1. Linier Prog.-1

73
1

Transcript of 1. Linier Prog.-1

Page 1: 1. Linier Prog.-1

1

Page 2: 1. Linier Prog.-1

2

TujuanTujuan utama suatu usaha bisnis : memaksimumkan laba atau meminimumkan biaya. - Untuk itu,pasti usaha itu memiliki berbagai kendalakendala s.d Baik tujuan maupun kedala pada umumnya dalam kondisi deterministik. -Suhubungan dengan itu, Linier Programming (LP) memberikan solusi dalam pengambilan keputusan usaha bisnis tsb. -Linier programming adalah suatu teknik atau cara yang membantu dalam keputusan mengalokasi sumberdaya yang dimiliki perusahaan. -Sumberdaya tersebut meliputi misalnya, mesin-mesin, tenaga kerja, uang, waktu, kapasitas gudang (ruangan), material , dll., yang akan digunakan untuk memproduksi barang (sandang, pangan, papan, dll) atau jasa (rencana pengiriman dan produksi, keputusan investasi, kebijakan advertensi, dll)

PENDAHULUAN

Page 3: 1. Linier Prog.-1

3

Persyaratan Yang Diperlukan Dalam L P :

1. Perusahaan mempunyai tujuan,yaitu memaksimumkan laba atau miminimumkan biaya

2. Perusahaan mempunyai kerterbatasan atau kendala sumberdaya dalam mencapai tujuan.

3. Perusahaan mempunyai keputusan atau kegiatan alternatif, salah satu diantaranya dipakai atau dipilih untuk mencapai tujuan.

4. Tujuan dan kendala dinyatakan dalam hubungan persamaan ( = ) dan pertidaksamaan ( < / > ) matematik yang linier.

Page 4: 1. Linier Prog.-1

4

Beberapa Asumsi Yang Berlaku Dalam LP :1.Kondisi-kondisi bisnis dalam perusahaan dalam kepas-tian dimana nilai-nilai, jumlah-jumlah dalam fungsi tujuan dan kendala diketahui dengan pasti (deterministik), tidak berubah selama periode analisis.2.Hubungan dalam fungsi tujuan dan kendala adalah proporsional dalam bentuk matematik yang linier, contoh : L = 10 X jika X = 2, maka L = 20 jika X = 4, maka L = 40 M < 60X jika X = 2, maka M < 120 jika X = 5, maka M < 3003.Bentuk fungsi tujuan dan kendala besifat aditivity, artinya jumlah total nilai kegiatan = penjumlahan dari nilai-nilai kegiatan individu : L = $3 X1 + $5 X2 Jika X1 = 10 dan X2 = 20, maka L = $3(10) + $5(20) = $ 130.4.Barang dan jasa yang dihasilkan (variabel keputusan) harus positif bukan negatif (non negatively) paling tidak nol (tidak menghasilkan) X1,X2 > 0

Page 5: 1. Linier Prog.-1

5

Sejarah Linier Program

-LP telah dikembangkan sebelum perang dunia II oleh matematika-wan Rusia, A.N. Kolmogorov dan Leonid Kantorovic penerima nobel “Optimasi Perencanaan”-Dalam aplikasi berikutnya LP dikembangkan oleh Stigler (1945) dalam persoalan Diit (kesehatan). -Perkembangan berikutnya (1947),George D.Dantzig me-ngembang kan solusinya dengan metode simplex. Jasa Dantzig ini luar biasa sehingga kita kenal sampai sekarang dengan istilah “Linier Programming”. Dia seorang matematikawan di Angkatan Udara Inggris menjabat sebagai kepala Pengendali Analisis Perang Angkatan Udara. Saat itu militer memerlukan sekali program perencanaan latihan militer, pemasokan peralatan dan amunisi, penempatan unit-2 tempur. Dantzig memformulasikan sistem pertidaksamaan linier-Setelah perang dunia II aplikasi dalam dunia bisnis luar biasa, misalnya dalam usaha pengolahan, jasa, pertanian, dll. -Tahun 1984 N.Karmarkar mengembangkan model yang lebih su-perior dari metode simplex utk berbagai aplikasi yg lebih luas.

Page 6: 1. Linier Prog.-1

6

Model FormulasiModel LP berisikan beberapa komponen dan karakteristik ttt.Komponen adalah Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala, didalam-nya terdapat Variabel Keputusan dan Parametrer.Variabel Keputusan adalah simbul matematik dari kegiatan yang dilakukan /dibuat/diproduksi oleh perusahaan, misalnya : X1 = jml. Meja, X2 = jml.Kursi dan X3 = jml tempat tidur yang diproduksiParameter adalah nilai-nilai di depan variabel keputusan yang pada dasarnya sudah diketahui. Fungsi Tujuan merupakan hubungan matematika linier yang menggambarkan tujuan perusahaan baik memaksimum-kan laba atau meminimumkan biaya untuk membuat var. keputusan.Fungsi Kendala juga merupakan hubungan linier antar variabel kepu tusan yg menggambarkan keterbatasan sumber-daya. Misalnya, keterbatasan dlm. jumlah Tenaga Kerja utk memproduksi Meja sebesar 40 jam/hari.Nilai-nilai Konstanta dalam fungsi tujuan atau kendala juga merupukan parameter.

Page 7: 1. Linier Prog.-1

7

Sebuah industri XYZ berkecimpung dalam proses produksi dua macam produk, yaitu produk A dan B. Kedua produk tesebut dapat dijual masing-masing dengan harga Rp 3000,- per unit. Dalam proses produksinya diperlukan tiga macam departemen, yaitu Departemen P yang memiliki 3 unit mesin tipe P, Departemen Q memiliki 6 unit mesin tipe Q dan Dep. R memiliki 9 unit mesin tipe R. Lama waktu pemakaian mesin mesin tersebut berbeda untuk setiap produk.Produk A memerlukan waktu 2 jam untuk proses produksinya pada mesin tipe P, kemudian 2 jam pada mesin tipe Q dan 4 jam pada mesin tipe R. Sedangkan untuk produk B memerlu-kan waktu 1 jam pada mesin tipe P, kemudian 3 jam pada mesin tipe Q dan 3 jam pada mesin tipe R.

Persoalan maksimasi . contoh : perusahaan xyz

METODE GRAFIK

Page 8: 1. Linier Prog.-1

8

Lamanya waktu mesin-mesin tersebut beroperasipun sangat terbatas, yaitu mesin tipe P beroperasi selama 10 jam per hari per mesin, mesin tipe Q dapat beroperaasi 10 jam per hari per mesin dan mesin tipe R beroperaasi selama 8 jam per hari per mesin. - Rumuskan persoalan tsb. dalam model program linier (formula matematika) ! - Gambarlah persoalan LP tersebut dan Hitunglah berapa produk A dan B harus dijual sehingga penerimaannya maksimal

Page 9: 1. Linier Prog.-1

9

Dari contoh persoalan LP di atas, dapat diringkas pada tabel berikut :

Sd A B Kap.P 2 1 < 30Q 2 3 < 60R 4 3 < 72

Harga 3000 3000Kemudian dengan lebih mudah dapat disusun formulasi matematisnya :

Max. TR = 3000A + 3000BStc. P : 2A + B < 30 Q : 2A + 3B < 60 R : 4A + 3B < 72 A , B > 0

Page 10: 1. Linier Prog.-1

Max. TR = 3000A + 3000BStc. P : 2A + B < 30 Q : 2A + 3B < 60 R : 4A + 3B < 72 A , B > 0

R : 4A + 3B < 72

B < 24 -- -

Q : 2A + 3B < 60

B < 20 – 2/3A

GAMBAR FUNGSI KENDALA

B < 30 – 2A

P : 2A + B < 30Jika A = 0 , maka B = 30

Jika B = 0 , maka A = 15

10

Page 11: 1. Linier Prog.-1

••

TR = 3000A + 3000B B = TR/3000 - A

0 = 3000(0) + 3000(0)45000 = 3000(15) + 3000(0)

60000 = 3000(0) + 3000(20)63000 = 3000(9) + 3000(12)

> 66000 = IMPOSIBLE66000 = 3000(6) + 3000(16)

FISIBLE AREA dan ISO REVENUE

Solusi : Produk A = 6 unit Produk B = 16 unit TR = $ 66000

Evaluasi Sumberdaya :P : 2(6) + 1(16) = 28 jam sisa 2 jamQ : 2(6) + 3(16) = 60 jam persisR : 4(6) + 3(16) = 72 jam persis

B

A

Metode Grafik / Maksimasi

P

Q

R

11

Page 12: 1. Linier Prog.-1

A •

B •

C •

D •

KEPUTUSAN BERALTERNATIF

1) Antara titik A dan B2) Antara titik B dan C3) Antara titik C dan D

12

Page 13: 1. Linier Prog.-1

Variabel Slack- Ingat bahwa solusi terjadi pada titik ekstrim, di mana garis pertidaksamaan kendala berpotongan satu sama yang lain atau berpotongan dengan sumbu pada grafk. Jadi dalam hal ini, kendala-kendala tersebut lebih diper-timbangkan sbg. persamaan daripada pertidaksamaan.

- Prosedur baku untuk merubah pertidaksamaan kendala menjadi persamaan, adalah dengan menambah sebu-ah variabel baru ke dalam masing-masing kendala, yang disebut sebagai variabel slack.

- Untuk contoh perusahaan XYZ di muka, model kendala adalah :P : 2A + B < 30Q : 2A + 3B < 60R : 4A + 3B < 72

13

Page 14: 1. Linier Prog.-1

- Penambahan sebuah variabel slack,S1 pada kendala P, S2 pada kendala Q dan S3 pada kendala R hasilnya dapat dilihat sbb. :

C- Variabel slack S1, S2 dan S3 merupakan nilai yang diperlukan untuk membuat sisi sebelah kiri persamaan menjadi sama dengan sisi sebelah kanan. Misalnya secara hipotetis, A = 9 dan B = 10. Masukkan kedua nilai itu kedalam persamaan :

P : 2(9) + 10 + S1 = 30 S1 = 2 Q : 2(9) + 3(10) + S2 = 60 S2 = 12 R : 4(9) + 3(10) + S3 = 72 S3 = 6

14

Page 15: 1. Linier Prog.-1

- Dalam contoh di atas, menghasilkan solusi yang tidak menghabiskan jumlah sumberdaya. Pada kendala P hanya menggunakan 28 jam, berarti sisa 2 jam yang tidak digunakan.

- Jadi S1 merupakan jumlah waktu yang tidak digunakan pada sumberdaya P atau disebut slack P. Demikian juga pada kendala Q dan R masing-masing mempunyai slack Q dan slack R sebagai sisa 12 jam dan 6 jam yang tidak digunakan.

- Jika perusahaan belum melakukan kegiatan produksi, maka seluruh kapasitas sumberdaya masih utuh, slacknya masing-masing sebesar 30, 60 dan 72 jam

15

Page 16: 1. Linier Prog.-1

Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan dari contoh adalah : TR = 3000 A + 3000 B. Koefisien 3.000 dan 3.000, masing-masing merupakan kontribusi TR setiap produk A dan produk B. Lalu, apa wujud kontribusi variabel slack S1 dan S2 ?.Variabel slack tidak mempunyai kontribusi apapun terhadap TR sebab variabel slack merupakan sumber-daya yg tidak digunakan. TR dicapai hanya setelah sumberdaya digunakan dalam proses produksi. Dengan demikian variabel slack dalam fungsi tujuan dapat ditululis parameter 0 , sbb : TR = 3000A + 3000 B + 0S1 + 0S2 + 0S3

16

Page 17: 1. Linier Prog.-1

Seperti halnya pada variabel keputusan (A dan B), va-riabel slack bernilai non-negative, sebab tidak mungkin sumberdaya itu negatif. Oleh karenanya, model formulasinya : A, B , S1, S2 dan S3 > 0Dengan adanya varibel slack, model LP baku secara lengkap dapat ditulis sbb.: Maksimumkan : TR =3000 A + 3000 B+ 0S1+ 0S2 +0S3 Kendala 2A + B + S1 = 30 2A + 3B + S2 = 60 4A + 3B + S3 = 72 A, B , S1, S2 dan S3 > 0

17

Page 18: 1. Linier Prog.-1

• B

A = 0B = 20TR = 60000S1 = 10S2 = 0S3 = 12

•C

A = 6B = 16TR = 66000S1 = 2S2 = 0S3 = 0

•D

A = 9B = 12TR = 63000S1 = 0S2 = 6S3 = 0

E •

A = 15B = 0TR = 45000S1 = 0S2 = 30S3 = 12

Max. TR = 3000 A + 3000B Kendala : 2A + B + S1 < 30 2A + 3B + S2 < 60 4A + 3B + S3 < 72 A, B , S1, S2 dan S3 > 0

18

Page 19: 1. Linier Prog.-1

Perusahaan ini memproduksi dua macam produk, yaitu Me-ja dan Kursi, dimana dalam proses produksinya harus me-lalui dep. Assembling dan Finishing.Departemen assem-bling tersedia waktu 60 jam, sedangkan departemen finis-hing dapat menangani hingga sampai 48 jam kerja. packing .Untuk membuat sebuah kursi diperlukan waktu 2 jam pada assembling dan 4 jam pada fininshing.untuk memebuat sebuah meja diperlukan waktu 4 jam di ddepartemen assamabling dan 2 jam didepartemen finishing

Jika Laba setiap satu meja sebesar $ 8 dan setiap satu kursi $ 6, persoalan yang dihadapi perusahaan BW adalah menentukan banyaknya produksi meja dan kursi yang ter-baik, dan menjualnya sedemikian rupa sehingga mempero-leh laba maksimum.

19

Contoh lain : Persoalan Perusahaan BW

Page 20: 1. Linier Prog.-1

Informasi tentang persoalan perusahaan BW seperti dikemukakan di atas, dapat disajikan dalam tabel berikut ini :

20

SumberdayaJam yg diperlukan

per unit Meja /Kursi X 1 X2

Jml jam yg tersedia

Assembling Finishing

4 2 2 4

6048

Laba per unit $ 8 $6

X1 = mejaX2= Kursi Maksimumkan : L = 8 X1 + 6 X2

Kendala : 4 X1 + 2 X2 < 60 2 M + 4 K < 48

Page 21: 1. Linier Prog.-1

SumberdayaJam yg diperlukan

per unit Meja /Kursi X 1 X2

Jml jam yg tersedia

Assembling Finishing

4 2 2 4

6048

Laba per unit $ 8 $6

X1 = mejaX2= Kursi

21

Page 22: 1. Linier Prog.-1

4 M + 2 K < 602 M + 4 K < 48(12, 6)

A•

• B

•C

D •

Solusi AM = 0K = 0L = 0SA = 60SF = 48

Solusi BM = 0K = 12L = 72SA = 36SF = 12

Solusi CM = 12K = 6L = 132SA = 0SF = 0

Solusi DM = 15K = 0L = 120SA = 0SF = 18

K

M

Keputusan:Jml Meja yang diproduksi sebanyak : 12 unitJml kursi yang diproduksi sebanyak : 6 unitLaba = $8(12) + $6(6) = $ 132Penggunaan Sumberdaya :Assembling : (4x12)+(2x6) = 60 unit (persis)Finishing : (2x12)+ (4x6) = 48 unit (persis)

22

Page 23: 1. Linier Prog.-1

Untuk Titik C : 4M + 2K = 60 →x1 = 4M + 2K = 60 2M + 4K = 48 →x2 = 4M + 8K = 96 ―

― 6K = ―36K = 6M = 12

Atau4M + 2K ― 60 = 2M +4K ― 482M ― 2K = 12M = 6 + K4M + 2K = 604(6 + K) + 2K = 60K = 6M = 12

23

Page 24: 1. Linier Prog.-1

Latihan :

Sebuah perusahaan membuat dua macam produk (A dan B) dari dua sumberdaya SD1 dan SD 2. Jika perusahaan berhasil membuat produk tersebut, perusahaan akan mem-peroleh laba sebesar $ 8 (prodk A)dan $ 4 (produk B). Untuk membuat kedua produk tersebut setiap satu produk A yang diproses di SD 1 diperlukan waktu sebanyak 4 jam ,sedang untuk setiap satu produk B dibutuhkan waktu 5 jam, sedangkan SD 1 hanya tersedia waktu 20 jam. Pada SD 2,setiap satu produk A yang diproses diperlukan waktu sebanyak 2 jam,sedang untuk setiap satu produk B dibutuhkan waktu 6 jam, sementara SD 2 terbatas waktu sebanyak 18 jam saja.Saudara sebagai manajer RO, diminta untuk menyusun persoalan ini dalam bentuk LP untuk menentukan jumlah kedua produk yang akan dibuat .Selesaikan persoalan ini dengan metode grafik. 24

Page 25: 1. Linier Prog.-1

25

Contoh SoalSebuah perusahan membuat bahan pelarut A dan B, yang menggunakan bahan Minyak tanah (MT), Damar (D) dan Spiritus (S). Biaya bahan pelarut A sebesar Rp 80,- dan bahan pelarut B sebesar Rp 100,-.Masing-masing bahan campurannya (MT,D dan S) minimal dibutuhkan sebanyak 24 liter Minyak Tanah, 20 Kg Damar, dan 24 liter spiritus. Untuk setiap bahan A dibutuhkan Minyak Tanah seba-nyak 8 liter , 10 kg Damar dan 6 liter Spiritus. Untuk seti-ap bahan B dibutuhkan Minyak Tanah 6 liter, Damar 4 Kg, dan 12 liter Spiritus. Saudara diminta bantuan untuk menyelesaikan berapa bahan A dan B dibuat shingga biaya minimum ?. Selesaikan dengan metode grafik.

Metode Grafik / Minimasi

Page 26: 1. Linier Prog.-1

GAMBAR FUNGSI KENDALA

Min. TC = 80A + 100BStc. MT : 8A + 6B > 24 D : 10A + 4B > 20 S : 6A + 12B > 24 A , B > 0

MT : 8A + 6B > 24 B > 4 – 4/3 A

D : 10A + 4B > 20 B > 5 - 2,5 A S : 6A + 12B > 24

B > 2 - 0,5 A

A

B

B

A

B

A

Metode Grafik / Minimasi

26

Page 27: 1. Linier Prog.-1

27

FISIBLE AREA dan ISO COST

Penggunaan Sumberdaya :MT = 8(2,4) + 6(0,8) = 24 Lt. persisD = 10(2,4) + 4(0,8) = 27,2 Kg. > 20S = 6(2,4) + 12(0,8) = 24 Lt. persis

Solusi Optimal :B.Pelarut A = 2,4 unitB.Pelarut B = 0,8 unitTC min = 80 (2,4) + 100(0,8) = Rp 272

•( 2, 4 ; 0,8 )

Page 28: 1. Linier Prog.-1

28

METODE SIMPLEK

PENDAHULUAN Kenyataan yang sering dihadapi oleh para manajer dalam pengambilan keputusan adalah kompleks.Keputusan yang harus diambil tidak hanya untuk 2 variabel saja, bisa saja lebih, sementara metode grafik terbatas hanya 2 demensi atau paling banyak menca-kup 3 variabel.Untuk mengatasi persoalan linier programming yang kompleks jelas menjadi tidak sederhana.Satu cara sederhana (simple) dan efisien yang dapat menyelesaikan persoalan adalah dengan Metode Simplex, di mana metode ini menggunakan tabel yang unik yang sering disebut “Tabel Simplek”

Page 29: 1. Linier Prog.-1

29

Metode simplek untuk linier programming dikembang-kan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasi-kan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso-profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa ke-mungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dila-kukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai. Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solo-si yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.

Page 30: 1. Linier Prog.-1

30

MENYUSUN SOLUSI AWAL

Untuk memperoleh pengertian yg lebih mudah dan cepat, dalam pembahasan ini kita gunakan persoalan yang me-liputi 2 variabel riil saja (sekedar untuk cross cek), kita gunakan kasus Persh,”XYZ” contoh pertama.

Dengan menggunakan contoh kasus “XYZ”di muka, penyelesaian dapat dilakukan dengan beberapa langkah :

Langkah 1. Menyususun Persoalan Dalam Matematik

Maksimumkan : TR = $ 3000A + 3000BKendala : P : 2A + B < 30

Q : 2A + 3B < 60 R : 4A + 3B < 72 A , B > 0

Page 31: 1. Linier Prog.-1

31

Langkah 2. Mengubah Pertidaksamaan menjadi Persamaan

Mengandung pengertian : tidak selalu kapasitas S.D digunakan seluruhnya, diantaranya masih ada yang tersisa ada kelonggaran (slack) untuk menambah sebuah variabel sehingga menjadi persamaan. Variable baru ini disebut Variabel Slack = sejumlah unit kapasitas yang tidak dipakai dalam suatu Departemen (SD).Variabel Slack Misal :S1 = waktu yang tidak dipakai dlm.Dep.P P :2A + B <30S2 =waktu yang tidak dipakai dlm Dep Q :Q :2A +3B<60S3 =waktu yang tidak dipakai dlm Dep R R: 4A+3B < 72 Atau dari persamaan diatas dapat disusun :

P : 2A + B +S1 = 30 Q : 2A + 3B+ S2 = 60 R : 4A + 3B + S3 = 72 A , B > 0

Page 32: 1. Linier Prog.-1

32

Variabel Slack ini harus dimasukkan dalam fungsi tuju-an dan kendala. Koefisien setiap variabel pada kedua fungsi tsb. harus terlihat dengan jelas. Oleh karena itu, untuk variabel yang tidak mempunyai pengaruh terha-dap persamaan, koefisiennya harus ditulis dengan . “nol”, sehingga tidak merubah hakekatnya.Misal, karena : S1,, S2 dan ,S3 tidak menghasilkan Laba, maka koefisiennya ditulis nol . Untuk kendala , S1, tidak berpengaruh terhadap Dep. Q dan R ,maka koefisiennya harus ditulis nol pada kendala Q dan R. Untuk kendala S2 tidak berpengaruh terhadap Dep. P dan R, maka koefisiennya ditulis nol pada kendala tsb.Demikian juga untuk S3 tidak berpengarauh terhadap Dep. P dan Q, maka koefisiennya harus ditulis nol pada kendala P dan Q .Untuk praktisnya fungsi tujuan dan fungsi kendala dapat ditulis sbb. :

Page 33: 1. Linier Prog.-1

Langkah 3. Memasukkan Fungsi Tujuan dan Kendala ke Tabel Simplek

Cj Variabel Basis

Kuantitas

3000 3000 0 0 0 Ri A B SP SQ SR

0 SP 30 2 1 1 0 0 0 SQ 60 2 3 0 1 0 0 SR 72 4 3 0 0 1 Zj 0 0 0 0 0 0 Cj - Zj 3000 3000 0 0 0

Zj = aij . BiSollusi Awal, belum berproduksi, Zj = 0

Metode Simplek / Maksimasi

TR = 3000 A + 3000 B + 0 SP + 0 SQ + 0 SR .P : 2A + B + 1 SP + 0SQ + 0SR = 30 Q : 2A + 3B + 0SP + 1SQ + 0SR = 60R : 4A + 3B + 0SP + 0SQ + 1SR = 72

33

Page 34: 1. Linier Prog.-1

34

MENGEMBANGKAN SOLUSI KEDUA

Solusi awal menunjukkan perusahaan masih belum berproduksi.

Selanjutnya kita akan melakukan perubahan sehingga TR sebagai tujuan tercapai lebih baik.

Jika tabel yang telah diperbaiki masih ada kemungkinan dirubah untuk mencapai tujuan yang lebih baik lagi, maka perubahanpun terus berlanjut sampai tercapai solusi yang optimal.

Tahap-tahap perubahan dari tabel satu ke tabel yang lain disebut “pivoting”.

Perhitungan solusi kedua dapat diikuti dengan langkah-langkah berikut ini.

Page 35: 1. Linier Prog.-1

Langkah 1. Menentukan Variabel Riil yang akan dimasuk kan dalam solusi (going in)

Secara rasional, memilih varibel riil yang tepat adalah variabel yang mempunyai kontribusi menambah laba/TR atau mengurangi biaya yang paling besar.

Dengan memilih nilai-nilai baris Cj - Zj pada kolom variabel riil yang terbesar, mengindikasikan adanya peningkatan laba/TR yang lebih baik.

Oleh karena Nilai Cj - Zj untuk kedua kolom variabel riil A dan B sama, maka bisa kita pilih salah satu.

Misalnya saja, kita tentukan kolom B, maka kolom B tersebut dinamakan “kolom optimum”, yang bakal pertamkalinya masuk dalam kolom variabel basis.

35

Page 36: 1. Linier Prog.-1

Langkah 2. Menentukan Variabel yang akan diganti (going out)

Pertama kali, kita membagi nilai-nilai dalam kolom variabel basis dengan nilai-nilai pada kolom optimum, dan kemudian hasil bagi-hasil bagi tersebut kita pilih yang paling kecil.

Baris yang mempunyai nilai “Ri” terkecil bakal diganti atau dikeluakan dari variabel basis.Baris SP : 30 / 1 = 30

Baris SQ : 60 / 3 = 20 dikeluarkanBaris SR : 72 / 3 = 24

Elemen-elemen (nilai) pada basis SP, SQ dan SR di bawah kolom optimum, disebut elemen interseksional, yang akan berperan dalam perhitungan nilai nilai pada tabel berikutnya.

Metode Simplek / Maksimasi

36

Page 37: 1. Linier Prog.-1

Cj 3000 3000 0 0 0 VB Q A B Sp Sq Sr Ri

Iter 1 0 Sp 30 2 1 1 0 0 30 0 Sq 60 2 3 0 1 0 20 0 Sr 72 4 3 0 0 1 24 Zj 0 0 0 0 0 0 Cj - Zj 3000 3000 0 0 0

Iter 2

Langkah 1 : menentukan kolom optimum (going in)

Langkah 2 : menentukan baris optimum (going out)

Aplikasi Langkah 1 dan Langkah 2

37

Page 38: 1. Linier Prog.-1

Cj 3000 3000 0 0 0 VB Q A B Sp Sq Sr Ri

Iter 1 0 Sp 30 2 1 1 0 0 30 0 Sq 60 2 3 0 1 0 20 0 Sr 72 4 3 0 0 1 24 Zj 0 0 0 0 0 0 Cj - Zj 3000 3000 0 0 0

Iter 2 Zj Cj - Zj

Iter 3 Zj

Menentukan / Menghitung :

- Nilai baris baru yang lain :

NBBL= NBL (N Intsek x NBBM)Baris Sp :30 ( 1 x 20) = 10 2 ( 1 x 2/3) = 1 1/3 1 ( 1 x 1) = 0 1 ( 1 x 0) = 1 0 ( 1 x 1/3) = -1/3 0 ( 1 x 0) = 0

- Nilai baris baru yang masuk : NBBM = NBL : N. Insek : 60/3 = 20 ; 2/3 = 2/3 ; 3/3 = 1; 0/3 = 0 ; 1/3 = 1/3; 0/3 = 0

3000 B 20 2/3 1 0 1/3 0

Baris Sr :72 ( 3 x 20) = 12 4 ( 3 x 2/3) = 2 3 ( 3 x 1) = 0 0 ( 3 x 0) = 0 0 ( 3 x 1/3) = -1 1 ( 3 x 0) = 1

0 Sp 10 11/3 0 1 -1/3 0

0 Sr 12 2 0 0 -1 1

1000 0 0 1000 0

60000 2000 3000 0 1000 0

38

Page 39: 1. Linier Prog.-1

Cj 3000 3000 0 0 0 VB Q A B Sp Sq Sr Ri

Iter 2 0 Sp 10 1.33 0 1 - 0.33 0 7.5

3000 B 20 0.67 1 0 0.33 0 30 0 Sr 12 2 0 0 - 1 1 6 Zj 60000 2000 3000 0 1000 0 Cj - Zj 1000 0 0 -1000 0

Iter 3 Zj Cj - Zj

MENGEMBANGKAN SOLUSI KETIGA

39

Menentukan / Menghitung :- Kolom optimum : pilih nilai Cj - Zj yang terbesar- Baris yang diganti : Pilih nilai Ri yang terkecil Ri = nilai Q / kolom optimum- Nilai baris baru yang masuk : NBBM = NBL : N Insek : 12/2 = 6 ; 2/2 =1 ; 0/2 = 0; 0/2 = 0; -1/2 = - 0,5; 1/2 = 0,5

3000 A 6 1 0 0 - 0,5 0,5

- Nilai baris baru yang lain :

NBBL= NBL(N Intsek x NBBM)Baris Sp :10 (1,33 x 6) = 21,33 (1,33 x1) = 0 0 (1,33 x 0) = 0 1 (1,33 x 0) = 1- 0,33 (1,33 x -0,5) = 0,33 0 (1,33 x 0,5) = - 0.670 Sp 2 0 0 1 0,33 - 0,67

Baris B :20 (0,67 x6) = 160,67 (0,67 x 1) = 01 (0,67 x 0) = 10 (0,67 x 0) = 00,33 (0,67 x - 0,5) = 0,670 (0,67 x 0,5) = - 033

3000 B 16 0 1 0 0,67 - 0,33

66.000 3000 3000 0 500 500

0 0 0 - 500 - 500

NILAI-NILAI Cj - Zj < 0 SOLUSI OPTIMAL

Page 40: 1. Linier Prog.-1

Cj 3000 3000 0 0 0 VB Q A B Sp Sq Sr Ri

Iter 3 0 Sp 2 0 0 1 0.333 -0.67

3000 B 16 0 1 0 0.667 -0.33 3000 A 6 1 0 0 -0.5 0.5

Zj 66000 3000 3000 0 500 500 Cj - Zj 0 0 0 -500 -500

INTERPERTASI EKONOMI TABEL SIMPLEK

40

Page 41: 1. Linier Prog.-1

Nilai2 pada Kolom Q Tabel 3 :Baris Sp = 2 (Sisa Sbrdaya P)Baris B = 16 (Jml Prduksi B)Baris A = 6 (Jml Prduksi A)Baris Zj = 66000 (TR max.)

Nilai2 pada Baris Cj-Zj di bawah kolom variabel riil menunjukkan nilai produk marginal :Jika positif menunjukkan kemungkinan tambahan TR jika variabel riil ditambah 1 unitJika negatif menunjukkan pengurangan TR jika variabel riil ditambah 1 unit

INTERPERTASI EKONOMI TABEL SIMPLEK

41

Page 42: 1. Linier Prog.-1

Nilai2 di baris Zj menggambarkan berkurangnya TR (oportunity cost) akibat tambahan 1 unit kegiatan riil atau disposal

Angka-angka dalam kwadran matrik (input-output) atau diberi simbul aij menunjukkan MRTS atau Koefisien Teknologi antara kegiatan pada kolom dengan sumberdaya pada baris.

Nilai2 Negatif pada Baris Cj-Zj di bawah kolom var. Slack menunjukkan tambahan TR yg dapat dicapai jika ditambahkan 1 jam lagi pada departemen diwakili variabel slack

42

Page 43: 1. Linier Prog.-1

CONTOH : PERUSAHAAN PNTPerusahaan Nutrisi Ternak (PNT) khusus menghasilkan makanan campuran sebagai makanan tambahan, mendapat pesanan makanan campuran "141-B" dengan ukuran/paket 200 pon. Makanan Campuran tersebut terdiri dari dua bahan ramuan , yaitu P (sumber protein) dan C (sumber karbohidrat).Biaya bahan protein sebesar $ 3 per pon, sedang bahan karbohidrat sebesar $ 8 per pon. Dalam makanan campuran itu kandungan Protein (P) tidak boleh melebihi 40 % dan kandungan bahan Carbo-hidrat (C) paling tidak tersedia 30 %.Persoalan PNT ,adalah menetapkan berapa banyak masing-masing bahan digunakan agar biaya minimal.

Metode Simplek / Minimasi

43

Page 44: 1. Linier Prog.-1

FORMULASI MATEMATIKA PERSOALAN ( IDENTIFIKASI)

Minimumkan : Cost = $ 3P+ $ 8CKendala : P + C = 200 pon

P < 80 pon C > 60 pon P dan C > 0

Metode Simplek / Minimasi

44

Page 45: 1. Linier Prog.-1

SOLUSI AWAL

Merubah persamaan dan pertidaksamaan pada kendala- Untuk tanda Persamaan ( = ) harus ditambah dengan variabel Artifisial (A)

- Untuk Pertidaksamaan”lebih besar sama dengan” ( > ) harus dikurangi variabel surplus (S) dan ditambah variabel Artifisial (A)

- Untuk Pertidaksamaan kurang sama dengan ( < ) harus ditambah variabel slack (S)

Utk Kendala : P + C = 200 P + C + A1 = 200 P < 80 P + S1 = 80 C > 60 C S2 + A2 = 60

Metode Simplek / Minimasi

45

Page 46: 1. Linier Prog.-1

SOLUSI AWALKoefisien teknologi (para meter) masing-masing variabel , secara ekplisit harus ditulis, dengan ketentuan yang tidak ada pengaruhnya ditulis nolNilai biaya untuk variabel Artifisial diberi nilai yang sangat besar (M), dan untuk variabel Slack/Surplus = 0Secara lengkap : Minimize: Cost = 3P + 8C + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2

P + C + A1 = 200 P + S1 = 80 C S2 + A2 = 60 P, C, S1, S2, A1, A2 > 0

Metode Simplek / Minimasi

46

Page 47: 1. Linier Prog.-1

Cj

BV Quantity

$3 $8 $M $0 $0 $M

P C A1 S1 S2 A2 Ri

$M $0 $M

A1 S1 A2

200 80 60

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0

1

0 0 1

200 -

60

Zj Cj –Zj

$260M $M

$3 $M

$2M

$8 $2M

$M $0

$0 $0

$M $M

$M $0

$M $0 $8

A1 S1 C

140 80 60

1 1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 0 -1

-1 0 1

140 80 -

Zj Cj –Zj

$140M+$480 $M $3 - $M

$8 $0

$M $0

$0 $0

$M-$8 $8-$M

$8-$M $2M-$8

$M $3 $8

A1 P C

60 80 60

0 1 0

0 0 1

1 0 0

1 1 0

1 0 -1

-1 0 1

60 -

60

Zj Cj –Zj

$60M+ $720 $3 $0

$8 $0

$M $0

$3 $M

$M $3

$M $8

$8 $M

$8 $M

$2M $8

$0 $3 $8

S2 P C

60 80 120

0 1 0

0 0 1

1 0 1

1 1

1

1 0 0

-1 0 1

Zj Cj –Zj

$1200 $3 $0

$8 $0

$8

$M $8 $5 $5

$0 $0

$8 $M - $8

SOLUSI TABEL SIMPLEK Metode Simplek / Minimasi

47

Page 48: 1. Linier Prog.-1

$3 $8 $M $0 $0 $M Cj

BV Quantity P C A1 S1 S2 A2 Ri

$M $0 $M

A1 S1 A2

200 80 60

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0

1

0 0 1

200 -

60

Zj Cj –Zj

$260M $M

$3 $M

$2M

$8 $2M

$M $0

$0 $0

$M $M

$M $0

$M $0 $8

A1 S1 C

140 80 60

1 1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 0 -1

-1 0 1

140 80 -

Zj Cj –Zj

$140M+$480 $M $3 - $M

$8 $0

$M $0

$0 $0

$M-$8 $8-$M

$8-$M $2M-$8

$M $3 $8

A1 P C

60 80 60

0 1 0

0 0 1

1 0 0

1 1 0

1 0 -1

-1 0 1

- 60 -

60

Zj Cj –Zj

$60M+ $720 $3 $0

$8 $0

$M $0

$3 $M

$M $3

$M $8

$8 $M

$8 $M

$2M $8

$0 $3 $8

S2 P C

60 80 120

0 1 0

0 0 1

1 0 1

1 1

1

1 0 0

-1 0 1

Zj Cj –Zj

$1200 $3 $0

$8 $0

$8

$M $8 $5 $5

$0 $0

$8 $M - $8

SOLUSI TABEL SIMPLEK Metode Simplek / Minimasi

48

Page 49: 1. Linier Prog.-1

$3 $8 $M $0 $0 $M Cj

BV Quantity P C A1 S1 S2 A2 Ri

$M $0 $M

A1 S1 A2

200 80 60

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0

1

0 0 1

200 -

60

Zj Cj –Zj

$260M $M

$3 $M

$2M

$8 $2M

$M $0

$0 $0

$M $M

$M $0

$M $0 $8

A1 S1 C

140 80 60

1 1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 0 -1

-1 0 1

140 80 -

Zj Cj –Zj

$140M+$480 $M $3 - $M

$8 $0

$M $0

$0 $0

$M-$8 $8-$M

$8-$M $2M-$8

$M $3 $8

A1 P C

60 80 60

0 1 0

0 0 1

1 0 0

1 1 0

1 0 -1

-1 0 1

- 60 -

60

Zj Cj –Zj

$60M+ $720 $3 $0

$8 $0

$M $0

$3 $M

$M $3

$M $8

$8 $M

$8 $M

$2M $8

$0 $3 $8

S2 P C

60 80 120

0 1 0

0 0 1

1 0 1

1 1

1

1 0 0

-1 0 1

Zj Cj –Zj

$1200 $3 $0

$8 $0

$8

$M $8 $5 $5

$0 $0

$8 $M - $8

SOLUSI TABEL SIMPLEK Metode Simplek / Minimasi

49

Page 50: 1. Linier Prog.-1

DUALITAS ANTARA MAKSIMASI dan MINIMASI

Untuk setiap permasalahan optimasi yang mempunyai kendala/pembatas, akan terdapat “permasalahan dual”, yaitu dengan memaksimasi atau meminimasi fungsi kendala dan fungsi tujuan sebelumnya menjadi kendalanya.Hubungan ini disebut sebagai dualitas (duality)

Permasalahan yang pertama disebut dengan “primal” dan permasalahan kedua disebut dengan “dual”.Jadi misalnya, jika permasalahan primalnya adalah maksimasi tujuan dengan kendala tertentu, maka sekarang menjadi dual, yaitu minimasi kendala dengan kendalanya adalah fungsi tujuannya.Demikian sebaliknya, jika permasalahan primalnya adalah menimasi tujuan dengan kendala tertentu, maka sekarang menjadi maksimasi kendala dengan fungsi tujuan sebagai kendalanya. 50

Page 51: 1. Linier Prog.-1

Dengan demikian dalam sebuah pemodelan Pemrogra-man Linear, terdapat dua konsep yang saling berlawa-nan. Konsep yang pertama kita sebut Primal dan yang kedua Dual.Bentuk Dual adalah kebalikan dari bentuk Primal. Hubungan Primal dan Dual sebagai berikut:Masalah Primal (atau Dual) Masalah Dual (atau Primal)

Koefisien fungsi tujuan …………… Nilai kanan fungsi batasanMaksimumkan Z (atau Y) ………… Minimumkan Y (atau Z)Batasan i …………………………… Variabel yi (atau xi)Bentuk < …………………………. yi > 0Bentuk = …………………………… yi > dihilangkanVariabel Xj ………………………. . Batasan jXj > 0 ………………………………. Bentuk <Xj > 0 dihilangkan ………………… Bentuk =

51

Page 52: 1. Linier Prog.-1

Contoh 1:PrimalMinimumkan Z = 5X1 + 2X2 + X3

Fungsi batasan: 1) 2X1 + 3X2 + X3 > 20 2) 6X1 + 8X2 + 5X3 > 30 3) 7X1 + X2 + 3X3 > 40

X1 , X2 , X3 > 0DualMaksimumkan Z ’ = 20Y1 + 30Y2 + 40Y3

Fungsi batasan: 1) 2Y1 + 6Y2 + 7Y3 < 5

2) 3Y1 + 8Y2 + Y3 < 2

3) Y1 + 5Y2 + 3Y3 < 1 52

Page 53: 1. Linier Prog.-1

Langkah-langkah membentuk Dual

•Jika betuk primal adalah maksimasi, maka bentuk dual adalah minimasi, dan begitu sebaliknya.•Nilai sisi kanan dari kendala akan menjadi koefisien fungsi tujuan dalam bentuk Dual•Koefisien fungsi tujuan primal menjadi nilai sisi kanan dari kendala bentuk Dual.•Transpose koefisien fungsi kendala primal menjadi koefisien fungsi kendala Dual

53

Page 54: 1. Linier Prog.-1

CONTOH : ( Ek. Mikro)

Maksimumkan : Q = L . CKendala : 1200 = 30L + 40CL dan C optimum = ?

JawabSlope Isoquant = Slope Budget Line MPL / MPC =

PL/ PC

C / L = 30/ 40

C = 3 / 4 L

1200 = 30L + 40 (3 / 4 L )1200 = 60L Jadi : L = 20 dan C = 15 Q max. = 20 x 15 = 300

Minimumkan : B = 30L + 40CKendala : 300 = L . CL dan C optimum = ?

JawabSlope Isoquant = Slope Budget Line d C / d L =

PL/ PC

300 / L2 =

30/ 40

L2 = 400Jadi : L = (400)1/2 = 20 dan C = 15Bmin. = 30(20) + 40 (15 ) = 1200

PRIMAL DUAL

54

Page 55: 1. Linier Prog.-1

CONTOH : USAHA KATERING (RANGSUM)

Kasus Primal sebuah usaha kesehatan dalam rangka membuat susunan rangsum dari berbagai bahan makanan dengan biaya murah adalah sbb. :

Minimumkan : Z =150X1+100X2 +350X3 + 250X4 +320X5

Kendala : Protein : 8,3 X1 +246 X2 +17,2 X3+ 5,2 X4+ 2,01 X5 > 70 Karbohidrat : 5 X1 +26 X2 +595 X3 + 3,1 X4+ 4 X5 > 3000 Lemak : 0,4 X1 +793 X2 +4,8 X3 + 0,6 X4 +0,16 X5 > 800 Vitamin : 6 X1 +93 X2 +61,6 X3+ 6,8 X4 +2,05 X5 > 40 Zat Besi : 24,9X1 +243X2 +810 X3 +16,4X4 0,57 X5 > 12

Dimana : X1 = Nasi X4 = BuahX2 = Sayur X5 = SusuX3 = Lauk pauk

Buatlah model Dual persoalan di atas, dan selesaikan !55

Page 56: 1. Linier Prog.-1

CONTOH : USAHA KATERING (RANGSUM)

Kasus Primal sebuah usaha kesehatan dalam rangka membuat susunan rangsum dari berbagai bahan makanan dengan biaya murah adalah sbb. :

Minimumkan : Z =150X1+100X2 +350X3 + 250X4 +320X5

Kendala : Protein : 8,3 X1 +246 X2 +17,2 X3+ 5,2 X4+ 2,01 X5 > 70 Karbohidrat : 5 X1 +26 X2 +595 X3 + 3,1 X4+ 4 X5 > 3000 Lemak : 0,4 X1 +793 X2 +4,8 X3 + 0,6 X4 +0,16 X5 > 800 Vitamin : 6 X1 +93 X2 +61,6 X3+ 6,8 X4 +2,05 X5 > 40 Zat Besi : 24,9X1 +243X2 +810 X3 +16,4X4 0,57 X5 > 12

Dimana : X1 = Nasi X4 = BuahX2 = Sayur X5 = SusuX3 = Lauk pauk

Buatlah model Dual persoalan di atas, dan selesaikan !56

Page 57: 1. Linier Prog.-1

JAWAB :

Maksimumkan : Z’ = 70Y1+3000Y2+800Y3+40Y4+12Y5

Kendala : X1 : 8,3 Y1+ 5,0 Y2 + 0,4 Y3 + 6,0 Y4 + 24,9 Y5 <150 X2 : 246Y1+ 26 Y2 + 793 Y3 + 93 Y4+ 243 Y5 < 100 X3 :17,2 Y1+595 Y2 +14 ,8Y3 +61,6Y4+ 810 Y5 < 350 X4 : 5,2 Y1+ 3,1Y2 + 0,6 Y3 + 6,8Y4 + 16,4Y5 < 250 X5 : 2,01 Y1+ 4 Y2 + 0,16Y3 + 2,05Y4+0,57 Y5 < 320 Y1 , Y2, Y3, Y4 , Y5 > 0

57

Page 58: 1. Linier Prog.-1

Cj Basic Variable

Quantity 70 Y1

3000 Y2

800 Y3

40 Y4

12 Y5

0 slack 1

0 slack 2

0 slack 3

0 slack 4

0 slack 5

Langka 1 0 slack 1 150 8.3 5 0.4 6 24.9 1 0 0 0 0 0 slack 2 100 246 26 793 93 243 0 1 0 0 0 0 slack 3 350 17.2 595 14.8 61.6 810 0 0 1 0 0 0 slack 4 250 5.2 3.1 0.6 6.8 16.4 0 0 0 1 0 0 slack 5 320 2.01 4 0.16 2.05 0.57 0 0 0 0 1 zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cj-zj 70 3,000 800 40 12 0 0 0 0 0

Langkah 2 0 slack 1 147.0588 8.1555 0 0.2756 5.4824 18.0933 1 0 -0.0084 0 0 0 slack 2 84.7059 245.2484 0 792.3533 90.3082 207.605 0 1 -0.0437 0 0

3,000 Y2 0.5882 0.0289 1 0.0249 0.1035 1.3613 0 0 0.0017 0 0 0 slack 4 248.1765 5.1104 0 0.5229 6.4791 12.1798 0 0 -0.0052 1 0 0 slack 5 317.6471 1.8944 0 0.0605 1.6359 -4.8754 0 0 -0.0067 0 1 zj 1,764.71 86.7227 3,000 74.6218 310.5882 4,084.03 0 0 5.042 0 0 cj-zj -16.7227 0 725.3782 -270.588 -4,072.03 0 0 -5.042 0 0

Langkah3 0 slack 1 147.0294 8.0701 0 0 5.4509 18.0211 1 -0.0003 -0.0084 0 0

800 Y3 0.1069 0.3095 0 1 0.114 0.262 0 0.0013 -0.0001 0 0 3,000 Y2 0.5856 0.0212 1 0 0.1007 1.3548 0 0 0.0017 0 0

0 slack 4 248.1206 4.9485 0 0 6.4195 12.0428 0 -0.0007 -0.0052 1 0 0 slack 5 317.6406 1.8756 0 0 1.629 -4.8912 0 -0.0001 -0.0067 0 1 zj 1,842.25 311.241 3,000 800 393.263 4,274.09 0 0.9155 5.002 0 0 cj-zj -241.241 0 0 -353.263 -4,262.09 0 -0.9155 -5.002 0 0

SOLUSI

58

Page 59: 1. Linier Prog.-1

59

Page 60: 1. Linier Prog.-1

Soal N0. 8Perusahaan mebel Jati Indah memproduksi meja dan kursi dari sumberdaya tenaga kerja dan kayu. Perusahaan memiliki kapasitas terbatas untuk tenaga kerja 80 jam perhari dan 36 Kg kayu perhari. Permintaan atau penjualan kursi terbatas 6 kursi per hari. Untuk memproduksi satu unit kursi memerlukan 8 jam tenaga kerja dan 2 Kg kayu, sedang setiap satu meja memerlukan 10 jam tenaga kerja dan 6 Kg kayu. Laba yang diperoleh untuk setiap meja sebesar Rp 40.000 dan untuk setiap kursi sebesar Rp 50.000. Perusahaan ingin menetapkan jumlah meja dan kursi yang harus dijual agar memperoleh laba maksimum.a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini.b. Selesaikan persoalan ini dengan analisis grafik.

60

Page 61: 1. Linier Prog.-1

M K Kap

Maximize 40000 50000

Labor 10 8 <= 80

Kayu 6 2 <= 36

Demand 0 1 <= 6

Solution-> 3.2 6 428.000

SOAL N0. 8

61

Page 62: 1. Linier Prog.-1

Soal N0.12Perusahaan Kimia Farma memproduksi sebuah obat dengan ramuan dua bahan. Setiap bahan berisi tiga antibiotik yang sama tapi berbeda dalam proporsinya. Satu gram bahan 1 menyumbangkan 3 unit antibiotik 1 dan bahan 2 menyumbang-kan1 unit antibiotik 1; obat membutuhkan paling tidak 6 unit antibiotik 1. Untuk anti biotik 2 sedikitnya 4 unit dibutuhkan untuk membuat obat , dan per gram bahan masing-masing menyumbang 1 unit.Untuk antibiotik 3 paling sedikit 12 unit diperlukan untuk mem-buat obat ; satu gram bahan 1 menyumbang 2 unit, dan satu gram bahan 2 menyumbang 6 unit. Biaya per gram bahan 1 dan bahan 2 masing-masing Rp 80.000 dan Rp 50.000. Kimia Farma ingin memformulasikan model LP untuk menetapkan jumlah (gram) masing-masing bahan yang harus digunakan dalam pembuatan obat agar biaya campuran antibiotik itu serendah mungkin.a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini.b. Selesaikan persoalan ini dengan menggunakan analisis grafik.

62

Page 63: 1. Linier Prog.-1

Soal N0.12  BAHAN 1 BAAN 2 RHS DualMinimize 80000 50000      ANTIBITIK 1 3 1 >= 6 -15000ANTIBITIK 2 1 1 >= 4 -35000ANTIBITIK 3 2 6 >= 12 0Solution-> 1 3   $230.000,  

63

Page 64: 1. Linier Prog.-1

Soal N0.12Variable Status Value

BAHAN 1 Basic 1BAHAN 2 Basic 3surplus 1 NONBasic 0surplus 2 NONBasic 0surplus 3 Basic 8

Optimal Value (Z) 230000

64

Page 65: 1. Linier Prog.-1

Soal N0.12Cj

Basic Variables Quantity

80000 BHN 1

50000 BHN 2

0artfcl 1

0surplus 1

0artfcl 2

0 surplus 2

0 artfcl 3

0 surplu 3

Iterati 1 $0 artfcl 1 6 3 1 1 -1 0 0 0 00 artfcl 2 4 1 1 0 0 1 -1 0 00 artfcl 3 12 2 6 0 0 0 0 1 -1

Zj 22 79.994 49.992 0 1 0 1 0 1cj-zj 6 8 0 -1 0 -1 0 -1

Iteratn 20 artfcl 1 4 2,6667 0 1 -1 0 0 -0,1667 0,16670 artfcl 2 2 0,6667 0 0 0 1 -1 -0,1667 0,1667

50.000 BHN 2 2 0,3333 1 0 0 0 0 0,1667 -0,1667Zj 6 79.996,66 50.000 0 1 0 1 1,3333 -0,3333cj-zj 3,3333 0 0 -1 0 -1 -1,3333 0,3333

Iterati 380.000 BHN 1 1,5 1 0 0,375 -0,375 0 0 -0,0625 0,0625

0 artfcl 2 1 0 0 -0,25 0,25 1 -1 -0,125 0,12550.000 BHN 2 1,5 0 1 -0,125 0,125 0 0 0,1875 -0,1875

Zj 1 80.000 50.000 1,25 -0,25 0 1 1,125 -0,125cj-zj 0 0 -1,25 0,25 0 -1 -1,125 0,125

Iterati 480.000 BHN 1 3 1 0 0 0 1,5 -1,5 -0,25 0,25

0 surplus 1 4 0 0 -1 1 4 -4 -0,5 0,550.000 BHN 2 1 0 1 0 0 -0,5 0,5 0,25 -0,25

Zj 0 80.000 50.000 1 0 1 0 1 0cj-zj 0 0 -1 0 -1 0 -1 0

Iterati 580.000 BHN 1 3 1 0 0 0 1,5 -1,5 -0,25 0,25

0 surplus 1 4 0 0 -1 1 4 -4 -0,5 0,550.000 BHN 2 1 0 1 0 0 -0,5 0,5 0,25 -0,25

Zj 289.999,99 80.000 50.000 0 0 -95.000 95.000 7.500,00 -7.500,00

cj-zj 0 0 0 0 95.000,00 -95.000,00 -7.500,00 7.500,00Iterati 6

80.000 BHN 1 1 1 0 0,5 -0,5 -0,5 0,5 0 00 surplus 3 8 0 0 -2 2 8 -8 -1 1

50.000 BHN 2 3 0 1 -0,5 0,5 1,5 -1,5 0 0

Zj 230.000,00 80.000 50.000 -15.000 15.000 -35.000 35.000 0 0

cj-zj 0 0 15.000,00 -15.000,00 35.000,00 -35.000,00 0 0

65

Page 66: 1. Linier Prog.-1

KASUS UCP

SDSD X1X1 X2X2 Kap.Kap. Sur.Sur.

KlaimKlaim 1616 1212 >> 450 450 3030

RusaRusakk

0,50,5 1,41,4 >> 25 25 3131

KompKomptt

11 11 << 40 40 00

CC 6400640000

4200420000

SolusSolusii

00 4040 TC = 168000TC = 168000

66

Page 67: 1. Linier Prog.-1

KASUS Giman Piza

SDSD PIPI PSPS KapKap SlackSlack

DMDM 11 11 << 150150

17,517,5

TMTM 44 88 << 800800

00

Sales Sales PIPI

11 << 75 75 00

Sales Sales PIPI

11 << 125125

62,562,5

LabaLaba 500500 750750

SolusiSolusi 7575 62,562,5 8437843755

67

Page 68: 1. Linier Prog.-1

KASUS Toko Perhiasan

SdSd KK GG KapKap SlackSlack

EmasEmas 3030 2020 1818

PlatinPlatinaa

2020 4040 2020

DGDG 11 4040

LabaLaba 300003000000

400004000000

SolusiSolusi 0,40,4 0,30,3 L=240000L=24000068

Page 69: 1. Linier Prog.-1

KASUS Obat

SdSd B1B1 B2B2 KapKap SurSur

A1A1 33 11 >> 6 6 00

A2A2 11 11 >> 4 4 00

A3A3 22 66 >> 12 12 88

TCTC 8000800000

5000500000

SolusSolusii

11 33 TC=230000TC=230000

69

Page 70: 1. Linier Prog.-1

KASUS Usaha Ternak

Min. TC = 60A + 100KStc. Pr : 20 A + 40 K > 30 Lm : 2 A + 0,5 K > 1 Prod. : 1 A + 1 K < 1

A, K ,> 0

SdSd AA KK kapkap SlacSlackk

PrPr 2020 4040 >> 30 30 00

LmLm 22 0,50,5 >> 1 1 00

ProdProd 11 11 << 1 1 0,070,07

SoluSolusisi

0,360,36 0,570,57

TCTC 21,421,433

57,157,144

78,578,577

78,57143

78,57143

78,57143

70

Page 71: 1. Linier Prog.-1

KASUS Della & Pandu

Mak. L = 2C + 2TStc. K : 8 C + 6 T < 120 Tom : 3 C + 6 T < 90 B : 3 C + 2 T < 45 Prod : 1 C + 1 T < 24

C, T > 0

SdSd CC TT kapkap SlacSlackk

KK 88 66 << 120 120 00

TomTom 33 66 << 90 90 00

BB 33 22 << 45 45 33

ProdProd 11 11 << 24 24 66

SoluSolusisi

66 1212

LabaLaba 1212 2424 3636

78,57143

78,57143

78,57143

71

Page 72: 1. Linier Prog.-1

KASUS Untitled

Mak. L = 3 X + 2 YStc. A : 3 X + 2 Y < 120 F : 1 X + 2 Y < 80 Pro X : 1 X + 0 Y > 10 Pro Y : 0 X + 1 Y > 10

X, Y > 0

SdSd XX YY kapkap SS

AA 33 22 << 120 120 00

FF 11 22 << 80 80 26,626,677

Pro Pro XX

11 -- >> 10 10 13,313,333

Pro YPro Y -- 11 >> 10 10 00

SoluSolusisi

33,333,333

1010

LabaLaba 100100 2020 120120

72

Page 73: 1. Linier Prog.-1

73