

1


3. Sudut antara a

=

−1

x

0

dan b

=

− 2

1

2

adalah 450.

Maka nilai x sama dengan ...

A. 2 C. 7

1− D. -1

B. 1 E. -2

4. Jika panjang proyeksi vektor a

=

2

3

1

pada

vektor b

=

4

0

p

sama dengan 5

11 maka nilai p

adalah ....

A. - 14 C. 3

7− D. 3

B. -3 E. 14

5. Diketahui a

= 6 i - 2 j

- 4 k

dan b

= 2 i + j

- 2

k

. Proyeksi orthogonal a

pada b

adalah ....

A. 3

2i +

3

1j

- 3

2k

D. 4 i + 2 j

- 4 k

B. i + 2

1j

- k

E. 6 i + 3 j

- 6 k

C. 2 i + j

- 2 k

6. Jika A(2 , -1 , 4), B(3 , 0 , 4) dan C(2 , 0 , 5). Jika

BA

= p

dan CA

= q

maka besar sudut antara

vektor p

dan q

adalah ....A. 300 D. 1200

B. 600 E. 1800

C. 900

7. Titik A(-1 , 3 , 1), B(1 , 6 , 7), C(0 , 2 , 5) dan D(1 ,

4 , 10). Jika vektor

1

y

x

tegak lurus BA

dan DC

,

maka nilai x dan y berturut-turut adalah ....A. 3 dan 4 D. –4 dan 3B. 3 dan -4 E. 4 dan -3C. –3 dan -4

8. Titik A(3 , 0 , 6) dan B(0 , 3 , -3), titik P membagi AB dengan perbandingan 1 : 2 maka koordinat titik P


adalah ....A. (3 , 1 , 5) D. (1 , 2 , 3)B. (1 , 3 , 4) E. (3 , 2 , 1)C. (2 , 1 , 3)

9. Jika a

= 2 i - 6 j

- 3 k

dan b

= 4 i + 2 j

- 4 k

.

Maka panjang proyeksi a

pada b

adalah ....

A. -4

3D. 1

B. -3

4E.

3

4

C.4

3

10. Diketahui segitiga ABC, A(1 , 2 , 3), B(2 , 3 , 1)dan C(3 , 1 , 2). Z adalah titik berat segitiga ABC, maka panjang AZ = ....A. 2 D. 6

B. 3 E. 14C. 5

TUGAS INDIVIDU

11. Diketahui P(1 , 7 , 0), Q(-2 , 4 , 3), S(2 , 8 , 5) dan R membagi PQ di dalam dengan perbandingan 1 : 2, maka sudut PRS adalah ....A. 00 D. 600

B. 300 E. 900

C. 450

12. Vektor posisi titik A dan titik B adalah a

dan b

. Jika C pada AB sehingga AB : AC = 3 : 1, maka vektor posisi c adalah ....

A. 3

1(2a

- b

) D.

3

1 (2 b

+ a

)

B. 3

1 (2 b

- a

) E.

3

1 (a

- 3 b

)

C. 3

1 (2a

+ b

)

13. Jika a

= 4, b

= 2 dan a

+ b

= 2 7 , maka

a

- b

= ....A. 2 D. 4B. 3 E. 3 2C. 2 3

14. Diketahui : a

= -2 i + j

- 3 k

b

= -3 i - j

+ 2 k

c

= -2 i - j

+ k


d

= 3 i + j

- 2 k

Dari vektor-vektor di atas yang saling tegak lurus adalah ....A. c dan d D. a dan cB. b dan d E. a dan bC. a dan d

15. Sudut antara a

= i - j

+ 2 k

dan b

= i + p j

+ k

adalah 300, maka nilai p adalah ....A. 2 D. 0B. 3 E. –1

C. 1

16. Proyeksi vektor a

= i + 2 j

- 3 k

pada vektor b

= 5

i - 4 j

- 2 k

adalah ....

A. 2

1

−2

4

5

C. 5

1

−

−

2

4

5

D. -2

1

−3

2

4

B. 4

1

−1

4

2

E. -3

1

−

−

3

2

4

17. Ditentukan a

= n i + n j

- k

, b

= - i + n j

+ 2 k

dan sudut kedua vektor adalah 900 maka nilai n adalah A. –2 atau -1 D. –1 atau 3B. –2 atau 1 E. 1 atau 3C. –1 atau 2

18. Jika titik A(1 , 1 , 2), B(2 , 2 , 5) dan C(4 , 4 , 11) adalah kolinier, maka AB : BC adalah ....A. 1 : 2 D. 3 : 1B. 1 : 3 E. 3 : 2C. 2 : 1

19. Segitiga ABC, titik A(2 , -1 , 1), B(3 , 0 , 0) dan C(0 , 3 , 3)adalah segitiga siku-siku di titik A, maka jarak titik A ke garis BC adalah ....

A. 3 C. 34 6 D. 2 3

B. 32 6 E. 4 3

20. Diketahui P(6 , 7 , -6), Q(5 , 7 , -4) dan R(3 , 7 , -5) merupakan suatu segitiga maka luasnya adalah ....

A. 5 satuan luas D. 25

5 satuan luas

B. 25 satuan luas E. 2

510 satuan luas

C. 10 satuan luas


Orang yang bijak adalah mereka yang tahu…

Kapan saatnya berbuat dan kapan

16462851 modul-7-matriks-dan-vector-xii-ipa

Technology

Transcript of 16462851 modul-7-matriks-dan-vector-xii-ipa