153043846 Teori Gangguan Makalah 2

22
TUGAS FISIKA KUANTUM TEORI GELOMBANG Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Fisika Kuantum Dosen Pengampu : Drs.Supurwoko, M.Si OLEH : ERLYTA INTAN PERWITASARI K2309019 PEND. FISIKA A FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012

Transcript of 153043846 Teori Gangguan Makalah 2

  • TUGAS FISIKA KUANTUM

    TEORI GELOMBANG

    Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Fisika Kuantum

    Dosen Pengampu : Drs.Supurwoko, M.Si

    OLEH :

    ERLYTA INTAN PERWITASARI

    K2309019

    PEND. FISIKA A

    FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

    UNIVERSITAS SEBELAS MARET

    SURAKARTA

    2012

  • 1

    BAB I

    PENDAHULUAN

    A. Latar Belakang Masalah

    Aproksimasi WKB (Wentzel, Kramers, dan Billiouin) tidak dapat

    digunakan untuk penyelesaian semua soal nilai eigen. Selain itu, metoda

    aproksimasi WKB juga tidak menyediakan prosedur perbaikan hasil

    aproksimasinya secara sistematik. Untuk mengatasi keterbatasan tersebut, maka

    akan dibahas teori rumusan Rayleigh-Schrodinger (RS) untuk kasus gangguan.

    Teori gangguan, sering digunakan untuk perhitungan-perhitungan dalam teori

    kuantum. Teori gangguan diterapkan pada banyak masalah untuk memperkirakan

    perubahan tingkat-tingkat dan fungsi gelombang yang berhubungan dengan

    tambahan variasi yang disebabkan oleh interaksi antar partikel dan juga medan

    listrik atau magnet.

    Teori gangguan dibedakan menjadi dua yaitu gangguan tak bergantung waktu

    atau gangguan stasioner dan gangguan bergantung waktu. Dalam gangguan

    stasioner dibedakan kadi menjadi dua yaitu kasus non-degenerasi dan kasus

    degenerasi. Untuk lebih jelasnya mengenai teori gangguan tersebut akan dibahas

    dalam makalah ini.

    B. Perumusan Masalah

    1. Apasajakah macam-macam teori gangguan?

    2. Bagaimana penjabaran teori gangguan dengan teori rumusan Rayleigh-

    Schrodinger (RS)?

    C. Tujuan Penulisan

    1. Mengetahui macam-macam teori gangguan.

    2. Mengetahui penjabaran teori gangguan dengan teori rumusan Rayleigh-

    Schrodinger (RS)

  • 2

    BAB II

    PEMBAHASAN

    Suku tambahan pada perator Hamiltonian sering kali muncul pada

    beberapa persamaan dalam mekanika kuantum. Suku tambahan tersebut

    merupakan sebuah ganguan. Dalam teori gangguan, Hamiltonian diuraikan

    menjadi dua bagian yaitu bagian tanpa gangguan dan bagian suku pengganggu.

    Suku pengganggu dibagi lagi menjadi dua yaitu gangguan yang bergantung waktu

    dan gangguan stasioner atau tak bergantung waktu.

    A. Teori Gangguan Bergantung Waktu

    Proses dinamika yang berkaitan dengan perubahan keadaan suatu sistem

    kuantum biasa dilukiskan sebagai proses peralihan atau transisi dari suatu keadaan

    ke keadaan kuantum yang lain. Proses transisi ini dapat diselesaikan dengan

    persamaan Schrodinger.

    Apabila sistem Hamiltonian diuraikan menjadi sebagai berikut:

    ( )

    ( ) ( ) Pers.1

    Dengan ( ) sebagai gangguan kecil terhadap ( ) dan ( ) memenuhi

    syarat-syarat:

    a) Tak bergantung pada waktu

    b) Memiliki solusi lengkap bagi persamaan nilai eigen

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) Pers. 2

    Dengan perangkat vector eigen { ( )

    } yang ortonormal.

    Deskripsi perubahan waktu dari setiap keadaan stasioner secara umum

    diberikan sebagai superposisi linear berikut.

    ( )( )

    ( ) ( )

    Pers. 3

    Karena tidak konstan, maka persamaan eigen tidak berlaku lagi untuk .

    Persamaan gerak yang berlaku adalah

    Pers. 4

  • 3

    Solusi untuk persamaan 4 pada saat tertentu masih dapat dianggap sebagai

    hasil gangguan tertentu pada keadaan eigen ( ) yang dituliskan dalam bentuk

    superposisi vector-vektor eigen ( ) dengan koefisien Ck yang berlaku untuk saat

    tersebut. Hal ini berarti bahwa deskripsi perubahannya diungkapkan oleh variasi

    waktu dari koefisien-koefisien kombinasi linear menurut persamaan Schrodinger.

    Dalam bentuk umum, solusi persamaan 4 dapat ditulis sebagai berikut.

    ( ) ( ) Pers. 5

    Dengan notasi ringkas ( ) dan syarat awal

    ( ) ( ) Pers. 6

    Untuk menentukan persamaan yang memenuhi {Ck(t)} sesuai dengan

    persamaan 5 maka ( ) dari persamaan 5 subtitusikan ke persamaan 4.

    Kemudian ambil produk skalar dengan vektor eigen , sehingga diperoleh

    persamaan berikut.

    ( )

    * ( )

    + ( )

    Dengan menggunakan sifat ortonormal vector eigen ( ) , akan

    diperoleh elemen matriks sebagai berikut.

    | ( )| ( ) ( )

    Sehingga, persamaan menjadi ( )

    ( )

    ( ) Pers. 7

    dengan d/dt merupakan diferensial eksplisit terhadap t dan

    ( )

    | ( )| Pers. 8

    Untuk setiap k dapat ditulis dalam bentuk deret seperti

    ( )

    ( )( ) Pers. 8

    Dengan syarat awal:

    ( ) ( )

    Deret Ck(t) pada persamaan 8 disubtitusikan pada persamaan 7 dengan

    menambahkan koefisien pada ( ). Dengan menyamakan koefisien-koefisien

    n, diperoleh dua order aproksimasi pertama sebagai berikut.

    ( )

    ( )

    Pers. 11

  • 4

    ( )

    ( )

    ( )( ) ( )( ) Pers. 12

    Sehingga koreksi order ke-n secara umum dapat ditulis

    ( )

    ( )( ) ( )( ) Pers. 13

    Persamaan order terendah setara dengan persamaan 3 yang solusinya

    ( )( )

    ( ) dengan syarat . Sehingga persamaan order pertama

    untuk l m menjadi

    ( )

    ( ) Pers. 14

    Persamaan 14 juga dapat langsung diperoleh dengan pendekatan

    Ck(t)

  • 5

    Apabila ( )

    , maka probabilitas transisi dari

    diberikan oleh suatu konstanta pada keadaan yang bersifat stasioner yaitu t =

    0. Konstanta pada kasus ini adalah ( ) . Karena ( ) bersifat transien,

    maka integral dari persamaan 15 menjadi :

    ( )

    ( )

    ( )

    Dengan menggunakan transformasi fourier, integral di atas dapat ditulis

    menjadi ( )

    ( )( )

    Dimana ( )( )

    ( )

    ( )

    Harga ( ) dapat diperoleh melalui perhitungan transformasi fourier

    pada frekuensi dengan syarat .

    Berdasarkan sifat hermitivitas ( ), diperoleh bahwa ( ) ( ) . Dari

    hubungan tersebut, diperoleh pula bahwa . Sehingga amplitude

    probabilitas untuk transisi balik dapat dituliskan sebagai berikut.

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ) *

    ( )

    ( )

    +

    ( ) , ( )-

    Dari penjabaran di atas, dapat disimpulkan bahwa transisi antara dua

    keadaan, yaitu keadan dan memiliki probabilitas yang sama dan tidak

    bergantung arah transisinya. Sifat ini dikenal dengan prinsip keseimbangan

    terinci (detail balance) yang diakibatkan oleh sifat hermitisitas ( ). Sifat ini

    berlaku untuk suatu sistem kuantum tertentu seperti sebuah atom.

    Eksitasi Atom H dengan Radiasi Elektromagnetik (E.M)

    Sesuai perumusan klasik, Hamiltonian untuk atom H bebas tanpa

    medan magnet luar dirumuskan sebagai.

  • 6

    Dengan Z adalah jumlah muatan efektif teras (core) H dalam satuan

    e (harga mutlak muatan elektron). Jika terdapat suatu medan radiasi

    dengan potensial vektor dan potensial skalar melalui medan magnet

    dan medan listrik , maka akan diperoleh hubungan sebagai berikut.

    Pada medan elektromagnet yang tak mengandung komponen statik

    atau biasa disebut sebagai radiasi murni, hubungan antara medan raiasi

    dengan medan listrik menjadi:

    Dimana medan radiasi memenuhi persamaan gelombang bebas.

    (

    )

    Sesuai dengan kaidah substitusi minimal dengan syarat invariant gauge

    local

    , dengan adalah momentum yang berkonjugasi

    dengan koordianat umum bagi suatu sistem yang bersangkutan, dapat

    didapatkan interaksi elektromagnetik antara electron yang bermuatan e

    dan medan radiasi yang dilaluinya. Sehingga persamaan 19 dapat

    dituliskan dalam bentuk

    .

    /

    Pada mekanika kuantum, operator berharga . Dengan

    mengganti dengan serta dijabarkan sesuai aturan gugus kuadratik

    dan persamaan operator ( ) , diperoleh persamaan

    , ( ) ( )-

    engan menggunakan syarat Coulomb dan pendekatan untuk

    intensitas radiasi yang lemah, maka persamaan di atas menjadi

  • 7

    ( ) ( )

    Dari persamaan di atas, maka

    ( )

    ( )

    Persamaan 27 dapat disubstitusikan pada persamaan 16 sehingga

    diperoleh ( ) yang dapat didefinisikan.

    Gangguan transien terjadi jika medan radiasi yang hanya berlangsung

    pada waktu tertentu yang terbatas. Oleh karena itu, potensial vektor

    tidak mungkin bersifat monokromatik. Akan tetapi potensial vector

    dianggap sebagai gelombang monokromatik yang bersuperposisi linear

    dan dengan rumus transform Fourier dapat definisikan sebagai:

    ( )

    * ( )

    +

    Untuk mediun nondispersif, harga potensial vector bernilai

    ( )

    * ( ) ( )

    +

    Dengan | | . Persamaan 23 dan persamaan 29

    mengakibatkan sifat transversalitas ( ) tampak pada

    Hamiltonian sehingga dapat dituliskan dalam bentuk

    ( )

    ( ) ( )

    Amplitude untuk probabilitas transisi menurut persamaan 16

    dan definisi ( ) di atas, maka dapat dicari harga ( ).

    ( )

    | ( )( )|

    ( )

    (

    ) | ( ) ( ) |

  • 8

    ( )

    * | | ( ) ( )

    +

    Dengan representasi Dirac, diperoleh

    ( )

    | | ( )

    Sehingga besar probabilitas diperoleh

    | ( )|

    | | | ( )|

    Misalkan ( ) ( ) dan panjang gelombang

    radiasi yang ditinjau cukup besar ( ) maka perlu digunakan

    pendekatan dipole yang berlaku untuk sistem atom dengan ukuran

    beberapa . Dengan aproksimasi maka akan

    didapat rumus aproksimasi

    ( )

    ( )

    Dengan menggunakan matriks identitas operator untuk tiga dimensi

    ( )

    , - dan persamaan 26, maka diperoleh

    hubungan komputasi sebagai berikut.

    [ ( ) ]

    [ ( )]

    Sehingga diperoleh persamaan

    |[ ( )]|

    Dengan menggunakan operator momen dipole listrik , maka

    persamaan 33 menjadi:

    ( )

    Dan didapat rumus aproksimasi dipole

    | ( )|

    | ( )| Pers. 37

    2. Keadaan Tetap

    Gangguan stasioner untuk keadaan tetap sering ditemukan pada kasus

    hamburan partikel oleh suatu potensial tetap, ( ), yang memiliki jangkauan

  • 9

    interaksi terbatas. Karena jangkauan interaksinya terbatas, maka keadaan awal

    dan akhir pada kasus ini memiliki nilai eigen ( ) yang berbeda. Untuk kasus

    ini, gangguan stasioner dituliskan sebagai.

    ( ) ( ) ( ) { ( )

    Sesuai rumus aproksimasi, persamaan untuk Cl(t) dapat dituliskan

    ( )

    Dengan mengintegralkan langsung persamaan 39 dengan batas 0 sampai t

    dan memenuhi syarat awal ( ) maka diperoleh

    ( )

    ( )

    Dan probabilitas untuk keadaan di atas adalah sebagai berikut.

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ( ))

    ( )

    ( )

    ( ( )

    )

    Pada keadaan yang terjadi di daerah spectrum kuasikontinu misalnya pada

    proses Auger atom berat dan proses hamburan terjadi proses konservatif

    dengan . Selama keadaan tersebut sehingga dapat

    diabaikan. Persamaan diatas menjadi:

    ( )

    ers 43

    Pada kasus ini, laju transisi total * + karena probabilitas transisi

    dalam kasus ini merupakan fungsi waktu. Dengan persamaan 41 dengan * +

    mencangkup seluruh keadaan yang mungkin ditempati pada akhir transisi,

    maka persamaan tersebut menjadi.

    ( )

    ( )

  • 10

    Persamaan di atas hanya berlaku pada spectrum dengan kadaan akhir,

    * +, bersifat diskrit. W merupakan jumlah dari fungsi-fungsi t harmonik

    tanpa ada pembatasan untuk . Untuk keadaan diskrit, W berbanding

    lurus dengan t.

    Dalam peristiwa fotolistrik, emisi electron Auger, serta proses-proses

    radiatif lain, proses transisi biasanya akan berakhir pada kumpulan energy

    yang berdekatan. Dapat dikatakan bahwa keadaan akhir dari proses-proses

    tersebut memiliki distribusi E kontinu. Karena distribusi keadaan berlangsung

    kontinu terhadap waktu maka kerapatan keadaan diberikan berupa fungsi

    waktu, ( ( )). Selang energi antara

    ( )dan

    ( )

    ( ) dapat dirumuskan.

    . ( )/ .

    ( )/ ( )

    Dengan penyesuaian operasi penjumlahan

    ( ) ( )

    ( ) ( ) , diperoleh laju

    reaksi

    ( )

    ( )

    Fungsi , ( )- berosilasi dengan puncak yang menonjol di

    sekitar ( ). Amplitudo yang dihasilkan mengecil dengan

    cepat pada seperti pada gambar di bawah. Hal ini dapat

    mengakibatkan kontribusi integral luar dapat diabaikan. Besar

    dan ( ) di sekitar adalah konstan sehingga persamaan 46

    menjadi

    ( ) ( )

  • 11

    Dengan mengingat bahwa ( ) dan lebar

    karakteristik distribusi ( ) sangat besar, maka batas integral di atas

    disamakan antara - sampai Sehingga persamaan menjadi

    ( ) ( )

    Jika diketahui bahwa

    , integral di atas menghasilkan

    * +

    ( )

    Persamaan di atas dikenal dengan kaidah emas Fermi yang menyatakan

    laju transisi konstan. Hasil penjumlahan dari | ( )( )| merupakan hasil

    penjumlahan dari proses konservatif dan proses konservatif .

    | ( )( )|

    Sedangkan untuk hasil penjumlahan yang lain merupakan hasil

    penjumlahan dari fungsi-fungsi harmonik yang berubah terhadap waktu

    menurut persamaan 42. Resultan dari distribusi fungsi harmonik tersebut

    menghasilkan probabilitas total yang berbanding lurus dengan t. Jika Vlm = 0

    untuk semua keadaan akhir maka Vlm berada pada orde kedua, yaitu

    ( )

    ( )

    Gangguan Medan Harmonik

    Gangguan medan harmonik terjadi pada potensial yang bersifat

    harmonik, misalnya pada medan yang berasal ari sumber gelombang

  • 12

    monokromatik dengan modus gelombang kontinu (CW). Hermitian pada

    keadaan ini dapat dituliskan sebagai berikut.

    ( )( ) {

    V adalah potensial yang tak bergantung pada waktu t. Untuk harga

    koefisien Cl(t) perlu mensubtitusikan syarat di atas pada persamaan 15

    dengan memperhatikan syarat awal ( )( ) akan diperoleh

    ( )

    ( )( )

    ( )

    ,

    ( )

    ( )

    -

    ( )

    ,

    ( )

    ( )

    -

    ( )

    ,

    [{( ) } ]

    ( )

    [{( ) } ]

    ( ) -

    Persamaan di atas dapat dijelaskan melalui gambar berikut.

    Dengan syarat ( )

    ( )

    serta

    memperhatikan bahwa , diperoleh koefisien

    Cl(t) dari suku kedua persamaan 52 dalam bentuk:

    ( )

    ,*( ) + -

    ( )

    Hal tersebut menghasilkan probabilitas yang sama dengan persamaan

    42 dengan perubahan sebagai berikut.

  • 13

    ( )

    | |

    ( ( )

    )

    Dengan menggunakan rumus Fermi untuk proses emisi radiasi dan

    absorbsi radiasi dimana , diperoleh lagi jumlah dari fungsi-fungsi

    harmonik sebesar:

    * +

    | |

    ( )

    Penurunan rumus Fermi digunakan untuk dua pengandaian penting,

    yaitu.

    a. Dasar keberlakuan aproksimasi pertama | ( )| untuk

    mendekati nol. Berlaku syarat | |

    b. Penyederhanaan integral terhadap energi keadaan akhir dimana

    lebar maksimum utama harus jauh lebih kecil dari lebar distribusi

    spektral ( ( )).

    Dari penurunan rumus Fermi dengan dua pengandaian penting

    tersebut, diperoleh bahwa batas validitas rumus laju reaksi untuk

    gangguan medan harmonik adalah sebagai berikut.

    | |

    B. Teori Gangguan Stasioner

    1. Keadaan Nondegenerasi

    Apabila terdapat nilai eigen , dapat digunakan

    pendekatan Rayleigh-Schrodinger dengan menguraikan Hermitian dalam

    bentuk ( ) ( ) yang memenuhi syarat sebagai berikut.

    a. Soal nilai eigen yang tak terganggu

    ( )

    ( )

    ( ) 4

    Artinya, nilai eigen yang dapat diselesaikan dengan mudah sehingga

    perangkat vektor eigen { ( )} yang diperoleh dapat digunakan sebagai

    representasi dalam ruang Hilbert yang ditinjau dan diperoleh

  • 14

    ( )

    | ( )

    b. Menggunakan parameter yang cukup kecil dan biasa disimbolkan

    dengan sehingga suku ( ) dapat dianggap sebagai gangguan yang

    kecil terhadap ( )

    Dalam perumusan selanjutnya, untuk yang cukup kecil dapat ditulis

    dalam bentuk deret konvergen untuk nilai eigen dan vektor eigen sebagai

    berikut:

    ( )

    |

    ( )

    dengan syarat kontinuitas

    ( )

    dan | ( )

    dan syarat keterpisahan (tidak ada tumpang tindih atau overlap )

    antara keadaan awal | ( ) dan keadaan |

    ( ) dengan n 1, yaitu

    ( )

    | ( )

    Subtitusi deret konvergen untuk ke dalam persamaan Hermitian:

    ( ) | ( )

    ( ) | ( )

    ( )

    | ( )

    ( )

    | ( )

    ( )|

    ( )

    Jika koefisien n sama untuk setiap n, maka berlaku persamaan berikut:

    1. ( )| ( )

    ( )

    | ( )

    2. . ( ) ( )

    /| ( )

    . ( ) ( )

    /| ( )

  • 15

    3. . ( ) ( )

    /| ( )

    . ( ) ( )

    /| ( )

    ( )|

    ( )

    Untuk orde n 1, persamaan umum dapat dituliskan

    ( )| ( ) ( )|

    ( ) ( )

    | ( )

    Mengingat bahwa ( )

    | ( ) ( )

    | ( )

    , maka diperoleh persamaan

    untuk suku koreksi energi ( )

    orde ke n(n1) sebagai berikut

    ( )

    | ( )| ( )

    ( )

    ( )|

    ( )

    Mengingat syarat keterpisahan bahwa ( )

    | ( )

    untuk harga

    s = n r 0 maka diperoleh rumus umum

    ( )

    ( )| ( )| ( )

    Berdasar persamaan di atas, koreksi paling rendah (orde pertama)

    dirumuskan sebagai ( )

    ( )| ( )| ( ) dan penyelesaian dijabarkan

    seperti di bawah ini.

    | ( )

    ( ) | ( )

    (

    ( )

    ( )) ( ) |

    ( ) . ( ) ( )/|

    ( )

    . ( )

    ( )/ ( )

    ( )| ( )| ( )

    ( )

    ( )

    ( )| ( )|

    ( )

    ( )

    ( )

    Untuk m=l maka ( ) . Sehingga suku koreksi |

    ( ) dapat dinyatakan

    sebagai superposisi linear vektor eigen ( ), yaitu

    | ( )

    ( )| ( )|

    ( )

    ( )

    ( )|

    ( )

  • 16

    Penjabaran di atas juga dapat digunakan untuk menjabarkan koreksi pada

    orde kedua sebagai berikut.

    ( )

    ( )| ( )| ( )

    dan besar energi ( )

    dirumuskan sebagai

    ( )

    ( )| ( )|

    ( ) ( )| ( )|

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    | ( )| ( )|

    ( )|

    ( )

    ( )

    2. Keadaan Terdegenerasi

    Pada keadaan terdegenerasi, solusi eigen berlaku ( )

    ( ) baik untuk

    m=l maupun untuk ml dan | ( ) |

    ( ). Sehingga ruas kanan pada

    persamaan ruas kanan menjadi tak hingga saat m=l. Sedangkan untuk ml

    persamaan ruas kanan menjadi

    ( )| ( )|

    ( )

    Karena adanya gangguan ( ) maka pada kelompok keadaan eigen yang

    terdegenerasi tersebut perlu dilakukan koreksi pada orde terendah dengan

    superposisi linear yang mendiagonalkan ( ). Hasil diagonalisasi kelompok

    keadaan eigen yang terdegenerasi ini merupakan suku koreksi pertama

    terhadap nilai eigen ( ).

    Sekarang kita tinjau, keadaan ( ) yang memiliki sub ruang degerate

    dengan derajat g. beberapa g keadaan eigen {| ( )} dengan i = 1,2,,g yang

    sesuai dengan suatu energi eigen ( )

    . Keadaan eigen {| ( )} ini dianggap

    sebagai basis ortonormal.

    Untuk mendiagonalkan keadaan eigen ( ) dalam sub ruang degenerasi,

    maka dibentuk basis baru sebagai berikut.

  • 17

    | ( ) |

    ( )

    Dengan ( )|

    ( ) dan

    maka ( )|

    ( ) dan berlaku persamaan

    ( )| ( )

    ( )| ( )

    ( )| ( )|

    ( ) ( )

    ( )

    Diagonalisasi matriks ( )

    akan menghasilka elemen diagonal yang

    tidak lagi sama pada ( ). Sehingga pengaruh koreksi ( ) adalah

    pengurangan atau penghapusan degenerasi dalam spektrum nilai eigen semula.

    Untuk memperoleh koreksi tersebut, maka dijabarkan sesuai pada keadaan

    nondegenerated dengan mengasumsikan bahwa eigen berada dalam sub ruang

    degenerasi.

    ( )

    |

    ( )

    Dengan memperhatikan syarat kontinuitas

    | ( )

    ( ) dan ketentuan ortonormalitas

    ( )|

    ( ) , diperoleh persamaan

    ( )| ( )

    ( )|

    ( )

    . ( ) ( )

    /| ( ) . ( )

    ( )/|

    ( )

    . ( ) ( )

    /| ( ) . ( )

    ( )/|

    ( ) ( )

    | ( )

    Ketiga persamaan di atas menghasilkan persamaan

    ( )| ( )

    ( )|

    ( ) ( )| ( )

    ( )|

    ( )

    Untuk setiap j dalam degenerasi diperoleh persamaan berikut.

  • 18

    ( )| ( )|

    ( ) ( )

    Suku koreksi pada persamaan di atas bergantung pada indeks i dari vektor

    eigen yang berdegenerasi sebelumnya. Gangguan ( ) dapat menimbulkan

    pemisahan tingkat-tingkat energi yang sebelumnya berimpit, serta mengurangi

    degenerasi pada spektrum eigen ( ).

    Untuk membuktikan bahwa persamaan di atas setara dengan persamaan

    eigen ( ) maka perlu dijabarkan sebagai berikut.

    ( )| ( )|

    ( )

    ( )

    Kedua ruas dikalikan dengan ajm kemudian indeks j dijumlahkan dengan

    syarat ortonormal sehingga diperoleh

    ( )

    | ( )| ( )

    ( )

    Atau dalam bentuk matriks dapat dituliskan sebagai

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    Solusi untuk persamaan di atas adalah spektrum nilai eigen { ( )} dan

    koefisien superposisi linear { } untuk {| ( )} yang merupakan vektor eigen

    simultan dari ( )dan ( ) dalam subruang degenerasi sebagai berikut

    ( )

    ( )| ( )| ( )

    Pendekatan orde pertama dituliskan:

    | ( )

    ( )

    | ( )

    | ( )

    ( )

    ( )

    Terjadinya degenerasi dalam suatu spektrum nilai eigen menunjukkan

    adanya sifat simetri atau invarian dari hamiltonian terhadap operasi

    transformasi tertentu. Misalkan sistem yang ditinjau itu invarian terhadap

  • 19

    rotasi dalam keadaan tak terganggu. Ini berarti antara ( ) dan generator

    rotasi li berlaku hubungan

    ( )

    ( )

    Atau

    [ ( ) ] [ ( ) ] [

    ( ) ]

    Sehingga

    ( )( ) ( )

    ( )( )

    Dari hubungan komutasi , - diperoleh bahwa

    Ini membuktikan bahwa energi eigen pada keadaan sama

    dengan energi eigen pada keadaan sehingga spektrum energi eigen

    tersebut mengandung degenerasi dengan derajat g = 2l + 1 terhadap bilangan

    kuantum m.

    Untuk menghilangkan kuantum degenerasi spektrum eigen ( ), perlu

    merusak simetri yang terdapat di dalam spektrum tersebut. jika ( ) komut

    dengan ( ) maka hanya terjadi pergeseran yang berdegenerasi menyeluruh.

    Jika gangguan ( ) masih menyisakan simetri ( ) maka ( ) akan

    menghilangkan degenerasi secara partial.

  • 20

    BAB III

    PENUTUP

    A. Kesimpulan

    Suku tambahan pada perator Hamiltonian sering kali muncul pada

    beberapa persamaan dalam mekanika kuantum. Suku tambahan tersebut

    merupakan sebuah ganguan. Dalam teori gangguan, Hamiltonian diuraikan

    menjadi dua bagian yaitu bagian tanpa gangguan dan bagian suku pengganggu.

    Suku pengganggu dibagi lagi menjadi dua yaitu gangguan yang bergantung waktu

    dan gangguan stasioner atau tak bergantung waktu.

    1. Gangguan stasioner apabila sistem Hamiltonian diuraikan menjadi sebagai

    berikut:

    ( )

    ( ) ( )

    Gangguan nonstasioner dibedakan menjadi dua jenis yaitu:

    c. Gangguan transien (terbatas dalam waktu)

    ( )

    ( )

    d. Gangguan terus menerus atau tetap

    ( )

    ( )

    2. Gangguan nonstasioner

    c. Gangguan Nondegenerasi

    ( )| ( ) ( )|

    ( ) ( )

    | ( )

    d. Gangguan Terdegenerasi

    ( )| ( )

    ( )|

    ( ) ( )| ( )

    ( )|

    ( )

  • 21

    DAFTAR PUSTAKA

    Herbert Kroemer. 1994. Quantum Mechanics. New Jersey: Prentice-hall.inc

    Ohno. Koichi. 2004. Kimia Kuantum. Tokyo: Iwanami Shoten. Mathews

    Venkatesan. 1978. A Tekt Book Of Quantum Mechanics. New Delhi: Tata

    McGraw-hill Publishing Company Limited

    Richard Liboff. 1997. Introductory Quantum Mechanics Third Edition. USA:

    Addison-Wesley Publishing Company, inc

    Sutopo. 2003. Pengantar Fisika Kuantum. Jakarta: Direktorat Jenderal

    Pendidikan Tinggi

    Tjia. M. O., 1999. Mekanika Kuantum. Bandung: ITB Bandung.