1. Linier Prog.-1

download 1. Linier Prog.-1

of 73

  • date post

    02-Aug-2015
  • Category

    Documents

  • view

    60
  • download

    20

Embed Size (px)

Transcript of 1. Linier Prog.-1

1

PENDAHULUAN

Tujuan utama suatu usaha bisnis : memaksimumkan laba atau meminimumkan biaya. - Untuk itu,pasti usaha itu memiliki berbagai kendala s.d Baik tujuan maupun kedala pada umumnya dalam kondisi deterministik. - Suhubungan dengan itu, Linier Programming (LP) memberikan solusi dalam pengambilan keputusan usaha bisnis tsb. - Linier programming adalah suatu teknik atau cara yang membantu dalam keputusan mengalokasi sumberdaya yang dimiliki perusahaan. - Sumberdaya tersebut meliputi misalnya, mesin-mesin, tenaga kerja, uang, waktu, kapasitas gudang (ruangan), material , dll., yang akan digunakan untuk memproduksi barang (sandang, pangan, papan, dll) atau jasa (rencana pengiriman dan produksi, keputusan investasi, kebijakan advertensi, dll)2

Persyaratan Yang Diperlukan Dalam L P :1. Perusahaan mempunyai tujuan,yaitu memaksimumkan laba atau miminimumkan biaya 2. Perusahaan mempunyai kerterbatasan atau kendala sumberdaya dalam mencapai tujuan. 3. Perusahaan mempunyai keputusan atau kegiatan alternatif, salah satu diantaranya dipakai atau dipilih untuk mencapai tujuan. 4. Tujuan dan kendala dinyatakan dalam hubungan persamaan ( = ) dan pertidaksamaan ( < / > ) matematik yang linier.3

Beberapa Asumsi Yang Berlaku Dalam LP : 1.Kondisi-kondisi bisnis dalam perusahaan dalam kepastian dimana nilai-nilai, jumlah-jumlah dalam fungsi tujuan dan kendala diketahui dengan pasti (deterministik), tidak berubah selama periode analisis. 2.Hubungan dalam fungsi tujuan dan kendala adalah proporsional dalam bentuk matematik yang linier, contoh : L = 10 X jika X = 2, maka L = 20 jika X = 4, maka L = 40 M < 60X jika X = 2, maka M < 120 jika X = 5, maka M < 300 3.Bentuk fungsi tujuan dan kendala besifat aditivity, artinya jumlah total nilai kegiatan = penjumlahan dari nilai-nilai kegiatan individu : L = $3 X1 + $5 X2 Jika X1 = 10 dan X2 = 20, maka L = $3(10) + $5(20) = $ 130. 4.Barang dan jasa yang dihasilkan (variabel keputusan) harus positif bukan negatif (non negatively) paling tidak nol (tidak menghasilkan) X ,X > 0

4

Sejarah Linier Program

- LP telah dikembangkan sebelum perang dunia II oleh matematikawan Rusia, A.N. Kolmogorov dan Leonid Kantorovic penerima nobel Optimasi Perencanaan- Dalam aplikasi berikutnya LP dikembangkan oleh Stigler (1945) dalam persoalan Diit (kesehatan). - Perkembangan berikutnya (1947),George D.Dantzig me-ngembang kan solusinya dengan metode simplex. Jasa Dantzig ini luar biasa sehingga kita kenal sampai sekarang dengan istilah Linier Programming. Dia seorang matematikawan di Angkatan Udara Inggris menjabat sebagai kepala Pengendali Analisis Perang Angkatan Udara. Saat itu militer memerlukan sekali program perencanaan latihan militer, pemasokan peralatan dan amunisi, penempatan unit-2 tempur. Dantzig memformulasikan sistem pertidaksamaan linier - Setelah perang dunia II aplikasi dalam dunia bisnis luar biasa, misalnya dalam usaha pengolahan, jasa, pertanian, dll. - Tahun 1984 N.Karmarkar mengembangkan model yang lebih superior dari metode simplex utk berbagai aplikasi yg lebih luas. 5

Model Formulasi Model LP berisikan beberapa komponen dan karakteristik ttt. Komponen adalah Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala, didalamnya terdapat Variabel Keputusan dan Parametrer. Variabel Keputusan adalah simbul matematik dari kegiatan yang dilakukan /dibuat/diproduksi oleh perusahaan, misalnya : X1 = jml. Meja, X2 = jml.Kursi dan X3 = jml tempat tidur yang diproduksi Parameter adalah nilai-nilai di depan variabel keputusan yang pada dasarnya sudah diketahui. Fungsi Tujuan merupakan hubungan matematika linier yang menggambarkan tujuan perusahaan baik memaksimumkan laba atau meminimumkan biaya untuk membuat var. keputusan. Fungsi Kendala juga merupakan hubungan linier antar variabel kepu tusan yg menggambarkan keterbatasan sumberdaya. Misalnya, keterbatasan dlm. jumlah Tenaga Kerja utk memproduksi Meja sebesar 40 jam/hari. 6 Nilai-nilai Konstanta dalam fungsi tujuan atau kendala juga

METODE GRAFIK Persoalan maksimasi . contoh : perusahaan xyz Sebuah industri XYZ berkecimpung dalam proses produksi dua macam produk, yaitu produk A dan B. Kedua produk tesebut dapat dijual masing-masing dengan harga Rp 3000,per unit. Dalam proses produksinya diperlukan tiga macam departemen, yaitu Departemen P yang memiliki 3 unit mesin tipe P, Departemen Q memiliki 6 unit mesin tipe Q dan Dep. R memiliki 9 unit mesin tipe R. Lama waktu pemakaian mesin mesin tersebut berbeda untuk setiap produk. Produk A memerlukan waktu 2 jam untuk proses produksinya pada mesin tipe P, kemudian 2 jam pada mesin tipe Q dan 4 jam pada mesin tipe R. Sedangkan untuk produk B memerlukan waktu 1 jam pada mesin tipe P, kemudian 3 jam pada mesin tipe Q dan 3 jam pada mesin tipe R.7

Lamanya waktu mesin-mesin tersebut beroperasipun sangat terbatas, yaitu mesin tipe P beroperasi selama 10 jam per hari per mesin, mesin tipe Q dapat beroperaasi 10 jam per hari per mesin dan mesin tipe R beroperaasi selama 8 jam per hari per mesin. - Rumuskan persoalan tsb. dalam model program linier (formula matematika) ! - Gambarlah persoalan LP tersebut dan Hitunglah berapa produk A dan B harus dijual sehingga penerimaannya maksimal

8

Dari contoh persoalan LP di atas, dapat diringkas pada tabel berikut :Sd P Q R Harga A 2 2 4 3000 B 1 3 3 3000 Kap. < 30 < 60 < 72

Kemudian dengan lebih mudah dapat disusun formulasi matematisnya : Max. TR = 3000A + 3000B Stc. P : 2A + B < 30 Q : 2A + 3B < 60 R : 4A + 3B < 72 A,B > 0 9

GAMBAR FUNGSI KENDALA

P : 2A + B < 30 Jika A = 0 , maka B = 30 Jika B = 0 , maka A = 15

Max. TR = 3000A + 3000B Stc. P : 2A + B < Q : 2A + 3B < R : 4A + 3B < A,B >

30 60 72 0

10

Metode Grafik / Maksimasi

FISIBLE AREA dan ISO REVENUETR = 3000A + 3000B B = 0 = 3000(0) + 3000(0) 45000 = 3000(15) + 3000(0)TR

/3000 - A

B

P

60000 63000 66000 > 66000

= = = =

3000(0) + 3000(20) 3000(9) + 3000(12) 3000(6) + 3000(16) IMPOSIBLE Solusi : Produk A = 6 unit Produk B = 16 unit TR = $ 66000

Q R

Evaluasi Sumberdaya : P : 2(6) + 1(16) = 28 jam sisa 2 jam Q : 2(6) + 3(16) = 60 jam persis R : 4(6) + 3(16) = 72 jam persis

A11

KEPUTUSAN BERALTERNATIFA

B

1) Antara titik A dan B 2) Antara titik B dan C 3) Antara titik C dan DC

D

12

- Ingat bahwa solusi terjadi pada titik ekstrim, di mana garis pertidaksamaan kendala berpotongan satu sama yang lain atau berpotongan dengan sumbu pada grafk. Jadi dalam hal ini, kendala-kendala tersebut lebih dipertimbangkan sbg. persamaan daripada pertidaksamaan. - Prosedur baku untuk merubah pertidaksamaan kendala menjadi persamaan, adalah dengan menambah sebuah variabel baru ke dalam masing-masing kendala, yang disebut sebagai variabel slack. - Untuk contoh perusahaan XYZ di muka, model kendala adalah : P : 2A + B < 30 Q : 2A + 3B < 60 R : 4A + 3B < 7213

Variabel Slack

- Penambahan sebuah variabel slack,S1 pada kendala P, S2 pada kendala Q dan S3 pada kendala R hasilnya dapat dilihat sbb. : C - Variabel slack S1, S2 dan S3 merupakan nilai yang diperlukan untuk membuat sisi sebelah kiri persamaan menjadi sama dengan sisi sebelah kanan. Misalnya secara hipotetis, A = 9 dan B = 10. Masukkan kedua nilai itu kedalam persamaan : P : 2(9) + 10 + S1 = 30 S1 = 2 Q : 2(9) + 3(10) + S2 = 60 S2 = 12 R : 4(9) + 3(10) + S3 = 72 S3 = 6

14

- Dalam contoh di atas, menghasilkan solusi yang tidak menghabiskan jumlah sumberdaya. Pada kendala P hanya menggunakan 28 jam, berarti sisa 2 jam yang tidak digunakan. - Jadi S1 merupakan jumlah waktu yang tidak digunakan pada sumberdaya P atau disebut slack P. Demikian juga pada kendala Q dan R masing-masing mempunyai slack Q dan slack R sebagai sisa 12 jam dan 6 jam yang tidak digunakan. - Jika perusahaan belum melakukan kegiatan produksi, maka seluruh kapasitas sumberdaya masih utuh, slacknya masing-masing sebesar 30, 60 dan 72 jam15

Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi TujuanFungsi tujuan dari contoh adalah : TR = 3000 A + 3000 B. Koefisien 3.000 dan 3.000, masing-masing merupakan kontribusi TR setiap produk A dan produk B. Lalu, apa wujud kontribusi variabel slack S1 dan S2 ?. Variabel slack tidak mempunyai kontribusi apapun terhadap TR sebab variabel slack merupakan sumberdaya yg tidak digunakan. TR dicapai hanya setelah sumberdaya digunakan dalam proses produksi. Dengan demikian variabel slack dalam fungsi tujuan dapat ditululis parameter 0 , sbb : TR = 3000A + 3000 B + 0S1 + 0S2 + 0S316

Seperti halnya pada variabel keputusan (A dan B), variabel slack bernilai non-negative, sebab tidak mungkin sumberdaya itu negatif. Oleh karenanya, model formulasinya : A, B , S1, S2 dan S3 > 0 Dengan adanya varibel slack, model LP baku secara lengkap dapat ditulis sbb.:Maksimumkan : TR =3000 A + 3000 B+ 0S1+ 0S2 +0S3

Kendala

2A + B + S1 = 30 2A + 3B + S2 = 60 4A + 3B + S3 = 72 A, B , S1, S2 dan S3 > 0

17

B

A = 0 B = 20 TR = 60000 S1 = 10 S2 = 0 S3 = 12

A = 6 B = 16 TR = 66000 A = S1 = 2 B = 12 S2 = 0 TR = 63000 S3 = 0 S1 = 0 S2 = 6 C S3 = 0

Max. TR = 3000 A + 3000B Kendala : 2A + B + S1 2A + 3B + S2 4A + 3B + S3 9 A, B , S1, S2 dan S3

< < < >

30 60 72 0

D

A = 15 B = 0 TR = 45000 S1 = 0 S2 = 30 E S3 = 12

18

Perusahaan ini memproduksi dua macam produk, yaitu Meja dan Kursi, dimana dalam proses produksinya harus melalui dep. Assembling dan Finishing.Departemen assembling tersedia waktu 60 jam, sedangkan departemen finishing dapat menangani hingga sampai 48 jam kerja. packing . Untuk membuat sebuah kursi diperlukan waktu 2 jam pada assembling dan 4 jam pada fininshing.untuk memebuat sebuah meja diperlukan waktu 4 jam di ddepartemen