Kapasitas Panas dan Konsep Fonon

I. Kapasitas Panas

Dalam padatan, terdapat dua jenis energi thermal yang tersimpan di dalammya

yaituenergi vibrasi atom-atom di sekitar posisi keseimbangannya dan energi kinetik

yangdikandung elektron-bebas. Jika suatu padatan menyerap panas maka energi

internalyang tersimpan dalam padatan meningkat yang diindikasikan oleh

kenaikantemperaturnya. Jadi perubahan energi pada atom-atom dan elektron-

bebasmenentukan sifat-sifat thermal padatan. Sifat-sifat thermal yang akan kita

bahasadalah kapasitas panas.[1]

Tiap-tiap atom pada benda padat ini dapat berosilasi ke tiga arah secara bebas

dan independen, sehingga padatan dapat dipandang sebagai sistem yang memiliki

3N osilator harmonik sederhana, dengan N menunjukkan jumlah atom dalam kekisi

kristal tersebut. Oleh karena tiap osilator harmonik memiliki energi rata-rata kBT,

energi total rata-rata padatan itu adalah sebesar 3NkBT, dan kapasitas kalornya adalah

3NkB.

Dengan mengambil nilai N sebagai tetapan Avogadro NA, dan menggunakan

hubungan R = NAkB antara tetapan gas Rdengan tetapan Boltzmann kB, hal ini akan

menjelaskan hukum Dulong-Petit mengenai kapasitas kalor jenis benda padat, yang

menyatakan bahwa kapasitas kalor jenis (per satuan massa) suatu benda padat

berbanding terbalik terhadap bobot atomnya. Dalam versi modernya, kapasitas kalor

molar suatu benda padat adalah 3R ≈ 6 cal/(mol·K).

Namun, hukum ini menjadi tidak akurat pada temperatur yang rendah. Hal ini

disebabkan oleh efek-efek kuantum. Selain itu, hukum ini juga tidak konsisten

dengan hukum ketiga termodinamika, yang menurutnya kapasitas kalor molar zat

apapun haruslah menuju nilai nol seiring dengan temperatur sistem menuju nol

mutlak. Teori yang lebih akurat kemudian dikembangkan oleh Albert Einstein (1907)

dan Peter Debye (1911) dengan memasukkan pertimbangan efek-efek kuantum. [2]

Kapasitas Panas adalah

sejumlahpanas(∆Q)yangdiperlukanpermolzatuntukmenaikkansuhunya1 K, disebut

kapasitas kalor.Untuk membedakan dengan kapasitas panas yang ditulis dengan huruf

besar (Cv danCp), maka panas spesifik dituliskan dengan huruf kecil (cv dan cp).Bila

kenaikan suhu zat∆T, maka kapasitas panas adalah :

C=∆ Q∆ T

(1.1)

Jikaprosespenyerapanpanasberlangsungpadavol

umetetap,makapanasyangdiserapsamadenganpeningkatanenergidalamzat∆Q= ∆U.

Kapasitas kalor pada volume tetap (Cv)dapat dinyatakan:

C v=(∆ U∆ T )

v

=( ∂ U∂ T )

v (1.2)

Dengan U adalah energi internal padatan yaitu total energi yang ada dalam padatan

baik dalam bentuk vibrasi atom maupun energi kinetik elektron bebas.

Kapasitas panas pada tekanan konstan, (Cp) dengan relasi

C p=( ∂ H∆ T )

p (1.3)

dengan H adalah enthalpi. Pengertian enthalpi dimunculkan dalam thermodinamika

karena sesungguhnya adalah amat sulit menambahkan energi pada padatan

(meningkatkan kandungan energi internal) saja dengan mempertahankan tekanan

konstan. Jika kita masukkan energi panas ke sepotong logam, sesungguhnya energi

yang kita masukkan tidak hanya meningkatkan energi internal melainkan juga untuk

melakukan kerja pada waktu pemuaian terjadi. Pemuaian adalah perubahan volume,

dan padawaktu volume berubah dibutuhkan energi sebesar perubahan volume kali

tekanan udara luar dan energi yang diperlukan ini diambil dari energi yang kita

masukkan. Oleh karena itu didefinisikan enthalpi guna mempermudah analisis, yaitu

H = U + PV (1.4)

dengan P adalah tekanan dan V adalah volume.

Kapasitaspanaszatpada

suhutinggimendekatinilai3R;Rmenyatakantetapangasumum.KarenaR≅2kalori/K-mol,

maka pada suhu tinggi kapasitas panas zat padat :

C v≅6 kalori

K−mol

Gambar 2.11. Kebergantungan kapasitas panas zat padat pada suhu

I.1 Model Teori Klasik

Menurut hukum Dulong-Petit (1920), panas spesifik padatanunsur adalah hampir

sama untuk semua unsur, yaitu sekitar 6 cal/mole oK.Boltzmann, setengah abad

kemudian, menunjukkan bahwa angka yang dihasilkanoleh Dulong-Petit dapat

ditelusuri melalui pandangan bahwa energi dalam padatantersimpan dalam atom-

atomnya yang bervibrasi. Getaran atom-atomzatpadat

dapatdipandangsebaga

iosilatorhar m oni k .Osilatorharmonikmerupakansuatukonsep/

modelyangsecaramakroskopikdapat

dibayangkansebagaisebua

hmassamyangterkaitpadasebuahpegasdengantetapanpegasC.

Untuk osilator harmonik satu-dimensi, energinya dapat dirumuskan :

ε=energikinetik+energipotensial

ε=12

m v2+ 12

c x2

ε=m2

(v2+ω2 x2 ) (1.5)

denganvlajugetaranosilator,

xsimpanganosilator

ω frekuensisudutgetaranosilator (ω=√ cm ).

Molekul gas ideal memiliki tiga derajat kebebasan dengan energi kinetik rata-rata

per derajat kebebasan adalah12

kbT sehingga energi kinetik rata-rata dalam tigadimensi

adalah32

kbT. Energi per mole adalah :

Uk/mole = 32

NkbT = 32

RT, (N Bilangan Avogadro) (1.6)

yang merupakan energi internal gas ideal.Dalam padatan, atom-atom saling terikat

sehingga selain energi kinetik terdapat pulaenergi potensial sehingga energi rata-rata

per derajat kebebasan bukan12

kbT melainkankbT. Energi per mole padatan menjadi:

Uk / mole padat = 3RT cal/mole (1.7)

Panas spesifik pada volume konstan:

C v=|dUdT |

v= 3R = 5,96 cal/mole o K (1.8)

Angka inilah yang diperoleh oleh Dulong-Petit. Pada umumnya hukum Dulong-

Petit cukup teliti untuk temperatur di atas temperatur kamar. Namun beberapa unsur

memiliki panas spesifik pada temperatur kamar yang lebih rendah dari angka Dulong-

Petit, misalnya B, Be, C, Si. Pada temperatur yang sangat rendah panas spesifik

semua unsur menuju nol.

I.2 Model Einstein

Atom – atom kristal dianggap bergetar satu sama lain di sekitar titik

setimbangnya secara bebas. Getaran atomnya dianggap harmonik sederhana yang

bebas sehingga mempunyai frekuensi yang sama (v= ω2 π

) sehingga di dalam zat

padat terdapat sejumlah N atom maka ia akan mempunyai 3N osilator harmonik yang

bergetar bebas dengan frekuensi ω

(1.9)

Model Einstein untuk T>>

Untuk T<<

Bila (1.10)

(1.11)

(1.12)

DalammodelEinsteinfrekuensiosilatorωbiasaditulisωEyangdisebutfrekuensi

Einstein. Didefinisikan suhu Einstein ( θ E)menurut :

dan persamaan ( 1.12 ) tereduksi menjadi :

(1.13)

Jadi pada suhu rendah, Cv sebanding dengan hasil ini tidak cocok dengan hasil

eksperimen, dimana Cv sebanding dengan T3. ModelinipungagalmenjelaskanCv pada

suhu rendah.

I.3 Model Debye

DalammodelEinstein,atom-atomdianggapbergetarsecaraterisolasidariatomdi

sekitarnya. Anggapan ini jelas tidak dapat diterapkan, karena gerakan atom akan

saling berinteraksidenganatom-

atomlainnya.Sepertidalamkasuspenjalarangelombangmekanik

dalamzatpadat,olehkarenarambatangelombangtersebutatom-

atomakanbergerakkolektif.

Frekuensigetaranatombervariasidariω=0sampaidenganω =ωD.Batasfrekuensi

ωDdisebut frekuensi potong Debye.

MenurutmodelDebyeini,energitotalgetaranatompadakisidiberikanolehungkapan:

(1.14)

є(ω)adalahenergirata-

rataosilatorsepertipad

amodelEinstein,sedangkang(ω)adalahrapatkeadaan.Dalamselangfrekuensi antara ω=

0 dan ω= ωD,g(ω) memenuhi :

(1.15)

Jumlahmodagetaransamadenganjumlah1molosilatortiga-dimensi,yangdalam

kurvapadagambar1.ditunjukkanolehdaerahterarsir.FrekuensipotongωD adalah :

(1.16)

Gambar 1. Rapat Keadaan Menurut Model Gebye

Apabilakitamenggambarkankonturyangberhubungandenganω=ωD dalamruang-

qsepertipadag

ambar2.akandiperolehsebuahbolayangdisebutbolaDebye,denganjejariqDyang disebut

jejari Debye

(1.17)

Gambar 2. Bola Debye dengan jejari qD

Kembalipadapersamaan(1.14),dengansubstitusi є(ω)padapersamaan(1.18) dan

g(ω) ke persamaandiperoleh ungkapan energi getaran kisi :

(1.18)

Turunan pertama terhadap suhu persamaan g(ω)menghasilkan kapasitas kalor:

(1.19)

Penampilan persamaan (1.19) dapat disederhanakan dengan mendefinisikan :

(1.20)

Dan suhu Debye

(1.21)

sehingga bentuknya menjadi :

(1.22)

Pada suhu tinggi (T>>θD), batas atas integral (θD/T) sangat kecil,demikian

juga variabel x. Sebagai pendekatan dapat diambil : ex≅ 1 + x

sehingga integral yang bersangkutan menghasilkan :

(1.23)

Masukkan hasil ini kepersamaan (1.22)

(1.24)

SesuaidenganhukumDulong-Petit, pada suhu tinggi model ini sesuai dengan hasil

eksperimen.Pada suhu rendah (T<<θD), batas integral pada persamaan (1.22) menuju

tak berhingga dan integral tersebut menghasilkan 4π4/15.Dengan demikian:

(1.25)

II. Konsep Fonon

Fonon dalam fisika adalah kuantum kuantum moda vibrasi pada kisi kristal tegar,

seperti kisi kristal pada zat padat. Kristal dapat dibentuk dari larutan, uap, lelehan

atau gabungan dari ketiganya. Pembentukan kristal sangat dipengaruhi oleh laju

nukleasi dan pertumbuhan. Bila pertumbuhan lambat, kristal yang terbentuk akan

cukup besar, disertai dengan penataan atom–atom atau molekul-molekul secara

teratur dengan berulang sehingga sehingga energi potensialnya minimum. Fisika zat

padat sangat berkaitan erat dengan kristal dan elektron di dalamnya.

Fisika zat padat mengalami perkembangan pesat setelah ditemukan Sinar-X dan

keberhasilan di dalam memodelkan susunan atom dalam kristal. Atom-atom atau

molekul–molekul dapat berbentuk kisi kristal melalui gaya tarik menarik (gaya

coulomb). Kisi–kisi tersebut tersusun secara priodik membentuk kristal. Atom–atom

yang menyusun zat padat bervibrasi terhadap posisi keseimbanganya sehingga kisi–

kisi kristal pun ikut bervibrasi. Fenomena yang muncul dari kuantisasi sistem fisika

zat padat tetapi memiliki perbedaan energi dengan panjang gelombang lebih panjang

dibanding gelombang elektromagnetik disebut fonon. Energi kuantum dari vibrasi

gerak dalam medan gelombang elastis dapat dianalogikan seperti dalam foton dalam

gelombang elektromagnetik.

Konsep fonon tersirat dalam teori Debye yang sangat penting dan jauh mencapai

konsepnya. Kita telah melihat bahwa energi setiap mode adalah terkuantisasi, energi

dari unit kuantum menjadi ћω. Karena mode yang kita miliki adalah gelombang

elastis, yang pada kenyataannya, terkuantisasi energi gelombang suara elastis.

Prosedur ini analog dengan yang digunakan dalam mengkuantisasi energi medan

elektromagnetik, di mana sel hidup alam lapangan diungkapkan dengan

memperkenalkan foton. Dalam kasus ini, partikel seperti entitas yang membawa

energi unit bidang elastis dalam modus tertentu disebut sebuah Fonon. Energi fonon

tersebut yaitu:

є = ћω (1.26)

Sedangkan Fonon juga merupakan gelombang berjalan, ia membawa momentum

sendiri. Analogi foton (sama seperti persamaan de Broglie), momentum Fonon

diberikan oleh p = h / λ, dimana λ adalah panjang gelombang. Ditulis λ = 2π / q,

dimana q adalah vektor gelombang, kita memperoleh momentum untuk Fonon

tersebut:

p = ћq (1.27)

Sama seperti kita berpikir tentang gelombang elektromagnetik sebagai aliran foton,

sekarang kita melihat sebuah gelombang suara elastis sebagai aliran fonon yang

membawa energi dan momentum gelombang. Kecepatan perjalanan Fonon sama

dengan kecepatan suara dalam medium.

Jumlah fonon dalam mode pada kesetimbangan termal dapat ditemukan dari

pemeriksaan Persamaan. (3.26). Karena energi per Fonon sama dengan ћω, dan

karena energi rata-rata fonon dalam modus diberikan oleh є dalam (3.26), berarti rata-

rata jumlah fonon dalam modus diberikan oleh

n= 1

eђωkT −1

(1.28)

Jumlah ini tergantung pada suhu pada T = 0, n = 0, tetapi dengan meningkatnya T, n

juga meningkat, akhirnya meraih nilai n = kT / ћω pada suhu tinggi. Di sini kita

melihat hal yang menarik: fonon diciptakan hanya dengan meningkatkan suhu, dan

karenanya jumlah mereka dalam sistem ini tidak kekal. Ini tidak seperti kasus pada

partikel lebih dikenal fisika-misalnya, elektron atau proton di mana jumlah ini kekal.

Konsep fonon merupakan salah satu yang sangat penting dalam fisika zat padat,

dan kita akan perdalam lagi dalam buku ini. Sebagai contoh, pada bagian 3.10, kita

akan mempelajari interaksi fonon dengan bentuk-bentuk lain dari radiasi, seperti

sinar-X, neutron, dan cahaya. Interaksi ini tidak hanya akan memvalidasi pers. (3.41)

and (3.42) untuk energi dan momentum Fonon, tetapi juga akan memberikan

informasi berharga tentang keadaan getaran padat.