Bagian 1Sistem Bilangan

Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan, menggambar fungsi pada koordinat kartesius, menghitung nilai mutlak, dan menghitung jari-jari dan pusat lingkaran. Materi pada bagian 1 ini merupakan pengulangan dari pelajaran Matematika yang Anda peroleh dari SMU dulu. Untuk itu perlu diingat kembali materi mengenai sistem bilangan yang telah Anda pelajari. Selain itu materi pada bagian 1 ini merupakan batu loncatan untuk mempelajari materi selanjutnya dari mata kuliah Matemarika Teknik I, untuk itu Anda harus menguasai bagian ini dengan sempurna agar tidak menemui kesulitan dalam mempelajari materi selanjutnya. Kompetensi yang diharapkan setelah Anda menyelesaikan bagian 1 Sistem Bilangan adalah Anda akan mampu : 1. Menyebutkan jenis bilangan dan membuat masing-masing 3 contoh. 2. Menghitung bilangan mutlak 3. Menuliskan himpunan penyelesaian pada selang bilangan 4. Membuat lukisan grafik pada koordinat kartesius 5. Menghitung jarak, jari-jari, dan pusat lingkaran

1.1 Bilangan dan Ketidaksamaan

Terdapat 5 jenis bilangan dasar yang kita kenal dalam ilmu Matematika, yaitu : 1. Bilangan Asli : 1, 2, 3, ... dst. 2 Bilangan Bulat : ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... dst. 3 Bilangan Rasional : -3/2, -1/2, 1/5, 1/100, ... dst. 4 Bilangan Riil : -3/2, -1, 0, 2, 1/20, ... dst. 5 Bilangan Kompleks : 2 + 3i, 4 + i, 5 + 10i, ... dst. Dengan i = √-1 Jika kelima jenis bilangan tersebut digambarkan dalam bentuk diagram venn, maka dapat kita lihat dalam Gambar 1 berikut.

5

4

3

2

1

Gambar 1.1 Diagram Venn untuk 5 jenis bilangan dasar

Matematika Teknik 1\Sistem Bilangan 1

Selain kelima jenis bilangan, terdapat satu jenis bilangan lagi, yaitu bilangan Irrasional, seperti contoh 2 , 5 , 10 , ...dst. Dalam penggunaannya, sering kita menyatakan sebuah bilangan dalam suatu garis lurus yang disebut dengan selang bilangan atau interval. Jadi jika kita ingin menampilkan sekelompok bilangan pada selang bilangan, kita dapat menuliskannya seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 2 berikut.

Gambar 1.2 Penulisan bilangan pada selang bilangan

Untuk menyatakan suatu bilangan lebih besar atau lebih kecil dari bilangan yang lain digunakan tanda ketidaksamaan yang mempunyai lambang < atau >. Tata cara penulisan dan cara membaca pertidaksamaan dapat dilihat dalam Tabel 1.1 di bawah ini. Tabel 1.1 Penulisan tanda pertidaksamaan dan cara membacanya

Penulisan matematika Cara membaca Tampilan pada selang bilangan

a < b atau b > a a di kiri b

a ≤ b atau b ≥ a a di kiri b atau a = b

a < 0 atau o > a a di kiri batas 0

a < b < c a di kiri b dan

b di kiri c

Jika bilangan a, b, c dan d adalah bilangan riil, maka akan berlaku :

i. jika a < b dan b < c maka a < c ii. jika a < b maka a + c < b + c dan a – c < b – c iii. jika a < b maka ac < bc jika c positif dan ac > bc jika c negatif iv. jika a < b dan c < d maka a + c < b + d v. jika a dan b keduanya positif atau keduanya negatif dan a < b maka 1/a > 1/b Contoh 1.1 Selesaikan pertidaksamaan 7 ≤ 2 – 5x < 9 dan buatlah himpunan penyelesaiannya (HP).

Penyelesaian :

5 ≤ - 5x < 7

-1 ≥ x > - 7/5

-7/5 < x ≤ -1 ..............................................HP. {x : -7/5 < x ≤ -1)

Matematika Teknik 1\Sistem Bilangan 2

Contoh 1.2 Selesaikan pertidaksamaan x2 – 3x >10 dan buatlah himpunan penyelesaiannya (HP). Penyelesaian : x2 – 3x >10

x2 – 3x – 10 > 0

(x + 2)(x – 5) > 0

titik uji x = -3 (-≈ , -2) +

titik uji x = 0 (-2 , 5) -

titik uji x = 6 (5 , +≈) +

Titik uji yang bernilai positip menunjukkan daerah himpunan penyelesaian. Jadi HP. { x : x < - 2, x >5}. Berdasarkan 2 contoh di atas, kita dapat menyatakan bahwa himpunan penyelesaian dari sebuah pertidaksamaan dapat ditentukan langsung dengan menyederhanakannya. Cara lain adalah membuat titik uji. Titik uji yang dipilih ditentukan berdasarkan rentang nilai x yang diperoleh dari penyelesaian persamaan.

Latihan Soal 1.1

Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. 5 < x – 3 < 13

2. 7 > x – 2 > 4

3. x2 – 3x > - 2

4. x2 – 5 < 6x

5. x2 + 8x + 16 > 0

6. x2 + 2x > 3

1.2 Selang (Interval)

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, selang (interval) digunakan untuk melukiskan posisi sebuah bilangan dalam garis horizontal. Posisi ini penting untuk menjelaskan kedudukan suatu bilangan dengan bilangan yang lain. Dalam pemanfaatannya, selang bilangan ini juga dipakai untuk melukiskan posisi suatu himpunan penyelesaian. Hubungan antara notasi selang, notasi himpunan

Matematika Teknik 1\Sistem Bilangan 3

-7/5 -1

penyelesaian, pengertian geometrik, dan klasifikasinya diperlihatkan dalam Tabel 1.2 di bawah ini.

Contoh 1.3 Selesaikan pertidaksamaan 7 < 2 – 5x < 9 dan nyatakan dalam selang bilangan Penyelesaian : 7 < 2 – 5x < 9

5 < - 5x < 7

-1 > x > - 7/5

-7/5 < x < -1

..............................................HP. {x : -7/5 < x < -1)

Tabel 1.2 Notasi selang dan klasifikasinya

Notasi Interval

Notasi Himpunan Geometrik Klasifikasi

[a,b] {x : a ≤ x ≤ b} Tertutup

(a,b) {x : a < x <b} Terbuka

[a, b) {x : a ≤ x < b} ½ terbuka

½ tertutup

(-≈, b] {x : x ≤ b} Tertutup

(-≈, b) { x : x < b} Terbuka

[a, +≈) {x : x ≥ a } Tertutup

( a, +≈) {x : x ≥ a } Terbuka

(-≈ , + ≈) {x : x bil. R)

Tertutup dan

terbuka

Contoh 1.4 Selesaikan pertidaksamaan x2 – 3x >10 dan nyatakan dalam selang bilangan Penyelesaian :

x2 – 3x >10

x2 – 3x – 10 > 0

(x + 2)(x – 5) > 0

titik uji x = -3 (-≈ , -2) + titik uji x = 0 (-2 , 5) -

Matematika Teknik 1\Sistem Bilangan 4

titik uji x = 6 (5 , +≈) + ............................................................................................HP. { x : x < 2, x >5}

Contoh 1.5

Selesaikan pertidaksamaan 252

−−

xx < 1 dan nyatakan dalam selang bilangan

Penyelesaian :

252

−−

xx

< 1

252

−−

xx

- 1 < 0

)2()2()52(

−−−−

xxx

< 0

)2()3(

−−

xx

< 0

titik uji x = 0 (-≈ , -2) + titik uji x = 2, 5 (2 , 3 ) - titik uji x = 4 (3 , +≈) + .................................................................HP. { x : 2 < x < 3}

Latihan Soal 1.2 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! Untuk setiap soal berikut, buatlah himpunan penyelesaian dan nyatakan dalam selang bilangan. 1. 3 < x – 3 < 13

2. 5 > x – 2 > 4

3. x2 – 3x > - 5

4. x2 + 5 < 4x

5. x2 + 8x + 16 > 0

Matematika Teknik 1\Sistem Bilangan 5

1.3 Nilai Mutlak

Nilai mutlak bilangan riil adalah a jika a berharga lebih besar dari nol dan berharga negatif a jika a lebih kecil dari nol, atau dinotasikan :

a jika a ≥ 0

| a | =

-a jika a < 0

sehingga -| a | ≤a ≤ | a |

Contoh 1.6

| -4/7 | = -(-4/7) = 4/7

Contoh 1.7

Selesaikan persamaan bilangan mutlak : | x – 3| = 4 dan buatlah himpunan penyelesaiannya

Penyelesaian :

│X – 3│ = 4

x – 3 = 4 atau x – 3 = - 4

x = 7 x = -1

Nilai x = 7 dan x = - 1 yang kita peroleh bukan himpunan penyelesaian. Untuk menentukan himpunan penyelesaian kita perlu mengecek terhadap selang diantara nilai x yang didapat dengan menggunakan titik uji. Titik uji yang dipilih dimasukkan dalam persamaan nilai mutlaknya. Selang uji Titik uji Perhitungan Tanda

- ≅ sampai x = - 1 X = - 2 │-2 – 3 │= 5 salah

X = - 1 benar

- 1 < x < 7 X = 0 salah

X = 7 sampai ≅ X = 7 benar

X = 10 salah

Teorema 1. Untuk sembarang bilangan Riil a :

2a = | a |

Teorema 2. Jika a dan b bilangan riil, maka :

- |-a| = | a |

|ab| = | a | | b |

Matematika Teknik 1\Sistem Bilangan 6

|a/b| = | a | / | b |

Teorema 3. Rumus jarak antara A – B dengan koordinat a dan b :

d . | b-a |

Contoh 1.8

Selesaikan persamaan nilai mutlak | 3x – 2 | = | 5x + 4 | dan buatlah himpunan penyelesaian. Penyelesaian : 3x – 2 = 5x + 4 atau 3x-2 = -(5x+4)

x = -3 x = -1/4

Contoh 1.9

Selesaikan pertidaksamaan nilai mutlak 32[

1−x

> 5 dan buatlah himpunan

penyelesaiannya. Penyelesaian : | 2x-3 | < 5

| 2(x-3/2 ) |<5

| 2 || x-(3/2) | < 1/10

atau –1/10 < (x-3/2)<1/10

7/5 < x < 8/5 ..............................HP. {7/5,3/2)U{3/2,8/5)

Latihan Soal 1.3 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! Untuk setiap soal berikut, buatlah himpunan penyelesaian dan nyatakan dalam selang bilangan. 1. 453 =+x

2. 453 ≤+x

3. 2253 −=+ xx

4. 253

2≥

+x

5. 233 2 =+−+ xx

Matematika Teknik 1\Sistem Bilangan 7

1.4 Bilangan, Koordinat, dan Grafik

Sebuah bilangan atau koordinat dapat digambarkan dalam sebuah bidang 2

sumbu y

kuadran II (-,+) kuadran I (+,+)

ran IV (+,-)

Gambar 1.2 Sistem koordinat kartesius

Contoh1.10

dimensi. Sumbu x menyatakan garis horizontal dan sumbu y menyatakan garis vertikal. Sistem koordinat seperti itu disebut dengan sistem koordinat kartesius.

0 kuadran III (-,-) kuad

ik fungsi y = x2 pada koordinat kartesius

enyelesaian :

Nilai x - 3 - 2 - 1 0 1 3

Lukislah graf P

Nilai y 9 4 1 0 1 9

= x2

Selain dapat menggambar dalam bidang 2 dimensi, kita juga dapat mengambar fungsi dalam bidang 3 dimensi. Ada tiga sumbu yang dipakai dalam menggambar

y

Matematika Teknik 1\Sistem Bilangan 8

bidang tiga dimensi, yaitu sumbu z, sumbu x, dan sumbu y. Posisi ketiga sumbu tersebut mengikuti kaidah tangan kanan.

ontoh 1.11

C ukislah graf tiga dimensi

maka z = 4 lai z = 0, y = 0

a x = 1

ositif

atihan Soal 1.4

L ik fungsi z = 4 – 4x-2y pada bidang

y = 0 Jika nilai x = 0, z = 0 maka y = 2

Jika nimak

Penyelesaian : Jika nilai x = 0,

sb y

p negatif

slope slope

L Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri

jakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis

Untuk setiap soal berikut, gambarkan fungsi pada bidang koordinat.

mengeruntuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!!

Matematika Teknik 1\Sistem Bilangan 9

1. xy = pada bidang koordinat kartesius

2. y = x + 6 dan y = x2 pada bidang koordinat kartesius

nsi

.5 Jarak, Lingkaran, dan Persamaan Garis y = ax2 + bx + c

1 1 1 2 yang mempunyai koordinat (x2, y2) seperti yang diperlihatkan dalam Gambar di bawah ini,

ngan menggunakan persamaan :

3. y = x2 + 2 pada bidang koordinat kartesius

4. z = 3 + 3x – 9y pada bidang koordinat 3 dimensi

5. x = 4 + z – 2x pada bidang koordinat 3 dime

1

Jarak Jarak antara titik P yang mempunyai koordinat (x , y ) dengan titik P

dapat dihitung de

])()[( 212

212 yyxx −+−

Jarak tersebut dihitung b rdasarkan teorema phytagoras a2 + b2 = c2.

ontoh 1.12

e

C titik P yang

mempunyai koordinat (10,1) Hitunglah jarak antara titik Q yang mempunyai koordinat (3,4) dan

Penyelesaian :

58949)41()310()()( 22 =−+−= yyxxd

221212 =+=−+−

Contoh 1.13

Hitunglah jarak antara titik-titik yang diperlihatkan dalam Gambar di bawah ini

Matematika Teknik 1\Sistem Bilangan 10

Penyelesaian :

D(AB) =

Sb. y

Sb. x

A (4,6)

C (7,5)

B (1,-3)

90

D(AB) = 10 ...................................... D(AB) = 10

Lingkaran Jari-jari lingkaran yang mempunyai titik pusat di (x0,y0) dapat dihitung dengan

persamaan : menggunakan

])()[( 22 yyxx −+−= 00

R2

02

02 )y-(y )x-(x R +=

(xo,yo)

(x,y)

Matematika Teknik 1\Sistem Bilangan 11

Contoh 1.14 sat lingkaran persamaan x2 + y2 – 8x + 2 y + 8 = 0

Persamaan y = ax2+bx +c :

ris bisa membuka ke atas atau membuka ke

i kurva tersebut dapat dilihat dalam Gambar berikut.

atihan Soal 1.5

Tentukan jari-jari dan pu

Bentuk kurva dari persamaan gabawah. Bentuk tersebut sangat tergantung kepada berapa nilai a. Jika a bernilai positip, kurva akan membuka ke atas. Jika a bernilai negatif, kurva akan membuka ke bawah. Lukisan dar

Matematika Teknik 1\Sistem Bilangan 12

L

Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri

jarak antara titk P yang mempunyai koordinat (10,2) dan titik Q yang

Setelahmengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. Hitunglah

mempunyai koordinat (-1, 3) 2. Hitunglah jarak antara tiap titik dari tiga titik A, B, dan C yang masing-masing

mempunyai koordinat (-1,-1), (13,17), dan (5,-1) 3. Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran dari persamaan lingkaran 2x2 + 2 y2 +24 x

–81 = 0

Sb. y

Sb. xy = ax2 + bx + c

a > 0