11.pdf · MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -1 - INSAN CERDAS - KARENA...

MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -1 -

INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL

MATEMATIKA

1 – Statistika A. Data Tunggal

No. Jenis Rumus Rumus

1. Rata-rata (rataan) hitung

n

xxxx n

21

_

Keterangan: _

x : rata-rata

nx : data ke-n

n : banyaknya data

2. Modus Modus (Mo) merupakan data yang paling sering muncul atau data

yang memiliki frekuensi terbesar.

3 Median 2

1

nxMe , untuk n ganjil

2

1

nnxx

Me , untuk n genap

4 Jangkauan J = datum terbesar-datum terkecil

= minXXmaks

5

Kuartil Kuartil )(i

Q adalah nilai yang membagi sekumpulan data yang telah

disusun berurutan menjadi 4 bagian sama besar.

1Q : Kuartil bawah

2Q : Kuartil tengah (Median)

3Q : Kuartil atas



6 Simpangan Quartil

)(

2

113

QQQd

7

Simpangan rata-rata

xxxxxxn

SRn

21

1

Keterangan:

SR : Simpangan rata-rata _

x : rata-rata

nx : data ke-n

n : banyaknya data

Perhatikan bahwa xx 1

merupakan nilai mutlak data ke-1

dikurangi rata-rata. Sehingga hasilnya selalu positif.

8

Ragam atau Variansi

22

2

2

1

2 )()()(1

xxxxxxn

SRn

Keterangan: 2SR : Simpangan rata-rata

_

x : rata-rata

nx : data ke-n

n : banyaknya data

9

Simpangan Baku atau

Deviasi Standar

22

2

2

1

2 )()()(1

xxxxxxn

SSn

Keterangan:

S : Simpangan baku _

x : rata-rata

nx : data ke-n

n : banyaknya data

B. Data Berkelompok

No. Jenis Rumus Rumus

1. Rataan

i

ii

fff

xfxfxfx

21

2211

Keterangan: _

x : rataan

if : frekuensi ke-i

ix : titik tengah interval kelas i

2. Modus p

dd

dLMo

21

1

Keterangan:

Mo : Modus

L : tepi bawah kelas modus (ditentukan dari yang memiliki

frekuensi tertinggi)



p : panjang interval kelas

d1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

d1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

3. Kuartil bawah

pf

fkn

LQ

1

1

11

4

1

Keterangan:

1Q : kuartil bawah

1L : tepi bawah kuartil ke-i

n : banyaknya data

1fk : jumlah semua frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i

1f : frekuensi kelas kuartil ke-i


Untuk menentukan kelas kuartil ke-i gunakan rumus .4

1n

4. Kuartil tengah atau Median

pf

fkn

LMeQ

2

2

22

2

1

Keterangan:

2Q : kuartil tengah

Me : Median


n : banyaknya data




Untuk menentukan kelas kuartil ke-i gunakan rumus .2

1n

5. Kuartil atas

pf

fkn

LQ

3

3

33

4

1

Keterangan:

3Q : kuartil atas


n: banyaknya data




CONTOH

Pilihlah salah satu jawaban yang benar !

1. Dalam tabel di bawah ini, nilai rata-rata ujian matematika adalah 6. Oleh karena itu,

nilai a = ....



Nilai 4 5 6 8 10

Frekuensi 20 40 70 a 10

A. 0

B. 5

C. 10

D. 20

E. 30

Penyelesaian:

Rata-rata = a

a

140

10.10870.640.520.4

6a

a

140

8800

aa 77808800

20a

Jawaban: D

2. Modus dari data dalam tabel di bawah ini adalah ....

Interval f

61 – 65 8

66 – 70 12

71 – 75 18

76 – 78 14

A. 72,5

B. 72,75

C. 73,5

D. 73,75

E. 74,5

Penyelesaian:

Kelas modus pada interval 71-75, sehingga tepi bawah kelas modusnya = 71-0,5=70,5.

546

65,70

Mo

35,70

5,73

Jawaban: C

3. Median dari data pada tabel di bawah ini adalah ...

Nilai f

50 – 54 7

55 – 59 10

60 – 64 21

65 – 69 18

70 – 74 4

A. 54,5



B. 55,5

C. 56,5

D. 57,5

E. 58,5

Penyelesaian:

15604

1

4

160 nf . Kelas kuartilnya adalah 55-59. Sehingga, tepi bawah kelas kuartil = 54,5.

5,5845,54510

7602

1

5,54

Me

Jawaban: E

Latihan 1

Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.

1.

Nilai f

4

5

6

7

8

9

2

3

6

12

8

5

Simpangan baku data diatas:

A. 2

B. 3

4

C. 231

D. 341

E. 3

5

2. Berikut data nilai 100 orang siswa

Nilai frekuensi

50 – 54

55 – 59

60 – 64

65 – 69

70 – 74

75 – 79

80 – 84

4

6

16

24

28

18

4

Jika akan dipilih 10 % siswa terbaik, batas

Nilai terendah yang akan dipilih…

A. 78, 6

B. 77, 4

C. 78,1

D. 76,9

E. 77,6

3. Untuk mempermudah perhitungan, setiap data dibagi

3 kemudian ditambah 50. Data baru menghasilkan

rata – rata 73, median 86, simpangan kuartil 12 dan

simpangan baku 5. Berarti, data asli mempunyai:

(1) rata – rata 69

(2) median 108

(3) simpangan kuartil 12

(4) ragam 225

Pernyataan yang benar:

A. (1), (2) D. (1), (2), (454)

B. (1), (2), (3) E. (2), (3)

C. (1), (4)

4. Nilai modus dari data dibawah adalah 52,5 nilai p

sama dengan…

Berat (kg) f

36 – 40

41 – 45

46 – 50

51 – 55

56 – 60

6

8

12

p

8

A. 16 D. 18

B. 19 E. 20

C. 22

5. Nilai kuartil bawah pada tabel dibawah ini adalah..

Berat badan (kg) f

47 – 49

50 – 52

53 – 55

56 – 58

69 – 61

3

6

8

7

6

A. 50.25 D. 51,75

B. 53,25 E. 54,75

C. 54,0

6. Rata – rata hitung dari n data tunggal adalah 6 dan

jumlah kuadrat n data sama dengan 100 serta

simpangan bakunya sama dengan 2, maka banyaknya

data ( n) sama dengan…

A. 10 D. 9

B. 8 E. 7

C. 6

7. Diketahui simpangan baku dari data x, (x + 1), (x+2),

(x + 3), (x + 4) adalah S, maka simpangan baku dari



data (x + 2), (x + 4), (x + 6), (x + 8), (x + 10)

adalah…

A. S D. 2S + 1

B. S + 1 E. 2S – 1

C. 2S

8. Kelas A terdiri dari 35 murid, kelas B terdiri dari 40

murid. Nilai rata – rata kelas B adalah 5 tinggi dari

nilai rata – rata kelas A. Apabila nilai rata – rata

gabungan antara kelas a dan B adalah 3257 , maka

nilai rata – rata untuk kelas A adalah…

A. 50 D. 65

B. 55 E. 60

C. 75

9. Tes matematika diberikan kepada tiga kelas siswa

berjumlah 100 orang. Nilai rata – rata kelas I, II, III

adalah 7, 8, 721 . Jika banyaknya siswa kelas I adalah

25 orang dan kelas III lima orang lebih banyak dari

kelas II, maka nilai rata – rata seluruh siswa adalah…

A. 7,6

B. 7,45

C. 7,55

D. 7,3

E. 7,4

10. Jangkauan antar kuartil dari data: 100,115, 110, 105,

110, 130, 135, 120, 125, 120, 140,145,130 adalah…

A. 25,0

B. 15,0

C. 22,5

D. 11,25

E. 15,0

11. Sebuah kumpulan data memiliki nilai rataan 20

dengan jangkauan 4, jika tiap nilai dalam kumpulan

data itu dikali dengan a kemudian dikurangi dengan b,

maka diperoleh kumpulan data baru dengan rataan 25

dan jangkauan 6. Nilai dari 2a + b sama dengan…

A. 4

B. 7

C. 5

D. 8

E. 6

Latihan 2


1. Diketahui data 12, 12, 14, 10, 16, 17, 18, 16, 14, 12.

Simpangan kuartil data adalah…

A. 2

B. 11

C. 4

D. 14

E. 8

2. Untuk mempermudah perhitungan, setiap data

dikurangi 15. Data baru menghasilkan rataan 23,

jangkauan 31 dan simpangan baku 8. Rataan,

jangkauan dan simpangan baku data mula – mula

adalah…

A. 8, 16, 7

B. 38, 31, 8

C. 8, 31, 8

D. 38, 46, 23

E. 8, 31, 22

3. Rataan hitung nilai 12 siswa adalah 6,3. Jika siswa

dengan nilai terendah dikeluarkan, rataannya menjadi

6,6. Nilai siswa yang terendah tersebut adalah…

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

4.

NILAI FREKUENSI

4

5

6

7

8

9

10

5

6

2

11

7

5

4

Berdasarkan pada tabel diatas.

Simpangan rata – ratanya ….

A. 7

6

B. 1,5

C. 1341

D. 3,25

E. 1, 45

5.

Jumlah NEM F

26 – 30

31 – 35

36 – 40

41 – 45

46 – 50

51 – 55

56 – 60

7

10

23

25

20

12

3

Data pada tabel diatas adalah jumlah NEM siswa yang

akan masuk ke perguruan tinggi “NTAY”. Jika 45%

siswa diterima, nilai terendah siswa yang diterima = …

A. 43, 5

B. 44, 7

C. 43, 7

D. 45

E. 44



6. Kuartil bawah dari tabel diatas adalah…

A. 37,2

B. 48

C. 37,8

D. 48,5

E. 46

7. Sekumpulan data mempunyai rata-rata 12 dan

jangkauan 6. Jika setiap nilai data dikurangi a

kemudian hasilnya dibagi b ternyata menghasilkan

data baru dengan rata- rata 2 dan jangkauan 3, maka

nilai a dan b masing-masing adalah…

A. 8 dan 2

B. 10 dan 2

C. 4 dan 2

D. 6 dan 4

E. 8 dan 4

8.

Nilai F

40 – 44

45 – 49

50 – 54

55 – 59

60 – 64

65 – 69

70 – 74

75 – 79

2

6

10

15

20

15

7

5

Tabel di samping merupakan hasil tes calon pegawai

pada suatu perusahaan. Jika hanya diambil 70 % untuk

diangkat menjadi pegawai maka nilai terendah yang

dinyatakan lulus tes adalah…

A. 64,5

B. 65,2

C. 66,2

D. 66

E. 68,5

9.

Umur (tahun) Frekuensi

12

13

14

15

7

8

7

8

Tabel disamping ini menunjukkan umur dari 30 remaja

didesa “ TELADAN” pada 5 tahun yang lalu. Kalau

pada tahun ini ada 2 orang berumur 17 tahun, 3 orang

berumur 18 tahun, 3 orang berumur 19 tahun dan 2

orang ber-umur 20 tahun pindah keluar dari desa

“TELADAN”, maka rataan umur dari 30 orang yang

masih tinggal didesa “TELADAN” itu pada saat ini

adalah…

A. 18,55 tahun

B. 18,55 tahun

C. 18 tahun

D. 18,6 tahun

E. 18,5 tahun

10. Simpangan baku dari data: 20, 20, 22, 24, 26, 24, 24,

28, 28 adalah…

A. 3

52

B. 52

C. 3

112

D. 52

E. 22

11.

Nilai 4 5 6 7 8 9

Frek 2 4 13 17 8 6

Jika batas kelulusan adalah yang nilainya satu

kurangnya dari nilai rata – rata. Maka banyak siswa

yang lulus adalah…

A. 14

B. 31

C. 31

D. 46

E. 33

12.

Nilai Frekuensi

41 – 50

51 – 60

61 – 70

71 – 80

81 – 90

1

7

10

5

2

Jika x = 65, 5 maka s = …

A. 27

B. 91

C. 64

D. 86

E. 36

13.

Data 18 19 20 21 22 23

Frek 19 11 36 4 7 23

Jangkauan kuartil dari data diatas adalah…

A. 1, 5

B. 2

C. 3

D. 0,5

E. 1

Latihan 3




1. Gaji rata-rata karyawan Bank xyz Rp 720.000,00.

Gaji rata-rata karyawan prianya Rp 750.000,00,

sedangkan gaji rata-rata karyawan wanitanya Rp

675.000,00. Perbandingan banyaknya karyawan pria

dan wanitanya adalah…

A. 4 : 3

B. 3 : 2

C. 3 : 4

D. 1 : 3

E. 2 : 3

2. Diketahui data 12, 13, 10, 14, 17, 18, 16, 14, 12, 14.

Simpangan baku data diatas adalah:

A. 553

B. 2

C. 1553

D. 325

E. 1,8

3. Untuk mempermudah perhitungan, setiap data dibagi

18 kemudian ditambah 3. Data baru menghasilkan

rataaan hitung 42 dan ragam 16. Rataan hitung dan

simpangan baku data mula-mula berturut-turut…

A. 315 dan

9

8

B. 702 dan 12 2

C. 315 dan 3

92

D. 702 dan 72

E. 666 dan 288

4. Diketahui IQ rata-rata siswa kelas 2.8 yang terdiri dari

40 orang adalah 115. Jika 4 siswa dikeluarkan, rata-

ratanya menjadi 114. Maka IQ rata-rata ke-4 siswa

yang dikeluarkan…

A. 114, 5

B. 124

C. 118

D. 127, 5

E. 119

5.

Tinggi badan Frekuensi

26 – 30

31 – 35

36 – 40

41 – 45

46 – 50

51 – 55

56 – 60

7

10

23

25

20

12

3

Dengan menggunakan rata-rata sementara,

pada tabel dibawah, mempunyai rata – rata..

A. 42,45

B. 42, 89

C. 42,55

D. 43,55

E. 42,56

6. Rata-rata ulangan pada tabel dibawah ini adalah 6,

maka nilai a sama dengan…

Nilai ulangan Frekuensi

4

5

6

8

10

20

40

70

a

10

A. 30

B. 5

C. 20

D. 5

E. 10

7. Perhatikan data berikut:

50 55 72 55 62 43

44 45 53 63 45 62

60 51 55 75 68 51

Jangkauan antar kuartil dari data tersebut

adalah…

a. 12 d. 15

b. 13 e. 16

c. 14

8. Jika rataa dari data x , 3, x2, 9 dan 10 adalah

315

maka nilai x =…

A. 2

B. 3

C. 612

D. 312

E. 4

9.

Nilai F

50 – 54

55 – 59

60 – 64

65 – 69

70 – 74

75 – 79

80 – 84

4

8

14

35

27

9

3

Modus dari data diatas sama dengan…

A. 66, 12

B. 67, 62

C. 66, 62

D. 68, 12

E. 67, 12



10. Nilai rataan hitung pelajaran matematika di suatu

kelas adalah 5. Jika ditambah nilai siswa baru

besarnya 7, rataannya menjadi 5, 1. Maka banyaknya

siswa mula-mula dikelas itu adalah…

A. 20

B. 23

C. 19

D. 40

E. 38

11.

Nilai Frekuensi

47 – 49

50 – 52

53 – 55

56 – 58

59 – 61

1

6

6

7

4

Median dari data diatas adalah …

A. 55, 6

B. 53,5

C. 55, 0

D. 53, 0

E. 54, 5

12. Nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa sebagai

berikut:

Nilai f

30 – 39

40 – 49

50 – 59

60 – 69

70 – 79

80 – 89

90 – 99

2

3

8

25

20

19

3

Jika diambil 40 % siswa terbaik maka nilai

terendah adalah…

A. 67,1

B. 67,5

C. 74,5

D. 75,0

E. 75,5

13. Pada ujian bahasa Inggris yang diikuti 40 murid, rata-

rata nilainya 32 dengan simpangan baku 25, karena

rata-rata terlalu rendah, maka nilai dikatrol, masing-

masing nilai dikalikan 2 kemudian dikurangi 10.

Kesimpulan yang benar adalah…

A. Rata-rata nilai menjadi 64

B. Rata-rata nilai menjadi 4363

C. Simpangan baku tetap = 25

D. Simpangan baku menjadi 50

E. Simpangan baku menjadi 40

Soal Latihan dan Tugas Mandiri


1. Simpangan kuartil dari data 6, 7, 7, 3, 8, 4, 6, 5, 5, 9,

10, 10, 4, 4, 3 adalah . . .

A. 1

B. 2

C. 2

13

D. 4

E. 7

2. Simpangan kuartil dari data 83, 53, 54, 78, 78, 57, 59,

65, 62, 69, 75, 72, 69, 71 adalah . . .

A. 6

B. 7

C. 8

D. 12

E. 16

3. Median dari data 7, 4, 10, 9, 15, 12, 7, 9, 7 adalah . . .

A. 7

B. 8,9

C. 9

D. 10,5

E. 15

4. Median dari data pada tabel di bawah ini adalah . . .

Umur f

4 – 7 6

8 – 11 10

12 – 15 18

16 – 19 40

20 – 23 16

24 – 27 10

A. 16,5

B. 17,1

C. 17,3

D. 17,5

E. 18,3

5. Median dari data berkelompok pada tabel di bawah

ini adalah ....

Nilai F

50 – 54 4

55 – 59 8

60 – 64 14

65 – 69 35

70 – 74 27



75 – 79 9

80 – 84 3

A. 67,93

B. 68,33

C. 68,63

D. 68,93

E. 69,33

6. Diagram di bawah ini menyajikan data berat badan

(dalam kg) dari 40 siswa, modusnya adalah . . .

A. 46,1

B. 46,5

C. 46,9

D. 47,5

E. 48,0

7. Modus dari data pada gambar adalah . . .

A. 25,5

B. 25,8

C. 26

D. 26,5

E. 26,6

8. Nilai rataan dari data pada diagram berikut adalah . . .

A. 23

B. 25

C. 26

D. 28

E. 30

9. Berat badan siswa pada suatu kelas disajikan dengan

histogrram seperti pada gambar berikut ini.

Rataan berat badan tersebut adalah . . .

A. 64,5 kg

B. 65 kg

C. 65,5 kg

D. 66 kg

E. 66,5 kg

10. Perhatikan tabel berikut !

Berat (kg) Frekuensi

31 – 36 4

37 – 42 6

43 – 48 9

49 – 54 14

55 – 60 10

61 - 66 2

67 – 72 2



Modus data pada tabel tersebut adalah . . .

A. 49,06

B. 50,20

C. 50,70

D. 51,33

E. 51,83

11. Perhatikan data berikut !

Berat (kg) Frekuensi

50 – 54 4

55 – 59 6

60 – 64 8

65 – 69 10

70 – 74 8

75 – 79 4

Kuartil atas dari data pada tabel adalah . . .

A. 69,50

B. 70,00

C. 70,50

D. 70,75

E. 71,00

12. Simpangan kuartil dari data 3, 6, 2, 4, 14, 9, 12, 8

adalah . . .

A. 2

12

B. 3

C. 2

13

D. 4

E. 2

14

13. Simpangan kuartil dari data pada tabel di bawah

adalah . . .

Data Frekuensi

1 – 10 2

11 – 20 4

21 – 30 25

31 – 40 47

41 – 50 17

51 – 60 5

A. 1,2

B. 2,5

C. 3,4

D. 4,8

E. 5,9

14. Media dari distribusi frekuensi di bawah ini adalah . .

.

Skor f

26 – 30 8

31 – 35 6

36 – 40 10

41 – 45 9

46 – 50 7

A. 36,5

B. 37,5

C. 38,5

D. 39,5

E. 40,5

15. Modus dari data pada distribusi frekuensi di bawah

ini adalah . . .

Tinggi (cm) f

130 – 134 2

135 – 139 7

140 – 144 12

145 – 149 10

150 – 154 14

155 – 159 8

160 – 154 7

A. 149,5 cm

B. 150,5 cm

C. 151,5 cm

D. 152,0 cm

E. 156,3 cm

16. Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata-rata

kelas adalah 58. Jika rata-rata nilai matematika untuk

siswa prianya adalah 65 dan untuk siswa wanitanya

adalah 54, maka perbandingan jumlah siswa pria dan

wanitanya pada kelas tersebut adalah . . .

A. 11 : 7

B. 4 : 7

C. 11 : 4

D. 7 : 15

E. 9 : 2

17. Jika modus dari data 2, 3, 3, 4, 5, 4, x, 4, 2, 3 adalah

3, median dari data tersebut adalah . . .

A. 2

B. 2

12

C. 3

D. 2

13

E. 4

18. Pada suatu ujian yang diikuti oleh 50 siswa, diperoleh

rata-rata nilai ujian adalah 35, median 40, dan

simpangan baku 10. Karena rata-rata terlalu rendah,



maka simpangan semua nilai dikalikan 2, kemudian

dikurangi 15. Akibatnya . . .

A. Rata-rata nilai menjadi 70

B. Rata-rata nilai menjadi 65

C. Simpangan baku menjadi 20

D. Simpangan baku menjadi 5

E. Median menjadi 80

19. Dari data distribusi di bawah ini, dapat disimpulkan

bahwa rata-rata distribusi adalah . . .

Kelas interval f

2 – 6 2

7 – 11 3

12 – 16 4

17 – 21 5

22 – 26 6

A. 16,50

B. 17,00

C. 15,50

D. 15,75

E. 17,75

20. Data berikut adalah hasil ujian matematika suatu

kelas di SMU yang nilai rata-ratanya adalah x .

Nilai 3 4 5 6 7 8

Frekuensi 2 4 8 12 12 4

Siswa dinyatakan lulus, jika nilainya lebih besar

atau sama dengan .1x Banyaknya siswa yang

lulus ujian ini adalah ....

A. 20

B. 28

C. 32

D. 36

E. 40

21. Nilai rata-rata kimia dalam suatu kelas adalah 6,5.

Jika ditambah nilai siswa baru yang besarnya 9 maka

rata-rata menjadi 6,6. Banyak siswa semula dalam

kelas tersebut adalah ….

A. 20

B. 25

C. 30

D. 35

E. 40

22. Perhatikan tabel berikut!

Nilai Ujian 4 5 6 7 8

Frekuensi 2 5 8 11 4

Siswa dinyatakan lulus ujian matematika jika nilai

ujiannya lebih tinggi dari nilai rata-rata kelas. Dari

tabel diaas jumlah siswa yang lulus adalah . . .

A. 20

B. 23

C. 15

D. 7

E. 4

23. Nilai rata-rata 20 bilangan adalah 12. Dari ke-20

bilangan tersebut, nilai rata-rata 9 bilangan pertama

adalah 15 dan nilai rata-rata 7 bilangan berikutnya

adalah 13. Nilai rata-rata bilangan yang lain adalah . .

.

A. 3,5

B. 2,5

C. 3

D. 4

E. 2

24. Nilai rata-rata sekelompok siswa yang berjumlah 50

siswa adalah 64. Jika seorang siswa yang mendapat

nilai 88,5 tidak dimasukkan dalam perhitungan rata-

rata nilai sekelompok siswa, maka nilai rata-rata

menjadi . . .

A. 62

B. 63,5

C. 66,5

D. 65

E. 67,5

25. Dua kelompok anak dengan jumlah masing-msing

kelompok adalah 10 orang mempunyai rata-rata

tinggi badan berturut-turut 164 cm dan 170 cm. Jika

seorang anak dari masing-masing kelompok

ditukarkan ternyata rata-rata tinggi badab kedua

kelompok tersebut adalah sama. Selisih tinggi badan

kedua anak yang ditukar adalah . . .

A. 15

B. 20

C. 25

D. 30

E. 35

26. Suatu kelas terdiri dari 12 siswa laki-laki dan 18

siswa perempuan. Rata-rata nilai ulangan matematika

siswa laki-laki adalah 68 dan rata-rata nilai ulangan

matematika siswa perempuan adalah 74. Nilai rata-

rata ulangan matematika kelas tersebut adalah . . .

A. 70,8

B. 71,6

C. 73,2

D. 72,9

E. 75,1

27. Diketahui suatu data yang terdiri dari tiga datum

mempunyai rata-rata 15, median 15 dan jangkauan

10. Nilai datum terbesar adalah . . .

A. 18

B. 19

C. 20

D. 21

E. 22



28. Ujian Fisika diberikan kepada tiga kelas siswa yang

berjumlah 120 orang. Jika banyaknya siswa kelas

kedua 43 orang dan kelas ketiga 5 orang lebih banyak

dari kelas pertama, maka jumlah siswa pada kelas

ketiga adalah . . .

A. 47

B. 41

C. 45

D. 42

E. 46

29. Berdasarkan soal diatas jika nilai rata-rata kelas

pertama, kedua dan ketiga adalah 7,8 ; 7,2 dan 7,6,

maka nilai rata-rata seluruh siswa adalah . . .

A. 7,2

B. 7,3

C. 7,4

D. 7,5

E. 7,6

30. Pada ulangan matematika diketahui nilai rata-rata

kelas adalah 58. jika rata-rata nilai matematika untuk

siswa putra adalah 65, sedangkan untuk siswa putri

rata-ratanya 54, maka perbandingan jumlah siswa

putri dan putra pada kelas tersebut adalah . . .

A. 3 : 4

B. 5 : 4

C. 6 : 5

D. 4 : 7

E. 7 : 4



2 – Peluang A. RUMUS-RUMUS

1. Faktorial

Bentuk umum rumus faktorial:

123)3()2()1(! nnnnn

Perhatikan bahwa 1!1 dan .1!0

2. Permutasi

Permutasi merupakan urutan yang mungkin dari elemen-elemen himpunan dengan memperhatikan urutan.

Permutasi n elemen berbeda disusun r elemen didefinisikan:

)!(

!

rn

nP

rn

, nr 0

3. Kombinasi

Kombinasi urutan yang mungkin dari elemen-elemen himpunan tanpa memperhatikan urutan.

Kombinasi n elemen berbeda disusun r elemen didefinisikan:

,)!(!

!

rnr

nC

rn

nr 0

4. Peluang

Peluang kejadian A didefinisikan sebagai;

)(

)()(

Sn

AnAP

dengan )(An merupakan banyak anggota dalam himpunan A dan )(Sn merupakan banyak anggota dalam ruang

sampel S.

5. Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan kejadian A didefinisikan sebagai:

)()( APnAFh

dengan n merupakan banyaknya percobaan dan )(AP merupakan peluang kejadian A.

B. CONTOH


1. Suatu tim bulu tangkis terdiri dari 10 orang putra

dan 5 orang putri. Dari tim ini akan dibuat

pasangan ganda, baik ganda putra, ganda putri,

maupun ganda campuran. Banyaknya pasangan

ganda yang dapat dibuat adalah ....

A. 45

B. 50

C. 55

D. 95

E. 105

Penyelesaian:

Diketahui jumlah putra = 15 dan jumlah putri =

5. Gunakan kombinasi untuk menyelesaikan soal

ini.

Banyaknya pasangan ganda yang dapat dibuat

= pasangan ganda putra + pasangan ganda putri +

pasangan ganda campuran

= 210C + 25 C + 15110

CC



= !4!1

!5

!9!1

!10

!3!2

!5

!8!2

!10

= 105

Jawaban: E

2. Dua buah dadu dilempar satu kali secara

bersamaan. Peluang muncul kedua mata dadu

berjumlah 9 adalah ....

A. 12

1

B. 9

1

C. 6

1

D. 3

1

E. 4

1

Penyelesaian:

Jumlah (4, 5); (5, 4); (3, 6); (6, 3) n = 4.

Peluang muncul kedua mata dadu berjumlah 9

= 9

1

36

4

Jawaban: B

3. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola putih dan 3

bola hijau. Dari kotak itu diambil 3 bola

sekaligus secara acak. Peluang terambil

sekurang-kurangnya 1 bola hijau adalah ....

A. 28

5

B. 28

7

C. 28

13

D. 28

23

E. 28

27

Penyelesaian:

Dalam kotak terdapat 5 bola putih dan 3 bola

hijau. Jumlah total bola = 8. Gunakan kombinasi

untuk menyelesaikan soal ini. Karena syaratnya

minimal ada 1 bola hijau, maka kemungkinan-

kemungkinannya: 1 hijau 2 putih, 2 hijau 1 putih,

3 hijau.

Sehingga peluangnya:

P 1 hijau 2 putih + P 2 hijau 1 putih + P 3 hijau

= 38

3315232513

C

CCCCC

56

11530

56

46

28

23

Jawaban: D

Latihan

1. Suatu proyek penghijauan akan menanam 4 jenis

pohon di 3 kota yang berlainan. Berapakah banyak

pasangan jenis pohon dan kota yang dapat disusun?

2. Dalam suatu penelitian tentang kependudukan,

dilakukan pengelompokan berdasarkan pada jenis

kelamin (l,w), jenis pekerjaan (p1, p2, p3, p4), dan

tempat tinggal (t1, t2, t3, t4, t5, t6). Berapa banyak cara

susunan kelompok yang dapat dibentuk?

3. Misalkan dari Jakarta ke London ada 2 jalur

penerbangan dan dari London ke Washington ada tiga

jalur penerbangan. Berapa banyak cara untuk

bepergian dari Jakarta ke Washington melalui

London?

4. Seseorang hendak bepergian dari kota A ke kota C.

Dari kota A ke kota C, ia dapat melalui kota p dan

kota Q. Misalkan bahwa dari kota A ke kota P ada 3

jalan dan dari kota P ke kota C ada 4 jalan, sedangkan

dari kota a kekota Q ada 2 jalan dan dari kota Q ke

kota C ada 5 jalan. Diketahui pula bahwa dari kota P

ke kota Q atau sebaliknya, tidak ada jalan. Berapa

banyak jalur jalan yang dapat ditempuh orang itu

untuk bepergian dari kota A ke kota C melalui kota P

atau kota Q?

5. Berapa banyak cara untuk menyusun huruf-huruf M,

O, R, A, dan L jika:

a) Huruf pertama dimulai dengan huruf hidup

(vocal)?

b) Huruf pertyama dimulai dengan huruf mati

(konsonan)?

6. Dari lima buah angka 0, 1, 2, 3, dan 4 hendak disusun

suatu bilangan yang terdiri dari 4 angka. Berapa

banyak bilang yang dapat disusun, jika:

a) Angka-angka itu boleh berulang?

[500]

b) Angka-angka itu tidak boleh berulang?

7. Diketahui enam bilangan 2, 3, 5, 6, 7, 9. Tentukanlah:

a) Berapa banyak cara menyusun bilangan 3 angka

yang kurang dari 400, jika pengulangan tidak

diperbolehkan?

b) Berapa banyak cara menyusun bilangan 3 angka

yang genap, jika pengulangan tidak

diperbolehkan?



8. Hitunglah:

!8

!10)a b)

!2!19

!20

9. Perlihatkan bahwa :

a) !2

!66543

b) !52108642 5

10. Hitunglah:

a) 4P2 c) 7P5

b) 5P4 d) 7P7

11. Berapa banyak susunan yang terdiri atas 4 huruf

yang diambil dari huruf-huruf S, E, M, P, R, U, dan

L?

12. Berapa banyak cara memilih pengurus kelas yang

terdiri dari ketua, sekretaris, dan bendahara. Jika

tersedia sepuluh orang calon untuk dipilih?

13. Terdapat 5 buku matematika, 4 buku fisika, dan 3

buku kimia akan disusun dalam rak. Berapa banyak

susunan yang mungkin jika buku sejenis harus

berdampingan?

14. Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata

LITERATUR ?

15. Carilah banyak permutasi berikut ini:

a) 8 unsur yang 2 unsur yang sama dan 4 unsur

lainnya sama

b) 10 unsur yang memuat 2 unsur sama, 3 unsur

lainnya sama, dan 4 unsur lainnya lagi sama.

16. Dari 10 buah bola, 5 buah berwarna hitam, 3 buah

berwarna merah, dan 2 buah berwarna putih. Berapa

banyak cara untuk menyusun kesepuluh bola itu

secara berdampingan?

17. Berapa banyak cara 9 buah kue yang berbeda dapat

disusun melingkar di atas sebuah meja?

18. Sembilan orang yang terdiri atas 2 orang partai PDI,

3 orang partai PKB, dan 4 orang dari partai PAN

akan melakukan perundingan dengan duduk

melingkar. Berapa macam posisi duduk mereka jika

setiap anggota dari partai yang sama harus duduk

berdekatan?

19. Berapa banyak susunan dua huruf yang diambil dari

huruf-huruf B, I, L, A, jika unsur-unsur yang tersedia

itu boleh berulang?

20. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari tiga angka

yang disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 jika

angka–angka yang tersedia boleh ditulis berulang?

Hitunglah:

a) 4C2 c) 10C5

b) 6C3 d) 12C7

21. Berapa banyak cara memilih 3 huruf yang diambil

dari huruf-huruf S, O, F, I, A, T, U, dan N?

22. Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5}. Berapa

banyak himpunan bagian dari A yang terdiri dari 3

unsur?

23. Ada 12 orang, 7 di antaranya adalah wanita dan 5

orang lainnya adalah pria. Dari 12 orang itu akan

ditentukan suatu delegasi yang terdiri atas 4 orang.

Berapa banyak cara untuk memilih delegasi tersebut,

jika:

a) Semua orang mempunyai hak yang sama untuk

dipilih?

b) Delegasi itu harus terdiri atas 2 orang pria dan 2

orang wanita?

24. Jabarkanlah:

a) (2x + 3y)6 b) (2x – 3y)

7

25. Carilah koefisien x12

dari perpangkatan (x2 + 3x)

10.

26. Carilah koefisien suku ke-7 pada (4x – y3)

9.

Latihan 2

1. Misalkan A adalah kejadian munculnya kejadian

munculnya angka genap pada percobaan melempar

sebuah dadu bersisi enam. Berapakah frekunsi nisbi

munculnya kejadian A?

2. Sebuah bilangan asli diambil secara acak (random)

dari bilangan asli 1 sampai dengan 9. Misalkan B

adalah kejadian munculnya bilangan prima. Berapa

peluang kejadian B?

3. Suatu kotak berisi 5 bola putih dan 3 bola merah.

Dari kotak itu diambil sebuah bola secara acak.

Berapa peluang yang terambil itu:

a) Sebuah bola putih?

b) Sebuah bola merah?

4. Suatu kotak berisi 10 buah manik, 6 buah

diantaranya berwarna merah dan 4 buah lainnya

berwarna putih. Dari kotak tersebut diambil 3 buah

manik secara acak. Berapa peluang yang terambil

itu:

a) Semuanya merah,

b) Semuanya putih,

c) 2 manik merah dan 1 manik putih, serta

d) 1 manik merah dan 2 manik putih.

5. Misalkan A adalah kejadian munculnya bilangan

prima pada percobaan melempar sebuah dadu bersisi

enam. Berapa peluang kejadian A?

6. Dua buah dadu (satu berwarna merah dan satunya

lagi berwarna putih) dilempar bersamaan sebanyak 1

kali.

a) Misalkan A adalah kejadian munculnya jumlah

mata dadu sama dengan 7. Berapa peluang

kejadian A?

b) Misalkan B adalah kejadian munculnya jumlah

mata dadu sama dengan 9. Berapa peluang

kejadian B?

7. Tiga keping uang logam dilempar secara bersamaan

sebanyak satu kali. Berapa peluang yang muncul:

a) ketiganya sisi gambar G?

b) ketiganya sisi tulisan T?

c) satu sisi gambar G dan dua sisi tulisan T?

d) dua sisi gambar G dan satu sisi tulisan T?

8. Sebuah dadu bersisi enam dilempar sebanyak 300

kali. Berapa frekuensi harapan munculnya angka 4?



9. Dalam suatu percobaan ditarik sebuah kartu secara

acak dari satu set kartu remi, kemudian

mengembalikannya. Tentukanlah frekuensi harapan

yang terambil adalah kartu sekop jika percobaan

dilakukan sebanyak 92 kali?

10. Dalam percobaan mengetos dua keping uang logam

secara bersamaan, tentukan frekuensi harapan

muncul sedikitnya satu gambar jika percobaan

dilakukan 100 kali?

11. Dua puluh kartu diberi nomor 1,2,3,….,20. Kartu

dikocok kemudian diambil satu kartu secara acak.

Tentukan peluang bahwa kartu yang terambil bukan

angka prima?

12. Tentukan peluang paling sedikit memiliki satu anak

laki-laki dalam satu keluarga yang memiliki 4 anak?

13. Tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu

kurang dari 10 pada percobaan pelemparan dua buah

dadu sebanyak satu kali?

14. Dua buah dadu bersisi enam (satu berwarna putih

dan satunya berwarna merah) dilemparkan

bersamaan sebanyak satu kali. Kejadian A adalah

munculnya bilangan ≤ 3 untuk dadu putih,

sedangkan kejadian B adalah munculnya bilangan ≤

2 untuk dadu merah. Berapa peluang kejadian

munculnya bilangan ≤ 3 pada dadu putih atau

bilangan ≤ 2 pada dadu merah?

15. Dari hasil penelitian yang dilakukan pada suatu

wilayah terhadap kepemilikan TV dan radio,

diperoleh data sebagai berikut.

20% penduduk memiliki TV

40% penduduk memiliki radio, serta

15% penduduk memiliki TV dan radio

Jika dari wilayah itu diambil satu orang penduduk secara

acak, berapa peluang ia memiliki radio atau TV?

16. Sebuah dadu bersisi enam dilemparkan sekali.

Berapa peluang munculnya bilangan ≤ 2 atau

bilangan ≥ 5?

17. Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set kartu

brigde. Berapa peluang yang terambil itu kartu sekop

atau kartu berwarna merah?

18. Dua keping mata uang logam dilempar secara

serentak sebanyak sekali. Kejadian A adalah

munculnya sisi gambar pada mata uang pertama,

sedangkan kejadian B adalah munculnya sisi yang

sama untuk kedua mata uang logam itu. Tunjukkan

bahwa kejadian A dan B merupakan kejadian yang

saling bebas?

19. Dua buah dadu bersisi enam (satu berwarna merah

dan yang lainnya berwarna biru) dilemparkan sekali.

Kejadian C adalah munculnya bilangan 4 pada dadu

merah, sedangkan kejadia D adalah munculnya

jumlah bilangan dadu merah dan biru sama dengan

9. Tunjukkan apakah kejadian C dan D merupakan

dua kejadian yang saling bebas?

20. Kejadian A dan B adalah kejadian yang saling bebas

tetapi tidak saling lepas. Kalau P(A) = 1/3 dan

P(AB) = 3/5, carilah P(B).

21. Dua buah dadu (satu berwarna putih dan lainnya

berwarna merah) dilempar sekali. Berapa peluang

munculnya bilangan 1 untuk dadu putih kalau telah

diketahui bahwa munculnya jumlah mata dadu

merah dan putih kurang dari 4?

22. Sebuah dadu bersisi enam dilempar sekali. Berapa

peluang munculnya bilangan genap jika telah

diketahui muncul bilangan prima?

23. Dalam suatu kotak terdapat 2 bola merah dan 3 bola

putih yang identik. Dari kotak tersebut dilakukan 2

kali pengambilan dengan pengembalian dan tiap

pengembalian diambil tepat sebuah bola. Tentukan

peluang terambilnya bola merah pada pengambilan

pertama dan bola putih pada pengambilan kedua?

24. Dari satu set kartu brigde dilakukan 2 kali

pengambilan dengan pengembalian dan tiap

pengembalian diambil tepat satu kartu. Tentukan

peluang terambilnya kartu As pada pengambilan

pertama dan kartu king pada pengambilan kedua?

25. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola hitram dan 3

bola putih. Dari dalam kotak itu diambil sebuah bola

secara berurutan sebanyak dua kali. Setelah bola

pertama diambil, bola itu tidak dikembalikan

melainkan langsung mengambil bola yang kedua.

Berapa peluang yang terambil itu:

a) Bola hitam pada pengambilan pertama dan

kedua?

b) Bola putih pada pengambilan pertama dan

kedua?

c) Bola hitam pada pngambilan pertama dan bola

putih pada pengambilan kedua?

d) Bola putih pada pengambilan pertama dan bola

hitam pada pengambilan kedua?



1. Masing-masing kotak A dan B berisi 12 lampu pijar.

Setelah diperiksa, ternyata pada kotak A terdapat 2

lampu rusak dan pada kotak B terdapat 1 lampu

rusak. Dari masing-masing kotak diambil 1 lampu

pijar secara acak. Peluang terambilnya sebuah lampu

pijar rusak adalah . . .

A. 72

1

B. 48

1

C. 8

1

D. 9

2

E. 4

1

2. Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola putih. Kotak II

berisi 3 bola hijau dan 5 bola biru. Dari masing-

masing kotak diambil 2 bola sekaligus secara acak.



Peluang terambilnya 2 bola merah dari kotak I dan 2

bola biru dari kotak II adalah . . .

A. 10

1

B. 28

3

C. 15

4

D. 8

3

E. 140

57

3. Banyak bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat

disusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dan tidak ada

angka yang sama adalah . . .

A. 1680

B. 1470

C. 1260

D. 1050

E. 840

4. Dalam suatu populasi keluarga dengan tiga orang

anak, peluang keluarga tersebut mempunyai paling

sedikit dua anak laki-laki adalah . . .

A. 8

1

B. 3

1

C. 8

3

D. 2

1

E. 4

3

5. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Peluang

munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah . . .

A. 36

5

B. 36

7

C. 36

8

D. 36

9

E. 36

11

6. Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Kotak

II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning. Dari

masing-masing kotak diambil sebuah bola secara

acak. Peluang terambilnya kedua bola berwarna sama

adalah . . .

A. 8

1

B. 16

5

C. 16

7

D. 16

9

E. 8

7

7. Dua dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang

muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5

adalah . . .

A. 6

1

B. 36

5

C. 9

1

D. 12

1

E. 36

1

8. Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan, 4 bola biru dan

3 bola kuning. Dari kotak diambil 3 bola sekaligus

secara acak. Peluang terambil 2 bola merah dan 1

bola biru adalah . . .

A. 10

1

B. 36

5

C. 6

1

D. 11

2

E. 11

4

9. A, B, C dan D akan berfoto secara bersama

berdampingan. Peluang A dan B selalu berdampingan

adalah . . .

A. 12

1

B. 6

1

C. 3

1



D. 2

1

E. 3

2

10. Dalam kantong I terdapat 5 kelereng merah dan 3

kelereng putih, dan katong II terdapat 4 kelereng

merah dan 6 kelereng hitam. Dari setiap kantong

diambil satu kelereng secara acak. Peluang

terambilnya kelereng putih dari kantong I dan

kelereng hitam dari kantong II adalah . . .

A. 40

39

B. 13

9

C. 2

1

D. 20

9

E. 40

9

11. Dua buah dadu dilempar secara bersamaan sebanyak

satu kali. Peluang kejadian muncul jumlah mata dadu

9 atau 11 adalah . . .

A. 2

1

B. 4

1

C. 6

1

D. 8

1

E. 12

1

12. Suatu kotak berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng

putih. Dua kelereng diambil satu persatu dimana

kelereng pertama yang diambil dikembalikan lagi

dalam kotak. Peluang terambilnya kelereng pertama

dan kedua berwarna merah adalah . . .

A. 64

9

B. 64

15

C. 64

25

D. 8

3

E. 8

5

13. Diketahui empat angka 4, 5, 6, dan 7. Banyaknya cara

untuk menyusun bilangan-bilangan yang terdiri dari

empat angka dengan syarat bahwa bilangan-bilangan

itu tidak mempunyai angka yang sama, adalah . . .

A. 8

B. 12

C. 16

D. 18

E. 24

14. Dua buah dadu bermata enam dilemparkan satu kali

secara bersamaan. Peluang muculnya jumlah mata

dadu 5 atau jumlah mata dadu 10 adalah . . .

A. 36

11

B. 36

10

C. 36

9

D. 36

8

E. 36

7

15. Sebuah kotak berisi 10 bola, 4 berwarna merah dan 6

berwarna putih. Peluang bahwa kedua bola yang

terambil atas 1 bola merah dan 1 bola putih adalah . . .

A. 15

8

B. 12

5

C. 15

6

D. 9

2

E. 24

1

16. Dari sebuah kotak yang berisi 5 kelereng berwarna

putih dan 3 kelereng berwarna merah, diambil 2 buah

kelereng secara acak. Peluang terambil kedua-duanya

berwarna putih adalah . . .

A. 64

25

B. 14

5

C. 28

9

D. 4

1

E. 32

5



17. Dari 10 orang siswa yang terdiri dari 7 orang putra

dan 3 orang putri, akan dibentuk tim yang

beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim

tersebut paling banyak 2 orang putri, banyaknya tim

yang dapat dibentuk adalah . . .

A. 168

B. 189

C. 210

D. 231

E. 252

18. Dari 12 orang yang terdiri dari 8 pria dan 4

perempuan akan dibentuk kelompo kerja yang

beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok kerja

ini terdapat paling sedikit 2 pria, banyaknya cara

membentuknya ada . . .

A. 442

B. 448

C. 456

D. 462

E. 468

19. Bilangan yang terdiri dari tiga angka disusun dari

angka-angka 2, 3, 5, 6, 7 dan 9. Banyaknya bilangan

dengan angka-angka yang berlainan dan lebih kecil

dari 400 adalah . . .

A. 20

B. 35

C. 40

D. 80

E. 120

20. Dari tiga huruf A, B, C dan tipe angka 1, 2, 3 akan

dibuat plat nomor yang dimulai dengan satu huruf.

Karena khawatir tidak ada yang mau memakai,

pembuat plat nomor tidak diperbolehkan membuat

plat nomor yang memuat angka 13. Banyaknya plat

nomor yang dapat dibuat adalah . . .

A. 11

B. 27

C. 45

D. 54

E. 72

21. Sebuah dadu dilempar sekali, peluang munculnya

bilangan genap prima adalah . . .

A. 6

5

B. 2

1

C. 6

1

D. 3

1

E. 3

2

22. Sebuah kantong berisi 8 kelereng merah dan 5

kelereng biru, diambil tiga sekaligus secara acak.

Peluang terambilnya 2 kelereng merah dan satu

kelereng biru adalah . . .

A. 143

70

B. 143

35

C. 143

33

D. 143

30

E. 143

13

23. Dalam sebuah kotak terdapat 4 kelereng merah dan 6

kelereng biru. Jika diambil dua kelereng berturut-

turut tanpa pengembalian, maka probabilitasnya agar

kelereng yang diambil pertama biru dan kedua juga

biru adalah . . .

A. 9

2

B. 3

1

C. 15

4

D. 15

1

E. 15

3

24. Pada pelemparan dua buah dadu satu kali, peluang

munculnya mata dadu berjumlah 8 atau 5 adalah . . .

A. 19

2

B. 26

5

C. 9

1

D. 9

2

E. 4

1

25. Tiga uang logam dilempar bersama-sama. Jika A

adalah kejadian muncul tepat dua angka, maka P(A)

adalah . . .

A. 4

3

B. 8

1

C. 8

2



D. 8

3

E. 8

5

26. Dua dadu dilempar bersama-sama. Peluang muncul

mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5 adalah . .

.

A. 36

6

B. 36

5

C. 36

4

D. 36

3

E. 36

1

27. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Peluang

munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah . . .

A. 36

5

B. 36

7

C. 36

8

D. 36

9

E. 36

11

28. Kotak pertama berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning.

Kotak kedua berisi dua bola merah dan 6 bola kuning.

Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara

acak. Peluang terambilnya kedua bola berwarna sama

adalah . . .

A. 8

1

B. 16

5

C. 16

7

D. 16

9

E. 8

7

29. Jika berlaku nn PC34

maka nila n adalah . . .

A. 9

B. 12

C. 15

D. 27

E. 35

30. Diketahui kejadian A dan B adalah kejadian yang

saling bebas tetapi tidak saling lepas. Jika3

1)( AP

dan5

2)( BAP maka )(BP adalah . . .

A. 5

2

B. 15

14

C. 15

3

D. 5

3

E. 15

4



3 – Trigonometri A. RUMUS-RUMUS DASAR TRIGONOMETRI

1. Rumus-rumus Dasar

c

asin

a

cec cos

c

bcos

b

csec

b

atan

a

bcot

2. Rumus Kebalikan

eccos

1sin atau

sin

1cos es

sec

1cos atau

cos

1sec

cot

1tan atau

tan

1cot

3. Rumus Perbandingan

cos

sintan

sin

coscot

4. Identitas Trigonometri

1cossin 22

1tan1 2

1cot1 2

5. Persamaan Trigonometri Dasar

a. Penyelesaian Persamaan 00 sinsin x

Jika 00 sinsin x , maka:

0360 kx atau 0360)180( kx , Rx dan Bk (bulat)

b. Penyelesaian Persamaan 00 coscos x



Jika 00 coscos x , maka

0360 kx atau

0360 kx , Rx dan Bk (bulat)

c. Penyelesaian Persamaan 00 tantan x

Jika 00 tantan x , maka

0360 kx , Rx dan Bk (bulat)

6. Persamaan cxbxa sincos

Bentuk cxbxa sincos dapat diubah menjadi ),cos( xk k merupakan konstanta positif dan

.3600 0

Bentuk )cos(sincos xkxbxa dengan 22 bak dan .tan

a

b

Karena cxbxa sincos , maka .)cos( cxk

Persamaan cxbxa sincos memiliki penyelesaian jika .222 cba

7. Aturan Sinus dan Kosinus

Pada segitiga ABC berlaku hubungan: .1800 CBA

Aturan sinus:

Dalam setiap segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi itu

mempunya nilai sama.

SinC

c

B

b

A

a

sinsin

Aturan Kosinus:

Dalam setiap segitiga ABC berlaku:

ACosbccba 2222

BCosbccab 2222

CCosabbac 2222

B. RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI LANJUT

1. Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

sincoscossin)sin(

sincoscossin)sin(

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos)cos(

tantan1

tantan)tan(



2. Rumus Sudut Rangkap

cossin22sin

1cos22cos 2 atau 2sin212cos

2tan1

tan22tan

Rumus untuk sudut 3 :

sin3sin43sin 3

cos3cos43cos 3

Rumus untuk sudut 2

1:

2

cos1

2

1sin

2

cos1

2

1cos

cos1

cos1

2

1tan

atau

cos1

sin

2

1tan

atau

sin

cos1

2

1tan

3. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

)sin()sin(cossin2

)sin()sin(sincos2 B

)sin()cos(coscos2

)]cos()[cos(sinsin2

4. Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus

)(2

1cos)(

2

1sin2sinsin

)(2

1sin)(

2

1cos2sinsin

)(2

1cos)(

2

1cos2coscos

)(2

1sin)(

2

1cos2coscos

C. CONTOH


1. Diketahui segitiga ABC, panjang sisi a = 3 cm, c = 8, dan sudut B = 60o, maka panjang sisi b adalah ....

A. 4 cm

B. 5 cm

C. 7cm

D. 8 cm

E. 10 cm

Penyelesaian:



Gunakan aturan kosinus untuk menyelesaikan soal ini.

Baccab cos2222

ob 60cos83283 222

2

148732 b

492 b 7 b

Karena panjang sisi selalu positif, maka panjang sisi b = 7 cm.

Jawaban: C

2. Himpunan penyelesaian dari ,12cos2 oxox 3600 adalah ....

A. {15o}

B. {15o, 30

o}

C. {30o, 150

o}

D. {30o, 150

o, 210

o, 330

o}

E. {30o, 150

o, 240

o, 330

o}

Penyelesaian:

2

12cos x

Kemungkinan I Kemungkinan II oo kx 360602

oo kx 18030 oxk 300 (memenuhi)

oxk 2101 (memenuhi) oxk 3902 (tidak memenuhi)

oo kx 360602 oo kx 18030

oxk 300 (tidak memenuhi) oxk 1501 (memenuhi)

oxk 3302 (memenuhi)

Jadi, HP = {30o, 150

o, 210

o, 330

o}

Jawaban: D

3. Jika ,1

49cota

o maka o4sec . . .

A. 1

)1(2 2

a

a

B. 1

)1(2 2

a

a

C. 1

)1(2 2

a

a



D. )1(2

1

2

a

a

E. )1(2

1

2

a

a

Penyelesaian:

aa

o 049tan1

49cot

)445tan(49tan ooo

oo

oo

a4tan.45tan1

4tan45tan

o

o

a4tan.11

4tan1

ooaa 4tan14tan

14tan4tan aa oo

1)1(4tan aao

1

14tan

a

ao

Karena 1

14tan

a

ao , maka .1

)1(24sec

2

a

ao

Jawaban: A

Latihan 1


1. Jika sin x – cos x = 2p, maka nilai sin 2x = …

a. 14 2 p d. 241 p

b. 24 p e. 14 2 p

c. )1( 2

41 p

2. Jika 5

4sin dan

13

5cos , ( sudut tumpul

dan sudut lancip ), maka ...)cos(

a. 65

63 d.

65

33

b. 65

33 e. 65

63

c. 65

48

3. Jika nilai 15

56tantan dan

13

3cos.cos

maka nilai sin = …

a. 65

63 d. 65

16

b. 65

56 e. 65

33

c. 65

33

4. Bila )cos()cos(244 xx maka pernyataan

yang benar adalah…

a. 21sin x d. 3tgx

b. 2sin21x e.

31tgx

c. 3cos21x

5. Jika 1082sin A dan A2

2 maka nilai ...2 Atg

a. 34 d.

43

b. 43

e. 34

c. 41

6. Nilai dari oo

oo

75cos75sin

15sin75sin 33

adalah…

a. 2341

41 d. 23

41

b. 43 e.

4

3

c. 3241

7. Jika 25

26cottan dan

5

2cos maka nilai

...sincos2

a. 13

5 d.

5

18

b. 13

10 e.

2

5



c. 10

13

8. Jika sudut lancip dan x

x

2

1sin

21

maka

...tan

a. x

x 12 d.

x

x 1

b. 12 x e. x

c. x

1

9. Jika diketahui a cossin dan

b sincos maka hubungan antara a dan b

adalah…

a. 122 ba d. 22 ba

b. 122 ba e. 21ab

c. 222 ba

10. Nilai dari 00 75sin195sin sama dengan …

a. 241 d. 3

21

b. 221 e.

c. 341

11. Bentuk sederhana dari ...20tan70tan oo

a. o50sin d. o50tan2

b. o50cos e.

c. o50tan

12. A dan B adalah sudut lancip, jika pA tan dan

21

cos

p

pB

maka besar BA

a. 135o

d. 75o

b. 105o

e. 60o

c. 90o

13. Jika lancip dan p

q

21cot , ( p, q R , 0q ).

Maka nilai ...sin

a. 22 qp

pq

d.

22

2

qp

pq

b.

22

2

qp

q

e.

22

2

qp

p

c.

22 qp

pq

14. Jika a sudut tumpul dan 2cot21 A maka nilai dari:

...sin2)cos()(sin21

21

21 AAA

a. 52

1 d. 551

b. 551 e. 5

52

c. 0

15. Jika cos A = pq2 dan p – q = sin A, maka

...22 qp

a. – 1 d. 2

1

b. 0 e. 1

c. 4

1

16. Cos ( A – B) = 541 dan 3sinsin

41BA nilai tan

A.tanB = …

a. 31521 d. 315

31

b. 31521 e. 315

41

c. 31531

17. Nilai cos ...24sin12tan24 ooo

a. 2 d. -1

b. 1 e. – 2

c. 0

18.

3sinsin

3cos5cos= …

a. 2cos d. 2sin2

b. 2sin e. tan

c. 2sin2

Latihan 2


1. oooo 6sin42sin66sin78sin 2222 = …

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3

2. sin20.sin60.sin100.sin140 = …

a. 4

1 d. 14

3

b. 8

1 e. 4

1

c. 16

3

3. Jika 16

maka

8sin12sin

5sin25sin = …

a. 1 d. -2

b. –1 e. 4

c. 2

4. Hitung cos ...7

6cos

7

4cos

7

2

a. 2

1 d. 2

11

b. 2

1 e. 2

641



c. 2

11

5. Jika cos4

3 maka 32

2

5

2

1 sinsin = …

a. 12 d. 8

b. 11 e. 6

c. 10

6. Nilai dari oo

oo

75sin15sin

195cos225cos

= …

a. 132

1 d. 232

1

b. 232

1 e. 2

1

c. 132

1

7. sinx + sin3x + sin5x + sin7x = …

a. 4cos4xsin2xsinx

b. 4sin4xcos2xcosx

c. –4cos4xsin2xsinx

d. –4sin4xcos2xcosx

e. –4sin4xsin2xcosx

8. Jika tan 20o = x maka tan 50

o = …

a. x2

12 d. 21

2

x

x

b. 2

2

1

1

x

x

e. x

x

2

1 2

c. x

x

2

1 2

9. Jika ao 20sin , maka oo 40sin70sin 22 =…

a. 2

2

1 1 a d. 2

2

1 a

b. 12

2

1 a e. 12

2

1 a

c. a2

1

10. Jika cosx

x

4

622

1 maka tan = …

a. 3

12

x d.

3

92 x

b. 3

42

x e.

2

42 x

c. 3

92 x

11. ...24cos24sin

14cos4sin2

xx

xx

a. tan x d. tan2x

b. tan3x e. 1

c. tan4x

12. Jika tgA = m maka cos 3A = …

a. 2

2

2

1)1(

31m

m

m

d. 2

2

2

1)1(

31m

m

m

b. 2

21

)1(

31m

m

m

e. 2

2

2

11

31m

m

m

c. 2

22

2

1)1(

31m

m

m

13. , dan adalah sudut – sudut sebuah segitiga.

Jika tan2tantan , maka tan.tan =

…

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3

14. ...7cos5cos3coscos

7sin5sin3sinsin

xxxx

xxxx

a. tan 2x d. tan 8x

b. tan 4x e. tan 16x

c. tan 6x

15. Jika cos ( A + B) = 4

1

4

1 3 dan

4

1

4

1 3 )BAcos( , maka ...BtanAtan

BtanAtan

1

1

a. 32 d. 3

b. 32 e. 32

c. 2

Latihan 3


1. A, B dan C adalah sudut – sudut sebuah segitiga. Jika

A – B = o30 dan sin C = 6

5 , maka cos A. sin B = …

a. 6

1 d. 3

2

b. 3

1 e. 1

c. 2

1

2. Diketahui px 21tan , maka cos x = …

a.

1

2

2 p

p d.

2

2

1 p

p

b.

1

1

2

2

p

p e.

1

2

2 p

p

c. 2

2

1

1

p

p

3. Nilai dari 00 75sin15sin adalah…

a. 621 d. 2

21

b. 321 e. 6

21

c. 221

4. Jika , dan adalah sudut – sudut suatu segitiga,

pernyataan dibawah ini yang salah adalah…



a. sin)sin(

b. 2

3cos

2

)(3sin

c. 2

sin2

cos

d. 3

2cos

3cos

e. tan)2tan(

5. Pada ABC , A adalah sudut lancip dan 1715sin

. Nilai tan ( A + B) = …

a. 871 d.

871

b. 158 e.

172

c. 158

6. Diketahui 43tg dan 2tg maka

...3 tg

a. 11

2 d. 3

b. 7

2 e. 4

11

c. 1

7. Sudut x dan y lancip. Jika 21

21sin x dan 2

21 ytg

, maka ...)cos( yx

a. )343(101 d. )356(

81

b. )334(81 e. )334(

101

c. )334(101

8. 25

36cottan an dan

18

5sin.cos maka

nilai ...)cos(

a. 3

1 d.

5

4

b. 5

2 e.

3

2

c. 4

3

9. Tanpa menggunakan tabel nilai dari:

oooo 70sin50sin30sin10sin = …

a. 2

1 d. 8

1

b. 3

1 e. 16

1

e. 4

1

10. Jika diketahui mo 213sin , nilai o32cos ...

a. 12 m

b. 2221

c. 22 2

21 mm

d. 2212 mm

e. 2

21 22 mm

11. 81cos65cos77cos47sin68sin52sin =..

a. 0 d. 4

3

b. 4

1 e. 2

3

c. 2

1

12. Jika tan A = t, maka cos 2A = …

a.

1

1

2

2

t

t d.

12

2

t

t

b.

1

1

2

2

t

t e.

1

1

2 t

c.

12

2

t

t

13. cos x + 2cos 3x + cos 5x = …

a. 2cos 3x cos 2x d. 6sin 3x cos x

b. 4 sin 3x cos 3x e. 6cos 3x sin x2

c. 4 cos 3x cos x2

14. Jika px 21tan , maka harga

x

x

2cos1

sin….

a. 2

2

1

1

p

p

d.

p

p

4

1 2

b. 21

2

p

p

e. p

p

2

1 2

c.

15. Pada ABC berlaku 2)tan1)(tan1( BA

maka besar sudut C = …

a. 6

d.

3

2

b. 4

e.

4

3

e. 3

2

2

1

2

p

p





1. Ditentukan .10

9sin2 A Untuk ,2

2

A nilai

A2tan . . .

A. 3

4

B. 4

3

C. 4

3

D. 5

4

E. 3

4

2. Diketahui .900,10

8sin 00 xx Nilai

xx cos3cos . . .

A. 25

18

B. 25

18

C. 125

42

D. 25

6

E. 25

12

3. Nilai 00 15cos105sin adalah . . .

A. )26(2

1

B. )23(2

1

C. )26(2

1

D. )23(2

1

E. )26(2

1

4. Nilai dari 00

00

40sin50sin

40cos50cos

adalah . . .

A. 1

B. 22

1

C. 0

D. 32

1

E. -1

5. Jika 1tan dan 3

1tan dengan dan sudut

lancip, maka )sin( . . .

A. 53

2

B. 55

1

C. 2

1

D. 5

2

E. 5

1

6. Diketahui .25

8cossin Nilai

cos

1

sin

1. .

.

A. 25

3

B. 25

9

C. 8

5

D. 5

3

E. 8

15

7. Diketahui 5

4)cos( yx dan .

10

3sinsin yx Nilai

yx tantan . . .

A. 3

5

B. 3

4

C. 5

3

D. 5

3

E. 3

5

8. Diketahui .2

1

2

1cos

x

xA

Nilai Asin adalah . . .

A. x

x 12



B. 12 x

x

C. 12 x

D. 12 x

E. x

x 12

9. Ditentukan persamaan ,01cot2tan 00 xx untuk

.18090 00 x Nilai 0sin x . . .

A. 55

2

B. 22

1

C. 33

1

D. 2

1

E. 55

1

10. Himpunan penyelsaian 01sin2cos xx untuk

20 x adalah . . .

A.

6

5,

6,0

B. 2,,0

C.

2,,6

5,

6,0

D.

2,2

3,

6

5,

6,0

E.

2,,6

5,

3,0

11. Himpunan penyelesaian dari ,2

12sin 0 x untuk

00 1800 x adalah . . .

A. }7515|{ 00 xx

B. }150|{ 00 xx

C. }15030|{ 00 xx

D. 015|{ xx atau }750x

E. 030|{ xx atau }1500x

12. Penyelesaian persamaan 32

1)45sin( 0 x untuk

3600 x adalah . . .

A. 10575 x

B. 16575 x

C. 165105 x

D. 750 x atau 360165 x

E. 1050 x atau 360165 x

13. Himpunan penyelesaian xx 20 sin2)360cos(3

untuk 00 3600 x adalah . . .

A. }18060{ x

B. 60{ x atau }180x

C. 600{ x atau }360300 x

D. 600{ x atau }360300 x

E. }18060{ x

14. Himpunan penyelesaian

3600;2cos3sin 00 xxx adalah . . .

A. }285,15{

B. }165,75{

C. }195,105{

D. }255,165{

E. }285,195{

15. Batas-batas nilai p agar persamaan

2cos)1(sin pxpxp dapat diselesaikan

adalah . . .

A. 1p atau 3p

B. 1p atau 3p

C. 3p atau 1p

D. 31 p

E. 31 p

16. Agar persamaan 5sincos4 oo xpx dapat

diselesaikan untuk ,Rx maka batas-batas p adalah .

. .

A. 33 p

B. 44 p

C. 55 p

D. 3p atau 3p

E. 5p atau 5p

17. Diketahui seitiga ABC dengan AC = 5 cm, AB = 7 cm,

dan .1200BCA Keliling segitiga ABC = . . .

A. 14 cm

B. 15 cm

C. 16 cm

D. 17 cm

E. 18 cm

18. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = 6 cm, AC = 10

cm, dan sudut A = 600. Panjang sisi BC = . . .

A. 192

B. 193

C. 194



D. 292

E. 293

19. Dari segitiga PQR, ditentukan panjang sisi 7PQ

cm, 4PR cm, dan 5QR cm. Nilai PRQtan

adalah . . .

A. 26

B. 24

C. 19

D. 24

E. 26

20. Diketahui segitiga MAB dengan AB = 300 cn, sudut

MAB = 600 dan sudut ABM = 75

0. Maka AM . . .

A. )31(150 cm

B. )32(150 cm

C. )33(150 cm

D. )62(150 cm

E. )63(150 cm

21. Luas segitiga ABC adalah )323( cm2. Panjang

sisi )326( AB cm dan .7BC Nilai

)sin( CA . . .

A. 7

1

B. 37

4

C. 2

1

D. 346

7

E. 343

7

22. Diketahui A dan B adalah titik-titik terowongan yang

dilihat dari C dengan sudut .450ACB Jika jarak

pCB meter dan 22pCA meter, maka panjang

terowongan itu adalah . . .

A. 5p meter

B. 17p meter

C. 23 meter

D. 4p meter

E. 5p meter

23. Dalam segitiga ABC diketahui 22

1sin A dan

.2

1cos B Nilai Ctan . . .

A. 2)31(2

B. 2)31(2

1

C. 2)13(

D. 2)13(

E. 2)13(2

1

24. Jika adalah sudut lancip yang memenuhi

,0tan

42tan

maka cos . . .

A. 22

1

B. 55

1

C. 33

1

D. 62

1

E. 63

1

25. Jika axx cossin untuk ;4

0

maka x2tan .

. .

A. )1( 2a

a

B. )1( 2a

a

C. )41(

2

2a

a

D. )41(

2

2a

a

E. 22a

26. Jika ,cossin pxx maka xx cossin . . .

A. )1(2

1p

B. )1(2

1p

C. )1(2

1 2 p

D. )1(2

1 2p

E. 2

2

1p



27. Dalam segitiga ABC, AC = 5, AB = 8, dan CAB

60o. Jika ACB maka cos . . .

A. 37

1

B. 37

3

C. 37

4

D. 7

1

E. 7

3

28. Nilai dari

2tan1

tan2. . .

A. cossin2

B. cossin2

C. sin21

D. sin2

E. cos2

29. Dalam segitiga ABC diketahui 8AB cm, BC = 11

cm dan CA = 5 cm. Jika sudut di hadapan sisi BC,

maka sin10 . . .

A. 212

B. 21

C. 212

1

D. 21

E. 21

30. Jika ,0tan 3

42tan dan ,1)tan(

maka 22 tantan . . .

A. 13

B. 5

C. 36

13

D. 36

5

E. -5



4 – Lingkaran A. PERSAMAAN LINGKARAN

1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0, 0) dan Jari-jari r

222 ryx

2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat A(a, b) dan Jari-jari r 222 )()( rbyax

3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

022 CByAxyx , A, B, C bilangan real

Pusatnya: )2

1,

2

1( BAP dan jari-jari CBAr 22

4

1

4

1

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN

1. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran

a. Persamaan garis singgung melalui titik ),(11

yxP pada lingkaran 222 ryx adalah 2

11ryyxx .

b. Persamaan garis singgung melalui titik ),(11

yxP pada lingkaran 222 )()( rbyax adalah 2

11))(())(( ryybyaxax .

c. Persamaan garis singgung melalui titik ),(11

yxP pada lingkaran

022 CByAxyx adalah .0)()(1111

CyyBxxAyyxx

2. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

a. Persamaan garis singgung lingkaran 222 ryx dengan gradien m adalah

12 mrmxy .

b. Persamaan garis singgung lingkaran 222 )()( rbyax dengan gradien m adalah

1)()( 2 mraxmby .

c. Persamaan garis singgung lingkaran 022 CByAxyx dengan gradien m adalah

1)2

1()

2

1( 2 mrAxmBy .

Rumus-rumus lain yang berhubungan dengan persamaan lingkaran:

a. Persamaan garis lurus dengan gradien m yang melalui titik ),(11

yx

)(11

xxmyy

b. Persamaan garis lurus melalui titik ),(11

yxA dan ),(22

yxB

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

c. Jarak titik ),(11

yxA ke garis 0 cbyaxg



22

11

ba

cbyaxd

C. Contoh Soal


1. Jika titik (k, -1) terletak pada lingkaran

,0215222 yxyx nila k . . .

A. -3 atau 6

B. 2 atau -3

C. -7 atau -3

D. 5 atau -3

E. -5 atau 3

Penyelesaian:

Titik (k, -1) terletak pada lingkaran maka

memenuhi persamaan

0152021521 22 kkkk

0)3)(5( kk

35 kk

Jawaban: E

2. Lingkaran dengan persamaan

0,0222 pqpxyx dan berjari-jari

2akan menyinggung garis 0 yx jika p . . .

A. 2

B. 22

C. 4

D. 81

E. 162

Penyelesaian:

Pusat lingkaran (p, 0). Karena lingkaran

menyinggung garis xy maka jari-jari

lingkaran sama dengan jarak pusat lingkaran ke

garis singgung.

22

11

ba

cbyaxd

2211

02

p

p

Jawaban: B

3. Persamaan garis lurus yang melalui pusat

lingkaran 024222 yxyx dan sejajar

garis 052 yx adalah ....

A. 042 yx

B. 032 yx

C. 0 yx

D. 02 yx

E. 02 yx

Penyelesaian:

Pusat lingkaran (1, 2). Garis lurus sejajar garis

052 yx maka .2m

Sehingga persamaan garis lurusnya:

)1(22 xy

02 yx

Jawaban: D Latihan 1

1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O dan

jari jari 5.

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O

dan melalui titik A (-3, 4)

3. Diketahui titik A (2, -1) dan titik B (-2, 1). Tentukan

persamaan lingkaran, jika AB merupakan

garis tengah (diameter) lingkaran itu.

4. Diketahui sebuah persegi yang sisi – sisinya

dinyatakan dengan persamaan x = -2, x = 2, y = -2 ,

dan y = 2. Tentukan persamaan lingkaran :

a. yang menyinggung sisi – sisi persegi itu, dan

422 yx

b. yang melalui titik – titik sudut persegi itu.

5. Sebuah lingkaran berpusat di O dan menyinggung

garis g 01543 yx . Tentukan

persamaan lingkaran itu.

6. Diketahui titik A (2, 0) dan B (8, 0). Tentukanlah

tempat kedudukan dari titik – titik P (x, y) yang

memenuhi hubungan PAPByxP 2|),( .

7. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (-1, 2)

dan jari – jari 3.

8. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di A (3,

1) dan melalui titik B (6, -3).

9. Diketahui titik P (4, -1) dan titik Q (-2, 5). Tentukan

persamaan lingkaran, jika PQ adalah garis

tengah (diameter) dari lingkaran itu.

10. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di (1, 3)

dan

a. menyinggung sumbu X

b. menyinggung sumbu Y

11. Sebuah lingkaran dengan pusat A (-1, 1) dan

menyinggung garis g 01143 yx .

Tentukan persamaan lingkaran itu.

12. Diketahui titik – titik A (1, 1), B (5, 1), dan C (5, 3).

a. Lukiskan titik – titik A, B, dan C pada sebuah

bidang Cartesius, kemudian perlihatkan bahwa

ABC siku – siku .

b. Selanjutnya tentukan persamaan lingkaran yang

melalui titik –titik A, B, dan C.

13. Nyatakan bentuk umum persamaan lingkaran, jika

diketahui :



a. pusat (-3, 5) dan jari – jari 6

b. pusat 2

1,1 dan jari – jari 2

14. Diantara persamaan berikut ini, manakah yang

merupakan persamaan lingkaran .

a. 04 yx

b. 2342 yxyx

c. 044622 yxyx

d. 0322 yxxyyx

e. 084532 22 yxyx

15. Diketahui bentuk umum persamaan lingkaran

dituliskan sebagai 082822 yxyxL

Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran itu.

16. Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran dengan

persamaan 0412699 22 yxyxL .

17. Tentukan kedudukan titik – titik P(1, 2), Q(3, 4) dan

R (2, 5) terhadap masing – masing lingkaranberikut

ini :

a. 2522 yx

b. 9)2()1( 22 yx

c. 042422 yxyx

18. Diketahui lingkaran dengan persamaan

082822 yxyxL

a. Tentukan nilai kuasa titik A (1, 3), B (7, 5), dan

C (9, 2) terhadap L.

b. Tanpa melukiskan sketsanya, dapatkah kamu

menentukan kedudukan titik A, B, dan C

terhadap L ? Di dalam, pada, ataukah di luar L ?

19. Diketahui lingkaran 0215222 yxyxL

a. Tentukan nilai kuasa titik P (a, 6) terhadap L.K =

a2 + 2a– 15

b. Berapakah nilai a, jika titik P (a, 6) terletak pada

L.

20. Diketahui lingkaran

044222 yxyxL dan titik P (3, -1).

a. Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran L.

Pusat (-1, 2), r = 3

b. Gambarkan lingkaran L dan titik P pada sebuah

diagram Cartesius.

c. Dari titik P buatlah garis singgung pada

lingkaran. Jika titik singgungnya adalah S,

berapakahpanjang garis singgung PS ?

21. Diketahui garis g dan lingkaran L dengan persamaan

1 yxg dan 422 yxL

a. Lukiskan garis g dan lingkaran L pada sebuah

bidang Cartesius. Apakah garis g memotong

lingkaran L di dua titik yang berlainan?

b. Tentukan persamaan kuadrat gabungan antara

garis dan lingkaran, kemudian tentukan nilai

Diskriminan.

22. Diketahui lingkaran 022222 yxyxL .

Tentukan kedudukan garis – garis berikut

initerhadap L, tanpa menggambarkan sketsanya.

12 yxg 3 yh

033 yxk

23. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran :

a. 522 yxL di titik (-2, 1)

b. 25)1()3( 22 yxL di titik (7, 2)

c. 0276422 yxyxL

24. a. Tentukan persamaan – persamaan garis singgung

yang dapat ditarik melalui titik (-1, 7)

kelingkaran 2522 yxL .

b. Misalkan titik – titik singgungnya adalah A dan

B, tentukan koordinat titik A dan titik B.

c. Selanjutnya tentukan persamaan garis AB.

25. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

1622 yxL yang mempunyai gradien 3.

Latihan 2

1. Lingkaran yang melalui titik – titik (5, 0), (0, 5), (-

1,4) mempunyai jari – jari sebesar...

A. 22 D. 132

B. 24 E. 134

C. 26

2. Lingkaran dengan pusat (-1, 3) serta menyinggung

sumbu y mempunyai persamaan……………

A. 016222 yxyx

B. 016222 yxyx

C. 01322 yxyx

D. 096222 yxyx

E. 096222 yxyx

3. Lingkaran dengan persamaan

09522 yaxyx menyinggung sumbu x,

maka nilai a adalah……………..

A. – 9 atau 9 D. – 4 atau 4

B. – 6 atau 6 E. – 3 atau 3

C. – 5 atau 5



4. Persamaan setengah lingkaran yang berpusat di O

dinyatakan dengan )( 2xay . Harga a

merupakan salah satu akar persamaan

0432 xx . Jari – jari lingkaran di atas

adalah…………..

A. 22

1 D. 32

B. 3 E. 4

C. 2

5. Jarak titik A (7, 2) ke lingkaran

015141022 yxyx adalah……..

A. 52 D. 58

B. 54 E. 512

C. 56

6. Pusat dan jari – jari lingkaran

082822 yxyx adalah…………

A. (- 4, 1) dan 5

B. (4, -1 ) dan 5

C. (-8, 2) dan 3

D. (8, -2) dan 5

E. (8, -2) dan 3

7. Lingkaran 020422 yaxyx melalui titik

(5, 1). Jari – jari lingkaran itu adalah r =

……………….

A. 4 D. 5

B. 52 E. 102

C. 62

8. Lingkaran 012422 byxyx melalui titik

(1, 7). Pusat lingkaran itu adalah………

A. (-2, -3) D. (2, 4)

B. (-2, 3) E. (2, 6)

C. (2, 3)

9. Persamaan dari lingkaran yang berpusat di (2, -3)

dan menyinggung garis 0743 yx

adalah………………….

A. 0124622 yxyx

B. 0124622 yxyx

C. 0126422 yxyx

D. 0126422 yxyx

E. 0126422 yxyx

10. Diketahui lingkaran 063444 22 xyx

jari – jarinya adalah…………………..

A. 4

12 D. 8

B. 4 E. 67

C. 622

1

11. Koordinat titik pusat dan jari – jari lingkaran

062622 yxyx berturut – turut

adalah………………………

A. (3, -1) dan 16 D. (-3, 1) dan 4

B. (3, -1) dan 4 E. (-3, 1) dan 6

C. (-3, 1) dan 16

12. Diketahui titik A (5, -1) dan B (2, 4). Lingkaran yang

berdiameter AB mempunyai

persamaan…………………

A. 033322 yxyx

B. 067322 yxyx

C. 063322 yxyx

D. 063722 yxyx

E. 063722 yxyx

13. Lingkaran yang berpusat di (-3, 2) dan menyinggung

garis 843 yx , persamaannya

adalah………………

A. 0384622 yxyx

B. 0124622 yxyx

C. 0384622 yxyx

D. 0124622 yxyx

E. 0124622 yxyx

14. Diberikan lingkaran 1022 yx , A (4, -3) dan B (-

8, 1). Persamaan garis singgung dari lingkaran yang

tegak lurus dengan garis AB adalah……..

A. 103 xy

B. 10103 xy

C. 103 xy

D. 10103 xy

E. 103

xy

15. Persamaan garis singgung lingkaran 522 yx

yang sejajar dengan garis 172 yx

adalah………….

A. 172 xy

B. 52 xy

C. 12 xy

D. 22 xy

E. 102 xy

16. Persamaan garis singgung pada

16)2()3( 22 yx yang sejajar garis

724 yx adalah……………



A. 542 xy

B. 5442 xy

C. 5482 xy

D. 582 xy

E. 5442 xy

17. Jika lingkaran 2122 axyx melalui titik A (-2,

3), maka persamaan garis singgung pada lingkaran di

A adalah………….

A. 1223 yx

B. 1332 yx

C. 532 yx

D. 1734 yx

E. 134 yx

18. Persamaan garis singgung dengan gradien 2 pada

lingkaran 0106222 yxyx

adalah………………….

A. 15252 xydanxy

B. 15252 xydanxy

C. 1022 xydanxy

D. 1022 xydanxy

E. 14262 xydanxy

19. Diketahui titik A (-2, 3) dan B (4, 5). Persamaan

garis singgung lingkaran

0686422 yxyx yang tegak lurus AB

adalah…………..

A. 10993 xy

B. 1093 xy

C. 1033

11

3

xy

D. 1033

7

3

xy

E. 1093

11

3

xy

20. Supaya titik A (1, a) terletak di luar lingkaran

082822 yxyx , haruslah……….

A. -5 <a< 3

B. 53 aataua

C. 35 aataua

D. 53 aataua

E. 35 aataua

21. Jika garis 42 yx memotong lingkaran

2522 yx di titik P (p, q) dan Q ( r, s), maka

nilai (p + r) =……………..

A. -3,2

B. -3,0

C. 3,0

D. 3,2

E. -1,8

22. Supaya garis axy menyinggung lingkaran

022622 yxyx , maka haruslah……

A. a = -6 atau a = 1

B. a = -5 atau a = 2

C. a = 5 atau a = 2

D. a = -6 atau a = 2

E. a = 6 atau a = -2



1. Lingkaran 012422 byxyx melalui titik (1,

7). Pusat lingkaran itu adalah . . .

A. (-2, -3)

B. (-2, 3)

C. (2, 3)

D. (2, 4)

E. (2, 6)

2. Jika titik (-5, k) terletak pada lingkaran

,0215222 yxyx maka nilai k = . . .

A. -1 atau 2

B. 2 atau 4

C. -1 atau 6

D. 0 atau 3

E. 1 atau -6

3. Lingkaran 046222 ypxyx mempunyai

jari-jari 3 dan menyinggung sumbu X. Pusat lingkaran

tersebut adalah . . .

A. (-2, 3)

B. (2, -3)

C. (2, 3)

D. (3, -2)

E. (-3, 2)

4. Diketahui lingkaran dengan persamaan

025622 ybxyx dan b < 0 menyinggung

sumbu X. Nilai b yang memenuhi persamaan tersebut

adalah . . .

A. -3

B. 6

25

C. -5



D. 4

25

E. -10

5. Persamaan lingkaran yang pusatnya (-2, 3) dan

menyinggung sumbu X adalah . . .

A. 046422 yxyx

B. 094622 yxyx

C. 096422 yxyx

D. 044622 yxyx

E. 046422 yxyx

6. Garis singgung lingkaran 2522 yx di titik (-3, 4)

menyinggung lingkaran dengan pusat (10, 5) dan jari-

jari r. Nilai r . . .

A. 3

B. 5

C. 7

D. 9

E. 11

7. Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0, 4)

pada lingkaran 422 yx adalah . . .

A. 4 xy

B. 42 xy

C. 4 xy

D. 43 xy

E. 42 xy

8. Jarak antara titik pusat lingkaran

044 22 yxx dari sumbu X adalah . . .

A. 3

B. 2

12

C. 2

D. 2

11

E. 1

9. Diketahui sebuah lingkaran ),8,0(),0,0( AO dan

).0,6(B Persamaan garis singgung pada lingkaran

tersebut adalah . . .

A. 03243 yx

B. 03243 yx

C. 03243 yx

D. 03234 yx

E. 03234 yx

10. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan

menyinggung garis 0243 yx adalah . . .

A. 024322 yxyx

B. 036422 yxyx

C. 088222 yxyx

D. 088222 yxyx

E. 0168222 yxyx

11. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran

2522 yx yang tegak lurus garis 032 xy

adalah . . .

A. 52

5

2

1 xy

B. 52

5

2

1 xy

C. 552 xy

D. 552 xy

E. 552 xy

12. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran

2522 yx yang ditarik dari titik (0, 10) adalah . . .

A. 103 yx

B. 253 yx

C. 503 yx

D. 103 yx

E. 503 yx

13. Garis 2 yx menyinggung lingkaran

02622 qyxyx untuk q . . .

A. -8

B. 4

C. 6

D. 8

E. 16

14. Persamaan garis singgung pada lingkaran

076222 yxyx di titik yang berabsis 5

adalah . . .

A. 0184 yx

B. 044 yx

C. 0104 yx

D. 044 yx

E. 0154 yx

15. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada

garis ,0442 yx serta menyinggung sumbu X

negatif dan sumbu Y negatif adalah . . .

A. 044422 yxyx

B. 084422 yxyx

C. 042222 yxyx

D. 044422 yxyx



E. 042222 yxyx

16. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran

13)1()2( 22 yx di titik berabsis 1 adalah . . .

A. 0323 yx

B. 0523 yx

C. 0923 yx

D. 0923 yx

E. 0523 yx

17. Persamaan garis singggung melalui titik )1,2( A

pada lingkaran 01361222 yxyx adalah . . .

A. 052 yx

B. 01 yx

C. 042 yx

D. 0423 yx

E. 032 yx

18. Lingkaran 017210: 22

1 yxyxL dan

07228: 22

2 yxyxL merupakan dua

lingkaran yang memiliki hubungan . . .

A. tidak berpotongan

B. bersinggungan dalam

C. bersinggungan luar

D. berpotongan di dua titik

E. mempunyai jari-jari yang sama

19. Lingkaran 066622 yxyx mempunyai

kekhususan sebagai berikut . . .

A. menyinggung 0y

B. menyinggung 0x

C. berpusat di O(0, 0)

D. titik pusatnya pada 0 yx

E. berjari-jari 3

20. Jika lingkaran 06422 cyxyx yang

berpusat di titik (2, 3) menyinggung garis ,1 xy

nilai c . . .

A. 0

B. 4

C. 5

D. 9

E. 10

5 - Suku Banyak



Pengertian Suku Banyak

Suku banyak atau Polinom dalam x berderajat n dapat dituliskan dalam bentuk:

i. 021 ,,,...,, aaaaa nn adalah koefisien – koefisien dari 021 ,,,...,, xxxxx nn

ii. n adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak

Nilai Suku Banyak

♣ Cara Substitusi

Nilai suku banyak 01

2

2

1

1 ...)( axaxaxaxaxf n

n

n

n

untuk x = k ( kR) adalah 012

21

1 ...)( akakakakakf nn

nn

♣ Cara Bagan (Skema)

Misalkan suku banyak f (x) berderajat 4,

01

2

2

3

3

4

4)( axaxaxaxaxf

Operasi Antar Suku Banyak

♣ Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Sukubanyak

Misalkan f(x) dan g(x) berturut – turut adalah sukubanyak berderajat m dan n

(1) f(x) g(x) adalah sukubanyak berderajat maksimum m atau n

(2) f(x) g(x) adalah sukubanyak berderajat tepat sama dengan (m + n)

Kesamaan Suku banyak

Misalkan dua buah sukubanyak f (x) dan g (x) yang dinyatakan dalam

bentuk umum sebagai :

012

21

1 ...)( axaxaxaxaxf nn

nn

dan

012

21

1 ...)( bxbxbxbxbxg nn

nn

Jika f (x) sama dengan g (x) (ditulis : f(x) g (x)), maka dapat

disimpulkan bahwa :

Pembagian Suku Banyak

Pembagian sukubanyak dengan cara pembagian skematik dikenal sebagai cara pembagian sintetik atau cara Horner .

012

21

1 ... axaxaxaxa nn

nn

k 4a 3a 2a 1a 0a

4a 34 aka 23

24 akaka

122

33

4 akakaka 012

23

34

4 akakakaka

)(kf

kakaka 2

2

3

3

4 kaka 32

4 kakakaka 1

2

2

3

3

4

4 ka4

+ + + +

Tandamenyatakan “kalikan dengan k” ( A )

0011222211 ,,,....,,, badanbababababa nnnnnn



Misalkan sukubanyak 01

2

2

3

3

4

4)( axaxaxaxaxf dibagi dengan (x – k) memberikan hasil bagi H(x) dan

sisa S. f(x) dapat dituliskan:

Teorema Sisa

Dengan :

f (x) merupakan sukubanyak yang dibagi, misalnya diketahui berderajat n.

P(x) merupakan pembagi, misalnya berderajat m (mn).

H(x) merupakan hasil bagi, berderajat n – m atau derajat sukubanyak yang

dibagi dikurangi dengan derajat pembagi.

S(x) merupakan sisa, berderajat maksimum m – 1 atau berderajat

Maksimum sama dengan derajat pembagi dikurangi satu.

Teorema Faktor

Bentuk Yang Habis Dibagi

Misalkan f(x) adalah sebuah sukubanyak, f(x) habis dibagi dengan (x – k) jika dan hanya jika f (k) = 0.

Pembagian Istimewa

Hasil Pembagian pada pembagian istimewa dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

Akar – Akar Rasional Dari Persamaan Suku Banyak

Misalkan f(x) adalah sebuah sukubanyak, (x – k) faktor dari f(x) jika dan hanya jika k akar dari persamaan f(x) = 0.

Persamaan Suku Banyak Berderajat Tiga : 023 dcxbxax

Misalkan 321 ,, xdanxx adalah akar – akar persamaan 023 dcxbxax maka:

f (x) = (x – k) . H (x) + S

k 4a 3a 2a 1a 0a

+ + + +

4a

kb3

kba 33

kb2

kba 22

kb1

kba 11

kb0

kba 00

|| || || || ||

3b 2b 1b 0b S

Tandamenyatakan “kalikan dengan k”

012

23

3)( bxbxbxbxH

)()(.)()( xSxHxPxf

Misalkan f(x) adalah sebuah sukubanyak, (x – k) merupakan

Faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0

(1) 122321 ...

nnnnnnn

aaxaxaxxax

ax

(2) 1222232221222

...

nnnnnnn

aaxaxaxxax

ax

(3) nnnnnnn

aaxaxaxxax

ax 2122221221212

...



Persamaan Suku Banyak Berderajat Empat : 0234 edxcxbxax

Misalkan 4321 ,,, xdanxxx adalah akar – akar dari persamaan sukubanyak 0234 edxcxbxax , maka:

Latihan

1. Sebutkan peubah, derajat dan koefisien – koefisien

dari tiap suku banyak berikut :

a. 41025 23 xxx

b. 234 234 yyyy

c. 2)1()1( xx

d. )3()2()1( 2 ttt

2. Hitunglah nilai sukubanyak

53)( 23 xxxxf untuk tiap nilai x

berikut:

a. x = 0 c. x = m ( mR)

b. x = - 1 d. x = m – 2 ( mR

3. Sukubanyak dalam dua peubah (peubah x dan

peubahy) dinyatakan oleh

243),( 22 yxxyyxyxf , hitunglah :

a. f (4, y) c. f (-2, 3)

b. f (x, -2)

4. Dengan menggunakan cara bagan, hitunglah nilai

sukubanyak :

a. 1043)( 234 xxxxxf ,untuk x = 5

b. 23),( 2232 yxyxyxyxf , untuk

x = 2.

5. Misalkan dua buah sukubanyak f (x) dan g(x)

dinyatakan oleh persamaan 4)( 23 xxxf

dan 22)( 23 xxxxg , tentukanlah :

a. f (x) + g(x) serta derajatnya

b. f (x) g(x) serta derajatnya, dan

c. f (x).g(x) serta derajatnya

6. Tentukan nilai k, jika diketahui

kxxxx 3)2()1(1432

7. Diketahui kesamaan sukubanyak

13)1()1( xxqxp . Hitunglah nilai p

dan q.

8. Ditentukan kesamaan pecahan :

23

26

21 2

xx

x

x

n

x

m. Hitunglah nilai m

dan n.

9. Hitunglah nilai A, B, dan C yang memenuhi

kesamaan: 3

2

4

865

22 xx

xx

x

C

x

B

x

A

10. a. Tentukan hasil bagi dan sisa, jika suku banyak

532)( 23 xxxxf dibagi dengan (x – 2 ).

b. Bandingkan sisa yang Anda peroleh pada

soal a) dengan f (2).

( i ) a

bxxx 321

( ii ) a

cxxxxxx 313221

( iii ) a

dxxx 321

( i ) a

bxxxx 4321

( ii ) a

cxxxxxxxxxxxx 434232413121

( iii ) a

dxxxxxxxxxxxx 214143432321

( iv ) a

exxxx 4321



11. Dengan menggunakan cara pembagian sintetik atau

cara Horner, tentukan hasil bagi dan sisa pada

pembagian 532)( 23 xxxxf dengan x –

2.

12. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku

banyak 22)( 234 xxxxxf dengan x +

2.

13. Misalkan sukubanyak 22)( 23 pxxxxf

habis dibagi dengan (x + 1). Carilah nilai p.

14. Sukubanyak 4)2(2)( 23 xaxxxf

dibagi dengan (x – 1) memberikan sisa 10. Carilah

nilai a, kemudian tentukan hasil baginya.

15. Dengan cara pembagian sintetik, tentukan hasil bagi

dan sisa pembagian sukubanyak

10872)( 23 xxxxf dengan (2x – 1).

16. a. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian

sukubanyak 23)( 23 xxxxf dengan (3x

– 2 )

b. Tunjukkan bahwa sisa yang Anda peroleh

pada soal a) itu sama dengan 32f

17. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian

sukubanyak 102)( 23 xxxxf dengan

32 xx

18. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak

653)( 234 xxxxxf dengan

22 xx

19. Tunjukan bahwa sukubanyak

12143)( 24 xxxxf habis dibagi dengan

322 xx . Tentukan pula hasil baginya.

Latihan 2

1. Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak yang

berikut ini

6866)( 234 xxxxxf dibagi x – 2

2. Misalkan sukubanyak

3)2(3)( 234 xaaxxxxf dibagi

dengan (x + 2) memberikan sisa 15. Hitunglah nilai

a.

3. Jika suku banyak 653)( 25 axxxxf dan

suku banyak 342)( 234 xaxxxxg dibagi

dengan (x – 1) memberikan sisa yang sama.

Hitunglah nilai a.

4. Tentukan sisa pada pembagian yang berikut ini :

a. )6( 8 a dengan )2( 2 a

b. 1043 3612 aaa dengan )1( 3 a

5. Tentukan sisa pembagian sukubanyak

)33( 3223 yxyyxx dengan (x – y)

6. Hitunglah sisa pada pembagian sukubanyak

4752)( 234 xxxxf dengan 2x – 5 .

7. Pembagian sukubanyak

9)1(103)( 34 xaxxxf dengan (3x + 1)

akan menghasilkan sisa 7. Hitunglah nilai a.

8. Tentukan sisa pada pembagian sukubanyak

653)( 234 xxxxxf dengan 22 xx .

9. Misalkan sukubanyak f (x) dibagi (x – 1) sisanya 3,

sedangkan jika dibagi (x + 2) sisanya 6. Tentukan

sisanya, jika f (x) dibagi oleh )2( 2 xx .

10. Misalkan sukubanyak f (x) dibagi 12 x sisanya 2x –

5 dan jika f (x) dibagi 42 x sisanya 3x .

Tentukan sisanya jika f (x) dibagi dengan

232 xx .

9. Tunjukkan bahwa (x + 2) merupakan faktor dari

8843)( 234 xxxxxf .

10. Tentukan nilai a untuk sukubanyak di bawah

125)( 234 xaxxxxg mempunyai faktor

(x + 1)

13. Tentukan nilai a dan b agar pecahan :

204

1017

23

23

xbxx

xaxx dapat disederhanakan

menjadi bentuk pecahan linear.

14. Jika )32( yx merupakan faktor dari

)3115( 22 yxcybxyax , hitunglah nilai

dari a, b, dan c.

15. Tunjukkan bahwa:

144)( 235 xxxxf habis dibagi oleh

(x – 1)

15. Jika sukubanyak axxxxf 452)( 23 habis

dibagi dengan (x + 4), Tentukan nilai dari a.

16. Tentukan nilai – nilai dari a supaya

65

62

2

2

xx

axx

dapat disederhanakan.

17. Tentukan sukubanyak hasil bagi pada tiap pembagian

istimewa berikut.

a. )(:)( 33 baba

b. )(:)( 44 baba

c. )(:)( 33 baba



18. Tentukan suku kesembilan pada pembagian istimewa

1414 ba dengan a – b .

19. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

sukubanyak 03452)( 23 xxxxf .

20. Tentukan akar – akar dari persamaan suku banyak :

a. 02223 xxx

b. 0296 23 xxx

Latihan Soal dan Tugas Mandiri


1. Suku banyak 2476 3 pxxx habis dibagi oleh

32 x . Nilai p = ....

A. -24

B. -9

C. -8

D. 9

E. 24

2. Jumlah akar-akar dari persamaan

061132 22 xxx adalah ....

A. 2

3

B. 2

1

C. 2

1

D. 2

3

E. 3

3. Suku banyak )(xf dibagi )3( x bersisa 5, dan

dibagi oleh )4( x bersisa -23. Sisa pembagian

)(xf oleh )4)(3( xx adalah ....

A. 43 x

B. 174 x

C. 143 x

D. 105 x

E. 74 x

4. Suatu suku banyak )(xP dibagi oleh )1( 2 x

sisanya )2312( x dan jika dibagi )2( x sisanya

1. Sisa pembagian suku banyak oleh )23( 2 xx

adalah ....

A. 2312 x

B. 112 x

C. 110 x

D. 124 x

E. 2724 x

5. Suku banyak kxxxxP 643)( 23 habis

dibagi ).2( x Sisa pembagian )(xP oleh

222 xx adalah ....

A. 2420 x

B. 1620 x

C. 2432 x

D. 248 x

E. 1632 x

6. Diketahui suku banyak )(xf jika dibagi )1( x

bersisa 8 dan dibagi )3( x bersisa 4. Suku banyak

)(xg jika dibagi )1( x bersisa -9 dan jika dibagi

)3( x bersisa 15. Jika ),()()( xgxfxh maka

sisa pembagian )(xh oleh )32( 2 xx adalah ....

A. 7 x

B. 36 x

C. 216 x

D. 1311 x

E. 3933 x

7. Suatu suku banyak dibagi )5( x sisanya 13,

sedang jika dibagi )1( x sisanya 5. Suku banyak

tersebut jika dibagi 562 xx sisanya adalah ....

A. 22 x

B. 32 x

C. 13 x

D. 23 x

E. 33 x

8. Suatu suku banyak bila dibagi )2( x bersisa 11,

dibagi )1( x sisanya -4. Suku banyak tersebut bila

dibagi oleh 22 xx bersisa ....

A. 5x

B. 5x

C. 215 x

D. 15 x

E. 15 x



9. Jika )(xf dibagi )2( x sisanya 24, sedangkan

jika )(xf dibagi )32( x sisanya 20. Jika )(xf

dibagi dengan )32)(2( xx sisanya adalah ....

A. 88 x

B. 88 x

C. 88 x

D. 88 x

E. 68 x

10. Salah satu faktor suku banyak

nxxxxP 1015)( 24 adalah ).2( x

Faktor lainnya adalah ....

A. 4x

B. 4x

C. 6x

D. 6x

E. 8x

11. Salah satu akar persamaan

01037 234 xxpxx adalah 1. Jumlah

akar-akar persamaan tersebut adalah ....

A. -10

B. -7

C. -5

D. 3

E. 5

12. Akar-akar persamaan 044 23 xxx adalah

,1x 2x dan 3x . Nilai 2

3

2

2

2

1 xxx ....

A. 2

B. 14

C. 15

D. 17

E. 18

13. Suku banyak 12136 23 qxxx mempunyai

faktor ).13( x Faktor linear yang lain adalah ....

A. 12 x

B. 32 x

C. 4x

D. 4x

E. 2x

14. Suku banyak )653( 234 xxxx dibagi

)2( 2 xx sisanya sama dengan ....

A. 816 x

B. 816 x

C. 168 x

D. 168 x

E. 248 x

15. Jika suku banyak 4753)( 3 kxxf dibagi

oleh kx dengan k > 0 sisanya 4, maka nilai k = ....

A. -5

B. 0

C. 3

D. 4

E. 5



6 – Fungsi dan Komposisi Sifat – sifat Aljabar fungsi

Diketahui fungsi f (x) dan g(x), dan n adalah bilangan rasional.

Operasi Aljabar fungsi dapat ditetapkan sebagai berikut:

a. )()())(( xgxfxgf d. 0)(,)(

)()(

xg

xg

xfx

g

f

b. )()())(( xgxfxgf e. nnxfxf )()(

c. )().())(.( xgxfxgf

1 Definisi :

Misalkan fungsi:

g : A B ditentukan dengan aturan y = g (x)

f : B C ditentukan dengan aturan y = f (x )

Fungsi komposisi f dan g ditentukan dengan aturan:

h(x) = (f o g) (x) = f(g(x))

2 Definisi :

Misalkan fungsi:

f : A B ditentukan dengan aturan y = f (x)

g : B C ditentukan dengan aturan y = g(x )

Fungsi komposisi g dan f ditentukan dengan aturan:

h(x) = (g of) (x) = g(f(x))

3 Sifat – sifat Komposisi Fungsi

a. ))(())(( xgofxfog

b. ))()(()))((( xohfogxgohfo

c. )())(())(( xfxIofxfoI dengan I(x) fungsi identitas

1 Definisi:

Jika fungsi BAf : dinyatakan dengan pasangan terurut:

),{(: baf a A dan b B }

maka invers dari fungsi f adalah 1

f : B A ditentukan oleh:

1f : {(a,b) b B dan a A }

2 Menentukan fungsi invers

Misalkan diketahui fungsi )(xfy

Langkah – langkah:

(i). Ubahlah persamaan )(xfy dalam bentuk x sebagai fungsi x

(ii). Bentuk x sebagai fungsi y pada langkah 1 dinami dengan )(1

yf

(iii). Gantilah y pada )(1 yf dengan x untuk mendapatkan )(

1xf

)(1

xf

adalah rumus fungsi invers dari fungsi f(x)

Sifat – Sifat Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

a. ))(()()(111

xofgxfog

b. ))(()()(111

xogfxgof



Latihan 1

1. Misalkan fungsi – fungsi f dan g ditentukan dengan

rumus:

1)( xxf dan 216)( xxg

Carilah fungsi – fungsi berikut ini, kemudian

tentukan domain alaminya:

a. (f +g )(x) d. xg

f

b. ))(( xgf e. )(3 xf

c. ))(.( xgf

2. Misalkan fungsi RRf : dan RRg :

ditentukan dengan aturan 13)( xxf dan

xxg 2)( . Tentukanlah:

a. ))(( xfog b. ))(( xgof

3. Misalkan fungsi RRf : dan RRg :

ditentukan dengan aturan 14)( xxf dan

2)( 2 xxg . Tentukan:

a. )(xfog e. )2(fog

b. ))(( xgof f. )2)((gof

c. )(xfof g. )2(fof

d. )(xgog h. )2(gog

4. Misalkan fungsi – fungsi f dan g dinyatakan dengan

pasangan terurut:

f = {(-1, 4), (1, 6), (2, 3), (8,5)}

g = {(3,8), (4,1), (5,-1), (6,2)}

Tentukanlah:

a. (fog) b. (gof) c. (fog) (1)

d. (gof) (-1) e. (fog) (3) f. (gof) (3)

5. Misalkan fungsi f dan g dinyatakan dalam bentuk

pasangan terurut

)5,4(),1,3(),4,2(),1,0( f dan

)7,6(),3,5(),2,1(),0,2(g

Tentukan:

a. )( fog b. )(gof

6. Diketahui fungsi RRf : dan RRg :

ditentukan dengan rumus

1)( xxf dan xxg )(

a. Tentukanlah:

(i) ))(( xfog (ii). ))(( xgof

b. Carilah:

(i) daerah asal ))(( xfog dan daerah hasil ))(( xfog

(ii) daerah asal ))(( xgof dan daerah hasil ))(( xgof

7. Misalkan RRf : dan RRg : ditentukan

dengan rumus 23)( xxf dan 1)( 2 xxg

a. carilah ))(( xfog dan ))(( xgof

b. Dari hasil a, apakah ))(())(( xgofxfog

8. Misalkan RRf : , RRg : dan

RRh : ditentukan dengan rumus :

1)( xxf , xxg 2)( , dan 2)( xxh

a. carilah:

(i) )))((( xgohfo (ii) ))()(( xohfog

b. Dari hasil a) apakah )))((( xgohfo = ))()(( xohfog

9. Diketahui 14)( 2 xxxf dan xxI )(

a. carilah (i). ))(( xfoI (ii) ))(( xIof

b. Dari hasil a), apakah ))((( xfoI = ))(( xIof

10. Misalkan fungsi komposisi 32))(( xxfog dan

14)( xxf

Carilah fungsi g(x)

11. Misalkan fungsi komposisi xxfog 24))(( dan

16)( xxg

Carilah fungsi f(x)

12. Misalkan fungsi komposisi 36))(( 2 xxxfog

dan fungsi 1)( xxg

Carilah fungsi f(x)

13. Misalkan A = { -2, -1, 0, 1} dan B = { 1, 3, 4}. Fungsi

BAf : ditentukan oleh :

)}4,1(),3,0(),1,1(),1,2{( f

Carilah invers fungsi f, kemudian selidikilah apakah

invers fungsi f itu merupakan fungsi.

14. Misalkan A = {0, 2, 4} dan B = {1, 3, 5, 7}. Fungsi

BAg : ditentukan oleh )}5,4(),3,2(),1,0{(g

Carilah invers fungsi g, kemudian selidikilah apakah

invers fungsi g itu merupakan fungsi.

15. Misalkan A = { -1, 0, 1, 2} dan B= {1, 2, 3, 4}.

Fungsi h : A B ditentukan oleh

)5,2(),3,1(),2,0(),1,1(h

Carilah invers fungsi h, kemudian selidikilah apakah

invers fungsi h itu merupakan fungsi.

16. Tiap fungsi berikut adalah pemetaan dari R ke R.

Carilah rumus fungsi inversnya.

a. )(xf 2x -1 b. )(xf = 3x + 6

c. f (x) = 2x -1 d. f (x) = x3 – 1

17. Misalkan fungsi f ditentukan dengan rumus

x

xxf

1)(

a. Carilah rumus ).(1 xf

b. Carilah : (i). daerah asal fungsi f (x)

(ii) daerah asal fungsi )(1 xf

18. Misalkan fungsi f ditentukan dengan rumus

1)( 2 xxf

a. Tentukan domain fungsi f agar fungsi tersebut

mempunyai invers

b. Untuk tiap domain yang diperoleh pada a) tentukan

rumus )(1 xf



19. Diketahui fungsi f(x) = 2x – 1 mempunyai fungsi

invers )1()(211 xxf

a. Tunjukkan bahwa

)())(())(( 11 xIxoffxfof , dengan

xxI )( adalah fungsi identitas

b. Gambarlah grafik fungsi f (x ) dan fungsi invers

)(1 xf pada sebuah bidang Cartesius.

20. Misalkan RRf : dan RRg : ditentukan

dengan rumus 2)( xxf dan xxg 24)(

Carilah : a. )(1

xfog

b. )(1

xgof

21. Misalkan fungsi – fungsi f dan g ditentukan dengan

rumus:

3

9)(

xxf , x R dan x -3

2)( xxg , x R dan x 0

a. Carilah: (i) )()( 1 xfog

(ii) )()( 1 xgof

b. Carilah: (i) daerah asal alami )()( 1 xfog

(ii) daerah asal alami )()( 1 xgof

Latihan 2


1. Diketahui fungsi kuadrat:

382)( 2 xxxf dengan daerah asal

Rxxx ,41 . Daerah hasil fungsi f

adalah…

a. Ryyy ,117

b. Ryyy ,37

c. Ryyy ,197

d. Ryyy ,113

e. Ryyy ,193

2. Fungsi f dengan rumus 1

)(2

x

xxxf

terdefinisikan pada himpunan…

a. {x x ≥ -1 } d. {x -1 ≤ x ≤ 0 atau x ≥ 1}

b. {x x ≥ 0 } e. {x -1 < x ≤ 0 atau x ≥ 1}

c. {x x ≥ 1 }

3. Jika f (x) = - x + 3, maka )(2)()(22 xfxfxf

= …

a. 462 2 xx d. 64 x

b. 46 x e. 642 2 xx

c. 642 2 xx

4. Jika 2)( 2 xxf dan 12)( xxg maka

komposisi ))(( xgf = …

a. 24 2 x d. 144 2 xx

b. 32 2 x e. 144 2 xx

c. 122 xx

5. Jika 4)( 2 xxf dan y

yg2

)( maka

))(( tgof =…

a. t

t44 d.

2

2

t

b. t

t22 e.

4

2

2 t

c. t

t2

6. Jika x

xxf1

)( dan x

xxg1

)( maka

))(( xfg adalah…

a. 2

2 1

xx d. 2x

b.

1

1

2

2

x

x

x

x e.

1

1

2

2

2

2

x

x

x

x

c.

1

1

2

2

x

x

x

x

7. Jika 43

12)(

x

xxf dan 15)( 2 xxg maka

))(( xfog ….

a.

515

10

2

2

x

x d.

415

110

2

2

x

x

b.

715

110

2

2

x

x e.

110

715

2

2

x

x

c .

415

310

2

2

x

x

8. Jika 12)( xxf ; 35)( 2 xxg dan

xxh 7)( maka ))(( xfogoh =…

a. 7490 2 x d. 2490x

b. 370 2 x e. 770 2 x

c. 7490 3 x



9. Jika 1

)(

x

xxf ; )1()( 2 xfxg , maka

))(( xfg adalah…

a.

1

12

2

x

x d.

2

2 1

x

x

b.

11

2

2

x

x e.

12

2

x

x

c.

11

2

2

x

x

10. Jika xxf )( dan 1)( 2 xxg , maka

sama dengan…

a. x + 1 d. 14 x

b. e. 18 x

c. 1x

11. Diketahui tiga fungsi RRf : , RRg : ,

RRh : yang ditentukan oleh…

2)( xxf

1)( 2 xxf

xxh 2)(

Bentuk sederhana dari ))(( xhogof adalah…

a. 342 xx d. 682 2 xx

b. 682 2 xx e. 682 2 xx

c. 682 2 xx

12. Jika xaxf )( maka untuk setiap x dan y

berlaku…

a. )()().( xyfyfxf

b. )()().( yxfyfxf

c. )()()().( yfxfyfxf

d. )()()( xyfyfxf

e. )()()( yxfyfxf

13. Diketahui 4

32:

x

xxf , 4x dan

87))(( 2 xxxgof . Nilai dari

8

5g =….

a. 8 d. 0

b. 6 e. – 4

c. 4

14. Diketahui fungsi 32)( xxf dan

13)( xxg . Nilai x yang memenuhi:

)(2)()42)(( xgxfxfog adalah…

a. 2

3 d.

2

16

b. 0 e. 2

17

c. 6

15. Fungsi RRf : dan RRg : dengan

1)( xxg dan 23))(( 2 xxxfog maka

...)( xf

a. xx 2 d. 322 xx

b. xx 2 e. 322 xx

c. 32 xx

16. Diketahui 13)( xxg dan

76

29)1)((

x

xxfog . Rumus untuk ....)( xf

a. 32

43

x

x d.

23

34

x

x

b. 43

32

x

x e.

23

34

x

x

c. 43

32

x

x

17. Jika xxf 1)( dan 3

3)(

x

xxg , maka fungsi

komposisi x

gf 1 =…

a. 13

3

x

x d.

x

x

31

3

b. x

x

31

6

e.

x

x

3

31

c. 13

6

x

x

18. Fungsi invers dari 2)1()(5

1

3 xxf adalah

)(1 xf =…

a. 3

1

5)2(1 x d. 3

5

)2(1 x

b. 3

5

)2(1 x e. 3

5

)2( x

))(( xgofof

12 x



c. 3

1

5)2(1 x

19. Grafik fungsi kuadrat cbxaxxf 2)(

mempunyai titik balik (-1, 3) dan melalui titik (2, 12).

Nilai a + b + c = ….

a. 3 d. 6

b. 4 e. 7

c. 5

20. Jika 1)( 2 xxf dan

542

1))(( 2

xx

xxfog maka

adalah…

a. d. 3

1

x

b. e. 3

1

x

c. 1

1

x

21. Diketahui 1)( xxf dan 43))(( 2 xxfog .

Rumus )(xg yang benar adalah…

a. 3x + 4 d. )1(3 2 x

b. 3x + 3 e. )3(3 2 x

c. 43 2 x

22. Diketahui fungsi f yang dinyatakan

52

4)3(

x

xxf , untuk

25x dan )(1 xf

adalah invers dari f (x). Rumus fungsi )(1 xf …

a. x

x

21

1

,

21x d.

12

45

x

x,

21x

b. x

x

21

1

,

21x e.

12

45

x

x,

21x

c. 12

1

x

x,

21x

23. Jika 12)( xxf dan 3)( 3 xxg maka

)()( 1 xgof adalah…

a. 3

1

2

5

x d. 1

2

5 3

1

x

b.

3

2

5

x e.

2

1)3(2 3 x

c. 12

3

2

1 3

1

x

24. Fungsi f ditentukan oleh 52

23)(

x

xxf ,

25x

1f merupakan fungsi invers dari f. Jika

12)(1 kf , maka nilai k adalah…

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3

25. Jika 42)( xxf dan 12

1)( xxg maka

)10()( 1fog adalah…

a. 6 d. 12

b. 10 e. 20

c. 8

26. Diketahui fungsi 1

12)(

x

xxf , 1x dan

12

13)(

x

xxg ,

21x . Invers dari ))(( xfog

adalah )()( 1 xfog =…

a. 25

14

x

x,

52x d.

25

14

x

x,

52x

b. 45

12

x

x,

54x e.

x

x

54

12

,

54x

c. 4

52

x

x, 4x

27. Diketahui xxf )( , 0x dan 1

)(

x

xxg ,

1x maka ....)()( 1 xgof

a. 2

2

1 x

x

d.

2

2

21 xx

x

b. 2

2

21 xx

x

e.

2

2

1 x

x

c.

12

2

x

x

28. Jika 1)1( 2 xxf dan xxg 2)( maka

))(( xgof = ….

a. xx 42 d. xx 42 2

b. 22 2 x e. xx 22 2

c. 22 2 x

)3( xg

5

1

x

1

1

x



29. Fungsi RRg : ditentukan oleh 3)( xxg

dan fungsi RRf : sehingga

433))(( 2 xxxfog maka rumus

....)2( xf

a. 64273 2 xx d. 94333 2 xx

b. 40213 2 xx e. 64213 2 xx

c. 94273 2 xx

30. Diketahui 54

32)(

x

xxf ,

45x dan

13)( xxg . Nilai dari )1()( 1fog adalah…

a. 3

2 d.

3

1

b. 3

2 e.

3

2

c. 3

1

31. Diketahui 22)( xxg dan 12

13))((

x

xxfog

. Nilai dari )2(f adalah…

a. 7 d. 1

b. 6 e. – 1

c. 2

32. Diketahui: 1)( xxf

xxxgof 2))(( 2

158))(( 2 xxxgoh

...)4( xh

a. x + 4 d. x + 8

b. x e. 4x – 8

c. x – 8

33. Diketahui 2

)(

x

axxf , 2x dan 2)7( f

Nilai dari )1()( 1 fofof = ….

a. 7

1 d. – 7

b. 7 e. 5

1

c. 7

1

34. Fungsi f ditentukan oleh 12

34)(

x

xxf ,

21x . Jika )(1 xf invers f , maka

...)1(1 xf

a. 52

2

x

x,

25x d.

42

3

x

x, 2x

b. 22

2

x

x, 1x e.

42

3

x

x, 2x

c. 62

2

x

x, 3x

35. Diketahui fungsi 12)( xxf dan

142)1)(( 2 xxxfog . Nilai )2(g = …

a. – 5 d. 1

b. – 4 e. 5

c. – 1



7 - Limit TEOREMA LIMIT UTAMA

k = konstanta

f dan g adalah fungsi – fungsi yang mempunyai limit x

a , maka:

1. Jika kxf )( , maka kxfax

)(lim

2. Jika xxf )( , maka axfax

)(lim

3. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfaxaxax

4. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfaxaxax

5. )(lim.)(.lim xfkxfkaxax

6. )(lim).(lim)]().([lim xgxfxgxfaxaxax

7. ,)(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

untuk 0)(lim

xg

ax

8. n

ax

n

axxfxf

)(lim)(lim , untuk n bilangan bulat

9. nax

n

axxfxf )(lim)(lim

, untuk 2x

10. m

nax

nm

axn

m

axxfxfxf

)(lim)(lim)(lim

RUMUS DASAR

LIMIT TRIGONOMETRI

1. 1sin

limsin

lim00

x

x

x

x

xx

2. 1limlim00

tgx

x

x

tgx

xx

mis u = f(x) 00 ux

3. 1sin

limsin

lim00

u

u

u

u

xx

4. 1limlim00

tgu

u

u

tgu

xx

Note! Hanya berlaku untuk x 0

Rumus Dasar Rumus Praktis

1. 1sin

lim0

x

x

x 1.

b

a

bx

ax

x

sinlim

0

2. 1lim0

x

tgx

x 2.

b

a

bx

tgax

x

0lim

3. 1sin

lim0

tgx

x

x 3.

b

a

tgbx

ax

x

sinlim

0

4. 1lim2

2

0

x

xtg

x 4.

b

a

bx

axtg

x

2

2

2

0lim

5. 1sin

lim2

2

0

x

x

x 5.

b

a

bx

ax

x

2

2

2

0

sinlim

6. 1sin

lim2

2

0

x

xtg

x 6.

2

2

2

2

0 sinlim

b

a

bx

axtg

x

7. 1sin

sinlim

2

2

0

x

x

x 7.

2

2

2

2

0 sin

sinlim

b

a

bx

ax

x

Latihan

1. 21 1

1lim

x

x

x

=

a. 2

1 d. 1

b. 0 e. 4

c. 4

1

2. Nilai

xx

x

x 2

8lim

2

3

2

adalah:

a. 0 d. 6

b. 2 e. 8

c. 4

3.

2

33 2

1 1

12lim

x

xx

x

=

a. 0 d. 7

1

b. 3

1 e.

9

1

c. 5

1

4.

xx

xx

x 0lim

a. 0 d. 2

b. 2

1 e. -5

c. 1

5. Nilai

x

xx

x 93

52lim

2

0

a. 30 d. -1

b. 1 e. -30

c. 0



6.

4

2lim

4 t

t

x

a. 1 d. 2

1

b. 4

1 e.

4

3

c. 3

1

7.

11

11lim

30 x

x

x

a. 0 d. 2

3

b. 3

1 e. 2

c. 3

2

8.

13

1lim

2

2

1 xx

x

x

a. 4 d. -2

b. 2 e. -4

c. 0

9. Jika 4

3

4lim

4

x

xbax

x, maka a +b sama

dengan….

a. 3 d. -1

b. 2 e. -2

c. 1

10.

2

8lim

38 x

x

x. . . .

a. 8 d. 20

b. 12 e. 24

c. 16

11.

x4x

4x3x3xlim

2

3

0x

a. 0 d 3

b. 4

15 e.

4

18

c.

12.

....

3x4

2x3lim

3

3

x

a. 1 d. 27

8

b. 64

27 e.

27

8

c. 64

27

13. ...adalah2

1...

4

1

2

11lim

nx

a. 0 d. 2

b. 1 e.

c. 2

3

14. ....x2x

xtanlim

20x

a. 2 d. 2

1

b. 1 e. 4

1

c. 0

15. ....x

1x2coslim

20x

a. 0 d. 1

b. –2 e. 5

c. 2

16. ....xcosx3

x2sinx4sinlim

0x

a. 4

1 d.

2

3

b. 2

1 e. 2

c. 1

17. Jika 1x

xsinlim

0x

,maka

....

1x

xsinlim

1x

a. 0 d.

1

b. 1 e. 2

c.

18. ...x2cos1

xtanxlim

0x

a. 2

1 d. -1

b. 0 e. 2

c. 2

1

19. ...x2cos1

x3cosxcoslim

0x



a. –2 d. 2

b. 0 e. 3

c. 2

3

20. Nilai ...xtan

xcos1lim

20x

a. 8

1 d. 1

b. 4

1 e. 2

c. 2

1

21. ....x2tanx

1x4coslim

0x

a. 4 d. -2

b. 2 e. -4

c. –1

22. Nilai dari ...cxtan

xb

asin

lim0x

a b

ac d. bc

a

b. c

ab e. ac

b

c. a

bc

Latihan 2

Pilih salah satu jawaban yang paling tepat !

1.

4x2

x2x

2x

8x2lim

22

2x= …

a. 5 d. 9

b. 6 e.

c. 8

2. ...2

3x2x23x2x2lim

22

x

a. 0 d. 2

b. 2

1 e.

c. 22

1

3. ...9x

3x2xlim

23x

a. 3

1 d.

2

1

c. 9

1 e. 0

c. 6

1

4.

...x1x2

x2x54limx

a. d. 5

b. 5

1 e.

c. 2

5.

...x2x3x

x6sin1xlim

23

2

0x

a. -3 d. 1

b. -1 e. 6

c. 0

6. ...x2k2)kxsin(

kxlim

kx

a. -1 d. 2

1

b. 0 e. 1

c. 3

1

7. Nilai

20x x5

x3tan.x2tanlim adalah…

a. 1 d. 5

3

b. 5

1 e. 5

6

c. 3

8. xsin

xx2lim

2

0x

adalah…

a. 3 d. 0

b. 2 e. -1

c. 1

9. Jika 1sin

lim0

y

y

y

maka

)12(4

)1(cos1lim

2

2

1 xx

x

x..

a. 0 d. 1

b. 4

1 e.

c.

10. Jika diketahui 1sin

lim0

x

x

x, maka

...2coscos

lim20

x

xx

x

a. 2

1 d. 2

b. 3

2 e. 1

c. 2

3

11. ...24

543lim

23

23

0

xxxx

xxxx

x

a. 4

3 d.

b. 5 e. 2

3

c. 0

2

1



12. ...32524lim 2

xxxx

a. 2,5 d. 3,5

b. 0 e. -3,5

c.

13. ...lim55

77

tx

tx

tx

a. t d. 2

6

7 t

b. 2t e. 0

c. 2

5

7 t

14. ...sin.

.sinlim

0

dxtgcx

tgbxax

x

a. c

a d. ab

cd

b. d

b e. 0

c. cd

ab

15. ...2sin

)15(cos3lim

0

x

xxctg

x

a. 24

25 d. 12

25

b. 12

25 e.

c. 24

25

16. 32

64lim

5

6

2

x

x

x= …

a. 0 d. 5

24

b. e. 4

c. 5

12

17.

432

348lim

37

27

xx

xxx

x

=…

a. 0 d. 2

b. 2 e. 4

c. 4

3

18. ...3

9lim

9

x

x

x

a. 3 d. 9

b. 3 e. 12

c. 6

19. xx

x

x 2sin.3

7cos1lim

0

=…

a. 6

7 d. 6

7

b. 4

49 e. 6

49

c. 12

49

20. 5)(lim5

xfx

dan 2)(lim5

xgx

maka

...)(

)(2)(3lim

5

xg

xfxg

x

a. 0 d. 8

b. 1 e. 13

c. 6

14.

h

xxhxhx

h

4)(4lim

22

0

=…

a. x2

+ 4x d 2x

b. 2x + 4 e. 2

c. 2x – 4

15. 30

sintanlim

x

xx

x

a. 2

1 d. 4

1

b. 2 e. -2

c. 3

16. Diketahui f(x) = x3

, nilai x

afxaf

x

)()3(lim

0

adalah…

a. 23a d.

29a

b. 23a e.

2a

c.

17.

33

cos21lim

x

x

x

= …

a. 0 d. 2

b. 1 e. 2

c 3

2x x < 0

18. f(x)= -x 0 1 x

x x > 1

diskontinu di x = …

a. 0 d. -1

b. 1 e. -2

c. 2

19. f(x) = 3

273 2

x

x , untuk x 3

ax untuk x = 3

agar f(x) kontinu di x = 3, maka nilai a = ..

a. 1 d. 6

b. 2 e. 18

c. 3

21. ...)1(

12lim

2

33 2

1

x

xx

x

29a



a. 0 d. 7

2

b. 3

1 e. 9

1

c. 5

1

22.

x

x x

x2

2 4

531lim

=…

a. 2e d.

4e

b. 6e e.

2e

c. e

23. ...1

1lim

32

2

xx

x x

a. e d. 3e

b. 2e e.

5e

c. 1

24. Jika 1sin

lim0

x

x

xmaka

tgxx

x

xx 220

2sin2lim =

a. -2 d. 1

b. -1 e. 2

c. 0

25.

...34

)1sin(32lim

21

xx

xx

x

a. 5 d. 2

1

b. 4

5 e. 0

c. 1

26. ...3cos.4

2sin8sinlim

0

xx

xx

x

a. 1 d. 4

33

b. 4

11 e. 5

c. 4

12

27. Nilai 3

)3)(3(lim

3

x

xx

x

adalah…

a. 0 d. 2

b. 1 e. 3

c. 4



8 – Turunan Pengertian Turunan Fungsi

Laju Perubahan Rata – rata.

Misalkan diketahui fungsi y = f (x)

Laju perubahan rata – rata y = f (x) dalam interval

21 xxx

12

12 )()(

xx

xfxf

x

y

Laju Perubahan Sesaat

Kecepatan sesaat pada waktu t = 1t

h

tfhtfVtpadaV

hratarata

hsesaat

)()(limlim 11

001

Definisi Turunan

Misalkan fungsi y = f (x) terdefinisi untuk setiap nilai x di

sekitar x = a.

Turunan dari fungsi f (x) pada x = a:

h

afhafxf

h

)()(lim)(

0

/

Misalkan fungsi y = f (x) terdefinisi dalam daerah asal

RxxD f ` .

Turunan dari fungsi f (x) terhadap x ditentukan oleh

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(

0

/

Bentuk Lain Notasi Turunan.

Notasi Leibniz:

h

xfxxf

dx

dy

dx

df

x

)()(lim

0

Rumus – Rumus Turunan Fungsi Aljabar

[1] kxf )( ……… 0)(/ xf ( k konstanta real)

[2] xxf )( …….. 1)(/ xf

[3] naxxf )( ……….

1/ )( nanxxf (a dan n bilangan

real)

[4] )(.)( xukxf ………… )(.)( // xukxf ( k

konstanta real)

[5] )()()( xvxuxf … )()()( /// xvxuxf

[6] a. )().()( xvxuxf ………

)().()().()( /// xvxuxvxuxf

b. )().().()( xwxvxuxf ..

)().().()(.)().()( /// xwxvxuxwxvxuxf

)().().( / xwxvxu

[7] )(

)()(

xv

xuxf ……

2

///

)(

)().()().()(

xv

xvxuxvxuxf

[8] nxuxf )()( …………..

)(.)()( /1/ xuxunxfn

,(n bilanganreal)

Turunan Kedua, Turunan Ketiga, sampai Turunan

ke–n

Notasi yang digunakan

Turunan pertama

/y atau )(/ xf atau

dx

dy atau

dx

df

Turunan kedua

//y atau )(// xf atau

2

2

dx

yd atau

2

2

dx

fd

Turunan ketiga

///y atau )(/// xf atau

3

3

dx

yd atau

3

3

dx

fd

dst ……………..

Rumus – Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Fungsi f(x) Turunan fungsi )(/ xf

sin x cos x

cos x xsin

tan x x2sec

cot x xec2cos

sec x sec x. tan x

cosec x xxec cot.cos

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Misalkan fungsi f kontinu (sinambung) dalam interval I

dan diferensiabel di setiap titik dalam interval tersebut.

[1] Jika )(/ xf > 0 untuk Ix , maka fungsi )(xf naik

pada I.

[2] Jika )(/ xf < 0 untuk Ix , maka fungsi f (x) turun

pada I.

[3] Jika )(/ xf = 0 untuk Ix , maka fungsi f (x)

stasioner pada I

Catatan:

(1). a). )(/ xf > 0 untuk semua Rx , dikatakan )(xf

selalu naik semua Rx

b). )(/ xf < 0 untuk semua Rx , dikatakan )(xf

selalu turun semua Rx

(2). a). )(/ xf 0 untuk semua Rx , dikatakan )(xf

tidak pernah turun untuk

semua Rx

b). )(/ xf 0 untuk semua Rx , dikatakan )(xf

tidak pernah naik untuk

semua Rx



Latihan 1

1. Persamaan garis singgung pada kurva :

652 23 xxxy di titik yang berabsis 1

adalah:…

a. 5x + y + 7 = 0 d. 5x + y – 7 = 0

b. 5x + y + 3 = 0 e. 3x – y – 5 = 0

c. 5x + y – 7 = 0

2. Fungsi f yang dirumuskan dengan

32435 xxx)x(f turun pada interval..

a. 33

1 x d. 3

1x atau x > 3

b. 3

13 x e. 3

1x atau x > 3

c. 3x atau

3. Diketahui 24

1

x)x(f , maka

t

)x(f)tx(flimt

0 adalah…

a. x8

1 d.

b. 3

8

x e.

32

1

x

c. 3

8

x

4. Nilai stasioner kurva 56 23 xxy adalah…

a. -5 dan 27 d. -5 dan 37

b. -37 dan 5 e. -27 dan 5

c. 0 dan 27

5. Ditentukan xcosxsin

xsin)x(f

dan )x(f 1

adalah turunan pertama dari f(x). Nilai dari

)(f 12

11 adalah…

a. 3

1 d.

2

3

b. 3

2 e. 3

c. 1

6. Akar – akar persamaan 032 ppxx

adalah 1x dan 2x .

Nilai minimum dari 2122

21 2 xxxx dicapai untuk

p = …

a. 16 d. 4

b. 12 e. 2

c. 8

7. Ditentukan kurva dengan persamaan

qpxxy 23 2 , garis y = -5x – 1

menyinggung kurva dititik dengan absis -1.

Maka nilai p = …

a. 2 d. -2

b. 2

1 e. -8

c. 2

1

8. Diketahui fungsi x

x)x(f

62

Turunan pertama fungsi f(x) adalah )x(f 1=..

a. xx

x2

6 d. x

xx

23

1

2

3

b. xx

x2

3 e. x

xx

2

3

2

3

c. xx

x23

1

9. Fungsi f(x) = 142 2 xxx naik pada

interval…

a. 1 < x < 3 d. x < -3 atau x > -1

b. 1 < x < 4 e. x < 1 atau x > 4

c. x < 1 atau x > 3

10. Fungsi 23242 3 xx)x(f dalam interval

13 x memiliki nilai maksimum sama dengan

…

a. 1 d. 41

b. 9 e. 55

c. 39

11. Sebuah roket ditembakkan vertikal keatas, mencapai

tinggi b meter setelah t detik, dirumuskan dengan 25400 tt)t(h

Tentukan tinggi maksimum roket itu…

a. 8000 meter d. 24000 meter

b. 1200 meter e. 36000 meter

c. 1800 meter

12. Diketahui fungsi )x(sin)x(f 322 dan

turunan pertama dari f adalah 1f . Maka )x(f 1

=…

a. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)

b. 2 sin (2x +3) cos (2x + 3)

c. sin (2x + 3) cos (2x + 3)

d. -2 sin (2x + 3 ) cos ( 2x + 3)

e. -4 sin (2x + 3) cos (2x + 3 )

3

1x

32

1

x



13. Jika y = x

cos3

, maka dx

dy = …

a. x

sin3

3 d. x

sinx

332

b. x

sinx

332

e. x

sinx

33

c. x

sinx

33

14. Sketsa garfik fungsi 23 5xxy dinyatakan

seperti gambar dibawah ini. Gradien garis singgung

kurva tersebut di titik P adalah…

P x

a. 1 d. 4

b. 25 e. 27

2500

c. 25

15. Nilai maksimu dari : f(x) = 2 cos 2x + sin x. Untuk

x0 adalah…

a. 2 d. -6

b. 3 e. -12

c. 4

16. Diketahui f(x) = 2

6 2

x

x, x 2 dan

1f adalah

turunan pertama dari f. Nilai )(f 11…

a. -5 d. 3

b. -3 e. 7

c. 2

17. Jika f(x) = 4 + 4 4 3x + 3

3 2x maka nilai

)(f 11…

a. 9 d. 6

b. 8 e. 5

c. 7

18. Diketahui 13

322

x

xy maka

dx

dy adalah…

a.

22

2

13

2186

x

xx d.

22

2

13

2186

x

xx

b.

22

2

13

2186

x

xx e.

22

2

13

21818

x

xx

c.

22

2

13

21818

x

xx

19. Seekor semut merayap pada bidang XOY. Pada saat

berada dititik x(t) dengan x (t) = t2

dan y(t) =

542 tt . Semut itu akan berjarak minimum ke

sumbu X pada saat jarak semut itu dari sumbu y

sama dengan…

a. 2 d. 5

b. 3 e. 6

c. 4

20. Jika x

xy3

12 , maka turunan y terhadap x

adalah..

a. xx

x1

d. xxx 6

11

b. xxx

11 e.

xxx

16

c. xx

x

6

16

21. Bila xxxxx)x(f 3, maka )x(f 1

a. 13

42

2

3 xx

b. 132

3

42

2

3 xxxx

c. 13

3

4

2

3 xxxx

d. 13 xx

e. 13

3

4

2

3 xx

22. Fungsi 1

12

2

x

x)x(f , jenis dan titik ekstrimnya

adalah:…

a. minimium ( -1, 0) c. minimum (0, -1 )

b. maksimum (0, -1) d. maksimum (0, -1)

c. minimum ( -1, 0) dan maksimum (0, -1)

23. 1y adalah turunan pertama dari

xsin

xcosy

4

21 2

maka ...y 1

a. – cosec 2x cot 2x d. sec 2x cosec 2x

b. cosec 2x cot 2x e. ecxcosxtg22

1

c. xcot 22

1

24. Fungsi 13 23

3

54

4

1 xxx)x(f akan

turun pada interval…



a. 0 < x < 2 atau x > 3

b. x < 0 atau 2 < x < 3

c. -3 < x < -1 atau x > 0

d. x < -1 atau 0 < x < 6

e. -1 < x < 0 atau x > 6

25. Koordinat titik balik maksimum dari kurva yang

persamaannya: 403632 23 xxxy

adalah…

a. (3, -12) d. (6, 68)

b. (-3, -13) e. (-2, 4)

c. (2, -116)

26. Apabila garis singgung kurva y = 2x

bax pada (-

1, 1) sejajar garis 4x – y + 65 = 0 maka (a + b ) = …

a. -1 d. 2

b. 0 e. 3

c. 1

27. Jika xxy 43 2 maka yxyyx 22 1112 =

a. -8x d. 0

b. 8x e. 26x

c. 26x

28. Nilai balik maksimum fungsi

842 23 xxx)x(f adalah…

a. 8 d. 20

b. 12 e. 24

c. 16

29. Persamaan garis siinggung kurva 4

12 2 xxy

dititik Q yang tegal lurus garis y = -x + 3 adalah….

a. 12

1 xy d. 2

1 xy

b. 12

1 xy e. 2

1 xy

c. 2

1 xy

30. Turunan dari )x(siny 24 2 adalah…

a. )xsin()x(cosx 223 2216

b. )xcos()x(sinx 223 2216

c. )xcos()x(cosx 223 2216

d. )xsin()x(sinx 223 2216

e. )xcos()x(sinx 223 2216

31. Kurva 793 23 xxx)x(f tak pernah

turun untuk x …

a. 0x d. 3x atau 1x

b. 13 x e. -3 < x < 1

c. 3x atau x 1

32. Jika xsinx)x(f 2432

maka )x(f 1 = ..

a. 6 ( 3x + 4) + 2 cos 2x

b. 2 (3x + 4 ) + 2 cos 2x

c. (3x + 4) { sin 2x + (3x + 4) cos 2x}

d. (3x + 4) { 3 sin 2x + (3x + 4) cos2x}

e. (6x + 8) {3 sin 2x + (3x + 4) cos 2x }

33. xsinxcos)x(f 33 22 maka 6

111f = …

a. – 6 d. 18

b. 0 e. 36

c. 12

34. Jika 2

53 2

x

x)x(f maka )(f)(f 060 1 =

a. 5 d. -3

b. 4 e. -1

c. 3

35. Nilai maksimum fungsi

xcosxsin)x(f 2332

1 )x(2

0

adalah…

a. 34

9 d. 3

4

3

b. 34

7 e. 3

4

1

c. 34

5

36. Persamaan garis singgung pada kurva

3

12xcosy dititik 32

1

4

1 , adalah…

a. 32

1

4

1 xy

b. 32

1

4

1 xy

c. 32

1

8

1

2

1 xy

d. 32

1

4

1 xy

e. 32

1

4

1 xy

37. Grafik fungsi 1033 23 xxx)x(f untuk

x R .

a. Turun pada suatu selang

b. Mempunyai maksimum pada x = 1

c. f(x) mempunyai minimum pada x = 1

d. f(x) mempunyai nilai stasioner pada x = 1

e. semual salah

38. Nilai stasioner fungsi f yang ditentukan oleh f(x) = 4

cos x – 3 sin x + 2 untuk x0 adalah…

a. 7 d. 5

3

b. 5

23 e. -3

c. 2

39. Nilai minimum dari

724683 234 xxxx)x(f pada

22 x adalah…

a. – 42 d. 1

b. – 26 e. 6



c. – 15

40. Turunan pertama dari

xsinxcosxsinxcosy 2222 22 adalah…

a. -2 ( 2 sin 4x + cos 4x)

b. -4 ( sin 4x + cos 4x )

c. -2 ( 2 sin 2x + cos 2x )

d. – 4 ( sin2x + cos 2x )

e. 2 (2 sin 4x – cos 4x )

Latihan 2

1. Apabila 112 x

x)x(f , maka )x(f 1

adalah…

a. 2xx d.

b. e. 22 xx

c. 12 2 xx

2. Jika y = f(x), maka turunan pertama dari y terhadap x

didefinisikan sebagai:

a. h

)x(f)hx(flimh

0

b. x

h)x(flimh

0

c. x

h)x(flimh

0

d. )h(f

)x(f)hx(flimh

0

e. x

)x(f)hx(flimh

0

3. Jika 12 x)x(f , maka:

p

)x(f)px(flimp

0 sama dengan…

a. 0 d. 2x

b. 1 e. 3x

c. 2

4. ...x

)a(f)xa(flimx

0

a. )a(f 1 d. )x(f 1

b. )a(f 1 e. f(a)

c. )x(f 1

5. Jika xcosx

x)x(f 22

13

2

2 , maka

)x(f 1….

a. xsinx

x 21

63 d. xsin

xx 2

16

3

b. xsinx

x 21

63 e. xsin

xx 2

4

13

c. xsinx

x 24

16

6. Jika xsinxy 32 , maka dx

dy…

a. xcosxxsinx 2232

b. xcosxxsinx 3332 2

c. xcosxxsinx 232

d. xsinxxcosx 223

e. xsinxxcosx 332 2

7. Jika 12

x

xy , maka ....

dx

dy

a. d.

22

2

1

1

x

x

b. 222 12 )x(x e.

x

x

2

1 2

c.

22

2

1

13

x

x

8. Bila xsin

xcosy

1, maka ...

dx

dy

a. xcos

xsin

1 d.

xsin

xcos2

1

b. tgx e. xsin

xcos2

1

c. xsin

xcos2

1

9. Turunan pertama fungsi 232 xxcosy

adalah…

a. 231 2 xxsiny

b. 231 2 xxsiny

c. 2321 226 xxsinxxy

d. 2321 226 xxcosxxy

e. 2321 226 xxsinxxy

12 2 xx2 xx

x2

1



10. Turunan pertama dari y = 23xsin sama dengan…

a. 2 sin 3x d. 3 sin 6x

b. sin 6x e. -3 sin 6x

c. 2 cos 3x

11. Turunan pertama dari x

siny1

adalah…

a. cos x d.

b. e. 2

1

x

cosx

c. x

cos1

12. Jika xsin

y1

, maka ....dx

dy

y

1

a. tg x d. cos x

b. –ctg x e. –sin x

c. sin x

13. Jika x

)x(f2

, maka ...)x(xf)x(f 12

a. 0 d. x

b. 1 e. xx

c. x

14. Jika 71045 64 3 xx)x(f , maka

....)(f 11

a. 7 d. 18

b. 10 e. 20

c. 15

15. Jika ditentukan xcosxsin)x(f , maka

....)(f

2

1

a. 0 d. 2

1

b. 1 e. 2

1

e. -1

16. Jika 6

53 2

x

x)x(f maka )(f)(f 060 1

a. 2 d. -1

b. 1 e. -2

c. 0

17. Diketahui 723 2 axx)x(f dan

011 )(f maka ...)(f 21

a. 1 d. 6

b. 2 e. 8

c. 4

18. Diketahui cbxax)x(f 2 dengan

21 )(f , 001 )(f dan 211 )(f .

Fungsi tersebut adalah…

a. 12 x d. 2

12

2

1 xx

b. 322 xx e. 22 xx

c. 322 xx

19. Persamaan garis singgung pada parabola

1225 2 xxy dititik (2, 12) adalah…

a. y = 32 – 22x d. y = 22x – 42

b. y = 22x – 32 e. y = 22x + 32

c. y = 22x – 262

20. Persamaan garis singgung kurva 22 1 xy

dititik dengan absis x = 1 adalah…

a. y = 8x – 4 d. y = 4x

b. y = 8x – 31 e. y = 9x

c. y = x – 1

21. Persamaan garis singgung kurva xy 2 dititik

dengan absis 4 akan memotong sumbu X dititik …

a. (0, 8) d. (-4, 0)

b. (2, 0) e. (4, 0)

c. (-2, 0)

22. Garis singgung terhadap y = xx 23 2 pada titik

aaa 23, 2 dan garis singgung terhadap

xxy 62 2 pada titik aa,a 62 2 sejajar,

maka harga a = …

a. 2

3 d. 2

b. 3

2 e. 1

c. 8

5

23. Grafik fungsi 26 xx)x(f akan naik dalam

interval…

a. x < 0 atau x > 6 d. 2 < x < 6

b. 0 < x < 6 e. x > 6

c. x < 2 atau x > 6

24. Fungsi 23 3xxy turun dalam interval…

a. x > 0 d. 0 < x < 2

b. x > 2 e. x > 3

c. 0 < x < 3

25. Untuk x 0 fungsi 731 xxy adalah…

a. naik pada x < 3 dan turun pada x > 3

b. naik dalam selang x < 3 dan turun pada

x > 7

c. turun pada x < 3 dan naik pada x > 7

d. naik untuk semua nilai x

e. turun pada semua nilai x

xcos

tgx2

2

xsin

1



26. Diketahui x + 3y = 4 dan z = x.y

Harga z akan maksimum apabila:

a. x = 2 dan y = 3

2 d. x = 2

7 dan y = 6

1

b. x = 2 dan y = 3

1 e. x = 2

11 dan y = 9

1

c. x = 2

5 dan y = 2

1

27. Untuk memproduksi x unit baranf perhari diperlukan

biaya x.xx 0003002000 23 rupiah. Jika

barang itu harus diproduksikan, maka biaya produksi

per unit yang paling rendah tercapai bila perhari

diproduksi….

a. 1000 unit d. 3000 unit

b. 1500 unit e. 4000 unit

c. 2000 unit

28. Jika y adalah jarak yang ditempuh dalam waktu t dan

dinyatakan dengan 12 23 ttty , maka

kecepatan menjadi 21 pada wakru t = …

a. 3,0 d. 1,5

b. 2,5 e. 1,0

c. 2,0

29. Reaksi terhadap obat serangga t jam setelah

disemprokan pada tanaman dapat dinyatakan sebagai

bilangan tak negative yang sama dengan 3215 tt .

Reaksi maksimum dicapai..

a. 12 jam sebelum reaksi habis

b. 10 jam sebelum reaksi habis

c. 8 jam sebelim reaksi habis

d. 6 jam sebelum reaksi habis

e. 5 jam sebelum reaksi habis

30. Nilai – nilai stasioner fungsi 4229 xx)x(f

dicapai pada x sama dengan…

a. -1, 0, atau 1 d. -8, 9 atau 3

b. -4 atau 4 e. 8 atau 9

c. -9, 8 atau 9

31. Dua kandang berdampingan ( seperti gambar

dibawah ini )masing – masing dengan ukuran x m, y

m dan luasnya 12 2m

x

y

Agar panjang pagar yang diperlukan

sesedikit mungkin, maka panjang x dan y

berturut – turut adalah…m

a. 2 dan 6 d. 3 dan 4

b. 6 dan 2 e. 32 dan 32

c. 4 dan 3

32. Tentukan letak titik P pada penggal garis OB

sehingga 5

1 panjang AP + 8

1 Panjang PB menjadi

minimum.

A (0, 4

P(x, 0) B(10, 0)

a. 039

15 , d. 039

30 ,

b. 039

20 , e. 039

35 ,

c. 039

25 ,

33. Nilai maksimum dari xxx)x(f 452 23

dalam interval 13 x adalah…

a. 28 d. 12

b. 27 e. 7

c. 19

34. Nilai maksimum dari xpxy 2 adalah 10,

maka nilai p =…

a. 9 d. 18

b. 17 e. 19

c. 10

35. Suatu benda bergerak dengan lintasan

ttt)t(s 223

3

1 maka kecepatan benda

pada saat percepatan nol adalah…

a. 2 d. 5

b. 3 e. 6

c. 4

36. Diketahui f(x)=232 x maka )x(f 11

= ….

a. 2

2

32

9

x

x

b. 222 32329 xxx

c. 222 32329 xxx

d.

22

2

3232

9

xx

x

e.

22

2

3232

9

xx

x



37. Diketahui xcos

xsiny

2

2

, maka =…

a. xcos

xsinxcosxsin4

32

b. xcos

xsinxcosxsin6

32 32

c. xcos

xsinxcosxsin4

32 32

d. xcos

xsinxcosxsin4

32 32

e. xcos

xsinxcosxsin6

32 32

38. Turunan pertama dari : 452 1243 xx)x(F

adalah…

a. )x(xx 2401243342

b. )x()x(x 8301243 342

c. 86181243 2342 xx)x(x

d. 3230361243 2322 xxxx

e. 3230841243 2322 xx)x(x

39. Sebuah garis g dibuat menyinggung kurva 22pxy

pada titik (a, b). Persamaan garis yang melalui (c, d)

dan tegak lurus g adalah ..

a. 4pa(y – d) + (x – c) = 0

b. 2pa(y – d) + (x – c) = 0

c. (y – d) + 4pa (x – d) = 0

d. ( y – d) -4pa (x – c ) = 0

e. ( y – d) – 2pa ( x – c ) = 0

40. Nilai stasioner dari fungsi

101232 23 xxx)x(f adalah…

a. – 17 dan 20 d. 17 dan 20

b. -20 dan 17 e. -10 dan -7

c. -20 dan -17

dx

dy

11.pdf · MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -1 - INSAN CERDAS - KARENA...

Documents

Transcript of 11.pdf · MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 11 LES PRIVAT INSAN CERDAS -1 - INSAN CERDAS - KARENA...