Dasar-Dasar Teori Bilangan

Pada bagian ini dibahas beberapa konsep yang sebelumnya telah dipelajari disekolah dasar seperti factor persekutuan terbesar(FPB) dan kelipatan persekutuan terkecil(KPK).

1.FPB dan KPK

FPB dari bilangan-bilangan adalah hasil kali semua factor prima dari bilangan-bilangan itu.Jika ada factor yang sama,maka yang dipilih adalah factor prima dengan pangkat terkecil.KPK dari bilangan-bilangan adalah hasil kali semua factor prima dari bilangan-bilangan itu.Jika ada factor yang sama,maka yang dipilih adalah factor prima dengan pangkat terbesar.

Notas i a,b,c,d dan e adalah bilangan-bilangan bulat.a. Bilangan c adalah factor dari a dan b,dinotasikan (a,b)=c.b. Bilangan d adalah FPB dari a dan b ,dinotasikan FPB(a,b)=d.c. Bilangan e adalah KPK dari a dan b ,dinotasikan KPK(a,b)=e.Jika factor persekutuan dari a dan b adalah 1,maka dikatakan a dan b prima relatip,dinotasikan FPB(a,b)=1.

Algoritma PembagianJika bilangan-bilangan yang akan dicari FPBnya besar,maka perlu suatu cara sistematis untuk mencari FPBnya.Metode ini dikenal dengan nama algoritma pembagian atau algoritma Euclides.Jika a dan b dua bilangan bulat dengan a>b>0,maka FPB(a,b) dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut.

Dalam hali ini bilangan a dibagi b (sebab a > b), hasil bagi dan adalah sisa.Perhatikan pada baris terakhir dari algoritma pembagian,sisanya nol.Contoh:

1

PROGRAM PEMBINAAN PENGEMBANGAN PENINGKATAN MUTU PENDIDIKAN

BIDANG STUDI MATEMATIKA

Tentukan FPB(481,299).Karena 481>299,maka

481=299.1+182, 299=182.1+117, 182=117.1+65. (……………………………… ).117=65.1+52, (………………………………..)65=52.1+13, (……………………………… )

52=13.4

Dari uraian diatas,diperoleh FPB(481,299)=13.Selanjutnya dapat dicari bilangan- bilangan bulat m dan n,sehingga

481m+299n=13m dan n dapat dicari dengan membalik langkah- langkah(dari bawah keatas)pada algoritma pembagian,yaitu

13=65-52.1 =65-(117-65).1 =65.2-117.1 =(182-117.1).2-117.1 =182.2-117.3 =182.2-(299-182.1).3 =182.5-299.3 =(481-299).5-299.3 =481.5-299.8

Berarti,481.5+299(-8)=13,dengan m=5 dan n=-8.Selanjutnya bagaimana hubungan FPB dan KPK.Jika FPB dari dua bilangan bulat diketahui,mak KPK dapat dicari dengan menggunakan rumus

ContohTentukan KPK(70,49).Dengan algoritma pembagian diperoleh FPB(70,49)=7,sehingga

2.Persamaan Diophantine

Persamaan ax+by=c

dengan a,b,c bilangan-bilangan bulat dan a 0,c 0 disebut persamaan Diophantine,jika penyelesaiannya merupakan bilangan bulat.Penyelesaian yang bulat ada jika FPB(a,b) membagi c. Jika dan penyelesaian dari ax+by=c,maka penyelesaian umumnya adalah

2

dengan k bilangan bulatContohTentukan penyelesaian yang bulat dari 23x+29y=25.Mula-mula dicek dulu apakah FPB(23,29) membagi 25.Jelas FPB(23,29) membagi 25,sebab FPB(23,29)=1.Selanjutnya dengan algoritma pembagian diperoleh

29=23.1+623=6.3+56=5.1+15=1.5

langkah-langkah tersebut dibalik,diperoleh1=6-5 =6-(23-6.3) =6.4-23 =(29-23).4-23 =29.4-23.5

dari hasil tersebut diperoleh23.(-5)+29.4=1

Kedua ruas dikalikan 25 diperoleh23(-125)+29.(100)=25

yaitu dan adalah penyelesaian,dan penyelesaian umumnya adalah

x=-125+k.25/1=-125+25k

y=100-k.23/1=100-23k.

Untuk setiap k diperoleh banyak penyelesaian.

3.Penyajian Bilangan

Dalam sehari-hari,arti bilangan 347 adalah

Secara umum semua bilangan asli dapat ditulis dalam bentuk

Bilangan dengan basis lain diturunkan sebagai berikut.

ContohTulis bilangan 187 dengan basis 2.

3

Dengan demikian 187=

Contoh Dalam basis 2,tentukan 111+11Jelas 111+11=1010.Ingat 1+1=10.

4.Keterbagian Suatu Bilangan.

Suatu bilangan bulat positip N habis dibagi a.2 jika angka terakhirnya genap.b.4 jika bilangan dengan dua angka terakhir habis dibagi 4c.3 jika jumlah semua angka habis dibagi 3d.5 jika angka terakhir 0 atau 5.

Akan dicoba membuktikan pernyataan diatas.

a.Bilangan mempunyai arti

Suku pertama habis dibagi 2.Karena itu agar N habis dibagi 2,maka juga harus habis dibagi 2.

b.Tulis dalam bentuk

Agar N habis dibagi 4,maka harus habis dibagi 4.

c.Bilangan N dapat ditulis

4

selalu habis dibagi 3 sehingga supaya N habis dibagi 3,maka harus habis dibagi 3.

d.Bilangan N dapat ditulis

Jelas N habis dibagi 5,jika merupakan bilangan 0 atau 5.

Soal Latihan

No Soal Penyelesaian1 Tentukan FPB dan KPK dari bilangan-bilangan

berikut:a.2378 dan 3977.b.6409 dan 4283.

2 Tentukan bilangan bulat m dan n sehinggaa.2378m+3977n=db.6409m+4283n=ddengan d adalah FPB dari bilangan-bilangan diatas.

3 Carilah penyelesaian yang bulat dari persamaan berikut:a.738x+621y=45b.121x-88y=572c.47x-73y=19

4 Tentukan syarat agar suatu bilangan habis dibagia.8b.9c.25d.125

5 Tentukan banyaknya pembagi(factor) dari bilangana.7056b.31752

6 Tentukan bentuk rasional dari bilangan berikut

5

a.3,256256………b.1,4515151……..c.(0,343434…..).(0,7888888…)d.0,686868……+0,7777…….

7 Tentukan jumlah angka(digit) daria.b.

8 Tentukan nilai x,y,z dari pembagian bersusun berikut

a.

b.

9 Selesaikan pembagian bersusun berikut:

a.

b.

Tentukan nilai x

c.

10 Tentukan banyaknya angka(digit) daria.b.

6

11 Tentukan banyaknya bilangan asli yang lebih kecil dari 1000 dan mempunyaia.digit terakhir 9.b.digit pertamanya 9.

12 a. dapat dibagi oleh dua bilangan antara 120 dan 130.Tentukan jumlah kedua bilangan itu.b.Diketahui adalah bilangan prima untuk r=0,1,2,3,4 dan bukan bilangan prima untuk r=5.Tentukan banyaknya bilangan prima dari

13 Sederhanakan bentuk berikut:

a.

b.

14 Diketahui :

dan

Nyatakan y dalam x.

15 Tentukan banyaknya bilangan bulat positip yang terdiri dari lima angka (digit) dan angkanya hanya 5 dan 6 saja ,serta bilangan itu habis dibagi 9.

7