13. Suku Banyak

13. SUKU BANYAK

A. Teorema Sisa

1) F(x) = (x – b)· H(x) + S, maka S = F(b)

2) F(x) = (ax – b)· H(x) + S, maka S = F(ab )

3) F(x) : [(x – a)(x – b)], maka S(x) = (x – a)S2 + S1, dengan S2 adalah sisa pembagian pada tahap ke-2

Dengan H(x): Hasil pembagian dan S: sisa pembagian

B. Teorema Faktor

(x – b) adalah faktor dari f(x) bila S = f(b) = 0 C. Akar Rasional Persamaan Suku Banyak

Bentuk umum : axn + bxn –1 + cxn –2 + … + d = 0. Akar-akarnya adalah x1, x2, …, xn.

1) x1 + x2 + …+ xn = ab−

2) x1 · x2 · …· xn = ad (bila berderajat genap)

3) x1 · x2 · …· xn = ad− (bila berderajat ganjil)

4) x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 + … = ac

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN

105

SOAL PENYELESAIAN 1. Salah satu faktor suku banyak

P(x) = x3 – 11x2 + 30x – 8 adalah … a. (x + 1) b. (x – 1) c. (x – 2) d. (x – 4) e. (x – 8)

Untuk menyelesaikannya gunakan cek point Lihat rumus B (x – b) adalah faktor dari P(x) bila P(b) = 0 P(x) = x3 – 11x2 + 30x – 8 a. P(–1) = (–1)3 – 11(–1)2 + 30(–1) – 8 ≠ 0 b. P(1) = (1)3 – 11(1)2 + 30(1) – 8 ≠ 0 c. P(2) = (2)3 – 11(2)2 + 30(2) – 8 ≠ 0 d. P(4) = (4)3 – 11(4)2 + 30(4) – 8 = 0 e. P(8) = (8)3 – 11(8)2 + 30(8) – 8 ≠ 0 demikian jawaban yang benar adalah …….…(d)

2. Suku banyak x4 – 2x3 – 3x – 7 dibagi dengan (x – 3)(x + 1), sisanya adalah … a. 2x + 3 b. 2x – 3 c. –3x – 2 d. 3x – 2 e. 3x + 2

Gunakan metode bagan Pembagi : (x – 3)(x + 1) = x2 – 2x – 3 , maka

a = 1, b = –2 , c = – 3

berdasarkan bagan di atas diperoleh : sisa = 3x + 2 ……………………………..(e)

3. Sisa pembagian suku banyak (x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1) oleh (x2 – x – 2) adalah … a. –6x + 5 b. –6x – 5 c. 6x + 5 d. 6x – 5 e. 6x – 6

Gunakan metode bagan Pembagi : x2 – x – 2, maka a = 1, b = –1 , c = – 2

berdasarkan bagan di atas diperoleh : sisa = – 6x + 5 ……………………………..(a)



106

SOAL PENYELESAIAN

4. Suku banyak f(x) = 4x3 – 4x2 + 10x – 3 dibagi 2x2 – x + 1, maka hasil bagi dan sisnya berturut-turut adalah … a. 2x – 1 dan 7x – 2 b. 2x + 1 dan 9x – 4 c. 2x – 3 dan 5x d. 2x – 1 dan 9x – 4 e. 2x – 3 dan 5x – 6

Gunakan metode bagan

Pembagi : 2x2 – x + 1 = 21 (2x2 –x + 1)

= x2 – 21 x + 2

1 , maka

a = 1, b = – 21 , c = 2

1

berdasarkan bagan di atas diperoleh :

hasil bagi H(x) = 21 (4x – 2) = 2x – 1

Sisa = 7x – 2 Sehingga jawaban yang benar adalah ………(a)

5. Suatu suku banyak F(x) dibagi (x – 2) sisanya 5 dan (x + 2) adalah faktor dari F(x). Jika F(x) dibagi x2 – 4, sisanya adalah … a. 5x – 10

b. 25

45 x +

c. 5x + 10 d. –5x + 30

e. 27

45 x +−

Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: x2 – 4 = (x – 2)(x + 2)

P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x – 2) ⋅ H(x) + 5………………………(1) f(x) = (x + 2) ⋅ H(x) + 0……………………...(2)

(x + 2) merupakan faktor dari f(x) sehingga sisa = 0

f(x) = (x – 2)(x + 2) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh:

f(2) = 5 = 2a + b f(–2) = 0 = –2a + b_ –

5 = 4a

a = 45

substitusi a = 45 ke f(–2)

0 = – 2a + b

0 = –2(45 ) + b

b = 25

Jadi, sisa = 45 x + 2

5 …………………….(a)



107

SOAL PENYELESAIAN 6. Suku banyak f(x) dibagi 2x –1 sisanya 7 dan

x2 + 2x – 3 adalah faktor dari f(x). Sisa pembagian f(x) oleh 2x2 + 5x – 3 adalah … a. 2x + 6 b. 2x – 6 c. –2x + 6 d. x + 3 e. x – 3

Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: (x2 + 2x – 3) = (x + 3)(x – 1) (2x2 + 5x – 3) = (2x – 1)(x + 3)

P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (2x – 1) ⋅ H(x) + 7………………………(1) f(x) = (x + 3)(x – 1) ⋅ H(x) + 0………………...(2)

(x + 3)(x – 1) merupakan faktor dari f(x) sehingga sisa = 0

f(x) = (2x – 1)(x + 3) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh:

f( 21 ) = 7 = 2

1 a + b

f(–3) = 0 = –3a + b_ –

{ 7 = 321 a = 2

7 a}×72

a = 2

substitusi a = 2 ke f(–3) 0 = – 3a + b 0 = –3(2) + b b = 6

Jadi, sisa = 2x + 6 ………………………….(a)

7. Suku banyak P(x) dibagi oleh (x2 – 9) sisanya

(5x – 13), dan jika dibagi oleh (x + 1) sisanya –10. Sisa pembagian suku banyak oleh (x2 – 2x – 3) adalah … a. 3x – 7 b. –3x + 11 c. 4½ x – 14½ d. –4x – 6 e. 19x – 29

Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: (x2 – 9) = (x – 3)(x + 3) (x2 – 2x – 3) = (x – 3)(x + 1)

P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa P(x) = (x – 3)(x + 3)⋅H(x) + (5x – 13) ……….(1) P(x) = (x + 1) ⋅H(x) – 10…………………….(2) P(x) = (x – 3)(x + 1)⋅H(x) + (ax + b)…………(3)

Dari (1) dan (3) serta (2) dan (3) diperoleh: P(3) = 5(3) – 13 = 3a + b P(–1) = – 10 = – a + b –

12 = 4a a = 3

substitusi a = 3 ke P(–1) – 10 = – a + b – 10 = – 3 + b

b = –7 Jadi, sisa = 3x – 7 ………………………….(a)



108

SOAL PENYELESAIAN 8. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1) sisanya 10

dan jika dibagi (2x – 3) sisanya 5. Jika suku banyak f(x) dibagi (2x2 – x – 3), sisanya adalah … a. –2x + 8 b. –2x + 12 c. –x + 4 d. –5x + 5 e. –5x +15

Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: 2x2 – x – 3 = (2x – 3)(x + 1)

P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x + 1) ⋅ H(x) + 10...……………………(1) f(x) = (2x – 3) ⋅ H(x) + 5……………………...(2) f(x) = (2x – 3)(x + 1) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh:

−−×−=

+==

+−==−

52

25

23

23

}5{

5)(

10)1(

a

baf

baf

a = – 2 substitusi a = – 2 ke f(–1)

10 = –a + b 10 = –(–2) + b b = 8

Jadi, sisa = –2x + 8………………….……….(a) 9. Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x + 2)

adalah 4, jika suku banyak tersebut dibagi (2x – 1) sisanya 6. Sisa pembagian suku banyak tersebut oleh 2x2 + 3x – 2 adalah …

a. 53

54 5x +

b. 52

54 2x +

c. 4x + 12 d. 4x + 4 e. 4x – 4

Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: 2x2 + 3x – 2 = (x + 2)(2x – 1)

P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x + 2) ⋅ H(x) + 4.....……………………(1) f(x) = (2x – 1) ⋅ H(x) + 6……………………...(2) f(x) = (x + 2)(2x – 1) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh:

−−×−=−

+==

+−==−

52

25

21

21

}2{

6)(

24)2(

a

baf

baf

a = 54

substitusi a = 54 ke f(–2)

4 = –2a + b

4 = –2(54 ) + b

4 = –58 + b

b = 4 + 531 =

535

Jadi, sisa = 54 x +

535 …………………….(a)



109

SOAL PENYELESAIAN 10. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi (x + 1)

bersisa 8 dan dibagi (x – 3) bersisa 4. Suku banyak q(x) jika dibagi (x + 1) bersisa –9 dan jika dibagi (x – 3) bersisa 15. Jika h(x) = f(x)·g(x), maka sisa pembagian h(x) oleh (x2 – 2x – 3) adalah … a. –x + 7 b. 6x – 3 c. x – 4 d. 11x – 13 e. 33x – 39

Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: (x2 – 2x – 3) = (x – 3)(x + 1)

P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x + 1) ⋅ H(x) + 8………………………(1) f(x) = (x – 3) ⋅ H(x) + 4………………………(2) q(x) = (x + 1) ⋅ H(x) – 9………………………(3) q(x) = (x – 3) ⋅ H(x) + 15…………………….(4) f(x)·g(x) = (x – 3)(x + 1) ⋅ H(x) + (ax + b) …..(5) dari (1), (3), dan (5) serta (2), (4), dan (5) diperoleh:

f(–1)·g(–1) = 8 (–9) = – a + b f(3)·g(3) = 4 (15) = 3a + b_ –

– 132 = – 4a a = 33

substitusi a = 3 ke f(–1)·g(–1) – 72 = – a + b – 72 = – 33 + b

b = –39 Jadi, sisa = 33x – 39 ………………………….(e)

11. Suku banyak f(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 4 dan bila dibagi (x + 3) bersisa – 5. Suku banyak g(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 2 dan bila dibagi (x + 3) bersisa 4. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x), maka sisa pembagian h(x) oleh (x2 + 2x – 3) adalah … a. 6x + 2 b. x + 7 c. 7x + 1 d. –7x + 15 e. 15x – 7

Gunakan teorema sisa Faktorkan dari: (x2 + 2x – 3) = (x + 3)(x – 1)

P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa f(x) = (x – 1) ⋅ H(x) + 4………………….……(1) f(x) = (x + 3) ⋅ H(x) – 5………………….……(2) q(x) = (x – 1) ⋅ H(x) + 2………………………(3) q(x) = (x + 3) ⋅ H(x) + 4………………….…...(4) f(x)·g(x) = (x + 3)(x – 1) ⋅ H(x) + (ax + b) …...(5) dari (1), (3), dan (5) serta (2), (4), dan (5) diperoleh:

f(1)·g(1) = 4(2) = a + b f(–3)·g(–3) = –5(4) = –3a + b_ –

28 = 4a a = 7

substitusi a = 7 ke f(1)·g(1) 8 = a + b 8 = 7 + b b = 1

Jadi, sisa = 7x + 1 ………………………….(c)



110

SOAL PENYELESAIAN 12. Suku banyak (2x3 + ax2 – bx + 3) dibagi oleh

(x2 – 4) bersisa (x + 23). Nilai a + b = … a. –1 b. –2 c. 2 d. 9 e. 12

Gunakan metode bagan Pembagi : x2 – 4 , maka a = 1, b =0 , c = – 4

berdasarkan bagan di atas diperoleh :

Dari kesamaan di atas dapat diketahui jika: 8 – b = 1 ⇒ b = 8 – 1 = 7

3 + 4a = 23 ⇒ a = 420 = 5

jadi: a + b = 5 + 7 = 12 ………………………(e)

13. Akar-akar persamaan px3 – 14x2 + 17x – 6 = 0

adalah x1, x2, dan x3. Untuk x1 = 3, maka x1·x2·x3 = … a. –6

b. –3

14

c. –2

d. 3

14

e. 2

Gunakan rumus C • Persamaan px3 – 14x2 + 17x – 6 = 0 memiliki

akar x1 = 3, maka: f(3) = 0

p(3)3 – 14(3)2 + 17(3) – 6 = 0 27p – 126 + 51 – 6 = 0

27p – 81 = 0

p = 2781 = 3

dengan demikian persamaan tersebut adalah: 3x3 – 14x2 + 17x – 6 = 0

• x1 · x2 · x3 = ad− ….………….rumus C.3

= )(36−− = 2 …………………(e)



111

SOAL PENYELESAIAN 14. Diketahui x1, x2, dan x3 adalah akar-akar

persamaan 2x3 – bx2 – 18x + 36 = 0. Jika x1 dan x2 berlawanan, nilai b adalah … a. 36 b. 18 c. 9 d. 4 e. 1

Gunakan rumus C • Persamaan 2x3 – bx2 – 18x + 36 = 0 memiliki

Nilai a = 2, b = – b, c = – 18 dan d = 36

• x1 dan x2 berlawanan, maka x1 = – x2 x1 + x2 = 0

• x1 + x2 + x3 = ab− ……………….rumus C.1)

0 + x3 = 2)( b−−

x3 = 2b

• x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 = ac ….….rumus C.4

x1 · x2 + (x1 + x2 )x3 = 218−

x1· x2 + (0 )x3 = – 9 x1· x2 = – 9

• x1 · x2 · x3 = ad− ….………….rumus C.3

–9 · 2b = 2

36−

b = 936 = 4 ………………………..(d)

15. Persamaan x3 – 2x2 – 9x + k = 0, mempunyai sepasang akar berlawanan. Nilai k = … a. 30 b. 24 c. 25 d. 20 e. 18

Gunakan rumus C • Persamaan x3 – 2x2 – 9x + k = 0 memiliki

Sepasang akar berlawanan maka x1 = – x2 x1 + x2 = 0

• x1 + x2 + x3 = ab− ……………….rumus C.1)

0 + x3 = 1)2(−−

x3 = 2

• x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 = ac ….….rumus C.4

x1 · x2 + (x1 + x2 )x3 = 19−

x1· x2 + (0 )x3 = – 9 x1· x2 = – 9

• x1 · x2 · x3 = ad− ….………….rumus C.3

–9 · 2 = 1k−

k = 18 …..………………………..(e)



112

SOAL PENYELESAIAN 16. Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai

faktor (3x – 1). Faktor linear yang lain adalah … a. 2x – 1 b. 2x + 3 c. x – 4 d. x + 4 e. x + 2

Gunakan rumus B (3x – 1) merupakan faktor dari

f(x) = 6x3 + 13x2 + qx + 12, maka f(31 ) = 0

perhatikan bahan berikut:

berdasarkan bagan di atas diperoleh: (i) f(

31 ) = 12 +

31 (q + 5)

{0 = 12 + 31 (q + 5)}×3

0 = 36 + q + 5 q = – 41

(ii) hasil bagi H(x) =31 (6x2 + 15x + 5 + q)

= 31 (6x2 + 15x + 5 – 41)

= 31 (6x2 + 15x – 36)

= (2x2 + 5x – 12) = (2x2 – 3)(x + 4)

Jadi, faktor yang lain adalah (2x2 – 3) dan (x + 4)……………………….(d)

17. Akar-akar persamaan x3 – x2 + ax + 72 = 0 adalah x1, x2, dan x3. Jika salah satu akarnya adalah 3 dan x1< x2 < x3, maka x1 – x2 – x3 = … a. –13 b. –7 c. –5 d. 5 e. 7

Gunakan rumus B Salah satu akar dari persamaan x3 – x2 + ax + 72 = 0, adalah 3, maka f(3) = 0 perhatikan bahan berikut:

berdasarkan bagan di atas diperoleh: (i) f(3) = 3a + 90

0 = 3a + 90 0 = a + 30

a = – 30

(ii) hasil bagi H(x) = x2 + 2x + a + 6 = x2 + 2x – 30 + 6 = x2 + 2x – 24

= (x – 4)(x + 6) sehingga diperoleh: x3 – x2 – 30x + 72 = (x – 4)(x – 3)(x + 6), maka akar-akarnya adalah x = {4, 3, –6}

Jadi: x1 – x2 – x3 = 4 – 3 – (–6) = 7 …………..(e)

13. Suku Banyak

Documents

Transcript of 13. Suku Banyak