1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur...

31
Start

Transcript of 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur...

Page 1: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

Start

Page 2: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

2

1. Ilustrasi

• Inferensia Statistika :

Mencakup semua metode yang digunakan untuk penarikan

kesimpulan atau generalisasi mengenai populasi dengan melakukan

pengambilan sampel (sampling)

• Estimasi / Pendugaan Parameter

– Yaitu penentuan nilai suatu parameter populasi berdasarkan

nilai dari statistik sampel.

– Sedangkan statistik sampel yang digunakan untuk menduga nilai

suatu parameter populasi disebut ‘estimator’

• Prosedur Pendugaan Parameter:

1. Menentukan sebuah sampel

2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan dari tiap anggota sampel

3. Menghitung nilai statistik sampel

4. Menghubungkan nilai statistik sampel dengan parameter

populasi

• Suatu nilai x, hasil hitung dari contoh yang berukuran n,

merupakan nilai dugaan (estimator) bagi parameter populasi µ

Page 3: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

3

Parameter Populasi Estimator

Rata-rata, µ x

Beda Rata-rata 2 populasi, µ1 - µ2 x1 - x2

Simpangan baku, s

• Penduga Tak Berbias : bila statistik x memiliki nilai yang sama

dengan nilai parameter populasi, µx

µx = E(x)

• Penduga Paling Efesien : memiliki nilai ragam /simpangan baku

terkecil

1 < 2 x1 merupakan penduga yang lebih efisien dibanding x2 untuk nilai µ

• Margin Kesalahan :

Ketika diperoleh nilai penduga bagi suatu nilai parameter, perlu

dihitung ‘Margin of Error’

Margin of Error = ± 1.96 . x atau ± 1.96 . sx

dimana, sx = nilai penduga bagi x sx = s/√n dan x = /√n

Page 4: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

4

2. Selang Pendugaan

• Suatu selang pendugaan bagi parameter populasi x

x1 < x < x2 x1 dan x2 tergantung nilai statistiknya dan

juga pada sebaran penarikan sampel

Jika simpangan baku x besar, maka selang pendugaan

juga harus besar

• Selang pendugaan yang didasarkan pada tingkat

kepercayaan disebut ‘selang kepercayaan’

p (x1 < x < x2 ) = (1 - ) . 100% untuk 0 < < 1

dimana, (1 - ) = koefesien/derajat kepercayaan

= significance level

• Makin besar selang kepercayaan (%) makin yakin

bahwa selang tersebut mencakup nilai parameter

populasi tersebut.

Page 5: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

5

3. Selang Pendugaan Rata-Rata µ : Sampel Besar

• Dalam suatu sampel yang berukuran besar, dimana n ≥ 30,

digunakan distribusi normal baku z untuk menghitung selang

kepercayaan µ Teori Batas Pusat

• x = atau sx =

Dengan sampel besar, x merupakan penduga yang akurat bagi µ

μ-x

n

σ

n

σ

p(-z /2 < z < z /2) = 1 - dimana

p(-z /2 < < z /2) = 1 -

p( x-z /2 . < µ < x +z /2 . ) = 1 -

μ-x =z

n

s

n

σ

Jadi, selang kepercayaan bagi µ, adalah :

– x ± z /2 . Jika diketahui

– x ± z /2 . Jika tidak diketahui

µ

0 z

x

- z /2

/2 /2

z /2

n

σ

n

s

Page 6: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

6

• Contoh:

Suatu perusahaan penerbitan melakukan penelitian ttg harga buku

‘Pengantar Statistika’ terbitannya yang tersebar di pasaran.

Didapatkan 36 sampel dengan rata-rata harga $48.40. Telah

diketahui bahwa simpangan baku untuk seluruh buku $4.50.

a. Berapa titik penduga untuk rata-rata harga semua buku yang

beredar? Dan berapa margin kesalahan untuk penduga

tersebut?

b. Buat rata-rata harga buku tersebut dengan selang kepercayaan

90%.

Penyelesaian:

n = 36, x = $48.40, dan = $4.50

Maka,

x = = = $ 0.75

a. µ = x = $48.40

Margin of error titik µ = ± 1.96 . x = ± 1.96 * 0.75

= ± $ 1.47

n

σ

36

4.50

b. p ( x-z /2 . < µ < x+ z /2

. ) = 1 - = 0.9 n

σ

n

σ

Page 7: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

7

n

σ

1 - = 0.9 = 1 - 0.9 = 0.1 /2 = 0.05 Nilai Z /2 dimana luas daerah di bawah kurva sebelah kiri 0.05 = 1.65 (Tabel Distribusi Normal Z) Maka, harga buku rata-rata dengan selang kepercayaan 90%, adalah:

µ = x ± z /2 .

= 48.40 ± (1.65 * 0.75)

= 48.40 ± 1.24 = 47.16 s/d 49.64

Atau

$ 47.16 < µ < $ 49.64

Yang berarti bahwa dengan selang/tingkat kepercayaan 90%, rata-rata harga buku yaitu $ 47.16 s/d $ 49.64

µ

0 z

x

/2 = 0.05

0.05 0.95

Page 8: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

8

4. Galat & Ukuran Sampel Dalam Pendugaan µ

• Bila x digunakan untuk menduga µ, maka dengan tingkat kepercayaan

(1- ).100%, galat pendugaan maksimum, e adalah:

e = z /2 . atau e = z /2 .

n

s

n

σ

• Sering kita ingin mengetahui berapa besar sebuah sampel harus

diambil, agar galat pendugaan µ tidak melebihi suatu nilai e.

Dalam hal ini jumlah sampel n, adalah:

z /2 .

E

2

n =

adalah simpangan baku populasi, bisa diturunkan dari s sebagai

estimatornya.

Page 9: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

9

4. Selang Kepercayaan Bagi Pendugaan µ Pada

Sampel kecil • Dalam suatu sampel yang berukuran kecil, dimana n < 30; simpangan

baku tidak diketahui; dan distribusi mendekati normal untuk

menghitung selang kepercayaan µ digunakan ditribusi sampel t

ns

μ-x

n

s

ns

μ-x =T

µ

0 T

x

- T /2

/2 /2

T /2

n

s

• Selang kepercayaan (1 - )100% bagi µ :

p(-T /2 < T < T /2) = 1 -

P(-T /2 < < T /2) = 1 -

p( x-T /2 . < µ < x +T /2

. ) = 1 - T /2 adalah nilai T dengan derajat bebas df = n-1 yg di sebelah kanan terdapat daerah seluas /2

Page 10: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

10

• Contoh:

Dr John ingin memprediksi rata-rata tingkat kolesterol untuk semua

orang dewasa di sebuah kota. Ia mengambil 25 laki-laki dewasa

sebagai sampel dan menemukan rata-rata tingkat kolesterol sampel

tersebut yaitu 186 dengan simpangan baku 12. Jika diasumsikan

tingkat kolesterol untuk semua laki-laki dewasa di kota tersebut

terdistribusi normal, tentukan selang kepercayaan 95% untuk rata-

rata populasi µ.

Penyelesaian:

n = 25, x = 186, dan s = 12

df = n -1 = 25 -1= 24 Tabel distribusi T

df = 24; /2 = 0.025

T = 2.064

Selang kepercayaan bagi µ adalah:

= p( x-T /2 . < µ < x +T /2

. )

= 186 – 2.064 . < µ < 186 + 2.064 . = 181.05 < µ < 190.95

Jadi dengan tingkat kepercayaan 95%, rata-rata kolesterol untuk semua laki-laki dewasa di sebuah kota (A) terletak berkisar antara 181.05 s/d 190.95

µ

0 T

x

-2.064

0.025 0.025

2.064

0.4750 0.4750

25

12n

sn

s

25

12

Page 11: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

11

6. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan Rata-Rata

2 Populasi

A. Bila 2 buah sampel berukuran n1 dan n2 diambil dari 2 populasi yang

besar, dgn µ1 dan µ2, maka beda kedua nilai rata-rata sampel akan

mendekati sebaran normal.

µx1 – x2 = µ 1 - µ 2 dan x1 – x2 =

Sehingga:

)n/(σ + )n/(σ

)μ -(μ - )x-(x=z

2211

2121

2

2

1

1

n

σ+

n

σ

• Contoh soal:

Tanaman A dengan umur panen rata-rata µ = 6.5 tahun dan simpangan baku 0.9 tahun. Sedangkan tanaman B, dengan µ = 6 tahun dan = 0.273 tahun. Berapa peluang bahwa sebuah sampel acak yg terdiri 36 tanaman A memiliki umur panen 1 tahun lebih lama daripada rata-rata sampel dengan 49 tanaman B?

Page 12: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

12

Populasi A

µ1 = 6.5

1 = 0.9

n1 = 36

• Penyelesaian:

Distribusi sampling xA-xB :

µxA – xB = 6.5 – 6.0 = 0.5

xA – xB = (0.9/√36) + (0.64/√49) = 0.189

Yang ditanyakan adalah P(xA-xB ≥ 1.0)……?

P(xA-xB ≥ 1.0) = P(Z ≥ 2.65)

= 1 – P(Z < 2.65) Lihat Tabel Z

= 1 – 0.9960

= 0.004

Populasi B

µ1 = 6.0

1 = 0.8

n1 = 49

)n/(σ + )n/(σ

)μ -(μ - )x-(x=z

2211

2121

2.65 =0.189

0.5 - 1.0=z

µ = 0.5

0 Z

xA-xB

0.0040

2.65

0.9960

Page 13: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

13

• Selang kepercayaan (1 - ) 100% bagi µ 1 - µ 2 adalah :

)n

σ+

n

σ( z± )x-(x

2

2

1

1

2α21

• Latihan soal (Tugas):

Berdasarkan laporan Biro Statistik USA, pada tahun 1993 pekerja

bagian konstruksi gaji rata-rata mingguan $551, sedangkan pekerja

bagian manufaktur sebesar $487. Rata-rata gaji mingguan tersebut

dihitung dari sampel acak yang masing-masing terdiri dari 500 dan

700 pekerja. Jika diasumsikan simpangan baku populasi masing-

masing adalah $66 dan $60, maka:

a. Hitunglah nilai penduga bagi (µ1 - µ

2)

b. Dengan selang kepercayaan 95%, tentukan beda nilai rata-rata

gaji mingguan untuk dua populasi di atas !

Z /2 adalah variabel normal baku yang luas daerah disebelah kanan

sebesar /2

)n

s+

n

s( z± )x-(x

2

2

1

1

2α21atau

Page 14: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

14

• Penyelesaian:

Diasumsikan: populasi 1 = bagian konstruksi; populasi 2 = bagian manufaktur

– n1 = 500, x1 = $551, 1 = $66

– n2 = 700, x2 = $487, 2 = $60

a. Nilai penduga bagi (µ 1 - µ 2) = x1 – x2

= $551 – $487 = $64

b. Tingkat kepercayaan (1- ) = 0.95 = 0.05 /2 = 0.025

Z /2 = 1.96

maka,

)700

60+

500

66( 1.96± 487)-(551 )

n

σ+

n

σ( z± )x-(x

2

2

1

1

2α21

=

$71.30 sampai $56.70 = 7.30± 64=

Jadi dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat dikatakan bahwa beda rata-rata gaji mingguan untuk semua pekerja bagian konstruksi dan manufaktur adalah antara $56.70 dan $71.30

Page 15: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

15

B. Bila ukuran sampel kecil (n1 dan n2 < 30), diambil dari 2 populasi

yang terdistribusi (mendekati) normal, dan 21 = 22 tidak diketahui

nilainya, maka selang kepercayaan (1 - ) 100% bagi µ 1 - µ 2 adalah :

dimana,

)

21

p2

α21n

1+

n

1( .s T± )x-(x

2-n+n

1)s-(n+1)s-(n =s

21

2

22

2

11

p

Sp = nilai dugaan gabungan simpangan baku dua populasi

s1 dan s2 adalah simpangan baku dari dua sampel

T /2 = nilai T dengan df = n1+ n2 – 2, yang luas daerah di sebelah kanan

sebesar /2

) n

1 +

n

1(S

)μ -(μ - )x-(x=T

21

p

2121

)n

1 +

n

1( s =s

21

px2 - x1

Page 16: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

16

• Contoh:

Diketahui populasi 1 dan populasi 2, masing-masing diambil sampel, dengan rincian:

– n1 = 15, x1 = 80 miligram, s1 = 5 miligram

– n2 = 12, x2 = 77 miligram, s2 = 6 miligram

Jika kedua populasi menyebar normal, dengan simpangan baku populasi

adalah sama, tentukan selisih rata-rata antara dua populasi dengan tingkat kepercayaan 95%!

Pertama, hitung simpangan baku x1 - x2 :

Penyelesaian:

Diketahui populasi 1 dan populasi 2, masing-masing diambil sampel, dengan rincian:

– n1 = 15, x1 = 80 miligram, s1 = 5 miligram

– n2 = 12, x2 = 77 miligram, s2 = 6 miligram

2-n+n

1)s-(n+1)s-(n =s

21

2

22

2

11

p5.4626 =

2-12+15

1)6-(12+1)5-(15=

22

2.1157 = )12

1 +

15

1( 5.4626 =s

x2 - x1

Page 17: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

17

Kedua, tentukan nilai T /2 dari tabel distribusi T :

1- = 0.95 = 0.05 /2 = 0.025

df = n1 + n2 – 2 = 15 + 12 – 2 = 25

Nilai T dengan df = 25 dan 0.025 luas daerah kanan dibawah kurva distribusi T = 2.060.

Sehingga :

x2-x1

2α21

s T± )x-(x 57)2.060(2.11± 77)-(80=

7.36 sampai 1.36- =

4.36± 3=

Page 18: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

18

C. Bila ukuran sampel kecil (n1 dan n2 < 30), diambil dari 2 populasi

yang terdistribusi (mendekati) normal, 21 dan 22 diketahui, maka

selang kepercayaan (1 - ) 100% bagi µ 1 - µ 2 adalah :

)

2

2

1

1

2α21

n

s+

n

s( T± )x-(x

dimana T /2 = nilai T yang luas daerah di sebelah kanan sebesar /2 dan derajat bebas (df):

x2 - x1

2121

S

)μ -(μ - )x-(x=T

)n

s +

n

s( =s

2

2

1

1

x2 - x1

2

2

2

1

2

1

n

s+

n

s2

1

2

1

n

s2

1-n1

2

2

2

n

s2

1-n2

+

df = dan

Page 19: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

19

7. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan Proporsi • Proporsi populasi, dinotasikan sebagai p menunjukkan rasio

jumlah elemen suatu populasi yang memiliki karakteristik tertentu

dengan jumlah total elemen populasi tersebut

N

x = p

x = jumlah elemen populasi dengan karakteristik

tertentu

N = jumlah total elemen populasi

• Proporsi sampel, dinotasikan sebagai p menunjukkan ratio

jumlah elemen suatu sampel yang memiliki karakteristik tertentu

dengan jumlah total elemen sampel tersebut

n

x = p

x = jumlah elemen sampel dengan karakteristik

tertentu

n = jumlah total elemen sampel

• Contoh :

Misal terdapat 789654 keluarga di kota Depok, dan 563282 dari

keluarga tersebut sudah memiliki rumah sendiri ………

Page 20: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

20

• Seperti rata-rata x, proporsi sampel p juga merupakan variabel acak

yang memiliki distribusi peluang yang disebut distribusi sampling

0.71 =789654

563282 =

N

x = p

N = ukuran populasi = 789654 x = keluarga yg sudah memiliki rumah sendiri = 563282

Sehingga : Proporsi semua keluarga di Depok yang sudah memiliki rumah sendiri :

Kemudian, jika diambil sampel acak sebanyak 240 keluarga, dan ternyata ada 158 keluarga yang sudah memiliki rumah, maka :

n = ukuran sampel = 240 x = keluarga dari sampel yg sudah memiliki rumah = 158 0.66 =

240

158 =

n

x = p

Contoh : Sebuah konsultan memiliki 5 staf. Tabel berikut adalah

daftar 5 staf & pengetahuannya ttg Statistika.

Page 21: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

21

Nama Mengerti Statistika

Ali Ya

John Tidak

Susan Tidak

Lee Ya

Tom Ya

Dari populasi ini, proporsi staff yang

mengerti statistika :

p = 3/5 = 0.60

Jika diambil sampel berukuran 3 dari

populasi tersebut, maka akan dihasilkan

10 kemungkinan kombinasi sampel.

∑ Sampel =

( ) 5

3

10

! 3)-(5 ! 3

! 5

Sampel Proporsi yang Mengerti

Statistika ( p )

Ali, John, Susan 1/3 = 0.33

Ali, John, Lee 2/3 = 0.67

Ali, John, Tom 2/3 = 0.67

Ali, Susan, Lee 2/3 = 0.67

Ali, Susan, Tom 2/3 = 0.67

Ali, Lee, Tom 3/3 = 1.00

John, Susan, Lee 1/3 = 0.33

John, Susan, Tom 1/3 = 0.33

John, Lee, Tom 2/3 = 0.67

Susan, Lee, Tom 2/3 = 0.67

p f

0.33 3

0.67 6

1.00 1

∑f = 10

p P( p)

0.33 3/10 = 0.30

0.67 6/10 = 0.60

1.00 1/10 = 0.10

∑P( p ) = 1

Page 22: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

22

• Untuk n yang besar (n ≥ 30) sebaran bagi p terdistribusi mendekati

normal dengan rata-rata dan simpangan baku :

P (p1 < p < p2 ) = P (z /2 < z < z /2 ) = (1 - )

n

p.q = σ dan p = μ pp

p - p = Z

q = 1 – p ;

dimana

Selang kepercayaan bagi p :

σ . z p p σ . z- p p2

p2

αα +<<

• Contoh :

Berdasarkan laporan Biro Sensus USA, 86% dari seluruh keluarga di New York, memiliki kendaraan roda 4. Jika p adalah proporsi suatu sampel acak berukuran 120 keluarga yang memiliki kendaraan roda 4, tentukan peluang bahwa nilai p adalah antara 0.88 dan 0.92.

n

p.q =s dengan diduga bisa σ pp →

Page 23: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

23

µp = 0.86

• Penyelesaian :

Diketahui : p = 0.86 dan q = 1 – 0.86 = 0.14

p adalah proporsi seluruh keluarga yang memiliki kendaraan roda 4

Ditanyakan : P(0.88 < p < 0.92)…?

0.0317 =

120

4)(0.86)(0.1 =

n

p.q = σ dan 0.86 p = μ pp =

0 z

p

p= 0.0317

1.89

0.2349

0.92 0.88

0.63

0.63 = 0.0317

0.86 - 0.88 =

σ

p - p = z 0.88 = pUntuk

p

1.89 = 0.0317

0.86 - 0.92 =

σ

p - p = z 0.92 = pUntuk

p

Sehingga, peluang bahwa p antara 0.88 dan 0.92 ditunjukkan dengan luas daerah dibawah kurva normal baku antara z = 0.63 dan z = 1.89

P(0.88 < p < 0.92) = P(0.63 < z < 1.89)

= P(0 < z < 1.89) - P(0 < z < 0.63)

= 0.4706 – 0.2357

= 0.2349

Page 24: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

24

• Contoh :

Berdasarkan hasil pooling terhadap 500 wanita, diperoleh informasi bahwa sebanyak 79% dari mereka suka dengan tanaman hias. Buatlah selang pendugaan proporsi bagi seluruh wanita yang menyukai tanaman hias dengan tingkat kepercayanan 98% !

Penyelesaian :

Diketahui : n = 500, p = 0.79 maka q = 1 – 0.79 = 0.21

p adalah proporsi sampel wanita yang menyukai tanaman hias

Ditanyakan :

Maka:

σ . z p p σ . z- p p2

p2

αα +<<

0.0182 500

1)(0.79)(0.2

n

p.q =s dengan diduga bisa σ pp = = →

Untuk tingkat kepercayaan 98% 1 - = 0.98 = 0.02 /2 = 0.01

Nilai Z dengan /2 = 0.01 adalah 2.33

Sehingga, selang pendugaan proporsi bagi seluruh wanita yang tanaman hias dengan tingkat kepercayanan 98% :

0.832 s/d 0.748 (0.0182) 2.33 0.79 s . z p p s . z- p p2

p2

=±=+<< αα

Page 25: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

25

8. Galat & Ukuran Sampel dlm Pendugaan p

• Bila p digunakan untuk menduga p, maka dengan tingkat kepercayaan

(1- ).100%, galat pendugaan maksimum, e adalah:

e = z /2 .

n

p.q

• Sering kita ingin mengetahui berapa besar sebuah sampel harus

diambil, agar galat pendugaan p tidak melebihi suatu nilai e. Dalam

hal ini jumlah sampel n, adalah:

• Contoh :

Dari 500 orang sampel acak, sebanyak 160 orang menyukai makanan sea food. Jika kita ingin percaya 95%, bahwa nilai dugaan proporsi orang yg menyukai sea food yang dihasilkan berada dalam 0.02 dari nilai proporsi yg sebenarnya, tentukan jumlah ukuran sampel yg diperlukan !

2

2

E

q . p z=n 2

α

Page 26: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

26

Penyelesaian :

2

2

E

q . p z=n 2

α diketahui n = 500, 0.32=

500

160=

n

x=p q = 1 – 0.32 = 0.68

Untuk tingkat kepercayaan 95% 1 - = 0.95 = 0.05 /2 = 0.025

Nilai Z dengan /2 = 0.025 adalah 1.96 Maka:

2090 =(0.02)

(0.68) (0.32)(1.96)

E

q . p z=n 2

2

2

2

=

Page 27: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

27

9. Selang Kepercayaan bagi Pendugaan Selisih 2

Proporsi

• Bila p1 dan p2 masing-masing adalah proporsi keberhasilan dalam

sampel acak yang berukuran n1 dan n2 serta q1 = 1 - p1 dan q2 = 1 – p2,

maka selang kepercayaan (1- ).100% bagi selisih antara p1 - p2 :

21 p-p

2121

σ

)p -(p - )p-(p=z

• Contoh soal:

Suatu polling dilakukan terhadap penduduk kota A dan penduduk di sekitar kota tersebut, untuk mengetahui kemungkinan diajukannya suatu rencana pembangunan TPA sampah. Bila 2400 diantara 5000 penduduk kota dan 1200 dari 2000 penduduk sekitar setuju dengan rencana tsb, tentukan selisih proporsi sebenarnya yang setuju dengan tingkat kepercayaan 90% !

2

22

1

11

2

22

1

11

nqp

nqp

ppppnqp

nqp

pp..

22121

..

221 . z ) - ( - . z- ) - ( ++<<+ αα

Page 28: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

28

Penyelesaian :

p1 - p2 = selisih proporsi

0.60=2000

1200=

n

x=p ; 0.48=

5000

2400=

n

x=p

2

22

1

11

Untuk tingkat kepercayaan 90% 1 - = 0.90 = 0.10 /2 = 0.05

Nilai Z dengan /2 = 0.05 adalah 1.65

Maka selisih p1 - p2 dengan tingkat kepercayaan 90% :

2

22

1

11

2

22

1

11

nqp

nqp

ppppnqp

nqp

pp..

22121

..

221 . z ) - ( - . z- ) - ( ++<<+ αα

2000

(0.40) (0.60)

5000

(0.52) (0.48) 1.65 0.60) - (0.48 +±

0.0986 - 0.1414- pp - 21 <<

Page 29: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

29

Page 30: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

30

Page 31: 1. Ilustrasi - Gunadarmatb_kawakibiazmi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/... · • Prosedur Pendugaan Parameter: 1. Menentukan sebuah sampel 2. Mengumpulkan informasi yg diperlukan

31

0 z

µ

1.89 0.63

0.88 0.92