11007-3-926426794679 (2)

STATISTIK II

MATERI :DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRITFAKULTAS/JURUSAN : FE / MANAJEMENSEMESTER/TAHUN AKADEMIK : GANJIL / 2004/2005MODUL/TATAP MUKA KE : 3 (KETIGA)PENYUSUN : YANUAR,SE.,MM.

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS:

Diharapkan mahasiswa mampu:

1. Memahami distribusi probabilitas

2. Mendefinisikan distribusi probabilitas diskrit

3. Mampu melakukan perhitungan rata-rata hitung varian dan standar deviasi dari

distribusi probabilitas diskrit

DAFTAR MATERI PEMBAHASAN

Distribusi Probabilitas Diskrit

a. Pengertian Distribusi Probabilitas

b. Distribusi Probabilitas Binomial

c. Distribusi Probabilitas Hipergeometrik

d. Distribusi Probabilitas Poisson

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB YANUAR, SE. MMSTATISTIK II

MODUL 3 / PERTEMUAN KETIGADISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT

A. Pengertian Distribusi Probabilitas

Distribusi probabilitas menunjukkan hasil yang diharapkan terjadi dari suatu

percobaan atau kegiatan dengan nilai probabilitas masing-masing hasil tersebut. Untuk

memahami bagaimana sebuah distribusi probabilitas disusun dapat dikaji dari contoh

berikut.

Ada 3 orang nasabah yang akan menabung di bank. Jumlah bank di Jl. Meruya, Jakarta

Barat ada 2, yaitu BCA dan BNI. Ketiga orang itu bebas memilih bank tempatnya akan

menabung, mau BCA semua, di BCA dan BNI atau BNI semua. Berikut adalah

kemungkinan dari pilihan ketiga orang tersebut.

Kemungkinan pilihan

Nasabah Jumlah pilihan BNI1 2 3

1 BCA BCA BCA 02 BCA BCA BNI 13 BCA BNI BCA 14 BCA BNI BNI 25 BNI BCA BCA 16 BNI BCA BNI 27 BNI BNI BCA 28 BNI BNI BNI 3

Hasil yang diperoleh disusun distribusi probabilitas sebagai berikut.

Jumlah BNI di pilih

nasabah

Jumlah frekwensi

Total kemungkinan

Distribusi probabilitashasil P(r)

0 1 8 1/8 0,1251 3 8 3/8 0,3752 3 8 3/8 0,3753 1 8 1/8 0,125

Jumlah Total Distribusi Probabilitas 1,000

Dengan distribusi probabilitas hasil P(r) memudahkan kita untuk mengetahui probabilitas

dari kejadian yang bersifat acak atau untung-untungan. Bila ada 3 calon nasabah, berapa

probabilitas ketiganya akan memilih BNI? Dengan distribusi probabilitas dengan cepat

bisa dijawab 0,125. Pada distribusi probabilitas juga bisa dilihat bahwa nilai total distribusi

frekwensi adalah 1,000.

Dalam bentuk grafik poligon, distribusi frekwensi dapat disajikan sebagai berikut.


Distribusi Probabilitas : Sebuah daftar dari keseluruhan hasil suatu percobaan kejadian yang disertai dengan nilai probabilitas masing-masing hasil (event)

a. Variabel Acak (Random): Ukuran hasil suatu percobaan yang bersifat acak.

Contoh:

1. Melempar uang ke udara akan menghasilkan Gambar (G) atau Angka (A)

Bila melempar uang dua kali, gambar bisa muncul 2 kali, 1 kali atau 0 (tidak muncul)

Percobaan melempar uang ke udara = percobaan acak

Nilai hasil yang muncul gambar seperti 2, 1, dan 0 = variabel acak

2. Harga saham di BEJ dapat berubah-ubah dalam hitungan menit. Harga saham BCA

misalnya dibuka pada Rp. 2.475 per lembar, kemudian terjadi fluktuasi antara Rp. 2.350

– Rp. 2.475 dan akhirnya ditutup pada harga Rp. 2.375.

Perubahan harga saham adalah percobaan atau kejadian acak

Nilai harga seperti 2.475, 2.375, 2.350 nilai hasil kejadian = variabel acak

3. PT Moena Jaya Farm menimbang berat setiap semangka yang akan dikirim ke

supermarket. Dari 5 semangka beratnya adalah 3,56 5,73 6,45 4,87 5,38 Kg.

Penimbangan berat = percobaan acak

Nilai berat setiap buah = variabel acak

Variabel acak = hasil ukuran dari percobaan yang bersifat acak

b. Variabel Acak Diskret

Merupakan ukuran hasil dari percobaan yang bersifat acak dan mempunyai nilai

tertentu yang terpisah dalam suatu interval

Merupakan hasil dari perhitungan dan biasanya berupa bilangan bulat

Misalnya: jumlah mobil, jumlah buah, jumlah sepatu, dsb.


c. Variabel Acak Kontinu

Mempunyai nilai yang menempati seluruh interval hasil percobaan

Merupakan hasil dari pengukuran dan bisa berupa bilangan bulat atau pecahan

Misalnya: berat badan, tinggi badan, panjang jalan, lebar sungai, dsb.

a. Distribusi probabilitas diskrit Distribusi binomial, multinomial, Poisson

b. Distribusi probabilias kontinu Distribusi normal, Chi-kuadrat dll

Disamping percobaan tunggal, suatu percobaan mungkin dilakukan secara berulangkali

(berulang-ulang). Tiap-tiap ulangan dalam percobaan dilakukan secara terpisah, yakni

peristiwa dalam suatu percobaan tidak akan mempengaruhi hasil percobaan berikutnya.

Apabila masing-masing percobaan hanya mempunyai 2 kemungkinan peristiwa, misalnya

sukses dan gagal, ya atau tidak, diterima atau ditolak dan probabilitas peristiwa tetap sama

selama percobaan.

Karena hanya dua kejadian, maka dikenal dengan Binomial

Percobaan yang diulang tersebut disebut “Percobaan Bernoulli”.

Ciri-ciri Percobaan Bernoulli:

1. Setiap percobaan atau kegiatan hanya menghasilkan 2 dua kejadian

Percobaan/Kegiatan KejadianMelempar uang ke udara 1. Muncul gambar

2. Muncul angkaTransaksi di Bursa 1. Beli saham

2. Jual sahamPerubahan harga-harga 1. Inflasi

2. DeflasiKelahiran anak 1. Lahir laki-laki

2. Lahir perempuanMenaksir Gadis 1. Diterima

2. Ditolak

2. Probabilitas sebuah kejadian baik sukses maupun gagal tetap bernilai sama

Probabilitas jual saham = 0,8 Probabilitas lahir laki-laki = 0,6

Probabilias beli saham = 0,2 Probabilitas lahir perempuan = 0,4

3. Percobaan bersifat indenpenden

Hasil suatu percobaan tidak mempengaruhi hasil percobaan lainnya


Bila seorang ibu melahirkan bayi perempuan, maka tidak akan mempengaruhi kelahiran

bayi bagi ibu lainnya

4. Data yang dikumpulkan merupakan hasil perhitungan

Percobaan Bernoulli merupakan variabel diskret

B. Pembentukan Distribusi Binomial

Untuk membentuk suatu distribusi binomial diperlukan dua hal:

1. Banyaknya/jumlah percobaan/kegiatan

2. Probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal

Distribusi probabilitas binomial dapat dinyatak sebagai berikut.

Dimana:

P(r) = Nilai probabilitas binomial

p = Probabilitas sukses suatu kejadian dalam setiap percobaan

r = Banyaknya peristiwa sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan

n = Jumlah total percobaan

q = Probabilitas gagal suatu kjadian yang diperoleh dari q = 1 – p

! = Lambang faktorial

Contoh.

1. PT Moena Jaya Farm (MJF) mengirim buah semangka ke Hero supermarket.

Dengan jaminan kualitas yang baik, maka 90% semangka yang dikirim lolos seleksi.

PT MJF setiap hari mengirim 15 buah semangka dengan berat 5-6 Kg.

a. Berapa probabilitas 15 buah diterima?

b. Berapa probabilitas 13 buah diterima?

c. Berapa probabilitas 10 buah diterima?

a. Probabilitas 15 buah diterima

n = 15 p = 0,9

r = 15 q = 0,1


P(r) =

P(r) =

P(15) =

P(15) = 1 x 0,206 x 1

P(15) = 0,206

b. Probabilitas 13 buah diterima dan 2 buah ditolak

n = 15 p = 0,9

r = 13 q = 0,1

P(r) =

P(13) =

P(13) = = x 0,254 x 0,01

P(15) = 0,267

c. Probabilitas 10 buah diterima

n = 15 p = 0,9

r = 10 q = 0,1

P(10) =

P(10) = = x 0,35 x

0,00001

P(10) = 0,01

Jadi probabilitas untuk diterima 15 buah = 20,6%, diterima 13 buah = 26,7% dan

diterima 10 buah = 10,0%

C. Distribusi Probabilias Hipergeometrik

Distribusi binomial mengasumsikan bahwa suatu kejadian tetap. Probabilitas sukses dan

gagal suatu percobaan tetap, karena percobaan Bernoulli menggunakan prinsip

pengembalian


Bila ada 6 buah baju, pada setiap pengambilan probabilitasnya 1/6. Bila menggunakan

prinsip tanpa pengembalian, maka probabilitas pengambilan pertama 1/6, pengambilan

kedua 1/5 dan berikutnya ¼, dst.

1. Tanpa pengembalian, percobaan bersifat tidak indenpenden

2. Nilai probabilitas setiap percabaan berbeda

Untuk percobaan tanpa pengembalian, distribusi binomial tak dapat digunakan

Pada kasus di mana terjadi percobaan tanpa pengembalian pada populasi yang terbatas dan

jumlah sampel terhadap populasi lebih dari 5%, distribusi Hipergeometrik lebih tepat

digunakan.

P(r) =

Di mana:

P(r) : Probabilitas Hipergeometrik dengan kejadian r suksesN : Jumlah populasiS : Jumlah sukses dalam populasir : Jumlah sukses yang menjadi perhatiann : Jumlah sampelC : Simbol kombinasi

Contoh

Dari semua perusahaan yang menjual sahamnya (emiten) di BEJ tahun 2003 yang

membagikan deviden mencapai 33 perusahaan. Dari 33 perusahaan tersebut, 20 perusahaan

berkinerja bagus dan membagikan deviden di atas Rp. 100 per lembar. Sebagai tindakan

pengawasan terhadap emiten, BEJ akan meminta 10 perusahaan memberikan laporan

keuangannya. Berapa dari 10 perusahaan sampel tersebut, 5 perusahaan merupakan

perusahaan yang akan membagikan deviden di atas Rp. 100 per lembarnya?

N = 33 S = 20

n = 10 r = 5

P(r) =

P(r) = = = 0,216

Jadi probabilitas 5 perusahaan sampel akan membagikan saham di atas Rp. 100 per lembar

adalah 21,6%


Pada kasus n < 0,05 N, nilai distribusi binomial hampir sama dengan

distribusi hipergeometrik

D. Distribusi Probabilitas Poisson

Distribusi ini berguna bila p, probabilitas sukses dalam suatu percobaan sangat kecil dan n, banyaknya percobaan sangat besar. Distribusi probabilitas Poisson mendekati distribusi probabilitas binomial bila: n 50 dan p 0,1.Sebagai contoh emiten di BEJ ada 330 (n), probabilitas harga saham naik dalam kondisi

krisis misalnya hanya 0,1 (p), maka berapa probabilitas 5 perusahaan harga sahamnya

meningkat?

P(r) =

P(r) =

Bisa dibayangkan berapa 330! dan 0,9330-5.

Banyak peristiwa yang senada dengan persoalan Poisson seperti kemungkinan kesalahan

pemasukan data, kemungkinana cek ditolak oleh bank, jumlah pelanggan yang harus antri

pada pelayanan rumah sakit, restoran cepat saji atau antrian yang panjang bila ke ancol.

P(r) =

Di mana:

P(r) : Nilai probabilitas distribusi Poisson : Rata-rata hitung dari jumlah nilai sukses, = npe : Bilangan konstan = 2,7183r : Jumlah nilai sukses

Contoh

Jumlah emiten di BEJ ada 150 perusahaan. Probabilitas perusahaan membagikan deviden

hanya 0,1. Bila BEJ meminta laporan dari emiten sebanyak 5 perusahaan, berapa

probabilitas 5 perusahaan tersebut adalah perusahaan yang membagikan deviden?

N = 150 r = 5 p = 0,1

= np = 150 x 0,1 = 15


P(r) =

P(5) = = = 0,002

Jadi probabilitas 5 perusahaan sampel membagikan deviden hanya 0,2%

Soal

1. Barang tertentu yang diproses pada suatu mesin ditemukan mengandung 1% cacat.

Hitunglah probabilitas mendapatkan 0, 1, 2, 3, 4 cacat dalam sampel berukuran 80

butir?

2. PT Ayu Jaya di Jakarta Timur merupakan produsen sepatu dengan merek “Iquana”.

Setiap jamnya dapat dihasilkan 10 buah sepatu. Probabilitas sepatu cacat karena

guntingan, lem dan lain-lain sebesar 20%. Berapa probabilitas minimal 50% dari

jumlah sepatu tersebut tidak cacat ?

3. PT Devanka Multi Abadi sebuah perusahaan percetakan di Ciganjur, Jakarta

Selatan setiap menit dari pabrik dapat dihasilkan 15 buku dengan 12 buku dalam

kondisi baik dan 3 rusak. Untuk meneliti mutu buku, maka setiap menit diambil sampel

sebanyak 5 buku atau 33,33%. Berapa probabilitas dari 5 buku yang dijadikan sampel

4 buku dalam kondisi baik (tidak rusak) ?


11007-3-926426794679 (2)

Documents

Transcript of 11007-3-926426794679 (2)